বৃত্ত-২ (Circle-Two)

অনুশীলনী \(4.B\) উদাহরণসমুহ

উদাহরণ \(1.\) \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক, \(3x-4y-1=0\) রেখার সমান্তরাল। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(2.\) \(k\) এর মান কত হলে, \(3x+4y=k\) রেখাটি \(x^2+y^2=10x\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে?
[ ঢাঃ ২০১৪ ]

উদাহরণ \(3.\) \((4, -2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(x^2+y^2-2y-15=0\) বৃত্তটিকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(4.\) \(x^2+y^2=144\) বৃত্তের যে জ্যা \((4, -6)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয় তার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(5.\) \(x^2+y^2+4x-8y+2=0\) বৃত্তের স্পর্শক অক্ষদ্বয় থেকে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমমানের অংশ ছেদ করে। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(6.\) \(x^2+y^2+2x+3y+1=0\) ও \(x^2+y^2+4x+3y+2=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৪ ]

উদাহরণ \(7.\) \(y=mx\) রেখাটি \(x^2+y^2+2gx+c=0\) বৃত্তের স্পর্শক হলে, \(m\)-এর মান নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে মূলবিন্দু থেকে \(x^2+y^2-10x+20=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১ ]

উদাহরণ \(8.\) \(x^2+y^2-3x+10y-15=0\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৪; সিঃ ২০১০, ২০০২; রাঃ ২০০৯]

উদাহরণ \(9.\) \(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। এই ব্যাসের সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০০৪]

উদাহরণ \(10.\) \(3x+by-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০২, ২০০০; রাঃ ২০১৪, ২০১২; কুঃ ২০১০, ২০০৪; বঃ ২০১২,২০০৯; চঃ ২০১১ ; যঃ ২০১০; সিঃ ২০০৮; মাঃ ২০১২, ২০০৫। ]

উদাহরণ \(11.\) মূলবিন্দু থেকে \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(2\) একক। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০১০; রাঃ ২০০৬; চঃ ২০০৭,২০০৪; বঃ ২০০৬; সিঃ ২০০৭; যঃ ২০০৪; রাঃ ২০০০ ]

উদাহরণ \(12.\) \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দৈর্ঘ্যের জ্যা কর্তন করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০০৯; কুঃ ২০১০, যঃ ২০১১, ২০০৯; সিঃ ২০০৫; চঃ ২০১১,২০০৯; রাঃ২০০৯ ]

উদাহরণ \(13.\) মূলবিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}-10x+20=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(14.\) \(x^2+y^2-4x+6y-36=0\) ও \(x^2+y^2-5x+8y-43=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(15.\) \(x^{2}+y^{2}-8x-10y=8\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক, \(5x-12y-9=0\) রেখার সমান্তরাল। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৬; কুঃ ২০০৭,২০১৪; সিঃ ২০১১;চঃ ২০১২;ঢাঃ ২০১৪। ]

উদাহরণ \(16.\) \(x^2+y^2=81\) বৃত্তের একটি জ্যা \((-2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়। ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৬; বঃ২০০৮,২০১০;সিঃ ২০০৮; যঃ ২০০৯,২০১৩;চঃ ২০০৬,২০১২,২০১৫; রাঃ ২০০৬,২০১১; দিঃ ২০১৩;মাঃ ২০০৬,২০০৭।]

উদাহরণ \(17.\)
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0 ………(1)\)
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 ………(2)\)
\(x^2+y^2-4x+6y-7=0 ………(3)\)
\((a)\) \((3, 2)\) বিন্দু হতে \((2)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) ও \((2)\) নং বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x+2y=11\) সরলরেখা হতে \((3)\) নং বৃত্তের উপর যে বিন্দুটির দূরত্ব ক্ষুদ্রতম তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(18.\) \(x^2+y^2=25\) বৃত্তের স্পর্শক দুইটি \(X\) অক্ষের সাথে \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(19.\) \(x^2+y^2-6x+4y+3=0\) বৃত্তের \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(20.\) \((4, 7)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-8x-14y+11=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(21.\) \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি লম্বভাবে ছেদ করলে ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(22.\) \((1, -3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(2x-y-4=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(23.\) \(x^{2}+y^{2}-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মান এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(24.\) \(y=2x \) যদি \(x^2+y^2=10x\) বৃত্তের কোন জ্যা-এর সমীকরণ হয়, তবে উক্ত জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(25.\) \((1, -1)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-x+3y+1=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(26.\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(27.\) \(x^2+y^2=16\) ও \(x^2+y^2+6x-8y=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(28.\) \(x^2+y^2-4x-2y+4=0\) ও \(x^2+y^2+4x+2y-4=0\) বৃত্ত দুইটির তীর্যক সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(29.\) \(x^2+y^2-3x+10y-15=0\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০, ২০০২; রাঃ ২০০৯]

অনুশীলনী \(4.B\) উদাহরণসমুহের সমাধান

উদাহরণ \(1.\) \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক, \(3x-4y-1=0\) রেখার সমান্তরাল। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0 …..(1)\)
\(3x-4y-1=0 …..(2)\)
\((1)\) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
\(2g=-2, 2f=-4, c=-4\)
\(\Rightarrow g=-1, f=-2, c=-4\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(1, 2)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2-(-4)}\)
\(=\sqrt{1+4+4}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\((2)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 …..(3)\)
\((3)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{|3.1-4.2+k|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=3\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3-8+k|}{\sqrt{9+16}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{|-5+k|}{\sqrt{25}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{|k-5|}{5}=3\)
\(\Rightarrow |k-5|=15\)
\(\Rightarrow k-5=15\) | ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k=15+5\)
\(\therefore k=20\)
\(\Rightarrow -(k-5)=15\) | ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k-5=-15\)
\(\Rightarrow k=-15+5\)
\(\therefore k=-10\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(k=2০\)
\(3x-4y+20=0\)
যখন, \(k=-1০\)
\(3x-4y-10=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ \( 3x-4y+20=0; 3x-4y-10=0\).

উদাহরণ \(2.\) \(k\) এর মান কত হলে, \(3x+4y=k\) রেখাটি \(x^2+y^2=10x\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে?

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(3x+4y-k=0 …..(1)\)
\(x^2+y^2-10x=0 …..(2)\)
\((2)\) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
\(2g=-10, 2f=0, c=0\)
\(\Rightarrow g=-5, f=0, c=0\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(5, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-5)^2+0^2-0}\)
\(=\sqrt{25+0-0}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{|3.5+4.0-k|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|15+0-k|}{\sqrt{9+16}}=5\)
\(\Rightarrow \frac{|15-k|}{\sqrt{25}}=5\)
\(\Rightarrow \frac{|15-k|}{5}=5\)
\(\Rightarrow |15-k|=25\)
\(\Rightarrow 15-k=25\) | ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow -k=25-15\)
\(\Rightarrow -k=10\)
\(\therefore k=-10\)
\(\Rightarrow -(15-k)=25\) | ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow -15+k=25\)
\(\Rightarrow k=25+15\)
\(\therefore k=40\)
\(\therefore k\) এর মান \(40; -10\) .

উদাহরণ \(3.\) \((4, -2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(x^2+y^2-2y-15=0\) বৃত্তটিকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^2+y^2-2y-15=0 ……(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
\(2g=0, 2f=-2, c=-15\)
\(\Rightarrow g=0, f=-1, c=-15\)
কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(C_1(0, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{0^2+(-1)^2-(-15)}\)
\(=\sqrt{0+1+15}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
আবার,
নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র \(C_2(4, -2)\), ব্যাসার্ধ \(r_2\) হলে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-4)^2+(y+2)^2=r^2_2 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শকরে।
\(\therefore C_1C_2=r_1+r_2\)
\(\Rightarrow \sqrt{(0-4)^2+(1+2)^2}=4+r_2\)
\(\Rightarrow \sqrt{(-4)^2+(3)^2}=4+r_2\)
\(\Rightarrow \sqrt{16+9}=4+r_2\)
\(\Rightarrow \sqrt{25}=4+r_2\)
\(\Rightarrow 5=4+r_2\)
\(\Rightarrow 4+r_2=5\)
\(\Rightarrow r_2=5-4\)
\(\therefore r_2=1\)
\(r_2\) এর মান \(\) এ বসিয়ে,
\((x-4)^2+(y+2)^2=(1)^2\)
\(\therefore x^2-2.x.4+4^2+y^2+2.y.2+2^2=1\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+4y+4-1=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x+4y+19=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(4.\) \(x^2+y^2=144\) বৃত্তের যে জ্যা \((4, -6)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয় তার সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^2+y^2-144=0 ……(1)\)
দেওয়া আছে জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((4, -6)\)
জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x.4+y.(-6)-144=4^2+(-6)^2-144\)
\(\Rightarrow 4x-6y-144=16+36-144\)
\(\Rightarrow 4x-6y-144=52-144\)
\(\Rightarrow 4x-6y-144=-92\)
\(\Rightarrow 4x-6y-144+92=0\)
\(\Rightarrow 4x-6y-52=0\)
\(\Rightarrow 2(2x-3y-26)=0\)
\(\Rightarrow 2x-3y-26=\frac{0}{2}\)
\(\therefore 2x-3y-26=0\)
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।

উদাহরণ \(5.\) \(x^2+y^2+4x-8y+2=0\) বৃত্তের স্পর্শক অক্ষদ্বয় থেকে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমমানের অংশ ছেদ করে। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^2+y^2+4x-8y+2=0 ……(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
\(2g=4, 2f=-8, c=2\)
\(\Rightarrow g=2, f=-4, c=2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(-2, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{2^2+(-4)^2-2}\)
\(=\sqrt{4+16-2}\)
\(=\sqrt{20-2}\)
\(=\sqrt{18}\)
\(=\sqrt{2\times 9}\)
\(=3\sqrt{2}\)
অক্ষদ্বয় হতে সমমানের অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x+y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x+y=a\)
\(\therefore x+y-a=0 …….(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে। অর্থাৎ কেন্দ্র হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান।
\(\therefore \frac{।-2+4-a।}{\sqrt{1^2+1^2}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{।2-a।}{\sqrt{1+1}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{।2-a।}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow ।2-a।=3\sqrt{2}\times \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow ।2-a।=3\times 2\)
\(\Rightarrow ।2-a।=6 \)
\(\Rightarrow 2-a=6 \) | ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow -a=6-2 \)
\(\Rightarrow -a=4 \)
\(\therefore a=-4 \)
\(\Rightarrow -(2-a)=6 \) | ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow -2+a=6 \)
\(\Rightarrow a=6+2 \)
\(\therefore a=8 \)
\(a\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(a=-4 \) স্পর্শকের সমীকরণ ,
\(x+y+4=0\)
যখন, \(a=8 \) স্পর্শকের সমীকরণ ,
\(x+y-8=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় স্পর্শদ্বয়ের সমীকরণ \(x+y+4=0; x+y-8=0\)।

উদাহরণ \(6.\) \(x^2+y^2+2x+3y+1=0\) ও \(x^2+y^2+4x+3y+2=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৪ ]

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0 ……….(1)\)
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 ……….(2)\)
straight3
\((1)\) ও \((2)\) বৃত্ত দ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1-x^2-y^2-4x-3y-2=0 \) | \((1)-(2)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow -2x-1=0 \)
\(\Rightarrow 2x+1=0 ……..(3)\)
এখন,
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1+k(2x+1)=0 ……….(4)\) | \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x+3y+1+2kx+k=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+(2+2k)x+3y+(1+k)=0\)
এখানে,
\(2g=2+2k, 2f=3, c=1+k\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow 2g=2(1+k), 2f=3, c=1+k\)
\(\Rightarrow g=(1+k), f=\frac{3}{2}, c=1+k\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(-(1+k), -\frac{3}{2})\)
এই কেন্দ্র \((3)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত। যেহেতু , \((3)\) নং সরলরেখা নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাস।
\(\therefore -2(1+k)+1=0\)
\(\Rightarrow -2-2k+1=0\)
\(\Rightarrow -1-2k=0\)
\(\Rightarrow -2k=1\)
\(\therefore k=-\frac{1}{2}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2x+3y+1-\frac{1}{2}(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x+6y+2-(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x+6y+2-2x-1=0\)
\(\therefore 2x^2+2y^2+2x+6y+1=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(7.\) \(y=mx\) রেখাটি \(x^2+y^2+2gx+c=0\) বৃত্তের স্পর্শক হলে, \(m\)-এর মান নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে মূলবিন্দু থেকে \(x^2+y^2-10x+20=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১ ]

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^2+y^2+2gx+c=0 ……(1)\)
যার কেন্দ্র \(C(-g, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2-c}\)
\(y-mx=0 ….(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \frac{|0-m\times -g|}{\sqrt{1^2+(-m)^2}}=\sqrt{g^2-c}\)
\(\Rightarrow \frac{|mg|}{\sqrt{1+m^2}}=\sqrt{g^2-c}\)
\(\Rightarrow \frac{m^2g^2}{1+m^2}=g^2-c\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow m^2g^2=(1+m^2)(g^2-c)\)
\(\Rightarrow m^2g^2=g^2-c+m^2g^2-m^2c\)
\(\Rightarrow m^2g^2-m^2g^2+m^2c=g^2-c\)
\(\Rightarrow m^2c=g^2-c\)
\(\Rightarrow m^2=\frac{g^2-c}{c}\)
\(\therefore m=\pm \sqrt{\frac{g^2-c}{c}}\)
ইহাই নির্ণেয় \(m\) এর মান।
আবার,
\(x^2+y^2-10x+20=0 …..(3)\)
এখানে,
\(2g=-10, 2f=0, c=20\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-5, f=0, c=20\)
ধরি, মূলবিন্দু হতে \((3)\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ \(y=mx …….. (4)\)
এখন,
\(m=\pm \sqrt{\frac{(-5)^2-20}{20}}\)
\(=\pm \sqrt{\frac{25-20}{20}}\)
\(=\pm \sqrt{\frac{5}{20}}\)
\(=\pm \sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(=\pm \frac{1}{2}\)
\(m\) এর মান \(\) এ বসিয়ে,
\(y=\pm \frac{1}{2}x\)
\(\Rightarrow 2y=\pm x\)
\(\therefore 2y\pm x=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

উদাহরণ \(8.\) \(x^2+y^2-3x+10y-15=0\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৪; সিঃ ২০১০, ২০০২; রাঃ ২০০৯]

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^2+y^2-3x+10y-15=0 ……(1)\)
এখানে,
\(2g=-3, 2f=10, c=-15\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{2}, f=5, c=-15\)
\((4, -11)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.4+y.(-11)-\frac{3}{2}(x+4)+5(y-11)-15=0\) | \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow 4x-11y-\frac{3x+12}{2}+5y-55-15=0\)
\(\Rightarrow 8x-22y-3x-12+10y-110-30=0\) | উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 5x-12y-152=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

উদাহরণ \(9.\) \(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। এই ব্যাসের সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০০৪]

সমাধানঃ

ধরি,
\(x^2+y^2-5bx+12by=0…..(1)\)
এখানে,straight3
\(2g=-5b, 2f=12b, c=0\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{5b}{2}, f=6b, c=0\)
\(\therefore (1)\) বৃত্তের কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{5b}{2}, -6b)\)
এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
এখন,
মূলবিন্দুগামী ব্যাস অর্থাৎ \(CO\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-\frac{5b}{2}}{\frac{5b}{2}-0}=\frac{y+6b}{-6b-0}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{2x-5b}{2}}{\frac{5b}{2}}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-5b}{2}\times \frac{2}{5b}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-5b}{5b}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow 6(2x-5b)=-5(y+6b)\)
\(\Rightarrow 12x-30b=-5y-30b\)
\(\Rightarrow 12x-30b+5y+30b=0\)
\(\therefore 12x+5y=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।
মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক উক্ত ব্যাসের উপর লম্ব হবে।
অতএব, ব্যাসের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-12y+k=0 ……..(2)\) যা মূলবিন্দুগামী।
\(\therefore 5.0-12.0+k=0\)
\(\Rightarrow 0-0+k=0\)
\(\therefore k=0\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(5x-12y+0=0\)
\(\therefore 5x-12y=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

উদাহরণ \(10.\) \(3x+by-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০২, ২০০০; রাঃ ২০১৪, ২০১২; কুঃ ২০১০, ২০০৪; বঃ ২০১২,২০০৯; চঃ ২০১১ ; যঃ ২০১০; সিঃ ২০০৮; মাঃ ২০১২, ২০০৫। ]

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^2+y^2-8x-2y+4=0 ……(1)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-2, c=4\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=-1, c=4\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(4, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(-1)^2-4}\)
\(=\sqrt{16+1-4}\)
\(=\sqrt{17-4}\)
\(=\sqrt{13}\)
\(3x+by-1=0 ….(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \frac{|3.4+b.1-1|}{\sqrt{3^2+b^2}}=\sqrt{13}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|12+b-1|}{\sqrt{9+b^2}}=\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow \frac{(11+b)^2}{9+b^2}=13\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13(9+b^2)=(11+b)^2\)
\(\Rightarrow 117+13b^2=11^2+2.11.b+b^2\)
\(\Rightarrow 117+13b^2=121+22b+b^2\)
\(\Rightarrow 117+13b^2-121-22b-b^2=0\)
\(\Rightarrow 12b^2-22b-4=0\)
\(\Rightarrow 2(6b^2-11b-2)=0\)
\(\Rightarrow 6b^2-11b-2=\frac{0}{2}\)
\(\Rightarrow 6b^2-11b-2=0\)
\(\Rightarrow 6b^2-12b+b-2=0\)
\(\Rightarrow 6b(b-2)+1(b-2)=0\)
\(\Rightarrow (b-2)(6b+1)=0\)
\(\Rightarrow b-2=0, 6b+1=0\)
\(\Rightarrow b=2, 6b=-1\)
\(\Rightarrow b=2, b=-\frac{1}{6}\)
\(\therefore b=2, -\frac{1}{6}\)
ইহাই নির্ণেয় \(b\) এর মান।

উদাহরণ \(11.\) মূলবিন্দু থেকে \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(2\) একক। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০১০; রাঃ ২০০৬; চঃ ২০০৭,২০০৪; বঃ ২০০৬; সিঃ ২০০৭; যঃ ২০০৪; রাঃ ২০০০ ]

সমাধানঃ

এখানে,
\(O\) মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\)straight3
\(C(1, 2)\) বৃত্তটির কেন্দ্র এবং মূলবিন্দু \(O\) থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু \(P(x, y)\).
অতএব,
\(CP\perp OP\) এবং \(OP=2\)
\(\triangle OCP\) সমকোণী।
\(\therefore OP^2+PC^2=CO^2\)
\(\therefore 2^2+(x-1)^2+(y-2)^2=(1-0)^2+(2-0)^2\)
\(\therefore 4+x^2-2.x.1+1^2+y^2-2.y.2+2^2=1+4\)
\(\therefore 4+x^2+y^2-2x+1-4y+4=5\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y+9-5=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y+4=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(12.\) \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দৈর্ঘ্যের জ্যা কর্তন করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০০৯; কুঃ ২০১০, যঃ ২০১১, ২০০৯; সিঃ ২০০৫; চঃ ২০১১,২০০৯; রাঃ২০০৯ ]

সমাধানঃ

ধরি,straight3
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
স্পর্শবিন্দু \(P(4, 0)\)
জ্যা \(AB\)
বৃত্তের কেন্দ্র \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CD\) লম্ব আঁকি।
এখানে,
\(AB=6\Rightarrow AD=BD=3\)
\(BC=CP, CD=OP=4\)
\(\triangle BCD\) সমকোণী।
\(\therefore BC^2=CD^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=OP^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=4^2+3^2\)
\(\Rightarrow BC^2=16+9\)
\(\Rightarrow BC^2=25\)
\(\Rightarrow BC=\pm \sqrt{25}\)
\(\Rightarrow BC=\pm 5\)
\(\therefore CP=\pm 5\)
এই ক্ষেত্রে দুইটি বৃত্ত অঙ্কন সম্ভব।
একটির কেন্দ্র \((4, 5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
অপরটির কেন্দ্র \((4, -5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
প্রথম বৃত্ত, \((x-4)^2+(y-5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2-2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2-10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x-10y+16=0\)
দ্বিতীয় বৃত্ত, \((x-4)^2+(y+5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2+2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x+10y+16=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, \(x^2+y^2-8x-10y+16=0; x^2+y^2-8x+10y+16=0\)।

উদাহরণ \(13.\) মূলবিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}-10x+20=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(x^{2}+y^{2}-10x+20=0 …….(1)\)
এখানে,
\(2g=-10, 2f=0, c=20\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-5, f=0, c=20\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^{2}+y^{2}-10x+20)(0^{2}+0^{2}-10.0+20)\)\(=\{x.0+y.0-5(x+0)+0(y+0)+20\}^2\) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \( (x^2+y^2-r^2)(x^2_1+y^2_1-r^2)=(xx_1+yy_1-r^2)^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-10x+20).20=\{-5x+20\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-10x+20).20=\{-5(x-4)\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-10x+20).20=25(x-4)^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-10x+20).4=5(x-4)^2\)
\(\Rightarrow 5(x-4)^2=4(x^{2}+y^{2}-10x+20)\)
\(\Rightarrow 5(x^2-2.x.4+4^2)=4x^{2}+4y^{2}-40x+80\)
\(\Rightarrow 5(x^2-8x+16)=4x^{2}+4y^{2}-40x+80\)
\(\Rightarrow 5x^2-40x+80-4x^{2}-4y^{2}+40x-80=0\)
\(\Rightarrow x^2-4y^{2}=0\)
\(\Rightarrow x^2-(2y)^{2}=0\)
\(\Rightarrow (x+2y)(x-2y)=0\)
\(\Rightarrow x+2y=0, x-2y=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ \(x+2y=0, x-2y=0\)
স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{0^{2}+0^{2}-10.0+20}\)
\(=\sqrt{0+0-0+20}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=\sqrt{5\times 4}\)
\(=2\sqrt{5}\) একক।

উদাহরণ \(14.\) \(x^2+y^2-4x+6y-36=0\) ও \(x^2+y^2-5x+8y-43=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

straight3

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2-4x+6y-36=0 ……….(1)\)
\(x^2+y^2-5x+8y-43=0 ……….(2)\)

\((1)\) ও \((2)\) বৃত্ত দ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x^2+y^2-4x+6y-36-x^2-y^2+5x-8y+43=0 \) | \((1)-(2)\) এর সাহায্যে।
\(\therefore x-2y+7=0 \)
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ।

উদাহরণ \(15.\) \(x^{2}+y^{2}-8x-10y=8\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক, \(5x-12y-9=0\) রেখার সমান্তরাল। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৬; কুঃ ২০০৭,২০১৪; সিঃ ২০১১;চঃ ২০১২;ঢাঃ ২০১৪। ]

সমাধানঃ

উদাহরণ \(16.\) \(x^2+y^2=81\) বৃত্তের একটি জ্যা \((-2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়। ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৬; বঃ২০০৮,২০১০;সিঃ ২০০৮; যঃ ২০০৯,২০১৩;চঃ ২০০৬,২০১২,২০১৫; রাঃ ২০০৬,২০১১; দিঃ ২০১৩;মাঃ ২০০৬,২০০৭।]

সমাধানঃ

উদাহরণ \(17.\)
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0 ………(1)\)
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 ………(2)\)
\(x^2+y^2-4x+6y-7=0 ………(3)\)
\((a)\) \((3, 2)\) বিন্দু হতে \((2)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) ও \((2)\) নং বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x+2y=11\) সরলরেখা হতে \((3)\) নং বৃত্তের উপর যে বিন্দুটির দূরত্ব ক্ষুদ্রতম তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

\((a)\)দেওয়া আছে, straight3
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 ………(2)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=3, c=2\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=\frac{3}{2}, c=2\)
\((3, 2)\) বিন্দু হতে \((2)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ ,
\(x.3+y.2+2(x+3)+\frac{3}{2}(y+2)+2=0\) | বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু \((x_1, y_1)\) হতে স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow 3x+2y+2x+6+\frac{3y+6}{2}+2=0\)
\(\Rightarrow 5x+2y+\frac{3y+6}{2}+8=0\)
\(\Rightarrow 10x+4y+3y+6+16=0\)
\(\Rightarrow 10x+7y+22=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ।
\((b)\)

\((c)\)দেওয়া আছে, straight3
\(x^2+y^2-4x+6y-7=0 ………(3)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=6, c=-7\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=3, c=-7\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(2, -3)\)
ব্যাসার্ধ \(CA=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-2)^2+3^2-(-7)}\)
\(=\sqrt{4+9+7}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=\sqrt{5\times 4}\)
\(=2\sqrt{5}\)
দেওয়া আছে,
\(x+2y=11\)
\(\therefore x+2y-11=0 …..(4)\)
\((4)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+k=0 …..(5)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((5)\) নং সরলরেখা \(C(2, -3)\) বিন্দুগামী হলে,
\(2.2-(-3)+k=0\)
\(\Rightarrow 4+3+k=0\)
\(\Rightarrow 7+k=0\)
\(\therefore k=-7\)
\(k\) এর মান \( (5)\) এ বসিয়ে,
\(2x-y-7=0 …..(6)\)
\((4)\) ও \((6)\) সমাধান করি,
\((4)\times 2-(6)\) এর সাহায্যে,
\(2x+4y-22-2x+y+7=0\)
\(\Rightarrow 5y-15=0\)
\(\Rightarrow 5y=15\)
\(\therefore y=3\)
\((4)\) হতে,
\(x+2.3-11=0\)
\(\Rightarrow x+6-11=0\)
\(\Rightarrow x-5=0\)
\(\therefore x=5\)
\(\therefore B(5, 3)\)
\(BC=\sqrt{(5-2)^2+(3+3)^2}\)
\(=\sqrt{(3)^2+(6)^2}\)
\(=\sqrt{9+36}\)
\(=\sqrt{45}\)
\(=\sqrt{5\times 9}\)
\(=3\sqrt{5}\)
ধরি নির্ণেয় বিন্দুটি \(A(x, y)\)
\(AB=BC-CA=3\sqrt{5}-2\sqrt{5}\)
\(=\sqrt{5}\)
\(\therefore CA:AB=2\sqrt{5}:\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow CA:AB=2:1\)
\(\therefore A\left(\frac{2.5+1.2}{2+1}, \frac{2.3+1.(-3)}{2+1} \right)\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{10+2}{3}, \frac{6-3}{3} \right)\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{12}{3}, \frac{3}{3} \right)\)
\(\therefore A(4, 1)\)
ইহাই নির্ণেয় বিন্দু।

উদাহরণ \(18.\) \(x^2+y^2=25\) বৃত্তের স্পর্শক দুইটি \(X\) অক্ষের সাথে \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(x^2+y^2=5^2 ……….(1)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=5\)
স্পর্শক \(X\) অক্ষের সহিত \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \) স্পর্শকের ঢাল \(m=\tan60^o\)
\(=\sqrt{3}\)
স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y=mx+c\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{3}x+c\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x+c=y\)
\(\therefore \sqrt{3}x-y+c=0 ……..(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে,
\(\therefore \frac{|\sqrt{3}.0-0+c|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}}=5\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|0-0+c|}{\sqrt{(3+1}}=5\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{3+1}}=5\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{4}}=5\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{2}=5\)
\(\Rightarrow |c|=10\)
\(\Rightarrow \pm c=10\)
\(\therefore c=\pm 10\)
\(c\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(\sqrt{3}x-y\pm 10=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x\pm 10=y\)
\(\therefore y=\sqrt{3}x\pm 10\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

উদাহরণ \(19.\) \(x^2+y^2-6x+4y+3=0\) বৃত্তের \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(20.\) \((4, 7)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-8x-14y+11=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(2x^{2}+2y^{2}-8x-14y+11=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-7y+\frac{11}{2}=0 …….(1)\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-7, c=\frac{11}{2}\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-\frac{7}{2}, c=\frac{11}{2}\)
এবং \(x_1=4, y_1=7\)
\((4, 7)\) বিন্দু থেকে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(=\sqrt{x^{2}_1+y^{2}_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
\(=\sqrt{(4)^{2}+(7)^{2}+2.(-2).4+2.(-\frac{7}{2}).7+\frac{11}{2}}\)
\(=\sqrt{16+49-16-49+\frac{11}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{11}{2}}\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য।

উদাহরণ \(21.\) \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি লম্বভাবে ছেদ করলে ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,
straight3
\(x^2+y^2=r^2 …..(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরন,
\(y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}\) যখন \(m\) স্পর্শকের ঢাল নির্দেশ করে।
\(\Rightarrow y-mx=\pm r\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow (y-mx)^2=r^2(1+m^2)\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2=r^2+r^2m^2\)
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2-r^2-r^2m^2=0\)
\(\Rightarrow (x^2-r^2)m^2-2mxy+(y^2-r^2)=0 ……..(2)\)
যা \(m\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(m\) এর দুইটি মান যথাক্রমে \(m_1\) ও \(m_2\)।
\(\therefore m_1m_2=\frac{y^2-r^2}{x^2-r^2} ……(3)\)
আবার,
স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব বলে,
\(m_1m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2-r^2}{x^2-r^2}=-1\) | \((3)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow y^2-r^2=-x^2+r^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=r^2+r^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=2r^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরণ।

উদাহরণ \(22.\) \((1, -3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(2x-y-4=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(2x-y-4=0 …..(1)\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=r\)
এবং কেন্দ্র দেওয়া আছে \(C(1, -3)\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-1)^2+(y+3)^2=r^2 ……(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে,
\(\frac{|2.1-(-3)-4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=r \) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2+3-4|}{\sqrt{4+1}}=r \)
\(\Rightarrow \frac{|5-4|}{\sqrt{5}}=r \)
\(\Rightarrow \frac{|1|}{\sqrt{5}}=r \)
\(\therefore r=\frac{1}{\sqrt{5}} \)
\(r\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y+3)^2=(\frac{1}{\sqrt{5}})^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.1+1^2+y^2+2.y.3+3^2=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+6y+9=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+6y+10=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-10x+30y+50=1\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-10x+30y+50-1=0\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-10x+30y+49=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(23.\) \(x^{2}+y^{2}-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মান এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(x^{2}+y^{2}-4x-6y+c=0 ……(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-6, c_1=c\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-3, c_1=c\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(therefore (2, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2-c}\)
\(=\sqrt{4+9-c}\)
\(=\sqrt{13-c}\)
\(\because \) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। অতএব, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \sqrt{13-c}=3\)
\(\Rightarrow 13-c=3^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13-c=9\)
\(\Rightarrow 13-9=c\)
\(\Rightarrow 4=c\)
\(\therefore c=4\)
ইহাই নির্ণেয় \(c\) এর মান।
আবার ধরি, \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে বলে \(y=0\)
\((1)\) হতে,
\(x^{2}+0^{2}-4x-6.0+4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4=0\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}=0\)
\(\Rightarrow x-2=0\)
\(\therefore x=2\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((2, 0)\) .

উদাহরণ \(24.\) \(y=2x \) যদি \(x^2+y^2=10x\) বৃত্তের কোন জ্যা-এর সমীকরণ হয়, তবে উক্ত জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(x^2+y^2-10x=0 ……(1)\)
\(y-2x=0 ……(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোন বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2-10x+k(y-2x)=0 ……(3)\) | \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^2+y^2-10x+ky-2kx=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-(10+2k)x+ky=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2(5+k)x+ky=0\)
এখানে,
\(2g=-2(5+k), 2f=k, c=0\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-(5+k), f=\frac{k}{2}, c=0\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (5+k, -\frac{k}{2})\)
শর্তমতে যা \((2)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore -\frac{k}{2}-2(5+k)=0\)
\(\Rightarrow -\frac{k}{2}-10-2k=0\)
\(\Rightarrow -\frac{k}{2}-2k=10\)
\(\Rightarrow \frac{k}{2}+2k=-10\)
\(\Rightarrow \frac{k+4k}{2}=-10\)
\(\Rightarrow \frac{5k}{2}=-10\)
\(\Rightarrow 5k=-20\)
\(\Rightarrow k=-\frac{20}{5}\)
\(\therefore k=-4\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-10x-4(y-2x)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-10x-4y+8x=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-4y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(25.\) \((1, -1)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-x+3y+1=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(26.\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(x^2+y^2=20 …….(1)\)
\(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দু \((2, \alpha)\) শর্তমতে যা \((1)\) নং বৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore 2^2+(\alpha)^2=20\)
\(\Rightarrow 4+(\alpha)^2=20\)
\(\Rightarrow (\alpha)^2=20-4\)
\(\Rightarrow (\alpha)^2=16\)
\(\therefore \alpha=\pm 4\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((2, \pm 4)\)
\((1)\) এর উপর \((2, \pm 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.2+y.(\pm 4)=20\)
\(\Rightarrow 2x\pm 4y=20\)
\(\Rightarrow 2(x\pm 2y)=20\)
\(\therefore x\pm 2y=10\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

উদাহরণ \(27.\) \(x^2+y^2=16\) ও \(x^2+y^2+6x-8y=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(x^2+y^2=4^2 ……(1)\)
\(x^2+y^2+6x-8y=0 ……(2)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \(C_1(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r_1=4\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=6, 2f=-8, c=0\)
\(\Rightarrow g=3, f=-4, c=0\)
\(\therefore (2)\) এর কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(-3, 4)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r_2=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(r_2=\sqrt{3^2+(-4)^2-0}\)
\(=\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
সরল সাধারণ স্পর্শকদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(P(x_1, y_1)\).
\(P\) বিন্দুতে \(C_1\) এবং \(C_2\) এর সংযোগ রেখা \(4:5\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত হয়।
\(\therefore P\left(\frac{4.(-3)-5.0}{4-5}, \frac{4.4-5.0}{4-5}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{-12-0}{-1}, \frac{16-0}{-1}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{-12}{-1}, \frac{16}{-1}\right)\)
\(\therefore P(12, -16)\)
এখন,
\(P(12, -16)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-4^2)\{12^2+(-16)^2-4^2\}\)\(=\{x.12+y.(-16)-4^2\}^2 \) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \( (x^2+y^2-r^2)(x^2_1+y^2_1-r^2)=(xx_1+yy_1-r^2)^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-16)\{144+256-16\}=(12x-16y-16)^2 \)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-16)(384)=16(3x-4y-4)^2 \)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-16).24=(3x-4y-4)^2 \)
\(\Rightarrow 24x^2+24y^2-384=9x^2+16y^2+16-24xy-24x+32y \)
\(\Rightarrow 24x^2+24y^2-384-9x^2-16y^2-16+24xy+24x-32y=0 \)
\(\therefore 15x^2+24xy+8y^2+24x-32y-400=0 \)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ।

উদাহরণ \(28.\) \(x^2+y^2-4x-2y+4=0\) ও \(x^2+y^2+4x+2y-4=0\) বৃত্ত দুইটির তীর্যক সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(x^2+y^2-4x-2y+4=0 ……(1)\)
\(x^2+y^2+4x+2y-4=0 ……(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-4, 2f=-2, c=4\)
\(\Rightarrow g=-2, f=-1, c=4\)
\(\therefore (1)\) এর কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(2, 1)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(r_2=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2-4}\)
\(=\sqrt{4+1-4}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=4, 2f=2, c=-4\)
\(\Rightarrow g=2, f=1, c=-4\)
\(\therefore (2)\) এর কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(-2, -1)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r_2=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(r_2=\sqrt{2^2+1^2-(-4)}\)
\(=\sqrt{4+1+4}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
তীর্যক সাধারণ স্পর্শকদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(P(x_1, y_1)\).
\(P\) বিন্দুতে \(C_1\) এবং \(C_2\) এর সংযোগ রেখা \(1:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
\(\therefore P\left(\frac{1.(-2)+3.2}{1+3}, \frac{1.(-1)+3.1}{1+3}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{-2+6}{4}, \frac{-1+3}{4}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{4}{4}, \frac{2}{4}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(1, \frac{1}{2}\right)\)
\(P\left(1, \frac{1}{2}\right)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-4x-2y+4)(1^2+(\frac{1}{2})^2-4.1-2.\frac{1}{2}+4)\)\(=\{x.1+y.\frac{1}{2}-2(x+1)-1(y+\frac{1}{2})+4\}^2 \) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x-2y+4)(1+\frac{1}{4}-4-1+4)=\{x+\frac{y}{2}-2x-2-y-\frac{1}{2}+4\}^2 \)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x-2y+4)\times \frac{1}{4}=\{\frac{-y}{2}-x+\frac{3}{2}\}^2 \)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x-2y+4)\times \frac{1}{4}=\frac{y^2}{4}+x^2+\frac{9}{4}+xy-3x-\frac{3y}{2} \)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-2y+4=y^2+4x^2+9+4xy-12x-6y \)
\(\Rightarrow y^2+4x^2+9+4xy-12x-6y=x^2+y^2-4x-2y+4 \)
\(\Rightarrow y^2+4x^2+9+4xy-12x-6y-x^2-y^2+4x+2y-4=0 \)
\(\Rightarrow 3x^2+4xy-8x-4y+5=0 \)
\(\Rightarrow 3x(x-1)+4y(x-1)-5(x-1)=0 \)
\(\Rightarrow (x-1)(3x+4y-5)=0 \)
\(\therefore x-1=0, 3x+4y-5=0 \)
নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ \( x-1=0\) এবং \(3x+4y-5=0 \)।

উদাহরণ \(29.\) \(x^2+y^2-3x+10y-15=0\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০, ২০০২; রাঃ ২০০৯]

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(x^2+y^2-3x+10y-15=0 ……(1)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-3, 2f=10, c=-15\)
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{2}, f=5, c=-15\)
\((1)\) নং বৃত্তের উপরস্থ \((4, -11)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((-\frac{3}{2}+4)y-(5-11)x+5.4-(-\frac{3}{2})(-11)=0\) | \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, \((g+x_1)y-(f+y_1)x+fx_1-gy_1=0\)
\(\Rightarrow \frac{-3+8}{2}y-(-6)x+20-\frac{33}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{5}{2}y+6x+\frac{40-33}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{5}{2}y+6x+\frac{7}{2}=0\)
\(\Rightarrow 5y+12x+7=0\) | উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 12x+5y+7=0\)
ইহাই নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ।

1 2 3 4 5 6 7