বৃত্ত-২ (Circle-Two)

অনুশীলনী \(4.B\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.1.(i)\) প্রমাণ কর যে, \(3x+4y-38=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x-2y=15\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((6, 5)\)

\(Q.1.(ii)\) \(x-5y+2=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-ax+2y+1=0\) বৃত্তের একটি ব্যাস হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=-14\)

\(Q.1.(iii)\) \(2x^2+2y^2-4x+12y-5=0\) বৃত্তের একটি ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর যা,
\((a)\) \(6x+8y=11\) রেখার উপর লম্ব।
\((b)\) \(6x+8y=11\) রেখার সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) 4x-3y-13=0; (b) 3x+4y+9=0\)।

\(Q.1.(iv)\) প্রমাণ কর যে, \(x-3y=5\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x+8y+15=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3x+y=5\)।

\(Q.1.(v)\) মূলবিন্দু হতে \(x^2+y^2-10x+20=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১; বঃ ২০১২; রাঃ,চঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x-2y=0, x+2y=0\)।

\(Q.1.(vi)\) \((1, -3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(2x-y-4=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(5x^2+5y^2-10x+30y+49=0\)।

\(Q.1.(vii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 3)\) এবং যা \(5x-12y+3=0\) সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+24=0\)।

\(Q.1.(viii)\) \(2x+3y-5=0\)রেখাটি \((3, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষের যে অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\)।

\(Q.1.(ix)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নীর্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 3)\) এবং একটি স্পর্শক \(5x-12y+3=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+24=0\)।

\(Q.1.(x)\) \(x^2+y^2-3x+10y=15\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(5x-12y=152\)।

\(Q.1.(xi)\) \(p, q\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত মূলবিন্দুগামী। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে মূলবিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক \(px+qy=0\)।
[যঃ ২০০৭; দিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2px-2qy=0 \)।

\(Q.1.(xii)\) \(px+qy=1\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=a^2\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। দেখাও যে, \((p, q)\) বিন্দুটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত।
[ ঢাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৮; যঃ ২০১২ ] ।

\(Q.1.(xiii)\) \(x^2+y^2=4\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x-2y+7=0\) রেখার উপর লম্ব হবে।
উত্তরঃ \(2x+y\pm 2\sqrt{5}=0 \)।

\(Q.1.(xiv)\) \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তে অঙ্কিত যে স্পর্শক \(3x-4y+5=0\) রেখার উপর লম্ব তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১২; সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(4x+3y-25=0, 4x+3y+5=0\)।

\(Q.1.(xv)\) দেখাও যে, \(3x+4y-9=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}-2x+2y=2\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। এমন দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা উক্ত স্পর্শকটির উপর লম্ব।
[দিঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(4x-3y+3=0, 4x-3y-17=0 \)।

\(Q.1.(xvi)\) \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তের স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(3x-4y-1=0\) রেখার সমান্তরাল।
উত্তরঃ \(3x-4y-10=0; 3x-4y+20=0\)।

\(Q.1.(xvii)\) \(x^{2}+y^{2}-8x-10y-8=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক \(5x-12y=9\) রেখার সমান্তরাল । স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১২, সিঃ২০১১ ]
উত্তরঃ \(5x-12y-51=0; 5x-12y+131=0 \)।

\(Q.1.(xviii)\) \(x^{2}+y^{2}-10x-10y=0\) বৃত্তের উপর দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(y=x\) রেখার সমান্তরাল হবে।
উত্তরঃ \(x-y\pm 10=0 \)।

\(Q.1.(xix)\) \(x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0\) বৃত্তের যে স্পর্শক \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল; ঐ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+5=0, x+1=0\)।

\(Q.1.(xx)\) \(x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0\) বৃত্তের যে স্পর্শক \(X\) অক্ষের সমান্তরাল; তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+2=0, y+6=0\)।

\(Q.1.(xxi)\) দেখাও যে, \(y-3x=10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তটিকে সমাপতিত বিন্দুতে ছেদ করে। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-3, 1)\)

\(Q.1.(xxii)\) দেখাও যে, \(y-3x=10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তটিকে স্পর্শ করে।

\(Q.1.(xxiii)\) দেখাও যে, \(4x+3y-3=0\) ও \(12x+5y-13=0\) রেখাটি দুইটি \((-2, -3)\) কেন্দ্র ও \(4\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক।

\(Q.1.(xxiv)\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা
\((a)\) অক্ষ দুইটির সাথে \(a^2\) ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ গঠন করে।
\((b)\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১; রাঃ ২০১০; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০০৫; কুঃ ২০০২; মাঃ ২০১০, ২০০৮]
উত্তরঃ \(x+2y=10, x-2y=10\)

\(Q.1.(xxv)\) দেখাও যে, \(X\) অক্ষ, \(x^2+y^2-4x-5y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9y+40x=0\)।

\(Q.1.(xxvi)\) \((4, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্ত \(3x+4y-1=0\) ও \(x-3=0\) রেখা দুইটিকে স্পর্শ করে। \(r\) বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হলে দেখাও যে, \(r^2-20r+40=0\)।

\(Q.1.(xxvii)\) মূলবিন্দু হতে \(x^2+y^2-6x-4y+9=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১; বঃ ২০১২; রাঃ,চঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(\tan^{-1}(\frac{12}{5})\)।

\(Q.1.(xxviii)\) \((x+5)^2+y^2=25\) বৃত্তের উপর \((-2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x+4y-10=0, 4x-3y+20=0\)।

\(Q.1.(xxix)\) যে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং \(2x+\sqrt{5}y-1=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9x^2+9y^2=1\)।

অনুশীলনী \(4.B\) / \(Q.1\) প্রশ্নসমুহের সমাধান

\(Q.1.(i)\)
প্রমাণ কর যে, \(3x+4y-38=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x-2y=15\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((6, 5)\) .

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(3x+4y-38=0 …..(1)\)
এবং
\(x^2+y^2-6x-2y=15\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-6x-2y-15=0 ……(2)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-2, c=-15\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-1, c=-15\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(3, 1)\)
ব্যসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2-(-15)}\)
\(=\sqrt{9+1+15}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\((2)\) এর কেন্দ্র হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|3.3+4.1-38|}{\sqrt{3^2+4^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|9+4-38|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|13-38|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|-25|}{5}\)
\(=\frac{25}{5}\)
\(=5=r=\) ব্যাসার্ধ।
\(\therefore (1)\) নং সরলরেখা \((ii)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x-3y+k=0 …..(3)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা
\((3)\) নং সরলরেখা \(C(3, 1)\) বিন্দুগামী হবে।
\(\therefore 4.3-3.1+k=0\)
\(\Rightarrow 12-3+k=0\)
\(\Rightarrow 9+k=0\)
\(\therefore k=-9\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y-9=0 …..(4)\)
এখন,
\((1)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু হবে স্পর্শবিন্দু।
\((1)\) ও \((4)\) বজ্রগুণ করে।
\(\frac{x}{-36-114}=\frac{y}{-152+27}=\frac{1}{-9-16}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-150}=\frac{y}{-125}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-150}=\frac{1}{-25}, \frac{y}{-125}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-150}{-25}, y=\frac{-125}{-25}\)
\(\therefore x=6, y=5\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((6, 5)\) ।

\(Q.1.(ii)\)
\(x-5y+2=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-ax+2y+1=0\) বৃত্তের একটি ব্যাস হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=-14\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x-5y+2=0 …..(1)\)
এবং
\(x^2+y^2-ax+2y+1=0 ……(2)\)
এখানে,
\(2g=-a, 2f=2, c=1\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{a}{2}, f=1, c=1\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{a}{2}, -1)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং সরলরেখা কেন্দ্র \(C(\frac{a}{2}, -1)\) দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{a}{2}-5.(-1)+2=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{2}+5+2=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{2}+7=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{2}=-7\)
\(\therefore a=-14\)

\(Q.1.(iii)\)
\(2x^2+2y^2-4x+12y-5=0\) বৃত্তের একটি ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর যা,
\((a)\) \(6x+8y=11\) রেখার উপর লম্ব।
\((b)\) \(6x+8y=11\) রেখার সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) 4x-3y-13=0; (b) 3x+4y+9=0\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(2x^2+2y^2-4x+12y-5=0\)
\(\Rightarrow 2\left(x^2+y^2-2x+6y-\frac{5}{2}\right)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+6y-\frac{5}{2}=\frac{0}{2}\)
\(\therefore x^2+y^2-2x+6y-\frac{5}{2}=0 …..(1)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=6, c=-\frac{5}{2}\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=3, c=-\frac{5}{2}\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, -3)\)
\((a)\) \(6x+8y=11\)
\(\Rightarrow 6x+8y-11=0 ……(2)\)
\((2)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(8x-6y+k=0 …..(3)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((3)\) নং সরলরেখা কেন্দ্র \(C(1, -3)\) দিয়ে যায়।
\(\therefore 8.1-6.(-3)+k=0\)
\(\Rightarrow 8+18+k=0\)
\(\Rightarrow 26+k=0\)
\(\Rightarrow k=-26\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(8x-6y-26=0\)
\(\Rightarrow 2(4x-3y-13)=0\)
\(\therefore 4x-3y-13=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।
\((b)\) \(6x+8y=11\) locus4
\(\Rightarrow 6x+8y-11=0 ……(4)\)
\((4)\) -এর সমান্তরাল যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(6x+8y+k=0 …..(5)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((5)\) নং সরলরেখা কেন্দ্র \(C(1, -3)\) দিয়ে যায়।
\(\therefore 6.1+8.(-3)+k=0\)
\(\Rightarrow 6-24+k=0\)
\(\Rightarrow -18+k=0\)
\(\Rightarrow k=18\)
\(k\) এর মাণ \((5)\) এ বসিয়ে,
\(6x+8y+18=0\)
\(\Rightarrow 2(3x+4y+9)=0\)
\(\therefore 3x+4y+9=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।

\(Q.1.(iv)\)
প্রমাণ কর যে, \(x-3y=5\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x+8y+15=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3x+y=5\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x-3y-5=0 …..(1)\)
\(x^2+y^2-6x+8y+15=0 …….(2)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=8, c=15\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=4, c=15\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(3, -4)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+4^2-15}\)
\(=\sqrt{9+16-15}\)
\(=\sqrt{10}\)
কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|3-3.(-4)-5|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|3+12-5|}{\sqrt{1+9}}\)
\(=\frac{|10|}{\sqrt{10}}\)
\(=\frac{\sqrt{10}\times \sqrt{10}}{\sqrt{10}}\)
\(=\sqrt{10}=r=\) ব্যাসার্ধ।
\(\therefore (1)\) সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+y+k=0 …..(3)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা কেন্দ্র \(C(3, -4)\) দিয়ে যায়।
\(\therefore 3.3+(-4)+k=0\)
\(\Rightarrow 9-4+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x+y-5=0\)
\(\therefore 3x+y=5\) ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।

\(Q.1.(v)\)
মূলবিন্দু হতে \(x^2+y^2-10x+20=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১; বঃ ২০১২; রাঃ,চঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x-2y=0, x+2y=0\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x^2+y^2-10x+20=0 …..(1)\)
এখানে,
\(2g=-10, 2f=0, c=20\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-5, f=0, c=20\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-10x+20)(0^2+0^2-10.0+20)\)\(=\{x.0+y.0+(-5)(x+0)+0(y+0)+20\}^2\) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-10x+20).20\)\(=\{-5x+20\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-10x+20).20=25(x-4)^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-10x+20).4=5(x-4)^2\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-40x+80=5(x^2-8x+16)\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-40x+80=5x^2-40x+80)\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-40x+80-5x^2+40x-80=0)\)
\(\Rightarrow 4y^2-x^2=0)\)
\(\Rightarrow x^2-4y^2=0)\) | \(-1\) দ্বারা গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2-(2y)^2=0)\)
\(\Rightarrow (x+2y)(x-2y)=0)\)
\(\therefore x+2y=0, x-2y=0)\) নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ।

\(Q.1.(vi)\)
\((1, -3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(2x-y-4=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(5x^2+5y^2-10x+30y+49=0\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(2x-y-4=0 ….(1)\)
দেওয়া আছে কেন্দ্র \((1, -3)\) ।
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-1)^2+(y+3)^2=r^2 …..(2)\) ।
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(r=\frac{|2.1-(-3)-4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|2+3-4|}{\sqrt{4+1}}\)
\(=\frac{|5-4|}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{|1|}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(r\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y+3)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+6y+9=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+6y+10=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-10x+30y+50=1\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-10x+30y+50-1=0\)
\(\therefore 5x^2+5y^2-10x+30y+49=0\) ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(vii)\)
একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 3)\) এবং যা \(5x-12y+3=0\) সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+24=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(viii)\)
\(2x+3y-5=0\)রেখাটি \((3, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষের যে অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(2x+3y-5=0 ….(1)\)
দেওয়া আছে কেন্দ্র \((3, 4)\) .
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-3)^2+(y-4)^2=r^2 …..(2)\) ।
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(r=\frac{|2.3+3.4-5|}{\sqrt{2^2+3^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|6+12-5|}{\sqrt{4+9}}\)
\(=\frac{|13|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{13}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{\sqrt{13}}\)
\(=\sqrt{13}\)
\(r\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-3)^2+(y-4)^2=(\sqrt{13})^2\)
\(\Rightarrow x^2-6x+9+y^2-8y+16=13\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-6x-8y+12=0\)
\(\therefore x^2+y^2-6x-8y+12=0\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-8, c=12\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-4, c=12\)
বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-4)^2-12}\)
\(=2\sqrt{16-12}\)
\(=2\sqrt{4}\)
\(=2\times 2\)
\(=4\)

\(Q.1.(ix)\)
একটি বৃত্তের সমীকরণ নীর্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 3)\) এবং একটি স্পর্শক \(5x-12y+3=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+24=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(x)\)
\(x^2+y^2-3x+10y=15\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(5x-12y=152\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x^2+y^2-3x+10y=15\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x+10y-15=0 …..(1)\)
এখানে,
\(2g=-3, 2f=10, c=-15\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{2}, f=5, c=-15\)
\((1)\) নং বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.4+y.(-11)+\left(-\frac{3}{2}\right)(x+4)+5(y-11)-15=0\) | \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow 4x-11y+\left(-\frac{3}{2}\right)(x+4)+5y-55-15=0\)
\(\Rightarrow 4x-6y+\left(-\frac{3}{2}\right)(x+4)-70=0\)
\(\Rightarrow 8x-12y-3(x+4)-140=0\) | \(2\) দ্বারা গুণ করে।
\(\Rightarrow 8x-12y-3x-12-140=0\)
\(\Rightarrow 5x-12y-152=0\)
\(\therefore 5x-12y=152\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

\(Q.1.(xi)\)
\(p, q\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত মূলবিন্দুগামী। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে মূলবিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক \(px+qy=0\)।
[যঃ ২০০৭; দিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2px-2qy=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
দেওয়া আছে কেন্দ্র \(p, q\).
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-p)^2+(y-q)^2=r^2 …..(2)\).
\((2)\) নং বৃত্ত মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) দিয়ে যায়।
\(\therefore (0-p)^2+(0-q)^2=r^2\)
\(\Rightarrow p^2+q^2=r^2\)
\(\therefore r^2=p^2+q^2\)
\(r^2\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-p)^2+(y-q)^2=p^2+q^2\)
\(\Rightarrow x^2-2px+p^2+y^2-2qy+q^2-p^2-q^2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2px-2qy=0\) ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
এখানে,
\(2g=-2p, 2f=-2q, c=0\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-p, f=-q, c=0\)
নির্ণেয় বৃত্তের উপর মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.0+y.0+(-p)(x+0)+(-q)(y+0)+0=0\) | \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow -px-qy=0\)
\(\therefore px+qy=0\)
[Showed]

\(Q.1.(xii)\)
\(px+qy=1\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=a^2\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। দেখাও যে, \((p, q)\) বিন্দুটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত।
[ ঢাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৮; যঃ ২০১২ ] ।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(px+qy-1=0 …..(1)\)
\(x^{2}+y^{2}=a^2 …..(2)\)
\((2)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=a\) ।
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\therefore \frac{|p.0+q.0-1|}{\sqrt{p^2+q^2}}=a\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|-1|}{\sqrt{p^2+q^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{p^2+q^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{1}{p^2+q^2}=a^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2}=p^2+q^2\)
\(\therefore p^2+q^2=\frac{1}{a^2}\)
এখানে ইহা স্পষ্ট যে, \((p, q)\) বিন্দুটি \(x^2+y^2=\frac{1}{a^2}\) বৃত্তের উপর অবস্থিত।
[ দেখানো হলো।]

\(Q.1.(xiii)\)
\(x^2+y^2=4\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x-2y+7=0\) রেখার উপর লম্ব হবে।
উত্তরঃ \(2x+y\pm 2\sqrt{5}=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x-2y+7=0 …….(1)\)
এবং
\(x^2+y^2=4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=2^2 ……..(2)\)
\((2)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=2\) ।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 …….(3)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((3)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\therefore \frac{|2.0+0+k|}{\sqrt{2^2+1^2}}=2\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k|}{\sqrt{4+1}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|k|}{\sqrt{5}}=2\)
\(\Rightarrow |k|=2\sqrt{5}\)
\(\therefore k=\pm 2\sqrt{5}\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y\pm 2\sqrt{5}=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

\(Q.1.(xiv)\)
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তে অঙ্কিত যে স্পর্শক \(3x-4y+5=0\) রেখার উপর লম্ব তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১২; সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(4x+3y-25=0, 4x+3y+5=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xv)\)
দেখাও যে, \(3x+4y-9=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}-2x+2y=2\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। এমন দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা উক্ত স্পর্শকটির উপর লম্ব।
[দিঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(4x-3y+3=0, 4x-3y-17=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(3x+4y-9=0 …..(1)\)
\(x^{2}+y^{2}-2x+2y=2\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x+2y-2=0 …..(2)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=2, c=-2\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=1, c=-2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, -1)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)।
\(=\sqrt{(-1)^2+1^2-(-2)}\)।
\(=\sqrt{1+1+2}\)।
\(=\sqrt{4}\)।
\(=2\)।
কেন্দ্র \(C(1, -1)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|3.1+4.(-1)-9|}{\sqrt{3^2+4^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|3-4-9|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|-10|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{10}{5}\)
\(=2=r=\) ব্যাসার্ধ ।
\(\therefore (1)\) নং সরলরেখা \((2)\) বৃত্তের একটি স্পর্শক।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x-3y+k=0 …..(3)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((3)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\therefore \frac{|4.1-3.(-1)+k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=2\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|4+3+k|}{\sqrt{16+9}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|7+k|}{\sqrt{25}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|7+k|}{5}=2\)
\(\Rightarrow |7+k|=10\)
\(\Rightarrow 7+k=\pm 10\)
\(\Rightarrow k=\pm 10-7\)
\(\Rightarrow k=10-7\) | ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore k=3\)
আবার,
\(\Rightarrow k=-10-7\) | ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore k=-17\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(k=3\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(4x-3y+3=0 \)
যখন, \(k=-17\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(4x-3y-17=0 \)

\(Q.1.(xvi)\)
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তের স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(3x-4y-1=0\) রেখার সমান্তরাল।
উত্তরঃ \(3x-4y-10=0; 3x-4y+20=0\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(3x-4y-1=0 …..(1)\)
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0 …..(2)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=-4, c=-4\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=-2, c=-4\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, 2)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)।
\(=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2-(-4)}\)।
\(=\sqrt{1+4+4}\)।
\(=\sqrt{9}\)।
\(=3\)।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 …..(3)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((3)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\therefore \frac{|3.1-4.2+k|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=3\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3-8+k|}{\sqrt{9+16}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{|-5+k|}{\sqrt{25}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{|k-5|}{5}=3\)
\(\Rightarrow |k-5|=15\)
\(\Rightarrow k-5=\pm 15\)
\(\Rightarrow k=\pm 15+5\)
\(\Rightarrow k=15+5\) | ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore k=20\)
আবার,
\(\Rightarrow k=-15+5\) | ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore k=-10\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(k=20\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(3x-4y+20=0 \)
যখন, \(k=-10\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(3x-4y-10=0 \)

\(Q.1.(xvii)\)
\(x^{2}+y^{2}-8x-10y-8=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক \(5x-12y=9\) রেখার সমান্তরাল । স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১২, সিঃ২০১১ ]
উত্তরঃ \(5x-12y-51=0; 5x-12y+131=0 \)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xviii)\)
\(x^{2}+y^{2}-10x-10y=0\) বৃত্তের উপর দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(y=x\) রেখার সমান্তরাল হবে।
উত্তরঃ \(x-y\pm 10=0 \)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xix)\)
\(x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0\) বৃত্তের যে স্পর্শক \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল; ঐ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+5=0, x+1=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xx)\)
\(x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0\) বৃত্তের যে স্পর্শক \(X\) অক্ষের সমান্তরাল; তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+2=0, y+6=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxi)\)
দেখাও যে, \(y-3x=10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তটিকে সমাপতিত বিন্দুতে ছেদ করে। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-3, 1)\)

সমাধানঃ

| সমাপতিত বিন্দুতে ছেদ করে অর্থাৎ স্পর্শ করে। স্পর্শ বিন্দুটি নির্ণয় করতে হবে।

\(Q.1.(xxii)\)
দেখাও যে, \(y-3x=10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তটিকে স্পর্শ করে।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxiii)\)
দেখাও যে, \(4x+3y-3=0\) ও \(12x+5y-13=0\) রেখাটি দুইটি \((-2, -3)\) কেন্দ্র ও \(4\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক।

সমাধানঃ

নিজে কর | Note কেন্দ্র হতে সরলরেখাগুলির লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান দেখাতে হবে। অর্থাৎ (Q.1.(i)) এর প্রথম অংশের অনুরূপ।

\(Q.1.(xxiv)\)
\(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা
\((a)\) অক্ষ দুইটির সাথে \(a^2\) ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ গঠন করে।
\((b)\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১; রাঃ ২০১০; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০০৫; কুঃ ২০০২; মাঃ ২০১০, ২০০৮]
উত্তরঃ \((a) x+y=\pm a\sqrt{2}\); \((b)x+2y=10, x-2y=10\).

সমাধানঃ

locus4
ধরি,
\(x^2+y^2=a^2 ……(1)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=a\)
\((a)\) অক্ষ দুইটির সাথে \(a^2\) ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ গঠন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x}{p}+\frac{y}{p}=1\)
\(\Rightarrow x+y=p\) | উভয় পার্শে \(p\) গুণ করে।
\(\therefore x+y-p=0 …….(2)\)
\((2\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\frac{|0+0-p|}{\sqrt{1^2+1^2}}=a\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|-p|}{\sqrt{1+1}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{|p|}{\sqrt{2}}=a\)
\(\Rightarrow |p|=a\sqrt{2}\)
\(\therefore p=\pm a\sqrt{2}\)
\(p\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(x+y\pm a\sqrt{2}=0\)
\(\therefore x+y=\pm a\sqrt{2}\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ ।
\((b)\) \(x^2+y^2=20\) locus4
\(\Rightarrow x^2+y^2=(2\sqrt{5})^2 ….(3)\)
\((3)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=2\sqrt{5}\)
\((3)\) নং বৃত্তের পরিধির উপর কোন বিন্দুর ভুজ \(2\) অর্থাৎ \(x=2\)।
\(\therefore 2^2+y^2=(2\sqrt{5})^2\) | \((3)\) নং বৃত্ত হতে।
\(\Rightarrow 4+y^2=20\)
\(\Rightarrow y^2=20-4\)
\(\Rightarrow y^2=16\)
\(\therefore y=\pm 4\)
\(\therefore 2 \) ভুজবিশিষ্ট বিন্দু \((2, \pm 4)\).
\((3)\) এর উপর \((2, \pm 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.2+y.\pm 4=(2\sqrt{5})^2\) | \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1=a^2\)
\(\Rightarrow 2x\pm 4y=20\)
\(\therefore x\pm 2y=10\) | \(2\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\therefore \) স্পর্শকের সমীকরণ, \(x+2y=10, x-2y=10\).

\(Q.1.(xxv)\)
দেখাও যে, \(X\) অক্ষ, \(x^2+y^2-4x-5y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9y+40x=0\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x^2+y^2-4x-5y+4=0 ……(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-5, c=4\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-\frac{5}{2}, c=4\)
এখন,
\(g^2=(-2)^2=4=c\) | \(\because X\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত \(g^2=c\)
\(\therefore (1)\) নং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু হতে \((1)\) এর উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-4x-5y+4)(0^2+0^2-4.0-5.0+4)\)\(=\{x.0+y.0+(-2)(x+0)+(-\frac{5}{2})(y+0)+4\}^2\) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x-5y+4).4=\{-2x-\frac{5y}{2}+4\}^2\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-16x-20y+16=\{2x+\frac{5y}{2}-4\}^2\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-16x-20y+16=4x^2+\frac{25y^2}{4}+16+2.2x.\frac{5y}{2}-2.\frac{5y}{2}.4-2.4.2x\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-16x-20y+16=4x^2+\frac{25y^2}{4}+16+10xy-20y-16x\)
\(\Rightarrow 4y^2=\frac{25y^2}{4}+10xy\)
\(\Rightarrow 16y^2=25y^2+40xy\) | উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 16y^2=25y^2+40xy\)
\(\Rightarrow 25y^2+40xy=16y^2\)
\(\Rightarrow 25y^2+40xy-16y^2=0\)
\(\Rightarrow 9y^2+40xy=0\)
\(\Rightarrow y(9y+40x)=0\)
\(\therefore y=0, 9y+40x=0\)
\(\therefore \) মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ, \(9y+40x=0\)

\(Q.1.(xxvi)\)
\((4, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্ত \(3x+4y-1=0\) ও \(x-3=0\) রেখা দুইটিকে স্পর্শ করে। \(r\) বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হলে দেখাও যে, \(r^2-20r+40=0\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
বৃত্তটির কেন্দ্র \(C(h, k)\)
দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2 ……(1)\)
\((1)\) বৃত্তটি \((4, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (4-h)^2+(1-k)^2=r^2 ……(2)\)
আবার,
\(3x+4y-1=0 …….(3)\)
\(x-3=0 ……(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখটি \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি , কেন্দ্র হতে \((4)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\frac{|h-3|}{\sqrt{1^2+0^2}}=r\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|h-3|}{\sqrt{1}}=r\)
\(\Rightarrow |h-3|=r\)
\(\Rightarrow h-3=r\) | ধনাত্মক মাণ ব্যবহার করে।
\(\therefore h=r+3\)
আবার,
\((3)\) নং সরলরেখটি \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি , কেন্দ্র হতে \((3)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\frac{|3h+4k-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=r\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3h+4k-1|}{\sqrt{9+16}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{|3h+4k-1|}{\sqrt{25}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{|3h+4k-1|}{5}=r\)
\(\Rightarrow |3h+4k-1|=5r\)
\(\Rightarrow 3h+4k-1=5r\) | ধনাত্মক মাণ ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3(r+3)+4k-1=5r\) | \(h=r+3\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow 3r+9+4k-1=5r\)
\(\Rightarrow 3r+4k+8=5r\)
\(\Rightarrow 4k=5r-3r-8\)
\(\Rightarrow 4k=2r-8\)
\(\Rightarrow k=\frac{2(r-4)}{4}\)
\(\therefore k=\frac{r-4}{2}\)
\(\therefore h\) ও \(k\) এর মাণ \( (2)\) এ বসিয়ে,
\((4-r-3)^2+\left(1-\frac{r-4}{2}\right)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (1-r)^2+\left(\frac{2-r+4}{2}\right)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (1-r)^2+\frac{(6-r)^2}{4}=r^2\)
\(\Rightarrow 4(1-2r+r^2)+(6-r)^2=4r^2\) | উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4-8r+4r^2+36-12r+r^2=4r^2\)
\(\therefore r^2-20r+40=0\)
[ দেখানো হলো। ]

\(Q.1.(xxvii)\)
মূলবিন্দু হতে \(x^2+y^2-6x-4y+9=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১; বঃ ২০১২; রাঃ,চঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(\tan^{-1}(\frac{12}{5})\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x^2+y^2-6x-4y+9=0 …….(1)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-4, c=9\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-2, c=9\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু হতে \((1)\) এর উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-6x-4y+9)(0^2+0^2-6.0-4.0+9)\)\(=\{x.0+y.0+(-3)(x+0)+(-2)(y+0)+9\}^2\) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-6x-4y+9).9=\{-3x-2y+9\}^2\)
\(\Rightarrow 9x^2+9y^2-54x-36y+81=(3x+2y-9)^2\)
\(\Rightarrow 9x^2+9y^2-54x-36y+81=9x^2+4y^2+81+12xy-36y-54x\)
\(\Rightarrow 9y^2=4y^2+12xy\)
\(\Rightarrow 9y^2-4y^2-12xy=0\)
\(\Rightarrow 5y^2-12xy=0\)
\(\Rightarrow y(5y-12x)=0\)
\(\therefore y=0, 5y-12x=0\)
\(\therefore \) স্পর্শক দুইটির সমীকরণ,
\(y=0 ……(2)\)
\(5y-12x=0 …….(3)\)
এখন, \( (2)\) এর ঢাল \(m_1=-\frac{0}{1}=0\) | ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\( (3)\) এর ঢাল \(m_2=-\frac{-12}{5}=\frac{12}{5}\)
\((2)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী কোন,
\(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{|0-\frac{12}{5}|}{1+0.\frac{12}{5}}\right)\) | মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{|m_1-m_2|}{1+m_1m_2}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{\frac{12}{5}}{1}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{12}{5}\right)\)
ইহাই নির্ণেয় কোণ।

\(Q.1.(xxviii)\)
\((x+5)^2+y^2=25\) বৃত্তের উপর \((-2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x+4y-10=0, 4x-3y+20=0\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\((x+5)^2+y^2=25\)
\(\Rightarrow x^2+10x+25+y^2-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+10x=0 …….(1)\)
এখানে,
\(2g=10, 2f=0, c=0\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=5, f=0, c=0\)
\((-2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.(-2)+y.4+5(x-2)=0\) | \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow -2x+4y+5x-10=0\)
\(\Rightarrow 3x+4y-10=0\)
আবার,
\((-2, 4)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((5-2)y-(0+4)x+0.(-2)-5.4=0\) | \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, \((g+x_1)y-(f+y_1)x+fx_1-gy_1=0\)
\(\Rightarrow 3y-4x-20=0\)
\(\therefore 4x-3y+20=0\) | উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।

\(Q.1.(xxix)\)
যে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং \(2x+\sqrt{5}y-1=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9x^2+9y^2=1\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(2x+\sqrt{5}y-1=0 ……(1)\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ্য \(r\)
দেওয়া আছে, কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
বৃত্তের সমীকরণ, \(x^2+y^2=r^2 ……..(2)\)
\((1\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\frac{|2.0+\sqrt{5}.0-1|}{\sqrt{2^2+(\sqrt{5})^2}}=r\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|-1|}{\sqrt{4+5}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{9}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=r\)
\(\therefore r=\frac{1}{3}\)
\(r\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2=(\frac{1}{3})^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{1}{9}\)
\(\therefore 9x^2+9y^2=1\) | উভয় পার্শে \(9\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

1 2 3 4 5 6 7