বৃত্ত-২ (Circle-Two)

অনুশীলনী \(4.B\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.2.(i)\) একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের একটি \((2, -4)\) এবং অপরটি মূলবিন্দু; বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। এ বৃত্তে যে স্পর্শকদ্বয় প্রদত্ত ব্যাসের সমান্তরাল তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x+4y=0; 2x+y\pm 5=0\)।

\(Q.2.(ii)\) \((-4, 3)\) এবং \((8, -2)\) বিন্দু দুইটি কোন বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে ঐ বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দু মূলবিন্দুতে অবস্থিত। উত্তরঃ \(4x+y=0 \)।

\(Q.2.(iii)\) \((2, -5)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি মূ্লবিন্দুগামী। ঐ বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমণ কর যে, মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ \(2x-5y=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+10y=0 \); \(x^{2}+y^{2}+2x=0 \)।

\(Q.2.(iv)\) \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট যে বৃত্তটি \(2x+y=9\) রেখাকে স্পর্শ করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমাণ কর যে প্রদত্ত রেখাটি \(4(x^2+y^2)-4x-24y+17=0\) বৃত্তেরও একটি স্পর্শক।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0 \)।

\(Q.2.(v)\) \(x^2+y^2=81\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((-2, 3)\) ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১১; চঃ ২০১২; যঃ, দিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x-3y+13=0 \)।

\(Q.2.(vi)\) \(x^{2}+y^{2}=16\)বৃত্তের জ্যা \((-2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x-3y+13=0\)।

\(Q.2.(vii)\) \(y=2x\) যদি \(x^2+y^2-10x=0\) বৃত্তের কোন জ্যা-এর সমীকরণ হয়, তবে উক্ত জ্যা কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৮; যঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0 \)।

\(Q.2.(viii)\) \(3x-4y=k\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করলে \(\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 32, -8 \)।

\(Q.2.(ix)\) \(x^2+y^2-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মাণ ও স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
[ঢাঃ, যঃ ২০১১ ; রাঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(c=4, (2, 0) \)।

\(Q.2.(x)\) \(3x+cy=1\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
[বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(c=2, -\frac{1}{6} \)।

\(Q.2.(xi)\) দেখাও যে, \(lx+my=1\) রেখাটি \(x^2+y^2-2ax=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(a^2m^2+2al=1 \) হয়।
[চঃ ২০১০; কুঃ, রাঃ ২০১৩ ]

\(Q.2.(xii)\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০১০; দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \( x+2y=10, x-2y=10 \)।

\(Q.2.(xiii)\) \(x^2+y^2=13\) বৃত্তের যে বিন্দুতে কটি \(2\), উক্ত বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০০৮]
উত্তরঃ \( 2y\pm 3x=13 \)।

\(Q.2.(xiv)\) \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) বৃত্তের পরিধিস্থ \((6, -6)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-3y-42=0, 3x+4y+6=0 \)।

\(Q.2.(xv)\) মূলবিন্দু হতে \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(2\), বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৬, ২০১০ ;চঃ, যঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0 \)।

\(Q.2.(xvi)\) \((1, -2)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2-4x=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+2=0, 4x+3y+2=0; 1 \)।

\(Q.2.(xvii)\) দেখাও যে, \(12x+5y-4=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x-8y+9=0\)বৃত্তের একটি স্পর্শক; এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-12y+33=0 \)।

\(Q.2.(xviii)\) মূলবিন্দুগামী একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি ব্যাস \(2y=3x\) এবং একটি স্পর্শক \(2x+3y+13=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+2x+3y=0 \)।

\(Q.2.(xix)\) \(2x+3y-5=0\) রেখাটি \((3, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষ থেকে যে পরিমাণ অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৪; কুঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( 4 \)।

\(Q.2.(xx)\) \((3, -1)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী বৃত্ত \(X\)অক্ষকে \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে । বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। মূলবিন্দু দিয়ে গমনকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ, কুঃ ২০১২;সিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4x+2y+4=0; 4x+3y=0 \)।

\(Q.2.(xxi)\) \(x^2+y^2=45\) বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক \(x^2+y^2-4x+2y-35=0\) বৃত্তকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাও যে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক পরস্পর লম্ব ।

অনুশীলনী \(4.B\) / \(Q.2\)প্রশ্নসমুহের সমাধান

\(Q.2.(i)\)
একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের একটি \((2, -4)\) এবং অপরটি মূলবিন্দু; বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। এ বৃত্তে যে স্পর্শকদ্বয় প্রদত্ত ব্যাসের সমান্তরাল তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x+4y=0; 2x+y\pm 5=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \(A(2, -4)\) \(O(0, 0)\) ।
\(AO\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-2)(x-0)+(y+4)(y-0)=0\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow (x-2).x+(y+4).y=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+y^2+4y=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x+4y=0 ……(1)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
এখানে,
\(2g=-2, 2f=4, c=0\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=2, c=0\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(1, -2)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{(-1)^2+2^2-0}\)।
\(=\sqrt{1+4}\)।
\(=\sqrt{5}\)।
আবার,
\(AO\) এর সমীকরণ, \(\frac{x-2}{2-0}=\frac{y+4}{-4-0}\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{2}=\frac{y+4}{-4}\)
\(\Rightarrow 2(x-2)=-(y+4)\) | উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 2x-4=-y-4\)
\(\Rightarrow 2x+y-4+4=0\)
\(\therefore 2x+y=0 ……(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ……(3)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((3)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{|2.1+(-2)+k|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\therefore \frac{|2-2+k|}{\sqrt{4+1}}=\sqrt{5}\)
\(\therefore \frac{|k|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)
\(\therefore |k|=\sqrt{5}\times \sqrt{5}\)
\(\therefore |k|=5\)
\(\therefore k=\pm 5\)
\(k\) এর মাণ \( (3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y\pm 5=0\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ।

\(Q.2.(ii)\)
\((-4, 3)\) এবং \((8, -2)\) বিন্দু দুইটি কোন বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে ঐ বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দু মূলবিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(4x+y=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(A(-4, 3)\) এবং \(B(8, -2)\)
\(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x+4)(x-8)+(y-3)(y+2)=0\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow x^2+4x-8x-32+y^2-3y+2y-6=0\)
\(\therefore x^2+y^2-4x-y-38=0 ……(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-1, c=-38\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-\frac{1}{2}, c=-38\)
\((1)\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ, যার মধ্যবিন্দু মূলবিন্দুতে তথা \(O(0, 0)\) অবস্থিত.
\(x.0+y.0+(-2)(x+0)-\frac{1}{2}(y+0)-38\)=\(0^2+0^2+4.0-0-38\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\)\(=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c\)
\(\Rightarrow -2x-\frac{y}{2}-38=-38\)
\(\Rightarrow -2x-\frac{y}{2}=0\)
\(\therefore 4x+y=0\) | উভয় পার্শে \(-2\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।

\(Q.2.(iii)\)
\((2, -5)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি মূ্লবিন্দুগামী। ঐ বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমণ কর যে, মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ \(2x-5y=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+10y=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\)।
দেওয়া আছে, কেন্দ্র \((2, -5)\) ।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-2)^2+(y+5)^2=r^2 …….(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত মূ্লবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(\therefore (0-2)^2+(0+5)^2=r^2\)
\(\Rightarrow 4+25=r^2\)
\(\Rightarrow 29=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=29\)
\(r^2\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x-2)^2+(y+5)^2=29 \)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2+10y+25-29=0 \)
\(\therefore x^2+y^2-4x+10y=0 ……(2)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
এখানে,
\(2g=-4, 2f=10, c=0\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=5, c=0\)
\((2)\) নং বৃত্তের পরিধির উপরস্থ মূলবিন্দুতে তথা \(O(0, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.0+y.0+(-2)(x+0)+5(y+0)=0\) | \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow -2x+5y=0\)
\(\therefore 2x-5y=0\)
[ দেখানো হলো। ]

\(Q.2.(iv)\)
\((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট যে বৃত্তটি \(2x+y=9\) রেখাকে স্পর্শ করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমাণ কর যে প্রদত্ত রেখাটি \(4(x^2+y^2)-4x-24y+17=0\) বৃত্তেরও একটি স্পর্শক।
উত্তরঃ\(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(2x+y-9=0 …..(1)\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\)।
দেওয়া আছে, কেন্দ্র \((1, 2)\) ।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-1)^2+(y-2)^2=r^2 …….(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{|2.1+2-9|}{\sqrt{2^2+1^2}}=r\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\therefore \frac{|2+2-9|}{\sqrt{4+1}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{|-5|}{\sqrt{5}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{5}{\sqrt{5}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}}=r\)
\(\Rightarrow \sqrt{5}=r\)
\(\therefore r=\sqrt{5}\)
\(r\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y-2)^2=(\sqrt{5})^2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-4y+4=5\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-4y+5-5=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\(4(x^2+y^2)-4x-24y+17=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-x-6y+\frac{17}{4}=0 ……(3)\) | উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
এখানে,
\(2g=-1, 2f=-6, c=\frac{17}{4}\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{1}{2}, f=-3, c=\frac{17}{4}\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{1}{2}, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+(-3)^2-\frac{17}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}+9-\frac{17}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1+36-17}{4}}\)
\(=\sqrt{5}\)
কেন্দ্র \(C(\frac{1}{2}, 3)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|2.\frac{1}{2}+3-9|}{\sqrt{2^2+1^2}}\)
\(=\frac{|1-6|}{\sqrt{4+1}}\)
\(=\frac{|-5|}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{5}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{5}=r=\) ব্যাসার্ধ।
\(\therefore (1)\) নং সরলরেখাটি \((3)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
[ দেখানো হলো। ]

\(Q.2.(v)\)
\(x^2+y^2=81\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((-2, 3)\) ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১১; চঃ ২০১২; যঃ, দিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x-3y+13=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x^2+y^2-81=0 …..(1)\)
\((1)\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ, যার মধ্যবিন্দু \((-2, 3)\) .
\(x.(-2)+y.3-81=(-2)^2+3^2-81\) | \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1-r^2=x^2_1+y^2_1-r^2\)
\(\Rightarrow -2x+3y=4+9\)
\(\Rightarrow -2x+3y=13\)
\(\Rightarrow -2x+3y-13=0\)
\(\therefore 2x-3y+13=0\) | উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ ।

\(Q.2.(vi)\)
\(x^{2}+y^{2}=16\)বৃত্তের জ্যা \((-2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x-3y+13=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.2.(vii)\)
\(y=2x\) যদি \(x^2+y^2-10x=0\) বৃত্তের কোন জ্যা-এর সমীকরণ হয়, তবে উক্ত জ্যা কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৮; যঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(2x-y=0 ……(1)\)
\(x^2+y^2-10x=0 …..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) ছেদবিন্দুগামী যে কোন বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2-10x+k(2x-y)=0 …..(3)\) | \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^2+y^2-10x+2kx-ky=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2(5-k)x-ky=0\)
এখানে,
\(2g=-2(5-k), 2f=-k, c=0\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-(5-k), f=-\frac{k}{2}, c=0\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C\left(5-k, \frac{k}{2}\right)\)
শর্তমতে,
কেন্দ্র \(C\left(5-k, \frac{k}{2}\right)\), \((1)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore 2(5-k)-\frac{k}{2}=0\)
\(\Rightarrow 10-2k-\frac{k}{2}=0\)
\(\Rightarrow 20-4k-k=0\) | উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 20-5k=0\)
\(\Rightarrow -5k=-20\)
\(\Rightarrow k=\frac{-20}{-5}\)
\(\therefore k=4\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-10x+4(2x-y)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-10x+8x-4y=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y=0\) ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(viii)\)
\(3x-4y=k\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করলে \(k\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 32, -8 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(3x-4y-k=0 ….(1)\)
\(x^2+y^2-8x=0 ……(2)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=0, c=0\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=0, c=0\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(4, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+0^2-0}\)
\(=\sqrt{16+0}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{|3.4-4.0-k|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=4\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|12-k|}{\sqrt{9+16}}=4\)
\(\Rightarrow \frac{|12-k|}{\sqrt{25}}=4\)
\(\Rightarrow \frac{|12-k|}{5}=4\)
\(\Rightarrow |12-k|=20\)
\(\Rightarrow 12-k=\pm 20\)
\(\Rightarrow -k=\pm 20-12\)
\(\Rightarrow k=\pm 20+12\) | উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow k=\pm 20+12\)
\(\Rightarrow k=20+12\) | ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\therefore k=32\)
আবার,
\(\Rightarrow k=-20+12\) | ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k=-8\)
\(\therefore k=32, -8\)

\(Q.2.(ix)\)
\(x^2+y^2-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মাণ ও স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
[ঢাঃ, যঃ ২০১১ ; রাঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(c=4, (2, 0) \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x^{2}+y^{2}-4x-6y+c=0 ……(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-6, c_1=c\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-3, c_1=c\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\therefore (2, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2-c}\)
\(=\sqrt{4+9-c}\)
\(=\sqrt{13-c}\)
\(\because \) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। অতএব, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \sqrt{13-c}=3\)
\(\Rightarrow 13-c=3^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13-c=9\)
\(\Rightarrow 13-9=c\)
\(\Rightarrow 4=c\)
\(\therefore c=4\)
ইহাই নির্ণেয় \(c\) এর মান।
আবার ধরি, \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে বলে \(y=0\)
\((1)\) হতে,
\(x^{2}+0^{2}-4x-6.0+4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4=0\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}=0\)
\(\Rightarrow x-2=0\)
\(\therefore x=2\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((2, 0)\) .

\(Q.2.(x)\)
\(3x+cy=1\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
[বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(c=2, -\frac{1}{6} \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(3x+cy-1=0 …..(1)\)
\(x^2+y^2-8x-2y+4=0 ……(2)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-2, c=4\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=-1, c=4\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(therefore (4, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-4)^2+(-1)^2-4}\)
\(=\sqrt{16+1-4}\)
\(=\sqrt{17-4}\)
\(=\sqrt{13}\)
\(\because \) বৃত্তটি \((1)\) নং সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \frac{|3.4+c.1-1|}{\sqrt{3^2+c^2}}=\sqrt{13}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|12+c-1|}{\sqrt{9+c^2}}=\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow \frac{|c+11|}{\sqrt{9+c^2}}=\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow \frac{(c+11)^2}{9+c^2}=13\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13(9+c^2)=(c+11)^2\)
\(\Rightarrow 117+13c^2=c^2+22c+121\)
\(\Rightarrow 117+13c^2-c^2-22c-121=0\)
\(\Rightarrow 12c^2-22c-4=0\)
\(\Rightarrow 6c^2-11c-2=0\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 6c^2-12c+c-2=0\)
\(\Rightarrow 6c(c-2)+1(c-2)=0\)
\(\Rightarrow (c-2)(6c+1)=0\)
\(\Rightarrow c-2=0, 6c+1=0\)
\(\Rightarrow c=2, 6c=-1\)
\(\therefore c=2, c=-\frac{1}{6}\)
ইহাই নির্ণেয় \(c\) এর মান।

\(Q.2.(xi)\)
দেখাও যে, \(lx+my=1\) রেখাটি \(x^2+y^2-2ax=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(a^2m^2+2al=1 \) হয়।
[চঃ ২০১০; কুঃ, রাঃ ২০১৩ ]

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(lx+my-1=0 …..(1)\)
\(x^2+y^2-2ax=0 ……(2)\)
এখানে,
\(2g=-2a, 2f=0, c=0\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-a, f=0, c=0\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(therefore (a, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-a)^2+0^2-0}\)
\(=\sqrt{a^2+0-0}\)
\(=\sqrt{a^2}\)
\(=a\)
\(\because \) বৃত্তটি \((1)\) নং সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \frac{|l.a+m.0-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|l.a+m.0-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{|al-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{(al-1)^2}{l^2+m^2}=a^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow a^2(l^2+m^2)=(al-1)^2\)
\(\Rightarrow a^2l^2+a^2m^2=a^2l^2-2al+1\)
\(\Rightarrow a^2l^2+a^2m^2-a^2l^2+2al=1\)
\(\therefore a^2m^2+2al=1\)
[ showed ]

\(Q.2.(xii)\)
\(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০১০; দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \( x+2y=10, x-2y=10 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x^2+y^2=20\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=(2\sqrt{5})^2 ….(3)\)
\((3)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=2\sqrt{5}\)
\((3)\) নং বৃত্তের পরিধির উপর কোন বিন্দু \(x=2\) অর্থাৎ বিন্দুটির ভুজ \(2\)।
\(\therefore 2^2+y^2=(2\sqrt{5})^2\) | \((3)\) নং বৃত্ত হতে।
\(\Rightarrow 4+y^2=20\)
\(\Rightarrow y^2=20-4\)
\(\Rightarrow y^2=16\)
\(\therefore y=\pm 4\)
\(\therefore 2 \) ভুজবিশিষ্ট বিন্দু \((2, \pm 4)\).
\((3)\) এর উপর \((2, \pm 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.2+y.\pm 4=(2\sqrt{5})^2\) | \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1=a^2\)
\(\Rightarrow 2x\pm 4y=20\)
\(\therefore x\pm 2y=10\) | \(2\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\therefore \) স্পর্শকের সমীকরণ, \(x+2y=10, x-2y=10\).

\(Q.2.(xiii)\)
\(x^2+y^2=13\) বৃত্তের যে বিন্দুতে কটি \(2\), উক্ত বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০০৮]
উত্তরঃ \( 2y\pm 3x=13 \)।

সমাধানঃ

\(Q.2.(xiv)\)
\(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) বৃত্তের পরিধিস্থ \((6, -6)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-3y-42=0, 3x+4y+6=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x^2+y^2-4x+6y-12=0 …….(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=6, c=-12\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=3, c=-12\)
\((6, -6)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.6+y.(-6)+(-2)(x+6)+3(y-6)-12=0\) | \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow 6x-6y-2x-12+3y-18-12=0\)
\(\Rightarrow 4x-3y-42=0\)
আবার,
\((6, -6)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((-2+6)y-(3-6)x+3.6-(-2).(-6)=0\) | \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, \((g+x_1)y-(f+y_1)x+fx_1-gy_1=0\)
\(\Rightarrow 4y+3x+18-12=0\)
\(\therefore 3x+4y+6=0\)

\(Q.2.(xv)\)
মূলবিন্দু হতে \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(2\), বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৬, ২০১০ ;চঃ, যঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
ব্যাসার্ধ \(r\)
দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \(C(1, 2)\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-1)^2+(y-2)^2=r^2 …….(1)\)
মুলবিন্দু \(O(0, 0)\) হতে অঙ্কিত স্পর্শক \(OT=2\)।
আবার,
\(OC=\sqrt{(0-1)^2+(0-2)^2}\)
\(=\sqrt{1+4}\)
\(=\sqrt{5}\)
এখানে,
\(OT\perp CT\)
\(\triangle OCT\) সমকোণী।
\(\therefore CT^2+OT^2=OC^2\)
\(\Rightarrow r^2+2^2=(\sqrt{5})^2\)
\(\Rightarrow r^2+4=5\)
\(\Rightarrow r^2=5-4\)
\(\therefore r^2=1\)
\(r^2\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y-2)^2=1\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-4y+4-1=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y+4=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xvi)\)
\((1, -2)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2-4x=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+2=0, 4x+3y+2=0; 1 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x^2+y^2-4x=0 ……(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=0, c=0\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=0, c=0\)
\((1, -2)\) বিন্দু থেকে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-4x)\{1^2+(-2)^2-4.1\}\)\(=\{x.1+y.(-2)+(-2)(x+1)\}^2\) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x)\{1+4-4\}\)\(=\{x-2y-2x-2\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x).1\)\(=\{-x-2y-2\}^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x=(x+2y+2)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x=x^2+4y^2+4+4xy+8y+4x\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-x^2-4y^2-4-4xy-8y-4x\)
\(\Rightarrow -3y^2-4-4xy-8x-8y=0\)
\(\Rightarrow 3y^2+4xy+8x+8y+4=0\) | উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 3y^2+4xy+6y+8x+2y+4=0\)
\(\Rightarrow y(3y+4x+2)+2(4x+3y+2)=0\)
\(\Rightarrow (3y+4x+2)(y+2)=0\)
\(\therefore 4x+3y+2=0, y+2=0\)
\(\therefore \) স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ, \(y+2=0, 4x+3y+2=0\)
আবার, স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{1^2+(-2)^2-4.1}\) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
\(=\sqrt{1+4-4}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)

\(Q.2.(xvii)\)
দেখাও যে, \(12x+5y-4=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x-8y+9=0\)বৃত্তের একটি স্পর্শক; এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-12y+33=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(12x+5y-4=0 …….(1)\)
\(x^2+y^2-6x-8y+9=0 ….(2)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-8, c=9\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-4, c=9\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(3, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2-9}\)
\(=\sqrt{9+16-9}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
কেন্দ্র \(C(3, 4)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|12.3+5.4-4|}{\sqrt{12^2+5^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|36+20-4|}{\sqrt{144+25}}\)
\(=\frac{52}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{52}{13}\)
\(=4=r=\)ব্যাসার্ধ ।
\((1)\) সরলরেখাটি \((2)\) বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-12y+k=0 …….(3)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(C(3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 5.3-12.4+k=0\) | ব্যাস, বৃত্তের কেন্দ্রগামী এবং স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর লম্ব হয়।
\(\Rightarrow 15-48+k=0\)
\(\Rightarrow -33+k=0\)
\(\therefore k=33\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(5x-12y+33=0\)

\(Q.2.(xviii)\)
মূলবিন্দুগামী একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি ব্যাস \(2y=3x\) এবং একটি স্পর্শক \(2x+3y+13=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+2x+3y=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(2y=3x ……..(1)\)
\(2x+3y+13=0 ……(2)\)
মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy=0 …….(3)\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2}\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\), \((1)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত। | \(\because (1)\) নং সরলরেখা বৃত্তটির ব্যাস।
\(\therefore 2(-f)=3(-g)\)
\(\Rightarrow -2f=-3g\)
\(\Rightarrow f=\frac{-3g}{-2}\)
\(\Rightarrow f=\frac{3g}{2} …….(4)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((3)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|2(-g)+3(-f)+13|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\sqrt{g^2+f^2}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|-2g-3f+13|}{\sqrt{4+9}}=\sqrt{g^2+f^2}\)
\(\Rightarrow \frac{|2g+3(\frac{3g}{2})-13|}{\sqrt{13}}=\sqrt{g^2+(\frac{3g}{2})^2}\) | \((4)\) নং এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{|2g+\frac{9g}{2}-13|}{\sqrt{13}}=\sqrt{g^2+\frac{9g^2}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{|\frac{4g+9g-26}{2}|}{\sqrt{13}}=\sqrt{\frac{4g^2+9g^2}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{|\frac{13g-26}{2}|}{\sqrt{13}}=\sqrt{\frac{13g^2}{4}}\)
\(\Rightarrow |\frac{13g-26}{2}|=\sqrt{13}\sqrt{\frac{13g^2}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{(13g-26)^2}{4}=13\left(\frac{13g^2}{4}\right)\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{13^2(g-2)^2}{4}=13^2\left(\frac{g^2}{4}\right)\)
\(\Rightarrow (g-2)^2=g^2\)
\(\Rightarrow g^2-4g+4=g^2\)
\(\Rightarrow -4g+4=0\)
\(\Rightarrow -4g=-4\)
\(\therefore g=1\)
\(\therefore f=\frac{3}{2}\) | \((4)\) নং এর সাহায্যে।
\(g, f\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2.1.x+2.\frac{3}{2}.y=0\)
\(\therefore x^2+y^2+2x+3y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xix)\)
\(2x+3y-5=0\) রেখাটি \((3, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষ থেকে যে পরিমাণ অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৪; কুঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( 4 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(2x+3y-5=0 …..(1)\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \((3, 4)\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-3)^2+(y-4)^2=r^2 …….(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|2.3+3.4-5|}{\sqrt{2^2+3^2}}=r\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|6+12-5|}{\sqrt{4+9}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{13}{\sqrt{13}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{\sqrt{13}}=r\)
\(\Rightarrow \sqrt{13}=r\)
\(\therefore r=\sqrt{13}\)
\(r\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-3)^2+(y-4)^2=(\sqrt{13})^2 \)
\(\Rightarrow x^2-6x+9+y^2-8y+16=13 \)
\(\Rightarrow x^2+y^2-6x-8y+25-13=0 \)
\(\therefore x^2+y^2-6x-8y+12=0 ………(3)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-8, c=12\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-4, c=12\)
\((3)\) নং বৃত্ত দ্বারা \(\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ,
\(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-4)^2-12}\)
\(=2\sqrt{16-12}\)
\(=2\sqrt{4}\)
\(=2.2\)
\(=4\)
ইহাই নির্ণেয় ছেদিতাংশের মাণ।

\(Q.2.(xx)\)
\((3, -1)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী বৃত্ত \(X\)অক্ষকে \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে । বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। মূলবিন্দু দিয়ে গমনকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ, কুঃ ২০১২;সিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4x+2y+4=0; 4x+3y=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
বৃত্তটির কেন্দ্র \(C(h, k)\)
বৃত্তটি \(X\)অক্ষকে স্পর্শ করে ।
\(\therefore \) বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=h\) | কোনো বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করলে, তার কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হয়।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=k^2 …..(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \((3, -1)\) ও \((2, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\((3-h)^2+(-1-k)^2=k^2\)
\((3-h)^2+(1+k)^2=k^2 …….(2)\)
আবার,
\((2-h)^2+(0-k)^2=k^2\)
\(\Rightarrow (2-h)^2+k^2=k^2\)
\(\Rightarrow (2-h)^2=0\)
\(\Rightarrow 2-h=0\)
\(\Rightarrow -h=-2\)
\(\therefore h=2\)
\((2)\) হতে,
\((3-2)^2+(1+k)^2=k^2\)
\(\Rightarrow 1^2+(1+k)^2-k^2=0\)
\(\Rightarrow 1+(1+k+k)(1+k-k)=0\)
\(\Rightarrow 1+(1+2k).1=0\)
\(\Rightarrow 1+1+2k=0\)
\(\Rightarrow 2+2k=0\)
\(\Rightarrow 2k=-2\)
\(\Rightarrow k=-1\)
\(h, k\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x-2)^2+(y+1)^2=(-1)^2\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2+2y+1=1\)
\(\therefore x^2+y^2-4x+2y+4=0 ……..(3)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
এখানে,
\(2g=-4, 2f=2, c=4\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=1, c=4\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু হতে \((3)\) এর উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-4x+2y+4)(0^2+0^2-4.0+2.0+4)\)\(=\{x.0+y.0+(-2)(x+0)+1(y+0)+4\}^2\) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x+2y+4).4=(-2x+y+4)^2\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-16x+8y+16=4x^2+y^2+16-4xy+8y-16x\)
\(\Rightarrow 4y^2-y^2+4xy=0\)
\(\Rightarrow 3y^2+4xy=0\)
\(\Rightarrow y(3y+4x)=0\)
\(\therefore y=0, 4x+3y=0\)
\(\therefore \) মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ, \(4x+3y=0\)

\(Q.2.(xxi)\)
\(x^2+y^2=45\) বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক \(x^2+y^2-4x+2y-35=0\) বৃত্তকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাও যে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক পরস্পর লম্ব ।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x^2+y^2-45=0 …..(1)\)
\(x^2+y^2-4x+2y-35=0 ……(2)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=2, c=-35\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=1, c=-35\)
\((1)\) নং বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.6+y.(-3)-45=0\) | \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1-r^2=0\)
\(\Rightarrow 6x-3y-45=0\)
\(\Rightarrow 2x-y-15=0\) | উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\therefore y=2x-15 ……(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) হতে,
\(x^2+(2x-15)^2-4x+2(2x-15)-35=0\)
\(\Rightarrow x^2+4x^2-60x+225-4x+4x-30-35=0\)
\(\Rightarrow 5x^2-60x+160=0\)
\(\Rightarrow x^2-12x+32=0\) | উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow x^2-8x-4x+32=0\)
\(\Rightarrow x(x-8)-4(x-8)=0\)
\(\Rightarrow (x-8)(x-4)=0\)
\(\Rightarrow x-8=0, x-4=0\)
\(\therefore x=8, x=4\)
\((3)\) হতে,
\(x=8\Rightarrow y=1, x=4\Rightarrow y=-7\)
\(\therefore A(8, 1)\) এবং \(B(4, -7)\)
\((2)\) নং বৃত্তের \(A(8, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.8+y.1+(-2)(x+8)+1(y+1)-35=0\)
\(\Rightarrow 8x+y-2x-16+y+1-35=0\)
\(\Rightarrow 6x+2y-50=0\)
\(\Rightarrow 3x+y-25=0 …….(4)\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\((2)\) নং বৃত্তের \(B(4, -7)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.4+y.(-7)+(-2)(x+4)+1(y-7)-35=0\)
\(\Rightarrow 4x-7y-2x-8+y-7-35=0\)
\(\Rightarrow 2x-6y-50=0\)
\(\Rightarrow x-3y-25=0 …….(5)\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\((4)\) এর ঢাল \(m_1=-\frac{3}{1}=-3\) | ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\((5)\) এর ঢাল \(m_2=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}\)
\(m_1\times m_2=-3\times \frac{1}{3}=-1\)
\(\therefore (4)\) ও \((5)\) স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব।
[ দেখানো হলো।]

1 2 3 4 5 6 7