বৃত্ত-২ (Circle-Two)

অনুশীলনী \(4.B\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.3.(i)\) \((3, 7)\) এবং \((9, 1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হয়েছে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে, \(x+y=4\) রেখাটি ঐ বৃত্তের একটি স্পর্শক। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-12x-8y+34=0; (3, 1)\)।

\(Q.3.(ii)\) \((b, 0)\) বিন্দু হতে \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((x^{2}+y^{2}-bx)^2=a^2\{y^2+(b-x)^2\} \)।

\(Q.3.(iii)\) \(x^2+y^2=25\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=\sqrt{3}x\pm 10\)।

\(Q.3.(iv)\)\(x^2+y^2=16\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০১০; বঃ ২০১১; কুঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(\sqrt{3}y=x\pm 8\)।

\(Q.3.(v)\) \(x^2+y^2=(3x-4y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। ব্যাসটির সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(4x+3y=0, 3x-4y=0\)।

\(Q.3.(vi)\) \(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। ব্যাসটির সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(12x+5y=0, 5x-12y=0\)।

\(Q.3.(vii)\) দেখাও যে, \(x-2y+1=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}-6x+6y-2=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দুগামী তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+2y-3=0\)।

\(Q.3.(viii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-2x+4y-31=0\) এবং \(x^2+y^2+4x-4y+7=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করে। সাধারণ স্পর্শক ও স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(3x-4y+19=0, (-\frac{13}{5}, \frac{14}{5}) \)।

\(Q.3.(ix)\) দেখাও যে, \(X\) অক্ষ \(x^2+y^2-6x-10y+9=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। মূলবিন্দুগামী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15x+8y=0\)।

\(Q.3.(x)\) \((-5, 4)\) বিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(y-4=0, 3x+4y-1=0 \)।

\(Q.3.(xi)\) দেখাও যে, \(y=3x+10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-3, 1)\)।

\(Q.3.(xii)\) \((-2, 3)\) বিন্দু হতে \(2x^{2}+2y^{2}=3\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{\frac{23}{2}} \)।

\(Q.3.(xiii)\) \(3x+by-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(b\)এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১১; রাঃ ২০১২; ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(b=2, -\frac{1}{6}\)।

\(Q.3.(xiv)\) \(ax+2y-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(a\)এর মাণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(a=3, -\frac{17}{3} \)।

\(Q.3.(xv)\) দেখাও যে, \(x+2y=17\) রেখাটি \(x^2+y^2-2x-6y=10\) বৃত্তের একটি স্পর্শক এবং এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দু দিয়ে অতিক্রম তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(2x-y+1=0 \)।

\(Q.3.(xvi)\) \((1, -1)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-x+3y+1=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১১, কুঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)।

\(Q.3.(xvii)\) \(\sqrt{2}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুইটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(x+y+1=0\) রেখাকে স্পর্শ করে এবং যাদের কেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-1=0\);\(x^{2}+y^{2}+6x+7=0\)।

\(Q.3.(xviii)\) \(x^{2}+y^{2}+2x+3y+1=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+4x+3y+2=0\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১১ ; বঃ, সিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x^{2}+2y^{2}+2x+6y+1=0\)।

\(Q.3.(xix)\) \(3\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(y=x-1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং এটি \((7, 3)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে, এরূপ দুইটি বৃত্ত পাওয়া যায় এবং এদের একটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((x-4)^2+(y-3)^2=9; (x-7)^2+(y-6)^2=9\)।

\(Q.3.(xx)\) \(x^2+y^2+4x-2y+3=0\) ও \(x^2+y^2-4x+6y-21=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+3=0; 2\sqrt{2}\)।

\(Q.3.(xxi)\) নীচের বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করঃ
\(x^2+y^2-12x+16y-69=0\)
\(x^2+y^2-9x+12y-59=0\)
। উত্তরঃ \(10\)।

\(Q.3.(xxii)\) \((3, -3)\) বিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}+8x+4y-5=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-4y=21, 4x+3y=3, 10\)।

\(Q.3.(xxiii)\) \(b\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত যার কেন্দ্রের ভুজ ও কটি উভয়ই ধনাত্মক , \(X\) অক্ষ এবং \(3y=4x\) সরলরেখাকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4bx-2by+4b^2=0\)।

\(Q.3.(xxiv)\) \(x^{2}+y^{2}-6x+10y-21=0\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দু \((1, -2)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(2x-3y-8=0, 2\sqrt{42}\)।

\(Q.3.(xxv)\) \(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+8x+y+10=0\) বৃত্তের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(5(x^{2}+y^{2})+26x+12y+22=0\)।

\(Q.3.(xxvi)\) \((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\) ও \((x-q)^2+(y-p)^2=r^2\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{4r^2-2(p-q)^2}\)।

\(Q.3.(xxvii)\) \(x^2+y^2-4x+6y-36=0\) ও \(x^2+y^2-5x+8y-43=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+3=0; 2\sqrt{2}\)।

\(Q.3.(xxviii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উপরস্থ যে কোন বিন্দু হতে \(x^2+y^2+2gx+2fy+\acute c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(\sqrt{\acute c-c}\)।

\(Q.3.(xxix)\) \(x=0\), \(y=0\) এবং \(x=a\) রেখা তিনটিকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৫; কুঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-ax\pm ay+\frac{1}{4}a^2=0\)

\(Q.3.(xxx)\) \(\sqrt{2}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং যার কেন্দ্র তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত ।
উত্তরঃ \(x^2+y^2+2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+2=0\)

\(Q.3.(xxxi)\) \((-5, -6)\) বিন্দুগামী একটি বৃত্ত \(3x+4y-11=0\) রেখাকে \((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2+4x+4y-17=0\)

\(Q.3.(xxxii)\) \(12x+5y=212\) সরলরেখা হতে \(x^2+y^2-2x-2y=167\) বৃত্তের উপর যে বিন্দুটির দূরত্ব ক্ষুদ্রতম তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((13, 6)\) .

\(Q.3.(xxxiii)\) \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তের যেসব জ্যা \((\alpha, \beta)\) বিন্দুগামী তাদের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x(x-\alpha)+y(y-\beta)=0\) .

\(Q.3.(xxxiv)\) \((h, k)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2=12\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(x^2+y^2+5x+5y=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ। \((h, k)\) বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^2+3y^2+20x+20y+12=0\)।

\(Q.3.(xxxv)\) যেসব বিন্দু থেকে \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি পরস্পর লম্ব হয় তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2=2a^2\)।

\(Q.3.(xxxvi)\) \(3x-y-1=0\) সরলরেখা \((x-2)^2+y^2=5\) বৃত্তকে যে সূক্ষ্ণকোণে ছেদ করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(45^o\)।

\(Q.3.(xxxvii)\) দেখাও যে, \(P(h, k)\) বিন্দু থেকে মূলবিন্দুগামী সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত।

\(Q.3.(xxxviii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-2ax-2ay+a^2=0\) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে। স্পর্শ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y=a, \sqrt{2}a\)

অনুশীলনী \(4.B\) / \(Q.3\) প্রশ্নসমুহের সমাধান

\(Q.3.(i)\)
\((3, 7)\) এবং \((9, 1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হয়েছে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে, \(x+y=4\) রেখাটি ঐ বৃত্তের একটি স্পর্শক। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-12x-8y+34=0; (3, 1)\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x+y-4=0 …..(1)\)
\(A(3, 7)\) এবং \(B(9, 1)\)
\(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-3)(x-9)+(y-7)(y-1)=0\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-3x-9x+27+y^2-7y-y+7=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-12x-8y+34=0 …..(2)\)
এখানে,
\(2g=-12, 2f=-8, c=34\)
\(\Rightarrow g=-6, f=-4, c=34\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(6, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-6)^2+(-4)^2-34}\)
\(=\sqrt{36+16-34}\)
\(=\sqrt{52-34}\)
\(=\sqrt{18}\)
\(=\sqrt{2.9}\)
\(=3\sqrt{2}\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
কেন্দ্র \(C(6, 4)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|6+4-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|6|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{3.2}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{3.\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=3\sqrt{2}=r=\) ব্যাসার্ধ।
\(\therefore (1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখা হতে, \(y=4-x ……(3)\)
\(((2)\) ও \((3)\) হতে,
\(x^2+(4-x)^2-12x-8(4-x)+34=0\)
\(\Rightarrow x^2+(4-x)^2-12x-8(4-x)+34=0\)
\(\Rightarrow x^2+16-8x+x^2-12x-32+8x+34=0\)
\(\Rightarrow 2x^2-12x+18=0\)
\(\Rightarrow x^2-6x+9=0\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow (x-3)^2=0\)
\(\Rightarrow x-3=0\)
\(\therefore x=3\)
\((3)\) হতে, \( x=3\Rightarrow y=1\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((3, 1)\) .

\(Q.3.(ii)\)
\((b, 0)\) বিন্দু হতে \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((x^{2}+y^{2}-bx)^2=a^2\{y^2+(b-x)^2\} \)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^2+y^2=a^2 ……..(1)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=a\)
\((1)\) বৃত্তের স্পর্শক \(y=mx+c\Rightarrow mx-y+c=0 ….(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|m.0-0+c|}{\sqrt{m^2+1^2}}=a\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=a\)
\(\Rightarrow |c|=a\sqrt{(m^2+1)}\)
\(\therefore c=\pm a\sqrt{(m^2+1)}\)
\(c\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(mx-y\pm a\sqrt{(m^2+1)}=0\)
\(\Rightarrow mx-y=\pm a\sqrt{(m^2+1)}\)
\(\Rightarrow (mx-y)^2=a^2(m^2+1) …….(3)\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\((2)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{1}{m}\)
\((b, 0)\) বিন্দুগামী এবং \((2)\) এর উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-0=-\frac{1}{m}(x-b)\)
\(\Rightarrow y=-\frac{1}{m}(x-b)\)
\(\therefore m=-\frac{x-b}{y}\)
\(m\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\left(-\frac{x-b}{y}.x-y\right)^2=a^2\{(-\frac{x-b}{y})^2+1\}\)
\(\Rightarrow \left(-\frac{x^2-bx}{y}-y\right)^2=a^2\{\frac{(x-b)^2}{y^2}+1\}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{x^2-bx}{y}+y\right)^2=a^2\{\frac{(x-b)^2+y^2}{y^2}\}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{x^2+y^2-bx}{y}\right)^2=a^2\{\frac{(x-b)^2+y^2}{y^2}\}\)
\(\Rightarrow \frac{(x^2+y^2-bx)^2}{y^2}=a^2\{\frac{(x-b)^2+y^2}{y^2}\}\)
\(\therefore (x^2+y^2-bx)^2=a^2\{(x-b)^2+y^2\}\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরণ।

\(Q.3.(iii)\)
\(x^2+y^2=25\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=\sqrt{3}x\pm 10\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^2+y^2=5^2 …..(1)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=5\)
\((1)\) বৃত্তের স্পর্শক \(y=mx+c\Rightarrow mx-y+c=0 ….(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|m.0-0+c|}{\sqrt{m^2+1^2}}=5\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=5\)
\(\Rightarrow |c|=5\sqrt{(m^2+1)}\)
\(\Rightarrow c=\pm 5\sqrt{(m^2+1)}\)
\(c\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(mx-y\pm 5\sqrt{(m^2+1)}=0 …….(3)\)
আবার,
\((2)\) নং সরলরেখা \(X\) অক্ষের সাথে \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করে।
অর্থাৎ \(m=\tan60^o\)
\(=\sqrt{3}\) | \(\because \tan60^o=\sqrt{3}\)
\(m\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\sqrt{3}x-y\pm 5\sqrt{\{(\sqrt{3})^2+1\}}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x-y\pm 5\sqrt{\{3+1\}}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x-y\pm 5\sqrt{4}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x-y\pm 5.2=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x-y\pm 10=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x\pm 10=y\)
\(\therefore y=\sqrt{3}x\pm 10\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

\(Q.3.(iv)\)
\(x^2+y^2=16\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০১০; বঃ ২০১১; কুঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(\sqrt{3}y=x\pm 8\)।

সমাধানঃ

\(Q.3.(v)\)
\(x^2+y^2=(3x-4y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। ব্যাসটির সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+3y=0, 3x-4y=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^2+y^2-3x+4y=0…..(1)\)
এখানে,
\(2g=-3, 2f=4, c=0\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{2}, f=2, c=0\)
\(\therefore (1)\) বৃত্তের কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{3}{2}, -2)\)
এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
এখন,
মূলবিন্দুগামী ব্যাস অর্থাৎ \(CO\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-0}=\frac{y+2}{-2-0}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{2x-3}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{y+2}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-3}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{y+2}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-3}{3}=\frac{y+2}{-2}\)
\(\Rightarrow 2(2x-3)=-3(y+2)\)
\(\Rightarrow 4x-6=-3y-6\)
\(\Rightarrow 4x-6+3y+6=0\)
\(\therefore 4x+3y=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।
মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক উক্ত ব্যাসের উপর লম্ব হবে।
অতএব, ব্যাসের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ……..(2)\) যা মূলবিন্দুগামী। | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\therefore 5.0-12.0+k=0\)
\(\Rightarrow 0-0+k=0\)
\(\therefore k=0\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x-4y+0=0\)
\(\therefore 3x-4y=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

\(Q.3.(vi)\)
\(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। ব্যাসটির সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(12x+5y=0, 5x-12y=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.3.(vii)\)
দেখাও যে, \(x-2y+1=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}-6x+6y-2=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দুগামী তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+y-3=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x-2y+1=0 …….(1)\)
\(x^{2}+y^{2}-6x+6y-2=0 ….(2)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=6, c=-2\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=3, c=-2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(3, -3)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+3^2+2}\)
\(=\sqrt{9+9+2}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=\sqrt{5.4}\)
\(=2\sqrt{5}\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
কেন্দ্র \(C(3, -3)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|3-2(-3)+1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|3+6+1|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{|10|}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{2.5}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{2.\sqrt{5}.\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
\(=2\sqrt{5}=r=\)ব্যাসার্ধ ।
\((1)\) সরলরেখাটি \((2)\) বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 …….(3)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(C(3, -3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 2.3-3+k=0\) | ব্যাস, বৃত্তের কেন্দ্রগামী এবং স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর লম্ব হয়।
\(\Rightarrow 6-3+k=0\)
\(\Rightarrow 3+k=0\)
\(\therefore k=-3\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y-3=0\)

\(Q.3.(viii)\)
দেখাও যে, \(x^2+y^2-2x+4y-31=0\) এবং \(x^2+y^2+4x-4y+7=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে অন্তস্থভাবে স্পর্শ করে। সাধারণ স্পর্শক ও স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(3x-4y+19=0, (-\frac{13}{5}, \frac{14}{5}) \)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^2+y^2-2x+4y-31=0 ……..(1)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=4, c=-31\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=2, c=-31\)
কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(1, -2)\)
ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+2^2+31}\)
\(=\sqrt{1+4+31}\)
\(=\sqrt{36}\)
\(=6\)
\(x^2+y^2+4x-4y+7=0 …….(2)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=-4, c=7\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=-2, c=7\)
কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(-2, 2)\)
ব্যাসার্ধ \(r_2=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{2^2+(-2)^2-7}\)
\(=\sqrt{4+4-7}\)
\(=\sqrt{8-7}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
এখন,
\(C_1C_2=\sqrt{(1+2)^2+(-2-2)^2}\)
\(=\sqrt{3^2+(-4)^2}\)
\(=\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(=6-1\)
\(=r_1-r_2\)
\(\therefore C_1C_2=r_1-r_2\)
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে অন্তস্থভাবে স্পর্শ করে।
ধরি, স্পর্শবিন্দুটি \(P(x, y)\) যা \(C_1\) ও \(C_2\) এর সংযোগ সরলরেখাকে \(r_1:r_2\Rightarrow 6:1\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
\(\therefore P\left(\frac{6\times -2-1\times 1}{6-1}, \frac{6\times 2-1\times -2}{6-1}\right)\) | \(p(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{-12-1}{5}, \frac{12+2}{5}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{-13}{5}, \frac{14}{5}\right)\)
\(\therefore P\left(-\frac{13}{5}, \frac{14}{5}\right)\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শ বিন্দু
সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ, অর্থাৎ \((2)\) নং বৃত্তের \(P\left(-\frac{13}{5}, \frac{14}{5}\right)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.(-\frac{13}{5})+y.\frac{14}{5}+2(x-\frac{13}{5})-2(y+\frac{14}{5})+7=0\)| \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(-\frac{13x}{5}+\frac{14y}{5}+2x-\frac{26}{5}-2y-\frac{28}{5}+7=0\)
\(\Rightarrow 13x-14y-10x+26+10y+28-35=0\) | উভয় পার্শে \(-5\) গুণ করে।
\(\therefore 3x-4y+19=0\)ইহাই নির্ণেয় সাধারণ স্পর্শক।

\(Q.3.(ix)\)
দেখাও যে, \(X\) অক্ষ \(x^2+y^2-6x-10y+9=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। মূলবিন্দুগামী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15x+8y=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^2+y^24-6x-10y+9=0 ……(1)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-10, c=9\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-5, c=9\)
এখন,
\(g^2=(-3)^2=9=c\) | \(\because X\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত \(g^2=c\)
\(\therefore (1)\) নং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু হতে \((1)\) এর উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^24-6x-10y+9)(0^2+0^24-6.0-10.0+9)\)\(=\{x.0+y.0+(-3)(x+0)+(-5)(y+0)+9\}^2\) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^24-6x-10y+9).9=(-3x-5y+9)^2\)
\(\Rightarrow 9x^2+9y^24-54x-90y+81=(3x+5y-9)^2\)
\(\Rightarrow 9x^2+9y^24-54x-90y+81=9x^2+25y^2+81+30xy-90y-54x\)
\(\Rightarrow 9x^2+9y^24-54x-90y+81-9x^2-25y^2-81-30xy+90y+54x=0\)
\(\Rightarrow 9y^24-25y^2-30xy=0\)
\(\Rightarrow -16y^2-30xy=0\)
\(\Rightarrow -2y(8y+15x)=0\)
\(\Rightarrow -2y=0, 8y+15x=0\)
\(\therefore y=0, 15x+8y=0\)
\(\therefore \) মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ, \(15x+8y=0\)

\(Q.3.(x)\)
\((-5, 4)\) বিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(y-4=0, 3x+4y-1=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0 ……(1)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=-4, c=1\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=-2, c=1\)
\((-5, 4)\) বিন্দু হতে \((1)\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^{2}+y^{2}-2x-4y+1)\{(-5)^{2}+4^{2}-2(-5)-4.4+1\}\)\(=\{x.(-5)+y.4+(-1)(x-5)+(-2)(y+4)+1\}^2\) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-2x-4y+1)\{25+16+10-16+1\}\)\(=\{-5x+4y-x+5-2y-8+1\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-2x-4y+1).36=(-6x+2y-2)^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-2x-4y+1).36=4(3x-y+1)^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-2x-4y+1).9=(3x-y+1)^2\)
\(\Rightarrow 9x^{2}+9y^{2}-18x-36y+9=9x^2+y^2+1-6xy-2y+6x\)
\(\Rightarrow 9x^{2}+9y^{2}-18x-36y+9-9x^2-y^2-1+6xy+2y-6x=0\)
\(\Rightarrow 8y^{2}-24x-34y+6xy+8=0\)
\(\Rightarrow 4y^{2}-12x-17y+3xy+4=0\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 3xy+4y^{2}-y-12x-16y+4=0\)
\(\Rightarrow y(3x+4y-1)-4(3x+4y-1)=0\)
\(\therefore 3x+4y-1=0, y-4=0\) নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

\(Q.3.(xi)\)
দেখাও যে, \(y=3x+10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-3, 1)\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(y=3x+10 …….(1)\)
\(\Rightarrow 3x-y+10=0\)
\(x^{2}+y^{2}=10\)
\(x^{2}+y^{2}=(\sqrt{10})^2 …….(2)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{10}\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
কেন্দ্র \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|3.0-0+10|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|10|}{\sqrt{9+1}}\)
\(=\frac{10}{\sqrt{10}}\)
\(=\frac{\sqrt{10}.\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\)
\(=\sqrt{10}=r=\)ব্যাসার্ধ ।
\(\therefore (1)\) সরলরেখাটি \((2)\) বৃত্তকে স্পর্শ করে।
আবার,
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(x^{2}+(3x+10)^{2}=10\)
\(\Rightarrow x^{2}+9x^2+60x+100-10=0\)
\(\Rightarrow 10x^2+60x+90=0\)
\(\Rightarrow x^2+6x+9=0\) | উভয় পার্শে \(10\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow (x+3)^2=0\)
\(\Rightarrow x+3=0\)
\(\therefore x=-3\)
\((1)\) হতে, \(x=-3\Rightarrow y=1\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((-3, 1)\)।

\(Q.3.(xii)\)
\((-2, 3)\) বিন্দু হতে \(2x^{2}+2y^{2}=3\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{\frac{23}{2}} \)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(2x^{2}+2y^{2}=3\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}=0 ……(1)\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(P(-2, 3)\) বিন্দু হতে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(PT=\sqrt{(-2)^{2}+3^{2}-\frac{3}{2}}\) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1-r^2}\)
\(=\sqrt{4+9-\frac{3}{2}}\)
\(=\sqrt{13-\frac{3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{26-3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{23}{2}}\) একক।
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য ।

\(Q.3.(xiii)\)
\(3x+by-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(b\)এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১১; রাঃ ২০১২; ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(b=2, -\frac{1}{6}\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(3x+by-1=0 …….(1)\)
\(x^2+y^2-8x-2y+4=0 \)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-2, c=4\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=-1, c=4\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(4, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(-1)^2-4}\)
\(=\sqrt{16+1-4}\)
\(=\sqrt{13}\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|3.4+b.1-1|}{\sqrt{3^2+b^2}}=\sqrt{13}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|11+b|}{\sqrt{9+b^2}}=\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow \frac{(11+b)^2}{9+b^2}=13\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13(9+b^2)=(11+b)^2\)
\(\Rightarrow 117+13b^2=121+22b+b^2\)
\(\Rightarrow 117+13b^2-121-22b-b^2=0\)
\(\Rightarrow 12b^2-22b-4=0\)
\(\Rightarrow 6b^2-11b-2=0\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 6b^2-12b+b-2=0\)
\(\Rightarrow 6b(b-2)+1(b-2)=0\)
\(\Rightarrow (b-2)(6b+1)=0\)
\(\Rightarrow b-2=0, 6b+1=0\)
\(\Rightarrow b=2, 6b=-1\)
\(\therefore b=2, b=-\frac{1}{6}\)
ইহাই \(b\)এর মাণ।

\(Q.3.(xiv)\)
\(ax+2y-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(a\)এর মাণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(a=3, -\frac{17}{3} \)।

সমাধানঃ

\(Q.3.(xv)\)
দেখাও যে, \(x+2y=17\) রেখাটি \(x^2+y^2-2x-6y=10\) বৃত্তের একটি স্পর্শক এবং এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দু দিয়ে অতিক্রম তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(2x-y+1=0 \)।

সমাধানঃ

\(Q.3.(xvi)\)
\((1, -1)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-x+3y+1=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১১, কুঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(2x^{2}+2y^{2}-x+3y+1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=0 ……(1)\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\((1, -1)\) বিন্দু হতে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}-\frac{1}{2}.1+\frac{3}{2}(-1)+\frac{1}{2}}\) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
\(=\sqrt{1+1-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{2-\frac{3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\) একক।
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য ।

\(Q.3.(xvii)\)
\(\sqrt{2}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুইটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(x+y+1=0\) রেখাকে স্পর্শ করে এবং যাদের কেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-1=0\);\(x^{2}+y^{2}+6x+7=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x+y+1=0 ……(1)\)
কেন্দ্র \(C(h, 0)\) | \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুর \(y\) স্থানাঙ্ক \(0\) হয়।
দেওয়া আছে ব্যাসার্ধ \(\sqrt{2}\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-0)^2=(\sqrt{2})^2\) | কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (x-h)^2+y^2=2 …….(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|h+0+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|h+1|}{\sqrt{1+1}}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{|h+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow |h+1|=\sqrt{2}\times \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow |h+1|=2\)
\(\Rightarrow h+1=\pm 2\)
\(\Rightarrow h=\pm 2-1\)
\(\Rightarrow h=2-1\) | ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore h=1\)
আবার,
\(\Rightarrow h=-2-1\) | ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore h=-3\)
\(h\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(h=1\Rightarrow (x-1)^2+y^2=2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-1=0\)
আবার,
\(h=-3\Rightarrow (x+3)^2+y^2=2\)
\(\Rightarrow x^2+6x+9+y^2-2=0\)
\(\therefore x^2+y^2+7x+7=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ , \(x^{2}+y^{2}-2x-1=0\);\(x^{2}+y^{2}+6x+7=0\)।

\(Q.3.(xviii)\)
\(x^{2}+y^{2}+2x+3y+1=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+4x+3y+2=0\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১১ ; বঃ, সিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x^{2}+2y^{2}+2x+6y+1=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0 ……….(1)\)
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 ……….(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) বৃত্ত দ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1-x^2-y^2-4x-3y-2=0 \) | \((1)-(2)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow -2x-1=0 \)
\(\Rightarrow 2x+1=0 ……..(3)\)
এখন,
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1+k(2x+1)=0 ……….(4)\) | \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x+3y+1+2kx+k=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+(2+2k)x+3y+(1+k)=0\)
এখানে,
\(2g=2+2k, 2f=3, c=1+k\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow 2g=2(1+k), 2f=3, c=1+k\)
\(\Rightarrow g=(1+k), f=\frac{3}{2}, c=1+k\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(-(1+k), -\frac{3}{2})\)
এই কেন্দ্র \((3)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত। যেহেতু , \((3)\) নং সরলরেখা নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাস।
\(\therefore -2(1+k)+1=0\)
\(\Rightarrow -2-2k+1=0\)
\(\Rightarrow -1-2k=0\)
\(\Rightarrow -2k=1\)
\(\therefore k=-\frac{1}{2}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2x+3y+1-\frac{1}{2}(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x+6y+2-(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x+6y+2-2x-1=0\)
\(\therefore 2x^2+2y^2+2x+6y+1=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(xix)\)
\(3\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(y=x-1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং এটি \((7, 3)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে, এরূপ দুইটি বৃত্ত পাওয়া যায় এবং এদের একটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((x-4)^2+(y-3)^2=9; (x-7)^2+(y-6)^2=9\).

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(y=x-1 ………(1)\)
কেন্দ্র \(C(h, k)\)
দেওয়া আছে ব্যাসার্ধ \(3\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=(3)^2\) | কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (x-h)^2+(y-k)^2=9 …….(2)\)
\((2)\) নং বৃত্ত \((7, 3)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (7-h)^2+(3-k)^2=9 …….(3)\)
আবার,
কেন্দ্র \(C(h, k)\), \((1)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore k=h-1 ………(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(\therefore (7-h)^2+(3-h+1)^2=9\)
\(\Rightarrow (7-h)^2+(4-h)^2=9\)
\(\Rightarrow 49-14h+h^2+16-8h+h^2-9=0\)
\(\Rightarrow 2h^2-22h+56=0\)
\(\Rightarrow h^2-11h+28=0\)| উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow h^2-7h-4h+28=0\)
\(\Rightarrow h(h-7)-4(h-7)=0\)
\(\Rightarrow (h-7)(h-4)=0\)
\(\Rightarrow h-7=0, h-4=0\)
\(\therefore h=7, h=4\)
\((4)\) হতে,
\(h=7\Rightarrow k=6\)
\(h=4\Rightarrow k=3\)
\(h\) ও \(k\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(h=7, k=6\Rightarrow (x-7)^2+(y-6)^2=9\)
\(h=4, k=3\Rightarrow (x-4)^2+(y-3)^2=9\)
\(\therefore \) বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, \((x-4)^2+(y-3)^2=9; (x-7)^2+(y-6)^2=9\).

\(Q.3.(xx)\)
\(x^2+y^2+4x-2y+3=0\) ও \(x^2+y^2-4x+6y-21=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+3=0; 2\sqrt{2}\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(S_1=x^2+y^2+4x-2y+3=0 ………(1)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=-2, c=3\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=-1, c=3\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(-2, 1)\)
ব্যসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{2^2+(-1)^2-3}\)
\(=\sqrt{4+1-3}\)
\(=\sqrt{5-3}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(S_2=x^2+y^2-4x+6y-21=0 ………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(S_1-S_2=0\) | \(S_1=0\) ও \(S_2=0\) বৃত্তের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ, \(S_1-S_2=0\) |
\(\Rightarrow x^2+y^2+4x-2y+3-x^2-y^2+4x-6y+21=0\)
\(\Rightarrow 8x-8y+24=0\)
\(\therefore x-y+3=0 ……(3)\) | উভয় পার্শে \(8\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ।
কেন্দ্র \(C(-2, 1)\) থেকে \(CD\), সাধারণ জ্যা- \((3)\) উপর লম্ব।
\(\therefore CD=\frac{|-2-1+3|}{\sqrt{1^2+1^2}}\)
\(=\frac{|0|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{0}{\sqrt{2}}\)
\(=0\)
\(\therefore \) কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব শুন্য, অর্থাৎ সাধারন জ্যা-\((3), S_1=0\) বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়। সাধারণ জ্যা-\((3), S_1=0\) বৃত্তের ব্যাস।
\(\therefore \) সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \(=2\times r\)ব্যসার্ধ
\(=2\times \sqrt{2}\)
\(=2\sqrt{2}\)
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ।

\(Q.3.(xxi)\)
নীচের বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করঃ
\(x^2+y^2-12x+16y-69=0\)
\(x^2+y^2-9x+12y-59=0\)
। উত্তরঃ \(10\)।

সমাধানঃ

\(Q.3.(xxii)\)
\((3, -3)\) বিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}+8x+4y-5=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-4y=21, 4x+3y=3, 5\) একক।

সমাধানঃ

ধরি,
\(x^{2}+y^{2}+8x+4y-5=0 ……(1)\)
এখানে,
\(2g=8, 2f=4, c=-5\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=4, f=2, c=-5\)
\((3, -3)\) বিন্দু হতে \((1)\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^{2}+y^{2}+8x+4y-5)\{3^{2}+(-3)^{2}+8.3+4.(-3)-5\}\)\(=\{x.3+y.(-3)+4(x+3)+2(y-3)-5\}^2\) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}+8x+4y-5)(9+9+24-12-5)\)\(=\{3x-3y+4x+12+2y-6-5\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}+8x+4y-5)(42-17)\)\(=(7x-y+1)^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}+8x+4y-5).25=49x^2+y^2+1-14xy-2y+14x\)
\(\Rightarrow 25x^{2}+25y^{2}+200x+100y-125-49x^2-y^2-1+14xy+2y-14x=0\)
\(\Rightarrow -24x^{2}+14xy+24y^{2}+186x+102y-126=0\)
\(\Rightarrow 12x^{2}-7xy-12y^{2}-93x-51y+63=0\) | উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 12x^{2}-16xy+9xy-12y^{2}-93x-51y+63=0\)
\(\Rightarrow 4x(3x-4y)+3y(3x-4y)-93x-51y+63=0\)
\(\therefore (3x-4y)(4x+3y)-93x-51y+63=0 ………(2)\)
ধরি,
\((3x-4y+m)(4x+3y+n)\equiv (3x-4y)(4x+3y)-93x-51y+63 ……..(3)\)
\((2)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x\) ও \(y\) এর সহগের সমতা নিয়ে,
\(4m+3n=-93 …….(4)\)locus4
\(3m-4n=-51 …….(5)\)
\((4)\times 4+(5)\times 3\) এর সাহায্যে,
\(16m+12n+9m-12n=-372-153\)
\(\Rightarrow 25m=-525\)
\(\Rightarrow m=-\frac{525}{25}\)
\(\therefore m=-21\)
আবার,
\((4)\times 3-(5)\times 4\) এর সাহায্যে,
\(12m+9n-12m+16n=-279+204\)
\(\Rightarrow 25n=-75\)
\(\Rightarrow n=-\frac{75}{25}\)
\(\therefore n=-3\)
\(m, n\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\((3x-4y-21)(4x+3y-3)\equiv (3x-4y)(4x+3y)-93x-51y+63 ……..(6)\)
\((2)\) ও \((6)\) হতে পাই,
\((3x-4y-21)(4x+3y-3)=0\)
\(\therefore 3x-4y-21=0, 4x+3y-3=0\)
\(\therefore \) স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ, \( 3x-4y-21=0, 4x+3y-3=0\)
আবার,
\((3, -3)\) বিন্দু থেকে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(=\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+8.3+4(-3)-5}\) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
\(=\sqrt{9+9+24-12-5}\)
\(=\sqrt{42-17}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\) একক।
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য।

\(Q.3.(xxiii)\)
\(b\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত যার কেন্দ্রের ভুজ ও কটি উভয়ই ধনাত্মক , \(X\) অক্ষ এবং \(3y=4x\) সরলরেখাকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4bx-2by+4b^2=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(3y=4x\)
\(4x-3y=0 …….(1)\)
কেন্দ্র \(C(h, k)\)
ব্যাসার্ধ \(b\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=b^2 …..(2)\)
\(X\) অক্ষ \((2)\) নং বৃত্তটিকে স্পর্শ করে, তাহলে কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore k=b\)
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তটিকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\therefore \frac{|4x-3y|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=b\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|4h-3k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=b\)
\(\Rightarrow \frac{|4h-3k|}{\sqrt{16+9}}=b\)
\(\Rightarrow \frac{|4h-3k|}{\sqrt{25}}=b\)
\(\Rightarrow \frac{|4h-3k|}{5}=b\)
\(\Rightarrow |4h-3k|=5b\)
\(\Rightarrow 4h-3k=\pm 5b\)
\(\Rightarrow 4h=3k\pm 5b\)
\(\Rightarrow h=\frac{3k\pm 5b}{4}\)
\(\Rightarrow h=\frac{3b\pm 5b}{4}\) | \(\because k=b\)
\(\Rightarrow h=\frac{3b+5b}{4}\) | ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow h=\frac{8b}{4}\)
\(\therefore h=2b\)
আবার,
\(\Rightarrow h=\frac{3b-5b}{4}\) | ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow h=\frac{-2b}{4}\)
\(\Rightarrow h=-\frac{b}{2}\)
\(\therefore h\ne-\frac{b}{2}\)
\(h, k\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(h=2b, k=b \Rightarrow (x-2b)^2+(y-b)^2=b^2\)
\(\Rightarrow x^2-4bx+4b^2+y^2-2by+b^2-b^2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-4bx-2by+4b^2=0\) ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(xxiv)\)
\(x^{2}+y^{2}-6x+10y-21=0\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দু \((1, -2)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(2x-3y-8=0, 2\sqrt{42}\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^{2}+y^{2}-6x+10y-21=0 …..(1)\)
\(2g=-6, 2f=10, c=-21\)
\(\Rightarrow g=-3, f=5, c=-21\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(3, -5)\)
ব্যাসার্ধ \(BC=AC=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+5^2+21}\)
\(=\sqrt{9+25+21}\)
\(=\sqrt{55}\)
\((1)\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ, যার মধ্যবিন্দু \(D(1, -2)\) .
\(x.1+y.(-2)-3(x+1)+5(y-2)-21\)\(=1^{2}+(-2)^{2}-6.1+10(-2)-21\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(D(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\)\(=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c\)
\(\Rightarrow x-2y-3x-3+5y-10-21=1+4-6-20-21\)
\(\Rightarrow -2x+3y-34=5-47\)
\(\Rightarrow -2x+3y-34=-42\)
\(\Rightarrow -2x+3y-34+42=0\)
\(\Rightarrow -2x+3y+8=0\)
\(\therefore 2x-3y-8=0 ……..(2)\)
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ।
এখন,
\(CD=\sqrt{(3-1)^2+(-5+2)^2}\)
\(=\sqrt{2^2+(-3)^2}\)
\(=\sqrt{4+9}\)
\(=\sqrt{13}\)
কেন্দ্র \(C(3, -5)\) থেকে \(CD\),জ্যা- \(AB\) উপর লম্ব।
তাহলে, \(\triangle ACD\) সমকোণী।
\(\therefore AD^2+CD^2=AC^2\)
\(\Rightarrow AD^2=AC^2-CD^2\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{(\sqrt{55})^2-(\sqrt{13})^2}\)
\(=\sqrt{55-13}\)
\(=\sqrt{42}\)
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \(AB=2\times AD\)
\(=2\times \sqrt{42}\)
\(=2\sqrt{42}\)
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ।

\(Q.3.(xxv)\)
\(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+8x+y+10=0\) বৃত্তের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(5(x^{2}+y^{2})+26x+12y+22=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.3.(xxvi)\)
\((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\) ও \((x-q)^2+(y-p)^2=r^2\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{4r^2-2(p-q)^2}\)।

সমাধানঃ

\(Q.3.(xxvii)\)
\(x^2+y^2-4x+6y-36=0\) ও \(x^2+y^2-5x+8y-43=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+3=0; 2\sqrt{2}\)।

সমাধানঃ

\(Q.3.(xxviii)\)
দেখাও যে, \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উপরস্থ যে কোন বিন্দু হতে \(x^2+y^2+2gx+2fy+\acute c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(\sqrt{\acute c-c}\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 ……..(1)\)
\(x^2+y^2+2gx+2fy+\acute c=0…….(2)\)
\(P(a, b)\), \((1)\) নং বৃত্তের উপর যে কোন বিন্দু।
\(\therefore a^2+b^2+2ga+2fb+c=0 ……..(3)\)
\(P(a, b)\) হতে \((2)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(=\sqrt{a^2+b^2+2ga+2fb+\acute c}\) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
\(=\sqrt{a^2+b^2+2ga+2fb+c+\acute c-c}\)
\(=\sqrt{0+\acute c-c}\) | \((3)\) এর সাহায্যে।
\(=\sqrt{\acute c-c}\)
[ Showed ]

\(Q.3.(xxix)\)
\(x=0\), \(y=0\) এবং \(x=a\) রেখা তিনটিকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৫; কুঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-ax\pm ay+\frac{1}{4}a^2=0\)

সমাধানঃ

ধরি,
\(x=0 ……(1)\)
\(y=0 ……(2)\)
\(x=a ……(3)\)
শর্তমতে,straight3
বৃত্তের ব্যাস \(=a\) | \(\because \) বৃত্তটি \(x=a\) রেখাকে স্পর্শ করে।
ব্যাসার্ধ \(=\frac{a}{2}\)
\(\because \) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore \) কেন্দ্র \((\frac{a}{2}, \frac{a}{2})\) যা ১ম চৌকোণে অবস্থিত।
বৃত্তটি \((3)\) নং সরলরেখাকে স্পর্শ করে বলে এর কেন্দ্র চতুর্থ চৌকোণেও অবস্থিত হবে।
সে ক্ষেত্রে কেন্দ্র \((\frac{a}{2}, -\frac{a}{2})\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((\frac{a}{2}, \pm \frac{a}{2})\)
এখন বৃত্তটির সমীকরণ,
\((x-\frac{a}{2})^{2}+(y\pm \frac{a}{2})^{2}=(\frac{a}{2})^{2}\) | কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (\frac{2x-a}{2})^{2}+(\frac{2y\pm a}{2})^{2}=\frac{a^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{(2x-a)^{2}}{4}+\frac{(2y\pm a)^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow (2x-a)^{2}+(2y\pm a)^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow 4x^{2}-4ax+a^{2}+4y^{2}\pm 4ay+a^{2}-a^{2}=0\)
\(\Rightarrow 4(x^{2}+y^{2})-4ax\pm 4ay+a^{2}=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(xxx)\)
\(\sqrt{2}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং যার কেন্দ্র তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত ।
উত্তরঃ \(x^2+y^2+2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+2=0\)

সমাধানঃ

ধরি,locus4
বৃত্তের কেন্দ্র \(C(h, k)\)
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ \(\sqrt{2}\).
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=(\sqrt{2})^2\) | কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (x-h)^2+(y-k)^2=2 ……..(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে। তাহলে, কেন্দ্রের \(x\) এবং \(y\) স্থানাঙ্ক উভয়ে ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(h=k=-\sqrt{2}\) | দেওয়া আছে, কেন্দ্র তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
\(h, k\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x+\sqrt{2})^2+(y+\sqrt{2})^2=2\)
\(\Rightarrow (x+\sqrt{2})^2+(y+\sqrt{2})^2=2\)
\(\Rightarrow x^2+2\sqrt{2}x+2+y^2+2\sqrt{2}y+2-2=0\)
\(\therefore x^2+y^2+2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+2=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(xxxi)\)
\((-5, -6)\) বিন্দুগামী একটি বৃত্ত \(3x+4y-11=0\) রেখাকে \((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2+4x+4y-17=0\)

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(3x+4y-11=0 …….(1)\)
\((1, 2)\) বিন্দুতে বিন্দুবৃত্তের সমীকরণ,
\((x-1)^2+(y-2)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-4y+4=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y+5=0 ……(2)\)
এখন,
\((-5, -6)\) বিন্দুগামী এবং \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ।
\(\frac{x^2+y^2-2x-4y+5}{3x+4y-11}=\frac{(-5)^2+(-6)^2-2(-5)-4(-6)+5}{3(-5)+4(-6)-11}\) | \(A(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী এবং \(ax+by+c=0\) রেখা ও \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2+y^2+2gx+2fy+c}{ax+by+c}=\frac{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}{ax_1+by_1+c}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+y^2-2x-4y+5}{3x+4y-11}=\frac{25+36+10+24+5}{-15-24-11}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+y^2-2x-4y+5}{3x+4y-11}=\frac{100}{-50}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+y^2-2x-4y+5}{3x+4y-11}=-2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-4y+5=-6x-8y+22\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-4y+5+6x+8y-22=0\)
\(\therefore x^2+y^2+4x+4y-17=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(xxxii)\)
\(12x+5y=212\) সরলরেখা হতে \(x^2+y^2-2x-2y=167\) বৃত্তের উপর যে বিন্দুটির দূরত্ব ক্ষুদ্রতম তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((13, 6)\) .

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(12x+5y-212=0 ……..(1)\)
\(x^2+y^2-2x-2y-167=0 ……(2)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=-2, c=-167\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=-1, c=-167\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+167}\)
\(=\sqrt{1+1+167}\)
\(=\sqrt{169}\)
\(=13\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-12y+k=0 ……..(3)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা কেন্দ্র \(C(1, 1)\) দিয়ে যায়,
\(\therefore 5.1-12.1+k=0\)
\(\Rightarrow 5-12+k=0\)
\(\Rightarrow -7+k=0\)
\(\therefore k=7\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(5x-12y+7=0 ……..(4)\)
\((1)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(\) নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{5\times 7-(-12)\times (-212)}=\frac{y}{5\times (-212)-12\times 7}=\frac{1}{12\times (-12)-5\times 5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{35-2544}=\frac{y}{-1060-84}=\frac{1}{-144-25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-2509}=\frac{y}{-1144}=\frac{1}{-169}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-2509}=\frac{1}{-169}, \frac{y}{-1144}=\frac{1}{-169}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-2509}{-169}, y=\frac{-1144}{-169}\)
\(\Rightarrow x=\frac{193}{13}, y=\frac{88}{13}\)
\(\therefore M(\frac{193}{13}, \frac{88}{13})\)
\(MC=\sqrt{(\frac{193}{13}-1)^2+(\frac{88}{13}-1)^2}\)
\(=\sqrt{(\frac{193-13}{13})^2+(\frac{88-13}{13})^2}\)
\(=\sqrt{(\frac{180}{13})^2+(\frac{75}{13})^2}\)
\(=\sqrt{\frac{32400}{169}+\frac{5625}{169}}\)
\(=\sqrt{\frac{32400+5625}{169}}\)
\(=\sqrt{\frac{38025}{169}}\)
\(=\sqrt{225}\)
\(=15\)
ধরি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(p(\alpha, \beta)\)
\(CP=r=13\)
\(PM=CM-CP=15-13=2\)
\(P\) বিন্দুটি \(CM\) কে \(13:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore P\left(\frac{13\times \frac{193}{13}+2\times 1}{13+2}, \frac{13\times \frac{88}{13}+2\times 1}{13+2}\right)\) | \(p(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{193+2}{15}, \frac{88+2}{15}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{195}{15}, \frac{90}{15}\right)\)
\(\therefore P(13, 6)\)
ইহাই নির্ণেয় বিন্দু।

\(Q.3.(xxxiii)\)
\(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তের যেসব জ্যা \((\alpha, \beta)\) বিন্দুগামী তাদের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x(x-\alpha)+y(y-\beta)=0\) .

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^2+y^2=r^2 ……(1)\)
((1)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
\(A(\alpha, \beta)\) বিন্দুগামী জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চার পথের \(P(x, y)\) যে কোন বিন্দু।
ফলে, \(PA\perp PO\)
\(PA\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y-\beta}{x-\alpha}\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(PO\) এর ঢাল \(m_2=\frac{y-0}{x-0}\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{y}{x}\)
শর্তমতে,
\(m_1\times m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-\beta}{x-\alpha}\times \frac{y}{x}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y(y-\beta)}{x(x-\alpha)}=-1\)
\(\Rightarrow y(y-\beta)=-x(x-\alpha)\)
\(\therefore x(x-\alpha)+y(y-\beta)=0\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরণ।

\(Q.3.(xxxiv)\)
\((h, k)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2=12\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(x^2+y^2+5x+5y=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ। \((h, k)\) বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^2+3y^2+20x+20y+12=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^2+y^2-12=0 …..(1)\)
\(x^2+y^2+5x+5y=0 …..(2)\)
\(P(h, k)\) বিন্দু হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(PT_1=\sqrt{h^2+k^2-12}\) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1-r^2}\)
\(P(h, k)\) বিন্দু হতে \((2)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(PT_2=\sqrt{h^2+k^2+5h+5k}\) | \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
শর্তমতে,
\(PT_1=2PT_2\)
\(\Rightarrow \sqrt{h^2+k^2-12}=2\sqrt{h^2+k^2+5h+5k}\)
\(\Rightarrow h^2+k^2-12=4(h^2+k^2+5h+5k)\)
\(\Rightarrow 4(h^2+k^2+5h+5k)=h^2+k^2-12\)
\(\Rightarrow 4h^2+4k^2+20h+20k-h^2-k^2+12=0\)
\(\Rightarrow 3h^2+3k^2+20h+20k+12=0\)
\(\therefore P(h, k)\) বিন্দুর সঞ্চার পথ, \(3x^2+3y^2+20x+20y+12=0\).

\(Q.3.(xxxv)\)
যেসব বিন্দু থেকে \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি পরস্পর লম্ব হয় তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2=2a^2\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^2+y^2=a^2 …….(1)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=a\)
আবার,
সঞ্চার পথের উপর যে কোন বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় \(PA\) এবং \(PB\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \Box PAOB\)-এ \(\angle A=\angle B=\angle P=90^o\)
\(\therefore \angle O=90^o\)
আবার,
\(AO=BO=a=\)ব্যাসার্ধ ।
\(\therefore \Box PAOB\)একটি বর্গক্ষেত্র যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(=a\) একক।
এখন,
\(PO^2=PA^2+AO^2\)
\(\Rightarrow (x-0)^2+(y-0)^2=a^2+a^2\)
\(\therefore x^2+y^2=2a^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরন।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
\(x^2+y^2=a^2 …….(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y=mx\pm a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow y-mx=\pm a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow (y-mx)^2=a^2(1+m^2)\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2=a^2+m^2a^2\)
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2-a^2-m^2a^2=0\)
\(\therefore (x^2-a^2)m^2-2mxy+(y^2-a^2)=0 …..(2)\) যা \(m\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(m\) এর দুইটি মাণ যথাক্রমে \(m_1\) ও \(m_2\)।
\(\therefore m_1m_2=\frac{y^2-a^2}{x^2-a^2} …..(3)\) | \(ax^2+bx+c=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha, \beta \) হলে, মূল দ্বয়ের গুনফল \(\alpha \beta=\frac{c}{a}\)
আবার,
স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব বলে, \(m_1m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2-a^2}{x^2-a^2}=-1\)
\(\Rightarrow y^2-a^2=-(x^2-a^2)\)
\(\Rightarrow y^2-a^2=-x^2+a^2\)
\(\Rightarrow y^2-a^2+x^2=a^2\)
\(\Rightarrow y^2+x^2=a^2+a^2\)
\(\therefore y^2+x^2=2a^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরন।

\(Q.3.(xxxvi)\)
\(3x-y-1=0\) সরলরেখা \((x-2)^2+y^2=5\) বৃত্তকে যে সূক্ষ্ণকোণে ছেদ করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(45^o\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(3x-y-1=0\)
\(\Rightarrow y=3x-1 …..(1)\)
\((x-2)^2+y^2=5 ……(2)\)
\((2)\) এর কেন্দ্র \(C(2, 0)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((x-2)^2+(3x-1)^2=5\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+9x^2-6x+1-5=0\)
\(\Rightarrow 10x^2-10x=0\)
\(\Rightarrow 10x(x-1)=0\)
\(\Rightarrow 10x=0, x-1=0\)
\(\therefore x=0, x=1\)
\(x\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x=0\Rightarrow y=-1, x=1\Rightarrow y=2\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(A(0, -1)\) এবং \(B(1, 2)\)
\(A(0, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্ব \(CA\) এর ঢাল \(m=\frac{0+1}{2-0}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(A(0, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের এর ঢাল \(m_1=-2\)
\((1)\) সরলরেখার ঢাল \(m_2=3\)
\((1)\) সরলরেখা ও \(A(0, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) নির্ণয় করতে হবে।
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{|m_1-m_2|}{1+m_1m_2}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{-2-3}{1+(-2).3}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{-5}{1-6}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{-5}{-5}\right)\)
\(=\tan^{-1}1\)
\(=\tan^{-1}\tan45^o\)
\(=45^o\)
ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।

\(Q.3.(xxxvii)\)
দেখাও যে, \(P(h, k)\) বিন্দু থেকে মূলবিন্দুগামী সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=mx\)
\(\Rightarrow m=\frac{y}{x} ……(1)\)
পাদবিন্দুর সঞ্চার পথের উপর যে কোন বিন্দু \(Q(x, y)\)
দেওয়া আছে, \(P(h, k)\)
\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{k-y}{h-x}\)
\((1)\) নং সরলরেখা এবং \(PQ\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore m\times m_1=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{x}\times \frac{k-y}{h-x}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y(k-y)}{x(h-x)}=-1\)
\(\Rightarrow -x(h-x)=y(k-y)\)
\(\Rightarrow -hx+x^2=ky-y^2\)
\(\Rightarrow -hx+x^2-ky+y^2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-hx-ky=0\) যা একটি বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(xxxviii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-2ax-2ay+a^2=0\) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে। স্পর্শ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y=a, \sqrt{2}a\)

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^2+y^2-2ax-2ay+a^2=0 ……(1)\)
এখানে,
\(2g=-2a, 2f=-2a, c=a^2\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-a, f=-a, c=a^2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(a, a)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-a)^2+(-a)^2-a^2}\)
\(=\sqrt{a^2+a^2-a^2}\)
\(=\sqrt{a^2}\)
\(=a\)
এখন,
\(g^2=(-a)^2=a^2=c\)
\(f^2=(-a)^2=a^2=c\)
\(\therefore g^2=f^2=c\)
\(\therefore (1)\) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x.0+y.0-a(x+0)-a(y+0)+a^2=0\) | বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু \((x_1, y_1)\) হতে স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow -ax-ay+a^2=0\)
\(\Rightarrow x+y-a=0\) | উভয় পার্শে \(-a\) ভাগ করে।
\(\therefore x+y=a\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ।
কেন্দ্র হতে স্পর্শ জ্যা \(AB\)-এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(CD=\frac{|a+a-a|}{\sqrt{1^2+1^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|a|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(D, AB\)-এর মধ্যবিন্দু।
\(\triangle ACD\) সমকোণী।
\(\therefore AD^2+CD^2=AC^2\)
\(\Rightarrow AD^2=AC^2-CD^2\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{AC^2-CD^2}\)
\(=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2a^2-a^2}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{a^2}{2}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
স্পর্শ জ্য-এর দৈর্ঘ্য, \(AB=2AD\)
\(=2\times \frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}a\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য।

1 2 3 4 5 6 7