বৃত্ত-২ (Circle-Two)

অনুশীলনী \(4.A\) / \(Q.4\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q.4.(i)\) কোন বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((1, 5)\) \((7, -3)\) ।
\((a)\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ একসমকোণ এটা প্রয়োগ করে বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) অপর একটি ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, উল্লেখিত ব্যাসের উপর লম্ব।
\((c)\) মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) x^2+y^2-8x-2y-8=0 ;\) \((b) \ 3x-4y-8=0;\) \((c) \ x^2+y^2-3x-5y=0 \) ।

\(Q.4.(ii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+4x-6y-12=0\)
\((a)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-8x-6y+16=0\) এবং \(x^2+y^2=4\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
\((b)\) \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি কি শর্তে একটি বাস্তব বৃত্ত সূচিত করে?
\((c)\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((4, 5)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্রগামী ।
উত্তরঃ \((c) \ x^2+y^2-8x-10y+1=0 \) ।

\(Q.4.(iii)\)
একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2-4x+4y=4\) এবং একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x+4y=9\) ।
\((a)\) দেখাও যে, বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
\((b)\) \(2x-3y-9=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-2x-4y+c=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক হলে, \(c\)এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত বৃত্তের দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত রেখাটির উপর লম্ব ।
উত্তরঃ \((b) 8\) । \((c) \) ।

\(Q.4.(iv)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+4x+6y-12=0\)।
\((a)\) দেখাও যে, \(A(1, 1)\) বিন্দুটি প্রদত্ত বৃত্তের উপর অবস্থিত।
\((b)\) \(A\) বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my=1\) রেখাটি \(x^2y^2-2ax=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(a^2m^2+2al=1\) হয় ।
উত্তরঃ \((b) (-5, -7) \)।

\(Q.4.(v)\) \(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।
\((a)\) বৃত্তটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয়ের সূত্রটি প্রতিষ্ঠা কর।
\((b)\) বৃত্তটির \(X\) ও \(Y\) অক্ষদ্বয়কে স্পর্শ করার শর্ত নির্ণয় কর ।
\((c)\) \(x^2+y^2=16\) বৃত্তের স্পর্শক \(X\) অক্ষের সহিত \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((c) \sqrt{3}y=x\pm 8 \)।

locus4

\(Q.4.(vi)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(x^2+y^2-12x-2y+12=0\) বৃত্তে \(AB\)একটি জ্যা যার মধ্যবিন্দু \(D(2, 3)\)।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক এবং \(D(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\((c)\) \(AB\) জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (6, 1), 5\) একক। \((b) \ x^2+y^2-12x-2y+17=0\) \((c) \ 2x-y-1=0\)।

locus4

\(Q.4.(vii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(M\) বিন্দুটি \(AB\) জ্যা-এর মধ্যবিন্দু এবং \(PQ\) রেখার সমীকরণ \(x+y-6=0\)।
\((a)\) \(OM\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(OACB\) বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(PQ\) যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3x-4y=0 \) ; \((b) \ x^2+y^2-4x-3y=0\) \((c) \ 2x^2+2y^2-13x-11y+30=0\)।

নিজে কর।

\(Q.4.(viii)\)
\(2x-y=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10x\) বৃত্তটির একটি জ্যা।
\((a)\) বৃত্তটি দ্বারা \(X\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) উক্ত জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((5, 10)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((a) \ 10 \) একক। \((b) \ x^2+y^2-2x-4y=0\) \((c) \ x^2+y^2-10x-20y+100=0\)।

নিজে কর।

locus4

\(Q.4.(ix)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(C\) কেন্দ্রবিশীষ্ট বৃত্তে \(AB\) একটি ব্যাস।
\((a)\) বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) বৃত্তটি দ্বারা \(X\) ও \(Y\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(A, B\) এবং মূলবিন্দুগামী বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x^2+y^2-8x-2y-51=0 \) ; \((b) \ 2\sqrt{67}, 4\sqrt{13}\) \((c) \ 16x^2+16y^2-230x-440y=0\)।

নিজে কর।

locus4

\(Q.4.(x)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(2x-y=3\) রেখার উপর কেন্দ্রবিশীষ্ট একটি বৃত্ত \((3, -2)\) ও \((-2, 0)\) বিন্দুগামী।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র \(h, k\) হলে, \(h\) ও \(k\) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ k=2h-3 \) ; \((b) \ (-2, -7)\) \((c) \ 2\sqrt{45}\) একক।

নিজে কর।

\(Q.4.(xi)\)
\(x^2+y^2+4x+10y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও \(c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) স্পর্শবিন্দু ও বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর। ।
\((c)\) দেখাও যে, \(A(-6, -2)\) বিন্দুটি বৃত্তটির উপর অবস্থিত। \(A\) বিন্দু দিয়ে বৃত্তটির যে ব্যাস অঙ্কন করা যায় তার অপর প্রান্তের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-2, -5), c=4 \) ; \((b) \ (-2, 0), \sqrt{21}\) একক। \((c) (2, -8)\)।

নিজে কর।

\(Q.4.(xii)\)
\(y=2x\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10x\) বৃত্তটির একটি জ্যা।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) উক্ত জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((5, 10)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((a) \ (5, 0), 5 \) একক। \((b) \ x^2+y^2-2x-4y=0\) একক। \((c) \ x^2+y^2-10x-20y+100=0\)।

নিজে কর।

\(Q.4.(xiii)\)
\(x^2+y^2-2x+2y=2\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(3x+4y-9=0\)।
\((a)\) দেখাও যে, স্পর্শক থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব বৃত্তটির ব্যাসার্ধের সমান।
\((b)\) এরূপ দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উল্লেখিত রেখার উপর লম্ব হবে।
\((c)\) \((4, -3)\) বিন্দু থেকে বৃত্তটির উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য এবং সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ 4x-3y+3=0, 4x-3y-17=0\)। \((c) \ 3, 12x+5y-33=0\)।

নিজে কর।

locus4

\(Q.4.(xiv)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(OC\) এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \(OP\) স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) বৃত্তটির যে জ্যা \(\left(1, \frac{3}{2}\right)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয় তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \sqrt{3} \) একক। \((b) \ 3x-4y=0\) \((c) \ 2y-3=0\)।

নিজে কর।

\(Q.4.(xv)\)
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0\) এবং \(x^2+y^2+4x+3y+3=0\) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে ছেদ করে।
\((a)\) সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((b)\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু ও প্রদত্ত বৃত্তদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যাবে।
উত্তরঃ \((a) \ x+1=0\)। \((b) \ x^2+y^2+3y-1=0\)। \((c) \ x^2+y^2+x+3y=0\)।

নিজে কর।

অনুশীলনী \(4.B\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহের সমাধান

\(Q.4.(i)\)
কোন বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((1, 5)\) \((7, -3)\) ।
\((a)\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ একসমকোণ এটা প্রয়োগ করে বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) অপর একটি ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, উল্লেখিত ব্যাসের উপর লম্ব।
\((c)\) মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) x^2+y^2-8x-2y-8=0 ;\) \((b) \ 3x-4y-8=0;\) \((c) \ x^2+y^2-3x-5y=0 \) ।

সমাধানঃ

\(Q.4.(i).(a)\) locus4
ধরি,
\(A(1, 5)\) \(B(7, -3)\)
বৃত্তের পরিধির উপর যে কোন বিন্দু \(P(x, y)\)
\(\therefore \) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ \(\angle APB=90^o\)
তাহলে, \(PA\perp PB\)
\(PA\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y-5}{x-1}\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(PB\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y+3}{x-7}\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
শর্তমতে,
\(m_1\times m_2=-1\) | \(y=m_1x+c_1\), \(y=m_2x+c_2\) সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত, \(m_1\times m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-5}{x-1}\times \frac{y+3}{x-7}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{(y-5)(y+3)}{(x-1)(x-7)}=-1\)
\(\Rightarrow (y-5)(y+3)=-(x-1)(x-7)\)
\(\Rightarrow y^2-5y+3y-15=-(x^2-x-7x+7)\)
\(\Rightarrow y^2-2y-15=-(x^2-8x+7)\)
\(\Rightarrow y^2-2y-15=-x^2+8x-7\)
\(\Rightarrow y^2-2y-15+x^2-8x+7=0\)
\(\therefore x^2+y^2-8x-2y-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.4.(i).(b)\)
ধরি,locus4
\((a)\) হতে প্রাপ্ত
\(x^2+y^2-8x-2y-8=0 ……(1)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-2, c=-8\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=-1, c=-8\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(4, 1)\)
আবার,
\(A(1, 5)\) \(B(7, -3)\)
\(AB\) ব্যাসের ঢাল \(=\frac{5+3}{1-7}=\frac{8}{-6}=-\frac{4}{3}\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(AB\) ব্যাসের উপর লম্ব রেখার ঢাল \(m=\frac{3}{4}\)
\(AB\) ব্যাসের উপর লম্ব রেখার সমীকরণ, \(y=\frac{3}{4}x+c ………(2)\)
\((2)\) নং রেখা কেন্দ্র \(C(4, 1)\) দিয়ে যায়,
\(\therefore 1=\frac{3}{4}4+c \)
\(\Rightarrow 1=3+c \)
\(\Rightarrow 3+c=1 \)
\(\Rightarrow c=1-2 \)
\(\therefore c=-1 \)
\(c\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y=\frac{3}{4}x-1\)
\(\Rightarrow y=\frac{3x}{4}-1\)
\(\Rightarrow y=\frac{3x-4}{4}\)
\(\Rightarrow 3x-4=4y\)
\(\therefore 3x-4y-4=0\)
\(Q.4.(i).(c)\)
দেওয়া আছে,locus4
\(X\) ও \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে।
অর্থাৎ বৃত্তটি \(A(3, 0)\) এবং \(B(0, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
ধরি,
মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy=0 ……(3)\)
\((3)\) নং বৃত্তটি \(A(3, 0)\) এবং \(B(0, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 3^2+0^2+2g.3+2f.0=0 \)
\(\Rightarrow 9+6g=0 \)
\(\Rightarrow 6g=-9 \)
\(\Rightarrow g=-\frac{9}{6} \)
\(\therefore g=-\frac{3}{2} \)
আবার,
\(\therefore 0^2+5^2+2g.0+2f.5=0 \)
\(\Rightarrow 25+10f=0 \)
\(\Rightarrow 10f=-25 \)
\(\Rightarrow f=-\frac{25}{10} \)
\(\therefore f=-\frac{5}{2} \)
\(g, f\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2(-\frac{3}{2})x+2(-\frac{5}{2})y=0\)
\(\therefore x^2+y^2-3x-5y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.4.(ii)\)
একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+4x-6y-12=0\)
\((a)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-8x-6y+16=0\) এবং \(x^2+y^2=4\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
\((b)\) \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি কি শর্তে একটি বাস্তব বৃত্ত সূচিত করে?
\((c)\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((4, 5)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্রগামী ।
উত্তরঃ \((c) \ x^2+y^2-8x-10y+1=0 \) ।

সমাধানঃ

\(Q.4.(ii).(a)\)
ধরি,locus4
\(x^2+y^2-8x-6y+16=0 ……..(1)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-6, c=16\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=-3, c=16\)
কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(4, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2-16}\)
\(=\sqrt{16+9-16}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\(x^2+y^2=2^2 …….(2)\)
এখানে,
কেন্দ্র \(C_2(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r_2=2\)
এখন,
\(C_1C_2=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}\)
\(=\sqrt{4^2+3^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(=3+2\)
\(=r_1+r_2\)
\(\therefore C_1C_2=r_1+r_2\)
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
\(Q.4.(ii).(b)\)
ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 ……(3)\)
ইহা \(x, y\) এর সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ। বাস্তব বৃত্ত সূচিত করার শর্তগুলি নিম্নরূপ।
\((1)\) \(x^{2}\) এবং \(y^{2}\) এর সহগদ্বয় সমান হবে, অর্থাৎ \(a=b\)।
\((2)\) \(xy\) সম্বলিত কোনো পদ থাকবে না, অর্থাৎ \(h=0\)।
\((3)\) \(g^{2}+f^{2}>c\) ।
\(Q.4.(ii).(c)\)
ধরি, locus4
\(x^2+y^2+4x-6y-12=0 …..(4)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=-6, c=-12\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=-3, c=-12\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(-2, 3)\)
দেওয়া আছে,
নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র \((4, 5)\)
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-4)^2+(y-5)^2=r^2 …….(5)\)
\((5)\) নং বৃত্ত \(C(-2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore (-2-4)^2+(3-5)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (-6)^2+(-2)^2=r^2\)
\(\Rightarrow 36+4=r^2\)
\(\Rightarrow 40=r^2\)
\(\therefore r^2=40\)
\(r^2\) এর মাণ \((5)\) এ বসিয়ে,
\(\therefore(x-4)^2+(y-5)^2=40\)
\(\therefore x^2+y^2-8x-10y+1=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.4.(iii)\)
একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2-4x-4y+4=0\) এবং একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x+4y=9\) ।
\((a)\) দেখাও যে, বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
\((b)\) \(2x-3y-9=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-2x-4y+c=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক হলে, \(c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত বৃত্তের দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত রেখাটির উপর লম্ব ।
উত্তরঃ \((b) -8\) । \((c) 4x-3y+8=0, 4x-3y-12=0\) ।

সমাধানঃ

\(Q.4.(iii).(a)\)locus4
ধরি,
\(x^2+y^2-4x-4y+4=0 ………(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-4, c=4\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-2, c=4\)
এখন,
\(g^2=(-2)^2=4=c\)
\(f^2=(-2)^2=4=c\)
\(\therefore g^2=f^2=c\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উভয় অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত, \( g^2=f^2=c\)
\(\therefore (1)\) নং বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
\(Q.4.(iii).(b)\)
ধরি,locus4
\(2x-3y-9=0 …….(1)\)
\(x^2+y^2-2x-4y+c=0 ……(2)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=-4, c=c\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=-2, c=c\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, 2)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2-c}\)
\(=\sqrt{1+4-c}\)
\(=\sqrt{5-c}\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র \(C(1, 2)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমণ হয়।
\(\therefore \frac{|2.1-3.2-9|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\sqrt{5-c}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2-6-9|}{\sqrt{4+9}}=\sqrt{5-c}\)
\(\Rightarrow \frac{|-13|}{\sqrt{13}}=\sqrt{5-c}\)
\(\Rightarrow \frac{13}{\sqrt{13}}=\sqrt{5-c}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\sqrt{5-c}\)
\(\Rightarrow \sqrt{13}=\sqrt{5-c}\)
\(\Rightarrow 13=5-c\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow c=5-13\)
\(\therefore c=-8\)
\(Q.4.(iii).(c)\)locus4
ধরি,
\(3x+4y-9=0 …….(1)\)
\(x^2+y^2-4x-4y+4=0 …….(2)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-4, c=4\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-2, c=4\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(2, 2)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2-4}\)
\(=\sqrt{4+4-4}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x-3y+k=0 …….(3)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র \(C(2, -2)\) হতে \((3)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমণ হয়।
\(\therefore \frac{|4.2-3.2+k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=2\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|8-6+k|}{\sqrt{16+9}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{\sqrt{25}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{5}=2\)
\(\Rightarrow |2+k|=10\)
\(\Rightarrow 2+k=\pm 10\)
\(\Rightarrow k=\pm 10-2\)
\(\Rightarrow k=8, -12\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y+8=0, 4x-3y-12=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

\(Q.4.(iv)\)
একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+4x+6y-12=0\)।
\((a)\) দেখাও যে, \(A(1, 1)\) বিন্দুটি প্রদত্ত বৃত্তের উপর অবস্থিত।
\((b)\) \(A\) বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my=1\) রেখাটি \(x^2y^2-2ax=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(a^2m^2+2al=1\) হয় ।
উত্তরঃ \((b) (-5, -7) \)।

সমাধানঃ

\(Q.4.(iv).(a)\)locus4
ধরি,
\(x^2+y^2+4x+6y-12=0 ……(1)\)
দেওয়া আছে,
\(A(1, 1)\)
এখন,
\(A(1, 1)\) বিন্দুটি \((1)\) বৃত্তে বসাই,
\(\therefore 1^2+1^2+4.1+6.1-12=0\)
\(\Rightarrow 1+1+4+6-12=0\)
\(\Rightarrow 12-12=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
\(A(1, 1)\) বিন্দুটি \((1)\) বৃত্তেকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore \) বিন্দুটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত।
\(Q.4.(iv).(b)\)
ধরি,locus4
ধরি,
\(x^2+y^2+4x+6y-12=0 ……(1)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=6, c=-12\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=3, c=-12\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(-2, -3)\)
ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দু \(B(x, y)\) হলে, C(-2, -3)\) হবে \(AB\) ব্যাসের মধ্যবিন্দু।
\(\therefore \frac{1+x}{2}=-2, \frac{1+y}{2}=-3\)
\(\Rightarrow 1+x=-4, 1+y=-6\)
\(\Rightarrow x=-4-1, y=-6-1\)
\(\therefore x=-5, y=-7\)
\(\therefore B(-5, -7)\)
ইহাই ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\(Q.4.(iv).(c)\)
ধরি, locus4
\(lx+my-1=0 …..(1)\)
\(x^2+y^2-2ax=0 ……(2)\)
এখানে,
\(2g=-2a, 2f=0, c=0\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-a, f=0, c=0\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(therefore (a, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-a)^2+0^2-0}\)
\(=\sqrt{a^2+0-0}\)
\(=\sqrt{a^2}\)
\(=a\)
\(\because \) বৃত্তটি \((1)\) নং সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \frac{|l.a+m.0-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|l.a+m.0-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{|al-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{(al-1)^2}{l^2+m^2}=a^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow a^2(l^2+m^2)=(al-1)^2\)
\(\Rightarrow a^2l^2+a^2m^2=a^2l^2-2al+1\)
\(\Rightarrow a^2l^2+a^2m^2-a^2l^2+2al=1\)
\(\therefore a^2m^2+2al=1\)
[ showed ]

\(Q.4.(v)\)
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।
\((a)\) বৃত্তটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয়ের সূত্রটি প্রতিষ্ঠা কর।
\((b)\) বৃত্তটির \(X\) ও \(Y\) অক্ষদ্বয়কে স্পর্শ করার শর্ত নির্ণয় কর ।
\((c)\) \(x^2+y^2=16\) বৃত্তের স্পর্শক \(X\) অক্ষের সহিত \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((c) \sqrt{3}y=x\pm 8 \)।

সমাধানঃ

\(Q.4.(v).(a)\)straight3
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ……….(1)\)
ধরি,
\((1)\) নং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে \(A(x_{1}, 0)\) ও \(B(x_{2}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে,
সুতরাং, \((1)\) নং সমীকরণে \(y=0\) বসিয়ে পাই,
\(x^{2}+2gx+c=0\) যা \(x\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলদ্বয় \(x_{1}\) ও \(x_{2}\)।
\(\therefore\) মূলদ্বয়ের যোগফল, \(x_{1}+x_{2}=-2g\)
এবং মূলদ্বয়ের গুনফল, \(x_{1}x_{2}=c\)
সুতরাং, বৃত্তটি দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=|x_{1}-x_{2}|\)
\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}\)
\(=\sqrt{(-2g)^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4g^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4(g^{2}-c)}\)
\(=2\sqrt{g^{2}-c}\)
ইহাই নির্ণেয় \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ ।
আবার,straight3
\((1)\) নং বৃত্তটি \(Y\) অক্ষকে \(C(x_{1}, 0)\) ও \(D(x_{2}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে,
সুতরাং, \((1)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে পাই,
\(y^{2}+2fy+c=0\) যা \(y\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলদ্বয় \(y_{1}\) ও \(y_{2}\)।
\(\therefore\) মূলদ্বয়ের যোগফল, \(y_{1}+y_{2}=-2f\)
এবং মূলদ্বয়ের গুনফল, \(y_{1}y_{2}=c\)
সুতরাং, বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=|y_{1}-y_{2}|\)
\(=\sqrt{(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}}\)
\(=\sqrt{(-2f)^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4f^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4(f^{2}-c)}\)
\(=2\sqrt{f^{2}-c}\)
ইহাই নির্ণেয় \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ ।
\(Q.4.(v).(b)\)
ধরি,straight3
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ……….(1)\)
কেন্দ্রঃ \((-g, -f)\)
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
\((1)\) নং বৃত্ত , যখন \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে তখন কেন্দ্রের \(y\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান হয়,
\(\therefore \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}=-f\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c=(-f)^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c=f^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c-f^{2}=0\)
\(\Rightarrow g^{2}-c=0\)
\(\therefore g^{2}=c\)
ইহাই নির্ণেয় \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত।
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত , যখন \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে তখন কেন্দ্রের \(x\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান হয়,
\(\therefore \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}=-g\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c=(-g)^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c=g^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c-g^{2}=0\)
\(\Rightarrow f^{2}-c=0\)
\(\therefore f^{2}=c\)
ইহাই নির্ণেয় \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত।
\(Q.4.(v).(c)\)locus4
\(x^2+y^2=4^2 …..(1)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=4\)
\((1)\) বৃত্তের স্পর্শক \(y=mx+c\Rightarrow mx-y+c=0 ….(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|m.0-0+c|}{\sqrt{m^2+1^2}}=4\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=4\)
\(\Rightarrow |c|=4\sqrt{(m^2+1)}\)
\(\Rightarrow c=\pm 4\sqrt{(m^2+1)}\)
\(c\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(mx-y\pm 4\sqrt{(m^2+1)}=0 …….(3)\)
আবার,
\((2)\) নং সরলরেখা \(X\) অক্ষের সাথে \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে।
অর্থাৎ \(m=\tan30^o\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\) | \(\because \tan30^o=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(m\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\frac{1}{\sqrt{3}}x-y\pm 4\sqrt{\{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2+1\}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}-y\pm 4\sqrt{\{\frac{1}{3}+1\}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}-y\pm 4\sqrt{\{\frac{1+3}{3}\}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}-y\pm 4\sqrt{\frac{4}{3}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}-y\pm 4.\frac{2}{\sqrt{3}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}-y\pm \frac{8}{\sqrt{3}}=0\)
\(\Rightarrow x-\sqrt{3}y\pm 8=0\) | উভয় পার্শে \(\sqrt{3}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x\pm 8=\sqrt{3}y\)
\(\therefore \sqrt{3}y=x\pm 8\) |
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

locus4

\(Q.4.(vi)\)
চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(x^2+y^2-12x-2y+12=0\) বৃত্তে \(AB\)একটি জ্যা যার মধ্যবিন্দু \(D(2, 3)\)।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক এবং \(D(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\((c)\) \(AB\) জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (6, 1), 5\) একক। \((b) \ x^2+y^2-12x-2y+17=0\) \((c) \ 2x-y-1=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.4.(vi).(a)\)
ধরি,locus4
\(x^2+y^2-12x-2y+12=0 …….(1)\)
এখানে,
\(2g=-12, 2f=-2, c=12\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-6, f=-1, c=12\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(therefore (6, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-6)^2+(-1)^2-12}\)
\(=\sqrt{36+1-12}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(Q.4.(vi).(b)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত বৃত্তের কেন্দ্র \( (6, 1)\),locus4
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-6)^2+(y-1)^2=r^2 ………(2)\) | কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\((2)\) নং বৃত্ত \(D(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore (2-6)^2+(3-1)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (-4)^2+(2)^2=r^2\)
\(\Rightarrow 16+4=r^2\)
\(\Rightarrow 20=r^2\)
\(\therefore r^2=20\)
\(r^2\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-6)^2+(y-1)^2=20\)
\(\Rightarrow x^2-12x+36+y^2-2y+1-20=0\)
\(\therefore x^2+y^2-12x-2y+17=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.4.(vi).(c)\)দেওয়া আছে,locus4
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)
\((1)\) নং বৃত্তে \(AB\)একটি জ্যা যার মধ্যবিন্দু \(D(2, 3)\)।
জে-এর সমীকরণ,
\(x.2+y.3-6(x+2)-1(y+3)+12\)\(=2^2+3^2-12.2-2.3+12\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\)\(=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c\)
\(\Rightarrow 2x+3y-6x-12-y-3+12\)\(=4+9-24-6+12\)
\(\Rightarrow -4x+2y-3=25-30\)
\(\Rightarrow -4x+2y-3=-5\)
\(\Rightarrow -4x+2y-3+5=0\)
\(\Rightarrow -4x+2y+2=0\)
\(\therefore 2x-y-1=0\) | উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।

1 2 3 4 5 6 7