বৃত্ত-২ (Circle-Two)

ভর্তি পরীক্ষায় আসা \(Q.5\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.5.(i)\) \(C\) কেন্দ্রবিশিষ্ট \(x^2+y^2+6x-4y+4=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(X\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(AB\) এবং \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫]
উত্তরঃ \(2\sqrt{5}, 2\sqrt{5}\) বর্গ একক।

\(Q.5.(ii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(y=2\) রেখাকে \((3, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((1, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪, ২০০৭-২০০৮ ]
উত্তরঃ \((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4 \)।

\(Q.5.(iii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দীর্ঘ একটি জ্যা খণ্ডিত করে।
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২, ২০০২-২০০৩ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-8x+10y+16=0, x^2+y^2-8x-10y+16=0\)।

\(Q.5.(iv)\)\(x^2+y^2=45\) বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক \(x^2+y^2-4x+2y-35=0\) বৃত্তকে \(A\)ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে । দেখাও যে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব।
[ বুয়েটঃ ২০০০-২০০১ ] ।

\(Q.5.(v)\)\(x^2+y^2=9\) বৃত্তের স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(45^o\) কোণ উৎপন্ন করে, স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুটেক্সঃ ২০১১-২০১২ ]
উত্তরঃ \(x-y\pm 3\sqrt{2}=0\)।

\(Q.5.(vi)\) বৃত্ত \(x^2+y^2+4x-8y+2=0\) এর স্পর্শক গুলির সমীকরণ নির্ণয় কর যারা অক্ষদ্বয়কে সমান ও বিপরীত চিহ্নে খণ্ডিত করে।
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(x-y=0, x-y+12=0\)।

\(Q.5.(vii)\) \(2x^2+2y^2-3x-4y+1=0\) এবং \(16x^2+16y^2-32x-1=0\) দুইটি বৃত্ত। দেখাও যে, তাদের একটির কেন্দ্র অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ] ।

\(Q.5.(viii)\) \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((3, 0)\) ও \((7, 0)\) বিন্দুদ্বয় দিয়ে গমনকারী বৃত্তগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0\) ।

\(Q.5.(ix)\) \(r\)-এর মাণ কত হলে, \(r\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট শুধুমাত্র একটিই বৃত্ত পাওয়া যাবে যা, \((6, 7)\) ও \((12, 13)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3\sqrt{2}\) ।

\(Q.5.(x)\) \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দৈর্ঘ্যের জ্যা কর্তন করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-8x\pm 10y+16=0\) ।

\(Q.5.(xi)\) \(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের অঙ্কিত ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এ ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
উত্তরঃ \(12x+5y=0, 5x-12y=0\) ।

\(Q.5.(xii)\) \(x^2+y^2-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করলে \(c\)-এর মাণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
উত্তরঃ \(4, (2, 0)\) ।

\(Q.5.(xiii)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((1, 8)\) বিন্দু দিয়ে গমন করে ।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
উত্তরঃ \((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\) ।

\(Q.5.(xiv)\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের এমন দুইটি স্পর্শকের ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর যারা পরস্পর লম্ব।
[ বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(x^{2}+x^{2}=2a^2\) ।

ভর্তি পরীক্ষায় আসা \(Q.5\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

\(Q.5.(i)\)
\(C\) কেন্দ্রবিশিষ্ট \(x^2+y^2+6x-4y+4=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(X\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(AB\) এবং \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫]
উত্তরঃ \(2\sqrt{5}, 2\sqrt{5}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^2+y^2+6x-4y+4=0 …….(1)\)
এখানে,
\(2g=6, 2f=-4, c=4\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=3, f=-2, c=12\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\therefore C(-3, 2)\)
\(X\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(AB=2\sqrt{g^2-c}\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্ত দ্বারা \(X\) অক্ষের খন্ডিতাংশ, \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{3^2-4}\)
\(=2\sqrt{9-4}\)
\(=2\sqrt{5}\)
কেন্দ্র \(C(-3, 2)\) হতে \(X\) অক্ষের লম্ব দূরত্ব \(=2\) | কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্কের সমান।
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\times 2\times AB\)
\(=2\sqrt{5}\) বর্গ একক। | \(\because AB=2\sqrt{5}\)

\(Q.5.(ii)\)
একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(y=2\) রেখাকে \((3, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((1, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪, ২০০৭-২০০৮ ]
উত্তরঃ \((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4 \)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(y-2=0 ……(1)\)
কেন্দ্র \(C(h, k)\)
\((1)\) নং সরলরেখা বৃত্তটিকে স্পর্শ করে। তাই, কেন্দ্র \(C(h, k)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমণ হবে।
ব্যাসার্ধ \(r=\frac{|k-2|}{\sqrt{0^2+1^2}}\)
\(=\frac{|k-2|}{\sqrt{0+1}}\)
\(=\frac{|k-2|}{\sqrt{1}}\)
\(=|k-2|\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=(k-2)^2 …….(2)\)
\((2)\) নং বৃত্ত \((3, 2)\) এবং \((1, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore (3-h)^2+(2-k)^2=(k-2)^2 …….(3)\)
এবং
\((1-h)^2+(4-k)^2=(k-2)^2 …….(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\((3-h)^2+(2-k)^2=(1-h)^2+(4-k)^2\)
\(\Rightarrow (3-h)^2-(1-h)^2=(4-k)^2-(2-k)^2\)
\(\Rightarrow (3-h+1-h)(3-h-1+h)=(4-k+2-k)(4-k-2+k)\)
\(\Rightarrow (4-2h).2=(6-2k).2\)
\(\Rightarrow 4-2h=6-2k\)
\(\Rightarrow 2(2-h)=2(3-k)\)
\(\Rightarrow 2-h=3-k\)
\(\Rightarrow k=3-2+h\)
\(\Rightarrow k=1+h …….(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) হতে,
\((1-h)^2+(4-1-h)^2=(1+h-2)^2\)
\(\Rightarrow (1-h)^2+(3-h)^2=(h-1)^2\)
\(\Rightarrow (1-h)^2=(h-1)^2-(3-h)^2\)
\(\Rightarrow 1-2h+h^2=(h-1+3-h)(h-1-3+h)\)
\(\Rightarrow h^2-2h+1=2.(2h-4)\)
\(\Rightarrow h^2-2h+1=4h-8\)
\(\Rightarrow h^2-2h+1-4h+8=0\)
\(\Rightarrow h^2-6h+9=0\)
\(\Rightarrow (h-3)^2=0\)
\(\Rightarrow h-3=0\)
\(\therefore h=3\)
\((5)\) হতে, \(h=3\Rightarrow k=4\)
\(h, k\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-3)^2+(y-4)^2=(4-2)^2\)
\(\Rightarrow (x-3)^2+(y-4)^2=2^2\)
\(\therefore (x-3)^2+(y-4)^2=4\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.5.(iii)\)
একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দীর্ঘ একটি জ্যা খণ্ডিত করে।
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২, ২০০২-২০০৩ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-8x+10y+16=0, x^2+y^2-8x-10y+16=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
স্পর্শবিন্দু \(P(4, 0)\)
জ্যা \(AB\)
বৃত্তের কেন্দ্র \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CD\) লম্ব আঁকি।
এখানে,
\(AB=6\Rightarrow AD=BD=3\)
\(BC=CP, CD=OP=4\)
\(\triangle BCD\) সমকোণী।
\(\therefore BC^2=CD^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=OP^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=4^2+3^2\)
\(\Rightarrow BC^2=16+9\)
\(\Rightarrow BC^2=25\)
\(\Rightarrow BC=\pm \sqrt{25}\)
\(\Rightarrow BC=\pm 5\)
\(\therefore CP=\pm 5\)
এই ক্ষেত্রে দুইটি বৃত্ত অঙ্কন সম্ভব।
একটির কেন্দ্র \((4, 5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
অপরটির কেন্দ্র \((4, -5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
প্রথম বৃত্ত, \((x-4)^2+(y-5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2-2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2-10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x-10y+16=0\)
দ্বিতীয় বৃত্ত, \((x-4)^2+(y+5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2+2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x+10y+16=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, \(x^2+y^2-8x-10y+16=0; x^2+y^2-8x+10y+16=0\)।

\(Q.5.(iv)\)
\(x^2+y^2=45\) বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক \(x^2+y^2-4x+2y-35=0\) বৃত্তকে \(A\)ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে । দেখাও যে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব।
[ বুয়েটঃ ২০০০-২০০১ ] ।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x^2+y^2-45=0 …..(1)\)
\(x^2+y^2-4x+2y-35=0 ……(2)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=2, c=-35\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=1, c=-35\)
\((1)\) নং বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.6+y.(-3)-45=0\) | \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1-r^2=0\)
\(\Rightarrow 6x-3y-45=0\)
\(\Rightarrow 2x-y-15=0\) | উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\therefore y=2x-15 ……(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) হতে,
\(x^2+(2x-15)^2-4x+2(2x-15)-35=0\)
\(\Rightarrow x^2+4x^2-60x+225-4x+4x-30-35=0\)
\(\Rightarrow 5x^2-60x+160=0\)
\(\Rightarrow x^2-12x+32=0\) | উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow x^2-8x-4x+32=0\)
\(\Rightarrow x(x-8)-4(x-8)=0\)
\(\Rightarrow (x-8)(x-4)=0\)
\(\Rightarrow x-8=0, x-4=0\)
\(\therefore x=8, x=4\)
\((3)\) হতে,
\(x=8\Rightarrow y=1, x=4\Rightarrow y=-7\)
\(\therefore A(8, 1)\) এবং \(B(4, -7)\)
\((2)\) নং বৃত্তের \(A(8, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.8+y.1+(-2)(x+8)+1(y+1)-35=0\)
\(\Rightarrow 8x+y-2x-16+y+1-35=0\)
\(\Rightarrow 6x+2y-50=0\)
\(\Rightarrow 3x+y-25=0 …….(4)\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\((2)\) নং বৃত্তের \(B(4, -7)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.4+y.(-7)+(-2)(x+4)+1(y-7)-35=0\)
\(\Rightarrow 4x-7y-2x-8+y-7-35=0\)
\(\Rightarrow 2x-6y-50=0\)
\(\Rightarrow x-3y-25=0 …….(5)\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\((4)\) এর ঢাল \(m_1=-\frac{3}{1}=-3\) | ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\((5)\) এর ঢাল \(m_2=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}\)
\(m_1\times m_2=-3\times \frac{1}{3}=-1\)
\(\therefore (4)\) ও \((5)\) স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব।
[ দেখানো হলো।]

\(Q.5.(v)\)
\(x^2+y^2=9\) বৃত্তের স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(45^o\) কোণ উৎপন্ন করে, স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুটেক্সঃ ২০১১-২০১২ ]
উত্তরঃ \(x-y\pm 3\sqrt{2}=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^2+y^2=3^2 …..(1)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=3\)
\((1)\) বৃত্তের স্পর্শক \(y=mx+c\Rightarrow mx-y+c=0 ….(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|m.0-0+c|}{\sqrt{m^2+1^2}}=3\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=3\)
\(\Rightarrow |c|=3\sqrt{(m^2+1)}\)
\(\Rightarrow c=\pm 3\sqrt{(m^2+1)}\)
\(c\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(mx-y\pm 3\sqrt{(m^2+1)}=0 …….(3)\)
আবার,
\((2)\) নং সরলরেখা \(X\) অক্ষের সাথে \(45^o\) কোণ উৎপন্ন করে।
অর্থাৎ \(m=\tan45^o\)
\(=1\) | \(\because \tan45^o=1\)
\(m\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y\pm 5\sqrt{\{1^2+1\}}=0\)
\(\Rightarrow x-y\pm 3\sqrt{\{1+1\}}=0\)
\(\Rightarrow x-y\pm 3\sqrt{2}=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

\(Q.5.(vi)\)
বৃত্ত \(x^2+y^2+4x-8y+2=0\) এর স্পর্শক গুলির সমীকরণ নির্ণয় কর যারা অক্ষদ্বয়কে সমান ও বিপরীত চিহ্নে খণ্ডিত করে।
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(x-y=0, x-y+12=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^2+y^2+4x-8y+2=0 ……(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
\(2g=4, 2f=-8, c=2\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=-4, c=2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(-2, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{2^2+(-4)^2-2}\)
\(=\sqrt{4+16-2}\)
\(=\sqrt{20-2}\)
\(=\sqrt{18}\)
\(=\sqrt{2\times 9}\)
\(=3\sqrt{2}\)
অক্ষদ্বয় হতে সমমানের বিপরীত চিহ্নে খণ্ডিত করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}=1\)
\(\frac{x}{a}-\frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x-y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x-y=a\)
\(\therefore x-y-a=0 …….(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে। অর্থাৎ কেন্দ্র হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান।
\(\therefore \frac{।-2-4-a।}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{।-6-a।}{\sqrt{1+1}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{।6+a।}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow ।6+a।=3\sqrt{2}\times \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow ।6+a।=3\times 2\)
\(\Rightarrow ।6+a।=6 \)
\(\Rightarrow 6+a=\pm 6 \)
\(\Rightarrow 6+a=6 \) | ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow a=6-6 \)
\(\therefore a=0 \)
\(\Rightarrow 6+a=-6 \) | ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow a=-6-6 \)
\(\therefore a=-12 \)
\(a\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(a=0 \) স্পর্শকের সমীকরণ ,
\(x-y=0\)
যখন, \(a=-12 \) স্পর্শকের সমীকরণ ,
\(x-y-12=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় স্পর্শদ্বয়ের সমীকরণ \(x-y=0; x-y-12=0\)।

\(Q.5.(vii)\)
\(2x^2+2y^2-3x-4y+1=0\) এবং \(16x^2+16y^2-32x-1=0\) দুইটি বৃত্ত। দেখাও যে, তাদের একটির কেন্দ্র অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ] ।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,locus4
\(2x^{2}+2y^{2}-3x-4y+1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x-2y+\frac{1}{2}=0 …….(1)\)
এবং
\(16x^{2}+16y^{2}-32x-1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-\frac{1}{16}=0 ……(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-\frac{3}{2}, 2f=-2, c=\frac{1}{2}\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{4}, f=-1, c=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(\frac{3}{4}, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^2+(-1)^2-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{16}+1-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16-8}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{4}\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-2, 2f=0, c=-\frac{1}{16}\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=0, c=-\frac{1}{16}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(1, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+0^2+\frac{1}{16}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{1}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+1}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{4}\)
উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান।
আবার,
\(C_1C_2=\sqrt{\left(\frac{3}{4}-1\right)^2+(1-0)^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{3-4}{4}\right)^2+1^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{-1}{4}\right)^2+1}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{16}+1}\)
\(=\sqrt{\frac{1+16}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{4}\)
\(\therefore C_1C_2=\)উভয় বৃত্তের ব্যসার্ধ।
অর্থাৎ কেন্দ্র দ্বয়ের দূরত্ব, উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমণ।
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটির প্রতিটির কেন্দ্র, অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত ।

বিকল্প পদ্ধতিঃ

দেওয়া আছে,
\(2x^{2}+2y^{2}-3x-4y+1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x-2y+\frac{1}{2}=0 …….(1)\)
এবং
\(16x^{2}+16y^{2}-32x-1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-\frac{1}{16}=0 ……(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-\frac{3}{2}, 2f=-2, c=\frac{1}{2}\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{4}, f=-1, c=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(\frac{3}{4}, 1)\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-2, 2f=0, c=-\frac{1}{16}\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=0, c=\frac{1}{16}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(1, 0)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \((2)\) এ বসিয়ে,
\((\frac{3}{4})^{2}+1^{2}-2\times \frac{3}{4}-\frac{1}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{9}{16}+1-\frac{3}{2}-\frac{1}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{9+16-24-1}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{25-25}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{0}{16}=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
অর্থাৎ \((1)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \((2)\) নং বৃত্তকে সিদ্ধ করে।
আবার,
\((2)\) এর কেন্দ্র \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x-2y+\frac{1}{2}=0\)
\(\Rightarrow 1^{2}+0^{2}-\frac{3}{2}.1-2.0+\frac{1}{2}=0\)
\(\Rightarrow 1-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{2-3+1}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{3-3}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{0}{2}=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
অর্থাৎ \((2)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \((1)\) নং বৃত্তকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটির প্রতিটির কেন্দ্র, অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত ।

\(Q.5.(viii)\)
\(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((3, 0)\) ও \((7, 0)\) বিন্দুদ্বয় দিয়ে গমনকারী বৃত্তগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0\) ।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 …….(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore f^2=c …..(2)\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \((3, 0)\) ও \((7, 0)\) বিন্দুদ্বয় দিয়ে যায়।
\(\therefore 3^2+0^2+2g.3+2f.0+c=0\)
\(\Rightarrow 9+6g+c=0 …..(3)\)
এবং
\(7^2+0^2+2g.7+2f.0+c=0\)
\(\Rightarrow 49+14g+c=0 …..(4)\)
\((4)\)-\((3)\) এর সাহায্যে,
\(49+14g+c-9-6g-c=0\)
\(\Rightarrow 8g+40=0\)
\(\Rightarrow 8g=-40\)
\(\Rightarrow g=-\frac{40}{8}\)
\(\Rightarrow g=-5\)
\((3)\) হতে,
\(g=-5\Rightarrow c=21\)
\((2)\) হতে,
\(c=21\Rightarrow f=\pm \sqrt{21}\)
\(g, f, c\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.5.(ix)\)
\(r\)-এর মাণ কত হলে, \(r\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট শুধুমাত্র একটিই বৃত্ত পাওয়া যাবে যা, \((6, 7)\) ও \((12, 13)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3\sqrt{2}\) ।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,locus4
ব্যসার্ধ \(r\)
ধরি,
কেন্দ্র \(C(h, k)\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2 ……..(1)\) | কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\((1)\) নং বৃত্ত \((6, 7)\) ও \((12, 13)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (6-h)^2+(7-k)^2=r^2 ……..(2)\)
এবং
\((12-h)^2+(13-k)^2=r^2 ……..(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) হতে \(\) এর সমতা নিয়ে।
\((6-h)^2+(7-k)^2=(12-h)^2+(13-k)^2\)
\(\Rightarrow (6-h)^2-(12-h)^2=(13-k)^2-(7-k)^2\)
\(\Rightarrow (6-h+12-h)(6-h-12+h)=(13-k+7-k)(13-k-7+k)\)
\(\Rightarrow (18-2h).(-6)=(20-2k).6\)
\(\Rightarrow -(18-2h)=20-2k\)
\(\Rightarrow -2(9-h)=2(10-k)\)
\(\Rightarrow -9+h=10-k\)
\(\Rightarrow h=10-k+9\)
\(\Rightarrow h=19-k ……..(4)\)
\((2)\) ও \((4)\) হতে,
\((6-19+k)^2+(7-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (-13+k)^2+(7-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (13-k)^2+(7-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (13-k-7+k)^2+2(13-k)(7-k)=r^2\)
\(\Rightarrow (6)^2+2(13-k)(7-k)=r^2\)
\(\Rightarrow 36+2(91-20k+k^2)=r^2\)
\(\Rightarrow 36+182-40k+2k^2=r^2\)
\(\Rightarrow 2k^2-40k+218-r^2=0\)
\(\therefore 2k^2-40k+(218-r^2)=0\) যা \(k\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(k\)-এর দুইটি মাণ আছে। \(k\)-এর এই দুইটি মানের জন্য দুইটি বৃত্তের সমীকরণ পাওয়া যাবে।
\(k\)-এর মাণ দ্বয় সমান হলে, সেই ক্ষেত্রে শুধুমাত্র একটিই বৃত্ত পাওয়া যাবে।
\(\therefore (-40)^2=4.2(218-r^2)\) | \(ax^2+bx+c=0\) এর মূলদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 1600=8(218-r^2)\)
\(\Rightarrow 200=218-r^2\)
\(\Rightarrow r^2=218-200\)
\(\Rightarrow r^2=18\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{18}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2.9}\)
\(\therefore r=3\sqrt{2}\)
ইহাই নির্ণেয় \(r\)-এর মাণ।

\(Q.5.(x)\)
\(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দৈর্ঘ্যের জ্যা কর্তন করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-8x\pm 10y+16=0\) ।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
স্পর্শবিন্দু \(P(4, 0)\)
জ্যা \(AB\)
বৃত্তের কেন্দ্র \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CD\) লম্ব আঁকি।
এখানে,
\(AB=6\Rightarrow AD=BD=3\)
\(BC=CP, CD=OP=4\)
\(\triangle BCD\) সমকোণী।
\(\therefore BC^2=CD^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=OP^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=4^2+3^2\)
\(\Rightarrow BC^2=16+9\)
\(\Rightarrow BC^2=25\)
\(\Rightarrow BC=\pm \sqrt{25}\)
\(\Rightarrow BC=\pm 5\)
\(\therefore CP=\pm 5\)
এই ক্ষেত্রে দুইটি বৃত্ত অঙ্কন সম্ভব।
একটির কেন্দ্র \((4, 5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
অপরটির কেন্দ্র \((4, -5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
প্রথম বৃত্ত, \((x-4)^2+(y-5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2-2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2-10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x-10y+16=0\)
দ্বিতীয় বৃত্ত, \((x-4)^2+(y+5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2+2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x+10y+16=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, \(x^2+y^2-8x-10y+16=0; x^2+y^2-8x+10y+16=0\)।

\(Q.5.(xi)\)
\(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের অঙ্কিত ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এ ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
উত্তরঃ \(12x+5y=0, 5x-12y=0\) ।

সমাধানঃ

ধরি,
\(x^2+y^2-5bx+12by=0…..(1)\)
এখানে,straight3
\(2g=-5b, 2f=12b, c=0\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{5b}{2}, f=6b, c=0\)
\(\therefore (1)\) বৃত্তের কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{5b}{2}, -6b)\)
এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
এখন,
মূলবিন্দুগামী ব্যাস অর্থাৎ \(CO\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-\frac{5b}{2}}{\frac{5b}{2}-0}=\frac{y+6b}{-6b-0}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{2x-5b}{2}}{\frac{5b}{2}}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-5b}{2}\times \frac{2}{5b}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-5b}{5b}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow 6(2x-5b)=-5(y+6b)\)
\(\Rightarrow 12x-30b=-5y-30b\)
\(\Rightarrow 12x-30b+5y+30b=0\)
\(\therefore 12x+5y=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।
মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক উক্ত ব্যাসের উপর লম্ব হবে।
অতএব, ব্যাসের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-12y+k=0 ……..(2)\) যা মূলবিন্দুগামী।
\(\therefore 5.0-12.0+k=0\)
\(\Rightarrow 0-0+k=0\)
\(\therefore k=0\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(5x-12y+0=0\)
\(\therefore 5x-12y=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

\(Q.5.(xii)\)
\(x^2+y^2-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করলে \(c\)-এর মাণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
উত্তরঃ \(4, (2, 0)\) ।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x^{2}+y^{2}-4x-6y+c=0 ……(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-6, c_1=c\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-3, c_1=c\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\therefore (2, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2-c}\)
\(=\sqrt{4+9-c}\)
\(=\sqrt{13-c}\)
\(\because \) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। অতএব, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \sqrt{13-c}=3\)
\(\Rightarrow 13-c=3^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13-c=9\)
\(\Rightarrow 13-9=c\)
\(\Rightarrow 4=c\)
\(\therefore c=4\)
ইহাই নির্ণেয় \(c\) এর মান।
আবার ধরি, \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে বলে \(y=0\)
\((1)\) হতে,
\(x^{2}+0^{2}-4x-6.0+4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4=0\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}=0\)
\(\Rightarrow x-2=0\)
\(\therefore x=2\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((2, 0)\) .

\(Q.5.(xiii)\)
এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((1, 8)\) বিন্দু দিয়ে গমন করে ।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
উত্তরঃ \((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\) ।

সমাধানঃ

মনে করি,
বৃত্তের সমীকরণ,locus4
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ………(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore g^{2}=f^{2}=c …….(2)\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উভয় অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত, \( g^2=f^2=c\)
\(\Rightarrow g^{2}=f^{2}\)
\(\Rightarrow g=f ……….(3)\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \((1, 8)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(1^{2}+8^{2}+2g.1+2f.8+c=0\)
\(\Rightarrow 1+64+2g+16f+c=0\)
\(\Rightarrow 65+2g+16g+g^{2}=0\) | \((2)\) ও \((3)\) হতে।
\(\Rightarrow g^{2}+18g+65=0\)
\(\Rightarrow g^{2}+5g+13g+65=0\)
\(\Rightarrow g(g+5)+13(g+13)=0\)
\(\Rightarrow (g+5)(g+13)=0\)
\(\Rightarrow g+5=0, g+13=0\)
\(\therefore g=-5, g=-13\)
\((3)\) হতে,
\(g=-5\Rightarrow f=-5, g=-13\Rightarrow f=-13\)
\((2)\) হতে,
\(g=-5, f=-5 \Rightarrow c=25;\) এবং \(g=-13, f=-13\Rightarrow c=169\)
\(g, f, c \) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
যখন,
\(g=-5, f=-5, c=25;\)
\(x^{2}+y^{2}+2(-5)x+2(-5)y+25=0 \)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0 \)
যখন,
\(g=-13, f=-13, c=169;\)
\(x^{2}+y^{2}+2(-13)x+2(-13)y+169=0 \)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0 \)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0; x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0\)।

\(Q.5.(xiv)\)
\(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের এমন দুইটি স্পর্শকের ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর যারা পরস্পর লম্ব।
[ বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(x^{2}+x^{2}=2a^2\) ।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^2+y^2=a^2 …….(1)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=a\)
আবার,
সঞ্চার পথের উপর যে কোন বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় \(PA\) এবং \(PB\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \Box PAOB\)-এ \(\angle A=\angle B=\angle P=90^o\)
\(\therefore \angle O=90^o\)
আবার,
\(AO=BO=a=\)ব্যাসার্ধ ।
\(\therefore \Box PAOB\)একটি বর্গক্ষেত্র যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(=a\) একক।
এখন,
\(PO^2=PA^2+AO^2\)
\(\Rightarrow (x-0)^2+(y-0)^2=a^2+a^2\)
\(\therefore x^2+y^2=2a^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরন।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
\(x^2+y^2=a^2 …….(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y=mx\pm a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow y-mx=\pm a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow (y-mx)^2=a^2(1+m^2)\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2=a^2+m^2a^2\)
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2-a^2-m^2a^2=0\)
\(\therefore (x^2-a^2)m^2-2mxy+(y^2-a^2)=0 …..(2)\) যা \(m\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(m\) এর দুইটি মাণ যথাক্রমে \(m_1\) ও \(m_2\)।
\(\therefore m_1m_2=\frac{y^2-a^2}{x^2-a^2} …..(3)\) | \(ax^2+bx+c=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha, \beta \) হলে, মূল দ্বয়ের গুনফল \(\alpha \beta=\frac{c}{a}\)
আবার,
স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব বলে, \(m_1m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2-a^2}{x^2-a^2}=-1\)
\(\Rightarrow y^2-a^2=-(x^2-a^2)\)
\(\Rightarrow y^2-a^2=-x^2+a^2\)
\(\Rightarrow y^2-a^2+x^2=a^2\)
\(\Rightarrow y^2+x^2=a^2+a^2\)
\(\therefore y^2+x^2=2a^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরন।

1 2 3 4 5 6 7