পরাবৃত্ত (Parabola)

অনুশীলনী \(5.A\) উদাহরণসমুহ

উদাহরণ \(1.\) \(5x^{2}+30x+2y+59=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, অক্ষরেখা এবং দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৬, ২০১০; সিঃ ২০০২, ২০১১; যঃ ২০০৩, ২০১১; চঃ ২০০৬; কুঃ ২০০৮,২০১২,২০১৪; দিঃ ২০১৩; বঃ, রাঃ ২০১৪।]

উদাহরণ \(2.\) \((1, 1)\) উপকেন্দ্র \(3x+4y=1\) দিকাক্ষ রেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। তার অক্ষেরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৮; যঃ ২০০২, ২০১০; চঃ ২০১২,২০১৪; কুঃ ২০০৫; দিঃ ২০১৪; বঃ২০০৫,২০১১; রাঃ ২০০৫।]

উদাহরণ \(3.\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) সরলরেখাটি \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(ln=am^2\) হয়।
[ রাঃ, কুঃ ২০০৫]

উদাহরণ \(4.\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(4x+3y-5=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, 1)\) হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০২; মাঃ ২০০৩]

উদাহরণ \(5.\) \(y=ax^2+bx+c\) পরাবৃত্তটির শীর্ষ \((-2, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং তা \((0, 5)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে। \(a,b,c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৫,২০১৪;বঃ ২০০২,২০১২;কুঃ ২০০১, ২০০৭,২০১৩; ঢাঃ ২০০৬,২০০৯,২০১৩দিঃ ২০০৯,২০১২;রাঃ ২০১১,২০১৪; চঃ ২০১২]

উদাহরণ \(6.\) \(3y^2=5x\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(7.\) \(y^2=8px\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর, যেখানে পরাবৃত্তটি \((4, -8)\) বিন্দুগামী।

উদাহরণ \(8.\) \(y^2=8x-8y\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১; কুঃ ২০০০]

উদাহরণ \(9.\) \(3x^2-4y+6x-5=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০১]

উদাহরণ \(10.\) \(x^2+4x+2y=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৪]

উদাহরণ \(11.\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \(x+y+1=0\) নিয়ামকরেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১২,২০১০; সিঃ ২০১০; রাঃ ২০০৮; ঢাঃ ২০০৫; কুঃ ২০০৩ ]

উদাহরণ \(12.\) \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(8\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৯, ২০১১; চঃ ২০১১,২০০৭; যঃ ২০১০;বঃ ২০১০,২০০৮; সিঃ ২০১০; ঢাঃ ২০০৭;কুঃ২০০৬ ]

উদাহরণ \(13.\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \((2, -3)\) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]

উদাহরণ \(14.\) \(5y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(15.\) \(7y^2=3px\) পরাবৃত্ত যদি \((2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় তাহলে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(16.\) \(y^2=4y+4x-16\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(17.\) \(5x^2+15x-10y-4=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(18.\) \(y^2=4px\) পরাবৃত্ত যদি \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় তাহলে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(19.\) \((-8, -2)\) উপকেন্দ্র এবং \(2x-y-9=0\) নিয়ামকরেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৪,২০১২; বঃ ২০১৪; দিঃ ২০১২ ]

উদাহরণ \(20.\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((0, 0)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((-2, -1)\) পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ এবং পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(21.\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(6\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১৫;বঃ ২০১৩; সিঃ ২০১2; ঢাঃ ২০১২ ]

উদাহরণ \(22.\) \(y^2-6x+4y+11=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(23.\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((-6, -3)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((-2, 1)\) পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(24.\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -3)\) এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(3x-2y+5=0\) ঐ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(25.\) যে পরাবৃত্ত \(Y\) অক্ষ সাপেক্ষে প্রতিসম, শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দুতে এবং \((5, 2)\) বিন্দুগামী তার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(26.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং দিকাক্ষ \(X\)-অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((-4, -7)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ চঃ ২০০২; সিঃ ২০০৫ ]

উদাহরণ \(27.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+2=0\) রেখাটি শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব।

উদাহরণ \(28.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে এবং শীর্ষ \((-1, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত ।

অনুশীলনী \(5.A\) উদাহরণসমুহের সমাধান

উদাহরণ \(1.\) \(5x^{2}+30x+2y+59=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, অক্ষরেখা এবং দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৬, ২০১০; সিঃ ২০০২, ২০১১; যঃ ২০০৩, ২০১১; চঃ ২০০৬; কুঃ ২০০৮,২০১২,২০১৪; দিঃ ২০১৩; বঃ, রাঃ ২০১৪।]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের সমীকরণ straight3
\(5x^{2}+30x+2y+59=0 \)
\(\Rightarrow 5(x^{2}+6x)=-2y-59 \)
\(\Rightarrow 5(x^{2}+6x+9-9)=-2y-59 \)
\(\Rightarrow 5(x^{2}+6x+9)-45=-2y-59 \)
\(\Rightarrow 5(x+3)^2=-2y-59+45 \)
\(\Rightarrow 5(x+3)^2=-2y-14 \)
\(\Rightarrow 5(x+3)^2=-2(y+7) \)
\(\Rightarrow (x+3)^2=-\frac{2}{5}(y+7) \)
\(\Rightarrow X^2=-\frac{2}{5}Y …….(1) \) যেখানে, \(X=x+3, Y=y+7\)
এখানে,
\(4a=-\frac{2}{5}\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{2}{5\times 4}\)
\(\Rightarrow a=-\frac{1}{5\times 2}\)
\(\Rightarrow a=-\frac{1}{10}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y+7=0\)
\(\Rightarrow x=-3, y=-7\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-3, -7)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x+3=0, y+7=-\frac{1}{10}\)
\(\Rightarrow x=-3, y=-\frac{1}{10}-7\)
\(\Rightarrow x=-3, y=\frac{-1-70}{10}\)
\(\Rightarrow x=-3, y=\frac{-71}{10}\)
\(\Rightarrow x=-3, y=-\frac{71}{10}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(-3, -\frac{71}{10})\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times -\frac{1}{10}|\)
\(=|-\frac{2}{5}|\)
\(=\frac{2}{5}\) একক।
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x+3=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( x+3=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y+7=\frac{1}{10}\)
\(\Rightarrow 10y+70=1\)
\(\Rightarrow 10y+70-1=0\)
\(\Rightarrow 10y+69=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 10y+69=0\)

উদাহরণ \(2.\) \((1, 1)\) উপকেন্দ্র \(3x+4y=1\) দিকাক্ষ রেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। তার অক্ষেরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৮; যঃ ২০০২, ২০১০; চঃ ২০১২,২০১৪; কুঃ ২০০৫; দিঃ ২০১৪; বঃ২০০৫,২০১১; রাঃ ২০০৫।]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(3x+4y-1=0 ……..(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\frac{|3x+4y-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{(3x+4y-1)^2}{9+16}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=\frac{9x^2+16y^2+1+24xy-6x-8y}{25}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-2y+2=\frac{9x^2+16y^2+24xy-6x-8y+1}{25}\)
\(\Rightarrow 25x^2+25y^2-50x-50y+50\)\(=9x^2+16y^2+24xy-6x-8y+1\)
\(\Rightarrow 25x^2+25y^2-50x-50y+50\)\(-9x^2-16y^2-24xy+6x+8y-1=0\)
\(\therefore 16x^2-24xy+9y^2-44x-42y+49=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(4x-3y+k=0 ……..(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 4.1-3.1+k=0\)
\(\Rightarrow 4-3+k=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\therefore k=-1\)
\(k\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y-1=0 \)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ \(4x-3y-1=0 \).

উদাহরণ \(3.\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) সরলরেখাটি \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(ln=am^2\) হয়।
[ রাঃ, কুঃ ২০০৫]

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(lx+my+n=0 ………(1)\)
\(y^2=4ax ……(2)\)
\((2)\) হতে \(4ax=y^2\)
\(\Rightarrow x=\frac{y^2}{4a} ……(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) হতে,
\(\frac{ly^2}{4a}+my+n=0\)
\(\Rightarrow \frac{ly^2}{4a}+my+n=0\)
\(\Rightarrow ly^2+4amy+4an=0\) | উভয় পার্শে \(4a\) গুণ করে।
যা \(y\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(y\) এর দুইটি মাণ আছে।
\(y\) এর এই দুইটি মাণ সমান হবে, কেননা \((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore (4am)^2-4.l.4an=0\) | \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow 16a^2m^2-16lan=0\)
\(\Rightarrow 16a(am^2-ln)=0\)
\(\Rightarrow (am^2-ln)=0, 16a\ne 0\)
\(\Rightarrow am^2=ln\)
\(\therefore ln=am^2\)
[Showed]

উদাহরণ \(4.\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(4x+3y-5=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, 1)\) হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০২; মাঃ ২০০৩]

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(4x+3y-5=0 …….(1)\)
শীর্ষবিন্দু \(A(3, 1)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) এর উপর লম্ব হবে,
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 …….(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(3, 1)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.3-4.1+k=0\)
\(\Rightarrow 9-4+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(3x-4y-5=0 ……..(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) -এর ছেদবিন্দু \(Z\) নির্ণয় করি।
\(\therefore \frac{x}{3.(-5)-(-5).(-4)}=\frac{y}{(-5).3-4.(-5)}=\frac{1}{4.(-4)-3.3}\) | \((1)\) ও \((3)\) বজ্র গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{-15-20}=\frac{y}{-15+20}=\frac{1}{-16-9}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-35}=\frac{y}{5}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-35}=\frac{1}{-25}, \frac{y}{5}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-35}{-25}, y=\frac{5}{-25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{7}{5}, y=-\frac{1}{5}\)
\(\therefore Z\left(\frac{7}{5},-\frac{1}{5}\right)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\)
এখন,
\(SZ\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+\frac{7}{5}}{2}, \frac{\beta-\frac{1}{5}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{\frac{5\alpha+7}{5}}{2}, \frac{\frac{5\beta-1}{5}}{2}\right)\)
\(\therefore A\left(\frac{5\alpha+7}{10}, \frac{5\beta-1}{10}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(3, 1)\)
\(\therefore A\left(\frac{5\alpha+7}{10}, \frac{5\beta-1}{10}\right)\Rightarrow A(3, 1)\)
\(\Rightarrow \frac{5\alpha+7}{10}=3, \frac{5\beta-1}{10}=1\)
\(\Rightarrow 5\alpha+7=30, 5\beta-1=10\)
\(\Rightarrow 5\alpha=30-7, 5\beta=10+1\)
\(\Rightarrow 5\alpha=23, 5\beta=11\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{23}{5}, \beta=\frac{11}{5}\)
\(\therefore S\left(\frac{23}{5}, \frac{11}{5}\right)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\left(\frac{23}{5}, \frac{11}{5}\right)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখা \(4x+3y-5=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\sqrt{\left(x-\frac{23}{5}\right)^2+\left(y-\frac{11}{5}\right)^2}=\frac{|4x+3y-5|}{\sqrt{4^2+3^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\left(\frac{5x-23}{5}\right)^2+\left(\frac{5y-11}{5}\right)^2}=\frac{|4x+3y-5|}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{5x-23}{5}\right)^2+\left(\frac{5y-11}{5}\right)^2=\frac{(4x+3y-5)^2}{25}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{(5x-23)^2}{25}+\frac{(5y-11)^2}{25}=\frac{(4x+3y-5)^2}{25}\)
\(\Rightarrow (5x-23)^2+(5y-11)^2=(4x+3y-5)^2\) | উভয় পার্শে \(25\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 25x^2-230x+529+25y^2-110y+121=16x^2+9y^2+25+24xy-30y-40x\)
\(\Rightarrow 25x^2-230x+529+25y^2-110y+121-16x^2-9y^2-25-24xy+30y+40x=0\)
\(\therefore 9x^2-24xy+16y^2-190x-80y+625=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(5.\) \(y=ax^2+bx+c\) পরাবৃত্তটির শীর্ষ \((-2, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং তা \((0, 5)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে। \(a,b,c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৫,২০১৪;বঃ ২০০২,২০১২;কুঃ ২০০১, ২০০৭,২০১৩; ঢাঃ ২০০৬,২০০৯,২০১৩দিঃ ২০০৯,২০১২;রাঃ ২০১১,২০১৪; চঃ ২০১২]

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(y=ax^2+bx+c ……..(1)\)
আমরা জানি,
\((1)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\) | পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y=ax^2+bx+c\); শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \(A(-2, 3)\)
\(\therefore A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\Rightarrow A(-2, 3)\)
\(\Rightarrow -\frac{b}{2a}=-2, -\frac{b^2-4ac}{4a}=3\)
\(\Rightarrow b=4a, b^2-4ac=-12a \)
\(\therefore b=4a …….(2)\)
\(b^2-4ac=-12a ……(3)\)
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((0, 5)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 5=a.0^2+b.0+c\)
\(\Rightarrow 5=0+0+c\)
\(\Rightarrow 5=c\)
\(\therefore c=5\)
\(c\)-এর মাণ \( (3)\) -এ বসিয়ে,
\(b^2-4a.5=-12 \)
\(\therefore b^2-20a=-12a …….(4)\)
\((2)\) ও \((4)\) হতে,
\((4a)^2-20a=-12a\)
\(\Rightarrow 16a^2=20a-12a\)
\(\Rightarrow 16a^2=8a\)
\(\Rightarrow a=\frac{8a}{16a}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
\(a\)-এর মাণ \( (2)\) -এ বসিয়ে,
\(b=4\times \frac{1}{2}\)
\(\therefore b=2\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\).

উদাহরণ \(6.\) \(3y^2=5x\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

straight3

সমাধানঃ

ধরি,
\(3y^2=5x …….(1)\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{5}{3}x\)
এখানে,
\(4a=\frac{5}{3}\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{5}{12}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|\frac{5}{3}|\)
\(=\frac{5}{3}\) একক।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\therefore S\left(\frac{5}{12}, 0\right)\)

উদাহরণ \(7.\) \(y^2=8px\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর, যেখানে পরাবৃত্তটি \((4, -8)\) বিন্দুগামী।

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(y^2=8px ……..(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((4, -8)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore (-8)^2=8p.4\)
\(\Rightarrow 64=32p\)
\(\Rightarrow 32p=64\)
\(\Rightarrow p=\frac{64}{32}\)
\(\therefore p=2\)
\(p\)-এর মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=8.2.x\)
\(y^2=16x ……..(2)\)
এখানে,
\(4a=16\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{16}{4}\)
\(\Rightarrow a=4\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|16|\)
\(=16\) একক।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(4, 0)\)

উদাহরণ \(8.\) \(y^2=8x-8y\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১; কুঃ ২০০০]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের সমীকরণ straight3
\(y^2=8x-8y \)
\(\Rightarrow y^2+8y=8x \)
\(\Rightarrow y^2+8y+16-16=8x \)
\(\Rightarrow (y+4)^2-16=8x \)
\(\Rightarrow (y+4)^2=8x+16 \)
\(\Rightarrow (y+4)^2=8(x+2) \)
\(\Rightarrow Y^2=8X …….(1) \) যেখানে, \(X=x+2, Y=y+4\)
এখানে,
\(4a=8\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+2=0, y+4=0\)
\(\Rightarrow x=-2, y=-4\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-2, -4)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+2=2, y+4=0\)
\(\Rightarrow x=2-2, y=-4\)
\(\Rightarrow x=0, y=-4\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(0, -4)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|8|\)
\(=8 \) একক।
অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
\(\Rightarrow y+4=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y+4=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x+2=-2\)
\(\Rightarrow x+2+2=0\)
\(\Rightarrow x+4=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( x+4=0\)

উদাহরণ \(9.\) \(3x^2-4y+6x-5=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০১]

সমাধানঃ

উদাহরণ \(10.\) \(x^2+4x+2y=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৪]

সমাধানঃ

উদাহরণ \(11.\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \(x+y+1=0\) নিয়ামক রেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১২,২০১০; সিঃ ২০১০; রাঃ ২০০৮; ঢাঃ ২০০৫; কুঃ ২০০৩ ]

সমাধানঃ

উদাহরণ \(12.\) \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(8\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৯, ২০১১; চঃ ২০১১,২০০৭; যঃ ২০১০;বঃ ২০১০,২০০৮; সিঃ ২০১০; ঢাঃ ২০০৭;কুঃ২০০৬ ]

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(y^2=8x ……..(1)\)
এখানে,
\(4a=8\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{8}{4}\)
\(\Rightarrow a=2\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(2, 0)\)
মনে করি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(x, y)\)
শর্তমতে,
\(PS=8\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=8\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+(y-0)^2=8^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=64\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x+4-64=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-60=0\)
\(\Rightarrow x^2+8x-4x-60=0\) | \((1)\) -এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow x^2+4x-60=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4.1.(-60)}}{2.1}\) | \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান,\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{16+240}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{256}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm 16}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4+16}{2}, \frac{-4-16}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{12}{2}, \frac{-20}{2}\)
\(\Rightarrow x=6, -10\)
\(\therefore x=6, x\ne -10\)
\(x=6\) এই মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=8.6\)
\(\Rightarrow y^2=48\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{48}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{3\times 16}\)
\(\therefore y=\pm 4\sqrt{3}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দু \((6, 4\sqrt{3})\) এবং \((6, -4\sqrt{3})\) ।

উদাহরণ \(13.\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \((2, -3)\) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, straight3
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(2, -3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা উপকেন্দ্র এবং শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায়।
অক্ষরেখার সমীকরণ, \(\frac{x+1}{-1-2}=\frac{y-1}{1+3}\) | \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-3}=\frac{y-1}{4}\)
\(\Rightarrow 4x+4=-3y+3\)
\(\Rightarrow 4x+4+3y-3=0\)
\(\therefore 4x+3y+1=0 ……(1)\)
ইহাই অক্ষের সমীকরণ।
আবার,
ধরি, অক্ষরেখা এবং নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\).
এখন,
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{x-1}{2}, \frac{y+1}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(2, -3)\)
\(\therefore A\left(\frac{x-1}{2}, \frac{y+1}{2}\right)\Rightarrow A(2, -3)\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{2}=2, \frac{y+1}{2}=-3 \)
\(\Rightarrow x-1=4, y+1=-6 \)
\(\Rightarrow x=4+1, y=-6-1 \)
\(\therefore x=5, y=-7 \)
\(\therefore Z(5, -7)\)
নিয়ামক রেখার অক্ষরেখার উপর লম্ব।
\(\therefore (1)\) -এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ……(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \(Z(5, -7)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.5-4.(-7)+k=0\)
\(\Rightarrow 15+28+k=0\)
\(\Rightarrow 43+k=0\)
\(\therefore k=-43\)
\(k=-43\)-এর এই মাণ \( (2)\) -এ বসিয়ে,
\(3x-4y-43=0\)
ইহাই নির্ণেয় নিয়ামক রেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(14.\) \(5y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

straight3

ধরি,
\(5y^2=12x …..(1)\)
\(y^2=\frac{12}{5}x\)
এখানে,
\(4a=\frac{12}{5}\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{12}{5\times 4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{3}{5}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(\frac{3}{5}, 0\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|\frac{12}{5}|\)
\(=\frac{12}{5} \) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=3\)
\(\Rightarrow 5x-3=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \( 5x-3=0\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ , \(x=-a\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। নিয়ামক রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=-3\)
\(\Rightarrow 5x+3=0\)
\(\therefore \) নিয়ামক রেখার সমীকরণ, \( 5x+3=0\)

উদাহরণ \(15.\) \(7y^2=3px\) পরাবৃত্ত যদি \((2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় তাহলে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(16.\) \(y^2=4y+4x-16\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(17.\)
\(5x^2+15x-10y-4=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(18.\) \(y^2=4px\) পরাবৃত্ত যদি \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় তাহলে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(19.\) \((-8, -2)\) উপকেন্দ্র এবং \(2x-y-9=0\) নিয়ামক রেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৪,২০১২; বঃ ২০১৪; দিঃ ২০১২ ]

সমাধানঃ

উদাহরণ \(20.\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((0, 0)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((-2, -1)\) পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ এবং পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(21.\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(6\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১৫;বঃ ২০১৩; সিঃ ২০১2; ঢাঃ ২০১২ ]

সমাধানঃ

উদাহরণ \(22.\) \(y^2-6x+4y+11=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(23.\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((-6, -3)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((-2, 1)\) পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(24.\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -3)\) এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(3x-2y+5=0\) ঐ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(25.\) যে পরাবৃত্ত \(Y\) অক্ষ সাপেক্ষে প্রতিসম, শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দুতে এবং \((5, 2)\) বিন্দুগামী তার সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
যে পরাবৃত্ত \(Y\) অক্ষ সাপেক্ষে প্রতিসম এবং শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দুতে তার সমীকরণ,
\(x^2=4ay ……..(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((5, 2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 5^2=4a.2\)
\(\Rightarrow 25=8a\)
\(\Rightarrow 8a=25\)
\(\therefore a=\frac{25}{8}\)
\(a=\frac{25}{8}\)-এর এই মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore x^2=4\times \frac{25}{8}\times y \)
\(\Rightarrow x^2=\frac{25}{2}\times y \)
\(\Rightarrow x^2=\frac{25y}{2}\)
\(\therefore 2x^2=25y\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(26.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং দিকাক্ষ \(X\)-অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((-4, -7)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ চঃ ২০০২; সিঃ ২০০৫ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((4, -3)\)
\(\Rightarrow x=4, y=-3)\)
\(\Rightarrow x-4=0, y+3=0)\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) হলে,
\(\Rightarrow X=x-4=0, Y=y+3=0)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষ \(X\)-অক্ষের সমান্তরাল
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(X^2=4aY\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=4a(y+3) …….(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((-4, -7)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (-4-4)^2=4a(-7+3)\)
\(\Rightarrow (-8)^2=4a(-4)\)
\(\Rightarrow 64=-16a\)
\(\Rightarrow 16a=-64\)
\(\Rightarrow a=-\frac{64}{16}\)
\(\therefore a=-4\)
\(a=-4\)-এর এই মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow (x-4)^2=4.(-4).(y+3)\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=-16(y+3)\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16=-16y-48\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+16y+48=0\)
\(\therefore x^2-8x+16y+64=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(27.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+2=0\) রেখাটি শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\), উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\), দিকাক্ষ \(MZ\) এবং অক্ষরেখা \(AS\)।
\(x-y+2=0 ……..(1)\) রেখাটি শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব। অতএব, দিকাক্ষের সমীকরণ হবে \((1)\) -এর উপর লম্ব।
\(x-y+k=0 ……..(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
দ্বিকাক্ষ এবং অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z\)। আবার, \(Z\) ও \(S\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\)।
অতএব, \(ZS=2AS\)
\(\Rightarrow \frac{|1+1+k|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=2\frac{|1+1+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{\sqrt{1+1}}=2\frac{|4|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{\sqrt{2}}=2\frac{|4|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow |2+k|=2.4\)
\(\Rightarrow |2+k|=8\)
\(\Rightarrow 2+k=8\)
\(\Rightarrow k=8-2\)
\(\therefore k=6\)
\(\therefore \) দিকাক্ষের সমীকরণ,
\(x-y+6=0 ……..(3)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x-y+6=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=\frac{|x-y+6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=\frac{|x-y+6|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=\frac{(x-y+6)^2}{2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+2y+1=\frac{(x-y+6)^2}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+2y+2=\frac{(x-y+6)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4=(x-y+6)^2\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4=x^2+y^2+36-2xy-12y+12x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4-x^2-y^2-36+2xy+12y-12x=0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2-16x+16y-32=0\)
\(\therefore (x+y)^2-16x+16y-32=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(28.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে এবং শীর্ষ \((-1, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত ।

সমাধানঃ

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply