পরাবৃত্ত (Parabola)

অনুশীলনী \(5.A\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ

নিচের পরাবৃত্তগুলির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, অক্ষের সমীকরণ এবং নিয়ামক রেখা বা দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।

\(Q.1.(i).(a)\) \(y^2=9x\)
। উত্তরঃ \((0, 0) , \left(\frac{9}{4}, 0\right), 9, 4x-9=0, y=0, 4x+9=0\)

\(Q.1.(i).(b)\) \(x^2=-12y\)
। উত্তরঃ \((0, 0) , (0, -3), 12, y+3=0, x=0, y-3=0\)

\(Q.1.(i).(c)\) \(x^2+4x+2y=0\)
[ বঃ ২০০৮ ] ।
উত্তরঃ \((-2, 2) , \left(-2, \frac{3}{2}\right), 2, 2y-3=0, x+2=0, 2y-5=0\)

\(Q.1.(i).(d)\) \(y^2+8x-2y-23=0\)
[ ঢাঃ ২০০০; কুঃ ২০০৬ ] ।
উত্তরঃ \((3, 1); (1, 1); 8; x-1=0; y-1=0; x-5=0 \)

\(Q.1.(i).(e)\) \( y^2=8x-8y\)
[ কুঃ ২০০০ ] ।
উত্তরঃ \((-2, -4); (0, -4); 8; x=0; y+4=0; x+4=0 \)

\(Q.1.(i).(f)\) \((y-1)^2=4(x-2)\)
[ ঢাঃ ২০০২ ] ।
উত্তরঃ \((2, 1) , (3, 1), 4, x-3=0; y-1=0; x-1=0\)

\(Q.1.(i).(g)\) \(y^2=4y+4x-8\)
[ কুঃ ২০০১; যঃ ২০০৭ ] ।
উত্তরঃ \((1, 2) ; (2, 2); 4; x-2=0; y-2=0; x=0 \)

\(Q.1.(i).(h)\) \(x^2+4y-4=0\)
[ রাঃ ২০০৪ ] ।
উত্তরঃ \((0, 1); (0, 0); 4; y=0; x=0; y-2=0\)

\(Q.1.(i).(i)\) \(y^2=4y+4x-16\)
[ যঃ ২০০৫ ] ।
উত্তরঃ \((3, 2) ; (4, 2); 4; x-4=0; y-2=0; x-2=0\)

\(Q.1.(i).(j)\) \(x^2+2y-8x+7=0\)
। উত্তরঃ \(\left(4, \frac{9}{2}\right); (4, 4); 2; y-4=0; x-4=0; y-5=0 \)

\(Q.1.(i).(k)\) \(y^2=6x\)
। উত্তরঃ \((0, 0); \left(\frac{3}{2}, 0\right); 6; 2x-3=0; y=0; 2x+3=0\)

\(Q.1.(i).(l)\) \(x^2=-6y\)
। উত্তরঃ \((0, 0); \left(0, -\frac{3}{2}\right); 6; 2y+3=0; x=0; 2y-3=0\)

\(Q.1.(i).(m)\) \(y^2=-8x\)
। উত্তরঃ \((0, 0); (-2, 0); 8; x+2=0; y=0; x-2=0\)

\(Q.1.(i).(n)\) \(x^2=-8y\)
। উত্তরঃ \((0, 0); (0, -2); 8; y+2=0; x=0; y-2=0\)

\(Q.1.(i).(o)\) \((y-2)^2=8(x-4)\)
[ ঢাঃ ২০০২ ] ।
উত্তরঃ \((4, 2) ; (6, 2); 8; x-6=0; y-2=0, x-2=0 \)

\(Q.1.(i).(p)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\)
[ ঢাঃ ২০০২ ] ।
উত্তরঃ \((-3, 2) ; \left(-\frac{13}{6}; 2\right); \frac{10}{3}; 6x+13=0; y-2=0, 6x+23=0 \)

\(Q.1.(i).(q)\) \(5x^2+15x-10y-4=0\)
[ কুঃ ২০১১,২০০৪;সিঃ২০০৯,২০০৫;ঢাঃ ২০০৮;রাঃ ২০০৭;মাঃ ২০০২ ] ।
উত্তরঃ \(A(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8}); \left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{8}\right); 2; 8y+9=0; 2x+3=0, 8y+17=0 \)

\(Q.1.(i).(r)\) \((x-4)^2=-4(y-5)\)
। উত্তরঃ \((4, 5) ; (4, 4); 4; y-4=0; x-4=0; y-6=0 \)

\(Q.1.(ii)\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \((2, -3)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের অক্ষ ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(4x+3y+1=0, 3x-4y-43=0\)

\(Q.1.(iii)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্র \((-8, -2)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x-y=9\) ।
[ ঢাঃ ২০০০, ২০১০; কুঃ ২০০০,২০০৭; রাঃ ২০০১,২০০৪,২০০৬; সিঃ২০০১,২০০৪যঃ২০০৬।]
উত্তরঃ \((a) (x+2y)^2+116x+2y+259=0\)।

\(Q.1.(iv)\) \((1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \(3x+4y=1\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। এর অক্ষেরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০০,২০০৫; বঃ,চঃ,কুঃ ২০০৫; ঢাঃ,বঃ ২০০১,২০০৪;রাঃ,সিঃ২০০২;ঢাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((4x-3y)^2-44x-42y+49=0, 4x-3y-1=0\)।

\(Q.1.(v)\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \(x+y+1=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[কুঃ,ঢাঃ ২০০৩; ঢাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \((x-y)^2+2x-6y+3=0, x-y+2=0, \sqrt{2}\)।

\(Q.1.(vi)\) \((1, -3)\) \(5x^2+30x+2y+59=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০১,২০০৬,২০১০;সিঃ২০০২;চঃ ২০০৬,২০০৯ ]
উত্তরঃ \( (-3, -7), \left(-3, \frac{71}{10}\right) ,\frac{2}{5}, x+3=0, 10y+69=0\) ।

\(Q.1.(vii)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৭;চঃ২০০২;সিঃ২০০৯;যঃ২০০৪]
উত্তরঃ \(3x+4y+25=0\)।

\(Q.1.(viii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র মূলবিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+1=0\) রেখাটি পরাবৃত্তকে এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((x+y)^2-4x+4y-4=0\)।

\(Q.1.(ix)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 5)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x=4\) রেখাটি পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(y^2-10y+8x-7=0\)।

\(Q.1.(x)\) \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের উপরস্থ কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব \(6\) ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০০; ঢাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \((4, \pm 4\sqrt{2})\)।

\(Q.1.(xi)\) \(y^2=4px\) পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে তার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয়।
[ রাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৫; সিঃ ২০০১,২০০৭;যঃ২০০২;কুঃ২০০৩;দিঃ২০০৯।]
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}, \left(\frac{1}{3}, 0\right), 3x+1=0\)।

\(Q.1.(xii)\) \(y=2x+2\) রেখাটি \(y^{2}=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে, তবে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16\)।

\(Q.1.(xiii)\) এমন একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\) এবং দিকাক্ষ \(y=6\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(x^2-4x+12y-32=0, 12 \)।

\(Q.1.(xiv)\) একটি পরাবৃত্তের দিকাক্ষ \(2x+y=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, -1)\) পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+4y^2-4xy-50x+125=0\)।

\(Q.1.(xv)\) একটি পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-c=0\) এবং উপকেন্দ্র \((a, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত । পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \( y^2=(a-c)(2x-a-c)\)।

\(Q.1.(xvi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-6, -3)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((-2, 1)\) ।
[ চঃ ২০০০ ]
উত্তরঃ \( (x-y)^2+38x+26y+41=0\)।

\(Q.1.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল।
[ সিঃ২০৩; ২০০৪ ]
উত্তরঃ \( (y+3)^2=4(x-4)\)।

\(Q.1.(xviii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) অক্ষরেখা \(Y\)-অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2) \)।

\(Q.1.(xix)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের একটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় যা \(x+2y-1=0\) রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(4x-2y+3=0\)।

\(Q.1.(xx)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \( y=2x \)।

\(Q.1.(xxi)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় ও শীর্ষবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y\pm 2x=0\)

\(Q.1.(xxii)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তটির শীর্ষ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right); 8\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(x^2=4(1-y)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু , উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[সিঃ, চঃ ২০০১১;বঃ ২০০৯;রাঃ ২০০৮,২০০৪ ]
উত্তরঃ \((0, 1); (0, 0) y-2=0\)

\(Q.1.(xxiv)\) \(y^{2}=8x+5\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right); 8\)

\(Q.1.(xxv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের যে বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 6)\)।

\(Q.1.(xxvi)\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র মূলবিন্দু এবং \(2x+y-1=0\) রেখাকে নিয়ামক রেখা ধরে পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((x-2y)^2+4x+2y-1=0, x-2y=0\)

\(Q.1.(xxvii)\) \((2, 0)\) উপকেন্দ্র এবং \(x+2=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০৮ ;মাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(y^2=8x\)।

\(Q.1.(xxviii)\) \((0, -4)\) উপকেন্দ্র এবং \(y-4=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০৮ ;মাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(x^2=-16y\)।

\(Q.1.(xxix)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
[ ঢাঃ ২০১১,২০০৮;দিঃ ২০১১;রাঃ,সিঃ ২০০৯কুঃ,চঃ ২০০৮;বঃ২০০৭,২০০৪ ]
উত্তরঃ \( 3x+4y+25=0\)।

অনুশীলনী \(5.A\) / \(Q.1\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

\(Q.1.(i).(a)\) \( y^2=9x\) ।
উত্তরঃ \((0, 0) , \left(\frac{9}{4}, 0\right), 9, 4x-9=0, y=0, 4x+9=0\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\( y^2=9x ……..(1)\)
এখানে,
\(4a=9\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{9}{4}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow x=a, y=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{9}{4}, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(\frac{9}{4}, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{9}{4}|\)
\(=|9|\)
\(=9\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=9\)
\(\Rightarrow 4x-9=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \( 4x-9=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x=-\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=-9\)
\(\Rightarrow 4x+9=0\)
\(\Rightarrow 4x+9=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 4x+9=0\)

\(Q.1.(i).(b)\) \( x^2=-12y\) ।
উত্তরঃ \((0, 0) , (0, -3), 12, y+3=0, x=0, y-3=0\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\( x^2=-12y ……..(1)\)
এখানে,
\(4a=-12\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{12}{4}\)
\(\therefore a=-3\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow x=0, y=-3\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(0, -3)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times -3|\)
\(=|-12|\)
\(=12\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(y=a\) | \(x^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(y=a\)
\(\Rightarrow y=-3\)
\(\Rightarrow y+3=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \( y+3=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-(-3)\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\Rightarrow y-3=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( y-3=0\)

\(Q.1.(i).(c)\) \( x^2+4x+2y=0\)
[ বঃ ২০০৮ ] ।
উত্তরঃ \((-2, 2) , \left(-2, \frac{3}{2}\right), 2, 2y-3=0, x+2=0, 2y-5=0\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x^2+4x+4-4+2y=0\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=4-2y\)
\(\Rightarrow (x+2)^2=-2(y-2)\)
\(\therefore X^2=-2Y ……..(1)\) যেখানে, \(X=x+2, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=-2\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=-\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+2=0, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-2, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-2, 2)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x+2=0, y-2=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=-2, y=2-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=-2, y=\frac{4-1}{2}\)
\(\Rightarrow x=-2, y=\frac{3}{2}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-2, \frac{3}{2}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times -\frac{1}{2}|\)
\(=|-2|\)
\(=2\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(Y=a\) | \(x^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(y=a\)
\(\Rightarrow y-2=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=2-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{4-1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=3\)
\(\Rightarrow 2y-3=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \( 2y-3=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x+2=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ , \( x+2=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y-2=-\left(-\frac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow y-2=\left(\frac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow y=2+\left(\frac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow y=\left(\frac{4+1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow y=\left(\frac{5}{2}\right)\)
\(\Rightarrow 2y=5\)
\(\Rightarrow 2y-5=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 2y-5=0\)

\(Q.1.(i).(d)\) \( y^2+8x-2y-23=0\)
[ ঢাঃ ২০০০; কুঃ ২০০৬ ] ।
উত্তরঃ \((3, 1); (1, 1); 8; x-1=0; y-1=0; x-5=0 \)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(y^2+8x-2y-23=0\)
\(\Rightarrow y^2-2y=23-8x\)
\(\Rightarrow y^2-2y+1=23-8x+1\) | উভয় পার্শে \(1\) যোগ করে।
\(\Rightarrow (y-1)^2=24-8x\)
\(\Rightarrow (y-1)^2=-8(x-3)\)
\(\Rightarrow Y^2=-8X ……..(1)\) যেখানে, \(X=x-3, Y=y-1\)
এখানে,
\(4a=-8\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-2\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=3, y=1\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(3, 1)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-3=-2, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=3-2, y=1\)
\(\Rightarrow x=1, y=1\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times -2|\)
\(=|-8|\)
\(=8 \) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(X=a\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x-3=-2\)
\(\Rightarrow x-3+2=0\)
\(\Rightarrow x-1=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \( x-1=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
\(\Rightarrow y-1=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y-1=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x-3=-(-2)\)
\(\Rightarrow x-3=2\)
\(\Rightarrow x-3-2=0\)
\(\Rightarrow x-5=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( x-5=0\)

\(Q.1.(i).(e)\) \(y^2=8x-8y\)
[ কুঃ ২০০০ ] ।
উত্তরঃ \((-2, -4); (0, -4); 8; x=0; y+4=0; x+4=0 \)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i).(f)\) \((y-1)^2=4(x-2)\)
[ ঢাঃ ২০০২ ] ।
উত্তরঃ \((2, 1) , (3, 1), 4, x-3=0; y-1=0; x-1=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i).(g)\) \(y^2=4y+4x-8\)
[ কুঃ ২০০১; যঃ ২০০৭ ] ।
উত্তরঃ \((1, 2) ; (2, 2); 4; x-2=0; y-2=0; x=0 \)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i).(h)\) \(x^2+4y-4=0\)
[ রাঃ ২০০৪ ] ।
উত্তরঃ \((0, 1); (0, 0); 4; y=0; x=0; y-2=0\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x^2+4y-4=0\)
\(\Rightarrow x^2=-4y+4\)
\(\Rightarrow x^2=-4(y-1)\)
\(\therefore X^2=-4Y ……..(1)\) যেখানে, \(X=x, Y=y-1\)
এখানে,
\(4a=-4\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{4}{4}\)
\(\therefore a=-1\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, y=1\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(0, 1)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=1-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times -1|\)
\(=|4|\)
\(=4\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(Y=a\) | \(x^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(y=a\)
\(\Rightarrow y-1=-1\)
\(\Rightarrow y=1-1\)
\(\Rightarrow y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \( y=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ , \( x=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y-1=-(-1)\)
\(\Rightarrow y-1=1\)
\(\Rightarrow y-1-1=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y-2=0\)

\(Q.1.(i).(i)\) \(y^2=4y+4x-16\)
[ যঃ ২০০৫ ] ।
উত্তরঃ \((3, 2) ; (4, 2); 4; x-4=0; y-2=0; x-2=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i).(j)\) \(x^2+2y-8x+7=0\) ।
উত্তরঃ \(\left(4, \frac{9}{2}\right); (4, 4); 2; y-4=0; x-4=0; y-5=0 \)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i).(k)\) \(y^2=6x\) ।
উত্তরঃ \((0, 0); \left(\frac{3}{2}, 0\right); 6; 2x-3=0; y=0; 2x+3=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i).(l)\) \(x^2=-6y\) ।
উত্তরঃ \((0, 0); \left(0, -\frac{3}{2}\right); 6; 2y+3=0; x=0; 2y-3=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i).(m)\) \(y^2=-8x\) ।
উত্তরঃ \((0, 0); (-2, 0); 8; x+2=0; y=0; x-2=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i).(n)\) \(x^2=-8y\) ।
উত্তরঃ \((0, 0); (0, -2); 8; y+2=0; x=0; y-2=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i).(o)\) \((y-2)^2=8(x-4)\)
[ ঢাঃ ২০০২ ] ।
উত্তরঃ \((4, 2) ; (6, 2); 8; x-6=0; y-2=0, x-2=0 \)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i).(p)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\)
[ ঢাঃ ২০০২ ] ।
উত্তরঃ \((-3, 2) ; \left(-\frac{13}{6}; 2\right); \frac{10}{3}; 6x+13=0; y-2=0, 6x+23=0 \)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(3y^2-10x-12y-18=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{10}{3}x-4y-6=0\) | উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4-\frac{10}{3}x-6=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}x+10\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}(x+3)\)
\(\Rightarrow Y^2=\frac{10}{3}X ……..(1)\) যেখানে, \(X=x+3, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=\frac{10}{3}\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{10}{3\times 4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{5}{3\times 2}\)
\(\therefore a=\frac{5}{6}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-3, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-3, 2)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{5}{6}, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{6}-3, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{5-18}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{-13}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=-\frac{13}{6}, y=2\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-\frac{13}{6}, 2\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{5}{6}|\)
\(=|2\times \frac{5}{3}|\)
\(=|\frac{10}{3}|\)
\(=\frac{10}{3} \) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(X=a\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{6}-3\)
\(\Rightarrow x=\frac{5-18}{6}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-13}{6}\)
\(\Rightarrow 6x=-13\)
\(\Rightarrow 6x+13=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \( 6x+13=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y-2=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x+3=-\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{6}-3\)
\(\Rightarrow x=\frac{-5-18}{6}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-23}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{23}{6}\)
\(\Rightarrow 6x=-23\)
\(\Rightarrow 6x+23=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(6x+23=0\)

\(Q.1.(i).(q)\) \( 5x^2+15x-10y-4=0\)
[ কুঃ ২০১১,২০০৪;সিঃ২০০৯,২০০৫;ঢাঃ ২০০৮;রাঃ ২০০৭;মাঃ ২০০২ ] ।
উত্তরঃ \(A(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8}); \left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{8}\right); 2; 8y+9=0; 2x+3=0, 8y+17=0 \)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(5x^2+15x-10y-4=0\)
\(\Rightarrow x^2+3x-2y-\frac{4}{5}=0\) | উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow x^2+2.x.\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2-2y-\frac{4}{5}=0\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}+2y+\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{9}{4}+\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{45+20}{20}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{65}{20}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{13}{4}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2\left(y+\frac{13}{8}\right)\)
\(\therefore X^2=2Y ……..(1)\) যেখানে, \(X=x+\frac{3}{2}, Y=y+\frac{13}{8}\)
এখানে,
\(4a=2\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=0, y+\frac{13}{8}=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=-\frac{13}{8}\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8})\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=0, y+\frac{13}{8}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=-\frac{13}{8}+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=\frac{-13+4}{8}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=\frac{-9}{8}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=-\frac{9}{8}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{8}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{2}|\)
\(=|2|\)
\(=2\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(Y=a\) | \(x^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(y=a\)
\(\Rightarrow y+\frac{13}{8}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{2}-\frac{13}{8}\)
\(\Rightarrow y=\frac{4-13}{8}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-9}{8}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{9}{8}\)
\(\Rightarrow 8y=-9\)
\(\Rightarrow 8y+9=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \( 8y+9=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow 2x=-3\)
\(\Rightarrow 2x+3=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ , \( 2x+3=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y+\frac{13}{8}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{13}{8}-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-13-4}{8}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-17}{8}\)
\(\Rightarrow 8y=-17\)
\(\Rightarrow 8y+17=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 8y+17=0\)

\(Q.1.(i).(r)\) \((x-4)^2=-4(y-5)\) ।
উত্তরঃ \((4, 5) ; (4, 4); 4; y-4=0; x-4=0; y-6=0 \)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \((2, -3)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের অক্ষ ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(4x+3y+1=0, 3x-4y-43=0\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\)
এবং শীর্ষবিন্দু \(A(2, -3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষ \(S(-1, 1)\) এবং \(A(2, -3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
অতএব, অক্ষের সমীকরণ, \(\frac{x+1}{-1-2}=\frac{y-1}{1+3}\) | \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-3}=\frac{y-1}{4}\)
\(\Rightarrow 4x+4=-3y+3\)
\(\Rightarrow 4x+3y+4-3=0\)
\(\Rightarrow 4x+3y+1=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( 4x+3y+1=0\)।
আবার,
দিকাক্ষ এবং অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে \(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A(2, -3)\)
\(\therefore ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{x-1}{2}, \frac{y+1}{2}\right)\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore \frac{x-1}{2}=2, \frac{y+1}{2}=-3\)
\(\Rightarrow x-1=4, y+1=-6 \)
\(\Rightarrow x=4+1, y=-6-1 \)
\(\therefore x=5, y=-7 \)
\(\therefore Z(5, -7) \)
দিকাক্ষ রেখা অক্ষের উপর লম্ব।
অতএব দিকাক্ষ রেখার সমীকরণ, \(3x-4y+k=0 …….(1)\)
\((1)\) নং রেখা \(Z(5, -7)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.5-4.(-7)+k=0 \)
\(\Rightarrow 15+28+k=0 \)
\(\Rightarrow 43+k=0 \)
\(\therefore k=-43 \)
\(k\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(3x-4y-43=0 \)
ইহাই নির্ণেয় দিকাক্ষের সমীকরণ।

\(Q.1.(iii)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্র \((-8, -2)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x-y=9\) ।
[ ঢাঃ ২০০০, ২০১০; কুঃ ২০০০,২০০৭; রাঃ ২০০১,২০০৪,২০০৬; সিঃ২০০১,২০০৪যঃ২০০৬।]
উত্তরঃ \( (x+2y)^2+116x+2y+259=0\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-8, -2)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x-y-9=0 ……..(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+8)^2+(y+2)^2}=\frac{|2x-y-9|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x+8)^2+(y+2)^2=\frac{(2x-y-9)^2}{4+1}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2.x.8+64+y^2+2.y.2+4=\frac{4x^2+y^2+81-4xy-36x+18y}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+16x+64+y^2+4y+4=\frac{4x^2+y^2-4xy-36x+18y+81}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+16x+4y+68=\frac{4x^2+y^2-4xy-36x+18y+81}{5}\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2+80x+20y+340\)\(=4x^2+y^2-4xy-36x+18y+81\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2+80x+20y+340-4x^2\)\(-y^2+4xy+36x-18y-81=0\)
\(\Rightarrow x^2+4xy+4y^2+116x+2y+259=0\)
\(\Rightarrow (x+2y)^2+116x+2y+259=0\)
\(\therefore (x+2y)^2+116x+2y+259=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(iv)\) \((1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \(3x+4y=1\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। এর অক্ষেরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০০,২০০৫; বঃ,চঃ,কুঃ ২০০৫; ঢাঃ,বঃ ২০০১,২০০৪;রাঃ,সিঃ২০০২;ঢাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((4x-3y)^2-44x-42y+49=0, 4x-3y-1=0\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(3x+4y-1=0 ……..(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\frac{|3x+4y-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{(3x+4y-1)^2}{9+16}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=\frac{9x^2+16y^2+1+24xy-6x-8y}{25}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-2y+2=\frac{9x^2+16y^2+24xy-6x-8y+1}{25}\)
\(\Rightarrow 25x^2+25y^2-50x-50y+50\)\(=9x^2+16y^2+24xy-6x-8y+1\)
\(\Rightarrow 25x^2+25y^2-50x-50y+50\)\(-9x^2-16y^2-24xy+6x+8y-1=0\)
\(\therefore 16x^2-24xy+9y^2-44x-42y+49=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(4x-3y+k=0 ……..(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 4.1-3.1+k=0\)
\(\Rightarrow 4-3+k=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\therefore k=-1\)
\(k\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y-1=0 \)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ \(4x-3y-1=0 \).

\(Q.1.(v)\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \(x+y+1=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[কুঃ,ঢাঃ ২০০৩; ঢাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \((x-y)^2+2x-6y+3=0, x-y+2=0, \sqrt{2}\)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(vi)\) \((1, -3)\) বিন্দুটি \(5x^2+30x+2y+59=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০১,২০০৬,২০১০;সিঃ২০০২;চঃ ২০০৬,২০০৯ ]
উত্তরঃ \( (-3, -7), \left(-3, \frac{71}{10}\right) \)

সমাধানঃ

\(Q.1.(vii)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৭;চঃ২০০২;সিঃ২০০৯;যঃ২০০৪]
উত্তরঃ \(3x+4y+25=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(viii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র মূলবিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+1=0\) রেখাটি পরাবৃত্তকে এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((x+y)^2-4x+4y-4=0\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক \(x-y+1=0 ……..(1)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার সমান্তরাল হবে।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x-y+k=0 ……..(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((2)\) -এর লম্ব দূরত্ব, উপকেন্দ্র হতে \((1)\) -এর লম্ব দূরত্বের সমান।
\(\frac{|k-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|0+0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k-1|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k-1|}{\sqrt{2}}=\frac{|1|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow |k-1|=|1|\)
\(\Rightarrow k-1=\pm 1\)
\(\Rightarrow k=\pm 1+1\)
\(\Rightarrow k=1+1, k=-1+1\)
\(\Rightarrow k=2, k=0\)
\(k=2, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-y+2=0 ……..(3)\) যা দিকাক্ষের সমীকরণ,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{(x-y+2)^2}{2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=(x-y+2)^2\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=x^2+y^2+2^2\)\(-2xy-4y+4x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=x^2+y^2+4\)\(-2xy-4y+4x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-x^2-y^2-4+2xy\)\(+4y-4x=0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2-4x+4y-4=0\)
\(\therefore (x+y)^2-4x+4y-4=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(ix)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 5)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x=4\) রেখাটি পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(y^2-10y+8x-7=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(x)\) \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের উপরস্থ কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব \(6\) ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০০; ঢাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \((4, \pm 4\sqrt{2})\)।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(y^2=8x ……..(1)\)
এখানে,
\(4a=8\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{8}{4}\)
\(\Rightarrow a=2\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(2, 0)\)
মনে করি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(x, y)\)
শর্তমতে,
\(PS=6\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=6\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+(y-0)^2=6^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=36\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x+4-36=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-32=0\)
\(\Rightarrow x^2+8x-4x-32=0\) | \((1)\) -এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow x^2+4x-32=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4.1.(-32)}}{2.1}\) | \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান, \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{16+128}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{144}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm 12}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4+12}{2}, \frac{-4-12}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{8}{2}, \frac{-16}{2}\)
\(\Rightarrow x=4, -8\)
\(\therefore x=4, x\ne -8\)
\(x=4\) এই মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=8.4\)
\(\Rightarrow y^2=32\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{32}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{2\times 16}\)
\(\therefore y=\pm 4\sqrt{2}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দু \((4, \pm 4\sqrt{2})\) ।

\(Q.1.(xi)\) \(y^2=4px\) পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে তার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয়।
[ রাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৫; সিঃ ২০০১,২০০৭;যঃ২০০২;কুঃ২০০৩;দিঃ২০০৯।]
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}, \left(\frac{1}{3}, 0\right), 3x+1=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(y^2=4px ……..(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore (-2)^2=4p.3\)
\(\Rightarrow 4=12p\)
\(\Rightarrow 12p=4\)
\(\Rightarrow p=\frac{4}{12}\)
\(\therefore p=\frac{1}{3}\)
\(p\)-এর মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=4.\frac{1}{3}.x\)
\(y^2=\frac{4}{3}.x\)
\(y^2=\frac{4}{3}x ……..(2)\)
এখানে,
\(4a=\frac{4}{3}\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{4}{3\times 4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{3}\)
\(\therefore a=\frac{1}{3}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4.\times \frac{1}{3}|\)
\(=|\times \frac{4}{3}|\)
\(=\frac{4}{3}\) একক।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\therefore S\left(\frac{1}{3}, 0\right)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x=-a\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=-\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 3x=-1\)
\(\therefore 3x+1=0\) ইহাই দিকাক্ষের সমীকরণ।

\(Q.1.(xii)\) \(y=2x+2\) রেখাটি \(y^{2}=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে, তবে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(y=2x+2 …….(1)\)
\(y^{2}=4ax ……(2)\)
\((1)\) হতে \(\) -এর মান \((2)\) -এ বসিয়ে,
\((2x+2)^{2}=4ax\)
\(\Rightarrow 4x^{2}+8x+4=4ax\)
\(\Rightarrow 4x^{2}+8x+4-4ax=0\)
\(\Rightarrow 4x^{2}+4(2-a)x+4=0\)
\(\Rightarrow 4x^{2}+4(2-a)x+4=0\) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মান আছে।
শর্তমতে \(x\)-এর এই মানদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore \{4(2-a)\}^2=4.4.4\) | \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow 16(2-a)^2=64\)
\(\Rightarrow (2-a)^2=\frac{64}{16}\)
\(\Rightarrow (2-a)^2=4\)
\(\Rightarrow 2-a=\pm \sqrt{4}\)
\(\Rightarrow 2-a=\pm 2\)
\(\Rightarrow 2\pm 2=a\)
\(\Rightarrow a=2\pm 2\)
\(\Rightarrow a=2+2, a=2-2\)
\(\therefore a=4, a\ne 0\)
\((2)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4.4|\)
\(=|16|\)
\(=16\) একক।

\(Q.1.(xiii)\) এমন একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\) এবং দিকাক্ষ \(y=6\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(x^2-4x+12y-32=0, 12 \)।

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(y-6=0 …….(1)\)
শীর্ষবিন্দু \(A(2, 3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) এর উপর লম্ব হবে,
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+k=0 …….(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(2, 3)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 2+k=0\)
\(\Rightarrow k=-2\)
\(k\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-2=0 ……..(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) -এর ছেদবিন্দু \(Z\) নির্ণয় করি।
\(\therefore Z(2, 6)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\)
এখন,
\(SZ\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+6}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(2, 3)\)
\(\therefore A\left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+6}{2}\right)\Rightarrow A(2, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+2}{2}=2, \frac{\beta+6}{2}=3\)
\(\Rightarrow \alpha+2=4, \beta+6=6\)
\(\Rightarrow \alpha=4-2, \beta=6-6\)
\(\Rightarrow \alpha=2, \beta=0\)
\(\therefore S(2, 0)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 0)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা \(y-6=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=|y-6|\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+y^2=(y-6)^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=y^2-12y+36\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2-y^2+12y-36=0\)
\(\therefore x^2-4x+12y-32=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\(\Rightarrow x^2-4x=-12y+32\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4=-12y+32+4\) | উভয় পার্শে \(4\) যোগ করে।
\(\Rightarrow (x-2)^2=-12y+36\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=-12(y-3)\)
\(\Rightarrow X^2=-12Y\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y-3\)
\(\therefore 4a=-12\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|-12|\)
\(=12\) একক।

\(Q.1.(xiv)\) একটি পরাবৃত্তের দিকাক্ষ \(2x+y=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, -1)\) পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+4y^2-4xy-50x+125=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xv)\) একটি পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-c=0\) এবং উপকেন্দ্র \((a, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত । পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \( y^2=(a-c)(2x-a-c)\)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xvi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-6, -3)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((-2, 1)\) ।
[ চঃ ২০০০ ]
উত্তরঃ \( (x-y)^2+38x+26y+41=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল।
[ সিঃ২০৩; ২০০৪ ]
উত্তরঃ \( (y+3)^2=4(x-4)\)।

সমাধানঃ

অক্ষটি \(X\)-অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x=ay^2+by+c ……(1)\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\)
দেওয়া আছে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\)
\(\therefore \frac{1}{a}=4\)
\(\Rightarrow 4a=1\)
\(\therefore a=\frac{1}{4}\)
আবার,
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(4, -3)\)
\(\therefore A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\Rightarrow A(4, -3)\)
\(\Rightarrow -\frac{b^2-4ac}{4a}=4, -\frac{b}{2a}=-3\)
\(\Rightarrow b^2-4ac=-16a …..(2)\)
\(b=6a …..(3)\)
\((3)\) নং সমীকরণে \(a\)-এর মান বসিয়ে,
\(b=6\times \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow b=3\times \frac{1}{2}\)
\(\therefore b=\frac{3}{2}\)
\(a\) এবং \(b\)-এর মান \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow \left(\frac{3}{2}\right)^2-4.\frac{1}{4}.c=-16.\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}-c=-4\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}+4=c\)
\(\Rightarrow c=\frac{9}{4}+4\)
\(\Rightarrow c=\frac{9+16}{4}\)
\(\therefore c=\frac{25}{4}\)
এখন, \(a, b, c\) -এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(x=\frac{1}{4}y^2+\frac{3}{2}y+\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=y^2+6y+25\) | উভয় পার্শে \(4\) গুন করে।
\(\Rightarrow y^2+6y+25=4x\)
\(\Rightarrow y^2+6y=4x-25\)
\(\Rightarrow y^2+6y+9=4x-25+9\)
\(\Rightarrow (y+3)^2=4x-16\)
\(\therefore (y+3)^2=4(x-4)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(xviii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) অক্ষরেখা \(Y\)-অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2) \)।

সমাধানঃ

অক্ষটি \(Y\)-অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ……(1)\)straight3
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
দেওয়া আছে, পরাবৃত্তটি \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 5=a.2^2+b.2+c\)
\(\Rightarrow 5=a.4+2b+c\)
\(\Rightarrow 4a+2b+c=5 …….(2)\)
আবার,
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 2)\)
\(\therefore A\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\Rightarrow A(0, 2)\)
\(\Rightarrow -\frac{b}{2a}=0, -\frac{b^2-4ac}{4a}=2\)
\(\Rightarrow b=0, b^2-4ac=-8a\)
\(\Rightarrow 0^2-4ac=-8a\) | \(\because b=0\)
\(\Rightarrow 0-4ac=-8a\)
\(\Rightarrow -4ac=-8a\)
\(\Rightarrow c=2\) | উভয় পার্শে \(-4a\) ভাগ করে।
\((2)\) নং সমীকরণে \(b, c\)-এর মান বসিয়ে,
\(\Rightarrow 4a+2.0+2=5\)
\(\Rightarrow 4a+0=5-2\)
\(\Rightarrow 4a=3\)
\(\Rightarrow a=\frac{3}{4}\)
এখন, \(a, b, c\) -এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y=\frac{3}{4}x^2+0.x+2\)
\(\Rightarrow 4y=3x^2+8\) | উভয় পার্শে \(4\) গুন করে।
\(\Rightarrow 3x^2+8=4y\)
\(\Rightarrow 3x^2=4y-8\)
\(\therefore 3x^2=4(y-2)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(xix)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের একটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+2y-1=0\) রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(4x-2y+3=0\)।

সমাধানঃ

ধরি, straight3
\(y^2=12x ……(1)\)
\(x+2y-1=0 ……(2)\)
\((2)\) রেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+k=0 ……(3)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 2x+k=y\)
\(\therefore y=2x+k\)
\((3)\) হতে প্রাপ্ত \(y=2x+k\), \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((2x+k)^2=12x\)
\(\Rightarrow 4x^2+4kx+k^2=12x\)
\(\Rightarrow 4x^2+4kx+k^2-12x=0\)
\(\Rightarrow 4x^2+4(k-3)x+k^2=0\) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মান আছে।
শর্তমতে, \(x\)-এর এই মানদ্বয় সমান হবে। যেহেতু \((3)\) নং সরলরেখা \((1)\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \{4(k-3)\}^2=4.4k^2\) | \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2-4ac=0\)
\(\therefore 16(k-3)^2=16k^2\)
\(\Rightarrow (k-3)^2=k^2\) | উভয় পার্শে \(16\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow k^2-6k+9=k^2\)
\(\Rightarrow k^2-6k+9-k^2=0\)
\(\Rightarrow -6k+9=0\)
\(\Rightarrow -6k=-9\)
\(\Rightarrow k=\frac{-9}{-6}\)
\(\therefore k=\frac{3}{2}\)
\(k=\frac{3}{2}\) এই মান \((3)\) -এ বসিয়ে,
\(2x-y+\frac{3}{2}=0\)
\(\therefore 4x-2y+3=0\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

\(Q.1.(xx)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \( y=2x \)।

সমাধানঃ

ধরি,
\(y^2=12x ……(1)\)
এখানে,straight3
\(4a=12\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{12}{4}\)
\(\Rightarrow a=3\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দু \(L(a, 2a)\)
\(\Rightarrow L(3, 2.3)\) | \(\because a=3\)
\(\therefore L(3, 6)\)
এখন,
\(LA\)-এর সমীকরণ,
\(\frac{x-3}{3-0}=\frac{y-6}{6-0}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{3}=\frac{y-6}{6}\)
\(\Rightarrow 6x-18=3y-18\)
\(\Rightarrow 6x=3y-18+18\)
\(\Rightarrow 6x=3y\)
\(\Rightarrow 3y=6x\)
\(\Rightarrow y=\frac{6x}{3}\)
\(\therefore y=2x\)
ইহাই নির্ণেয় রেখার সমীকরণ।

\(Q.1.(xxi)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় ও শীর্ষবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y\pm 2x=0\)

সমাধানঃ

ধরি, straight3
\(y^2=4ax ……(1)\)
\((1)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(a, 2a), \acute L(a, -2a)\)
এখন,
\(LA\)-এর সমীকরণ,
\(\frac{x-a}{a-0}=\frac{y-2a}{2a-0}\) | \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{a}=\frac{y-2a}{2a}\)
\(\Rightarrow x-a=\frac{y-2a}{2}\)
\(\Rightarrow 2x-2a=y-2a\)
\(\Rightarrow 2x=y-2a+2a\)
\(\Rightarrow 2x=y\)
\(\therefore y=2x\)
আবার,
\(\acute LA\)-এর সমীকরণ,
\(\frac{x-a}{a-0}=\frac{y+2a}{-2a-0}\) | \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{a}=\frac{y+2a}{-2a}\)
\(\Rightarrow x-a=\frac{y+2a}{-2}\)
\(\Rightarrow -2x+2a=y+2a\)
\(\Rightarrow -2x=y+2a-2a\)
\(\Rightarrow -2x=y\)
\(\therefore y=-2x\)
\(\therefore \) নির্ণেয় রেখার সমীকরণ , \(\therefore y=\pm 2x\)

\(Q.1.(xxii)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তটির শীর্ষ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((0, 0); 4a\)

সমাধানঃ

\(y^2=4ax ……(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তের straight3
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)।

\(Q.1.(xxiii)\) \(x^2=4(1-y)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু , উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[সিঃ, চঃ ২০০১১;বঃ ২০০৯;রাঃ ২০০৮,২০০৪ ]
উত্তরঃ \((0, 1); (0, 0) y-2=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxiv)\)
\(y^{2}=8x+5\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right); 8\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
\(y^{2}=8x+5\)
\(\Rightarrow y^{2}=8\left(x+\frac{5}{8}\right)\)
\(\Rightarrow Y^{2}=8X ……..(1)\) যেখানে, \(X=x+\frac{5}{8}, Y=y\)
এখানে,
\(4a=8\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{8}{4}\)
\(\therefore a=2\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{5}{8}=0, y=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{8}, y=0\)
\(\therefore \) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\left(-\frac{5}{8}, 0\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times 2|\)
\(=|8|\)
\(=8\) একক।

\(Q.1.(xxv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের যে বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 6)\)।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(y^2=12x …….(1)\)
শর্তমতে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(a, 2a)\)।
\(P(a, 2a)\) বিন্দুটি \((1)\) নং পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore (2a)^2=12a \)
\(\Rightarrow 4a^2=12a \)
\(\Rightarrow a=\frac{12a}{4a}\) | উভয় পার্শে \(4a\) ভাগ করে।
\(\therefore a=3\)
\(a\)-এর মান বসিয়ে পাই।
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(3, 2.3)\)
\(\Rightarrow P(3, 6)\)
ইহাই নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক।

\(Q.1.(xxvi)\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র মূলবিন্দু এবং \(2x+y-1=0\) রেখাকে নিয়ামক রেখা ধরে পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((x-2y)^2+4x+2y-1=0, x-2y=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxvii)\) \((2, 0)\) উপকেন্দ্র এবং \(x+2=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০৮ ;মাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(y^2=8x\)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxviii)\) \((0, -4)\) উপকেন্দ্র এবং \(y-4=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০৮ ;মাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(x^2=-16y\)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxix)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
[ ঢাঃ ২০১১,২০০৮;দিঃ ২০১১;রাঃ,সিঃ ২০০৯কুঃ,চঃ ২০০৮;বঃ২০০৭,২০০৪ ]
উত্তরঃ \( 3x+4y+25=0\)।

সমাধানঃ

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply