পরাবৃত্ত (Parabola)

অনুশীলনী \(5.A\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.2.(i)\) \(y^2=2(x+3)\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((-3, 0), \left(-\frac{5}{2}, 0\right), 2x+7=0 \)।

\(Q.2.(ii)\) \(x^2=2(1-y)\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৯;রাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \((0, 1), (0, 0), y=2 \)।

\(Q.2.(iii)\) \(x^2-2y-8x+6=0 \) পরাবৃত্তের শীর্ষ, ফোকাস এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, -5), \left(4, -\frac{9}{2}\right), 2 \)।

\(Q.2.(iv)\) \(3x^2-4y+6x-5=0 \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র অক্ষ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০১;সিঃ২০০৬ ]
উত্তরঃ \( \left(-1, -\frac{5}{3}\right), x+1=0, 3y+7=0 \)।

\(Q.2.(v)\) পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( y^2=4ax\)।

\(Q.2.(vi)\) \(x^{2}-8x+2y+7=0\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০১,২০০৬;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \((4, 4), \left(4, \frac{9}{2}\right)\)।

\(Q.2.(vii)\) \((y-1)^2=4(x-2) \) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২]
উত্তরঃ \((2, 1), (3, 1), 4 \)।

\(Q.2.(viii)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ \(4x+3y-5=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, 1)\) হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২]
উত্তরঃ \( (3x-4y)^2-190x-80y+625=0 \)।

\(Q.2.(ix)\) \(5x^2+15x-10y-4=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০২,২০০৪,২০০৮;সিঃ ২০০৫,২০০৯ ; রাঃ ২০০৭;ঢাঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\left(\frac{3}{2}, -\frac{61}{40}\right) 2x+3=0, 40y+81=0\)।

\(Q.2.(x)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((0, a)\) এবং নিয়ামক রেখা \(y+2=0\) ।
[বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x^2=4ay \)।

\(Q.2.(xi)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\) এবং নিয়ামক রেখা \(y=6\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১২;রাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(x^2-4x+12y-32=0, 12 \)।

\(Q.2.(xii)\) এরুপ একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 5)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x=4\) রেখাটি এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
[ কুঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \( y^2-10y+8x-7=0\)।

\(Q.2.(xiii)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ \(x-c=0\) এবং তার শীর্ষ \((\acute c, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত। দেখাও যে পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4(\acute c-c)(x-\acute c)\)।

\(Q.2.(xiv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের সমান্তরাল এবং শীর্ষবিন্দু \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((0, 2)\), \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) বিন্দু দুইটি দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(y^2-8x-4y+4=0 \)।

\(Q.2.(xv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2) \)।

\(Q.2.(xvi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\) অক্ষের সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((y+3)^2=4(x-4)\)।

\(Q.2.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-1, 3)\) এবং শীর্ষ \((4, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
[ কুঃ ২০১১;সিঃ২০০৬;মাঃ২০০৮। ]
উত্তরঃ \((y-3)^2=-20(x-4)\)।

\(Q.2.(xviii)\) \(y^2=8x+5\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right), 8 \)।

\(Q.2.(xix)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের উপর \(P\) একটি বিন্দু । \(X\) অক্ষ হতে \(P\) বিন্দুর দূরত্ব \(Y\) অক্ষ হতে তার দূরত্বের দ্বিগুণ হলে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 6)\) বা \( (3, -6)\)।

\(Q.2.(xx)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, শীর্ষবিন্দু \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((0, 2)\), \((1, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \((y-2)^2=4x\)

অনুশীলনী \(5.A\) / \(Q.2\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

\(Q.2.(i)\) \(y^2=2(x+3)\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((-3, 0), \left(-\frac{5}{2}, 0\right), 2x+7=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(y^2=2(x+3) …….(1)\)
\(\Rightarrow Y^2=2X ……..(1)\) যেখানে, \(X=x+3, Y=y\)
এখানে,
\(4a=2\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y=0\)
\(\Rightarrow x=-3, y=0\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-3, 0)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{1}{2}, y=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{2}-3, y=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{1-6}{2}, y=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-5}{2}, y=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{2}, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-\frac{5}{2}, 0\right)\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x+3=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1-6}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-7}{2}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{7}{2}\)
\(\Rightarrow 2x=-7\)
\(\Rightarrow 2x+7=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(2x+7=0\)

\(Q.2.(ii)\) \(x^2=2(1-y)\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৯;রাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \((0, 1), (0, 0), y=2 \)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
\(x^2=2(1-y)\)
\(x^2=-2(y-1)\)
\(\therefore X^2=-2Y ……..(1)\) যেখানে, \(X=x, Y=y-1\)
এখানে,
\(4a=-2\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=-\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, y=1\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(0, 1)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=1-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y-1=-(-1)\)
\(\Rightarrow y-1=1\)
\(\Rightarrow y-1-1=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y-2=0\)

\(Q.2.(iii)\) \(x^2-2y-8x+6=0 \) পরাবৃত্তের শীর্ষ, ফোকাস এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, -5), \left(4, -\frac{9}{2}\right), 2 \)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x^2-2y-8x+6=0\)
\(\Rightarrow x^2-8x=2y-6\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16=2y-6+16\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=2y+10\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=2(y+5)\)
\(\therefore X^2=2Y ……..(1)\) যেখানে, \(X=x-4, Y=y+5\)
এখানে,
\(4a=2\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-4=0, y+5=0\)
\(\Rightarrow x=4, y=-5\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(4, -5)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x-4=0, y+5=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=4, y=-5+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=4, y=\frac{-10+1}{2}\)
\(\Rightarrow x=4, y=\frac{-9}{2}\)
\(\Rightarrow x=4, y=-\frac{9}{2}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(4, -\frac{9}{2}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{2}|\)
\(=|2|\)
\(=2\) একক।

\(Q.2.(iv)\) \(3x^2-4y+6x-5=0 \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র অক্ষ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০১;সিঃ২০০৬ ]
উত্তরঃ \( \left(-1, -\frac{5}{3}\right), x+1=0, 3y+7=0 \)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের সমীকরণ straight3
\(3x^2-4y+6x-5=0 \)
\(\Rightarrow x^2-\frac{4}{3}y+2x-\frac{5}{3}=0 \) | উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x=\frac{4}{3}y+\frac{5}{3} \)
\(\Rightarrow x^2+2x+1=\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}+1 \)
\(\Rightarrow (x+1)^2=\frac{4}{3}y+\frac{5+3}{3} \)
\(\Rightarrow (x+1)^2=\frac{4}{3}y+\frac{8}{3} \)
\(\Rightarrow (x+1)^2=\frac{4}{3}(y+2) \)
\(\Rightarrow X^2=\frac{4}{3}Y …….(1) \) যেখানে, \(X=x+1, Y=y+2\)
এখানে,
\(4a=\frac{4}{3}\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{4}{3\times 4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{3}\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x+1=0, y+2=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow x=-1, y=\frac{1}{3}-2\)
\(\Rightarrow x=-1, y=\frac{1-6}{3}\)
\(\Rightarrow x=-1, y=\frac{-5}{3}\)
\(\Rightarrow x=-1, y=-\frac{5}{3}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-1, -\frac{5}{3}\right)\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x+1=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( x+1=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y+2=-\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 3y+6=-1\)
\(\Rightarrow 3y+6+1=0\)
\(\Rightarrow 3y+7=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 3y+7=0\)

\(Q.2.(v)\) পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( y^2=4ax\)।

সমাধানঃ

আমরা জানি,straight3
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=-a \Rightarrow y+a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=|y+a|\)
\(\Rightarrow x^2+(y-a)^2=(y+a)^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2=(y+a)^2-(y-a)^2\)
\(\therefore x^2=4ay\) | \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(vi)\) \(x^{2}-8x+2y+7=0\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০১,২০০৬;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \((4, 4), \left(4, \frac{9}{2}\right)\)।

সমাধানঃ

\(Q.2.(vii)\) \((y-1)^2=4(x-2) \) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২]
উত্তরঃ \((2, 1), (3, 1), 4 \)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, straight3
\(\Rightarrow (y-1)^2=4(x-2)\)
\(\Rightarrow Y^2=4X ……..(1)\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y-1\)
এখানে,
\(4a=4\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=1\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=2, y=1\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(2, 1)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=1, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=2+1, y=1\)
\(\Rightarrow x=3, y=1\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(3, 1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times 1|\)
\(=|4|\)
\(=4 \) একক।

\(Q.2.(viii)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ \(4x+3y-5=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, 1)\) হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২]
উত্তরঃ \( (3x-4y)^2-190x-80y+625=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি,
\(4x+3y-5=0 …….(1)\)straight3
শীর্ষবিন্দু \(A(3, 1)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) এর উপর লম্ব হবে,
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 …….(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(3, 1)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.3-4.1+k=0\)
\(\Rightarrow 9-4+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(3x-4y-5=0 ……..(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) -এর ছেদবিন্দু \(Z\) নির্ণয় করি।
\(\therefore \frac{x}{3.(-5)-(-5).(-4)}=\frac{y}{(-5).3-4.(-5)}=\frac{1}{4.(-4)-3.3}\) | \((1)\) ও \((3)\) বজ্র গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{-15-20}=\frac{y}{-15+20}=\frac{1}{-16-9}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-35}=\frac{y}{5}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-35}=\frac{1}{-25}, \frac{y}{5}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-35}{-25}, y=\frac{5}{-25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{7}{5}, y=-\frac{1}{5}\)
\(\therefore Z\left(\frac{7}{5},-\frac{1}{5}\right)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\)
এখন,
\(SZ\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+\frac{7}{5}}{2}, \frac{\beta-\frac{1}{5}}{2}\right)\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{\frac{5\alpha+7}{5}}{2}, \frac{\frac{5\beta-1}{5}}{2}\right)\)
\(\therefore A\left(\frac{5\alpha+7}{10}, \frac{5\beta-1}{10}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(3, 1)\)
\(\therefore A\left(\frac{5\alpha+7}{10}, \frac{5\beta-1}{10}\right)\Rightarrow A(3, 1)\)
\(\Rightarrow \frac{5\alpha+7}{10}=3, \frac{5\beta-1}{10}=1\)
\(\Rightarrow 5\alpha+7=30, 5\beta-1=10\)
\(\Rightarrow 5\alpha=30-7, 5\beta=10+1\)
\(\Rightarrow 5\alpha=23, 5\beta=11\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{23}{5}, \beta=\frac{11}{5}\)
\(\therefore S\left(\frac{23}{5}, \frac{11}{5}\right)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\left(\frac{23}{5}, \frac{11}{5}\right)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা \(4x+3y-5=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\sqrt{\left(x-\frac{23}{5}\right)^2+\left(y-\frac{11}{5}\right)^2}=\frac{|4x+3y-5|}{\sqrt{4^2+3^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\left(\frac{5x-23}{5}\right)^2+\left(\frac{5y-11}{5}\right)^2}=\frac{|4x+3y-5|}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{5x-23}{5}\right)^2+\left(\frac{5y-11}{5}\right)^2=\frac{(4x+3y-5)^2}{25}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{(5x-23)^2}{25}+\frac{(5y-11)^2}{25}=\frac{(4x+3y-5)^2}{25}\)
\(\Rightarrow (5x-23)^2+(5y-11)^2=(4x+3y-5)^2\) | উভয় পার্শে \(25\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 25x^2-230x+529+25y^2-110y+121\)\(=16x^2+9y^2+25+24xy-30y-40x\)
\(\Rightarrow 25x^2-230x+529+25y^2-110y+121\)\(-16x^2-9y^2-25-24xy+30y+40x=0\)
\(\therefore 9x^2-24xy+16y^2-190x-80y+625=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(ix)\) \(5x^2+15x-10y-4=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০২,২০০৪,২০০৮;সিঃ ২০০৫,২০০৯ ; রাঃ ২০০৭;ঢাঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8}\right) 2x+3=0, 8y+17=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(5x^2+15x-10y-4=0\)
\(\Rightarrow x^2+3x-2y-\frac{4}{5}=0\) | উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow x^2+2.x.\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2-2y-\frac{4}{5}=0\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}+2y+\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{9}{4}+\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{45+20}{20}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{65}{20}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{13}{4}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2\left(y+\frac{13}{8}\right)\)
\(\therefore X^2=2Y ……..(1)\) যেখানে, \(X=x+\frac{3}{2}, Y=y+\frac{13}{8}\)
এখানে,
\(4a=2\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=0, y+\frac{13}{8}=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=-\frac{13}{8}\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8})\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow 2x=-3\)
\(\Rightarrow 2x+3=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ , \( 2x+3=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y+\frac{13}{8}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{13}{8}-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-13-4}{8}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-17}{8}\)
\(\Rightarrow 8y=-17\)
\(\Rightarrow 8y+17=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 8y+17=0\)

\(Q.2.(x)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((0, a)\) এবং নিয়ামক রেখা \(y+2=0\) ।
[বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x^2=4ay \)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(y+2=0 ……..(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+2|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x-0)^2+(y-a)^2=\frac{|y+2|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=\frac{|y+2|}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=\frac{|y+2|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=\frac{|y+2|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=|y+2|\)
\(\Rightarrow x^2+(y-a)^2=(y+2)^2\)
\(\Rightarrow x^2=(y+a)^2-(y-2)^2\)
\(\Rightarrow x^2=4ay\) | \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
\(\therefore x^2=4ay\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xi)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\) এবং নিয়ামক রেখা \(y=6\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১২;রাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(x^2-4x+12y-32=0, 12 \)।

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(y-6=0 …….(1)\)
শীর্ষবিন্দু \(A(2, 3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) এর উপর লম্ব হবে,
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+k=0 …….(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(2, 3)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 2+k=0\)
\(\Rightarrow k=-2\)
\(k\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-2=0 ……..(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) -এর ছেদবিন্দু \(Z\) নির্ণয় করি।
\(\therefore Z(2, 6)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\)
এখন,
\(SZ\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+6}{2}\right)\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(2, 3)\)
\(\therefore A\left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+6}{2}\right)\Rightarrow A(2, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+2}{2}=2, \frac{\beta+6}{2}=3\)
\(\Rightarrow \alpha+2=4, \beta+6=6\)
\(\Rightarrow \alpha=4-2, \beta=6-6\)
\(\Rightarrow \alpha=2, \beta=0\)
\(\therefore S(2, 0)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 0)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখা \(y-6=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=|y-6|\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+y^2=(y-6)^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=y^2-12y+36\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2-y^2+12y-36=0\)
\(\therefore x^2-4x+12y-32=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\(\Rightarrow x^2-4x=-12y+32\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4=-12y+32+4\) | উভয় পার্শে \(4\) যোগ করে।
\(\Rightarrow (x-2)^2=-12y+36\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=-12(y-3)\)
\(\Rightarrow X^2=-12Y\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y-3\)
\(\therefore 4a=-12\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|-12|\)
\(=12\) একক।

\(Q.2.(xii)\) এরুপ একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 5)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x=4\) রেখাটি এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
[ কুঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \( y^2-10y+8x-7=0\)।

সমাধানঃ

ধরি, straight3
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 5)\)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক \(x-4=0 ……..(1)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার উপর লম্ব হবে।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+k=0 ….(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((2)\) নং সরলরেখা \(S(2, 5)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 5+k=0\)
\(\Rightarrow k=-5\)
\(k=-5, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(y-5=0 ……..(3)\) যা অক্ষরেখার সমীকরণ,
\((1)\) ও \((3)\)-এর ছেদবিন্দু হবে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(4, 5)\)
অক্ষরেখা এবং নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\)
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু হবে \(A(4, 5)\)
\(\therefore \left(\frac{x+2}{2}, \frac{y+5}{2}\right)\Rightarrow A(4, 5)\)
\(\Rightarrow \frac{x+2}{2}=4, \frac{y+5}{2}=5\)
\(\Rightarrow x+2=8, y+5=10\)
\(\Rightarrow x=8-2, y=10-5\)
\(\Rightarrow x=6, y=5\)
\(\therefore Z(6, 5)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল রেখা হবে পরাবৃত্তের দিকাক্ষ।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x+k=0 ……..(4)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((4)\) নং সরলরেখা \(Z(6, 5)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 6+k=0 \)
\(\Rightarrow k=-6 \)
\(k=-6, (4)\) -এ বসিয়ে,
\(x-6=0 ……..(5)\) যা পরাবৃত্তের দিকাক্ষ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 5)\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1^2+0^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=|x-6|\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+(y-5)^2=(x-6)^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-10y+25=(x-6)^2-(x-2)^2\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=(x-6-x+2)(x-6+x-2)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=-4(2x-8)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=-8x+32)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25+8x-32=0)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+8x-7=0\)
\(\therefore y^2-10y+8x-7=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

বিকল্প পদ্ধতিঃ

ধরি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 5)\)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক \(x-4=0 ……..(1)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার সমান্তরাল হবে।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x+k=0 ……..(2)\) | \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((2)\) -এর লম্ব দূরত্ব, উপকেন্দ্র হতে \((1)\) -এর লম্ব দূরত্বের সমান।
\(\frac{|k+4|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\frac{|2-4|}{\sqrt{1^2+0^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+4|}{\sqrt{1+0}}=\frac{|-2|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+4|}{\sqrt{1}}=\frac{|-2|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow |k+4|=2\)
\(\Rightarrow k+4=\pm 2\)
\(\Rightarrow k=\pm 2-4\)
\(\Rightarrow k=2-4, k=-2-4\)
\(\Rightarrow k\ne-2, k=-6\)
\(k=-6, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-6=0 ……..(3)\) যা দিকাক্ষের সমীকরণ,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1^2+0^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=|x-6|\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+(y-5)^2=(x-6)^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-10y+25=(x-6)^2-(x-2)^2\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=(x-6-x+2)(x-6+x-2)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=-4(2x-8)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=-8x+32)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25+8x-32=0)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+8x-7=0\)
\(\therefore y^2-10y+8x-7=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xiii)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ \(x-c=0\) এবং তার শীর্ষ \((\acute c, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত। দেখাও যে পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4(\acute c-c)(x-\acute c)\)।

সমাধানঃ

\(Q.2.(xiv)\)
একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের সমান্তরাল এবং শীর্ষবিন্দু \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((0, 2)\), \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) বিন্দু দুইটি দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(y^2-8x-4y+4=0 \)।

সমাধানঃ

শর্তমতে, straight3
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(x=ay^2+by+c ……(1)\) | অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের সমান্তরাল ।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\) যা \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\(\therefore -\frac{b^2-4ac}{4a}=0\) | \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত কোনো বিন্দুর \(x\) স্থানাঙ্ক \(0\)।
\(\Rightarrow b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow b^2=4ac …….(2)\)
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((0, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 0=a.2^2+b.2+c\)
\(\Rightarrow 0=a.4+2b+c\)
\(\Rightarrow 4a+2b+c=0 …(3)\)
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{1}{2}=a.0^2+b.0+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=0+0+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=c\)
\(\therefore c=\frac{1}{2}\)
\(c\)-এর মান \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore b^2=4a\times \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow b^2=2a\)
\(\Rightarrow 2a=b^2\)
\(\therefore a=\frac{b^2}{2}\)
\(a\) ও \(c\)-এর মান \((3)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore 4.\frac{b^2}{2}+2b+\frac{1}{2}=0 \)
\(\Rightarrow 2b^2+2b+\frac{1}{2}=0 \)
\(\Rightarrow 4b^2+4b+1=0 \) | \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (2b+1)^2=0 \)
\(\Rightarrow 2b+1=0 \)
\(\Rightarrow 2b=-1 \)
\(\Rightarrow b=-\frac{1}{2} \)
\(\therefore a=\frac{(-\frac{1}{2})^2}{2} \)
\(\therefore a=\frac{\frac{1}{4}}{2} \)
\(\therefore a=\frac{1}{8} \)
\(a, b\) ও \(c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(x=\frac{1}{8}.y^2+(-\frac{1}{2}).y+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{8}.y^2-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 8x=y^2-4y+4\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4=8x\)
\(\therefore y^2-8x-4y+4=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2) \)।

সমাধানঃ

শর্তমতে, straight3
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ……(1)\) | অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল ।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
\(\therefore -\frac{b}{2a}=0, -\frac{b^2-4ac}{4a}=2\) | দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) ।
\(\Rightarrow b=0, b^2-4ac=-8a\)
\(\Rightarrow 0^2-4ac=-8a\) | \(\because b=0\) ।
\(\Rightarrow -4ac=-8a \)
\(\Rightarrow c=\frac{-8a}{-4a} \)
\(\therefore c=2\)
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 5=a.2^2+b.2+c\)
\(\Rightarrow 5=4a+2.0+2\) \(\because b=0, c=2\) ।
\(\Rightarrow 4a+2=5\)
\(\Rightarrow 4a=5-2\)
\(\Rightarrow 4a=3\)
\(\therefore a=\frac{3}{4}\)
\(a, b\) ও \(c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y=\frac{3}{4}.x^2+0.x+2\)
\(\Rightarrow y=\frac{3}{4}.x^2+0+2\)
\(\Rightarrow 4y=3x^2+8\)
\(\Rightarrow 3x^2+8=4y\)
\(\Rightarrow 3x^2=4y-8\)
\(\therefore 3x^2=4(y-2)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(xvi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\) অক্ষের সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((y+3)^2=4(x-4)\)।

সমাধানঃ

\(Q.2.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-1, 3)\) এবং শীর্ষ \((4, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
[ কুঃ ২০১১;সিঃ২০০৬;মাঃ২০০৮। ]
উত্তরঃ \((y-3)^2=-20(x-4)\)।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
উপকেন্দ্র \(S(-1, 3)\)
এবং শীর্ষবিন্দু \(A(4, 3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষ \(S(-1, 3)\) এবং \(A(4, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
অতএব, অক্ষের সমীকরণ, \(\frac{x+1}{-1-4}=\frac{y-3}{3-3}\) | \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-5}=\frac{y-3}{0}\)
\(\Rightarrow -5(y-3)=0\)
\(\Rightarrow y-3=\frac{0}{-5}\)
\(\Rightarrow y-3=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y-3=0\)।
আবার,
দিকাক্ষ এবং অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে \(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A(4, 3)\)
\(\therefore ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{x-1}{2}, \frac{y-3}{2}\right)\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore \frac{x-1}{2}=4, \frac{y-3}{2}=3\)
\(\Rightarrow x-1=8, y-3=6 \)
\(\Rightarrow x=8+1, y=6+3 \)
\(\therefore x=9, y=9 \)
\(\therefore Z(9, 9) \)
দিকাক্ষ রেখা অক্ষের উপর লম্ব।
অতএব দিকাক্ষ রেখার সমীকরণ, \(x+k=0 …….(1)\)
\((1)\) নং রেখা \(Z(9, 9)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 9+k=0 \)
\(\therefore k=-9 \)
\(k\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(x-9=0 …….(2)\) দিকাক্ষের সমীকরণ।
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 3)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা \(x-9=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=\frac{|x-9|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=\frac{|x-9|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=\frac{|x-9|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=\frac{|x-9|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=|x-9|\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-3)^2=(x-9)^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (y-3)^2=(x-9)^2-(x+1)^2\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=(x-9-x-1)(x-9+x+1)\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=-10(2x-8)\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=-20(x-4)\)

\(Q.2.(xviii)\) \(y^2=8x+5\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right), 8 \)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, straight3
\(y^2=8x+5\)
\(\Rightarrow y^2=8\left(x+\frac{5}{8}\right)\)
\(\Rightarrow Y^2=8X ……(1)\) যেখানে, \(X=x+\frac{5}{8}, Y=y\)
এখানে,
\(4a=8\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{5}{8}=0, y=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{8}, y=0\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A\left(-\frac{5}{8}, 0\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(=|4\times 2|\)
\(=|8|\)
\(=8\) একক।

\(Q.2.(xix)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের উপর \(P\) একটি বিন্দু । \(X\) অক্ষ হতে \(P\) বিন্দুর দূরত্ব \(Y\) অক্ষ হতে তার দূরত্বের দ্বিগুণ হলে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 6)\) বা \( (3, -6)\)।

সমাধানঃ

ধরি, straight3
\(y^2=12x …….(1)\)
শর্তমতে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(a, 2a)\)।
\(P(a, 2a)\) বিন্দুটি \((1)\) নং পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore (2a)^2=12a \)
\(\Rightarrow 4a^2=12a \)
\(\Rightarrow a=\frac{12a}{4a}\) | উভয় পার্শে \(4a\) ভাগ করে।
\(\therefore a=3\)
\(a\)-এর মান বসিয়ে পাই।
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(3, 2.3)\)
\(\Rightarrow P(3, 6)\)
ইহাই নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক।

\(Q.2.(xx)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, শীর্ষবিন্দু \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((0, 2)\), \((1, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \((y-2)^2=4x\)

সমাধানঃ

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply