উপবৃত্ত (Ellipse)

অনুশীলনী \(5.B\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ

উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে নিম্নের প্রদত্ত শর্তানুসারে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

\(Q.1.(i)(a)\) যার উপকেন্দ্র \((-3, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) ।
উত্তরঃ \(8x^2+9y^2=648\)

\(Q.1.(i)(b)\) যার উপকেন্দ্র \((0, \pm 8)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{8}{9}\) ।
[ যঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{17}+\frac{y^2}{81}=1\)

\(Q.1.(i)(c)\) যার ফোকাস \((3, 0)\) দ্বিকাক্ষ \(x=5 \) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) ।
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2-14x+11=0\)

\(Q.1.(i)(d)\) যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{2}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\) ।
[ চঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(20x^2+36y^2=405\)

\(Q.1.(i)(e)\) যা \((0, 2\sqrt{2})\) এবং \((-3, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\)

\(Q.1.(i)(f)\) যা \((1, \sqrt{6})\) এবং \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)

\(Q.1.(i)(g)\) যা \((2, 4)\) এবং \((5, \sqrt{2})\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)

\(Q.1.(i)(h)\) যা \((1, \sqrt{6})\) এবং \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)

\(Q.1.(i)(i)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 4, 0)\) এবং শীর্ষ \((\pm 5, 0)\) ।
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2=225\)

\(Q.1.(i)(j)\) যার শীর্ষ \((\pm 10, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=5\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)

\(Q.1.(i)(k)\) যার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)।
[ চঃ ২০০৫;ঢাঃ ২০১১,২০০৫;রাঃ২০১১,২০০৬;সিঃ২০১৫;যঃ২০১১;দিঃ২০১৩,২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^2+2y^2=64\)

\(Q.1.(i)(l)\) যার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ চঃ ২০০৫;ঢাঃ ২০১১,২০০৫;রাঃ২০১১,২০০৬;সিঃ২০১৫;যঃ২০১১;দিঃ২০১৩,২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{4x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)

\(Q.1.(i)(m)\) যার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)।
[কুঃ২০১৩;যঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(4x^2+5y^2=5\)

\(Q.1.(i)(n)\) যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(12\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[কুঃ২০১৩;যঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1\)

\(Q.1.(i)(o)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(3\) ।
[কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=12\)

\(Q.1.(i)(p)\) যার কেন্দ্র \((-1, -1)\) , শীর্ষ \((5, -1)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{2}{3}\)।
[কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{(x+1)^2}{36}+\frac{(y+1)^2}{20}=1\)

\(Q.1.(i)(q)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) ।
[ যঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1\)

\(Q.1.(i)(r)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{5}{8}\) ।
[ যঃ২০০৫]
উত্তরঃ \(39x^2+64y^2=2496\)

\(Q.1.(i)(s)\) যা \((1, 4)\) এবং \((-6, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2+7y^2=115\)

\(Q.1.(i)(t)\) যা \((1, -2)\) এবং \((0, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(5x^2+y^2=9\)

\(Q.1.(i)(u)\) যার বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm 3, 0)\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm 2)\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)

\(Q.1.(i)(v)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\) এবং বৃহদাক্ষ \(16\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{39}=1\)

\(Q.1.(i)(w)\) যার বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm \sqrt{5})\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm 1, 0)\) ।
উত্তরঃ \(x^2+\frac{y^2}{5}=1\)

\(Q.1.(i)(x)\) যার উপকেন্দ্র \((0, \pm 6)\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষ \(16\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1\)

\(Q.1.(i)(y)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\) এবং \(b=\sqrt{2}\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\)

\(Q.1.(i)(z)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\) এবং \(a=4\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{15}=1\)

নিম্নলিখিত উপবৃত্তগুলির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ, বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

\(Q.1.(ii)(a)\) \(3x^2+4y^2=12\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( \frac{1}{2}; (\pm 1, 0); 3;\)\( x=\pm 1; x=\pm 4; 2\sqrt{3},4\)

\(Q.1.(ii)(b)\) \(9x^2+25y^2=225\)
[ সিঃ২০০৭; বঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \( \frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5};\)\( x=\pm 4; 4x=\pm 25; 6,10\)

\(Q.1.(ii)(c)\) \(2x^2+3y^2=1\)
[ ঢাঃ ২০০৬;যঃ২০০৪; সিঃ ২০১১;বঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( \frac{1}{\sqrt{3}}; (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0); \frac{2\sqrt{2}}{3};\)\( \sqrt{6}x=\pm 1; \sqrt{2}x=\pm \sqrt{3}; \sqrt{2}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)

\(Q.1.(ii)(d)\) \(4x^2+5y^2=20\)
উত্তরঃ \( \frac{3}{5}; (\pm 3, 0); \frac{32}{5};\)\( x=\pm 3; 3x=\pm 25; 10,8\)

\(Q.1.(ii)(e)\) \(8x^2+9y^2=162\)
উত্তরঃ \( \frac{1}{3}; (\pm 1, 0); \frac{16}{3};\)\( x=\pm 1; x=\pm 9; 6,4\sqrt{2}\)

\(Q.1.(ii)(f)\) \(9x^2+16y^2=144\)
উত্তরঃ \( \frac{\sqrt{7}}{4}; (\pm \sqrt{7}, 0); \frac{9}{2};\)\( x=\pm \sqrt{7}; \sqrt{7}x=\pm 16; 8,6\)

\(Q.1.(ii)(g)\) \(5x^2+4y^2=1\)
উত্তরঃ \( \frac{1}{\sqrt{5}}; (0, \pm 1); \frac{4}{5};\)\( y=\pm 1; 2y=\pm \sqrt{5}; \frac{2}{\sqrt{5}},1\)

\(Q.1.(ii)(h)\) \(25x^2+16y^2=400\)
[ঢাঃ ২০০৯,২০০২;কুঃ২০০৯; সিঃ ২০০৬,২০০৪;বঃ২০০৬,২০০৪;দিঃ২০১২ ]
উত্তরঃ \( \frac{3}{\sqrt{5}}; (0, \pm 3); \frac{32}{5};\)\( y=\pm 3; 3y=\pm 25; 10,8\)

\(Q.1.(ii)(i)\) \(16x^2+25y^2=400\)
[রাঃ ২০০৫;কুঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \( \frac{3}{\sqrt{5}}; (\pm 3, 0); \frac{32}{5};\)\( x=\pm 3; 3x=\pm 25; 10,8\)

\(Q.1.(ii)(j)\) \(4x^2+9y^2=36\)
উত্তরঃ \( \frac{\sqrt{5}}{3}; (\pm \sqrt{5}, 0); \frac{8}{3};\)\( x=\pm \sqrt{5}; \sqrt{5}x=\pm 9; 6,4\)

\(Q.1.(ii)(k)\) \(\frac{x^2}{\sqrt{2}}+\frac{y^2}{2}=2\)
উত্তরঃ \( \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}; (0, \pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}); 2\sqrt{2};\)\( y=\pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}; (2-\sqrt{2})x=\pm 2\sqrt{2}; 4,2\sqrt{2\sqrt{2}}\)

\(\frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1\) (যখন \(A, B>0 \)) আকারের উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার-

\(Q.1.(iii)(a)\) বৃহদাক্ষ \(=20\), ক্ষুদ্রাক্ষ \(=12\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{100}=1\)

\(Q.1.(iii)(b)\) বৃহদাক্ষ \(=10\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=4\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)

\(Q.1.(iii)(c)\) বৃহদাক্ষ \(=8\), ক্ষুদ্রাক্ষ \(=6\), বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)

\(Q.1.(iii)(d)\) বৃহদাক্ষ \(=24\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=10\), বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{44}=1\)

\(Q.1.(iii)(e)\) বৃহদাক্ষ \(=24\), ক্ষুদ্রাক্ষ \(=18\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{144}=1\)

\(Q.1.(iii)(f)\) বৃহদাক্ষ \(=20\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{70}\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{30}+\frac{y^2}{100}=1\)

\(Q.1.(iii)(g)\) বৃহদাক্ষ \(=14\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{20}\), বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{29}=1\)

\(Q.1.(iv)\) \(p\)-এর মাণ কত হলে \(px^{2}+4y^2=1\) উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যাবে? উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা ও অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। [ চঃ ২০০৯, ২০০৫,২০১২; বঃ ২০০৯,২০০৫,২০১২; রাঃ ২০০৮;মাঃ ২০১৪,২০১১]
উত্তরঃ \(p=1\); উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{\sqrt{3}}{2}\); অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য \(2, 1\)

\(Q.1.(v)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \((1, \sqrt{6})\) এবং \((3, 0)\) বিন্দুগামী উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০২, সিঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)

\(Q.1.(vi)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\)।
[ ঢাঃ, চঃ ২০০৫,রাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)

\(Q.1.(vii)\) একটি উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\) এবং তা \((\frac{10}{3}, \sqrt{5})\) বিন্দু দিয়ে গমন করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৭,সিঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2=225\)

\(Q.1.(viii)\) দেখাও যে, \(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\) একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।

\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \(5x^2+9y^2-30x=0\) একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে। এর উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \((1, 0), (5, 0)\)

\(Q.1.(x)\) একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1; (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)

\(Q.1.(xi)\) প্রমাণ কর যে, \(y=x-5\) রেখাটি \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ,চঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \((\frac{16}{5}, -\frac{9}{5})\)

\(Q.1.(xii)\) কোনো উপবৃত্তের একটি ফকাস এবং এর অনুরূপ দিকাক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(16\) এবং এর উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3}{5}\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(30, 24\)

\(Q.1.(xiii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(8\) এবং দিকাক্ষ দুইটি \(18\) একক দূরত্বে অবস্থিত।
[ রাঃ ২০০২,২০০৩]
উত্তরঃ \(5x^2+9y^2=180 \)

\(Q.1.(xiv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির ক্ষুদ্র অক্ষের অর্ধেক । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০১১]
উত্তরঃ \(e=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\(Q.1.(xv)\) \(5x^2+9y^2-20x=25\) উপবৃত্তটির কেন্দ্র এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২;চঃ,সিঃ ২০০৮;বঃ২০০৬; কুঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((2, 0); (0, 0), (4, 0)\)

\(Q.1.(xvi)\) \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{p}=1\) উপবৃত্তটি \((4, 6)\) বিন্দু দিয়ে গমন করলে \(p\)-এর মাণ নির্ণয় কর। ইহার উৎকেন্দ্রিকতা ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১৩,বঃ২০০৭ ।]
উত্তরঃ \(p=100; e=\frac{\sqrt{3}}{2}, (0, \pm 5\sqrt{3})\)

\(Q.1.(xvii)\) উপবৃত্তের অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\)-অক্ষ ধরে \((2, 4)\) ও \((5, \sqrt{2})\) বিন্দুগামী উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(2x^2+3y^2=56\)

কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে, উপবৃত্তগুলির প্রমিত সমীকরণ নির্ণয় কর। যেখানে \(\theta\)হলো কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক কোণ।

\(Q.1.(xviii)(a)\) \((4\cos\theta, \sqrt{5}\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{5}=1\)

\(Q.1.(xviii)(b)\) \((4\cos\theta, 5\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1\)

\(Q.1.(xviii)(c)\) \((\sqrt{2}\cos\theta, \sqrt{3}\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1\)

\(Q.1.(xviii)(d)\) \((\cos\theta, 2\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(x^2+\frac{y^2}{4}=1\)

\(Q.1.(xix)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(16\) । উত্তরঃ \(15x^2+16y^2=960\)

\(Q.1.(xx)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((1, -1)\) ও \((-2, 2)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(8\) । উত্তরঃ \(55x^2+55y^2+18xy+46x-46y-713=0\)

\(Q.1.(xxi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষের অর্ধেক । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০১১]
উত্তরঃ \(e=\frac{1}{\sqrt{2}} \)

\(Q.1.(xxii)\) \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{25}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে গমন করলে \(p\)-এর মাণ নির্ণয় কর। ইহার উৎকেন্দ্রিকতা ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ,রাঃ,সিঃ ২০১২,দিঃ২০১১,২০০৯ ।]
উত্তরঃ \(p=100; e=\frac{\sqrt{3}}{2}, (\pm 5\sqrt{3}, 0)\)

\(Q.1.(xxiii)\) \((-3, 0)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(8\) ও \(6\) এবং এর বৃহদাক্ষ \(x\) অক্ষের সমান্তরাল উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9x^2+16y^2+54x-63=0\)

\(Q.1.(xxiv)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(8\) ।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)

\(Q.1.(xxv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাস \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দ্বিকাক্ষ \(x-y=0 \)।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(7x^2+7y^2+2xy+16x-16y+16=0\)

\(Q.1.(xxvi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((-1, -1)\) ও \((1, 1)\) এবং তার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{3}\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [বুয়েটঃ২০০০-২০০১]
উত্তরঃ \(2x^2+2y^2-2xy-3=0\)

\(Q.1.(xxvii)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(5x+9y=45\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(7x+5y=36\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (\pm \frac{27}{5}, 0)\)

\(Q.1.(xxviii)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(3x+2y-9=0\) সরলরেখাটি উপবৃত্তটিকে অক্ষদ্বয়ের উপর ছেদ করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[টেক্সটাইলঃ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \( 9x^2+4y^2=81; (0, \pm \frac{\sqrt{45}}{2})\)

\(Q.1.(xxix)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(12\)।
[কুঃ ২০০১,যঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(8x^2+9y^2=288\)

\(Q.1.(xxx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -1)\) এবং \((1, -1)\) ও বৃহদাক্ষ \(=2\sqrt{5}\)।
উত্তরঃ \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\)

\(Q.1.(xxxi)\) একটি উপবৃত্তের বৃহৎ ও ক্ষুদ্র অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{\sqrt{2}}{5}\) এবং যা \((-3, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(3x^2+5y^2=32\)

অনুশীলনী \(5.B\) / \(Q.1\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে নিম্নের প্রদত্ত শর্তানুসারে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

\(Q.1.(i)(a)\) যার উপকেন্দ্র \((-3, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) । উত্তরঃ \(8x^2+9y^2=648\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} ………(2)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((-3, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{3}\)
\(\therefore (-ae, 0)\Rightarrow (-3, 0)\)
\(\Rightarrow -ae=-3\)
\(\Rightarrow ae=3\)
\(\Rightarrow a\times \frac{1}{3}=3\) | \(\because e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow a=9\)
\(\therefore a^2=81\)
আবার,
\((2)\) হতে,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{81}}\) | \(\because e=\frac{1}{3}, a^2=81\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{\frac{81-b^2}{81}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{\sqrt{81-b^2}}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}\times 9=\sqrt{81-b^2}\)
\(\Rightarrow 3=\sqrt{81-b^2}\)
\(\Rightarrow 9=81-b^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow b^2=81-9\)
\(\therefore b^2=72\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9^2}+\frac{y^2}{72}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1\)
\(\Rightarrow \frac{8x^2+9y^2}{648}=1\)
\(\therefore 8x^2+9y^2=648\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(b)\) যার উপকেন্দ্র \((0, \pm 8)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{8}{9}\) ।
[ যঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{17}+\frac{y^2}{81}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i)(c)\) যার ফোকাস \((3, 0)\) দ্বিকাক্ষ \(x=5 \) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) ।
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2-14x+11=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
উপকেন্দ্র \(S(3, 0)\)
দ্বিকাক্ষ \(x=5 \)
\(\Rightarrow x-5=0 …..(1)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{2}\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)।
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=ePM\)
\(\Rightarrow PS^2=e^2PM^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-3)^2+(y-0)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{|x-5|}{\sqrt{1^2+0^2}}\right)^2\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x-3)^2+y^2=\frac{1}{4}\left(\frac{|x-5|}{\sqrt{1+0}}\right)^2\)
\(\Rightarrow 4(x-3)^2+4y^2=\frac{(x-5)^2}{1}\)
\(\Rightarrow 4(x-3)^2+4y^2=(x-5)^2\)
\(\Rightarrow 4(x-3)^2+4y^2-(x-5)^2=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-6x+9)+4y^2-(x^2-10x+25)=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-24x+36+4y^2-x^2+10x-25=0\)
\(\therefore 3x^2+4y^2-14x+11=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(d)\) যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{2}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\) ।
[ চঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(20x^2+36y^2=405\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} ………(2)\)
এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
দেওয়া আছে,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{2}{3}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=5\)
\(\therefore \frac{2}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=1-\frac{b^2}{a^2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=\frac{a^2-b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow 9a^2-9b^2=4a^2\)
\(\Rightarrow 9a^2-4a^2=9b^2\)
\(\Rightarrow 5a^2=9b^2\)
\(\Rightarrow 9b^2=5a^2\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{5a^2}{9} …..(3)\)
আবার,
\(\frac{2b^2}{a}=5\)
\(\Rightarrow 2b^2=5a\)
\(\Rightarrow 2\times \frac{5a^2}{9}=5a\) | \(\because b^2=\frac{5a^2}{9}\)
\(\Rightarrow 2\times \frac{a^2}{9}=a\)
\(\Rightarrow 2a^2=9a\)
\(\Rightarrow 2a^2-9a=0\)
\(\Rightarrow a(2a-9)=0\)
\(\Rightarrow 2a-9=0, a\ne 0\)
\(\Rightarrow 2a=9\)
\(\Rightarrow a=\frac{9}{2}\)
\(\therefore a^2=\frac{81}{4}\)
\((3)\) হতে,
\(b^2=\frac{5\times \frac{81}{4}}{9}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{5\times 81}{9\times 4}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{5\times 9}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{45}{4}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{81}{4}}+\frac{y^2}{\frac{45}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{81}+\frac{4y^2}{45}=1\)
\(\Rightarrow \frac{20x^2+36y^2}{405}=1\)
\(\therefore 20x^2+36y^2=405\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(e)\) যা \((0, 2\sqrt{2})\) এবং \((-3, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((0, 2\sqrt{2})\) এবং \((-3, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{0^2}{a^2}+\frac{(2\sqrt{2})^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{8}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{8}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{8}{b^2}=1\)
\(\therefore b^2=8\)
আবার,
\(\therefore \frac{(-3)^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=1\)
\(\therefore a^2=9\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(f)\) যা \((1, \sqrt{6})\) এবং \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i)(g)\) যা \((2, 4)\) এবং \((5, \sqrt{2})\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i)(h)\) যা \((1, \sqrt{6})\) এবং \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i)(i)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 4, 0)\) এবং শীর্ষ \((\pm 5, 0)\) ।
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2=225\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
শীর্ষ \((\pm a, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 4, 0)\)
এবং শীর্ষ \((\pm 5, 0)\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 5, 0)\)
\(\Rightarrow a=5\)
\(\therefore a^2=25\)
আবার,
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 4, 0)\)
\(\Rightarrow ae=4\)
\(\Rightarrow 5e=4\) | \(\because a=5\)
\(\therefore e=\frac{4}{5}\)
আবার,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{5}=\sqrt{1-\frac{b^2}{25}}\) | \(\because a^2=25, e=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{5}=\sqrt{\frac{25-b^2}{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{5}=\frac{\sqrt{25-b^2}}{5}\)
\(\Rightarrow 4=\sqrt{25-b^2}\)
\(\Rightarrow 16=25-b^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow b^2=25-16\)
\(\therefore b^2=9\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+25y^2}{225}=1\)
\(\therefore 9x^2+25y^2=225\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(j)\) যার শীর্ষ \((\pm 10, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=5\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার শীর্ষ \((\pm a, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
শীর্ষ \((\pm 10, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=5\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 10, 0)\)
\(\Rightarrow a=10\)
\(\therefore a^2=100\)
আবার,
\(\therefore \frac{2b^2}{a}=5\) | \(\because\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=5\)
\(\Rightarrow 2b^2=5a\)
\(\Rightarrow 2b^2=5\times 10\) | \(\because a=10\)
\(\Rightarrow 2b^2=50\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{50}{2}\)
\(\Rightarrow b^2=25\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(k)\) যার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)।
[ চঃ ২০০৫;ঢাঃ ২০১১,২০০৫;রাঃ২০১১,২০০৬;সিঃ২০১৫;যঃ২০১১;দিঃ২০১৩,২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^2+2y^2=64\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=8\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore 8=\frac{2b^2}{a}\) | \(\because\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=8\)
\(\Rightarrow 2b^2=8a\)
\(\therefore b^2=\frac{8a}{2}\)
\(\therefore b^2=4a ……(2)\)
আবার,
\(\therefore \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\because e=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1-\frac{4a}{a^2}}\) | \(\because b^2=4a \)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1-\frac{4}{a}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=1-\frac{4}{a}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{4}{a}=1-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{a}=\frac{2-1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{a}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow a=8\)
\(\therefore a^2=64\)
\((2)\) নং হতে,
\(b^2=4\times 8\) | \(\because a=8\)
\(\therefore b^2=32\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{32}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+2y^2}{64}=1\)
\(\therefore x^2+2y^2=64\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(l)\) যার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ চঃ ২০০৫;ঢাঃ ২০১১,২০০৫;রাঃ২০১১,২০০৬;সিঃ২০১৫;যঃ২০১১;দিঃ২০১৩,২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{4x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i)(m)\) যার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)।
[কুঃ২০১৩;যঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(4x^2+5y^2=5\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\therefore 2b=2\) | \(\because\) ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2\)
\(\Rightarrow b=1\)
\(\therefore b^2=1\)
আবার,
\(\therefore \frac{1}{\sqrt{5}}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\because e=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{5}}=\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}\) | \(\because b^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{a^2-1}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{5}=\frac{a^2-1}{a^2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 5a^2-5=a^2\)
\(\Rightarrow 5a^2-a^2=5\)
\(\Rightarrow 4a^2=5\)
\(\therefore a^2=\frac{5}{4}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{5}{4}}+\frac{y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{5}+\frac{y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2+5y^2}{5}=1\)
\(\therefore 4x^2+5y^2=5\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(n)\) যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(12\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[কুঃ২০১৩;যঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(12\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{3}\)
\(\therefore 2a=12\) | \(\because\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=12\)
\(\Rightarrow a=6\)
\(\therefore a^2=36\)
আবার,
\(\therefore \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\because e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{36}}\) | \(\because a^2=36\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{\frac{36-b^2}{36}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=\frac{36-b^2}{36}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{9}\times 36=36-b^2\)
\(\Rightarrow 4=36-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=36-4\)
\(\therefore b^2=32\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(o)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(3\) ।
[কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=12\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=3\)
\(\therefore \frac{2b^2}{a}=3\) | \(\because \) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(\Rightarrow 2b^2=3a\)
\(\therefore b^2=\frac{3a}{2} ……(2)\)
আবার,
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow ae=1\)
\(\Rightarrow e=\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\sqrt{1-\frac{\frac{3a}{2}}{a^2}}\) | \(\because b^2=\frac{3a}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\sqrt{1-\frac{3a}{2a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\sqrt{1-\frac{3}{2a}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\sqrt{\frac{2a-3}{2a}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2}=\frac{2a-3}{2a}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2}=\frac{2a-3}{2a}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2}\times 2a=2a-3\)
\(\Rightarrow \frac{2}{a}=2a-3\)
\(\Rightarrow 2a^2-3a=2\)
\(\Rightarrow 2a^2-3a-2=0\)
\(\Rightarrow 2a^2-4a+a-2=0\)
\(\Rightarrow 2a(a-2)+1(a-2)=0\)
\(\Rightarrow (a-2)(2a+1)=0\)
\(\Rightarrow a-2=0, 2a+1\ne 0\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
আবার,
\((2)\) হতে,
\(b^2=\frac{3\times 2}{2} \)
\(\therefore b^2=3 \)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2+4y^2}{12}=1\)
\(\therefore 3x^2+4y^2=12\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(p)\) যার কেন্দ্র \((-1, -1)\) , শীর্ষ \((5, -1)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{2}{3}\)।
[কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{(x+1)^2}{36}+\frac{(y+1)^2}{20}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\((-1, -1)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x+1)^2}{a^2}+\frac{(y+1)^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \(C(-1, -1)\)
শীর্ষ \(A(5, -1)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{2}{3}\)
এখন,
\(a=AC\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{(5+1)^2+(-1+1)^2}\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{6^2+0^2}\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{36}\)
\(\therefore a^2=36\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=1-\frac{b^2}{a^2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=1-\frac{b^2}{36}\) | \(\because a^2=36\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=\frac{36-b^2}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}\times 36=36-b^2\)
\(\Rightarrow 4\times 4=36-b^2\)
\(\Rightarrow 16=36-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=36-16\)
\(\therefore b^2=20\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(x+1)^2}{36}+\frac{(y+1)^2}{20}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(q)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) ।
[ যঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 3, 0)\)
\(\Rightarrow ae=3\)
\(\Rightarrow a\times \frac{1}{3}=3\)
\(\Rightarrow \frac{a}{3}=3\)
\(\Rightarrow a=9\)
\(\therefore a^2=81\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=1-\frac{b^2}{a^2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=1-\frac{b^2}{81}\) | \(\because a^2=81\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=\frac{81-b^2}{81}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}\times 81=81-b^2\)
\(\Rightarrow 9=81-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=81-9\)
\(\therefore b^2=72\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(r)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{5}{8}\) ।
[ যঃ২০০৫]
উত্তরঃ \(39x^2+64y^2=2496\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i)(s)\) যা \((1, 4)\) এবং \((-6, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2+7y^2=115\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i)(t)\) যা \((1, -2)\) এবং \((0, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(5x^2+y^2=9\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(i)(u)\) যার বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm 3, 0)\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm 2)\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm a, 0)\)
ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm b)\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm 3, 0)\)
এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm 2)\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 3, 0)\) | \(\because \) বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm a, 0)\)
\(\Rightarrow a=3\)
\(\therefore a^2=9\)
আবার,
\(\therefore (0, \pm b)\Rightarrow (0, \pm 2)\) | \(\because \) ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm b)\)
\(\Rightarrow b=2\)
\(\therefore b^2=4\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(v)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\) এবং বৃহদাক্ষ \(16\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{39}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
বৃহদাক্ষ \(=2a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\)
এবং বৃহদাক্ষ \(16\)
\(\therefore 2a=16\) | \(\because \) বৃহদাক্ষ \(=2a\)
\(\Rightarrow a=8\)
\(\therefore a^2=64\)
আবার,
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 5, 0)\) | \(\because \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow ae=5\)
\(\Rightarrow 8e=5\) | \(\because a=8\)
\(\Rightarrow e=\frac{5}{8}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{5}{8}\) | \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{25}{64}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{64}=\frac{25}{64}\) | \(\because a^2=64\)
\(\Rightarrow \frac{64-b^2}{64}=\frac{25}{64}\)
\(\Rightarrow 64-b^2=25\)
\(\Rightarrow -b^2=25-64\)
\(\Rightarrow -b^2=-39\)
\(\therefore b^2=39\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{39}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(w)\) যার বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm \sqrt{5})\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm 1, 0)\) ।
উত্তরঃ \(x^2+\frac{y^2}{5}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm b)\)
ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm a, 0)\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm \sqrt{5})\)
এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm 1, 0)\)
\(\therefore (0, \pm b)\Rightarrow (0, \pm \sqrt{5})\) | \(\because \) বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm b)\)
\(\Rightarrow b=\sqrt{5}\)
\(\therefore b^2=5\)
আবার,
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\) | \(\because \) ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm a, 0)\)
\(\Rightarrow a=1\)
\(\therefore a^2=1\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{5}=1\)
\(\therefore x^2+\frac{y^2}{5}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(x)\) যার উপকেন্দ্র \((0, \pm 6)\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষ \(16\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\)
এবং ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((0, \pm 6)\)
এবং ক্ষুদ্রাক্ষ \(16\)
\(\therefore 2a=16\) | \(\because \) ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2a\)
\(\Rightarrow a=8\)
\(\therefore a^2=64\)
আবার,
\(\therefore (0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 6)\) | \(\because \) উপকেন্দ্র \((0, \pm 6)\)
\(\Rightarrow be=6\)
\(\Rightarrow e=\frac{6}{b}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{6}{b}\) | \(\because e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{a^2}{b^2}=\frac{36}{b^2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{64}{b^2}=\frac{36}{b^2}\) | \(\because a^2=64\)
\(\Rightarrow \frac{b^2-64}{b^2}=\frac{36}{b^2}\)
\(\Rightarrow b^2-64=36\)
\(\Rightarrow b^2=36+64\)
\(\therefore b^2=100\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(y)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\) এবং \(b=\sqrt{2}\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
এবং \(b=\sqrt{2}\)
\(\therefore b^2=2\)
আবার,
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\) | \(\because \) উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow ae=1\)
\(\Rightarrow e=\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{a}\) | \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{a^2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{2}{a^2}=\frac{1}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2-2}{a^2}=\frac{1}{a^2}\)
\(\Rightarrow a^2-2=1\)
\(\Rightarrow a^2=1+2\)
\(\therefore a^2=3\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i)(z)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\) এবং \(a=4\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{15}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
এবং \(a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\) | \(\because \) উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow ae=1\)
\(\Rightarrow e=\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{a}\) | \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{a^2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{16}=\frac{1}{16}\) | \(\because a^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{16-b^2}{16}=\frac{1}{16}\)
\(\Rightarrow 16-b^2=1\)
\(\Rightarrow -b^2=1-16\)
\(\Rightarrow -b^2=-15\)
\(\therefore b^2=15\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{15}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

নিম্নলিখিত উপবৃত্তগুলির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ, বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

\(Q.1.(ii)(a)\) \(3x^2+4y^2=12\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( \frac{1}{2}; (\pm 1, 0); 3;\)\( x=\pm 1; x=\pm 4; 4, 2\sqrt{3}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(3x^2+4y^2=12\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{12}+\frac{4y^2}{12}=1\) | উভয় পার্শে \(12\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
এখানে, \(a^2=4, b^2=3\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=2, b=\sqrt{3}\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{2}\)
এখন,
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 2\times \frac{1}{2}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times 3}{2}\)
\(=3\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=\pm 2\times \frac{1}{2}\)
\(\therefore x=\pm 1\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=\pm \frac{2}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{1}\)
\(\therefore x=\pm 4\)
বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2a, 2b\)
\(\Rightarrow 2\times 2, 2\times \sqrt{3}\)
\(\therefore 4, 2\sqrt{3}\)

\(Q.1.(ii)(b)\) \(9x^2+25y^2=225\)
[ সিঃ২০০৭; বঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \( \frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5};\)\( x=\pm 4; 4x=\pm 25; 6,10\)
locus4

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(c)\) \(2x^2+3y^2=1\)
[ঢাঃ ২০০৬;যঃ২০০৪; সিঃ ২০১১;বঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( \frac{1}{\sqrt{3}}; (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0); \frac{2\sqrt{2}}{3};\)\( \sqrt{6}x=\pm 1; \sqrt{2}x=\pm \sqrt{3}; \sqrt{2}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(2x^2+3y^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{2}}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}=1\)
এখানে, \(a^2=\frac{1}{2}, b^2=\frac{1}{3}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\frac{1}{\sqrt{2}}, b=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{1}{3}\times \frac{2}{1}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{2}{3}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3-2}{3}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
এখন,
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{3}}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(=\frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{2}}{1}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{6}}\)
\(\therefore \sqrt{6}x=\pm 1\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{3}}{1}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \sqrt{2}x=\pm \sqrt{3}\)
বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2a, 2b\)
\(\Rightarrow 2\times \frac{1}{\sqrt{2}}, 2\times \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore \sqrt{2}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)

\(Q.1.(ii)(d)\) \(4x^2+5y^2=20\)
উত্তরঃ \( \frac{3}{5}; (\pm 3, 0); \frac{32}{5};\)\( x=\pm 3; 3x=\pm 25; 10,8\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(e)\) \(8x^2+9y^2=162\)
উত্তরঃ \( \frac{1}{3}; (\pm 1, 0); \frac{16}{3};\)\( x=\pm 1; x=\pm 9; 6,4\sqrt{2}\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(f)\) \(9x^2+16y^2=144\)
উত্তরঃ \( \frac{\sqrt{7}}{4}; (\pm \sqrt{7}, 0); \frac{9}{2};\)\( x=\pm \sqrt{7}; \sqrt{7}x=\pm 16; 8,6\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(g)\) \(5x^2+4y^2=1\)
উত্তরঃ \( \frac{1}{\sqrt{5}}; (0, \pm 1); \frac{4}{5};\)\( y=\pm 1; 2y=\pm \sqrt{5};

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(h)\) \(25x^2+16y^2=400\)
[ঢাঃ ২০০৯,২০০২;কুঃ২০০৯; সিঃ ২০০৬,২০০৪;বঃ২০০৬,২০০৪;দিঃ২০১২ ]
উত্তরঃ \( \frac{3}{5}; (0, \pm 3); \frac{32}{5};\)\( y=\pm 3; 3y=\pm 25; 10,8\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(25x^2+16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{400}+\frac{16y^2}{400}=1\) | উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=25\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
\(\therefore b>a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{5}\)
এখন,
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 5\times \frac{3}{5})\)
\(\Rightarrow (0, \pm 3)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times 16}{5}\)
\(=\frac{32}{5}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm be\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow y=\pm 5\times \frac{3}{5}\)
\(\therefore y=\pm 3\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{\frac{3}{5}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{25}{3}\)
\(\therefore 3y=\pm 25\)
বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2b, 2a\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow 2\times 5, 2\times 4\)
\(\therefore 10, 8\)

\(Q.1.(ii)(i)\) \(16x^2+25y^2=400\)
[রাঃ ২০০৫;কুঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \( \frac{3}{\sqrt{5}}; (\pm 3, 0); \frac{32}{5};\)\( x=\pm 3; 3x=\pm 25; 10,8\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(j)\) \(4x^2+9y^2=36\)
উত্তরঃ \( \frac{\sqrt{5}}{3}; (\pm \sqrt{5}, 0); \frac{8}{3};\)\( x=\pm \sqrt{5}; \sqrt{5}x=\pm 9; 6,4\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii)(k)\) \(\frac{x^2}{\sqrt{2}}+\frac{y^2}{2}=2\)
উত্তরঃ \( \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}; (0, \pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}); 2\sqrt{2};\)\( y=\pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}; (2-\sqrt{2})y=\pm 2\sqrt{2}; 4,2\sqrt{2\sqrt{2}}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{\sqrt{2}}+\frac{y^2}{2}=2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2\sqrt{2}}+\frac{y^2}{2\times 2}=1\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2\sqrt{2}}+\frac{y^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=2\sqrt{2}, b^2=4\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{2\sqrt{2}}, b=2\)
\(\therefore b>a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{2\sqrt{2}}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\therefore e=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\)
এখন,
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 2\times \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}})\)
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}})\)
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{2}\times \sqrt{2-\sqrt{2}})\)
\(\therefore (0, \pm \sqrt{4-2\sqrt{2}})\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times 2\sqrt{2}}{2}\)
\(=2\sqrt{2}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm be\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow y=\pm 2\times \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{2}\times \sqrt{2-\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow y=\pm \frac{2}{\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{2}{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(2-\sqrt{2})}y=\pm 2\sqrt{2}\)
বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(=2b, 2a\)
\(=2\times 2, 2\times \sqrt{2\sqrt{2}}\)
\(=4, 2\sqrt{2\sqrt{2}}\)

\(\frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1\) (যখন \(A, B>0 \)) আকারের উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার

\(Q.1.(iii).(a)\) বৃহদাক্ষ \(=20\), ক্ষুদ্রাক্ষ \(=12\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{100}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\) | \(\because\)বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2a\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=20\)
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=12\)
\(\therefore 2b=20\) | \(\because\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=20\)
\(\Rightarrow b=10\)
\(\therefore b^2=100\)
আবার,
\(\therefore 2a=12\) | \(\because\) ক্ষুদ্রাক্ষ \(=12\)
\(\Rightarrow a=6\)
\(\therefore a^2=36\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{100}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(iii).(b)\) বৃহদাক্ষ \(=10\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=4\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর। ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\) | \(\because\)বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)
কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=4\)
\(\therefore 2b=10\) | \(\because\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)
\(\Rightarrow b=5\)
\(\therefore b^2=25\)
আবার,
\(\therefore be=4\) | \(\because\) কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=4\)
\(\Rightarrow 5e=4\)
\(\Rightarrow e=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{4}{5}\) | \(\because\) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{a^2}{b^2}=\frac{16}{25}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{a^2}{25}=\frac{16}{25}\) | \(\because b^2=25\)
\(\Rightarrow \frac{25-a^2}{25}=\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow 25-a^2=16\)
\(\Rightarrow -a^2=16-25\)
\(\Rightarrow -a^2=-9\)
\(\therefore a^2=9\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(iii).(c)\) বৃহদাক্ষ \(=8\), ক্ষুদ্রাক্ষ \(=6\), বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর। ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\) | \(\because\)বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2b\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\)
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=6\)
\(\therefore 2a=8\) | \(\because\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\(\therefore 2b=6\) | \(\because\) ক্ষুদ্রাক্ষ \(=6\)
\(\Rightarrow b=3\)
\(\therefore b^2=9\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(iii).(d)\) বৃহদাক্ষ \(=24\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=10\), বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর। ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{44}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\) | \(\because\)বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=24\)
কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=10\)
\(\therefore 2a=24\) | \(\because\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=24\)
\(\Rightarrow a=12\)
\(\therefore a^2=144\)
আবার,
\(\therefore ae=10\) | \(\because\) কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=10\)
\(\Rightarrow 12e=10\)
\(\Rightarrow e=\frac{10}{12}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{10}{12}\) | \(\because\) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{10}{12}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{100}{144}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{144}=\frac{100}{144}\) | \(\because a^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{144-b^2}{144}=\frac{100}{144}\)
\(\Rightarrow 144-b^2=100\)
\(\Rightarrow -b^2=100-144\)
\(\Rightarrow -b^2=-44\)
\(\therefore b^2=44\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{44}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(iii).(e)\) বৃহদাক্ষ \(=24\), ক্ষুদ্রাক্ষ \(=18\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর। ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{144}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(iii).(f)\) বৃহদাক্ষ \(=20\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{70}\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{30}+\frac{y^2}{100}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(iii).(g)\) বৃহদাক্ষ \(=14\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{20}\), বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{29}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(iv)\) \(p\)-এর মাণ কত হলে \(px^{2}+4y^2=1\) উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যাবে? উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা ও অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। [ চঃ ২০০৯, ২০০৫,২০১২; বঃ ২০০৯,২০০৫,২০১২; রাঃ ২০০৮;মাঃ ২০১৪,২০১১]
উত্তরঃ \(p=1\); উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{\sqrt{3}}{2}\); অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য \(2, 1\)

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(px^{2}+4y^2=1 …….(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore p(\pm 1)^{2}+4.0^2=1\)
\(\Rightarrow p.1+4.0=1\)
\(\Rightarrow p+0=1\)
\(\therefore p=1\)
\(p\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(1.x^{2}+4y^2=1\)
\(\Rightarrow x^{2}+4y^2=1\)
\(\therefore \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1\)
এখানে,
\(a^2=1, b^2=\frac{1}{4}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=1, b=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a > b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{4}}{1}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.1\)
\(=2\) একক।
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.\frac{1}{2}\)
\(=1\) একক।

\(Q.1.(v)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \((1, \sqrt{6})\) এবং \((3, 0)\) বিন্দুগামী উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০২, সিঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)
locus4

সমাধানঃ

\(Q.1.(vi)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\)।
[ ঢাঃ, চঃ ২০০৫,রাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(vii)\) একটি উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\) এবং তা \((\frac{10}{3}, \sqrt{5})\) বিন্দু দিয়ে গমন করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৭,সিঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2=225\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\)
এবং তা \((\frac{10}{3}, \sqrt{5})\) বিন্দু দিয়ে গমন করে।
\(\therefore \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{4}{5}\) | \(\because\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{16}{25}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow 25a^2-25b^2=16a^2\)
\(\Rightarrow 25a^2-16a^2=25b^2\)
\(\Rightarrow 9a^2=25b^2\)
\(\therefore a^2=\frac{25b^2}{9} …….(2)\)
আবার,
\(\frac{(\frac{10}{3})^2}{a^2}+\frac{(\sqrt{5})^2}{b^2}=1\) | \(\because\) \((\frac{10}{3}, \sqrt{5})\) বিন্দু দিয়ে গমন করে।
\(\Rightarrow \frac{\frac{100}{9}}{a^2}+\frac{5}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100}{9a^2}+\frac{5}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100}{9\times \frac{25b^2}{9}}+\frac{5}{b^2}=1\) | \(\because a^2=\frac{25b^2}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{100}{25b^2}+\frac{5}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100+125}{25b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{225}{25b^2}=1\)
\(\Rightarrow 25b^2=225\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{225}{25}\)
\(\therefore b^2=9\)
\((2)\) হতে,
\(a^2=\frac{25\times 9}{9}\)
\(\therefore a^2=25\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+25y^2}{225}=1\)
\(\therefore 9x^2+25y^2=225\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(viii)\) দেখাও যে, \(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\) একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
\(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\)
\(\Rightarrow 20x^2+40x+36y^2-108y-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x)+36(y^2-3y)-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1-1)+36(y^2-3y+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1)-20+36(y^2-3y+\frac{9}{4})-81-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1)+36(y^2-3y+\frac{9}{4})-180=0\)
\(\Rightarrow 20(x+1)^2+36\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=180\)
\(\Rightarrow \frac{20(x+1)^2}{180}+\frac{36\left(y-\frac{3}{2}\right)^2}{180}=1\) | উভয় পার্শে \(180\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x+1)^2}{9}+\frac{\left(y-\frac{3}{2}\right)^2}{5}=1\)
ধরি,
\(X=x+1, Y=y-\frac{3}{2}\)
\(\therefore \frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{5}=1\) | যা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর অনুরূপ ।
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
এখানে,
\(a^2=9, b^2=5\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a>b \)

\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \(5x^2+9y^2-30x=0\) একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে। এর উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \((1, 0), (5, 0)\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
\(5x^2+9y^2-30x=0\)
\(\Rightarrow 5x^2-30x+9y^2=0\)
\(\Rightarrow 5(x^2-6x)+9y^2=0\)
\(\Rightarrow 5(x^2-6x+9-9)+9y^2=0\)
\(\Rightarrow 5(x^2-6x+9)-45+9y^2=0\)
\(\Rightarrow 5(x-3)^2+9y^2=45\)
\(\Rightarrow \frac{5(x-3)^2}{45}+\frac{9y^2}{45}=1\) | উভয় পার্শে \(45\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-3)^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\) | যা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর অনুরূপ ।
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
\(\therefore \frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{5}=1\) যেখানে, \(x-3=X, y=Y\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=5\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{5}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9-5}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{2}{3}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-3=\pm 3\times \frac{2}{3}, y=0\)
\(\Rightarrow x-3=\pm 2, y=0\)
\(\Rightarrow x=\pm 2+3, y=0\)
\(\Rightarrow x=2+3,-2+3; y=0\)
\(\Rightarrow x=5,1; y=0\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র দ্বয় \( (5, 0), (1, 0)\)

\(Q.1.(x)\) একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1; (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
\(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1 ….(2)\)
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1 ….(3)\)
\((1)\) ও \((2)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(y=0\) হবে, কেননা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে,
\(\frac{x}{9}+\frac{0}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=1\)
\(\therefore x=9\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((9, 0)\)
\((1)\) ও \((3)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(x=0\) হবে, কেননা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((3)\) হতে,
\(\frac{0}{2}+\frac{y}{3}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{3}=1\)
\(\therefore y=3\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((0, 3)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((9, 0) , (0, 3) \) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{9^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}=1 \)
\(\therefore a^2=81\Rightarrow a=9 \)
আবার,
\(\therefore \frac{0^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{b^2}=1 \)
\(\therefore b^2=9\Rightarrow b=3 \)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
ইহা স্পষ্ট যে, \(a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{81-5}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{76}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4\times 19}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4\times 19}{81}}\)
\(\therefore e=\frac{2\sqrt{19}}{9}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((\pm 2\sqrt{19}, 0)\)

\(Q.1.(xi)\) প্রমাণ কর যে, \(y=x-5\) রেখাটি \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ,চঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \((\frac{16}{5}, -\frac{9}{5})\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(9x^2+16y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}+\frac{16y^2}{144}=1\) | উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 ……(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=9\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
\(\therefore a>b \)
আবার,
\(y=x-5 …….(2)\)
এখানে,
\(m=1, c=-5\) | \(y=mx+c\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
এখন,
\(a^2m^2+b^2=4^2\times 1^2+3^2\)
\(=16\times 1+9\)
\(=16+9\)
\(=25\)
\(=(-5)^2\)
\(=c^2\) | \(y=mx+c\) রেখা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \) উপবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত \(a^2m^2+b^2=c^2\) ।
অতএব, \((2)\) নং সরলরেখাটি \( (1)\) নং উপবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((2)\) হতে \(y\)-এর মাণ \( (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}+\frac{(x-5)^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{x^2-10x+25}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+16x^2-160x+400}{144}=1\)
\(\Rightarrow 25x^2-160x+400=144\)
\(\Rightarrow 25x^2-160x+400-144=0\)
\(\Rightarrow 25x^2-160x+256=0\)
\(\Rightarrow (5x-16)^2=0\)
\(\Rightarrow 5x-16=0\)
\(\Rightarrow 5x=16\)
\(\therefore x=\frac{16}{5}\)
আবার,
\((2)\) হতে,
\(y=\frac{16}{5}-5 \)
\(\Rightarrow y=\frac{16-25}{5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-9}{5}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{9}{5}\)
স্পর্শবিন্দু \(\left(\frac{16}{5}, -\frac{9}{5}\right)\)

\(Q.1.(xii)\) কোনো উপবৃত্তের একটি ফোকাস এবং এর অনুরূপ দিকাক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(16\) এবং এর উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3}{5}\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(30, 24\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……(1)\)
অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2a, 2b\)
ফোকাস \((ae, 0)\)
অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(x=\frac{a}{e}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{3}{5}\)
ফকাস এবং এর অনুরূপ দিকাক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(16\)
\(\therefore |ae-\frac{a}{e}|=16\)
\(\Rightarrow a|\frac{3}{5}-\frac{5}{3}|=16\)
\(\Rightarrow a|\frac{9-25}{15}|=16\)
\(\Rightarrow a|-\frac{16}{15}|=16\)
\(\Rightarrow a|\frac{16}{15}|=16\)
\(\Rightarrow a\times \frac{16}{15}=16\)
\(\Rightarrow a =16\times \frac{15}{16}\)
\(\Rightarrow a =15\)
আবার,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{3}{5}=\sqrt{1-\frac{b^2}{15^2}}\) | \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{3}{5}, a=15\)
\(\Rightarrow \frac{3}{5}=\sqrt{1-\frac{b^2}{225}}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{25}=1-\frac{b^2}{225}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{25}=\frac{225-b^2}{225}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{25}\times 225=225-b^2\)
\(\Rightarrow 9\times 9=225-b^2\)
\(\Rightarrow 81=225-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=225-81\)
\(\Rightarrow b^2=144\)
\(\Rightarrow b=12\)
এখন,
অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2\times 15, 2\times 12\)
\(\Rightarrow 30, 24\)

\(Q.1.(xiii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(8\) এবং দিকাক্ষ দুইটি \(18\) একক দূরত্বে অবস্থিত।
[ রাঃ ২০০২,২০০৩]
উত্তরঃ \(5x^2+9y^2=180 \)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 …….(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2ae=8\) | \(\because\) উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(|2ae|\)
\(\Rightarrow ae=4 …..(2)\)
এবং দিকাক্ষ দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(\frac{2a}{e}=18\) | \(\because\) দিকাক্ষ দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(|\frac{2a}{e}|\)
\(\Rightarrow \frac{a}{e}=9\)
\(\Rightarrow \frac{ae}{e^2}=9\)
\(\Rightarrow \frac{4}{e^2}=9\) | \(\because ae=4\)
\(\Rightarrow 9e^2=4\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{4}{9}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{2}{3}\)
\((2)\) হতে,
\(a\times \frac{2}{3}=4\)
\(\Rightarrow a=4\times \frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow a=2\times 3\)
\(\Rightarrow a=6\)
\(\therefore a^2=36\)
আবার,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{6^2}}\) | \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{2}{3}, a=6\)
\(\Rightarrow \frac{2}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{36}}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=1-\frac{b^2}{36}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=\frac{36-b^2}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}\times 36=36-b^2\)
\(\Rightarrow 4\times 4=36-b^2\)
\(\Rightarrow 16=36-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=36-16\)
\(\Rightarrow b^2=20\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1\)
\(\Rightarrow \frac{5x^2+9y^2}{180}=1\)
\(\therefore 5x^2+9y^2=180\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(xiv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির ক্ষুদ্র অক্ষের অর্ধেক । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০১১]
উত্তরঃ \(e=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)………(1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{2b^2}{a}=\frac{2b}{2}\) | দেওয়া আছে, উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির ক্ষুদ্র অক্ষের অর্ধেক ।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a=2b …….(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{b^2}{(2b)^2}}\) | \(\because a=2b\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{b^2}{4b^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(Q.1.(xv)\) \(5x^2+9y^2-20x=25\) উপবৃত্তটির কেন্দ্র এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২;চঃ,সিঃ ২০০৮;বঃ২০০৬; কুঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((2, 0); (0, 0), (4, 0)\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(5x^2+9y^2-20x=25\)
\(\Rightarrow 5x^2-20x+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x)+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x+4-4)+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x+4)-20+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x-2)^2+9y^2=25+20\)
\(\Rightarrow 5(x-2)^2+9y^2=45\)
\(\Rightarrow \frac{5(x-2)^2}{45}+\frac{9y^2}{45}=1\) | উভয় পার্শে \(45\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{5}=1 ……(1)\) যেখানে, \(x-2=X, y=Y\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=5\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{5}{9}}\) | \(\because a^2=9, b^2=5\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9-5}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{2}{3}\)
উপবৃত্তটির কেন্দ্র \((0, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y=0\)
\(\therefore x=2, y=0\)
\(\therefore \) উপবৃত্তটির কেন্দ্র \((2, 0)\)
উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 2, y=0\)
\(\Rightarrow x=\pm 2+2, y=0\)
\(\Rightarrow x=2+2,-2+2, y=0\)
\(\therefore x=4,0, y=0\)
\(\therefore \) উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র \((4, 0), (0, 0)\)

\(Q.1.(xvi)\) \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{p}=1\) উপবৃত্তটি \((4, 6)\) বিন্দু দিয়ে গমন করলে \(p\)-এর মাণ নির্ণয় কর। ইহার উৎকেন্দ্রিকতা ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১৩,বঃ২০০৭ ।]
উত্তরঃ \(p=100; e=\frac{\sqrt{3}}{2}, (0, \pm 5\sqrt{3})\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{p}=1 ……..(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((4, 6)\) বিন্দু দিয়ে গমন করে।
\(\therefore \frac{4^2}{25}+\frac{6^2}{p}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{25}+\frac{36}{p}=1\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=1-\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=\frac{25-16}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=\frac{9}{25}\)
\(\Rightarrow 9p=25\times 36\)
\(\Rightarrow p=\frac{25\times 36}{9}\)
\(\Rightarrow p=25\times 4\)
\(\therefore p=100\)
\(p\)-এর এই মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{100}=1 ……..(2)\)
এখানে,
\(a^2=25, b^2=100\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=5, b=10\)
\(\therefore a < b \) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\) \(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{25}{100}}\) | \(\because a^2=25, b^2=100\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{100-25}{100}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{75}{100}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 10\times \frac{\sqrt{3}}{2})\)
\(\Rightarrow (0, \pm 5\times \sqrt{3})\)
\(\therefore (0, \pm 5\sqrt{3})\)

\(Q.1.(xvii)\) উপবৃত্তের অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\)-অক্ষ ধরে \((2, 4)\) ও \((5, \sqrt{2})\) বিন্দুগামী উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(2x^2+3y^2=56\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ………(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((2, 4)\) ও \((5, \sqrt{2})\) বিন্দু দিয়ে গমন করে।
\(\therefore \frac{2^2}{a^2}+\frac{4^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4}{a^2}+\frac{16}{b^2}=1 ……….(2)\)
আবার,
\(\frac{5^2}{a^2}+\frac{(\sqrt{2})^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{25}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1 ……….(3)\)
\((3)\times 8-(2) \)-এর সাহায্যে,
\(\frac{200}{a^2}+\frac{16}{b^2}-\frac{4}{a^2}-\frac{16}{b^2}=8-1 \)
\(\Rightarrow \frac{200}{a^2}-\frac{4}{a^2}=7 \)
\(\Rightarrow \frac{200-4}{a^2}=7 \)
\(\Rightarrow \frac{196}{a^2}=7 \)
\(\Rightarrow 7a^2=196 \)
\(\Rightarrow a^2=\frac{196}{7} \)
\(\therefore a^2=28 \)
\(a^2\)-এর এই মাণ \((2)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{4}{28}+\frac{16}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{7}+\frac{16}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{b^2}=1-\frac{1}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{16}{b^2}=\frac{7-1}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{16}{b^2}=\frac{6}{7}\)
\(\Rightarrow 6b^2=7\times 16\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{7\times 16}{6}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{7\times 8}{3}\)
\(\therefore b^2=\frac{56}{3}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{28}+\frac{y^2}{\frac{56}{3}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{28}+\frac{3y^2}{56}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2x^2+3y^2}{56}=1\)
\(\therefore 2x^2+3y^2=56\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে, উপবৃত্তগুলির প্রমিত সমীকরণ নির্ণয় কর। যেখানে \(\theta\)হলো কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক কোণ।

\(Q.1.(xviii).(a)\) \(4\cos\theta, \sqrt{5}\sin\theta\)। উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{5}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ………(1)\)
যার পরামিতিক স্থানাঙ্ক, \((a\cos\theta, b\sin\theta)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক, \((4\cos\theta, \sqrt{5}\sin\theta)\)
\(\therefore (a\cos\theta, b\sin\theta)\Rightarrow (4\cos\theta, \sqrt{5}\sin\theta)\)
\(\Rightarrow a=4, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a^2=16, b^2=5\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{5}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(xviii).(b)\) \((4\cos\theta, 5\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(xviii).(c)\) \((\sqrt{2}\cos\theta, \sqrt{3}\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(xviii).(d)\) \((\cos\theta, 2\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(x^2+\frac{y^2}{4}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(xix)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(16\) । উত্তরঃ \(15x^2+16y^2=960\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)………(1)\)
যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=16\)
\(\therefore 2a=16\)
\(\Rightarrow a=8\)
\(\therefore a^2=64\)
আবার,
\((\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 2, 0)\) | \(\because \) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\)
\(\Rightarrow ae=2\)
\(\Rightarrow 8e=2\)
\(\Rightarrow e=\frac{2}{8}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{4}\) | \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{16}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{64}=\frac{1}{16}\) | \(\because a^2=64\)
\(\Rightarrow \frac{64-b^2}{64}=\frac{1}{16}\)
\(\Rightarrow 64-b^2=\frac{1}{16}\times 64\)
\(\Rightarrow 64-b^2=4\)
\(\Rightarrow -b^2=4-64\)
\(\Rightarrow -b^2=-60\)
\(\Rightarrow b^2=60\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{60}=1\)
\(\Rightarrow \frac{15x^2+16y^2}{960}=1\)
\(\therefore 15x^2+16y^2=960\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(xx)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((1, -1)\) ও \((-2, 2)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(8\) । উত্তরঃ \(55x^2+55y^2+18xy+46x-46y-713=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
উপকেন্দ্রেরদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \(S(1, -1)\) ও \(\acute{S}(-2, 2)\)
এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a=8\)
ধরি,
উপবৃত্তস্ত যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
আমরা জানি,
\(PS+P\acute{S}=2a\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}=8\) | \(\because 2a=8\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=8-\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=\{8-\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\}^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)\(+(x+2)^2+(y-2)^2\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2-(x+2)^2-(y-2)^2\)\(=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-(x+2)^2+(y+1)^2-(y-2)^2=\)\(64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow (x-1+x+2)(x-1-x-2)+(y+1+y-2)(y+1-y+2)\)\(=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow (2x+1).(-3)+(2y-1).3=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow -6x-3+6y-3=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow -6x+6y-6=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow 16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}=64+6x-6y+6\)
\(\Rightarrow 16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}=70+6x-6y\)
\(\Rightarrow 8\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}=35+3x-3y\)
\(\Rightarrow 64\{(x+2)^2+(y-2)^2\}=(35+3x-3y)^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 64\{x^2+4x+4+y^2-4y+4\}\)\(=1225+9x^2+9y^2+210x-18xy-210y\)
\(\Rightarrow 64\{x^2+y^2+4x-4y+8\}\)\(=1225+9x^2+9y^2+210x-18xy-210y\)
\(\Rightarrow 64x^2+64y^2+256x-256y+512\)\(-1225-9x^2-9y^2-210x+18xy+210y=0\)
\(\therefore 55x^2+55y^2+18xy+46x-46y-713=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(xxi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষের অর্ধেক । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০১১]
উত্তরঃ \(e=\frac{1}{\sqrt{2}} \)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্ব \(=\frac{2b^2}{a}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a\)
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{2b^2}{a}=\frac{1}{2}\times 2a\) | \(\because \) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষের অর্ধেক ।
\(\Rightarrow \frac{2b^2}{a}=a\)
\(\Rightarrow 2b^2=a^2\)
\(\therefore a^2=2b^2\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{b^2}{2b^2}}\) | \(\because a^2=2b^2\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2-1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ইহাই উপবৃত্তের নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা।

\(Q.1.(xxii)\) \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{25}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে গমন করলে \(p\)-এর মাণ নির্ণয় কর। ইহার উৎকেন্দ্রিকতা ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ,রাঃ,সিঃ ২০১২,দিঃ২০১১,২০০৯ ।]
উত্তরঃ \(p=100; e=\frac{\sqrt{3}}{2}, (\pm 5\sqrt{3}, 0)\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxiii)\) \((-3, 0)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(8\) ও \(6\) এবং এর বৃহদাক্ষ \(x\) অক্ষের সমান্তরাল উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9x^2+16y^2+54x-63=0\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\((-3, 0)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x+3)^2}{a^2}+\frac{(y-0)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(x+3)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 …….(1)\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2b\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=6\)
\(\therefore 2a=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\(2b=6\)
\(\Rightarrow b=3\)
\(\therefore b^2=9\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(x+3)^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+6x+9}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+54x+81+16y^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow 9x^2+54x+81+16y^2=144\)
\(\Rightarrow 9x^2+54x+81+16y^2-144=0\)
\(\therefore 9x^2+16y^2+54x-63=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(xxiv)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(8\) ।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাস \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দ্বিকাক্ষ \(x-y=0 \)।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(7x^2+7y^2+2xy+16x-16y+16=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\),
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{2}\)
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y=0 ….(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{4}.\frac{(x-y)^2}{2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{(x-y)^2}{8}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x-2y+2=\frac{(x-y)^2}{8}\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=(x-y)^2\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=x^2+y^2-2xy\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16-x^2-y^2+2xy=0\)
\(\Rightarrow 7x^2+2xy+7y^2+16x-16y+16=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(xxvi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((-1, -1)\) ও \((1, 1)\) এবং তার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{3}\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [বুয়েটঃ২০০০-২০০১]
উত্তরঃ \(2x^2+2y^2-2xy-3=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxvii)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(5x+9y=45\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(7x+5y=36\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (\pm \frac{27}{5}, 0)\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxviii)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(3x+2y-9=0\) সরলরেখাটি উপবৃত্তটিকে অক্ষদ্বয়ের উপর ছেদ করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[টেক্সটাইলঃ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \( 9x^2+4y^2=81; (0, \pm \frac{\sqrt{45}}{2})\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxix)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(12\)।
[কুঃ ২০০১,যঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(8x^2+9y^2=288\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -1)\) এবং \((1, -1)\) ও বৃহদাক্ষ \(=2\sqrt{5}\)।
উত্তরঃ \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(xxxi)\) একটি উপবৃত্তের বৃহৎ ও ক্ষুদ্র অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{\sqrt{2}}{5}\) এবং যা \((-3, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(3x^2+5y^2=32\)

সমাধানঃ

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply