উপবৃত্ত (Ellipse)

অনুশীলনী \(5.B\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.3.(i)\) \(5x^2=1-4y^2\) উপবৃত্তটির দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ,সিঃ ২০০২; ]
উত্তরঃ \(2y=\pm \sqrt{5}\)

\(Q.3.(ii)\) মূলবিন্দুকে কেন্দ্র এবং স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ ধরে এরূপ উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((\pm 10, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\)।
উত্তরঃ \(x^2+4y^2=100\)

\(Q.3.(iii)\) \(3x^2+4y^2=12\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৩;বঃ২০০১;কুঃ২০০২; ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}; (\pm 1, 0); 3; x=\pm 4\)

\(Q.3.(iv)\) \(\frac{(x-5)^2}{25}+\frac{(y-4)^2}{16}=1\) উপবৃত্তের কেন্দ্র, ফোকাসদ্বয় এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((5, 4), (8, 4), (2, 4),(5,8),(5, 0)\)

\(Q.3.(v)\) \(9x^2+25y^2=225\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ২০০২;সিঃ ২০০৭; ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5}; x=\pm 4; 4x=\pm25\)

\(Q.3.(vi)\) \(2x^2+3y^2=1\) উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং ফোকাসের স্থানাঙ্ক, নির্ণয় কর।
[ বঃ২০০৩;যঃ ২০০৪; ঢাঃ ২০০৬]
উত্তরঃ \(\frac{2\sqrt{2}}{3}; (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0)\)

\(Q.3.(vii)\) যদি \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গের বাহুগুলি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল হয়, তবে প্রমাণ কর যে, ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল \(=\frac{4ab^2}{\sqrt{a^2e^4+4b^2}}\) ( \(e\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা )।

\(Q.3.(viii)\) \(y=2x+c\) সরলরেখাটি \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\) উপবৃত্তের স্পর্শ্ক হলে \(c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(c=\pm \sqrt{19}\)

\(Q.3.(ix)\) যে কোনো বিন্দুতে উপবৃত্তগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((a)\) \(9x^2+16y^2=144\)
[ রাঃ ২০১৪ ] উত্তরঃ \( (4\cos\theta, 3\sin\theta)\)

\((b)\) \(16x^2+25y^2=400\)
[ রাঃ, কুঃ২০০৫; মাঃ ২০১৪,২০১০ ]
উত্তরঃ \( (5\cos\theta, 4\sin\theta)\)

\((c)\) \(9x^2+25y^2=225\)
[ সিঃ ২০০৭;মাঃ২০১২ ]
উত্তরঃ \( (5\cos\theta, 3\sin\theta)\)

\((d)\) \(3x^2+4y^2=12\)
[ চঃ ২০১৬ ]
উত্তরঃ \( (2\cos\theta, \sqrt{3}\sin\theta)\)

\(Q.3.(x)\) দেখাও যে, \(2x^2+y^2-8x-2y+1=0\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে; এর উৎকেন্দ্রিকতা, কেন্দ্র ও উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০১২; ]
উত্তরঃ \(e=\frac{1}{\sqrt{2}}; (2, 1); (2, 3); (2, -1)\)

\(Q.3.(xi)\) \(16x^2+9y^2=144\) উপবৃত্তের উপরস্থ \((-3, 0)\), \((1, 3.77)\), \((-1, -3.77)\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক , উপকেন্দ্রিক কোণ উল্লেখপূর্বক বের কর।
উত্তরঃ \((3\sin\theta, 4\cos\theta)\); যেখানে, \(\theta=180^{o},11^{o}1\acute{5},191^{o}1\acute{5}\)

\(Q.3.(xii)\) \(9x^2+25y^2=225\) উপবৃত্তের \((-5, 0)\), \((0, 3)\) , \((3, \frac{12}{5})\), \((-3, \frac{12}{5})\), \((-4, -\frac{9}{5})\), \((4, -\frac{9}{5})\), উপকেন্দ্রিক কোণ উল্লেখপূর্বক বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((5\cos\theta, 3\sin\theta)\) যেখানে, \(\theta=180^{o}, 90^{o}, 53.13^{o}, 126.87^{o}, 216.87^{o}, 323.13^{o}\)

\(Q.3.(xiii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -1)\) এবং \((1, -1)\) এবং যে কোনো উপকেন্দ্র হতে শীর্ষদ্বয়ের দূরত্বের গুণফল \(4\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)

\(Q.3.(xiv)\) দুইটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(6\) একক এবং উপকেন্দ্র \((-2, 3)\) ও এর অনুরূপ শীর্ষের মধ্যকার দূরত্ব \(1\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1;\)\( \frac{(x+6)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1\)

\(Q.3.(xv)\) দেখাও যে, \(x-y=5\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) উপবৃত্তকে স্পর্শ করে।
[ঢাঃ ২০০৩,২০০৪;চঃ ২০০৪ ]

\(Q.3.(xvi)\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) উপবৃত্তের একটি জ্যা \((1, -2)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়; জ্যাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 9x-32y-73=0 \)

\(Q.3.(xvii)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি মূলবিন্দু এবং \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
উত্তরঃ \(12 \) বর্গ একক।

\(Q.3.(xviii)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তে \(y=mx+c\) রেখাটি স্পর্শক হলে, প্রমাণ কর যে, \(c^2=a^2m^2+b^2\)।

\(Q.3.(xix)\) যেসব বিন্দু থেকে \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি পরস্পর লম্ব হয় তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( x^2+y^2=a^2+b^2\)

\(Q.3.(xx)\) পৃথিবীর কক্ষপথ উপবৃত্তাকার। এর একটি উপকেন্দ্রে সূর্য অবস্থিত। উপবৃত্তের অর্ধ-বৃহদাক্ষ \(9.3\times 10^{7}\) মাইল এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{62}\) ( প্রায় ) হলে সূর্য ও পৃথিবীর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম দূরত্ব \(9.15\times 10^{7} \) মাইল। বৃহত্তম দূরত্ব \(9.45\times 10^{7} \) মাইল।

অনুশীলনী \(5.B\) / \(Q.3\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

\(Q.3.(i)\) \(5x^2=1-4y^2\) উপবৃত্তটির দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ,সিঃ ২০০২; ]
উত্তরঃ \(2y=\pm \sqrt{5}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(5x^2=1-4y^2\)
\(\Rightarrow 5x^2+4y^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{5}}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1 …….(1)\)
এখানে,
\(a^2=\frac{1}{5}, b^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{5}}, b=\frac{1}{\sqrt{4}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{5}}, b=\frac{1}{2}\)
\(\therefore b>a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{4}}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{5}\times \frac{4}{1}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{5-4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{5}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তটির দিকাক্ষের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{5}}{1}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=\pm \sqrt{5}\)
ইহাই নির্ণেয় দিকাক্ষের সমীকরণ।

\(Q.3.(ii)\) মূলবিন্দুকে কেন্দ্র এবং স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ ধরে এরূপ উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((\pm 10, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\)।
উত্তরঃ \(x^2+4y^2=100\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)…….(1)\)
যার শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}\)
দেওয়া আছে,
শীর্ষবিন্দু \((\pm 10, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\)
\((\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 10, 0)\)
\(\Rightarrow a=10\)
\(\therefore a^2=100\)
আবার,
\(\frac{2b^2}{a}=5\) | \(\because\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\)
\(\Rightarrow 2b^2=5\times 10\) | \(\because a=10\)
\(\Rightarrow 2b^2=50\)
\(\therefore b^2=25\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{x^2+4y^2}{100}=1 \)
\(\therefore x^2+4y^2=100 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(iii)\) \(3x^2+4y^2=12\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৩;বঃ২০০১;কুঃ২০০২; ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}; (\pm 1, 0); 3; x=\pm 4\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(3x^2+4y^2=12\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{12}+\frac{4y^2}{12}=1\) | উভয় পার্শে \(12\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
এখানে, \(a^2=4, b^2=3\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=2, b=\sqrt{3}\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{2}\)
এখন,
ফোকাস \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 2\times \frac{1}{2}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times 3}{2}\)
\(=3\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=\pm \frac{2}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{1}\)
\(\therefore x=\pm 4\)

\(Q.3.(iv)\) \(\frac{(x-5)^2}{25}+\frac{(y-4)^2}{16}=1\) উপবৃত্তের কেন্দ্র, ফোকাসদ্বয় এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((5, 4), (8, 4), (2, 4),(5,8),(5, 0)\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-5)^2}{25}+\frac{(y-4)^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{25}+\frac{Y^2}{16}=1 ……(1)\) যেখানে, \(x-5=X, y-4=Y\)
এখানে, \(a^2=25, b^2=16\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=5, b=4\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{5}\)
এখন,
উপবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-5=0, y-4=0\) | \(\because x-5=X, y-4=Y\)
\(\Rightarrow x=5, y=4\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((5, 4)\)
ফোকাস \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-5=\pm 5\times \frac{3}{5}, y-4=0\)
\(\Rightarrow x-5=\pm 3, y=4\)
\(\Rightarrow x=\pm 3+5, y=4\)
\(\Rightarrow x=3+5,-3+5, y=4\)
\(\therefore x=8,2, y=4\)
\(\therefore \) ফোকাসদ্বয় \((8, 4), (2, 4)\)
ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((0, \pm b)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=\pm b\)
\(\Rightarrow x-5=0, y-4=\pm 4\)
\(\Rightarrow x=5, y=\pm 4+4\)
\(\Rightarrow x=5, y=-4+4,4+4\)
\(\therefore x=5, y=0,8\)
\(\therefore\) ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((5, 0), (5, 8)\)

\(Q.3.(v)\) \(9x^2+25y^2=225\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ২০০২;সিঃ ২০০৭; ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5}; x=\pm 4; 4x=\pm25\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(9x^2+25y^2=225\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{225}+\frac{25y^2}{225}=1\) | উভয় পার্শে \(225\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 ……(1)\)
এখানে, \(a^2=25, b^2=9\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=5, b=3\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{4}{5}\)
এখন,
ফোকাস \((\pm ae, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{3}{5}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 3, 0)\)
\(\therefore \) ফোকাসদ্বয় \((\pm 3, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{2\times 9}{5}\)
\(\therefore \frac{18}{5}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
\(\Rightarrow x=\pm 5\times \frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow x=\pm 4\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{5}{\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{5}{\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow 4x=\pm 25\)

\(Q.3.(vi)\) \(2x^2+3y^2=1\) উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং ফোকাসের স্থানাঙ্ক, নির্ণয় কর।
[ বঃ২০০৩;যঃ ২০০৪; ঢাঃ ২০০৬]
উত্তরঃ \(\frac{2\sqrt{2}}{3}; (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0)\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(2x^2+3y^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{2}}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}=1 …….(1)\)
এখানে,
\(a^2=\frac{1}{2}, b^2=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{2}}, b=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{3}\times \frac{2}{1}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{2}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{3-2}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{2\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow 2\times \frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{2}}{1}\)
\(\therefore \frac{2\sqrt{2}}{3}\)
ফোকাসের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{3}}, 0)\)
\(\therefore (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0)\)

\(Q.3.(vii)\) যদি \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গের বাহুগুলি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল হয়, তবে প্রমাণ কর যে, ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল \(=\frac{4ab^2}{\sqrt{a^2e^4+4b^2}}\) ( \(e\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা )।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় বরাবর অবস্থিত এবং উপবৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গের বাহুগুলি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল।
উপবৃত্তের কেন্দ্র হতে বর্গের বাহুগুলির দূরত্ব অবশ্যই সমান হবে। ধরি এই দূরত্ব \(=k\)
তাহলে বর্গক্ষেত্রের বাহুগুলির সমীকরণ হবে,
\(x=\pm k …..(2)\)
\(y=\pm k …..(3)\)
এক্ষেত্রে বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য \(=k+k=2k\)
\(\therefore \) বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=(2k)^2=4k^2\)
আবার,
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}\)
\(\therefore a^2e^2=a^2-b^2 \)
এখন,
\((2)\) ও \((3)\) সমীকরণ \((1)\) নং উপবৃত্তকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore \frac{(\pm k)^2}{a^2}+\frac{(\pm k)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{k^2}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow k^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)=1\)
\(\Rightarrow k^2\left(\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}\right)=1\)
\(\therefore k^2=\left(\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\right)\)
কিন্তু বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=4k^2\)
\(=4\left(\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\right)\)
\(=\frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}\)
\(=\frac{4a^2b^2}{\sqrt{(a^2+b^2)^2}}\)
\(=\frac{4a^2b^2}{\sqrt{(a^2-b^2)^2+4a^2b^2}}\)
\(=\frac{4a^2b^2}{\sqrt{(a^2e^2)^2+4a^2b^2}}\) | \(\because a^2e^2=a^2-b^2\)
\(=\frac{4a^2b^2}{\sqrt{a^4e^4+4a^2b^2}}\)
\(=\frac{4a^2b^2}{a\sqrt{a^2e^4+4b^2}}\)
\(=\frac{4ab^2}{\sqrt{a^2e^4+4b^2}}\)
( প্রমাণিত )

\(Q.3.(viii)\) \(y=2x+c\) সরলরেখাটি \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\) উপবৃত্তের স্পর্শ্ক হলে \(c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(c=\pm \sqrt{19}\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(y=2x+c …..(1)\)
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 …..(2)\)
\((1)\) হতে \(\)-এর মাণ \(\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}+\frac{(2x+c)^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2+4(2x+c)^2}{12}=1\)
\(\Rightarrow 3x^2+4(4x^2+4cx+c^2)=12\)
\(\Rightarrow 3x^2+16x^2+16cx+4c^2=12\)
\(\Rightarrow 19x^2+16cx+4c^2-12=0 \) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(x\)-এর দুইটি মাণ পাওয়া যাবে।
সে ক্ষেত্রে \((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং উপবৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে। যা শর্তবিরোধী।
শর্তমতে উক্ত সমীকরণে \(x\)-এর মাণদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore (16c)^2=4.19(4c^2-12)\) | \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 256c^2=16.19(c^2-3)\)
\(\Rightarrow 16c^2=19(c^2-3)\)
\(\Rightarrow 16c^2=19c^2-57\)
\(\Rightarrow 16c^2-19c^2=-57\)
\(\Rightarrow -3c^2=-57\)
\(\Rightarrow c^2=19\)
\(\therefore c=\pm \sqrt{19}\)

\(Q.3.(ix)\) যে কোনো বিন্দুতে উপবৃত্তগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((a)\) \(9x^2+16y^2=144\)
[ রাঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \( (4\cos\theta, 3\sin\theta)\)
\((b)\) \(16x^2+25y^2=400\)
[ রাঃ, কুঃ২০০৫; মাঃ ২০১৪,২০১০ ]
উত্তরঃ \( (5\cos\theta, 4\sin\theta)\)
\((c)\) \(9x^2+25y^2=225\)
[ সিঃ ২০০৭;মাঃ২০১২ ]
উত্তরঃ \( (5\cos\theta, 3\sin\theta)\)
\((d)\) \(3x^2+4y^2=12\)
[ চঃ ২০১৬ ]
উত্তরঃ \( (2\cos\theta, \sqrt{3}\sin\theta)\)

\(Q.3.(ix)(a)\) \(9x^2+16y^2=144\)
[ রাঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \( (4\cos\theta, 3\sin\theta)\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে , locus4
\(9x^2+16y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}+\frac{16y^2}{144}=1\)| উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 …….(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=9\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((4\cos\theta, 3\sin\theta)\) | \(\because \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \) উপবৃত্তের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((a\cos\theta, b\sin\theta)\)

\(Q.3.(ix)(b)\) \(16x^2+25y^2=400\)
[ রাঃ, কুঃ২০০৫; মাঃ ২০১৪,২০১০ ]
উত্তরঃ \( (5\cos\theta, 4\sin\theta)\)

সমাধানঃ

\(Q.3.(ix)(c)\) \(9x^2+25y^2=225\)
[ সিঃ ২০০৭;মাঃ২০১২ ]
উত্তরঃ \( (5\cos\theta, 3\sin\theta)\)

সমাধানঃ

\(Q.3.(ix)(d)\) \(3x^2+4y^2=12\)
[ চঃ ২০১৬ ]
উত্তরঃ \( (2\cos\theta, \sqrt{3}\sin\theta)\)

সমাধানঃ

\(Q.3.(x)\) দেখাও যে, \(2x^2+y^2-8x-2y+1=0\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে; এর উৎকেন্দ্রিকতা, কেন্দ্র ও উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০১২; ]
উত্তরঃ \(e=\frac{1}{\sqrt{2}}; (2, 1); (2, 3); (2, -1)\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(2x^2+y^2-8x-2y+1=0\)
\(\Rightarrow 2x^2-8x+y^2-2y+1=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x)+(y-1)^2=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x+4-4)+(y-1)^2=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x+4)-8+(y-1)^2=0\)
\(\Rightarrow 2(x-2)^2+(y-1)^2=8\)
\(\Rightarrow \frac{2(x-2)^2}{8}+\frac{(y-1)^2}{8}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{8}=1 …….(1)\)
এখানে,
কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\Rightarrow C(2, 1)\) | \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow \alpha=2, \beta=1\)
আবার,
\(a^2=4, b^2=8\) | \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2, b=2\sqrt{2}\)
\(\therefore b>a\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{8}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2-1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
উপকেন্দ্র,
\((\alpha, \pm be+\beta)\) | \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (2, \pm 2\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}+1)\)
\(\Rightarrow (2, \pm 2+1)\)
\(\Rightarrow (2, 2+1), (2, -2+1)\)
\(\therefore (2, 3), (2, -1)\)

\(Q.3.(xi)\) \(16x^2+9y^2=144\) উপবৃত্তের উপরস্থ \((-3, 0)\), \((1, 3.77)\), \((-1, -3.77)\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক , উপকেন্দ্রিক কোণ উল্লেখপূর্বক বের কর।
উত্তরঃ \((3\sin\theta, 4\cos\theta)\); যেখানে, \(\theta=180^{o},11^{o}1\acute{5},191^{o}1\acute{5}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ \(16x^2+9y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2}{144}+\frac{9y^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 …….(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=16\)
\(\Rightarrow a=3, b=4\)
\(\therefore b>a\)
যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) যেখানে পরামিতি \(=\theta\)
এবং \(\theta=\tan_{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\((-3, 0)\) বিন্দুর ক্ষেত্রে \(x=-3, y=0\)
\(\therefore \theta=\tan_{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{3\times 0}{4\times -3}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{0}{-12}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=-\tan_{-1}0\)
\(\Rightarrow \theta=180_{o}-\tan_{-1}0\)
\(\Rightarrow \theta=180_{o}-0\)
\(\therefore \theta=180_{o}\)
\(\therefore (-3, 0)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((a\cos\theta, b\sin\theta)\) যেখানে, \(\theta=\theta=180_{o}\).
\((1, 3.77)\) বিন্দুর ক্ষেত্রে \(x=1, y=3.77\)
\(\therefore \theta=\tan_{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{3\times 1}{4\times 3.77}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{3}{15.08}\right)\)
\(\therefore \theta=11_{o}1\acute{5}\)
\(\therefore (1, 3.77)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((a\cos\theta, b\sin\theta)\) যেখানে, \(\theta=\theta=11_{o}1\acute{5}\).
\((-1, -3.77)\) বিন্দুর ক্ষেত্রে \(x=-1, y=-3.77\)
\(\therefore \theta=\tan_{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{3\times -1}{4\times -3.77}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{-3}{-15.08}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{3}{15.08}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=180_{o}+11_{o}1\acute{5}\)
\(\therefore \theta=191_{o}1\acute{5}\)
\(\therefore (1, 3.77)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((a\cos\theta, b\sin\theta)\) যেখানে, \(\theta=\theta=191_{o}1\acute{5}\).

\(Q.3.(xii)\) \(9x^2+25y^2=225\) উপবৃত্তের \((-5, 0)\), \((0, 3)\) , \((3, \frac{12}{5})\), \((-3, \frac{12}{5})\), \((-4, -\frac{9}{5})\), \((4, -\frac{9}{5})\), উপকেন্দ্রিক কোণ উল্লেখপূর্বক বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((5\cos\theta, 3\sin\theta)\) যেখানে, \(\theta=180^{o}, 90^{o}, 53.13^{o}, 126.87^{o}, 216.87^{o}, 323.13^{o}\)

সমাধানঃ

\(Q.3.(xiii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -1)\) এবং \((1, -1)\) এবং যে কোনো উপকেন্দ্র হতে শীর্ষদ্বয়ের দূরত্বের গুণফল \(4\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় \(S(3, -1), \acute{S}(1, -1)\)
\(\therefore S\acute{s}\)-এর মধ্যবিন্দু হবে উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C\left(\frac{3+1}{2}, \frac{-1-1}{2}\right)\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C\left(\frac{4}{2}, \frac{-2}{2}\right)\)
\(\therefore C(2, -1)\)
\(\therefore C(2, -1)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ,
\( \frac{(x-2)^2}{a^2}+\frac{(y+1)^2}{b^2}=1 ……(1)\)
উপবৃত্তের শীর্ষদ্বয় \(A\) ও \(\acute{A}\).
যেহেতু উপকেন্দ্রের কটি অভিন্ন, সুতরাং উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষের সমান্তরাল। \(a, b\) এবং \(e\) যথাক্রমে উপবৃত্তের অর্ধ-বৃহদাক্ষ, অর্ধ-ক্ষুদ্রাক্ষ এবং উৎকেন্দ্রিকতা হলে,
\(CA=C\acute{A}=a, CS=ae\)
আবার,
\(SA=CA-CS=a-ae\)
এবং
\(S\acute{A}=C\acute{A}+CS=a+ae\)
শর্তমতে,
\(SA\times S\acute{A}=4\)
\(\Rightarrow (a-ae)(a+ae)=4\)
\(\Rightarrow a^2-a^2e^2=4\)
\(\Rightarrow b^2=4\) | \(\because b^2=a^2-a^2e^2\)
আবার,
\(b^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-(ae)^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-(CS)^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-\{(2-3)^2+(-1+1)^2\}\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-\{(-1)^2+(0)^2\}\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-\{1+0\}\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-1\)
\(\Rightarrow a^2-1=b^2\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+1\)
\(\Rightarrow a^2=4+1\)
\(\therefore a^2=5\)
এখন,
\(a^2=5, b^2=4, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(xiv)\) দুইটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(6\) একক এবং উপকেন্দ্র \((-2, 3)\) ও এর অনুরূপ শীর্ষের মধ্যকার দূরত্ব \(1\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1;\)\( \frac{(x+6)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \( \frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1 ……(1)\)
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\).
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae+\alpha, \beta)\).
উপবৃত্তের ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2b\).
শর্তমতে,
\(2b=6\)
\(\therefore b=3\)
উপকেন্দ্র ও এর অনুরূপ শীর্ষের মধ্যকার দূরত্ব \(a-ae=1\)
\(\Rightarrow a-1=ae\)
\(\Rightarrow \frac{a-1}{a}=e ….(2)\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{a^2}=e^2\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}\) | \(\because e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{a^2}=1-\frac{3^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{a^2}=1-\frac{9}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{a^2}+\frac{9}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2+9}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow (a-1)^2+9=a^2\)
\(\Rightarrow (a-1)^2-a^2+9=0\)
\(\Rightarrow (a-1+a)(a-1-a)+9=0\)
\(\Rightarrow (2a-1)(-1)+9=0\)
\(\Rightarrow -2a+1+9=0\)
\(\Rightarrow -2a+10=0\)
\(\Rightarrow -2a=-10\)
\(\therefore a=5\)
\(a=5, b=3, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{(x-\alpha)^2}{25}+\frac{(y-\beta)^2}{9}=1 ……(3)\)
আবার,
\((2)\) হতে,
\(e=\frac{a-1}{a}\)
\(=\frac{5-1}{5}\)
\(=\frac{4}{5}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae+\alpha, \beta)\).
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}+\alpha, \beta)\).
\(\therefore (\pm 4+\alpha, \beta)\).
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((-2, 3)\).
\(\therefore (\pm 4+\alpha, \beta)\Rightarrow (-2, 3)\).
\(\Rightarrow \pm 4+\alpha=-2; \beta=3\).
\(\Rightarrow \alpha=-2\pm 4; \beta=3\).
\(\Rightarrow \alpha=-2+4,-2-4; \beta=3\).
\(\therefore \alpha=2,-6; \beta=3\).
\(\alpha=2,-6; \beta=3, (3)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1\) এবং \(\frac{(x+6)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1\)
নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(xv)\) দেখাও যে, \(x-y=5\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) উপবৃত্তকে স্পর্শ করে ।
[ঢাঃ ২০০৩,২০০৪;চঃ ২০০৪ ]

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 ……(1)\)
প্রদত্ত সরলরেখা \(x-y=5\)
\(\Rightarrow x=5+y …..(2)\)
\((2)\) হতে \(x\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(5+y)^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9(5+y)^2+16y^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow 9(25+10y+y^2)+16y^2=144\)
\(\Rightarrow 225+90y+9y^2+16y^2-144=0\)
\(\Rightarrow 25y^2+90y+81=0\)
\(\Rightarrow (5y+9)^2=0\)
\(\Rightarrow (5y+9)(5y+9)=0\)
\(\Rightarrow 5y+9=0, 5y+9=0\)
\(\Rightarrow 5y=-9, 5y=-9)=0\)
\(\therefore y=-\frac{9}{5}, y=-\frac{9}{5})\)
যেহেতু \(y\)-এর মাণ দূইটি সমান, সুতরাং প্রদত্ত সরলরেখাটি উপবৃত্তকে স্পর্শ করে।

\(Q.3.(xvi)\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) উপবৃত্তের একটি জ্যা \((1, -2)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়; জ্যাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 9x-32y-73=0 \)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+16y^2}{144}=1\)
\(\therefore 9x^2+16y^2=144 ……(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((1, -2)\)
জ্যা-এর সমীকরণ,
\(9x.1+16y.(-2)=9.1^2+16.(-2)^2\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(b^2x.x_{1}+a^2y.y_{1}=b^2x_{1}+a^2y_{1}\)
\(\Rightarrow 9x-32y=9.1+16.4\)
\(\Rightarrow 9x-32y=9+64\)
\(\Rightarrow 9x-32y=73\)
\(\therefore 9x-32y-73=0\)
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।

\(Q.3.(xvii)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি মূলবিন্দু এবং \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
উত্তরঃ \(12 \) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\)
\(\Rightarrow \frac{9(x-2)^2}{225}+\frac{25(y-3)^2}{225}=1\)
\(\therefore \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1……(1)\)
এখানে,
\(a^2=25, b^2=9\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=5, b=3\)
\(\therefore a>b\)
আমরা জানি,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{4}{5}\)
উপবৃত্তের কেন্দ্র, \((2, 3)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae+2, 3)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}+2, 3)\)
\(\Rightarrow (\pm 4+2, 3)\)
\(\Rightarrow (4+2, 3), (-4+2, 3)\)
\(\therefore (6, 3), (-2, 3)\)
শর্তমতে,
নির্ণেয় ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি হবে, \(O(0, 0), S(6, 3)\) এবং \(\acute{S}(-2, 3)\)
\(\therefore \triangle OS\acute{S}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 6 \ \ -2\ \ 0\\0 \ \ 3 \ \ 3 \ \ 0\end{array}\right|\) | কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{0.3-0.6+6.3-(-2).3+(-2).0-0.3 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-0+18+6+0-0 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{0+24+0 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{24 \}\)
\(=12\) বর্গ একক।

\(Q.3.(xviii)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তে \(y=mx+c\) রেখাটি স্পর্শক হলে, প্রমাণ কর যে, \(c^2=a^2m^2+b^2\)।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1……(1)\)
প্রদত্ত সরলরেখা \(y=mx+c ……..(2)\)
\((2)\) হতে \(y\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{(mx+c)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{b^2x^2+a^2(mx+c)^2}{a^2b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2x^2+a^2(mx+c)^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow b^2x^2+a^2(m^2x^2+2mcx+c^2)-a^2b^2=0\)
\(\Rightarrow b^2x^2+a^2m^2x^2+2a^2mcx+a^2c^2-a^2b^2=0\)
\(\therefore (a^2m^2+b^2)x^2+2a^2mcx+(a^2c^2-a^2b^2)=0 …(3)\)
যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এ সমীকরণ থেকে \(x\)-এর দুইটি মাণ পাওয়া যাবে।
প্রদত্ত সরলরেখাটি উপবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(x\)-এর মাণ দুইটি সমান হয়।
\(\therefore (2a^2mc)^2=4(a^2m^2+b^2)(a^2c^2-a^2b^2)\) | \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4a^4m^2c^2=4a^2(a^2m^2+b^2)(c^2-b^2)\)
\(\Rightarrow a^2m^2c^2=(a^2m^2+b^2)(c^2-b^2)\)
\(\Rightarrow a^2m^2c^2=a^2m^2c^2+b^2c^2-a^2b^2m^2-b^4\)
\(\Rightarrow a^2b^2m^2-b^2c^2+b^4=a^2m^2c^2-a^2m^2c^2\)
\(\Rightarrow b^2(a^2m^2-c^2+b^2)=0\)
\(\Rightarrow a^2m^2-c^2+b^2=0, b^2\ne 0\)
\(\Rightarrow a^2m^2+b^2=c^2\)
\(\therefore c^2=a^2m^2+b^2\)
( দেখানো হলো )

\(Q.3.(xix)\) যেসব বিন্দু থেকে \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি পরস্পর লম্ব হয় তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( x^2+y^2=a^2+b^2\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1……(1)\)
স্পর্শকের ঢাল \(m\) হলে,
\((1)\) নং উপবৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ হবে,
\(y-mx=\pm \sqrt{a^2m^2+b^2}\)
\(\Rightarrow (y-mx)^2=a^2m^2+b^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2-a^2m^2-b^2=0\)
\(\Rightarrow (x^2-a^2)m^2-2mxy+y^2-b^2=0\)
যা \(m\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। অতএব, এ সমীকরণ থেকে \(m\)-এর দুইটি মাণ পাওয়া যাবে। \(m\)-এর দুইটি মাণ \(m_{1}\) ও \(m_{2}\) -এর জন্য, প্রাপ্ত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2-b^2}{x^2-a^2}=-1\) | \(\because ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুনফল \(=\frac{c}{a}\)
\(\Rightarrow y^2-b^2=-x^2+a^2\)
\(\therefore x^2+y^2=a^2+b^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q.3.(xx)\) পৃথিবীর কক্ষপথ উপবৃত্তাকার। এর একটি উপকেন্দ্রে সূর্য অবস্থিত। উপবৃত্তের অর্ধ-বৃহদাক্ষ \(9.3\times 10^{7}\) মাইল এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{62}\) ( প্রায় ) হলে সূর্য ও পৃথিবীর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম দূরত্ব \(9.15\times 10^{7} \) মাইল। বৃহত্তম দূরত্ব \(9.45\times 10^{7} \) মাইল।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(a, b\) এবং \(e\) যথাক্রমে উপবৃত্তাকার পৃথিবীর কক্ষপথের অর্ধ-বৃহদাক্ষ, অর্ধ-ক্ষুদ্রাক্ষ এবং উৎকেন্দ্রিকতা। \(C\) কক্ষপথের কেন্দ্র, শীর্ষদ্বয় \(A, \acute{A}\) এবং \(S\) উপকেন্দ্রে সূর্য অবস্থিত।
\(\therefore CA=C\acute{A}=a, CS=ae\)
শর্তমতে,
\(a=9.3\times 10^{7}\) মাইল এবং \(e=\frac{1}{62}\)
সূর্য ও পৃথিবীর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব \(SA=CA-CS\)
\(=a-ae\)
\(=a(1-e)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(1-\frac{1}{62}\right)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(\frac{62-1}{62}\right)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(\frac{61}{62}\right)\)
\(=9.15\times 10^{7}\) মাইল।
সূর্য ও পৃথিবীর বৃহত্তম দূরত্ব \(S\acute{A}=C\acute{A}+CS\)
\(=a+ae\)
\(=a(1+e)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(1+\frac{1}{62}\right)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(\frac{62+1}{62}\right)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(\frac{63}{62}\right)\)
\(=9.45\times 10^{7}\) মাইল।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply