উপবৃত্ত (Ellipse)

অনুশীলনী \(5.B\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q.4.(i)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের সমীকরণে \(a\) ও \(b\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং \(a>b\) ।
\((a)\) \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) অভিলম্বটি \(X\) অক্ষের \(Q\) বিন্দুতে মিলিত হলে এবং স্পর্শকটি \(Y\) অক্ষের \(R\) বিন্দুতে মিলিত হলে \(QR\)-এর মধ্যবিন্দু \(M\)-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যা \(a, b, t\) সংবলিত।
উত্তরঃ \((a) \ bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab\) \((b) \ ax\sin\theta-by\cos\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 \) \((c) \ M\left(\frac{(a^2-b^2)}{2a}\sin t \cos t, \frac{b}{2\sin t} \right)\).

\(Q.4.(ii)\) \(9x^2+25y^2=225\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ ।
\((a)\) উপবৃত্তের সংজ্ঞা লিখ। কোনো উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা বলতে কি বুঝ?
\((b)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি \((3, -2)\) এবং উল্লেখিত উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
\((c)\) উল্লেখিত উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) 8;\) বর্গ একক। \((c) \ \frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5}.\) ।

\(Q.4.(iii)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের সমীকরণে \(a\) ও \(b\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং \(a>b\) ।
\((a)\) উপবৃত্তের অক্ষ রেখা ও নিয়ামকরেখার সংজ্ঞা লিখ।
\((b)\) উল্লেখিত উপবৃত্তের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাস \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দ্বিকাক্ষ \(x-y=0 \)।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((b) \ P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) \((c) \ 7x^2+2xy+7y^2+16x-16y+16=0\) ।

\(Q.4.(iv)\) একটি উপবৃত্ত \(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\((a)\) একটি উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ \(a\), ক্ষুদ্র অক্ষ \(b\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e\) এর মধ্যে সম্পর্ক উল্লেখ কর এবং এর প্রমিত আকারের সমীকরণের সূত্র লিখ।
\((b)\) বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\)-অক্ষ ও \(Y\)-অক্ষ ধরে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\) এবং যা প্রদত্ত বিন্দুগামী ।
\((c)\) \(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দুর উৎকেন্দ্রিক কোণ উল্লেখপূর্বক পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উপবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করে এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

অনুশীলনী \(5.B\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহের সমাধান

\(Q.4.(i)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের সমীকরণে \(a\) ও \(b\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং \(a>b\) ।
\((a)\) \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) অভিলম্বটি \(X\) অক্ষের \(Q\) বিন্দুতে মিলিত হলে এবং স্পর্শকটি \(Y\) অক্ষের \(R\) বিন্দুতে মিলিত হলে \(QR\)-এর মধ্যবিন্দু \(M\)-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যা \(a, b, t\) সংবলিত।
উত্তরঃ \((a) \ bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab\) \((b) \ ax\sin\theta-by\cos\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 \) \((c) \ M\left(\frac{(a^2-b^2)}{2a}\sin t \cos t, \frac{b}{2\sin t} \right)\).

সমাধানঃ

locus4

\(Q.4.(i).(a)\)
ধরি,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; a>b ……(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের উপরস্থ \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ।
\(\frac{x.a\cos\theta}{a^2}+\frac{y.b\sin\theta}{b^2}=1\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের উপরস্থ \(C(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \(\frac{x.x_{1}}{a^2}+\frac{y.y_{1}}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x\cos\theta}{a}+\frac{y\sin\theta}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{bx\cos\theta+ay\sin\theta}{ab}=1\)
\(\therefore bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

\(Q.4.(i).(b)\)locus4

\((a)\) হতে প্রাপ্ত স্পর্শকের সমীকরণ,
\(\therefore bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab …….(2)\)
\((2)\)-এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(\therefore ax\sin\theta-by\cos\theta+k=0 …….(3)\) | \(ax+by+c=0\) সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(bx-ay+k=0; k,\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore a.a\cos\theta.\sin\theta-b.b\sin\theta.\cos\theta+k=0\)
\(\Rightarrow a^2\sin\theta \cos\theta-b^2\sin\theta \cos\theta+k=0\)
\(\Rightarrow \sin\theta \cos\theta(a^2-b^2)+k=0\)
\(\therefore k=-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta\)
\(\therefore k\)-এর মাণ \((3)\)-এ বসিয়ে,
\(\therefore ax\sin\theta-by\cos\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0\)
ইহাই নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ।
\(Q.4.(i).(c)\)locus4
\((a)\) ও \((b)\) হতে প্রাপ্ত স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ যথাক্রমে,
\(bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab …….(4)\)
\(ax\sin\theta-by\cos\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 ….(5)\)
\((5)\) নং সরলরেখা \(X\)-অক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore y=0\)
\(\Rightarrow ax\sin\theta-b.0.\cos\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 \)
\(\Rightarrow ax\sin\theta-0-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 \)
\(\Rightarrow ax\sin\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 \)
\(\Rightarrow ax\sin\theta=(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta \)
\(\therefore x=\frac{(a^2-b^2)}{a}\sin\theta \cos\theta \)
\(\therefore Q\left(\frac{(a^2-b^2)}{a}\sin\theta \cos\theta, 0\right) \)
আবার,
\((4)\) নং সরলরেখা \(Y\)-অক্ষকে \(R\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore x=0\)
\(\Rightarrow b.0.\cos\theta+ay\sin\theta=ab\)
\(\Rightarrow 0+ay\sin\theta=ab\)
\(\Rightarrow ay\sin\theta=ab\)
\(\therefore y=\frac{b}{\sin\theta}\)
\(\therefore R\left(0, \frac{b}{\sin\theta}\right)\)
\(QR\)-এর মধ্যবিন্দু \(M\left(\frac{\frac{(a^2-b^2)}{a}\sin\theta \cos\theta+0}{2}, \frac{0+\frac{b}{\sin\theta}}{2} \right)\)
\(\Rightarrow M\left(\frac{(a^2-b^2)}{2a}\sin\theta \cos\theta, \frac{b}{2\sin\theta} \right)\)
এখন,
পরামিতি \(\theta\)-এর স্থানে \(t\) বসিয়ে পাই,
\(M\left(\frac{(a^2-b^2)}{2a}\sin t \cos t, \frac{b}{2\sin t} \right)\)
ইহাই নির্ণেয় স্থানাঙ্ক।

\(Q.4.(ii)\) \(9x^2+25y^2=225\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ ।
\((a)\) উপবৃত্তের সংজ্ঞা লিখ। কোনো উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা বলতে কি বুঝ?
\((b)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি \((3, -2)\) এবং উল্লেখিত উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
\((c)\) উল্লেখিত উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) 8;\) বর্গ একক। \((c) \ \frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5}.\) ।

সমাধানঃ

\(Q.4.(ii).(a)\)
উপবৃত্তঃ কোনো কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্ব দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি এবং ঐ স্থির রাশিটির মান \(1\) অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর, তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে উপবৃত্ত বলা হয়। উক্ত স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রতা (Eccentricity) বলা হয়, এবং ইহাকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়,যেখানে \(1 > e > 0\) হবে ।
\(Q.4.(ii).(b)\)locus4
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের সমীকরণ,
\(9x^2+25y^2=225\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{225}+\frac{25y^2}{225}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 ……..(1)\)
এখানে,
\(a^2=25, b^2=9\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=5, b=3\)
\(\therefore a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(=\frac{4}{5}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 4, 0)\)
\(\therefore S(4, 0), \acute{S}(-4, 0)\)
শর্তমতে,
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি, \(P(3, -2), S(4, 0 )\) এবং \(\acute{S}(-4, 0)\)
\(\therefore \triangle AS\acute{S}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}\ \ 3 \ \ \ \ 4 \ -4\ \ \ \ \ 3\\-2 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ 0 \ -2\end{array}\right|\) | কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{3.0-4.(-2)+4.0-0.(-4)+(-4)(-2)-3.0\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0+8+0+0+8-0\}\)
\(=\frac{1}{2}\{16\}\)
\(=8\) বর্গ একক।
\(Q.4.(ii).(c)\)locus4
\((b)\) হতে প্রাপ্ত
\(a=5, b=3\)
\(\therefore a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(=\frac{4}{5}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}, 0)\)
\(\therefore (\pm 4, 0)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2.9}{5}\)
\(=\frac{18}{5}\)একক।

\(Q.4.(iii)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের সমীকরণে \(a\) ও \(b\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং \(a>b\) ।
\((a)\) উপবৃত্তের অক্ষ রেখা ও নিয়ামকরেখার সংজ্ঞা লিখ।
\((b)\) উল্লেখিত উপবৃত্তের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাস \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দ্বিকাক্ষ \(x-y=0 \)।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((b) \ P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) \((c) \ 7x^2+2xy+7y^2+16x-16y+16=0\) ।

সমাধানঃ

\(Q.4.(iii).(a)\)
অক্ষঃ উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যদিয়ে অঙ্কিত উপবৃত্তের সর্ববৃহত রেখাংশ \(A\acute{A}\) কে বৃহৎ অক্ষ (Major axis) বলা হয়। বৃহদাক্ষের লম্ব দ্বিখন্ডক রেখাংশ \(B\acute {B}\) কে ক্ষুদ্র অক্ষ (Minor axis) বলা হয়।
দিকাক্ষ বা নিয়ামকরেখাঃ বৃহৎ অক্ষের উপর লম্ব এবং উভয় শীর্ষ হতে সমান দূরত্বে উপবৃত্তের বিপরীত পার্শে অবস্থিত \(MZ\) ও \(\acute{M}\acute{Z}\) সরলরেখাদ্বয়কে দিকাক্ষ বা নিয়ামকরেখা বলে।
\(Q.4.(iii).(b)\)
ধরি,straight3
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (b>a) ……..(1)\)
এবং উপবৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দু \(P(x, y)\)
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষকে ব্যাস ধরে সহায়ক বৃত্ত অঙ্কন করি, যার সমীকরণ \(x^2+y^2=b^2 …….(2)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু থেকে বৃহদাক্ষের উপর একটি লম্ব অঙ্কন করে বর্ধিত করি যা বৃহদাক্ষকে \(N\) এবং বৃত্তকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\) ও \(Q\) যোগ করি।
মনে করি,
\(\angle QC\acute A=\theta\), এখানে \(\theta\)-কে উপকেন্দ্র কোণ বলা হয়।
\(\therefore \angle QCN=90^{o}-\theta\)
\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হওয়ায়, \(CN=y\) এবং \(PN=x\)
এখন, \(QCN\) সমকোণী ত্রিভুজে \(\cos(90^{o}-\theta)=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow CN=CQ\cos(90^{o}-\theta)\)
\(\therefore y=b\sin\theta ……..(3)\) | \(\because CQ=b=\)বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
\(y=b\sin\theta\)-এর এই মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{(b\sin\theta)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{b^2\sin^2\theta}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\sin^2\theta=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=1-\sin^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=\cos^2\theta\)
\(\Rightarrow x^2=a^2\cos^2\theta\)
\(\therefore x=a\cos\theta ……(4)\)
সুতরাং, \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\)
\(\theta\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত, যাকে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক বলা হয় এবং \(\theta\)-কে পরামিতি (parameter) বলা হয়।
\(Q.4.(iii).(c)\)
দেওয়া আছে,straight3
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\),
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{2}\)
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y=0 ….(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{4}.\frac{(x-y)^2}{2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{(x-y)^2}{8}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x-2y+2=\frac{(x-y)^2}{8}\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=(x-y)^2\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=x^2+y^2-2xy\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16-x^2-y^2+2xy=0\)
\(\Rightarrow 7x^2+2xy+7y^2+16x-16y+16=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.4.(iv)\) একটি উপবৃত্ত \(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\((a)\) একটি উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ \(a\), ক্ষুদ্র অক্ষ \(b\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e\) এর মধ্যে সম্পর্ক উল্লেখ কর এবং এর প্রমিত আকারের সমীকরণের সূত্র লিখ।
\((b)\) বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\)-অক্ষ ও \(Y\)-অক্ষ ধরে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\) এবং যা প্রদত্ত বিন্দুগামী ।
\((c)\) \(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দুর উৎকেন্দ্রিক কোণ উল্লেখপূর্বক পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উপবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করে এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

সমাধানঃ

straight3

\(Q.4.(iv).(a)\)
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{4x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{b^2}=1\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)

\(Q.4.(iv).(b)\)
ধরি,straight3

উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a>b) ……..(1)\)
শর্তমতে,
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{16}{25}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow 16a^2=25a^2-25b^2\)
\(\Rightarrow 25b^2=25a^2-16a^2\)
\(\Rightarrow 25b^2=9a^2\)
\(\therefore b^2=\frac{9a^2}{25} ……(2)\)
আবার,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{\left(\frac{10}{3}\right)^2}{a^2}+\frac{(\sqrt{5})^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{\left(\frac{100}{9}\right)}{a^2}+\frac{5}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100}{9a^2}+\frac{5}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100}{9a^2}+\frac{5}{\frac{9a^2}{25}}=1\) | \(\because b^2=\frac{9a^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{100}{9a^2}+\frac{125}{9a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100+125}{9a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{225}{9a^2}=1\)
\(\Rightarrow 9a^2=225\)
\(\Rightarrow a^2=\frac{225}{9}\)
\(\therefore a^2=25\)
\((2)\) হতে \(b^2=\frac{9.25}{25}\)
\(\therefore b^2=9\)
\(\therefore a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.4.(iv).(c)\)straight3
\((b)\) হতে প্রাপ্ত
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 ……..(1)\)
\(a^2=25, b^2=9, e=\frac{4}{5}\)
\(\therefore a=5, b=3\)
\(\therefore \) প্রদত্ত উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos\theta, 3\sin\theta)\)
\(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দুর ক্ষেত্রে \(x=\frac{10}{3}, y=\sqrt{5}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\left(\frac{5\times \sqrt{5}}{3\times \frac{10}{3}}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\left(\frac{5\sqrt{5}}{10}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\)
\(\therefore \theta=48^{o}1\acute{1}\)
\(\therefore \left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos\theta, 3\sin\theta)\) যেখানে \( \theta=48^{o}1\acute{1}\).
\((1)\) নং উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5, 0)\)
\(\therefore (\pm 5, 0)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}, 0)\)
\(\therefore (\pm 4, 0)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{5}{\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=\pm 25\)
\(\therefore 4x\pm 25=0\)straight3
আবার,
\((1)\Rightarrow \frac{y^2}{9}=1-\frac{x^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{9}=\frac{25-x^2}{25}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{9}{25}(25-x^2)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{5}\sqrt{(5^2-x^2)}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{5}\sqrt{(5-x)(5+x)}\)
এখন, \((5-x)(5+x)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow 5-x\geq 0,5+x\geq 0\) বা, \(5-x\leq 0,5+x\leq 0\)
\(\Rightarrow x-5\leq 0,5+x\geq 0\) বা, \(x-5\geq 0,5+x\leq 0\)
\(\Rightarrow x\leq 5,x\geq -5\) বা, \(x\geq 5,x\leq -5\)
\(\Rightarrow x\leq 5,x\geq -5 \)
\(\therefore 5\geq x\geq -5 \)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।

\(x\) \(5\) \(3\) \(0\) \(-3\) \(-5\)
\(y\) \(0\) \(\pm 3.2\) \(\pm 4\) \(\pm 3.2\) \(0\)

উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((5, 0), (3, 2.4), (3, -2.4),(0, 3), (0, -3), (-3, 2.4), (-3, -2.4) , (-5, 0)\) বিন্দুগুলি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর উপবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply