উপবৃত্ত (Ellipse)

( ENGLISH VERSION )

এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • উপবৃত্তের সংজ্ঞা।
  • উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ।
  • উপবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন।
  • উপবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামক।
  • উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাওক্ষ।
  • কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে উপবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ।
  • উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয়।
  • উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয়।
  • উপকেন্দ্র, উৎকেন্দ্রিকতা ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ দেওয়া থাকলে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়।
  • উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব ও এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়।
  • উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হতে এর বিভিন্ন অংশ চিহ্নিত করণ।
  • উপবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব দুইটির সমষ্টি, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্যের সমান ।
  • \((\alpha, \beta)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ, যার অক্ষ দুইটি স্থানাংকের অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল ।
  • উপবৃত্ত বিষয়ক সমস্যা ও তার সমাধান।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং তার সমাধান

উপবৃত্ত

Ellipse

straight3
উপবৃত্তঃ কোনো কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্ব দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি এবং ঐ স্থির রাশিটির মান \(1\) অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর, তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে উপবৃত্ত বলা হয়। উক্ত স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রতা (Eccentricity) বলা হয়, এবং ইহাকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়,যেখানে \(1 > e > 0\) হবে ।
উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যদিয়ে অঙ্কিত উপবৃত্তের সর্ববৃহত রেখাংশ \(A\acute A\) কে বৃহৎ অক্ষ (Major axis) বলা হয়। বৃহদাক্ষের লম্ব দ্বিখন্ডক রেখাংশ \(B\acute B\) কে ক্ষুদ্র অক্ষ (Minor axis) বলা হয়। অক্ষদ্বয়ের মিলিত বিন্দু \(C\) কে কেন্দ্র এবং বৃহদাক্ষের প্রান্ত বিন্দু দুইটিকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়।

Continue Reading →

পরাবৃত্ত (Parabola)

( ENGLISH VERSION )

এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • কনিকের উৎস।
  • কনিক কি এবং এর ব্যাখ্যা।
  • অক্ষ, উপকেন্দ্র(ফোকাস), উৎকেন্দ্রিকতা ও নিয়ামকরেখা এর ধারণা।
  • বৃত্ত, পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত এবং অধিবৃত্ত চিহ্নিত করণের উপায়।
  • চিত্রের সাহায্যে কনিক উপস্থাপন।
  • কোনকের ও তলের ছেদ হিসাবে কনিকের ব্যাখ্যা।
  • মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্তের সনাক্তকরণ।
  • পরাবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন এবং শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিতকরণ।
  • পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
  • পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয়।
  • বিভিন্ন শর্তসাপেক্ষে পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়।
  • পরাবৃত্ত বিষয়ক সমস্যা ও তার সমাধান।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

কনিক

Conics

straight3

Manaechmus
[380-320BC]

কোণক দ্বারা সমতলে বক্ররেখার ছেদাংশের বিভিন্ন অংশকে পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত ও অধিবৃত্ত নামকরণ করেন।

একটি স্থির বিন্দু ও একটি সরলরেখা হতে যে সব বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি, তাদের সেটকে কনিক বলা হয়। স্থির বিন্দুটিকে উপকেন্দ্র বা ফোকাস, নির্দিষ্ট সরলরেখাকে নিয়ামক বা দিকাক্ষ এবং স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity) বলা হয়। স্থির রাশিটিকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়। এই স্থির রাশির মানের উপর কনিকের আকৃতি নির্ভশীল।
কনিক পরস্পরছেদী এমন একটি বক্রতা, যা একটি সমতলের কৌণিকতা সৃষ্টি করে এবং যার আকৃতি মোচাকৃতি। সৃষ্টি জগতের অতি কৌতূহলী, আকর্ষণীয় ও দুর্বোধ্য ক্ষেত্র থেকেই মানুষ কনিকের ধারণা লাভ করে আসছে। বাস্তব ও জটিল সংখ্যার স্থানাঙ্ক এবং ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ে কনিক ব্যবহৃত হয়। প্রাচীন জ্যামিতিক পদ্ধতিতে এর তিনটি গঠন প্রয়োগ করা হত। যেমনঃ পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত এবং অধিবৃত্ত ।
প্রাচীন গণিতবিদ ম্যানাকমাস ও এক্সোডাস (Manaechmus & Exodus) \(4^{th}\) century-তে প্লেটোর স্কুলে কনিকের এ ত্রিগঠন সংযোজন করেন। Elements গ্রন্থে ইউক্লিড (300-250 BC) কনিক সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করেন।এবং পরবর্তীতে “Quadrature of Parabola” গ্রন্থে আর্কিমিডিস (287-212 BC) এবং অ্যাপোলোনিয়াস কনিকের প্রথম সিরিজ আকারে আটটি গ্রন্থে কনিক সম্পর্কে মৌলিক ও মূল্যবান তত্ত্ব ও তথ্যাবলির উপস্থাপন করেন। গ্রিক বিজ্ঞানীদের উদ্ভাবিত এসব তথ্য ও উপাত্তকে সপ্তদশ শতাব্দীতে জোহান ক্যাপলার (Johann Kepler) এবং রেনে দেকার্ত (Rene Descartes) বৈজ্ঞানিকরূপে প্রতিষ্ঠিত করেন। আধুনিক বিজ্ঞানে কনিকের বিস্তার ও প্রয়োগ ব্যপকভাবে বৃদ্ধি পায়। গ্রহ, উপগ্রহ, ধূমকেতু, নৌকা চালনায়, শিল্পকারখানায় যন্ত্রপাতি ( গিয়ার), অ্যান্টেনা, আলোকবিজ্ঞান, দূরবিক্ষণ যন্ত্র ইত্যাদিতে কনিকের ব্যবহার পরিলক্ষিত হয়।

Continue Reading →