শিক্ষা বোর্ড যশোর।- ২০১৭
উচ্চতর গণিত ( সৃজনশীল )
[ ২০১৭ সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২ ঘণ্টা ৩৫ মিনিট
পূর্ণমান-৫০
[ দ্রষ্টব্যঃ ডান পাশের সংখ্যা প্রশ্নের পূর্ণমান জ্ঞাপক। প্রতিটি বিভাগ হতে কমপক্ষে দুইটি করে প্রশ্ন নিয়ে মোট পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দাও। ]
ক বিভাগ-বীজগণিত ও জ্যামিতি
১। \(x+y+z=1 .......(i)\)
\(lx+my+nz=k .......(ii)\)
\(l^2x+m^2y+n^2z=k^2 .......(iii)\) ক. \(2\begin{bmatrix}1 & -2\\2 & -1\end{bmatrix}+F=I_{2}\) হলে, \(F\) ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর। যেখানে, \(I_{2}\) একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স। ২ খ. সমীকরণগুলোকে \(AX=B\) আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, \(det(A)=(l-m)(m-n)(n-l)\) ৪ গ. \(x, y, z\) এর সহগ নিয়ে গঠিত \(A\) ম্যাট্রিক্স। \(A\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর। যেখানে, \(l=1, \ m=2, \ n=-1\) ৪
২। \(SYLHET\) থেকে \(BANDARBAN\) এ \(10\) জন শিক্ষার্থীর একটি দল শিক্ষাসফরে আসল। তাদেরকে দুইটি গাড়িতে ভ্রমণ করতে হবে, যার একটিতে \(7\) জনের বেশী ও অন্যটিতে \(4\) জনের বেশী শিক্ষার্থী ধরে না। ক. \(f(x)=2x-5\) এবং \(g(x)=x^2+6\) হলে, \((gof)(2)\) নির্ণয় কর।২ খ. দেখাও যে, ২য় স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যা ১ম স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যার \(21\) গুণ। ৪ গ. দলটি কত প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে? ৪
৩।
চিত্রেঃ \(G, \ \triangle{ABC}\) এর ভরকেন্দ্র ; \(D, \ BC\) এর মধ্যবিন্দু, \(EB\perp{BC}\) । ক.\(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ২ খ. দেখাও যে, \(G\) বিন্দুটি \(AD\) রেখাকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। ৪ গ. \(\angle{EBC}\)এর সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।৪
৪। ক. \(\overline{P}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}, \ \overline{Q}=3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, দেখাও যে, \(\overline{P}+\overline{Q}\) এবং \(\overline{P}-\overline{Q}\)পরস্পর লম্ব।২ খ. এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(C, E\) ও \(F\) বিন্দু দিয়ে যায়। ৪ গ. বৃত্তটির \(AB\) স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
খ বিভাগ- ত্রিকোণমিতি ও ক্যালকুলাস
৫। দৃশ্যকল্প-১ : \(\triangle{XYZ}\) এ \(\cos{X}=\sin{Y}-\cos{Z}\).
দৃশ্যকল্প-২ : \(\sqrt{1+n}\tan{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{1-n}\tan{\frac{\beta}{2}}\). ক. প্রমাণ কর যে, \(\tan{75^{o}}=2+\sqrt{3}\).২ খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, \(\cos{\beta}=\frac{\cos{\alpha}-n}{1-n\cos{\alpha}}\).৪
৬। \(\angle{E}+\angle{F}=65^{o}, \ \angle{E}-\angle{F}=25^{o}\) ক. \(\tan{\beta}=\frac{1}{3}\) হলে, \(\sin{2\beta}\) এর মাণ নির্ণয় কর। ২ খ. দেখাও যে, \(2\sin{\left(\pi+\frac{F}{4}\right)}=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\). ৪ গ. দেখাও যে, \(\tan{\angle{E}}\tan{2\angle{E}}\tan{3\angle{E}}\tan{4\angle{E}}=3\).৪
৭। \(f(x)=x^{\tan^{-1}{x}}; \ g(x)=\log_x{a}; \ h(x)=\sqrt{a+b\cos{x}}\). ক. \[\lim_{y \rightarrow 0}\frac{1-\cos{y}}{y}\] এর মাণ নির্ণয় কর। ২ খ. \(f(x)\) এবং \(g(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪ গ.\(y=h(x)\) হলে, দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=a^2\). ৪
৮। \(F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, \ H(x)=\frac{xe^x}{(x+1)^2}\) ক. \(y=(x-2)(x+1)\) বক্ররেখার \(x=2\)বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর। ২ খ. দেখাও যে, \(F(x)\) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর। ৪ গ. \(\int_{0}^{1}H(x)dx\) এর মাণ নির্ণয় কর। ৪
শিক্ষা বোর্ড যশোর।- ২০১৭
প্রথম পত্র
১। \(x+y+z=1 .......(i)\)
\(lx+my+nz=k .......(ii)\)
\(l^2x+m^2y+n^2z=k^2 .......(iii)\) ক. \(2\begin{bmatrix}1 & -2\\2 & -1\end{bmatrix}+F=I_{2}\) হলে, \(F\) ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর। যেখানে, \(I_{2}\) একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স। ২ খ. সমীকরণগুলোকে \(AX=B\) আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, \(det(A)=(l-m)(m-n)(n-l)\) ৪ গ. \(x, y, z\) এর সহগ নিয়ে গঠিত \(A\) ম্যাট্রিক্স। \(A\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর। যেখানে, \(l=1, \ m=2, \ n=-1\) ৪
২। \(SYLHET\) থেকে \(BANDARBAN\) এ \(10\) জন শিক্ষার্থীর একটি দল শিক্ষাসফরে আসল। তাদেরকে দুইটি গাড়িতে ভ্রমণ করতে হবে, যার একটিতে \(7\) জনের বেশী ও অন্যটিতে \(4\) জনের বেশী শিক্ষার্থী ধরে না। ক. \(f(x)=2x-5\) এবং \(g(x)=x^2+6\) হলে, \((gof)(2)\) নির্ণয় কর।২ খ. দেখাও যে, ২য় স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যা ১ম স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যার \(21\) গুণ। ৪ গ. দলটি কত প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে? ৪
সমাধানঃ
ক. দেওয়া আছে, \(f(x)=2x-5\) এবং \(g(x)=x^2+6\)
\(\therefore (gof)(2)=g\{f(2)\}\)
\(=\{f(2)\}^2+6\) ➜ \(\because g(x)=x^2+6\)
\(=\{2\times{2}-5\}^2+6\) ➜ \(\because f(x)=2x-5\)
\(=\{4-5\}^2+6\)
\(=\{-1\}^2+6\)
\(=1+6\)
\(=7\) খ. ১ম স্থান অর্থাৎ \(SYLHET\) শব্দটিতে মোট \(6\) টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর আছে।
সবগুলি অক্ষর একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(=^{6}P_{6}\)
\(=6!\)
\(=6.5.4.3.2.1\)
\(=720\)
আবার, ২য় স্থান অর্থাৎ \(BANDARBAN\) শব্দটিতে মোট \(9\) অক্ষর আছে। তার মধ্যে \(3\) টি \(A, \ 2\) টি \(B, \ 2\) টি \(N\) এবং অবশিষ্ট অক্ষরগুলি ভিন্ন।
সবগুলি অক্ষর একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{9!}{3!2!2!}\)
\(=\frac{9.8.7.6.5.4.3!}{3!2\times{2}}\)
\(=\frac{9.8.7.6.5.4}{4}\)
\(=9.8.7.6.5\)
\(=15120\)
\(=21\times{720}\)
\(=21\times\) ১ম স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যা
\(\therefore \) ২য় স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যা ১ম স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যার \(21\) গুণ।
দেখানো হলো। গ. দুইটি গাড়িতে \(10\) জন শিক্ষার্থী ভ্রমণ করতে পারবে নিম্নলিখিত উপায়েঃ
১ম গাড়ি ( সর্বোচ্চ \(7\) জন )
২য় গাড়ি ( সর্বোচ্চ \(4\) জন )
\(7\)
\(3\)
\(6\)
\(4\)
দলটির মোট ভ্রমণ করতে পারার উপায়ঃ
\(=^{10}C_{7}\times{^{3}C_{3}}+^{10}C_{6}\times{^{4}C_{4}}\)
\(=\frac{10!}{(10-7)!7!}\times{\frac{3!}{(3-3)!3!}}+\frac{10!}{(10-6)!6!}\times{\frac{4!}{(4-4)!4!}}\)
\(=\frac{10.9.8.7!}{3!7!}\times{\frac{3!}{0!3!}}+\frac{10.9.8.7.6!}{4!6!}\times{\frac{4!}{0!4!}}\)
\(=\frac{10.9.8}{3.2.1}\times{1}+\frac{10.9.8.7}{4.3.2.1}\times{1}\)
\(=120+210\)
\(=330\)
শিক্ষা বোর্ড যশোর।- ২০১৭
প্রথম পত্র
৩।
চিত্রেঃ \(G, \ \triangle{ABC}\) এর ভরকেন্দ্র ; \(D, \ BC\) এর মধ্যবিন্দু, \(EB\perp{BC}\) । ক.\(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ২ খ. দেখাও যে, \(G\) বিন্দুটি \(AD\) রেখাকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। ৪ গ. \(\angle{EBC}\) এর সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।৪
৪। ক. \(\overline{P}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}, \ \overline{Q}=3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, দেখাও যে, \(\overline{P}+\overline{Q}\) এবং \(\overline{P}-\overline{Q}\)পরস্পর লম্ব।২ খ. এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(C, E\) ও \(F\) বিন্দু দিয়ে যায়। ৪ গ. বৃত্তটির \(AB\) স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধানঃ
ক. দেওয়া আছে, \(\overline{P}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}, \ \overline{Q}=3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\therefore \overline{P}+\overline{Q}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}+3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}\)
\(=4\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}\)
এবং \(\overline{P}-\overline{Q}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}-(3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k})\)
\(=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}-3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}\)
\(=-2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\)
এখন, \((\overline{P}+\overline{Q}).(\overline{P}-\overline{Q})=(4\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}).(-2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})\)
\(=4(-2)+(-3)(-1)+(-5)(-1)\)
\(=-8+3+5\)
\(=-8+8\)
\(=0\)
\(\therefore (\overline{P}+\overline{Q})\) ও \((\overline{P}-\overline{Q})\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব।
দেখানো হলো। খ. দেওয়া আছে, বৃত্তের কেন্দ্র \(C(4, k)\)
চিত্র হতে, বৃত্তেটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
\(\therefore r=h=k\) ➜
যদি কোনো বৃত্ত উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে তবে,
কেন্দ্রের উভয় স্থানাঙ্ক ব্যসার্ধের সমান হয়।
৫। দৃশ্যকল্প-১ : \(\triangle{XYZ}\) এ \(\cos{X}=\sin{Y}-\cos{Z}\).
দৃশ্যকল্প-২ : \(\sqrt{1+n}\tan{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{1-n}\tan{\frac{\beta}{2}}\). ক. প্রমাণ কর যে, \(\tan{75^{o}}=2+\sqrt{3}\).২ খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, \(\cos{\beta}=\frac{\cos{\alpha}-n}{1-n\cos{\alpha}}\).৪
৬। \(\angle{E}+\angle{F}=65^{o}, \ \angle{F}-\angle{E}=25^{o}\) ক. \(\tan{\beta}=\frac{1}{3}\) হলে, \(\sin{2\beta}\) এর মাণ নির্ণয় কর। ২ খ. দেখাও যে, \(2\sin{\left(\pi+\frac{F}{4}\right)}=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\). ৪ গ. দেখাও যে, \(\tan{\angle{E}}\tan{2\angle{E}}\tan{3\angle{E}}\tan{4\angle{E}}=3\).৪
৭। \(f(x)=x^{\tan^{-1}{x}}; \ g(x)=\log_x{a}; \ h(x)=\sqrt{a+b\cos{x}}\). ক. \[\lim_{y \rightarrow 0}\frac{1-\cos{y}}{y}\] এর মাণ নির্ণয় কর। ২ খ. \(f(x)\) এবং \(g(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪ গ.\(y=h(x)\) হলে, দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=a^2\). ৪
৮। \(F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, \ H(x)=\frac{xe^x}{(x+1)^2}\) ক. \(y=(x-2)(x+1)\) বক্ররেখার \(x=2\)বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর। ২ খ. দেখাও যে, \(F(x)\) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর। ৪ গ. \(\int_{0}^{1}H(x)dx\) এর মাণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধানঃ
ক. \(y=(x-2)(x+1)\)
\(\Rightarrow y=x^2+x-2x-2\)
\(\Rightarrow y=x^2-x-2\)
\(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^2-x-2)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x-1-0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2x-1\)
\(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2}=2\times{2}-1\)
\(=4-1\)
\(=3\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের ঢাল খ. দেওয়া আছে, \(F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}\)
\(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\frac{d}{dx}\{F(x)\}=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+x+1}{x}\right)\)
\(\Rightarrow F^{\prime}(x)=\frac{x\frac{d}{dx}(x^2+x+1)-(x^2+x+1)\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜
\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\frac{d}{dx}\{F(x)\}=F^{\prime}(x)\)
\(=\frac{x(2x+1)-(x^2+x+1).1}{x^2}\)
\(=\frac{2x^2+x-x^2-x-1}{x^2}\)
\(\therefore F^{\prime}(x)=\frac{x^2-1}{x^2}\)
পুনরায় \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে,
\(\frac{d}{dx}\{F^{\prime}(x)\}=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)\)
\(F^{\prime\prime}(x)=\frac{x^2\frac{d}{dx}(x^2-1)-(x^2-1)\frac{d}{dx}(x^2)}{(x^2)^2}\) ➜
\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\frac{d}{dx}\{F^{\prime}(x)\}=F^{\prime\prime}(x)\)
\(=\frac{x^2(2x-0)-(x^2-1).2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x^3-2x^3+2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x}{x^4}\)
\(\therefore F^{\prime\prime}(x)=\frac{2}{x^3}\)
লঘুমান ও গুরুমানের জন্য \(F^{\prime}(x)=0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\) ➜\(\because F^{\prime}(x)=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\Rightarrow x^2-1=0\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\therefore x=\pm{1}\)
এখন, \(x=1\) বিন্দুতে
\(\left\{F^{\prime\prime}(x)\right\}_{x=-1}=\frac{2}{(1)^3}\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে \(F(x)\) এর লঘুমান আছে।
লঘুমান \(F(1)=\frac{1^2+1+1}{1}\) ➜\(\because F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}\)
\(=\frac{1+2}{1}\)
\(=\frac{3}{1}\)
\(=3\)
আবার, \(x=-1\) বিন্দুতে
\(\left\{F^{\prime\prime}(x)\right\}_{x=-1}=\frac{2}{(-1)^3}\)
\(=\frac{2}{-1}\)
\(=-2<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে \(F(x)\) এর গুরুমান আছে।
গুরুমান \(F(-1)=\frac{(-1)^2-1+1}{-1}\) ➜\(\because F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}\)
\(=\frac{1}{-1}\)
\(=-1\)
\(\therefore \) লঘুমান \(=3\)
এবং গুরুমান \(=-1\)
\(\therefore F(x)\) ফাংশনটির লঘুমান গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর। গ. দেওয়া আছে, \(H(x)=\frac{xe^x}{(x+1)^2}\)
\(\int_{0}^{1}H(x)dx\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{xe^x}{(x+1)^2}dx}\)
এখানে, LIATE শব্দের
\(A=\frac{1}{x+1}, \ \ E=e^x\)
যেহেতু A, শব্দের মধ্যে E এর পূর্বে আছে, তাই \(\frac{1}{x+1}\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।
২। \(x+y=0\) এর লেখচিত্র কোনটি? কখ গ ঘ
\(x+y=0\)
\(\Rightarrow x=-y\)
\(x\) এর মান ধনাত্মক হলে \(y\) এর মান হয় ঋণাত্মক।
আবার, \(x\) এর মান ঋণাত্মক হলে \(y\) এর মান হয় ধনাত্মক।
ইহা স্পষ্ট যে, প্রদত্ত রেখাটির লেখচিত্র মূলবিন্দুগামী এবং ২য় ও ৪তুর্থ চৌকোণে বিস্তৃত।
উত্তরঃ ( খ )
১৪। \(\begin{bmatrix}4 & 0 & 0 \\0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix}\) একটি- \(i.\) বর্গ ম্যাট্রিক্স \(ii.\) কর্ণ ম্যাট্রিক্স \(iii.\) স্কেলার ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠীক? ক \(\ \ i.\) ও \(ii.\) খ \(i.\) ও \(iii.\) গ \(ii.\) ও \(iii.\) ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\begin{bmatrix}4 & 0 & 0 \\0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix}\) একটি-
বর্গ ম্যাট্রিক্সঃ যে ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গম্যাট্রিক্স বলা হয়।
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
কর্ণ ম্যাট্রিক্সঃ যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলি শূন্য অথবা অশূন্য এবং অন্যান্য ভুক্তিগুলি শূন্য তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে।
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
স্কেলার ম্যাট্রিক্সঃ যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলি সমান ও অশূন্য এবং অন্যান্য ভুক্তিগুলি শূন্য তাকে স্কেলার ম্যাট্রিক্স বলে।
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
২৩। \('algebra'\) শব্দটির স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায়? ক \(2520\) খ \(720\) গ \(360\) ঘ \(120\)
\('algebra'\) শব্দটির মধ্যে মোট \(7\) টি অক্ষর আছে।
তার মধ্যে \(3\) টি স্বরবর্ণ যার \(2\) টি \(a\)
এবং \(4\) ব্যঞ্জনবর্ণ
স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে একটি অক্ষর মনে করে মোট \(5\) অক্ষরের বিন্যাস সংখ্যা
\(=5!\)
\(=5.4.3.2.1\)
\(=120\)
স্বরবর্ণগুলির নিজেদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{3!}{2!}\)
\(=\frac{3.2!}{2!}\)
\(=3\)
\(\therefore \) স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(=120\times{3}\)
\(=360\)
উত্তরঃ ( গ )
২৪। \(y=-|2x|\) এর লেখচিত্র কোনটি? কখ গ ঘ
\(y=-|2x|\)
এখানে, \(x\) এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(y\) এর মান ঋণাত্মক।
\(\therefore \) ফাংশনটির লেখচিত্র \(x\) অক্ষের নিচে অর্থাৎ ৩য় ও চতুর্থ চৌকোণে বিস্তৃত।
যা, অপশন "ঘ" এর চিত্রের সঙ্গে মিলে যায়।
উত্তরঃ ( ঘ )
শিক্ষা বোর্ড যশোর।- ২০১৭
উচ্চতর গণিত ( সৃজনশীল )
[ ২০১৭ সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২ ঘণ্টা ৩৫ মিনিট
পূর্ণমান-৫০
[ দ্রষ্টব্যঃ ডান পাশের সংখ্যা প্রশ্নের পূর্ণমান জ্ঞাপক। প্রতিটি বিভাগ হতে কমপক্ষে দুইটি করে প্রশ্ন নিয়ে মোট পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দাও। ]
ক বিভাগ-বীজগণিত ও ত্রিকোণমিতি
১। দৃশ্যকল্প-১ : \(L=\{x\in{\mathbb{R}}:0>2x^2+5x\}\)
দৃশ্যকল্প-২ : \(f(x)=x^2-x\) ক. সমাধান করঃ \(|2x-7|>5\) ২ খ. \(L\) এর সমাধান সেটের অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর। ৪ গ. সংখ্যারেখার সাহায্যে \(f(x)\le{0}\) এর সমাধান কর।৪
২। দৃশ্যকল্প-১ : \(x+iy=2e^{-i\theta}\)
দৃশ্যকল্প-২ : \(F=y-2x\)
শর্তগুলোঃ \(x+2y\le{6}, \ x+y\ge{4}, \ x, \ y\ge{0}\) ক. \(z=x+iy\) হলে, \(|z+i|=|\overline{z}+2|\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর। ২ খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, \(x^2+y^2=4\).৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে \(F\) এর সর্বোচ্চ মাণ নির্ণয় কর। ৪
৩। দৃশ্যকল্প-১ : \(x^2-5x+3=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)
দৃশ্যকল্প-২ : \(\frac{1+x}{\sqrt{1-2x}}\) ক. \((3-2x)^{\frac{1}{2}} \) এর বিস্তৃতি \(x\) এর কোন মানের জন্য বৈধ? ২ খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে \(\frac{3}{5-\alpha}, \ \frac{3}{5-\beta}\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদত্ত রাশিতির বিস্তৃতি হতে \(x^3\) এর সহগ নির্ণয় কর। ৪
৪। দৃশ্যকল্প-১ : \(\cot{\theta}-\tan{\theta}=\frac{6}{5}\).
দৃশ্যকল্প-২ : \(2\sin{2\theta}+2(\sin{\theta}+\cos{\theta})+1=0\) ক. প্রমাণ কর যে, \(\tan^{-1}{(\cot{3x})}+\tan^{-1}{(-\cot{5x})}=2x\).২ খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, \(\theta=\frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}\).৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর। ৪
খ বিভাগ- জ্যামিতি, বলবিদ্যা ও পরিসংখ্যান
৫। দৃশ্যকল্প-১ :
দৃশ্যকল্প-২ : একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দইটি \((6, 1)\) ও \((10, 1)\) এবং উৎকেন্দ্রতা \(3\) ক. \(3x^2+5y^2=1\)এর উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর। ২ খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
৬। দৃশ্যকল্প-১ : \(L, \ M, \ N\) মানের তিনটি বলের ক্রিয়ারেখা \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC, \ CA, \ AB\) বাহুর সমান্তরাল। বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(25, \ 60, \ 65\) সে.মি. । \(L\) ও \(M\) মানের বলদ্বয়ের সমষ্টি \(51\) গ্রাম ওজন।
দৃশ্যকল্প-২ : \(20\) সে.মি. ব্যবধানে একটি সুষম হালকা দন্ডের দুই প্রান্তে \(8N\) ও \(4N\) মানের বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে। ক. \(4N\) ও \(2\sqrt{3}N\) মানের বলদ্বয় \(30^{o}\) কোণে ক্রিয়া করে। \(4N\) মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লম্বাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।২ খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মাণ নির্ণয় কর। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মাণ \(4N\) করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কত দূরত্বে সরে যাবে?৪
৭। দৃশ্যকল্প-১ : একজন মোটর সাইকেল আরোহী \(15\) মিটার দূরে একজন অশ্বারোহীকে দেখতে পেয়ে স্থিরাবস্থা হতে \(5m/sec^2\) ত্বরণে অশ্বারোহীর পশ্চাতে মোটর সাইকেল চালাতে লাগলো। অশ্বারোহী \(12.5m/sec\) সমবেগে যাচ্ছিল।
দৃশ্যকল্প-২ : \(60\) মিটার উচ্চ স্তম্ভের শীর্ষ হতে আনুভূমিকের সাথে \(30^{o}\) কোণে \(100m/sec\) আদিবেগে একটি বস্তু নিক্ষিপ্ত হলো। ক. একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে \(7m/sec^2\) ত্বরণে চলতে থাকলে তৃতীয় সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে? ২ খ. দৃশ্যকল্প-১ : হতে মোটর সাইকেল আরোহী কত দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে? ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে বস্তুটি স্তম্ভ হতে কত দূরে ভূমিকে আঘাত করবে?৪
৮। দৃশ্যকল্প-১ :
শ্রেণিব্যাপ্তি
\(10-16\)
\(17-22\)
\(23-28\)
\(29-34\)
\(35-40\)
\(41-46\)
\(47-52\)
গণসংখ্যা
\(5\)
\(4\)
\(10\)
\(12\)
\(8\)
\(4\)
\(7\)
দৃশ্যকল্প-২ : একটি কলেজের একাদশ শ্রেণীর \(100\) জন ছাত্রের মধ্যে \(30\) জন ফুটবল খেলে, \(40\) জন ক্রিকেট খেলে এবং \(20\) জন ফুটবল ও ক্রিকেট খেলে। তাদের মধ্য থেকে একজনকে দৈব্যভাবে নির্বাচন করা হলো। ক. \(P(A)=\frac{1}{2}, \ P(B)=\frac{3}{5}\) এবং \(A\) ও \(B\) স্বাধীন ঘটনা হলে \(P(A\cup{B})\) নির্ণয় কর। ২ খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে চতুর্থক ব্যবধান নির্ণয় কর। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে যদি ছেলেটি ক্রিকেট খেলে তবে তার ফুটবল খেলার সম্ভাবনা কত?৪
শিক্ষা বোর্ড যশোর।- ২০১৭
দ্বিতীয় পত্র
১। দৃশ্যকল্প-১ : \(L=\{x\in{\mathbb{R}}:0>2x^2+5x\}\)
দৃশ্যকল্প-২ : \(f(x)=x^2-x\) ক. সমাধান করঃ \(|2x-7|>5\) ২ খ. \(L\) এর সমাধান সেটের অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর। ৪ গ. সংখ্যারেখার সাহায্যে \(f(x)\le{0}\) এর সমাধান কর।৪
সমাধানঃ
ক. এখানে, \(|2x-7|>5\)
\((2x-7)\) ধনাত্মক হলে,
\(\Rightarrow 2x-7>5\)
\(\Rightarrow 2x-7+7>5+7\) ➜ উভয় পার্শে \(7\) যোগ করে।
\(\Rightarrow 2x>12\)
\(\Rightarrow x>\frac{12}{2}\)
\(\therefore x>6\)
\((2x-7)\) ঋনাত্মক হলে,
\(\Rightarrow -(2x-7)>5\)
\(\Rightarrow -2x+7-7>5-7\) ➜ উভয় পার্শে \(7\) বিয়োগ করে।
\(\Rightarrow -2x>-2\)
\(\Rightarrow 2x<2\)
\(\Rightarrow x<\frac{2}{2}\)
\(\therefore x<1\)
নির্ণেয় সমাধান \( x>6\) অথবা, \(x<1\) খ. দেওয়া আছে, \(L=\{x\in{\mathbb{R}}:0>2x^2+5x\}\)
\(L\) এর সমাধান সেটের অসমতা \(0>2x^2+5x\)
\(\Rightarrow 0>2\left(x^2+\frac{5}{2}x\right)\)
\(\Rightarrow 0>x^2+\frac{5}{2}x\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \left(\frac{5}{4}\right)^2>x^2+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^2\) ➜ উভয় পার্শে \(\left(\frac{5}{4}\right)^2\) যোগ করে।
\(\Rightarrow \left(\frac{5}{4}\right)^2>x^2+2.x.\frac{5}{4}+\left(\frac{5}{4}\right)^2\)
\(\Rightarrow \left(\frac{5}{4}\right)^2>\left(x+\frac{5}{4}\right)^2\)
\(\Rightarrow \frac{5}{4}>\left|x+\frac{5}{4}\right|\)
\(\therefore \left|x+\frac{5}{4}\right|<\frac{5}{4}\) গ. দৃশ্যকল্প-২: অনুসারে, \(f(x)=x^2-x\)
এবং \(f(x)\le{0}\)
\(\Rightarrow x^2-x\le{0}\)
ধরি, \(g(x)=x^2\) এবং \(h(x)=x\)
\(g(x)=x^2\) এবং \(h(x)=x\) এর লেখচিত্র সংখ্যারেখায় বসাই।
সংখ্যারেখা থেকে আমরা দেখতে পাই যে, \(g(x)=x^2\) এবং \(h(x)=x\) ফাংশনদ্বয় \((0, 0)\) ও \((1, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করেছে
এবং \([0, 1]\) সীমায় \(g(x)-h(x)\le{0}\)
নির্ণেয় সমাধান \([0, 1]\)
শিক্ষা বোর্ড যশোর।- ২০১৭
দ্বিতীয় পত্র
২। দৃশ্যকল্প-১ : \(x+iy=2e^{-i\theta}\)
দৃশ্যকল্প-২ : \(F=y-2x\)
শর্তগুলোঃ \(x+2y\le{6}, \ x+y\ge{4}, \ x, \ y\ge{0}\) ক. \(z=x+iy\) হলে, \(|z+i|=|\overline{z}+2|\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর। ২ খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, \(x^2+y^2=4\).৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে \(F\) এর সর্বোচ্চ মাণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধানঃ
ক. দেওয়া আছে, \(z=x+iy\)
এবং \(|z+i|=|\overline{z}+2|\)
\(\Rightarrow |x+iy+i|=|\overline{x+iy}+2|\)
\(\Rightarrow |x+iy+i|=|x-iy+2|\) ➜ \(\because \overline{x+iy}=x-iy\)
\(\Rightarrow |x+i(y+1)|=|x+2-iy|\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y+1)^2}=\sqrt{(x+2)^2+y^2}\)
\(\Rightarrow x^2+(y+1)^2=(x+2)^2+y^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2+2y+1=x^2+4x+4+y^2\)
\(\Rightarrow 2y+1=4x+4\)
\(\Rightarrow 4x+4=2y+1\)
\(\Rightarrow 4x+4-2y-1=0\)
\(\therefore 4x-2y+3=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সঞ্চার পথ। খ. দৃশ্যকল্প-১: অনুসারে, \(x+iy=2e^{-i\theta}\)
\(\Rightarrow x+iy=2(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\) ➜ \(\because e^{-i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow x+iy=2\cos{\theta}+2i\sin{\theta}\)
বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে।
\(x=2\cos{\theta}, \ y=2\sin{\theta}\)
এখন, \(x^2+y^2=(2\cos{\theta})^2+(2\sin{\theta})^2\)
\(=4\cos^2{\theta}+4\sin^2{\theta}\)
\(=4(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})\)
\(=4(1)\)
\(\therefore x^2+y^2=4\)
( প্রমাণিত ) গ. দৃশ্যকল্প-২: অনুসারে, \(F=y-2x\)
শর্তগুলিঃ \(x+2y\le{6}, \ x+y\ge{4}, \ x, \ y\ge{0}\)
\(\) এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় করতে হবে।
প্রদত্ত অসমতাগুলিকে সমতা ধরে সমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করি
এবং সমাধানের সম্ভাব্য এলাকা চিহ্নিত কর।
আমরা পাই, \(x+2y=6\)
\(\Rightarrow \frac{x}{6}+\frac{2y}{6}=1\)
\(\therefore \frac{x}{6}+\frac{y}{3}=1 ....(1)\)
এবং \(x+y=4\)
\(\therefore \frac{x}{4}+\frac{y}{4}=1 ......(2)\)
\(x=0 ......(3)\)
\(y=0 ......(4)\)
লেখ চিত্রে দেখা যায় \((1)\) এর সকল বিন্দু এবং যে পাশে মূলবিন্দু সেই পাশের সকল বিন্দুর জন্য সত্য।
\((2)\) এর সকল বিন্দু এবং যে পাশে মূলবিন্দু তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দুর জন্য সত্য।
আবার, \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(P(2, 2)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(Q(4, 0)\)
\((1)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(R(6, 0)\)
নির্ণেয় কৌণিক বিন্দু \(P(2, 2), \ Q(4, 0), \ R(6, 0)\)
এখন, \(P(2, 2)\) বিন্দুতে, \(F=2-2\times{2}\) ➜ \(\because F=y-2x\)
\(=2-4\)
\(=-2\)
\(Q(4, 0)\) বিন্দুতে, \(F=0-2\times{4}\) ➜ \(\because F=y-2x\)
\(=0-8\)
\(=-8\)
\(R(6, 0)\) বিন্দুতে, \(F=0-2\times{6}\) ➜ \(\because F=y-2x\)
\(=0-12\)
\(=-12\)
নির্ণেয় সর্বোচ্চ মান \(=-2\)
শিক্ষা বোর্ড যশোর।- ২০১৭
দ্বিতীয় পত্র
৩। দৃশ্যকল্প-১ : \(x^2-5x+3=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)
দৃশ্যকল্প-২ : \(\frac{1+x}{\sqrt{1-2x}}\) ক. \((3-2x)^{\frac{1}{2}} \) এর বিস্তৃতি \(x\) এর কোন মানের জন্য বৈধ? ২ খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে \(\frac{3}{5-\alpha}, \ \frac{3}{5-\beta}\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদত্ত রাশিতির বিস্তৃতি হতে \(x^3\) এর সহগ নির্ণয় কর। ৪
সমাধানঃ
ক. প্রদত্ত রাশি, \((3-2x)^{\frac{1}{2}} \)
\(=\left\{3\left(1-\frac{2}{3}x\right)\right\}^{\frac{1}{2}}\)
প্রদত্ত রাশির বিস্তৃতি বৈধ হবে যদি
\(1>|\frac{2}{3}x|\)
\(\Rightarrow \frac{3}{2}>|x|\)
\(\therefore |x|<\frac{3}{2}\) হয়। খ. দৃশ্যকল্প-২: অনুসারে, \(x^2-5x+3=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\)
\(\therefore \alpha+\beta=-\frac{-5}{1}\) ➜
\(\because ax^2+bx+c=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে,
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)
\(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)
৪। দৃশ্যকল্প-১ : \(\cot{\theta}-\tan{\theta}=\frac{6}{5}\).
দৃশ্যকল্প-২ : \(2\sin{2\theta}+2(\sin{\theta}+\cos{\theta})+1=0\) ক. প্রমাণ কর যে, \(\tan^{-1}{(\cot{3x})}+\tan^{-1}{(-\cot{5x})}=2x\).২ খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, \(\theta=\frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}\).৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর। ৪
৫। দৃশ্যকল্প-১ :
দৃশ্যকল্প-২ : একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দইটি \((6, 1)\) ও \((10, 1)\) এবং উৎকেন্দ্রতা \(3\) ক. \(3x^2+5y^2=1\)এর উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর। ২ খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধানঃ
ক. \(3x^2+5y^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{3}}+\frac{y^2}{\frac{1}{5}}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2}=1\) যা একটি উপবৃত্ত প্রকাশ করে।
যা একটি উপবৃত্ত প্রকাশ করে।
এখানে, \(a=\frac{1}{\sqrt{3}}, \ b=\frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow a>b\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) এর সহিত তুলুনা করে।
উৎকেন্দ্রিকতা, \(=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের
উৎকেন্দ্রিকতা, \(=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
৬। দৃশ্যকল্প-১ : \(L, \ M, \ N\) মানের তিনটি বলের ক্রিয়ারেখা \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC, \ CA, \ AB\) বাহুর সমান্তরাল। বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(25, \ 60, \ 65\) সে.মি. । \(L\) ও \(M\) মানের বলদ্বয়ের সমষ্টি \(51\) গ্রাম ওজন।
দৃশ্যকল্প-২ : \(20\) সে.মি. ব্যবধানে একটি সুষম হালকা দন্ডের দুই প্রান্তে \(8N\) ও \(4N\) মানের বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে। ক. \(4N\) ও \(2\sqrt{3}N\) মানের বলদ্বয় \(30^{o}\) কোণে ক্রিয়া করে। \(4N\) মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লম্বাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।২ খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মাণ নির্ণয় কর। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মাণ \(4N\) করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কত দূরত্বে সরে যাবে?৪
সমাধানঃ
ক. দেওয়া আছে, \(4N\) ও \(2\sqrt{3}N\) মানের বলদ্বয় \(30^{o}\) কোণে ক্রিয়া করে।
\(4N\) মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লম্বাংশের সমষ্টি ,
\(=4N\cos{0^{o}}+2\sqrt{3}N\cos{30^{o}}\)
\(=4N.1+2\sqrt{3}N\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}\) ➜ \(\because \cos{0^{o}}=1, \ \cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=4N+\sqrt{3}N\times{\sqrt{3}}\)
\(=4N+3N\)
\(=7N\)
ইহাই নির্ণেয় লম্বাংশ। খ. দৃশ্যকল্প-১ : অনুসারে, \(L, \ M, \ N\) মানের তিনটি বলের ক্রিয়ারেখা \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC, \ CA, \ AB\) বাহুর সমান্তরাল। বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(25, \ 60, \ 65\) সে.মি. \(L\) ও \(M\) মানের বলদ্বয়ের সমষ্টি \(51\) গ্রাম ওজন।
যেহেতু \(ABC\) ত্রিভুজে \(BC^2+CA^2\)
\(=(25)^2+(60)^2\)
\(=625+3600\)
\(=4225\)
\(=(65)^2\)
\(=(AB)^2\)
\(\therefore BC^2+CA^2=AB^2\)
\(\therefore \triangle{ABC}\) এ \(\angle{C}=90^{o}\)
যেহেতু বলগুলি সুস্থিত এবং \(\triangle{ABC}\) এর
বাহুগুলির সমান্তরাল কাজেই বলত্রয়কে অনুসঙ্গী বাহত্রয় দ্বারা সূচীত করা যায়।
\(\therefore \frac{L}{25}=\frac{M}{60}=\frac{N}{65}\)
\(\Rightarrow \frac{L}{5}=\frac{M}{12}=\frac{N}{13}\)
\(\Rightarrow \frac{L}{5}=\frac{M}{12}=\frac{N}{13}=\frac{L+M}{5+12}\)
\(\Rightarrow \frac{L}{5}=\frac{M}{12}=\frac{N}{13}=\frac{51}{17}\) ➜ \(\because L+M=51\)
\(\Rightarrow \frac{L}{5}=\frac{M}{12}=\frac{N}{13}=3\)
\(\Rightarrow \frac{L}{5}=3, \ \frac{M}{12}=3, \ \frac{N}{13}=3\)
\(\Rightarrow L=15, \ M=36, \ N=39\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বলত্রয়ের মানঃ
\(L=15\) গ্রাম ওজন।
\(M=36\) গ্রাম ওজন।
\(N=39\) গ্রাম ওজন। গ. দৃশ্যকল্প-২: অনুসারে, \(20\) সে.মি. ব্যবধানে একটি সুষম হালকা দন্ডের দুই প্রান্তে \(8N\) ও \(4N\) মানের বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে।
মনে করি, \(20\) সে.মি. দীর্ঘ্য সুষম হালকা দন্ডের \(A\) ও \(B\) প্রান্তে \(8N\) ও \(4N\) মানের বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল প্রয়োগ করা হলো।
\(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত বলদ্বয়ের লব্ধি \(=(8-4)N\)
\(=4N\)
বর্ধিত \(BA\) এর উপরস্থ \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
তাহলে, \(8\times{AC}=4\times{BC}\)
\(\Rightarrow 8AC=4(AB+AC)\) ➜ \(\because BC=AB+AC\)
\(\Rightarrow 8AC=4(20+AC)\) ➜ \(\because AB=20\)
\(\Rightarrow 8AC=80+4AC\)
\(\Rightarrow 8AC-4AC=80\)
\(\Rightarrow 4AC=80\)
\(\Rightarrow AC=\frac{80}{4}\)
\(\therefore AC=20\) সে.মি.
এখন, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত বলদ্বয়ের মান \(4N\) বৃদ্ধি করা হলে,
মনে করি, লব্ধি \(D\) বিন্দুতে সরে যায়।
\(\therefore (8+4)AD=(4+4)BD\)
\(\Rightarrow 12AD=8(AB+AD)\) ➜ \(\because BD=AB+AD\)
\(\Rightarrow 12AD=8(20+AD)\) ➜ \(\because AB=20\)
\(\Rightarrow 12AD=160+8AD\)
\(\Rightarrow 12AD-8AD=160\)
\(\Rightarrow 4AD=160\)
\(\Rightarrow AD=\frac{160}{4}\)
\(\therefore AD=40\) সে.মি.
\(\therefore \) লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু সরে যাবে \(DC\) দূরত্বের সমান
\(\therefore DC=AD-AC\)
\(=40-20\)
\(=20\) সে.মি.
শিক্ষা বোর্ড যশোর।- ২০১৭
দ্বিতীয় পত্র
৭। দৃশ্যকল্প-১ : একজন মোটর সাইকেল আরোহী \(15\) মিটার দূরে একজন অশ্বারোহীকে দেখতে পেয়ে স্থিরাবস্থা হতে \(5m/sec^2\) ত্বরণে অশ্বারোহীর পশ্চাতে মোটর সাইকেল চালাতে লাগলো। অশ্বারোহী \(12.5m/sec\) সমবেগে যাচ্ছিল।
দৃশ্যকল্প-২ : \(60\) মিটার উচ্চ স্তম্ভের শীর্ষ হতে আনুভূমিকের সাথে \(30^{o}\) কোণে \(100m/sec\) আদিবেগে একটি বস্তু নিক্ষিপ্ত হলো। ক. একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে \(7m/sec^2\) ত্বরণে চলতে থাকলে তৃতীয় সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে? ২ খ. দৃশ্যকল্প-১ : হতে মোটর সাইকেল আরোহী কত দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে? ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে বস্তুটি স্তম্ভ হতে কত দূরে ভূমিকে আঘাত করবে?৪
সমাধানঃ
ক. আমরা জানি, \(t\) তম সেঃ অতিক্রান্ত দূরত্ব
\(S_{t}=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\)
এখানে, \(u=0, \ f=7ms^{-2}, \ t=3\)
\(\therefore S_{t}=0+\frac{1}{2}\times{7}(2\times{3}-1)\)
\(=\frac{7}{2}\times{5} m\)
\(=\frac{35}{2} m\)
\(=17.5 m\)
ইহাই নির্ণেয় অতিক্রান্ত দূরত্ব। খ. দৃশ্যকল্প-১ : অনুসারে, একজন মোটর সাইকেল আরোহী \(15\) মিটার দূরে একজন অশ্বারোহীকে দেখতে পেয়ে স্থিরাবস্থা হতে \(5m/sec^2\) ত্বরণে অশ্বারোহীর পশ্চাতে মোটর সাইকেল চালাতে লাগলো। অশ্বারোহী \(12.5m/sec\) সমবেগে যাচ্ছিল।
মনে করি, \(A\) বিন্দুতে অবস্থানকালে মোটর সাইকেল আরোহী \(B\) বিন্দুতে অশ্বারোহীকে দেখতে পেল এবং \(t\) সময় পর \(C\) বিন্দুতে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে।
অশ্বারোহীর ক্ষেত্রে \(BC=12.5\times{t}\) ➜ \(\because s=vt\)
\(=12.5t\)
মোটর সাইকেল আরোহী ক্ষেত্রে \(AC=\frac{1}{2}ft^2\) ➜ \(\because u=0\)
\(\Rightarrow AB+BC=\frac{1}{2}\times{5}t^2\) ➜ \(\because AC=AB+BC, \ f=5m/sec^2\)
\(\Rightarrow 15+12.5t=\frac{5}{2}t^2\) ➜ \(\because AB=15, \ BC=12.5t\)
\(\Rightarrow 30+25t=5t^2\)
\(\Rightarrow 5t^2=30+25t\)
\(\Rightarrow 5t^2-25t-30=0\)
\(\Rightarrow 5(t^2-5t-6)=0\)
\(\Rightarrow t^2-5t-6=0\)
\(\Rightarrow t^2-6t+t-6=0\)
\(\Rightarrow t(t-6)+1(t-6)=0\)
\(\Rightarrow (t-6)(t+1)=0\)
\(\Rightarrow t-6=0, \ (t+1)\ne{0}\)
\(\therefore t=6s\)
\(\therefore \) মোটর সাইকেল আরোহীর অতিক্রান্ত দূরত্ব,
\(AC=\frac{1}{2}ft^2\)
\(=\frac{1}{2}\times{5}\times{6^2}\)
\(=\frac{5}{2}\times{36}\)
\(=5\times{18}\)
\(=90 m\)
অর্থাৎ মোটর সাইকেল আরোহী \(=90 m\) দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে। গ. দৃশ্যকল্প-২: অনুসারে, \(60\) মিটার উচ্চ স্তম্ভের শীর্ষ হতে আনুভূমিকের সাথে \(30^{o}\) কোণে \(100m/sec\) আদিবেগে একটি বস্তু নিক্ষিপ্ত হলো।
মনে করি, বস্তুটির পতনকাল \(t\) সেঃ
এখন, \(h=-u\sin{\alpha}t+\frac{1}{2}gt^2\)
\(\Rightarrow 60=-100\sin{30^{o}}t+\frac{1}{2}gt^2\) ➜ \(\because h=60, \ u=100, \ \alpha=30^{o}\)
\(\Rightarrow 60=-100\times{\frac{1}{2}}t+\frac{1}{2}\times{9.8}t^2\) ➜\(\because \sin{30^{o}}=\frac{1}{2}, \ g=9.8\)
\(\Rightarrow 60=-50t+4.9t^2\)
\(\Rightarrow 4.9t^2-50t=60\)
\(\Rightarrow 4.9t^2-50t-60=0\)
\(\Rightarrow t=\frac{-(-50)\pm{\sqrt{(-50)^2-4\times{4.9}(-60)}}}{2\times{4.9}}\) ➜
\(\because ax^2+bx+c=0\) এর সমাধান,
\(x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)
দৃশ্যকল্প-২ : একটি কলেজের একাদশ শ্রেণীর \(100\) জন ছাত্রের মধ্যে \(30\) জন ফুটবল খেলে, \(40\) জন ক্রিকেট খেলে এবং \(20\) জন ফুটবল ও ক্রিকেট খেলে। তাদের মধ্য থেকে একজনকে দৈব্যভাবে নির্বাচন করা হলো। ক. \(P(A)=\frac{1}{2}, \ P(B)=\frac{3}{5}\) এবং \(A\) ও \(B\) স্বাধীন ঘটনা হলে \(P(A\cup{B})\) নির্ণয় কর। ২ খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে চতুর্থক ব্যবধান নির্ণয় কর। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে যদি ছেলেটি ক্রিকেট খেলে তবে তার ফুটবল খেলার সম্ভাবনা কত?৪
সমাধানঃ
ক. দেওয়া আছে, \(P(A)=\frac{1}{2}, \ P(B)=\frac{3}{5}\) এবং \(A\) ও \(B\) স্বাধীন ঘটনা।
যেহেতু \(A\) ও \(B\) স্বাধীন ঘটনা
\(\therefore P(A\cap{B}=P(A).P(B)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{3}{5}\)
\(=\frac{3}{10}\)
আবার, \(P(A\cup{B}=P(A)+P(B)-P(A\cap{B}\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{3}{5}-\frac{3}{10}\)
\(=\frac{5+6-3}{10}\)
\(=\frac{11-3}{10}\)
\(=\frac{8}{10}\)
\(=\frac{4}{5}\)
ইহাই নির্ণেয় মান। খ. দৃশ্যকল্প-১: অনুসারে,
শ্রেণিব্যাপ্তি
গণসংখ্যা
ক্রমযোজিত সংখ্যা
\(10-16\)
\(5\)
\(5\)
\(17-22\)
\(4\)
\(9\)
\(23-28\)
\(10\)
\(19\)
\(29-34\)
\(12\)
\(31\)
\(35-40\)
\(8\)
\(39\)
\(41-46\)
\(4\)
\(43\)
\(47-52\)
\(7\)
\(50\)
এখন, \(Q_{1}=\frac{1\times{50}}{4}\) তম সংখ্যা \(=12.5\) তম সংখ্যা ➜ \(\because N=50\)
যা \((23-28)\) শ্রেণীতে
এখন, \(Q_{i}=L_{i}+\frac{C}{f_{i}}\left(\frac{i\times{N}}{4}-F_{c}\right)\)
\(\therefore Q_{1}=23+\frac{6}{10}\left(\frac{1\times{50}}{4}-9\right)\)
\(=23+\frac{3}{5}(12.5-9)\)
\(=23+\frac{3}{5}(3.5)\)
\(=23+\frac{10.5}{5}\)
\(=23+2.1\)
\(=25.1\)
এবং \(Q_{3}=\frac{3\times{50}}{4}\) তম সংখ্যা
\(=\frac{150}{4}\)
\(=37.5\)
যা \((35-40)\) শ্রেণীতে
\(\therefore Q_{3}=35+\frac{6}{8}\left(\frac{3\times{50}}{4}-31\right)\)
\(=35+\frac{3}{4}(37.5-31)\)
\(=35+\frac{3}{4}(6.5)\)
\(=35+\frac{19.5}{4}\)
\(=35+4.875\)
\(=39.875\)
\(\therefore \) চতুর্থক ব্যবধান \(=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}\)
\(=\frac{39.875-25.1}{2}\)
\(=7.3875\) গ. দৃশ্যকল্প-২: অনুসারে, একটি কলেজের একাদশ শ্রেণীর \(100\) জন ছাত্রের মধ্যে \(30\) জন ফুটবল খেলে, \(40\) জন ক্রিকেট খেলে এবং \(20\) জন ফুটবল ও ক্রিকেট খেলে। তাদের মধ্য থেকে একজনকে দৈব্যভাবে নির্বাচন করা হলো।
একজনকে দৈব্যভাবে নির্বাচন করা হলে,
ফুটবল খেলে এরূপ ছাত্রের সম্ভাবনা
\(P(F)=\frac{30}{100}\)
\(=\frac{3}{10}\)
ক্রিকেট খেলে এরূপ ছাত্রের সম্ভাবনা
\(P(C)=\frac{40}{100}\)
\(=\frac{4}{10}\)
\(=\frac{2}{5}\)
ফুটবল ও ক্রিকেট উভয়ে খেলে এরূপ ছাত্রের সম্ভাবনা
\(P(F\cap{C})=\frac{20}{100}\)
\(=\frac{1}{5}\)
\(\therefore \) ছাত্রটি যদি ক্রিকেট খেলে তবে তার ফুটবল খেলার সম্ভাবনা
\(P(F|C)=\frac{P(F\cap{C})}{P(C)}\)
\(=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}}\)
\(=\frac{1}{5}\times{\frac{5}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
শিক্ষা বোর্ড যশোর।- ২০১৭
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[ ২০১৭ সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(11N\) ও \(13N\) বলদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করলে লব্ধির মাণ কত হবে? ক \(2\sqrt{6}N\) খ \(\sqrt{290}N\) গ \(24N\) ঘ \(290N\)
\(11N\) ও \(13N\) বলদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করলে লব্ধির মাণ,
\(=\sqrt{11^2+13^2+2.11.13\cos{90^{o}}}N\)
\(=\sqrt{121+169+289.0}N\)
\(=\sqrt{290+0}N\)
\(=\sqrt{290}N\)
উত্তরঃ ( খ )
১৪। একটি বিন্দুতে \(3N, \ 5N\) ও \(7N\) মানের তিনটি বল ভিন্ন ভিন্ন রেখা বরবর ক্রিয়ারত থেকে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করেছে। ক্ষুদ্রতর বল দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ কত? ক \(60^{o}\) খ \(120^{o}\) গ \(\cos^{-1}{\left(\frac{31}{42}\right)}\)ঘ \(\cos^{-1}{\left(\frac{17}{14}\right)}\)
একটি বিন্দুতে \(3N, \ 5N\) ও \(7N\) মানের তিনটি বল ভিন্ন ভিন্ন রেখা বরবর ক্রিয়ারত থেকে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করেছে।
ক্ষুদ্রতর বল দুইটি \(3N, \ 5N\) এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\theta\)
সাম্যাবস্থার শর্তানুযায়ী \(3^2+5^2+2\times{3}\times{5}\cos{\theta}=7^2\)
\(\Rightarrow 9+25+30\cos{\theta}=49\)
\(\Rightarrow 34+30\cos{\theta}=49\)
\(\Rightarrow 30\cos{\theta}=49-34\)
\(\Rightarrow 30\cos{\theta}=15\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{15}{30}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{60^{o}}\)
\(\therefore \theta=60^{o}\)
উত্তরঃ ( ক )
১৫। \((1+3x)^{17}\) এর বিস্তৃতিতে- \(i.\) পদের সংখ্যা \(18\) \(ii.\) মধ্যপদ দুইটি \(iii.\) \(x^{6}\) এর সহগ \(^{17}C_{6}.3^{6}\)
নিচের কোনটি সঠীক? ক \(\ \ i.\) ও \(ii.\) খ \(i.\) ও \(iii.\) গ \(ii.\) ও \(iii.\) ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\((1+3x)^{17}\) এর বিস্তৃতিতে-
পদের সংখ্যা \(=17+1\)
\(=18\)
\(\therefore (i)\) নং বাক্যটি সত্য।
এখানে, \((17)\) একটি বিজোড় সংখ্যা
\(\therefore \) মধ্যপদ হবে দুইটি।
\(\therefore (ii)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার, \(^{17}C_{6}(3x)^{6}\)
\(=^{17}C_{6}(3)^{6}x^{6}\)
\(\therefore x^{6}\) এর সহগ \(^{17}C_{6}.3^{6}\)
\(\therefore (iii)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১৬ এবং ১৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
একজন ক্রিকেটার একটি ক্রিকেট বলকে আনুভূমিকের সাথে \(60^{o}\) কোণে \(20m/sec\) বেগে আঘাত করল।
১৬। বলটির বিচরণকাল কত? ক \(\frac{10}{g}\) সে.খ \(\frac{10\sqrt{3}}{g}\) সে. গ \(\frac{20}{g}\) সে. ঘ \(\frac{20\sqrt{3}}{g}\) সে.
একজন ক্রিকেটার একটি ক্রিকেট বলকে আনুভূমিকের সাথে \(60^{o}\) কোণে \(20m/sec\) বেগে আঘাত করল।
বলটির বিচরণকাল \(T=\frac{2u\sin{\theta}}{g}\)
\(=\frac{2\times{20}\sin{60^{o}}}{g}\)
\(=\frac{40\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{g}\)
\(=\frac{20\sqrt{3}}{g}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৭। বলটি ভূমি হতে সর্বোচ্চ কত উচ্চতায় উঠবে? ক \(\frac{50}{g}\) মি.খ \(\frac{100}{g}\) মি. গ \(\frac{150}{g}\) মি. ঘ \(\frac{300}{g}\) মি.
একজন ক্রিকেটার একটি ক্রিকেট বলকে আনুভূমিকের সাথে \(60^{o}\) কোণে \(20m/sec\) বেগে আঘাত করল।
সর্বোচ্চ উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{\theta}}{2g}\)
\(=\frac{(20)^2\sin^2{60^{o}}}{2g}\)
\(=\frac{400\times{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}}{2g}\)
\(=\frac{400\times{\frac{3}{4}}}{2g}\)
\(=\frac{100\times{3}}{2g}\)
\(=\frac{50\times{3}}{g}\)
\(=\frac{150}{g}\) মি.
উত্তরঃ ( গ )
ঢাকা, দিনাজপুর, সিলেট ও যশোর শিক্ষা বোর্ড - ২০১৮
উচ্চতর গণিত ( সৃজনশীল )
[ ২০১৮ সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২ ঘণ্টা ৩৫ মিনিট
পূর্ণমান-৫০
[ দ্রষ্টব্যঃ ডান পাশের সংখ্যা প্রশ্নের পূর্ণমান জ্ঞাপক। প্রতিটি বিভাগ হতে কমপক্ষে দুইটি করে প্রশ্ন নিয়ে মোট পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দাও। ]
ক বিভাগ-বীজগণিত ও জ্যামিতি
১। দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=3x^2+5x\) দৃশ্যকল্প-২: \(B=\begin{bmatrix} \ l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \\l^3-1 & m^3-1 & n^3-1 \end{bmatrix}\) ক. যদি \(\left(\begin{array}{c}x & 2\\ x & 2\end{array}\right)\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হয় তবে \(x\) এর মাণ নির্ণয় কর। ২ খ. \(A=\left(\begin{array}{c}2 & 1 & 5 \\-1 & 4 & 3 \\4 & -7 & 5 \end{array}\right)\) হলে, \(f(A)\) নির্ণয় কর। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, \(|B|=(lmn-1)(l-m)(m-n)(n-l)\) ৪
২। ক. \((-4, -4)\) বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। ২ খ. \(AB\) রেখার \(4\) একক দূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪ গ. দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((5, 4)\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) সরলরেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। ৪
৩। দৃশ্যকল্প-১: সাদাত \(0, 3, 4, 5, 6, 9\) অংকগুলি লিখতে পারে। দৃশ্যকল্প-২: \(A=3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}\) এবং \(B=\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}\)
ক. যদি \(^nP_{2}=3\times{^nC_{3}}\) হয় তবে \(n\) এর মাণ নির্ণয় কর। ২ খ. \(A\) বরাবর \(B\) এর উপাংশ নির্ণয় কর। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-১ হতে, প্রত্যেক অংককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে ছয় অংকবিশিষ্ট কতগুলি অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা গঠন করা যায় তা নির্ণয় কর। ৪
৪। ক. একটি বৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ \(x^2=1-t^2\) এবং \(y=t\) হলে বৃত্ততির কেন্দ্র নির্ণয় কর। ২ খ. যদি \(P\) বিন্দু \(EF\)রেখাংশের সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের একটি বিন্দু হয় তবে \(OP\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪ গ. যদি \(OD=3\sqrt{2}\) হয় তবে বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
খ বিভাগ- ত্রিকোণমিতি ও ক্যালকুলাস
৫। দৃশ্যকল্প-১: \(h(x)=\sin{mx}\) দৃশ্যকল্প-২: ক. প্রমাণ কর যে, \(\sin{44^{o}}+\cos{44^{o}}=\sqrt{2}\cos{1^{o}}\) ২ খ. \(m=4\) হলে \(h(x)\) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর যখন \(0^{o}\le{x}\le{180^{o}}\) ৪ গ. \(AB=5\)সে.মি. হলে চিত্রের গাড় অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
৬। \(p=\sin{2\alpha}, q=\sin{2\beta}, r=\cos{2\alpha}, s=\cos{2\beta}, t=\sin{2\gamma} \). ক. প্রমাণ কর যে, \(\sec{\left(\frac{3x}{2}\right)}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{8+8\cos{6x}}}}\). ২ খ. যদি \(p+q=c, r+s=d\) হয় তবে দেখাও যে, \(\cos{(2\alpha+2\beta)}=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}\) ৪ গ. যদি \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\) হয় তবে দেখাও যে, \(p^2+q^2+t^2=2-2\cos{2\alpha}\cos{2\beta}\cos{2\gamma}\) ৪
৭।দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=x+6\) দৃশ্যকল্প-২: \(g(x)=x^2\) ক. \((-3, 2)\) বিন্দুতে \(x^2-y^2=5\) বক্ররেখার স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ২ খ. \(\int{\frac{xdx}{f(x)\{g(x)+4\}}}\) মাণ নির্ণয় কর।৪ গ. \(g(x)\) বক্ররেখা এবং \(f(x)\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
৮।দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=\tan{px}\) দৃশ্যকল্প-২: \(g(x)=\sec{px}\) ক. \[\lim_{x \rightarrow \infty}5^x\sin{\left(\frac{m}{5^{x}}\right)}\] এর মাণ নির্ণয় কর। ২ খ. \(p=4\) হলে, মূল নিয়মে \(f(x)\) এর মাণ নির্ণয় কর। ৪ গ. \(p=1\) এবং \(y=f(x)+g(x)\) হলে দেখাও যে, \((1-\sin{x})^2\frac{d^2y}{dx^2}-\cos{x}=0\) ৪
ঢাকা, দিনাজপুর, সিলেট ও যশোর শিক্ষা বোর্ড - ২০১৮
প্রথম পত্র
১। দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=3x^2+5x\) দৃশ্যকল্প-২: \(B=\begin{bmatrix} \ l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \\l^3-1 & m^3-1 & n^3-1 \end{bmatrix}\) ক. যদি \(\left(\begin{array}{c}x & 2\\ x & 2\end{array}\right)\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হয় তবে \(x\) এর মাণ নির্ণয় কর। ২ খ. \(A=\left(\begin{array}{c}2 & 1 & 5 \\-1 & 4 & 3 \\4 & -7 & 5 \end{array}\right)\) হলে, \(f(A)\) নির্ণয় কর। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, \(|B|=(lmn-1)(l-m)(m-n)(n-l)\) ৪
২। ক. \((-4, -4)\) বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। ২ খ. \(AB\) রেখার \(4\) একক দূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪ গ. দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((5, 4)\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) সরলরেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। ৪
৩। দৃশ্যকল্প-১: সাদাত \(0, 3, 4, 5, 6, 9\) অংকগুলি লিখতে পারে। দৃশ্যকল্প-২: \(A=3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}\) এবং \(B=\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}\)
ক. যদি \(^nP_{2}=3\times{^nC_{3}}\) হয় তবে \(n\) এর মাণ নির্ণয় কর। ২ খ. \(A\) বরাবর \(B\) এর উপাংশ নির্ণয় কর। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-১ হতে, প্রত্যেক অংককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে ছয় অংকবিশিষ্ট কতগুলি অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা গঠন করা যায় তা নির্ণয় কর। ৪
সমাধানঃ
ক. দেওয়া আছে, \(^nP_{2}=3\times{^nC_{3}}\)
\(\therefore \frac{n!}{(n-2)!}=3\times{\frac{n!}{(n-3)!3!}}\) ➜
\(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)
\(^nC_{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
\(\Rightarrow \frac{n!}{(n-2)(n-3)!}=3\times{\frac{n!}{(n-3)!3!}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(n-2)}=3\times{\frac{1}{3.2.1}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(n-2)}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow n-2=2\)
\(\Rightarrow n=2+2\)
\(\therefore n=4\) খ. দেওয়া আছে, \(A=3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}\) এবং \(B=\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}\)
\(A\) বরাবর \(B\) এর উপাংশ \(=\left(\frac{A.B}{|A|}\right)\left(\frac{A}{|A|}\right)\)
\(=\left(\frac{(3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}).(\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k})}{|3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}|}\right)\left(\frac{3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{|3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}|}\right)\)
\(=\left(\frac{3.1+2.(-4)+6.(-3)}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}}\right)\left(\frac{3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}}\right)\)
\(=\left(\frac{3-8-18}{\sqrt{9+4+36}}\right)\left(\frac{3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{9+4+36}}\right)\)
\(=\frac{-23}{\sqrt{49}}\left(\frac{3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{49}}\right)\)
\(=\frac{-23}{7}\left(\frac{3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{7}\right)\)
\(=\frac{-23}{49}(3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k})\)
ইহাই নির্ণেয় উপাংশ। গ. \(0, 3, 4, 5, 6, 9\) অংকগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে ছয় অঙ্কবিশিষ্ট অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা গঠন করতে হলে অবশ্যই একক স্থানে \(0\) অথবা \(4\) অথবা \(6\) রাখতে হবে।
একক স্থানে \(0\) রেখে অবশিষ্ট \(5\) টি অংককে \(5\) টি স্থানে সাজানোর উপায় \(=5!\)
\(=5.4.3.2.1\)
\(=120\)
যে সমস্ত সংখ্যার প্রথম স্থানে \(0\) থাকবে সেগুলি ছয় অংকবিশীষ্ট হবে না।
প্রথম স্থানে \(0\) এবং একক স্থানে \(4\) অথবা \(6\) রেখে অবশিষ্ট \(4\) টি অংককে \(4\) টি স্থানে সাজানোর উপায় \(=4!\)
\(=4.3.2.1\)
\(=24\)
একক স্থানে \(4\) রেখে অবশিষ্ট \(5\) টি অংককে \(5\) টি স্থানে সাজানোর উপায় \(=5!\)
\(=5.4.3.2.1\)
\(=120\)
একক স্থানে \(4\) রেখে ছয় অংকবিশিষ্ট সংখ্যা \(=120-24\) টি।
\(=96\) টি।
অনুরূপভাবে
একক স্থানে \(6\) রেখে ছয় অংকবিশিষ্ট সংখ্যা \(=96\) টি।
\(\therefore \) মোট জোড় সংখ্যা গঠনের উপায় \(=120+96+96\)
\(=312\)
ঢাকা, দিনাজপুর, সিলেট ও যশোর শিক্ষা বোর্ড - ২০১৮
প্রথম পত্র
৪। ক. একটি বৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ \(x^2=1-t^2\) এবং \(y=t\) হলে বৃত্ততির কেন্দ্র নির্ণয় কর। ২ খ. যদি \(P\) বিন্দু \(EF\)রেখাংশের সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের একটি বিন্দু হয় তবে \(OP\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪ গ. যদি \(OD=3\sqrt{2}\) হয় তবে বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
৫। দৃশ্যকল্প-১: \(h(x)=\sin{mx}\) দৃশ্যকল্প-২: ক. প্রমাণ কর যে, \(\sin{44^{o}}+\cos{44^{o}}=\sqrt{2}\cos{1^{o}}\) ২ খ. \(m=4\) হলে \(h(x)\) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর যখন \(0^{o}\le{x}\le{180^{o}}\) ৪ গ. \(AB=5\)সে.মি. হলে চিত্রের গাড় অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধানঃ
ক. \(L.S=\sin{44^{o}}+\cos{44^{o}}\)
\(=\sin{(90^{o}-46^{o})}+\cos{44^{o}}\)
\(=\cos{46^{o}}+\cos{44^{o}}\)
\(=2\cos{\frac{46^{o}+44^{o}}{2}}\cos{\frac{46^{o}-44^{o}}{2}}\) ➜ \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(=2\cos{\frac{90^{o}}{2}}\cos{\frac{2^{o}}{2}}\)
\(=2\cos{45^{o}}\cos{1^{o}}\)
\(=\sqrt{2}\sqrt{2}\times{\frac{1}{\sqrt{2}}}\cos{1^{o}}\)
\(=\sqrt{2}\cos{1^{o}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore \sin{44^{o}}+\cos{44^{o}}=\sqrt{2}\cos{1^{o}}\)
( প্রমাণিত ) খ. দেওয়া আছে, \(h(x)=\sin{mx}\)
\(m=4\) হলে, \(h(x)=\sin{4x}\)
ধরি, \(y=h(x)=\sin{4x}, \ 0^{o}\le{x}\le{180^{o}}\)
প্রদত্ত ফাংশনটি সাইন ফাংশন। সাইন সারণি হতে \(x=0^{o}\) হতে \(x=180^{o}\) পর্যন্ত \(x\) এর কয়েকটি মাণ নিয়ে \(y\) এর আনুষঙ্গিক মাণ বের করে নিচের ছকে বসানো হয়েছে।
\(x\)
\(0^{o}\)
\(15^{o}\)
\(30^{o}\)
\(45^{o}\)
\(60^{o}\)
\(75^{o}\)
\(90^{o}\)
\(105^{o}\)
\(120^{o}\)
\(135^{o}\)
\(150^{o}\)
\(165^{o}\)
\(180^{o}\)
\(y\)
\(0\)
\(0.87\)
\(0.87\)
\(0\)
\(-0.87\)
\(-0.87\)
\(0\)
\(0.87\)
\(0.87\)
\(0\)
\(-0.87\)
\(-0.87\)
\(0\)
স্কেলঃ \(x\) অক্ষ বরাবর ছোট বর্গক্ষেত্রের \(1\) বাহু \(=10^{o}\) এবং \(y\) অক্ষ বরাবর ছোট বর্গক্ষেত্রের \(10\) বাহু \(1\) একক ধরে বিন্দুগুলি গ্রাফ কাগজে বসিয়ে সুষমভাবে যোগ করে \(\sin{4x}\) এর লেখচিত্র অঙ্কন করিঃ গ. দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যসার্ধ, \(r=AB=5\)সে.মি.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi r^2\)
\(=3.1416\times{5^2}\)
\(=3.1416\times{25}\)
\(=78.54\) বর্গ সে.মি. ( প্রায় )
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ \(\theta=\angle{ABC}\)
\(=50^{o}\)
\(=\frac{50\pi}{180}\)
\(=\frac{5\pi}{18}\)
\(ABC\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{r^2\theta}{2}\)
\(=\frac{5^2\times{5\pi}}{2\times{18}}\)
\(=\frac{125\times{3.1416}}{36}\)
\(=\frac{392.7}{36}\)
\(=10.91\) বর্গ সে.মি. ( প্রায় )
চিত্রে গাড় অংশের ক্ষেত্রফল \(=78.54-10.91 \)
\(=67.63 \) বর্গ সে.মি. ( প্রায় )
ঢাকা, দিনাজপুর, সিলেট ও যশোর শিক্ষা বোর্ড - ২০১৮
প্রথম পত্র
৬। \(p=\sin{2\alpha}, q=\sin{2\beta}, r=\cos{2\alpha}, s=\cos{2\beta}, t=\sin{2\gamma}\). ক. প্রমাণ কর যে, \(\sec{\left(\frac{3x}{2}\right)}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{8+8\cos{6x}}}}\). ২ খ. যদি \(p+q=c, r+s=d\) হয় তবে দেখাও যে, \(\cos{(2\alpha+2\beta)}=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}\) ৪ গ. যদি \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\) হয় তবে দেখাও যে, \(p^2+q^2+t^2=2-2\cos{2\alpha}\cos{2\beta}\cos{2\gamma}\) ৪
৮।দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=\tan{px}\) দৃশ্যকল্প-২: \(g(x)=\sec{px}\) ক. \[\lim_{x \rightarrow \infty}5^x\sin{\left(\frac{m}{5^{x}}\right)}\] এর মাণ নির্ণয় কর। ২ খ. \(p=4\) হলে, মূল নিয়মে \(f(x)\) এর মাণ নির্ণয় কর। ৪ গ. \(p=1\) এবং \(y=f(x)+g(x)\) হলে দেখাও যে, \((1-\sin{x})^2\frac{d^2y}{dx^2}-\cos{x}=0\) ৪
ঢাকা, দিনাজপুর, সিলেট ও যশোর শিক্ষা বোর্ড - ২০১৮
উচ্চতর গণিত ( সৃজনশীল )
[ ২০১৮ সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২ ঘণ্টা ৩৫ মিনিট
পূর্ণমান-৫০
[ দ্রষ্টব্যঃ ডান পাশের সংখ্যা প্রশ্নের পূর্ণমান জ্ঞাপক। প্রতিটি বিভাগ হতে কমপক্ষে দুইটি করে প্রশ্ন নিয়ে মোট পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দাও। ]
ক বিভাগ-বীজগণিত ও ত্রিকোণমিতি
১। দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=3x+1\) দৃশ্যকল্প-২: \(|z-5|=3\) ক. \(\mathbb{R}\) ও \(\mathbb{C}\) দ্বারা কী বোঝায়? এদের মধ্যে সম্পর্ক কী? । ২ খ. \(2|f(x-2)|\le{1}\) এর সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও । ৪ গ. \(z=x+iy\) হলে দৃশ্যকল্প-২ এর সঞ্চারপথ জ্যমিতিকভাবে কী নির্দেশ কর? চিত্র আঁক। ৪
২। \(F_{1}\) ও \(F_{2}\) খাদ্যের প্রতি কেজিতে ভিটামিন \(C\) ও \(D\) এর পরিমাণ ও তাদের মূল্যের একটি ছকঃ
খাদ্য
ভিটামিন \(C\)
ভিটামিন \(D\)
প্রতি কেজির মূল্য
\(F_{1}\)
\(6\)
\(2\)
\(3\) টাকা
\(F_{2}\)
\(3\)
\(5\)
\(5\) টাকা
ক. যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের দুইটি সুবিধা উল্লেখ কর।২ খ. দৈনিক ভিটামিন \(C\) ও ভিটামিন \(D\) এর ন্যূনতম চাহিদা যথাক্রমে \(60\) একক ও \(50\) একক হলে কম খরচে দৈনিক ভিটামিন চাহিদা মেটানোর একটি যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম গঠন কর। ৪ গ. লেখচিত্রের সাহায্যে ২(খ) এ প্রাপ্ত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি সমাধান করে দৈনিক সর্বনিম্ন খরচ নির্ণয় কর। ৪
৩।দৃশ্যকল্প-১: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{p-x}=\frac{1}{q}\). দৃশ্যকল্প-২: \(\left(2x^3-\frac{1}{x}\right)^{20}\). ক. \(p=q=1\) হলে দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণটির মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর। ২ খ. দৃশ্যকল্প-১ -এ মূল্যদ্বয়ের অন্তর \(r\) হলে \(p, q\) এবং \(r\) এর মধ্যে একটি সম্পর্ক লিখ। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-2 -এর বিস্তৃতিতে \(x^{12}\) সম্বলিত পদের সহগ বের কর। ৪
৪।দৃশ্যকল্প-১: \(\sin^{-1}{\left(\frac{4}{5}\right)}+\cos^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}-\cot^{-1}{\left(\frac{2}{11}\right)}\) দৃশ্যকল্প-২: \(4(\sin^2{\theta}+\cos{\theta})=5, -2\pi<\theta<2\pi \). ক. প্রমাণ কর যে, \(2\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{(2x\sqrt{1-x^2})}\) ২ খ.দৃশ্যকল্প-১ এর মাণ নির্ণয় কর। ৪ গ.দৃশ্যকল্প-২: এ বর্ণিত সমীকরণটি সমাধান কর। ৪
খ বিভাগ- জ্যামিতি, বলবিদ্যা ও পরিসংখ্যান
৫।দৃশ্যকল্প-১: \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) দৃশ্যকল্প-২: \(4x^2-5y^2-16x+10y-9=0\). ক. \(x^2=-12y\) পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ বের কর। ২ খ. \(x-y-5=0\) রেখাটি দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকটিকে স্পর্শ করলে স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটি প্রমিত আকারে প্রকাশ করে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
৬।
\(P, Q, R\) বলত্রয় সমমুখী সমান্তরালভাবে ক্রিয়ারত। ক. \(60^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত দুইটি সমান বলের লব্ধি কত? ২ খ. বলত্রয়ের লব্ধি \(\triangle{ABC}\) এর অন্তঃকেন্দ্রগামী হলে, দেখাও যে, \(P:Q:R=\sin{A}:\sin{B}:\sin{C}\) ৪ গ. বলত্রয়ের লব্ধি \(\triangle{ABC}\) এর ভরকেন্দ্রগামী হলে, \(P, Q\) এবং \(R\) বলের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন কর। ৪
৭।দৃশ্যকল্প-১: একটি রেলগাড়ী পাশাপাশি দুইটি স্টেশনে থামে। স্টেশন দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(4\) কি.মি. এবং এক স্টেশন থেকে ওপর স্টেশনে যেতে সম্য লাগে \(8\) মিনিট। দৃশ্যকল্প-২: কোনো বস্তুকণা কোনো সরলরেখা বরাবর সমত্বরণে \(t_{1}, t_{2}\) এবং \(t_{3}\) সময়ে ধারাবাহিক গড়বেগ যথাক্রমে \(v_{1}, v_{2}\) এবং \(v_{3}.\) ক. আপেক্ষিক বেগ ব্যাখ্যা কর। ২ খ. দৃশ্যকল্প-১ এ রেলগাড়িটি যদি তার গতিপথের ১ম অংশ \(x\) সমত্বরণে এবং দ্বিতীয় অংশ \(y\) সমমন্দনে চলে তবে দেখাও যে, \(x+y=8xy\) ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, \(\frac{t_{1}+t_{2}}{v_{1}-v_{2}}=\frac{t_{2}+t_{3}}{v_{2}-v_{3}}\) ৪
৮। দৃশ্যকল্প-১: একটি ছক্কা ও দুইটি মূদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো। দৃশ্যকল্প-২: একটি গনণসংখ্যা নিবেশন ছকঃ
বয়স ( বছর )
\(20-30\)
\(30-40\)
\(40-50\)
\(50-60\)
\(60-70\)
শ্রমিক সংখ্যা
\(25\)
\(40\)
\(20\)
\(10\)
\(5\)
ক. \(P(A)=\frac{1}{3}\) এবং \(P(A\cap B)=\frac{1}{5}\) হলে \(P(B/A)\) কত? ২ খ. দৃশ্যকল্প-১: এর নমুনা ক্ষেত্র তৈরী করে নমুনা ক্ষেত্রে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা বের কর। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২: এর তথ্যের পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর। ৪
ঢাকা, দিনাজপুর, সিলেট ও যশোর শিক্ষা বোর্ড - ২০১৮
দ্বিতীয় পত্র
১। দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=3x+1\) দৃশ্যকল্প-২: \(|z-5|=3\) ক. \(\mathbb{R}\) ও \(\mathbb{C}\) দ্বারা কী বোঝায়? এদের মধ্যে সম্পর্ক কী? । ২ খ. \(2|f(x-2)|\le{1}\) এর সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও । ৪ গ. \(z=x+iy\) হলে দৃশ্যকল্প-২ এর সঞ্চারপথ জ্যমিতিকভাবে কী নির্দেশ কর? চিত্র আঁক। ৪
সমাধানঃ
ক. \(\mathbb{R}\) দ্বারা বাস্তব সংখ্যার সেটকে বোঝায়। \(\mathbb{C}\) দ্বারা জটিল সংখ্যার সেটকে বোঝায়।
\(\mathbb{R}\) ও \(\mathbb{C}\) এর মধ্যে সম্পর্ক হলো \(\mathbb{R}\subset{\mathbb{C}}\) খ. দেওয়া আছে, \(f(x)=3x+1\)
\(\therefore f(x-2)=3(x-2)+1\)
\(=3x-6+1\)
\(=3x-5\)
এখন,
\(2|f(x-2)|\le{1}\)
\(\Rightarrow 2|3x-5|\le{1}\)
\(\Rightarrow |3x-5|\le{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}\le{3x-5}\le{\frac{1}{2}}\) ➜ \(\because |a|\le{\alpha}\) হলে, \(-\alpha\le{a}\le{\alpha}\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}+5\le{3x-5+5}\le{\frac{1}{2}+5}\) ➜ প্রত্যেক পদের সহিত \(5\) যোগ করে।
\(\Rightarrow \frac{-1+10}{2}\le{3x}\le{\frac{1+10}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{2}\le{3x}\le{\frac{11}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{2\times{3}}\le{x}\le{\frac{11}{2\times{3}}}\) ➜ প্রত্যেক পদের সহিত \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{3}{2}\le{x}\le{\frac{11}{6}}\)
\(\therefore \frac{3}{2}\le{x}\le{\frac{11}{6}}\)
নির্ণেয় সমাধান সেট, \(S=\left\{x\in{\mathbb{R}}:\frac{3}{2}\le{x}\le{\frac{11}{6}}\right\}\)
সমাধান সেট নিম্নে সংখ্যারেখায় দেখানো হলোঃ গ. দেওয়া আছে, \(|z-5|=3\) এবং \(z=x+iy\)
\(\therefore |x+iy-5|=3\)
\(\Rightarrow |x-5+iy|=3\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-5)^2+(y)^2}=3\)
\(\Rightarrow (x-5)^2+(y)^2=3^2\)
\(\Rightarrow (x-5)^2+(y-0)^2=3^2\)
যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
এবং বৃত্তটির কেন্দ্র \((5, 0)\) ও ব্যসার্ধ \(3\) একক।
সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথটি একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র \((5, 0)\) ও ব্যসার্ধ \(3\) একক।
ছক কাগজে \(x\) অক্ষ ও \(y\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের \(2\) বাহু সমান \(1\) একক ধরে বৃত্তটি অঙ্কন করা হলো।
ঢাকা, দিনাজপুর, সিলেট ও যশোর শিক্ষা বোর্ড - ২০১৮
দ্বিতীয় পত্র
২। \(F_{1}\) ও \(F_{2}\) খাদ্যের প্রতি কেজিতে ভিটামিন \(C\) ও \(D\) এর পরিমাণ ও তাদের মূল্যের একটি ছকঃ
খাদ্য
ভিটামিন \(C\)
ভিটামিন \(D\)
প্রতি কেজির মূল্য
\(F_{1}\)
\(6\)
\(2\)
\(3\) টাকা
\(F_{2}\)
\(3\)
\(5\)
\(5\) টাকা
ক. যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের দুইটি সুবিধা উল্লেখ কর।২ খ. দৈনিক ভিটামিন \(C\) ও ভিটামিন \(D\) এর ন্যূনতম চাহিদা যথাক্রমে \(60\) একক ও \(50\) একক হলে কম খরচে দৈনিক ভিটামিন চাহিদা মেটানোর একটি যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম গঠন কর। ৪ গ. লেখচিত্রের সাহায্যে ২(খ) এ প্রাপ্ত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি সমাধান করে দৈনিক সর্বনিম্ন খরচ নির্ণয় কর। ৪
সমাধানঃ
ক. যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের দুইটি সুবিধা নিম্নরূপঃ
\((i.)\) সীমত অর্থ, কাঁচামাল, জনবল এবং যন্ত্র দক্ষতার সাথে সঠিক ব্যবহার ও কাঙ্ক্ষিত লক্ষ অর্জন।
\((ii.)\) তথ্য ও উপাত্তের ভিত্তিতে ভবিষ্যত উৎপাদনকে টেকসই ও অধিকতর লাভজনক করার জন্য দক্ষতা ও দূরদৃষ্টি বৃদ্ধিকরণ। খ. মনে করি , \(F_{1}\) খাবার \(x\) কেজি এবং \(F_{2}\) খাবার \(y\) কেজি প্রয়োজন।
দেওয়া আছে, \(F_{1}\) এবং \(F_{2}\) খাবারে ভিটামিন \(C\) আছে যথাক্রমে \(6\) একক ও \(3\) একক। দৈনিক ন্যূনতম ভিটামিন \(C\) প্রয়োজন \(60\) একক।
\(F_{1}\) ও \(F_{2}\) খাবারে ভিটামিন \(D\) আছে যথাক্রমে \(2\) একক ও \(5\) একক। দৈনিক ন্যূনতম ভিটামিন \(D\) প্রয়োজন \(50\) একক।
\(F_{1}\) খাবারের প্রতি কেজির দাম \(=3\)
\(F_{2}\) খাবারের প্রতি কেজির দাম \(=5\)
শর্তমতে,
অভীষ্ট ফাংশন, \(z=3x+5y\)
সীমাবদ্ধতার শর্তসমূহঃ
\(6x+3y\ge{60}\)
\(2x+5y\ge{50}\)
\(x\ge{0}, y\ge{0}\) গ.অভীষ্ট ফাংশন, \(z=3x+5y\)
সীমাবদ্ধতার শর্তসমূহঃ
\(6x+3y\ge{60}\)
\(2x+5y\ge{50}\)
\(x\ge{0}, y\ge{0}\)
প্রদত্ত অসমতাগুলোকে সমতা ধরে সমীকরণগুলোর লেখচিত্র অঙ্কন করি এবং সমীকরণের সম্ভাব্য অনুকূল এলাকা বের করি।
অতএব সমীকরণগুলোঃ
\(6x+3y=60\)
\(\Rightarrow \frac{6x}{60}+\frac{3y}{60}=1\)
\(\therefore \frac{x}{10}+\frac{y}{20}=1 ....(1)\)
\(2x+5y=50\)
\(\Rightarrow \frac{2x}{50}+\frac{5y}{50}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{25}+\frac{y}{10}=1 ....(2)\)
\(x=0 ....(3)\)
\(y=0 ....(4)\)
লেখচিত্র হতে দেখা যায় \((1)\) ও \((2)\) এর সকল বিন্দু এবং এদের যে পার্শে মূলবিন্দু তার বিপরীত পার্শের সকল বিন্দুর জন্য \(6x+3y\ge{60}\) এবং \(2x+5y\ge{50}\) সত্য। লেখচিত্র হতে পাই, সমাধানের সম্ভাব্য অনুকূল এলাকা \(\) হতে শুরু করে প্রথম চতুর্ভাগের ডানের সমস্ত এলাকা।
যেখানে \((25, 0)\) , \(\left(\frac{25}{4}, \frac{15}{2}\right)\) এবং \((0, 20)\)
এখন,
\(A(25, 0)\) বিন্দুতে \(z=3\times{25}+5\times{0}\)
\(=75+0\)
\(=75\)
\(B\left(\frac{25}{4}, \frac{15}{2}\right)\) বিন্দুতে \(z=3\times{\frac{25}{4}}+5\times{\frac{15}{2}}\)
\(=\frac{75}{4}+\frac{75}{2}\)
\(=\frac{75+150}{4}\)
\(=\frac{225}{4}\)
\(=56.25\)
এবং
\(A(0, 20)\) বিন্দুতে \(z=3\times{0}+5\times{20}\)
\(=0+100\)
\(=100\)
ইহা স্পষ্ট যে, \(B\left(\frac{25}{4}, \frac{15}{2}\right)\) বিন্দুতে \(z\) এর সর্বনিম্ন মাণ পাওয়া যায়।
\(\therefore\) দৈনিক সর্বনিম্ন খরচ \(=56.25\)
ঢাকা, দিনাজপুর, সিলেট ও যশোর শিক্ষা বোর্ড - ২০১৮
দ্বিতীয় পত্র
৩। দৃশ্যকল্প-১: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{p-x}=\frac{1}{q}\). দৃশ্যকল্প-২: \(\left(2x^3-\frac{1}{x}\right)^{20}\). ক. \(p=q=1\) হলে দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণটির মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর। ২ খ. দৃশ্যকল্প-১ -এ মূল্যদ্বয়ের অন্তর \(r\) হলে \(p, q\) এবং \(r\) এর মধ্যে একটি সম্পর্ক লিখ। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-2 -এর বিস্তৃতিতে \(x^{12}\) সম্বলিত পদের সহগ বের কর। ৪
\(=pq\)
প্রশ্নমতে, \(\alpha-\beta=\pm{r}\)
\(\Rightarrow (\alpha-\beta)^2=r^2\) ➜উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=r^2\) ➜\(\because (a-b)^2=(a+b)^2-4ab\)
\(\therefore p^2-4pq=r^2\)
ইহাই নির্ণেয় সম্পর্ক। গ. মনে করি, \(\left(2x^3-\frac{1}{x}\right)^{20}\) এর বিস্তৃতিতে \(r+1\) তম পদে \(x^{12}\) এর সহগ আছে।
এখন, \(r+1\) তম পদে \(=^{20}C_{r}(2x^3)^{20-r}\left(-\frac{1}{x}\right)^r\)
\(=^{20}C_{r}(2)^{20-r}(x)^{60-3r}(-1)^r\frac{1}{x^r}\)
\(=^{20}C_{r}(2)^{20-r}(x)^{60-4r}(-1)^r\)
যেহেতু পদটিতে \(x^{12}\) এর সহগ আছে।
\(\therefore 12=60-4r\)
\(\Rightarrow 4r=60-12\)
\(\Rightarrow 4r=48\)
\(\therefore r=12\)
\(\therefore x^{12}\) এর সহগ \(=^{20}C_{12}(2)^{20-12}(-1)^12\)
\(=\frac{20!}{(20-12)!12!}(2)^{8}.1\)
\(=\frac{20.19.18.17.16.15.14.13.12!}{8.7.6.5.4.3.2.1.12!}\times{256}\)
\(=32,248,320\)
ঢাকা, দিনাজপুর, সিলেট ও যশোর শিক্ষা বোর্ড - ২০১৮
দ্বিতীয় পত্র
৪।দৃশ্যকল্প-১: \(\sin^{-1}{\left(\frac{4}{5}\right)}+\cos^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}-\cot^{-1}{\left(\frac{2}{11}\right)}\) দৃশ্যকল্প-২: \(4(\sin^2{\theta}+\cos{\theta})=5, -2\pi<\theta<2\pi\). ক. প্রমাণ কর যে, \(2\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{(2x\sqrt{1-x^2})}\) ২ খ.দৃশ্যকল্প-১ এর মাণ নির্ণয় কর। ৪ গ.দৃশ্যকল্প-২: এ বর্ণিত সমীকরণটি সমাধান কর। ৪
সমাধানঃ
ক. মনে করি, \(A=\sin^{-1}{x}\)
\(\therefore \sin{A}=x\)
এবং \(\cos{A}=\sqrt{1-\sin^2{A}}\)
\(=\sqrt{1-x^2}\)
এখন, \(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)
\(\Rightarrow 2A=\sin^{-1}{2\sin{A}\cos{A}}\)
\(\therefore 2\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{2x\sqrt{1-x^2}}\) ➜
\(A=\sin^{-1}{x}\)
\(\sin{A}=x\)
\(\cos{A}=\sqrt{1-x^2}\)
৫।দৃশ্যকল্প-১: \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) দৃশ্যকল্প-২: \(4x^2-5y^2-16x+10y-9=0\). ক. \(x^2=-12y\) পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ বের কর। ২ খ. \(x-y-5=0\) রেখাটি দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকটিকে স্পর্শ করলে স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটি প্রমিত আকারে প্রকাশ করে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
৬।
\(P, Q, R\) বলত্রয় সমমুখী সমান্তরালভাবে ক্রিয়ারত। ক. \(60^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত দুইটি সমান বলের লব্ধি কত? ২ খ. বলত্রয়ের লব্ধি \(\triangle{ABC}\) এর অন্তঃকেন্দ্রগামী হলে, দেখাও যে, \(P:Q:R=\sin{A}:\sin{B}:\sin{C}\) ৪ গ. বলত্রয়ের লব্ধি \(\triangle{ABC}\) এর ভরকেন্দ্রগামী হলে, \(P, Q\) এবং \(R\) বলের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন কর। ৪
সমাধানঃ
ক. মনে করি, \(p\) মানের দুইটি সমান বল \(O\) বিন্দুতে পরস্পর \(60^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত। এই বলদ্বয়ের লব্ধি \(R\) একক হলে, বলের সামান্তরিক সূত্রানুসারে,
\(R=\sqrt{P^2+P^2+2.P.P\cos{60^{o}}}\)
\(=\sqrt{2P^2+2P^2\times{\frac{1}{2}}}\) ➜\(\because \cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)
\(=\sqrt{2P^2+P^2}\)
\(=\sqrt{3P^2}\)
\(=\sqrt{3}P\) একক।
ইহাই নির্ণেয় লব্ধি। খ. \(\triangle{ABC}\) এর \(A, B, C\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(P, Q, R\) মানের তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে। \(A, B, C\) কোণগুলির অন্তর্দিখন্ডক তিনটি পরস্পর \(I\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। এখানে, \(I\) হলো \(\triangle{ABC}\) এর অন্তঃকেন্দ্র।
এখন, \(B\) ও \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(Q\) ও \(R\) বলের লব্ধি \(Q+R\) বলটি \(BC\) রেখাস্ত \(D\) বিন্দুতে ক্রিয়া করবে। আবার, বল তিনটির লব্ধি অন্তঃকেন্দ্র \(I\) বিন্দুগামী। সুতরাং \(I\) বিন্দু \(AD\) রেখার উপর অবস্থান করবে।
অর্থাৎ \(AD\) রেখা \(A\) কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।
\(\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC} .....(1)\) ➜
\(\triangle{ABC}\) এর \(A\) কোণের সমদ্বিখন্ডক \(AD\) হলে,
\(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\)
কিন্তু লব্ধি \(D\) বিন্দুগামী হওয়ায় , \(Q.BD=R.CD\)
\(\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{R}{Q} .....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\frac{R}{Q}=\frac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow \frac{R}{AB}=\frac{Q}{AC}\)
\(\therefore \frac{Q}{AC}=\frac{R}{AB} .....(3)\)
অনুরূপভাবে,
\(\frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC} .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(\frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{AB}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{a}=\frac{Q}{b}=\frac{R}{c} ......(5)\) ➜
\(\triangle{ABC}\) এ
\(BC=a, AC=b, AB=c\)
আবার, \(\triangle{ABC}\) হতে সাইন সূত্রের সাহায্যে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=K\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sin{A}}=K, \frac{b}{\sin{B}}=K, \frac{c}{\sin{C}}=K\)
\(\therefore a=K\sin{A}, b=K\sin{B}, c=K\sin{C}\)
এখন, \(a=K\sin{A}, b=K\sin{B}, c=K\sin{C}\) মানগুলি \((5)\) এ বসিয়ে,
\(\frac{P}{K\sin{A}}=\frac{Q}{K\sin{B}}=\frac{R}{K\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{\sin{A}}=\frac{Q}{\sin{B}}=\frac{R}{\sin{C}}\) ➜ \(K\) দ্বারা গুণ করে।
\(\therefore P:Q:R=\sin{A}:\sin{B}:\sin{C}\)
( দেখানো হলো ) গ. মনে করি, \(\triangle{ABC}\) এর \(A, B, C\) তিনটি কৌণিক বিন্দুতে যথাক্রমে \(P, Q, R\) মানের তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত। এদের লব্ধি এই ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রে ক্রিয়ারত। যেহেতু \(A\) বিন্দুতে \(P\) বল এবং \(G\) বিন্দুতে লব্ধি বল \(R+P+Q\) ক্রিয়াশীল সুতরাং \(B\) ও \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(Q\) ও \(R\) সমান্তরাল বলদ্বয়ের লব্ধি \(BC\) ও \(AGD\) এর ছেদবিন্দু \(D\) তে ক্রিয়া করবে।
\(\therefore Q.BD=R.CD .....(1)\)
যেহেতু \(AD\) মধ্যমা \(\therefore BD=CD .....(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণকে \((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করি
\(\frac{Q.BD}{BD}=\frac{R.CD}{CD}\)
\(\therefore Q=R ....(3)\)
অনুরূপভাবে,
\(P=Q .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(P=Q=R\)
ইহাই নির্ণেয় সম্পর্ক।
ঢাকা, দিনাজপুর, সিলেট ও যশোর শিক্ষা বোর্ড - ২০১৮
দ্বিতীয় পত্র
৭।দৃশ্যকল্প-১: একটি রেলগাড়ী পাশাপাশি দুইটি স্টেশনে থামে। স্টেশন দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(4\) কি.মি. এবং এক স্টেশন থেকে ওপর স্টেশনে যেতে সম্য লাগে \(8\) মিনিট। দৃশ্যকল্প-২: কোনো বস্তুকণা কোনো সরলরেখা বরাবর সমত্বরণে \(t_{1}, t_{2}\) এবং \(t_{3}\) সময়ে ধারাবাহিক গড়বেগ যথাক্রমে \(v_{1}, v_{2}\) এবং \(v_{3}.\) ক. আপেক্ষিক বেগ ব্যাখ্যা কর। ২ খ. দৃশ্যকল্প-১ এ রেলগাড়িটি যদি তার গতিপথের ১ম অংশ \(x\) সমত্বরণে এবং দ্বিতীয় অংশ \(y\) সমমন্দনে চলে তবে দেখাও যে, \(x+y=8xy\) ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, \(\frac{t_{1}+t_{2}}{v_{1}-v_{2}}=\frac{t_{2}+t_{3}}{v_{2}-v_{3}}\) ৪
সমাধানঃ
ক. দুইটি গতিশীল বস্তুকণার প্রথমটির সাপেক্ষে দ্বিতীয়টির সরণের পরিবর্তনের হারকে প্রথম বস্তুকণার সাপেক্ষে দ্বিতীয় বস্তুকণার আপেক্ষিক বেগ বলা হয়। মনে করি \(A\) ও \(B\) দুইটি গতিশীল বস্তুকণা। \(A\) বস্তুকণা হতে \(B\) বস্তুকণাকে পর্যবেক্ষণ করলে যে বেগ পরিলক্ষিত হয় তা হবে \(A\) বস্তুকণার সাপেক্ষে \(B\) বস্তুকণার আপেক্ষিক বেগ। খ. মনে করি, রেলগাড়ির সর্বাধিক বেগ \(=v\) কি.মি./মিনিট
ধরি, \(t_{1}\) ও \(t_{2}\) মিনিট ধরে যথাক্রমে \(x\) সমত্বরণে ও \(y\) সমমন্দনে চলে এবং \(s_{1}\) ও \(s_{2}\) কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে।
তাহলে, \(s_{1}+s_{2}=4\) কি.মি. এবং \(t_{1}+t_{2}=8\) মিনিট।
\(\therefore \) গড়বেগ,
\(\frac{s_{1}}{t_{1}}=\frac{0+v}{2}\)
\(\therefore s_{1}=\frac{v}{2}t_{1} .....(1)\)
আবার,
\(\frac{s_{2}}{t_{2}}=\frac{v+0}{2}\)
\(\therefore s_{2}=\frac{v}{2}t_{2} .....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে।
\(s_{1}+s_{2}=\frac{v}{2}t_{1}+\frac{v}{2}t_{2}\)
\(\Rightarrow s_{1}+s_{2}=\frac{v}{2}(t_{1}+t_{2})\)
\(\Rightarrow 4=\frac{v}{2}\times{8}, \because s_{1}+s_{2}=4, t_{1}+t_{2}=8\)
\(\Rightarrow 4=4v\)
\(\Rightarrow 4v=4\)
\(\therefore v=1\) কি.মি./মিনিট
আবার,
\(v=u+ft\)
\(\Rightarrow 1=0+xt_{1}, \because v=1, f=x, t=t_{1}\)
\(\Rightarrow xt_{1}=1\)
\(\therefore t_{1}=\frac{1}{x} .....(3)\)
আবার,
\(v=u-ft\)
\(\Rightarrow 0=v-ft\) এখানে, শেষবেগ \(=0\) এবং আদিবেগ \(=v\)
\(\Rightarrow 0=1-yt_{2}, \because v=1, f=y, t=t_{2}\)
\(\Rightarrow yt_{2}=1\)
\(\therefore t_{2}=\frac{1}{y} .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) যোগ করে।
\(t_{1}+t_{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(\Rightarrow 8=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \because t_{1}+t_{2}=8\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=8\)
\(\Rightarrow \frac{x+y}{xy}=8\)
\(\therefore x+y=8xy\)
( দেখানো হলো ) গ. মনে করি, \(f\) সমত্বরণে চলমান একটি বস্তুকণা \(A\) বিন্দু থেকে \(u\) আদিবেগে যাত্রা করে \(t_{1}, t_{2}, t_{t}\) সময়ে যথাক্রমে \(B, C, D\) বিন্দুতে \(u_{1}, u_{2}, u_{t}\) বেগ প্রাপ্ত হয়।
\(\therefore u_{1}=u+ft_{1} .....(1)\)
আবার,
\(u_{2}=u_{1}+ft_{2}\)
\(\Rightarrow u_{2}=u+ft_{1}+ft_{2} .....(2), \because u_{1}=u+ft_{1}\)
আবার,
\(u_{3}=u_{2}+ft_{3}\)
\(\Rightarrow u_{3}=u+ft_{1}+ft_{2}+ft_{3} .....(3), \because u_{2}=u+ft_{1}+ft_{2}\)
এখন,
\(v_{1}=\frac{u+u_{1}}{2}\)
\(v_{2}=\frac{u_{1}+u_{2}}{2}\)
\(v_{3}=\frac{u_{2}+u_{3}}{2}\)
\(\therefore v_{1}-v_{2}=\frac{u+u_{1}}{2}-\frac{u_{1}+u_{2}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{1}-v_{2}=\frac{u+u_{1}-u_{1}-u_{2}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{1}-v_{2}=\frac{u-u_{2}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{1}-v_{2}=\frac{u-u-ft_{1}-ft_{2}}{2}, (2)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow v_{1}-v_{2}=\frac{-ft_{1}-ft_{2}}{2}\)
\(\therefore v_{1}-v_{2}=\frac{-f(t_{1}+t_{2})}{2} .......(4)\)
আবার,
\(\therefore v_{2}-v_{3}=\frac{u_{1}+u_{2}}{2}-\frac{u_{2}+u_{3}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{2}-v_{3}=\frac{u_{1}+u_{2}-u_{2}-u_{3}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{2}-v_{3}=\frac{u_{1}-u_{3}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{2}-v_{3}=\frac{u+ft_{1}-u-ft_{1}-ft_{2}-ft_{3}}{2}, (1)\) ও \((3)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow v_{2}-v_{3}=\frac{-ft_{2}-ft_{3}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{2}-v_{3}=\frac{-f(t_{2}+t_{3})}{2} .....(5)\)
\((5)\) কে \((4)\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\frac{v_{2}-v_{3}}{v_{1}-v_{2}}=\frac{\frac{-f(t_{2}+t_{3})}{2}}{\frac{-f(t_{1}+t_{2})}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{v_{2}-v_{3}}{v_{1}-v_{2}}=\frac{-f(t_{2}+t_{3})}{2}\times{\frac{2}{-f(t_{1}+t_{2})}}\)
\(\Rightarrow \frac{v_{2}-v_{3}}{v_{1}-v_{2}}=\frac{t_{2}+t_{3}}{t_{1}+t_{2}}\)
\(\therefore \frac{t_{1}+t_{2}}{v_{1}-v_{2}}=\frac{t_{2}+t_{3}}{v_{2}-v_{3}}\)
( প্রমাণিত )
ঢাকা, দিনাজপুর, সিলেট ও যশোর শিক্ষা বোর্ড - ২০১৮
দ্বিতীয় পত্র
৮। দৃশ্যকল্প-১: একটি ছক্কা ও দুইটি মূদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো। দৃশ্যকল্প-২: একটি গনণসংখ্যা নিবেশন ছকঃ
বয়স ( বছর )
\(20-30\)
\(30-40\)
\(40-50\)
\(50-60\)
\(60-70\)
শ্রমিক সংখ্যা
\(25\)
\(40\)
\(20\)
\(10\)
\(5\)
ক. \(P(A)=\frac{1}{3}\) এবং \(P(A\cap B)=\frac{1}{5}\) হলে \(P(B/A)\) কত? ২ খ. দৃশ্যকল্প-১: এর নমুনা ক্ষেত্র তৈরী করে নমুনা ক্ষেত্রে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা বের কর। ৪ গ. দৃশ্যকল্প-২: এর তথ্যের পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর। ৪
সমাধানঃ
ক. দেওয়া আছে, \(P(A)=\frac{1}{3}\) এবং \(P(A\cap B)=\frac{1}{5}\)
শর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞানুযায়ী,
\(P(B/A)= \frac{P(A\cap{B})}{P(A)}\)
\(=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{5}\times{\frac{3}{1}}\)
\(=\frac{3}{5}\)
ইহাই নির্ণেয় মাণ। খ. দুইটি মূদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপের নমুনা ক্ষেত্র নিম্নরূপঃ
একটি ছক্কার নমুনা ক্ষেত্র
দুইটি মূদ্রার নমুনা ক্ষেত্র
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(5\)
\(6\)
\(HH\)
\(HH1\)
\(HH2\)
\(HH3\)
\(HH4\)
\(HH5\)
\(HH6\)
\(HT\)
\(HT1\)
\(HT2\)
\(HT3\)
\(HT4\)
\(HT5\)
\(HT6\)
\(TH\)
\(TH1\)
\(TH2\)
\(TH3\)
\(TH4\)
\(TH5\)
\(TH6\)
\(TT\)
\(TT1\)
\(TT2\)
\(TT3\)
\(TT4\)
\(TT5\)
\(TT6\)
নমুনা ক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা,
\(n(S)=24\)
নমুনা ক্ষত্রে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার অনুকূল নমুনা ক্ষেত্র
\(=\{HH1, HT1, TH1, TT1, HH3, HT3, TH3, TT3, HH5, HT5, TH5, TT5\}\)
নমুনা ক্ষত্রে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=12\)
নমুনা ক্ষত্রে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{12}{24} \)
\(=\frac{1}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় সম্ভাবনা। গ. প্রদত্ত সমস্যার সমাধানকল্পে নিচে একটি সারণি তৈরী করা হলোঃ
৫। বিস্তার পরিমাপে অনপেক্ষ (Absolute) পরিমাপ কোনটি? ক বিভেদাংক খ চতুর্থক ব্যবধান গ পরিসরাংক ঘ গড় ব্যবধাংক
পরম বা অনপেক্ষ বিস্তার পরিমাপঃ কোনো নিবেশনের কেন্দ্রীয় মাণ হতে অন্যান্য মানসমূহের ব্যবধানের গড় যা নিবেশনের মানসমূহের মূল এককে প্রকাশিত হয়, ইহাই পরম বা অনপেক্ষ বিস্তার পরিমাপ। পরম বা অনপেক্ষ বিস্তার পরিমাপ চার প্রকার। যথাঃ
\((1)\) পরিসর
\((2)\) গড় ব্যবধান
\((3)\) পরিমিত ব্যবধান
\((4)\) চতুর্থক ব্যবধান
উত্তরঃ ( খ )
৮। সম্ভাব্যতায় \(A\) ঘটনা এবং এর পূরক ঘটনা \(A^{c}\)-এর ক্ষেত্রে কোনটি সত্য? ক \(1>P(A)>0\) খ \(1>P(A^{c})\ge 0\) গ \(1>P(A^{c})>0\) ঘ \(1\ge P(A)\ge 0\)
সম্ভাবনার পূরক সূত্রঃ যে কোনো দৈব্য পরীক্ষণে একটি ঘটনা ঘটা ও না ঘটার সমষ্টি \(1\) (এক)।
অর্থাৎ \(S\) সসীম নমুনাক্ষেত্রের একটি ঘটনা \(A\) এবং ঐ ঘটনা না ঘটা \(A^{c}\) হলে, \(P(A)+P(A^{c})=1\)
ইহা স্পষ্ট যে ঘটনাটি একবার ঘটতে পারে অথবা তা ঘটবে না। অর্থাৎ \(P(A)\) ও \(P(A^{c})\) এর মাণ ভগ্নাংশ হতে পারে না।
যদি ঘটনাটি ঘটে তবে, \(P(A)=1, P(A^{c})=0 \)
আবার,
যদি ঘটনাটি না ঘটে তবে, \(P(A)=0, P(A^{c})=1\)
তাহলে,
\(1\ge P(A)\ge 0\)
উত্তরঃ ( ঘ )
উদ্দীপকটি লক্ষ কর এবং ১০ এবং ১১ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ-
যেখানে \(x\ge 0, \ y\ge 0\)
১০। \(AC\) রেখা সংশ্লিষ্ট অসমতা কোনটি? ক \(x>1\) খ \(x\ge 1\) গ \(y\ge -2\) ঘ \(y>1\)
চিত্র হতে,
\(AC\) এর সমীকরণ \(x-1=0\)
চিত্রে, \(AC\) রেখাস্থ এবং এর যে পার্শে মূলবিন্দু আছে তার বিপরীত পার্শের এলাকা বুঝানো হয়েছে।
\(\therefore\) অসমতাটি হবে \(x-1\ge{0}\)
\(\Rightarrow x\ge{1}\)
উত্তরঃ ( খ )
১১। অভিষ্ট এলাকায় \(z=x-y\)-এর সর্বনিম্ন মাণ কত? ক \(-2\) খ \(0\) গ \(1\) ঘ \(2\)
\(z=x-y\)-এর মাণ সর্বনিম্ন হবে, যখন \(x\) এর মাণ সর্বনিম্ন এবং \(y\) এর মাণ সর্বোচ্চ হবে।
চিত্রে হতে প্রাপ্ত বিন্দুগুলির মধ্যে \((1, 1)\) বিন্দুতে \(x\) এর মাণ সর্বনিম্ন এবং \(y\) এর মাণ সর্বোচ্চ।
অভীষ্ট ফাংশনের সর্বনিম্ন মাণ \(z=1-1\)
\(\Rightarrow z=0\)
উত্তরঃ ( খ )
১৫। ভূমি হতে \(v\) বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর সর্বাধিক উচ্চতা নিচের কোনটি? ক \(\frac{v}{g}\) খ \(\frac{v}{2g}\) গ \(\frac{v^2}{g}\) ঘ \(\frac{v^2}{2g}\)
ভূমি হতে \(v\) বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর সর্বাধিক উচ্চতাঃ
\(\frac{v^2}{2g}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৬। দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(\frac{1}{2-\sqrt{5}}\) হলে অপর মূল কোনটি? ক \(-2-\sqrt{5}\) খ \(2-\sqrt{5}\) গ \(-2+\sqrt{5}\) ঘ \(2+\sqrt{5}\)
দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(\frac{1}{2-\sqrt{5}}\) হলে অপর মূল,
\(\frac{1}{2+\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{2-\sqrt{5}}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}\)
\(\Rightarrow \frac{2-\sqrt{5}}{2^2-(\sqrt{5})^2}\)
\(\Rightarrow \frac{2-\sqrt{5}}{4-5}\)
\(\Rightarrow \frac{2-\sqrt{5}}{-1}\)
\(\therefore -2+\sqrt{5}\)
উত্তরঃ ( গ )
১৭। \(\frac{u}{\sqrt{3}}\) বেগে \(30^{o}\) কোণে প্রক্ষিপ্ত কণার সর্বোচ্চ উচ্চতায় বেগ কত একক/সেঃ? ক \(\frac{2u}{\sqrt{3}}\) খ \(\frac{2u}{\sqrt{3}}\) গ \(\frac{u}{2}\) ঘ \(\frac{u}{2\sqrt{2}}\)
সর্বোচ্চ উচ্চতায় কণাটির বেগের আনুভূমিক উপাংশ ক্রিয়া করবে এবং উল্লম্ব উপাংশ হবে শূন্য।
সর্বোচ্চ উচ্চতায় আনুভূমিক উপাংশ \(=\frac{u}{\sqrt{3}}\cos{30^{o}}\)
\(=\frac{u}{\sqrt{3}}\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(=\frac{u}{2}\)
সর্বোচ্চ উচ্চতায় বেগ \(=v\) হলে,
\(v^2=\left(\frac{u}{2}\right)^2+0^2\)
\(\therefore v=\sqrt{\left(\frac{u}{2}\right)^2+0}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{u}{2}\right)^2}\)
\(=\frac{u}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
১৮। কোন ফাংশনটি বহুপদী? ক \(2x^2-5\sqrt{x}+1\) খ \(x^3-\frac{3}{x^2}+4x+1\) গ \(x^3+2x^2-3x+x^{-1}\) ঘ \(2x^2-x+1\)
বহুপদীঃ যে বীজগাণিতিক রাশি এক বা একাধিক পদবিশিষ্ট এবং পদগুলি এক বা একাধিক চলকের শুধুমাত্র অঋণাত্মক পূর্ণসাংখিক ঘাত ও ধ্রুবকের গুনফল হয় সেটিকেই বহুপদী বলে।
বহুপদী হওয়ার শর্তঃ
\((1)\) চলকের ঘাত অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হবে।
\((2)\) পদসংখ্যা হবে সসীম।
উপরোক্ত সকল শর্ত সিদ্ধ করে \(2x^2-x+1\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২০। কণিকটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নিচের কোনটি? ক \(9\) খ \(2\sqrt{3}\) গ \(\frac{8}{3}\) ঘ \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
\(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1\) একটি অধিবৃত্ত।
এখানে, \(a^2=3, b^2=2; \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\left|\frac{2b^2}{a}\right|; \because \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\left|\frac{2b^2}{a}\right|\)
\(=\left|\frac{2\times{2}}{\sqrt{3}}\right|, \because a^2=3\Rightarrow a=\sqrt{3}, b^2=2\)
\(=\frac{4}{\sqrt{3}}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২১। \(0, 1, 2, 4, 5, 10\) সংখ্যাগুলো হতে দৈব্যভাবে একটি নিলে তার মৌলিক ও জোড় হওয়ার সম্ভাবনা কত? ক \(\frac{1}{6}\) খ \(\frac{2}{3}\) গ \(\frac{1}{3}\) ঘ \(\frac{5}{6}\)
\(0, 1, 2, 4, 5, 10\) সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক ও জোড় সংখ্যা আছে একটি \(2\)
মোট সংখ্যা \(6\) টি।
দৈব্যভাবে একটি নিলে তার মৌলিক ও জোড় হওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{1}{6}\)
উত্তরঃ ( ক )