ক. দেওয়া আছে, \(2\begin{bmatrix}1 & -2\\2 & -1\end{bmatrix}+F=I_{2}\)
\(\Rightarrow 2\begin{bmatrix}1 & -2\\2 & -1\end{bmatrix}+F=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\) ➜Note \(\because I_{2}=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}2 & -4\\4 & -2\end{bmatrix}+F=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow F=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2 & -4\\4 & -2\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow F=\begin{bmatrix}1-2 & 0-(-4)\\0-4 & 1-(-2)\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow F=\begin{bmatrix}-1 & 0+4\\-4 & 1+2\end{bmatrix}\)
\(\therefore F=\begin{bmatrix}-1 & 4\\-4 & 3\end{bmatrix}\)
খ. দেওয়া আছে,
\(x+y+z=1 .......(i)\)
\(lx+my+nz=k .......(ii)\)
\(l^2x+m^2y+n^2z=k^2 .......(iii)\)
ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ করে,
\(\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\l & m & n\\l^2 & m^2 & n^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\y \\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\k \\ k^2\end{bmatrix}\)
\(\therefore AX=B\)
যেখানে, \(A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\l & m & n\\l^2 & m^2 & n^2\end{bmatrix}, \ X=\begin{bmatrix}x \\y \\ z\end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}1 \\k \\ k^2\end{bmatrix}\)
এখন, \(det(A)=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1\\l & m & n\\l^2 & m^2 & n^2\end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c}1-1 & 1-1 & 1\\l-m & m-n & n\\l^2-m^2 & m^2-n^2 & n^2\end{array}\right|\) ➜Note \(C_{1}^{\prime}=C_{1}-C_{2}\)
\(C_{2}^{\prime}=C_{2}-C_{3}\)

\(=\left|\begin{array}{c}0 & 0 & 1\\l-m & m-n & n\\l^2-m^2 & m^2-n^2 & n^2\end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c}l-m & m-n\\l^2-m^2 & m^2-n^2\end{array}\right|\) ➜Note \(1\) এর সহগুনক নিয়ে,
\(=\left|\begin{array}{c}l-m & m-n\\(l-m)(l+m) & (m-n)(m+n)\end{array}\right|\)
\(=(l-m)(m-n)\left|\begin{array}{c}1 & 1\\l+m & m+n\end{array}\right|\)
\(=(l-m)(m-n)\{(m+n)-(l+m)\}\)
\(=(l-m)(m-n)\{m+n-l-m\}\)
\(=(l-m)(m-n)(n-l)\)
\(\therefore det(A)=(l-m)(m-n)(n-l)\)
দেখানো হলো।
গ. দেওয়া আছে,
\(x+y+z=1 .......(i)\)
\(lx+my+nz=k .......(ii)\)
\(l^2x+m^2y+n^2z=k^2 .......(iii)\)
\((i), \ (ii)\) ও \((iii)\) নং সমীকরণ হতে \(x, \ y\) ও \(z\) এর সহগ নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স ,
\(A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\l & m & n\\l^2 & m^2 & n^2\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 2 & -1\\1^2 & 2^2 & (-1)^2\end{bmatrix}\) ➜Note \(\because l=1, \ m=2, \ n=-1\)
\(=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 2 & -1\\1 & 4 & 1\end{bmatrix}\)
\(\therefore|A|=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & \ \ 1\\1 & 2 & -1\\1 & 4 & \ \ 1\end{array}\right|\)
\(=1\{2\times{1}-(-1)\times{4}\}-1\{1\times{1}-(-1)\times{1}\}+1\{1\times{4}-2\times{1}\}\)
\(=1\{2+4\}-1\{1+1\}+1\{4-2\}\)
\(=1\{6\}-1\{2\}+1\{2\}\)
\(=6-2+2\)
\(=6\ne{0}\)
\(\therefore A^{-1}\) নির্ণয়যোগ্য।
\(A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c}2 & -1\\4 & \ \ 1\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{2}\{2\times{1}-(-1)\times{4}\}\)
\(=\{2+4\}\)
\(=6\)
\(A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c}1 & -1\\1 & \ \ 1\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}\{1\times{1}-(-1)\times{1}\}\)
\(=-\{1+1\}\)
\(=-2\)
\(A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c}1 & 2\\1 & 4\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}\{1\times{4}-2\times{1}\}\)
\(=\{4-2\}\)
\(=2\)
\(A_{21}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c}1 & 1\\4 & 1\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}\{1\times{1}-1\times{4}\}\)
\(=-\{1-4\}\)
\(=3\)
\(A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}\{1\times{1}-1\times{1}\}\)
\(=\{1-1\}\)
\(=0\)
\(A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c}1 & 1\\1 & 4\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}\{1\times{4}-1\times{1}\}\)
\(=-\{4-1\}\)
\(=-3\)
\(A_{31}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c}1 & \ \ 1\\2 & -1\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}\{1\times{(-1)}-1\times{2}\}\)
\(=\{-1-2\}\)
\(=-3\)
\(A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c}1 & \ \ 1\\1 & -1\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}\{1\times{(-1)}-1\times{1}\}\)
\(=-\{-1-1\}\)
\(=2\)
\(A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c}1 & 1\\1 & 2\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{6}\{1\times{2}-1\times{1}\}\)
\(=\{2-1\}\)
\(=1\)
\(\therefore adj{A}=\begin{bmatrix}\ \ 6 & -2 & \ \ 2\\ \ \ 3 & \ \ 0 & -3\\-3 & \ \ 2 & \ \ 1\end{bmatrix}^{t}\)
এখন, \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj{A}\)
\(=\frac{1}{6}\begin{bmatrix} \ \ 6 & -2 & \ \ 2\\ \ \ 3 & \ \ 0 & -3\\-3 & \ \ 2 & \ \ 1\end{bmatrix}^{t}\)
\(=\frac{1}{6}\begin{bmatrix} \ \ 6 & \ \ 3 & -3\\-2 & \ \ 0 & \ \ 2\\ \ \ 2 & -3 & \ \ 1\end{bmatrix}\)
ইহাই \(A\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স।

ক. দেওয়া আছে, \(f(x)=2x-5\) এবং \(g(x)=x^2+6\)
\(\therefore (gof)(2)=g\{f(2)\}\)
\(=\{f(2)\}^2+6\) ➜Note \(\because g(x)=x^2+6\)
\(=\{2\times{2}-5\}^2+6\) ➜Note \(\because f(x)=2x-5\)
\(=\{4-5\}^2+6\)
\(=\{-1\}^2+6\)
\(=1+6\)
\(=7\)
খ. ১ম স্থান অর্থাৎ \(SYLHET\) শব্দটিতে মোট \(6\) টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর আছে।
সবগুলি অক্ষর একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(=^{6}P_{6}\)
\(=6!\)
\(=6.5.4.3.2.1\)
\(=720\)
আবার, ২য় স্থান অর্থাৎ \(BANDARBAN\) শব্দটিতে মোট \(9\) অক্ষর আছে। তার মধ্যে \(3\) টি \(A, \ 2\) টি \(B, \ 2\) টি \(N\) এবং অবশিষ্ট অক্ষরগুলি ভিন্ন।
সবগুলি অক্ষর একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{9!}{3!2!2!}\)
\(=\frac{9.8.7.6.5.4.3!}{3!2\times{2}}\)
\(=\frac{9.8.7.6.5.4}{4}\)
\(=9.8.7.6.5\)
\(=15120\)
\(=21\times{720}\)
\(=21\times\) ১ম স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যা
\(\therefore \) ২য় স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যা ১ম স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যার \(21\) গুণ।
দেখানো হলো।
গ. দুইটি গাড়িতে \(10\) জন শিক্ষার্থী ভ্রমণ করতে পারবে নিম্নলিখিত উপায়েঃ

১ম গাড়ি ( সর্বোচ্চ \(7\) জন )	২য় গাড়ি ( সর্বোচ্চ \(4\) জন )
\(7\)	\(3\)
\(6\)	\(4\)

দলটির মোট ভ্রমণ করতে পারার উপায়ঃ
\(=^{10}C_{7}\times{^{3}C_{3}}+^{10}C_{6}\times{^{4}C_{4}}\)
\(=\frac{10!}{(10-7)!7!}\times{\frac{3!}{(3-3)!3!}}+\frac{10!}{(10-6)!6!}\times{\frac{4!}{(4-4)!4!}}\)
\(=\frac{10.9.8.7!}{3!7!}\times{\frac{3!}{0!3!}}+\frac{10.9.8.7.6!}{4!6!}\times{\frac{4!}{0!4!}}\)
\(=\frac{10.9.8}{3.2.1}\times{1}+\frac{10.9.8.7}{4.3.2.1}\times{1}\)
\(=120+210\)
\(=330\)

ক. \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}6 & 3 & 2 & 6\\ 3 & 5 & 1 & 3\end{array}\right|\) ➜Note \(A(x_{1}, y_{1}), \ B(x_{2}, y_{2}), \ C(x_{3}, y_{3})\) হলে,
\(\triangle{ABC}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{1}\\ y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{1}\end{array}\right|\)

\(=\frac{1}{2}\{(30-9)+(3-10)+(6-6)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{21-7+0\}\)
\(=\frac{1}{2}\{14\}\)
\(=7\) বর্গ একক।
খ. দেওয়া আছে, \(D, \ BC\) এর মধ্যবিন্দু এবং \(B(2, 1), \ C(6, 3)\)
\(\therefore D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{2+6}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) ➜Note \(A(x_{1}, y_{1}), \ B(x_{2}, y_{2})\) হলে,
\(AB\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

\(\Rightarrow \left(\frac{8}{2}, \frac{4}{2}\right)\)
\(\therefore D(4, 2)\)
\(\triangle{ABC}\) এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(G\left(\frac{3+2+6}{3}, \frac{5+1+3}{3}\right)\) ➜Note \(A(x_{1}, y_{1}), \ B(x_{2}, y_{2}), \ C(x_{3}, y_{3})\) হলে,
\(\triangle{ABC}\) এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক,
\(G\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)

\(\Rightarrow G\left(\frac{11}{3}, \frac{9}{3}\right)\)
\(\therefore G\left(\frac{11}{3}, 3\right)\)
ধরি, \(G, \ AD\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore G\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{m\times{4}+n\times{3}}{m+n}, \frac{m\times{2}+n\times{5}}{m+n}\right)\) ➜Note \(A(x_{1}, y_{1}), \ B(x_{2}, y_{2})\) হলে,
\(AB\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর স্থানাঙ্ক,
\(\left(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n}\right)\)

\(\therefore G\left(\frac{4m+3n}{m+n}, \frac{2m+5n}{m+n}\right)\)
\(\therefore G\left(\frac{4m+3n}{m+n}, \frac{2m+5n}{m+n}\right)\Rightarrow G\left(\frac{11}{3}, 3\right)\)
\(\Rightarrow \frac{4m+3n}{m+n}=\frac{11}{3}, \frac{2m+5n}{m+n}=3\)
\(\Rightarrow 12m+9n=11m+11n\)
\(\Rightarrow 12m-11m=11n-9n\)
\(\Rightarrow m=2n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=2\)
\(\therefore m:n=2:1\)
\(\therefore G\) বিন্দুটি \(AD\) রেখাকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
দেখানো হলো।
গ. দেওয়া আছে, \(B(2, 1), \ C(6, 3)\)
\(BC\) এর সমীকরণ, \(\frac{x-2}{2-6}=\frac{y-1}{1-3}\) ➜Note \(A(x_{1}, y_{1}), \ B(x_{2}, y_{2})\) হলে,
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{x-2}{-4}=\frac{y-1}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{2}=y-1\)
\(\Rightarrow x-2=2y-2\)
\(\Rightarrow x-2y-2+2=0\)
\(\therefore x-2y=0 ...(1)\)
\((1)\) নং রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব রেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ...(2)\) ➜Note \(ax+by+c=0\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখার সমীকরণ,
\(bx-ay+k=0\) এখানে, \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।

\((2)\) নং রেখা \((2, 1)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 2\times{2}+1+k=0\)
\(\Rightarrow 4+1+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\((2)\) হতে,
\(2x+y-5=0 ...(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) নং সরলরেখার অন্তর্গত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x-2y}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\pm{\frac{2x+y-5}{\sqrt{2^2+1^2}}}\) ➜Note \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0, \ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) সরলরেখাদ্বয়ের
অন্তর্গত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_{1}^2+b_{1}^2}}=\pm{\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_{2}^2+b_{2}^2}}}\)

\(\Rightarrow \frac{x-2y}{\sqrt{1+4}}=\pm{\frac{2x+y-5}{\sqrt{4+1}}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2y}{\sqrt{5}}=\pm{\frac{2x+y-5}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow x-2y=\pm{(2x+y-5)}\)
\(\Rightarrow x-2y=2x+y-5, \ x-2y=-2x-y+5\)
\(\Rightarrow x-2y-2x-y+5=0, \ x-2y+2x+y-5=0\)
\(\Rightarrow -x-3y+5=0, \ 3x-y-5=0\)
\(\therefore x+3y-5=0, \ 3x-y-5=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ

ক. দেওয়া আছে, \(\overline{P}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}, \ \overline{Q}=3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\therefore \overline{P}+\overline{Q}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}+3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}\)
\(=4\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}\)
এবং \(\overline{P}-\overline{Q}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}-(3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k})\)
\(=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}-3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}\)
\(=-2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\)
এখন, \((\overline{P}+\overline{Q}).(\overline{P}-\overline{Q})=(4\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}).(-2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})\)
\(=4(-2)+(-3)(-1)+(-5)(-1)\)
\(=-8+3+5\)
\(=-8+8\)
\(=0\)
\(\therefore (\overline{P}+\overline{Q})\) ও \((\overline{P}-\overline{Q})\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব।
দেখানো হলো।
খ. দেওয়া আছে, বৃত্তের কেন্দ্র \(C(4, k)\)
চিত্র হতে, বৃত্তেটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
\(\therefore r=h=k\) ➜Note যদি কোনো বৃত্ত উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে তবে,
কেন্দ্রের উভয় স্থানাঙ্ক ব্যসার্ধের সমান হয়।

\(\Rightarrow r=4=k\)
\(\Rightarrow k=4\)
\(\therefore C(4, 4)\)
\(E\) ও \(F\) বিন্দু বৃত্তের পরিধির উপর \(x\) ও \(y\) অক্ষে অবস্থিত।
\(\therefore E(4, 0), \ F(0, 4)\)
\(E(4, 0)\) ও \(F(0, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-4)(x-0)+(y-0)(y-4)+k\{(x-4)(0-4)\)\(-(y-0)(4-0)\}=0\) ➜Note দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})\)\(+k\{(x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\}=0\) ( খলিফার নিয়ম। )
\(\Rightarrow x(x-4)+y(y-4)+k\{-4(x-4)-4y\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+y^2-4y+k\{-4x+16-4y\}=0\)
\(\therefore x^2+y^2-4x-4y-4k(x+y-4)=0 .....(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(C(4, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 4^2+4^2-4\times{4}-4\times{4}-4k(4+4-4)=0\)
\(\Rightarrow 16+16-16-16-4k(4)=0\)
\(\Rightarrow -16k=0\)
\(\therefore k=0\)
\((1)\) হতে,
\(\therefore x^2+y^2-4x-4y-4.0(x+y-4)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-4y-0=0\)
\(\therefore x^2+y^2-4x-4y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
গ. প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-4)^2+(y-4)^2=4^2\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2-8y+16=16\)
\(\therefore x^2+y^2-8x-8y+16=0 .....(1)\)
এখানে, \(2g=-8, \ 2f=-8, \ c=16\)
\(\therefore g=-4, \ f=-4, \ c=16\)
\((1)\) নং বৃত্তের \(\left(\frac{8}{5}, \frac{4}{5}\right)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x\times{\frac{8}{5}}+y\times{\frac{4}{5}}+(-4)\left(x+\frac{8}{5}\right)+(-4)\left(y+\frac{4}{5}\right)+16=0\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের ,
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x\times{x_{1}}+y\times{y_{1}}+g(x+x_{1})+f(y+y_{1})+c=0\)

\(\Rightarrow \frac{8x}{5}+\frac{4y}{5}-4\left(x+\frac{8}{5}\right)-4\left(y+\frac{4}{5}\right)+16=0\)
\(\Rightarrow \frac{8x}{5}+\frac{4y}{5}-4x-\frac{32}{5}-4y-\frac{16}{5}+16=0\)
\(\Rightarrow 8x+4y-20x-32-20y-16+80=0\)
\(\Rightarrow -12x-16y-48+80=0\)
\(\Rightarrow -12x-16y+32=0\)
\(\Rightarrow -4(3x+4y-8)=0\)
\(\therefore 3x+4y-8=0 .....(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+4y+k=0 .....(3)\)
\((3)\) নং সরলরেখা প্রদত্ত বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি
\(\frac{|3\times{4}+4\times{4}+k|}{\sqrt{3^2+4^2}}=4\) হয়। ➜Note কেন্দ্র হতে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যসার্ধের সমান হয়।
\(\Rightarrow \frac{|12+16+k|}{\sqrt{9+16}}=4\)
\(\Rightarrow \frac{|28+k|}{\sqrt{25}}=4\)
\(\Rightarrow \frac{|28+k|}{5}=4\)
\(\Rightarrow |28+k|=20\)
\(\Rightarrow 28+k=\pm{20}\)
\(\Rightarrow k=\pm{20}-28\)
\(\Rightarrow k=20-28, \ -20-28\)
\(\therefore k=-8, \ -48\)
\(k=-8, \ AB\) সরলরেখা নির্দেশ করে।
\(\therefore k=-48, \ (3)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(3x+4y-48=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

ক. \(\tan{75^{o}}=\tan{(45^{o}+30^{o})}\)
\(=\frac{\tan{45^{o}}+\tan{30^{o}}}{1-\tan{45^{o}}\tan{30^{o}}}\) ➜Note \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
\(=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-1.\frac{1}{\sqrt{3}}}\) ➜Note \(\because \tan{45^{o}}=1, \ \tan{30^{o}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
\(=\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\times{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\)
\(=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\) ➜Note লব ও হরের সহিত \((\sqrt{3}+1)\) গুণ করে।
\(=\frac{3+2\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2-1^2}\)
\(=\frac{4+2\sqrt{3}}{3-1}\)
\(=\frac{2(2+\sqrt{3})}{2}\)
\(=2+\sqrt{3}\)
\(\therefore \tan{75^{o}}=2+\sqrt{3}\)
দেখানো হলো।
খ. দেওয়া আছে, \(\triangle{XYZ}\) এ \(\cos{X}=\sin{Y}-\cos{Z}\)
\(\Rightarrow \cos{X}+\cos{Z}=\sin{Y}\)
\(\Rightarrow 2\cos{\frac{X+Z}{2}}\cos{\frac{X-Z}{2}}=\sin{Y}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(\Rightarrow 2\cos{\frac{\pi-Y}{2}}\cos{\frac{X-Z}{2}}=\sin{Y}\) ➜Note \(\because \triangle{XYZ}\) এ
\(X+Y+Z=\pi\)
\(\Rightarrow X+Z=\pi-Y\)

\(\Rightarrow 2\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{Y}{2}\right)}\cos{\left(\frac{X-Z}{2}\right)}=2\sin{Y}\)
\(\Rightarrow 2\sin{\left(\frac{Y}{2}\right)}\cos{\left(\frac{X-Z}{2}\right)}=2\sin{\left(\frac{Y}{2}\right)}\cos{\left(\frac{Y}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\left(\frac{X-Z}{2}\right)}=\cos{\left(\frac{Y}{2}\right)}\) ➜Note \(\because 2\sin{\left(\frac{Y}{2}\right)}\ne{0}\)
\(\Rightarrow \frac{X-Z}{2}=\frac{Y}{2}\)
\(\Rightarrow X-Z=Y\)
\(\Rightarrow X=Y+Z\)
\(\Rightarrow X=\pi-X\) ➜Note \(\because \triangle{XYZ}\) এ
\(X+Y+Z=\pi\)
\(\Rightarrow Y+Z=\pi-X\)

\(\Rightarrow X+X=\pi\)
\(\Rightarrow 2X=\pi\)
\(\therefore X=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \) ত্রিভুজটি সমকোণী।
গ. দেওয়া আছে, \(\sqrt{1+n}\tan{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{1-n}\tan{\frac{\beta}{2}}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sqrt{1-n}}{\sqrt{1+n}}\tan{\frac{\beta}{2}}\)
\(\Rightarrow \tan^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-n}{1+n}\tan^2{\frac{\beta}{2}}\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{1+n}{1-n}\tan^2{\frac{\alpha}{2}}=\tan^2{\frac{\beta}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{(1+n)\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}{(1-n)\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{\sin^2{\frac{\beta}{2}}}{\cos^2{\frac{\beta}{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{(1+n)\sin^2{\frac{\alpha}{2}}-(1-n)\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}{(1+n)\sin^2{\frac{\alpha}{2}}+(1-n)\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{\sin^2{\frac{\beta}{2}}-\cos^2{\frac{\beta}{2}}}{\sin^2{\frac{\beta}{2}}+\cos^2{\frac{\beta}{2}}}\) ➜Note বিয়োজন-যোজন করে।
\(\Rightarrow \frac{n\left(\sin^2{\frac{\alpha}{2}}+\cos^2{\frac{\alpha}{2}}\right)-\left(\cos^2{\frac{\alpha}{2}}-\sin^2{\frac{\alpha}{2}}\right)}{\left(\cos^2{\frac{\alpha}{2}}+\sin^2{\frac{\alpha}{2}}\right)-n\left(\cos^2{\frac{\alpha}{2}}-\sin^2{\frac{\alpha}{2}}\right)}=-\frac{\cos^2{\frac{\beta}{2}}-\sin^2{\frac{\beta}{2}}}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{n.1-\cos{2\frac{\alpha}{2}}}{1-n\cos{2\frac{\alpha}{2}}}=-\cos{2\frac{\beta}{2}}\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1, \ \cos^2{A}-\sin^2{A}=\cos{2A}\)
\(\Rightarrow \frac{n-\cos{\alpha}}{1-n\cos{\alpha}}=-\cos{\beta}\)
\(\Rightarrow \frac{-(\cos{\alpha}-n)}{1-n\cos{\alpha}}=-\cos{\beta}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{\alpha}-n}{1-n\cos{\alpha}}=\cos{\beta}\)
\(\therefore \cos{\beta}=\frac{\cos{\alpha}-n}{1-n\cos{\alpha}}\)
দেখানো হলো।

ক. দেওয়া আছে, \(\tan{\beta}=\frac{1}{3}\)
এখন, \(\sin{2\beta}=\frac{2\tan{\beta}}{1+\tan^2{\beta}}\) ➜Note \(\because \sin{2A}=\frac{2\tan{A}}{1+\tan^2{A}}\)
\(=\frac{2\times{\frac{1}{3}}}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^2}\)
\(=\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{9}}\)
\(=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{9+1}{9}}\)
\(=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}}\)
\(=\frac{2}{3}\times{\frac{9}{10}}\)
\(=1\times{\frac{3}{5}}\)
\(=\frac{3}{5}\)
ইহাই নির্ণেয় মাণ।
খ. দেওয়া আছে, \(\angle{E}+\angle{F}=65^{o}, \ \angle{F}-\angle{E}=25^{o}\)
\(\angle{E}+\angle{F}=65^{o} ......(1)\)
\(\angle{F}-\angle{E}=25^{o} .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(\angle{E}+\angle{F}+\angle{F}-\angle{E}=65^{o}+25^{o}\)
\(\Rightarrow 2\angle{F}=90^{o}\)
\(\Rightarrow \angle{F}=\frac{90^{o}}{2}\)
\(\therefore \angle{F}=45^{o}\)
\(L.S=2\sin{\left(\pi+\frac{F}{4}\right)}\)
\(=-2\sin{\left(\frac{F}{4}\right)}\) ➜Note \(\because \sin{(\pi+A)}=-\sin{A}\)
\(=-2\sin{\left(\frac{45^{o}}{4}\right)}\)
\(=-\sqrt{4\sin^2{\left(\frac{45^{o}}{4}\right)}}\)
\(=-\sqrt{2.2\sin^2{\left(\frac{45^{o}}{4}\right)}}\)
\(=-\sqrt{2\left\{1-\cos{2\left(\frac{45^{o}}{4}\right)}\right\}}\) ➜Note \(\because 2\sin^2{A}=1-\cos{2A}\)
\(=-\sqrt{2-\sqrt{4\cos^2{\left(\frac{45^{o}}{2}\right)}}}\)
\(=-\sqrt{2-\sqrt{2.2\cos^2{\left(\frac{45^{o}}{2}\right)}}}\)
\(=-\sqrt{2-\sqrt{2\left\{1+\cos{2\left(\frac{45^{o}}{2}\right)}\right\}}}\) ➜Note \(\because 2\cos^2{A}=1+\cos{2A}\)
\(=-\sqrt{2-\sqrt{2+2\cos{45^{o}}}}\)
\(=-\sqrt{2-\sqrt{2+2\times{\frac{1}{\sqrt{2}}}}}\) ➜Note \(\because \cos{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}.\sqrt{2}\times{\frac{1}{\sqrt{2}}}}}\)
\(=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore 2\sin{\left(\pi+\frac{F}{4}\right)}=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
দেখানো হলো।
গ. দেওয়া আছে, \(\angle{E}+\angle{F}=65^{o}, \ \angle{F}-\angle{E}=25^{o}\)
\(\angle{E}+\angle{F}=65^{o} ......(1)\)
\(\angle{F}-\angle{E}=25^{o} .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(\angle{E}+\angle{F}+\angle{F}-\angle{E}=65^{o}+25^{o}\)
\(\Rightarrow 2\angle{F}=90^{o}\)
\(\Rightarrow \angle{F}=\frac{90^{o}}{2}\)
\(\therefore \angle{F}=45^{o}\)
\((1)\) হতে,
\(\angle{E}+45^{o}=65^{o}\)
\(\Rightarrow \angle{E}=65^{o}-45^{o}\)
\(\therefore \angle{E}=20^{o}\)
\(L.S=\tan{\angle{E}}\tan{2\angle{E}}\tan{3\angle{E}}\tan{4\angle{E}}\)
\(=\tan{20^{o}}\tan{(2\times{20^{o}})}\tan{(3\times{20^{o}})}\tan{(4\times{20^{o}})}\) ➜Note \(\because \angle{E}=20^{o}\)
\(=\tan{20^{o}}\tan{40^{o}}\tan{60^{o}}\tan{80^{o}}\)
\(=\tan{60^{o}}\tan{20^{o}}\tan{(60^{o}-20^{o})}\tan{(60^{o}+20^{o})}\)
\(=\sqrt{3}\tan{20^{o}}\frac{\tan{60^{o}}-\tan{20^{o}}}{1+\tan{60^{o}}\tan{20^{o}}}\frac{\tan{60^{o}}+\tan{20^{o}}}{1-\tan{60^{o}}\tan{20^{o}}}\) ➜Note \(\because \tan{60^{o}}=\sqrt{3}\)
\(\tan{(A-B)}=\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}\)
\(\tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)

\(=\sqrt{3}\tan{20^{o}}\frac{\sqrt{3}-\tan{20^{o}}}{1+\sqrt{3}\tan{20^{o}}}\frac{\sqrt{3}+\tan{20^{o}}}{1-\sqrt{3}\tan{20^{o}}}\) ➜Note \(\because \tan{60^{o}}=\sqrt{3}\)
\(=\sqrt{3}\tan{20^{o}}\frac{(\sqrt{3}-\tan{20^{o}})(\sqrt{3}+\tan{20^{o}})}{(1+\sqrt{3}\tan{20^{o}})(1-\sqrt{3}\tan{20^{o}})}\)
\(=\sqrt{3}\tan{20^{o}}\frac{(\sqrt{3})^2-\tan^2{20^{o}}}{1^2-(\sqrt{3})^2\tan^2{20^{o}}}\)
\(=\sqrt{3}\tan{20^{o}}\frac{3-\tan^2{20^{o}}}{1-3\tan^2{20^{o}}}\)
\(=\sqrt{3}\times{\frac{3\tan{20^{o}}-\tan^3{20^{o}}}{1-3\tan^2{20^{o}}}}\)
\(=\sqrt{3}\times{\tan{(3\times{20^{o}})}}\) ➜Note \(\because \frac{3\tan{A}-\tan^3{A}}{1-3\tan^2{A}}=\tan{3A}\)
\(=\sqrt{3}\times{\tan{60^{o}}}\)
\(=\sqrt{3}\times{\sqrt{3}}\) ➜Note \(\because \tan{60^{o}}=\sqrt{3}\)
\(=3\)
\(=R.S\)
\(\therefore \tan{\angle{E}}\tan{2\angle{E}}\tan{3\angle{E}}\tan{4\angle{E}}=3\)
দেখানো হলো।

ক. \[\lim_{y \rightarrow 0}\frac{1-\cos{y}}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{2\sin^2{\left(\frac{y}{2}\right)}}{y}\] ➜Note \(\because 1-\cos{A}=2\sin^2{\left(\frac{A}{2}\right)}\)
\[=\left(\lim_{y \rightarrow 0}\frac{\sin{\frac{y}{2}}}{\frac{y}{2}}\right)^2\times{\lim_{y \rightarrow 0}\frac{y}{2}}\]
\[=1^2\times{0}\]➜Note \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\]
\[=1\times{0}\]
\[=0\]
ইহাই নির্ণেয় মাণ।
খ. দেওয়া আছে, \(f(x)=x^{\tan^{-1}{x}}; \ g(x)=\log_x{a}\)
ধরি, \(y=f(x)\)
\(\Rightarrow y=x^{\tan^{-1}{x}}\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\ln{x^{\tan^{-1}{x}}}\) ➜Note উভয় পার্শে \(\ln\) নিয়ে।
\(\Rightarrow \ln{y}=\tan^{-1}{x}\ln{x}\) ➜Note\(\because \ln{x^{n}}=n\ln{x}\)
\(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}{x}\ln{x}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\tan^{-1}{x}\frac{d}{dx}(\ln{x})+\ln{x}\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}{x}\right)\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\tan^{-1}{x}\frac{1}{x}+\ln{x}\frac{1}{1+x^2}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}{x}\right)=\frac{1}{1+x^2}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\tan^{-1}{x}+\frac{\ln{x}}{1+x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=y\left\{\frac{1}{x}\tan^{-1}{x}+\frac{\ln{x}}{1+x^2}\right\}\)
\(=x^{\tan^{-1}{x}}\left\{\frac{1}{x}\tan^{-1}{x}+\frac{\ln{x}}{1+x^2}\right\}\) ➜Note\(\because y=x^{\tan^{-1}{x}}\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=x^{\tan^{-1}{x}}\left\{\frac{1}{x}\tan^{-1}{x}+\frac{\ln{x}}{1+x^2}\right\}\)
আবার ধরি, \(y=g(x)\)
\(\Rightarrow y=\log_x{a}\)
\(\Rightarrow y=\log_e{a}\times{\log_x{e}}\) ➜Note\(\because \log_a{b}=\log_e{b}\times{\log_a{e}}\)
\(\Rightarrow y=\ln{a}\times{\frac{1}{\log_e{x}}}\) ➜Note\(\because \log_a{b}=\frac{1}{\log_b{a}}\)
\(\Rightarrow y=\ln{a}\times{\frac{1}{\ln{x}}}\)
\(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\ln{a}\times{\frac{1}{\ln{x}}}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\ln{a}\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln{x}}\right)\)
\(=\ln{a}\times{-\frac{1}{(\ln{x})^{2}}}\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\)
\(=-\frac{\ln{a}}{(\ln{x})^{2}}\frac{1}{x}\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(=-\frac{\ln{a}}{x(\ln{x})^{2}}\)
\(\therefore f(x)\) ও \(g(x)\) এর অন্তরীকরণ যথাক্রমে
\(x^{\tan^{-1}{x}}\left\{\frac{1}{x}\tan^{-1}{x}+\frac{\ln{x}}{1+x^2}\right\}\)
ও \(-\frac{\ln{a}}{x(\ln{x})^{2}}\)
গ. দেওয়া আছে, \(h(x)=\sqrt{a+b\cos{x}}\)
ধরি, \(y=h(x)\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{a+b\cos{x}}\)
\(\Rightarrow y^2=a+b\cos{x}\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে,
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(a+b\cos{x})\)
\(\Rightarrow 2yy_{1}=0-b\sin{x}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}\)
\(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)

\(\Rightarrow 2yy_{1}=-b\sin{x}\)
পুনরায় \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে,
\(\Rightarrow 2\frac{d}{dx}(yy_{1})=-b\frac{d}{dx}(\sin{x})\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d}{dx}(y_{1})+2y_{1}\frac{d}{dx}(y)=-b\cos{x}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)

\(\Rightarrow 2yy_{2}+2y_{1}.y_{1}=-b\cos{x}\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(y_{1})=y_{2}\)
\(\Rightarrow 2yy_{2}+2y_{1}^2=a-(a+b\cos{x})\)
\(\Rightarrow 2yy_{2}+2y_{1}^2=a-y\) ➜Note\(\because a+b\cos{x}=y\)
\(\Rightarrow 2yy_{2}+2y_{1}^2+y=a\)
\(\therefore 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y=a\) ➜Note \(\because y_{2}=\frac{d^2y}{dx^2}\)
\(\because y_{1}=\frac{dy}{dx}\)

দেখানো হলো।

ক. \(y=(x-2)(x+1)\)
\(\Rightarrow y=x^2+x-2x-2\)
\(\Rightarrow y=x^2-x-2\)
\(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^2-x-2)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x-1-0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2x-1\)
\(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2}=2\times{2}-1\)
\(=4-1\)
\(=3\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের ঢাল
খ. দেওয়া আছে, \(F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}\)
\(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\frac{d}{dx}\{F(x)\}=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+x+1}{x}\right)\)
\(\Rightarrow F^{\prime}(x)=\frac{x\frac{d}{dx}(x^2+x+1)-(x^2+x+1)\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\frac{d}{dx}\{F(x)\}=F^{\prime}(x)\)

\(=\frac{x(2x+1)-(x^2+x+1).1}{x^2}\)
\(=\frac{2x^2+x-x^2-x-1}{x^2}\)
\(\therefore F^{\prime}(x)=\frac{x^2-1}{x^2}\)
পুনরায় \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে,
\(\frac{d}{dx}\{F^{\prime}(x)\}=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)\)
\(F^{\prime\prime}(x)=\frac{x^2\frac{d}{dx}(x^2-1)-(x^2-1)\frac{d}{dx}(x^2)}{(x^2)^2}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\frac{d}{dx}\{F^{\prime}(x)\}=F^{\prime\prime}(x)\)

\(=\frac{x^2(2x-0)-(x^2-1).2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x^3-2x^3+2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x}{x^4}\)
\(\therefore F^{\prime\prime}(x)=\frac{2}{x^3}\)
লঘুমান ও গুরুমানের জন্য \(F^{\prime}(x)=0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\) ➜Note\(\because F^{\prime}(x)=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\Rightarrow x^2-1=0\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\therefore x=\pm{1}\)
এখন, \(x=1\) বিন্দুতে
\(\left\{F^{\prime\prime}(x)\right\}_{x=-1}=\frac{2}{(1)^3}\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে \(F(x)\) এর লঘুমান আছে।
লঘুমান \(F(1)=\frac{1^2+1+1}{1}\) ➜Note\(\because F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}\)
\(=\frac{1+2}{1}\)
\(=\frac{3}{1}\)
\(=3\)
আবার, \(x=-1\) বিন্দুতে
\(\left\{F^{\prime\prime}(x)\right\}_{x=-1}=\frac{2}{(-1)^3}\)
\(=\frac{2}{-1}\)
\(=-2<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে \(F(x)\) এর গুরুমান আছে।
গুরুমান \(F(-1)=\frac{(-1)^2-1+1}{-1}\) ➜Note\(\because F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}\)
\(=\frac{1}{-1}\)
\(=-1\)
\(\therefore \) লঘুমান \(=3\)
এবং গুরুমান \(=-1\)
\(\therefore F(x)\) ফাংশনটির লঘুমান গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ. দেওয়া আছে, \(H(x)=\frac{xe^x}{(x+1)^2}\)
\(\int_{0}^{1}H(x)dx\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{xe^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(\int_{0}^{1}{\frac{xe^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{xe^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\left\{\frac{e^x(x+1)}{(x+1)^2}-\frac{e^x}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\left\{\frac{e^x}{x+1}-\frac{e^x}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{x+1}dx}-\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{1}{x+1}e^xdx}-\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\left[\frac{1}{x+1}.e^x\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{\left\{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x+1}\right)\int{e^xdx}\right\}dx}-\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\) ➜Note \(\because \int{uvdx}=u\int{vdx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(u)\int{vdx}\right\}dx},\) \(\int{e^xdx}=e^x\)
\(=\frac{1}{1+1}.e^1-\frac{1}{0+1}.e^0-\int_{0}^{1}{\left\{-\frac{1}{(x+1)^2}\right\}e^xdx}-\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\), \(\int{e^xdx}=e^x\)
\(=\frac{1}{1+1}.e^1-\frac{1}{0+1}.e^0+\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}-\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\frac{e}{2}-1.1\) ➜Note \(\because e^0=1\)
\(=\frac{e}{2}-1\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

ক. এখানে, \(|2x-7|>5\)
\((2x-7)\) ধনাত্মক হলে,
\(\Rightarrow 2x-7>5\)
\(\Rightarrow 2x-7+7>5+7\) ➜Note উভয় পার্শে \(7\) যোগ করে।
\(\Rightarrow 2x>12\)
\(\Rightarrow x>\frac{12}{2}\)
\(\therefore x>6\)
\((2x-7)\) ঋনাত্মক হলে,
\(\Rightarrow -(2x-7)>5\)
\(\Rightarrow -2x+7-7>5-7\) ➜Note উভয় পার্শে \(7\) বিয়োগ করে।
\(\Rightarrow -2x>-2\)
\(\Rightarrow 2x<2\)
\(\Rightarrow x<\frac{2}{2}\)
\(\therefore x<1\)
নির্ণেয় সমাধান \( x>6\) অথবা, \(x<1\)
খ. দেওয়া আছে, \(L=\{x\in{\mathbb{R}}:0>2x^2+5x\}\)
\(L\) এর সমাধান সেটের অসমতা \(0>2x^2+5x\)
\(\Rightarrow 0>2\left(x^2+\frac{5}{2}x\right)\)
\(\Rightarrow 0>x^2+\frac{5}{2}x\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \left(\frac{5}{4}\right)^2>x^2+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^2\) ➜Note উভয় পার্শে \(\left(\frac{5}{4}\right)^2\) যোগ করে।
\(\Rightarrow \left(\frac{5}{4}\right)^2>x^2+2.x.\frac{5}{4}+\left(\frac{5}{4}\right)^2\)
\(\Rightarrow \left(\frac{5}{4}\right)^2>\left(x+\frac{5}{4}\right)^2\)
\(\Rightarrow \frac{5}{4}>\left|x+\frac{5}{4}\right|\)
\(\therefore \left|x+\frac{5}{4}\right|<\frac{5}{4}\)
গ. দৃশ্যকল্প-২: অনুসারে, \(f(x)=x^2-x\)
এবং \(f(x)\le{0}\)
\(\Rightarrow x^2-x\le{0}\)
ধরি, \(g(x)=x^2\) এবং \(h(x)=x\)
\(g(x)=x^2\) এবং \(h(x)=x\) এর লেখচিত্র সংখ্যারেখায় বসাই।
সংখ্যারেখা থেকে আমরা দেখতে পাই যে, \(g(x)=x^2\) এবং \(h(x)=x\) ফাংশনদ্বয় \((0, 0)\) ও \((1, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করেছে
এবং \([0, 1]\) সীমায় \(g(x)-h(x)\le{0}\)
নির্ণেয় সমাধান \([0, 1]\)

ক. দেওয়া আছে, \(z=x+iy\)
এবং \(|z+i|=|\overline{z}+2|\)
\(\Rightarrow |x+iy+i|=|\overline{x+iy}+2|\)
\(\Rightarrow |x+iy+i|=|x-iy+2|\) ➜Note \(\because \overline{x+iy}=x-iy\)
\(\Rightarrow |x+i(y+1)|=|x+2-iy|\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y+1)^2}=\sqrt{(x+2)^2+y^2}\)
\(\Rightarrow x^2+(y+1)^2=(x+2)^2+y^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2+2y+1=x^2+4x+4+y^2\)
\(\Rightarrow 2y+1=4x+4\)
\(\Rightarrow 4x+4=2y+1\)
\(\Rightarrow 4x+4-2y-1=0\)
\(\therefore 4x-2y+3=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সঞ্চার পথ।
খ. দৃশ্যকল্প-১: অনুসারে, \(x+iy=2e^{-i\theta}\)
\(\Rightarrow x+iy=2(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\) ➜Note \(\because e^{-i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow x+iy=2\cos{\theta}+2i\sin{\theta}\)
বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে।
\(x=2\cos{\theta}, \ y=2\sin{\theta}\)
এখন, \(x^2+y^2=(2\cos{\theta})^2+(2\sin{\theta})^2\)
\(=4\cos^2{\theta}+4\sin^2{\theta}\)
\(=4(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})\)
\(=4(1)\)
\(\therefore x^2+y^2=4\)
( প্রমাণিত )
গ. দৃশ্যকল্প-২: অনুসারে, \(F=y-2x\)
শর্তগুলিঃ \(x+2y\le{6}, \ x+y\ge{4}, \ x, \ y\ge{0}\)
\(\) এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় করতে হবে।
প্রদত্ত অসমতাগুলিকে সমতা ধরে সমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করি
এবং সমাধানের সম্ভাব্য এলাকা চিহ্নিত কর।
আমরা পাই, \(x+2y=6\)
\(\Rightarrow \frac{x}{6}+\frac{2y}{6}=1\)
\(\therefore \frac{x}{6}+\frac{y}{3}=1 ....(1)\)
এবং \(x+y=4\)
\(\therefore \frac{x}{4}+\frac{y}{4}=1 ......(2)\)
\(x=0 ......(3)\)
\(y=0 ......(4)\)
লেখ চিত্রে দেখা যায় \((1)\) এর সকল বিন্দু এবং যে পাশে মূলবিন্দু সেই পাশের সকল বিন্দুর জন্য সত্য।
\((2)\) এর সকল বিন্দু এবং যে পাশে মূলবিন্দু তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দুর জন্য সত্য।
আবার, \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(P(2, 2)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(Q(4, 0)\)
\((1)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(R(6, 0)\)
নির্ণেয় কৌণিক বিন্দু \(P(2, 2), \ Q(4, 0), \ R(6, 0)\)
এখন, \(P(2, 2)\) বিন্দুতে, \(F=2-2\times{2}\) ➜Note \(\because F=y-2x\)
\(=2-4\)
\(=-2\)
\(Q(4, 0)\) বিন্দুতে, \(F=0-2\times{4}\) ➜Note \(\because F=y-2x\)
\(=0-8\)
\(=-8\)
\(R(6, 0)\) বিন্দুতে, \(F=0-2\times{6}\) ➜Note \(\because F=y-2x\)
\(=0-12\)
\(=-12\)
নির্ণেয় সর্বোচ্চ মান \(=-2\)

ক. প্রদত্ত রাশি, \((3-2x)^{\frac{1}{2}} \)
\(=\left\{3\left(1-\frac{2}{3}x\right)\right\}^{\frac{1}{2}}\)
প্রদত্ত রাশির বিস্তৃতি বৈধ হবে যদি
\(1>|\frac{2}{3}x|\)
\(\Rightarrow \frac{3}{2}>|x|\)
\(\therefore |x|<\frac{3}{2}\) হয়।
খ. দৃশ্যকল্প-২: অনুসারে, \(x^2-5x+3=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\)
\(\therefore \alpha+\beta=-\frac{-5}{1}\) ➜Note \(\because ax^2+bx+c=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে,
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)
\(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)

\(\Rightarrow \alpha+\beta=5\)
এবং \(\alpha\beta=\frac{3}{1}\)
\(\therefore \alpha\beta=3\)
এখন, \(\frac{3}{5-\alpha}\) ও \(\frac{3}{5-\beta}\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,
\(x^2-\left(\frac{3}{5-\alpha}+\frac{3}{5-\beta}\right)x+\frac{3}{5-\alpha}\times{\frac{3}{5-\beta}}=0\) ➜Note \(\because \alpha, \ \beta\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,
\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)

\(\Rightarrow x^2-\frac{15-3\beta+15-3\alpha}{(5-\alpha)(5-\beta)}x+\frac{9}{(5-\alpha)(5-\beta)}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{30-3(\alpha+\beta)}{25-5(\alpha+\beta)+\alpha\beta}x+\frac{9}{25-5(\alpha+\beta)+\alpha\beta}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{30-3(5)}{25-5(5)+3}x+\frac{9}{25-5(5)+3}=0\) ➜Note \(\because \alpha+\beta=5\)
\(\alpha\beta=3\)

\(\Rightarrow x^2-\frac{30-15}{28-25}x+\frac{9}{28-25}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{15}{3}x+\frac{9}{3}=0\)
\(\therefore x^2-5x+3=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।
গ. দৃশ্যকল্প-২: অনুসারে, \(\frac{1+x}{\sqrt{1-2x}}\)
\(=\frac{1+x}{(1-2x)^{\frac{1}{2}}}\)
\(=(1+x)(1-2x)^{-\frac{1}{2}}\)
\(=(1+x)\left\{1+\left(-\frac{1}{2}\right)(-2x)+\frac{-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}-1\right)}{2!}(-2x)^2+\frac{-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}-1\right)\left(-\frac{1}{2}-2\right)}{3!}(-2x)^3+....\right\}\)
\(=(1+x)\left\{1+x+\frac{-\frac{1}{2}\times{\frac{-1-2}{2}}}{2!}4x^2+\frac{-\frac{1}{2}\times{\frac{-1-2}{2}}\times{\frac{-1-4}{2}}}{3!}(-8)x^3+....\right\}\)
\(=(1+x)\left\{1+x+\frac{-\frac{1}{2}\times{\frac{-3}{2}}}{2.1}4x^2+\frac{-\frac{1}{2}\times{\frac{-3}{2}}\times{\frac{-5}{2}}}{3.2.1}(-8)x^3+....\right\}\)
\(=(1+x)\left\{1+x+\frac{\frac{3}{4}}{2}4x^2+\frac{\frac{15}{8}}{6}(8)x^3+....\right\}\)
\(=(1+x)\left\{1+x+\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{2}x^3+....\right\}\)
\(=1+x+\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{2}x^3+....+x+x^2+\frac{3}{2}x^3+\frac{5}{2}x^4+....\)
\(=1+2x+\left(\frac{3}{2}+1\right)x^2+\left(\frac{5}{2}+\frac{3}{2}\right)x^3+....\)
\(=1+2x+\frac{3+2}{2}x^2+\frac{5+3}{2}x^3+....\)
\(=1+2x+\frac{5}{2}x^2+\frac{8}{2}x^3+....\)
\(=1+2x+\frac{5}{2}x^2+4x^3+....\)
\(\therefore x^3\) এর সহগ \(4\)

ক. \(L.S=\tan^{-1}{(\cot{3x})}+\tan^{-1}{(-\cot{5x})}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\cot{3x}+(-\cot{5x})}{1-\cot{3x}(-\cot{5x})}\right\}}\) ➜Note \(\because \tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\cot{3x}-\cot{5x}}{1+\cot{3x}\cot{5x}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{1}{\tan{3x}}-\frac{1}{\tan{5x}}}{1+\frac{1}{\tan{3x}}.\frac{1}{\tan{5x}}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{\tan{5x}-\tan{3x}}{\tan{3x}\tan{5x}}}{1+\frac{1}{\tan{3x}\tan{5x}}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{\tan{5x}-\tan{3x}}{\tan{3x}\tan{5x}}}{\frac{\tan{3x}\tan{5x}+1}{\tan{3x}\tan{5x}}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\tan{5x}-\tan{3x}}{\tan{3x}\tan{5x}}\times{\frac{\tan{3x}\tan{5x}}{\tan{3x}\tan{5x}+1}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\tan{5x}-\tan{3x}}{\tan{3x}\tan{5x}+1}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\tan{5x}-\tan{3x}}{1+\tan{3x}\tan{5x}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{(5x-3x)}}\) ➜Note \(\because \frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}=\tan{(A-B)}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{2x}}\)
\(=2x\)
\(=R.S\)
\(\therefore \tan^{-1}{(\cot{3x})}+\tan^{-1}{(-\cot{5x})}=2x\)
( প্রমাণিত )
খ. দৃশ্যকল্প-১: অনুসারে, \(\cot{\theta}-\tan{\theta}=\frac{6}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}-\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\frac{6}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}}{\sin{\theta}\cos{\theta}}=\frac{6}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}}{2\sin{\theta}\cos{\theta}}=\frac{6}{5\times{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{2\theta}}{\sin{2\theta}}=\frac{3}{5}\) ➜Note \(\because \cos^2{A}-\cos^2{A}=\cos{2A}, \ 2\sin{A}\cos{A}=\sin{2A}\)
\(\Rightarrow \cot{2\theta}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow 2\theta=\cot^{-1}{\frac{3}{5}}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{1}{2}\cot^{-1}{\frac{3}{5}}\)
\(\therefore \theta=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{5}{\sqrt{34}}}\)
( প্রমাণিত )
গ. দৃশ্যকল্প-২: অনুসারে, \(2\sin{2\theta}+2(\sin{\theta}+\cos{\theta})+1=0\)
\(\Rightarrow 2.2\sin{\theta}\cos{\theta}+2\sin{\theta}+2\cos{\theta}+1=0\) ➜Note \(\because \sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)
\(\Rightarrow 4\sin{\theta}\cos{\theta}+2\sin{\theta}+2\cos{\theta}+1=0\)
\(\Rightarrow 2\sin{\theta}(2\cos{\theta}+1)+1(2\cos{\theta}+1)=0\)
\(\Rightarrow (2\cos{\theta}+1)(2\sin{\theta}+1)=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{\theta}+1=0, \ 2\sin{\theta}+1=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{\theta}=-1, \ 2\sin{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=-\frac{1}{2}, \ \sin{\theta}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{2\pi}{3}}, \ \sin{\theta}=-\sin{\frac{\pi}{6}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{2\pi}{3}}, \ \sin{\theta}=\sin{\left(-\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{2\pi}{3}}, \ \sin{\theta}=\sin{\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{2\pi}{3}}, \ \sin{\theta}=\sin{\left(\frac{6\pi+\pi}{6}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{2\pi}{3}}, \ \sin{\theta}=\sin{\left(\frac{7\pi}{6}\right)}\)
\(\Rightarrow \theta=2n\pi\pm{\frac{2\pi}{3}}, \ \theta=n\pi+(-1)^{n}\left(\frac{7\pi}{6}\right)\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\) ➜Note \(\because \cos{x}=\cos{\alpha} \Rightarrow x=2n\pi\pm{\alpha}\)
যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\sin{x}=\sin{\alpha} \Rightarrow x=n\pi+(-1)^{n}{\alpha}\)
যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)

\(\therefore \theta=2n\pi\pm{\frac{2\pi}{3}}, \ n\pi+(-1)^{n}\left(\frac{7\pi}{6}\right)\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
ইহাই নির্ণেয় সমাধান

ক. \(3x^2+5y^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{3}}+\frac{y^2}{\frac{1}{5}}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2}=1\) যা একটি উপবৃত্ত প্রকাশ করে।
যা একটি উপবৃত্ত প্রকাশ করে।
এখানে, \(a=\frac{1}{\sqrt{3}}, \ b=\frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow a>b\) ➜Note \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) এর সহিত তুলুনা করে।
উৎকেন্দ্রিকতা, \(=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜Note \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের
উৎকেন্দ্রিকতা, \(=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)

\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{3}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{5-3}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{5}}\)
ইহাই নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা।
খ. দৃশ্যকল্প-১: অনুসারে, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(-1, 2)\) এবং উপকেন্দ্র \(S(5, 8)\) পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।
মনে করি, পরাবৃত্তটির নিয়ামক ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দু \(M(x_{1}, y_{1})\)
\(\therefore \) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\left(\frac{x_{1}+5}{2}, \frac{y_{1}+8}{2}\right)\)
\(\therefore \frac{x_{1}+5}{2}=-1, \ \frac{y_{1}+8}{2}=2\)
\(\Rightarrow x_{1}+5=-2, \ y_{1}+8=4\)
\(\Rightarrow x_{1}=-2-5, \ y_{1}=4-8\)
\(\Rightarrow x_{1}=-7, \ y_{1}=-4\)
\(\therefore M(-7, -4)\)
এখন, অক্ষরেখার ঢাল \(=\frac{8-2}{5+1}\) ➜Note \(P(x_{1}, y_{1}), \ Q(x_{2}, y_{2})\) হলে,
\(PQ\) এর ঢাল \(=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)

\(=\frac{6}{6}\)
\(=1\)
\(\therefore\) নিয়ামকরেখার ঢাল \(=-1\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y-(-4)=-1\{x-(-7)\}\)
\(\Rightarrow y+4=-x-7\)
\(\Rightarrow x+y+4+7=0\)
\(\therefore x+y+11=0\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর \(P(x, y)\) যে কোনো একটি বিন্দু।
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-5)^2+(y-8)^2}=\frac{x+y+11}{\sqrt{1^2+1^2}}\)
\(\Rightarrow (x-5)^2+(y-8)^2=\frac{(x+y+11)^2}{1+1}\)
\(\Rightarrow x^2-10x+25+y^2-16y+64=\frac{x^2+y^2+121+2xy+22x+22y}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-10x-16y+89=\frac{x^2+y^2+2xy+22x+22y+121}{2}\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-20x-32y+178=x^2+y^2+2xy+22x+22y+121\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-20x-32y+178-x^2-y^2-2xy-22x-22y-121=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2xy-42x-54y+57=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
গ. ধরি, অধিবৃত্তটির উপকেন্দ্র দুইটি \(S(6, 1)\) ও \(S^{\prime}(10, 1)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=3\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(SS^{\prime}=2ae\)
\(\Rightarrow \sqrt{(6-10)^2+(1-1)^2}=2a\times{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(-4)^2+0^2}=6a\)
\(\Rightarrow \sqrt{16+0}=6a\)
\(\Rightarrow \sqrt{16}=6a\)
\(\Rightarrow 4=6a\)
\(\Rightarrow 6a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{6}\)
\(\Rightarrow a=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow a^2=\frac{4}{9}\)
আবার, \(\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=e\)
\(\Rightarrow \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=3\)
\(\Rightarrow 1+\frac{b^2}{a^2}=9\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=9-1\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=8\)
\(\Rightarrow b^2=8a^2\)
\(\Rightarrow b^2=8\times{\frac{4}{9}}\)
\(\therefore b^2=\frac{32}{9}\)
উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যবিন্দু হলো অধিবৃত্তের কেন্দ্র।
\(\therefore\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র \(\left(\frac{6+10}{2}, \frac{1+1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{16}{2}, \frac{2}{2}\right)\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((8, 1)\)
\((8, 1)\) কে মূলবিন্দু ধরে অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{(x-8)^2}{\frac{4}{9}}+\frac{(y-1)^2}{\frac{32}{9}}=1\)
\(\therefore \frac{9(x-8)^2}{4}+\frac{9(y-1)^2}{32}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

ক. দেওয়া আছে, \(4N\) ও \(2\sqrt{3}N\) মানের বলদ্বয় \(30^{o}\) কোণে ক্রিয়া করে।
\(4N\) মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লম্বাংশের সমষ্টি ,
\(=4N\cos{0^{o}}+2\sqrt{3}N\cos{30^{o}}\)
\(=4N.1+2\sqrt{3}N\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{0^{o}}=1, \ \cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=4N+\sqrt{3}N\times{\sqrt{3}}\)
\(=4N+3N\)
\(=7N\)
ইহাই নির্ণেয় লম্বাংশ।
খ. দৃশ্যকল্প-১ : অনুসারে, \(L, \ M, \ N\) মানের তিনটি বলের ক্রিয়ারেখা \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC, \ CA, \ AB\) বাহুর সমান্তরাল। বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(25, \ 60, \ 65\) সে.মি. \(L\) ও \(M\) মানের বলদ্বয়ের সমষ্টি \(51\) গ্রাম ওজন।
যেহেতু \(ABC\) ত্রিভুজে \(BC^2+CA^2\)
\(=(25)^2+(60)^2\)
\(=625+3600\)
\(=4225\)
\(=(65)^2\)
\(=(AB)^2\)
\(\therefore BC^2+CA^2=AB^2\)
\(\therefore \triangle{ABC}\) এ \(\angle{C}=90^{o}\)
যেহেতু বলগুলি সুস্থিত এবং \(\triangle{ABC}\) এর
বাহুগুলির সমান্তরাল কাজেই বলত্রয়কে অনুসঙ্গী বাহত্রয় দ্বারা সূচীত করা যায়।
\(\therefore \frac{L}{25}=\frac{M}{60}=\frac{N}{65}\)
\(\Rightarrow \frac{L}{5}=\frac{M}{12}=\frac{N}{13}\)
\(\Rightarrow \frac{L}{5}=\frac{M}{12}=\frac{N}{13}=\frac{L+M}{5+12}\)
\(\Rightarrow \frac{L}{5}=\frac{M}{12}=\frac{N}{13}=\frac{51}{17}\) ➜Note \(\because L+M=51\)
\(\Rightarrow \frac{L}{5}=\frac{M}{12}=\frac{N}{13}=3\)
\(\Rightarrow \frac{L}{5}=3, \ \frac{M}{12}=3, \ \frac{N}{13}=3\)
\(\Rightarrow L=15, \ M=36, \ N=39\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বলত্রয়ের মানঃ
\(L=15\) গ্রাম ওজন।
\(M=36\) গ্রাম ওজন।
\(N=39\) গ্রাম ওজন।
গ. দৃশ্যকল্প-২: অনুসারে, \(20\) সে.মি. ব্যবধানে একটি সুষম হালকা দন্ডের দুই প্রান্তে \(8N\) ও \(4N\) মানের বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে।
মনে করি, \(20\) সে.মি. দীর্ঘ্য সুষম হালকা দন্ডের \(A\) ও \(B\) প্রান্তে \(8N\) ও \(4N\) মানের বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল প্রয়োগ করা হলো।
\(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত বলদ্বয়ের লব্ধি \(=(8-4)N\)
\(=4N\)
বর্ধিত \(BA\) এর উপরস্থ \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
তাহলে, \(8\times{AC}=4\times{BC}\)
\(\Rightarrow 8AC=4(AB+AC)\) ➜Note \(\because BC=AB+AC\)
\(\Rightarrow 8AC=4(20+AC)\) ➜Note \(\because AB=20\)
\(\Rightarrow 8AC=80+4AC\)
\(\Rightarrow 8AC-4AC=80\)
\(\Rightarrow 4AC=80\)
\(\Rightarrow AC=\frac{80}{4}\)
\(\therefore AC=20\) সে.মি.
এখন, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত বলদ্বয়ের মান \(4N\) বৃদ্ধি করা হলে,
মনে করি, লব্ধি \(D\) বিন্দুতে সরে যায়।
\(\therefore (8+4)AD=(4+4)BD\)
\(\Rightarrow 12AD=8(AB+AD)\) ➜Note \(\because BD=AB+AD\)
\(\Rightarrow 12AD=8(20+AD)\) ➜Note \(\because AB=20\)
\(\Rightarrow 12AD=160+8AD\)
\(\Rightarrow 12AD-8AD=160\)
\(\Rightarrow 4AD=160\)
\(\Rightarrow AD=\frac{160}{4}\)
\(\therefore AD=40\) সে.মি.
\(\therefore \) লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু সরে যাবে \(DC\) দূরত্বের সমান
\(\therefore DC=AD-AC\)
\(=40-20\)
\(=20\) সে.মি.

ক. আমরা জানি, \(t\) তম সেঃ অতিক্রান্ত দূরত্ব
\(S_{t}=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\)
এখানে, \(u=0, \ f=7ms^{-2}, \ t=3\)
\(\therefore S_{t}=0+\frac{1}{2}\times{7}(2\times{3}-1)\)
\(=\frac{7}{2}\times{5} m\)
\(=\frac{35}{2} m\)
\(=17.5 m\)
ইহাই নির্ণেয় অতিক্রান্ত দূরত্ব।
খ. দৃশ্যকল্প-১ : অনুসারে, একজন মোটর সাইকেল আরোহী \(15\) মিটার দূরে একজন অশ্বারোহীকে দেখতে পেয়ে স্থিরাবস্থা হতে \(5m/sec^2\) ত্বরণে অশ্বারোহীর পশ্চাতে মোটর সাইকেল চালাতে লাগলো। অশ্বারোহী \(12.5m/sec\) সমবেগে যাচ্ছিল।
মনে করি, \(A\) বিন্দুতে অবস্থানকালে মোটর সাইকেল আরোহী \(B\) বিন্দুতে অশ্বারোহীকে দেখতে পেল এবং \(t\) সময় পর \(C\) বিন্দুতে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে।
অশ্বারোহীর ক্ষেত্রে \(BC=12.5\times{t}\) ➜Note \(\because s=vt\)
\(=12.5t\)
মোটর সাইকেল আরোহী ক্ষেত্রে \(AC=\frac{1}{2}ft^2\) ➜Note \(\because u=0\)
\(\Rightarrow AB+BC=\frac{1}{2}\times{5}t^2\) ➜Note \(\because AC=AB+BC, \ f=5m/sec^2\)
\(\Rightarrow 15+12.5t=\frac{5}{2}t^2\) ➜Note \(\because AB=15, \ BC=12.5t\)
\(\Rightarrow 30+25t=5t^2\)
\(\Rightarrow 5t^2=30+25t\)
\(\Rightarrow 5t^2-25t-30=0\)
\(\Rightarrow 5(t^2-5t-6)=0\)
\(\Rightarrow t^2-5t-6=0\)
\(\Rightarrow t^2-6t+t-6=0\)
\(\Rightarrow t(t-6)+1(t-6)=0\)
\(\Rightarrow (t-6)(t+1)=0\)
\(\Rightarrow t-6=0, \ (t+1)\ne{0}\)
\(\therefore t=6s\)
\(\therefore \) মোটর সাইকেল আরোহীর অতিক্রান্ত দূরত্ব,
\(AC=\frac{1}{2}ft^2\)
\(=\frac{1}{2}\times{5}\times{6^2}\)
\(=\frac{5}{2}\times{36}\)
\(=5\times{18}\)
\(=90 m\)
অর্থাৎ মোটর সাইকেল আরোহী \(=90 m\) দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে।
গ. দৃশ্যকল্প-২: অনুসারে, \(60\) মিটার উচ্চ স্তম্ভের শীর্ষ হতে আনুভূমিকের সাথে \(30^{o}\) কোণে \(100m/sec\) আদিবেগে একটি বস্তু নিক্ষিপ্ত হলো।
মনে করি, বস্তুটির পতনকাল \(t\) সেঃ
এখন, \(h=-u\sin{\alpha}t+\frac{1}{2}gt^2\)
\(\Rightarrow 60=-100\sin{30^{o}}t+\frac{1}{2}gt^2\) ➜Note \(\because h=60, \ u=100, \ \alpha=30^{o}\)
\(\Rightarrow 60=-100\times{\frac{1}{2}}t+\frac{1}{2}\times{9.8}t^2\) ➜Note\(\because \sin{30^{o}}=\frac{1}{2}, \ g=9.8\)
\(\Rightarrow 60=-50t+4.9t^2\)
\(\Rightarrow 4.9t^2-50t=60\)
\(\Rightarrow 4.9t^2-50t-60=0\)
\(\Rightarrow t=\frac{-(-50)\pm{\sqrt{(-50)^2-4\times{4.9}(-60)}}}{2\times{4.9}}\) ➜Note \(\because ax^2+bx+c=0\) এর সমাধান,
\(x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)

\(\Rightarrow t=\frac{50\pm{\sqrt{2500+1176}}}{9.8}\)
\(\Rightarrow t=\frac{50\pm{\sqrt{3676}}}{9.8}\)
\(\Rightarrow t=\frac{50\pm{60.63}}{9.8}\)
\(\Rightarrow t=\frac{50+60.63}{9.8}, \ t\ne{\frac{50-60.63}{9.8}}\)
\(\Rightarrow t=\frac{110.63}{9.8}\)
\(\therefore t=11.29\) সেঃ
\(\therefore \) বস্তটি স্তম্ভ হতে যে দূরত্বে ভূমিকে আঘাত করবে,
\(=u\cos{\alpha}t \)
\(=100\cos{30^{o}}\times{11.29} \)
\(=1129\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(=977.74 m\) ( প্রায় )

ক. দেওয়া আছে, \(P(A)=\frac{1}{2}, \ P(B)=\frac{3}{5}\) এবং \(A\) ও \(B\) স্বাধীন ঘটনা।
যেহেতু \(A\) ও \(B\) স্বাধীন ঘটনা
\(\therefore P(A\cap{B}=P(A).P(B)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{3}{5}\)
\(=\frac{3}{10}\)
আবার, \(P(A\cup{B}=P(A)+P(B)-P(A\cap{B}\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{3}{5}-\frac{3}{10}\)
\(=\frac{5+6-3}{10}\)
\(=\frac{11-3}{10}\)
\(=\frac{8}{10}\)
\(=\frac{4}{5}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
খ. দৃশ্যকল্প-১: অনুসারে,

শ্রেণিব্যাপ্তি	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত সংখ্যা
\(10-16\)	\(5\)	\(5\)
\(17-22\)	\(4\)	\(9\)
\(23-28\)	\(10\)	\(19\)
\(29-34\)	\(12\)	\(31\)
\(35-40\)	\(8\)	\(39\)
\(41-46\)	\(4\)	\(43\)
\(47-52\)	\(7\)	\(50\)

এখন, \(Q_{1}=\frac{1\times{50}}{4}\) তম সংখ্যা \(=12.5\) তম সংখ্যা ➜Note \(\because N=50\)
যা \((23-28)\) শ্রেণীতে
এখন, \(Q_{i}=L_{i}+\frac{C}{f_{i}}\left(\frac{i\times{N}}{4}-F_{c}\right)\)
\(\therefore Q_{1}=23+\frac{6}{10}\left(\frac{1\times{50}}{4}-9\right)\)
\(=23+\frac{3}{5}(12.5-9)\)
\(=23+\frac{3}{5}(3.5)\)
\(=23+\frac{10.5}{5}\)
\(=23+2.1\)
\(=25.1\)
এবং \(Q_{3}=\frac{3\times{50}}{4}\) তম সংখ্যা
\(=\frac{150}{4}\)
\(=37.5\)
যা \((35-40)\) শ্রেণীতে
\(\therefore Q_{3}=35+\frac{6}{8}\left(\frac{3\times{50}}{4}-31\right)\)
\(=35+\frac{3}{4}(37.5-31)\)
\(=35+\frac{3}{4}(6.5)\)
\(=35+\frac{19.5}{4}\)
\(=35+4.875\)
\(=39.875\)
\(\therefore \) চতুর্থক ব্যবধান \(=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}\)
\(=\frac{39.875-25.1}{2}\)
\(=7.3875\)
গ. দৃশ্যকল্প-২: অনুসারে, একটি কলেজের একাদশ শ্রেণীর \(100\) জন ছাত্রের মধ্যে \(30\) জন ফুটবল খেলে, \(40\) জন ক্রিকেট খেলে এবং \(20\) জন ফুটবল ও ক্রিকেট খেলে। তাদের মধ্য থেকে একজনকে দৈব্যভাবে নির্বাচন করা হলো।
একজনকে দৈব্যভাবে নির্বাচন করা হলে,
ফুটবল খেলে এরূপ ছাত্রের সম্ভাবনা
\(P(F)=\frac{30}{100}\)
\(=\frac{3}{10}\)
ক্রিকেট খেলে এরূপ ছাত্রের সম্ভাবনা
\(P(C)=\frac{40}{100}\)
\(=\frac{4}{10}\)
\(=\frac{2}{5}\)
ফুটবল ও ক্রিকেট উভয়ে খেলে এরূপ ছাত্রের সম্ভাবনা
\(P(F\cap{C})=\frac{20}{100}\)
\(=\frac{1}{5}\)
\(\therefore \) ছাত্রটি যদি ক্রিকেট খেলে তবে তার ফুটবল খেলার সম্ভাবনা
\(P(F|C)=\frac{P(F\cap{C})}{P(C)}\)
\(=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}}\)
\(=\frac{1}{5}\times{\frac{5}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\)

ক. দেওয়া আছে,
\(\begin{bmatrix}x & 2 \\x & 2 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী
\(\therefore \left|\begin{array}{c}x & 2\\ x & 2\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow 2x-2x=0\)
ইহা স্পষ্ট যে, \(x\in{\mathbb{R}}\)
খ.দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=3x^2+5x\)
দেওয়া আছে, \(A=\left(\begin{array}{c}2 & 1 & 5 \\-1 & 4 & 3 \\4 & -7 & 5 \end{array}\right)\)
\(\therefore f(A)=3A^2+5A\)
\(=3\left(\begin{array}{c}2 & 1 & 5 \\-1 & 4 & 3 \\4 & -7 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2 & 1 & 5 \\-1 & 4 & 3 \\4 & -7 & 5 \end{array}\right)+5\left(\begin{array}{c}2 & 1 & 5 \\-1 & 4 & 3 \\4 & -7 & 5 \end{array}\right)\)
\(=3\left(\begin{array}{c}4-1+20 & 2+4-35 & 10+3+25 \\-2-4+12 & -1+16-21 & -5+12+15 \\8+7+20 & 4-28-35 & 20-21+25 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}10 & 5 & 25 \\-5 & 20 & 15 \\20 & -35 & 25 \end{array}\right)\)
\(=3\left(\begin{array}{c}23 & -29 & 38 \\6 & -6 & 22 \\35 & -59 & 24 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}10 & 5 & 25 \\-5 & 20 & 15 \\20 & -35 & 25 \end{array}\right)\)
\(=3\left(\begin{array}{c}23 & -29 & 38 \\6 & -6 & 22 \\35 & -59 & 24 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}10 & 5 & 25 \\-5 & 20 & 15 \\20 & -35 & 25 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}69 & -87 & 114 \\18 & -18 & 66 \\105 & -177 & 72 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}10 & 5 & 25 \\-5 & 20 & 15 \\20 & -35 & 25 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}69+10 & -87+5 & 114+25 \\18-5 & -18+20 & 66+15 \\105+20 & -177-35 & 72+25 \end{array}\right)\)
\(\therefore f(A)=\left(\begin{array}{c}79 & -82 & 139 \\13 & 2 & 81 \\125 & -212 & 97 \end{array}\right)\)
গ. দেওয়া আছে,
\(B=\begin{bmatrix} \ l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \\l^3-1 & m^3-1 & n^3-1 \end{bmatrix}\)
\(\therefore |B|=\left|\begin{array}{c} \ l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \\l^3-1 & m^3-1 & n^3-1 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} \ l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \\l^3 & m^3 & n^3 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{c} \ l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \\-1 & -1 & -1 \end{array}\right|\) ➜Note সর্বনিম্ন সারি অর্থাৎ তৃতীয় সারি বিশ্লেষণ করে।
\(=\left|\begin{array}{c} \ l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \\l^3 & m^3 & n^3 \end{array}\right|-\left|\begin{array}{c} \ l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \\1 & 1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=lmn\left|\begin{array}{c} \ 1 & 1 & 1 \\l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{c} \ l & m & n \\1 & 1 & 1 \\l^2 & m^2 & n^2 \end{array}\right|\)
\(=lmn\left|\begin{array}{c} \ 1 & 1 & 1 \\l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \end{array}\right|-\left|\begin{array}{c} \ 1 & 1 & 1 \\l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \end{array}\right|\)
\(=(lmn-1)\left|\begin{array}{c} \ 1 & 1 & 1 \\l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \end{array}\right|\)
\(=(lmn-1)\left|\begin{array}{c} \ 1-1 & 1-1 & 1 \\l-m & m-n & n \\l^2-m^2 & m^2-n^2 & n^2 \end{array}\right|\) ➜Note \(C_{1}^{\prime}=C_{1}-C_{2}, \ C_{2}^{\prime}=C_{2}-C_{3}\) ব্যবহার করে।
\(=(lmn-1)\left|\begin{array}{c} \ 0 & 0 & 1 \\l-m & m-n & n \\(l-m)(l+m) & (m-n)(m+n) & n^2 \end{array}\right|\)
\(=(lmn-1)(l-m)(m-n)\left|\begin{array}{c} \ 0 & 0 & 1 \\1 & 1 & n \\l+m & m+n & n^2 \end{array}\right|\)
\(=(lmn-1)(l-m)(m-n)\left|\begin{array}{c} 1 & 1 \\l+m & m+n \end{array}\right|\)
\(=(lmn-1)(l-m)(m-n)(m+n-l-m)\)
\(=(lmn-1)(l-m)(m-n)(n-l)\)
\(\therefore |B|=(lmn-1)(l-m)(m-n)(n-l)\)
( প্রমাণিত )

ক. ধরি, \((-4, -4)\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\)
এখানে, \(x=-4, y=-4\)
\(\therefore r=\sqrt{x^2+y^2}\) ➜Note
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(-4)^2}\) \(=\sqrt{16+16}\) \(=\sqrt{32}\) \(=4\sqrt{2}\) আবার,
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\) ➜Note
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(=tan^{-1}\frac{-4}{-4}\)
\(=tan^{-1}{1}\)
\(=tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=\frac{\pi}{4}\)
কিন্তু \((-4, -4)\) বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
\(\therefore \theta=\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi+\pi}{4}\)
\(=\frac{5\pi}{4}\)
\(\therefore\) বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক \(\left(4\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4}\right)\)
খ. \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ \(5x+9y=27\)
\(\therefore 5x+9y-27=0 ....(1)\)
\(AB\) এর সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x+9y+k=0 .....(2)\) ➜Note \(\because ax+by+c=0\) এর সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ,
\(ax+by+k=0\)
\((1)\) ও \((2)\) সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\frac{|k+27|}{\sqrt{5^2+9^2}}\) ➜Note \(\because ax+by+c_{1}=0\) ও \(ax+by+c_{2}=0\) সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,
\(=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|k+27|}{\sqrt{25+81}}\)
\(=\frac{|k+27|}{\sqrt{106}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{|k+27|}{\sqrt{106}}=4\)
\(\Rightarrow |k+27|=4\sqrt{106}\)
\(\Rightarrow k+27=\pm{4\sqrt{106}}\)
\(\therefore k=-27\pm{4\sqrt{106}}\)
\(k=-27\pm{4\sqrt{106}}\), \((2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(5x+9y-27\pm{4\sqrt{106}}=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
গ. \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ \(5x+9y=27\)
\(\therefore AB\) সরলরেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{5}{9}\) ➜Note \(\because ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল,
\(=-\frac{a}{b}\)
ধরি, নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল \(m\)
\((5, 4)\) বিন্দুগামী এবং \(m\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ \(y-4=m(x-5) .....(3)\) ➜Note \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী এবং \(m\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-y_{1}=m(x-x_{1})\)
শর্তমতে,
\(\tan{45^{o}}=\pm{\frac{m-m_{1}}{1+mm_{1}}}\) ➜Note \(y=m_{1}x+c_{1}\) ও \(y=m_{2}x+c_{2}\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ,
\(=\pm{\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm{\frac{m+\frac{5}{9}}{1+m\times{-\frac{5}{9}}}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm{\frac{m+\frac{5}{9}}{1-\frac{5m}{9}}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm{\frac{9m+5}{9-5m}}\) ➜Note লব ও হরের সহিত \(9\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 9m+5=\pm{(9-5m)}\)
\(\Rightarrow 9m+5=9-5m, 9m+5=-9+5m\)
\(\Rightarrow 9m+5m=9-5, 9m-5m=-9-5\)
\(\Rightarrow 14m=4, 4m=-14\)
\(\Rightarrow m=\frac{4}{14}, m=-\frac{14}{4}\)
\(\Rightarrow m=\frac{2}{7}, m=-\frac{7}{2}\)
\(\therefore m=\frac{2}{7}, -\frac{7}{2}\)
\(m\) এর মাণ \((3)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
যখন, \(m=\frac{2}{7}\)
\(y-4=\frac{2}{7}(x-5)\)
\(\Rightarrow 7y-28=2x-10\)
\(\Rightarrow 2x-10=7y-28\)
\(\Rightarrow 2x-7y-10+28=0\)
\(\therefore 2x-7y+18=0\)
যখন, \(m=-\frac{7}{2}\)
\(y-4=-\frac{7}{2}(x-5)\)
\(\Rightarrow 2y-8=-7x+35\)
\(\Rightarrow 7x+2y-8-35=0\)
\(\therefore 7x+2y-43=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(2x-7y+18=0; 7x+2y-43=0\)

ক. দেওয়া আছে, \(^nP_{2}=3\times{^nC_{3}}\)
\(\therefore \frac{n!}{(n-2)!}=3\times{\frac{n!}{(n-3)!3!}}\) ➜Note \(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)
\(^nC_{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
\(\Rightarrow \frac{n!}{(n-2)(n-3)!}=3\times{\frac{n!}{(n-3)!3!}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(n-2)}=3\times{\frac{1}{3.2.1}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(n-2)}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow n-2=2\)
\(\Rightarrow n=2+2\)
\(\therefore n=4\)
খ. দেওয়া আছে, \(A=3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}\) এবং \(B=\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}\)
\(A\) বরাবর \(B\) এর উপাংশ \(=\left(\frac{A.B}{|A|}\right)\left(\frac{A}{|A|}\right)\)
\(=\left(\frac{(3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}).(\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k})}{|3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}|}\right)\left(\frac{3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{|3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}|}\right)\)
\(=\left(\frac{3.1+2.(-4)+6.(-3)}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}}\right)\left(\frac{3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}}\right)\)
\(=\left(\frac{3-8-18}{\sqrt{9+4+36}}\right)\left(\frac{3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{9+4+36}}\right)\)
\(=\frac{-23}{\sqrt{49}}\left(\frac{3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{49}}\right)\)
\(=\frac{-23}{7}\left(\frac{3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{7}\right)\)
\(=\frac{-23}{49}(3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k})\)
ইহাই নির্ণেয় উপাংশ।
গ. \(0, 3, 4, 5, 6, 9\) অংকগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে ছয় অঙ্কবিশিষ্ট অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা গঠন করতে হলে অবশ্যই একক স্থানে \(0\) অথবা \(4\) অথবা \(6\) রাখতে হবে।
একক স্থানে \(0\) রেখে অবশিষ্ট \(5\) টি অংককে \(5\) টি স্থানে সাজানোর উপায় \(=5!\)
\(=5.4.3.2.1\)
\(=120\)
যে সমস্ত সংখ্যার প্রথম স্থানে \(0\) থাকবে সেগুলি ছয় অংকবিশীষ্ট হবে না।
প্রথম স্থানে \(0\) এবং একক স্থানে \(4\) অথবা \(6\) রেখে অবশিষ্ট \(4\) টি অংককে \(4\) টি স্থানে সাজানোর উপায় \(=4!\)
\(=4.3.2.1\)
\(=24\)
একক স্থানে \(4\) রেখে অবশিষ্ট \(5\) টি অংককে \(5\) টি স্থানে সাজানোর উপায় \(=5!\)
\(=5.4.3.2.1\)
\(=120\)
একক স্থানে \(4\) রেখে ছয় অংকবিশিষ্ট সংখ্যা \(=120-24\) টি।
\(=96\) টি।
অনুরূপভাবে
একক স্থানে \(6\) রেখে ছয় অংকবিশিষ্ট সংখ্যা \(=96\) টি।
\(\therefore \) মোট জোড় সংখ্যা গঠনের উপায় \(=120+96+96\)
\(=312\)

ক. দেওয়া আছে, একটি বৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ,
\(x^2=1-t^2 .....(1)\)
এবং \(y=t.......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ হতে পাই,
\(x^2=1-y^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=1\)
\(\therefore (x-0)^2+(y-0)^2=1\)
\(\therefore \) বৃত্তটির কেন্দ্র \((0, 0)\)
খ. চিত্রে মূলবিন্দু \((0, 0) \) এবং \(C(2, 2)\)
\(\therefore OC=\sqrt{(0-2)^2+(0-2)^2} \)
\(=\sqrt{4+4}\)
\(=\sqrt{8}\)
\(=2\sqrt{2}\)
যেহেতু মূলবিন্দু হতে \(EF\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{2}\) এবং লম্বটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore EF\) সরলরেখার সমীকরণ,
\(x\cos{45^{o}}+y\sin{45^{o}}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x.\frac{1}{\sqrt{2}}+y.\frac{1}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x+y=2\sqrt{2}\times{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x+y=2\times{2}\)
\(\Rightarrow x+y=4\)
\(\therefore \frac{x}{4}+\frac{y}{4}=1\)
উপরোক্ত সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(E(4, 0)\) ও \(F(0, 4)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(P\) বিন্দুটি \(EF\) রেখাংশকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{2.0+1.4}{2+1},\frac{2.4+1.0}{2+1}\right)\) ➜Note \(A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2})\)
\(R\) বিন্দুটি \(AB\) রেখাংশকে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{m.x_{2}+n.x_{1}}{m+n},\frac{m.y_{2}+n.y_{1}}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{0+4}{3},\frac{8+0}{3}\right)\)
\(\therefore P\left(\frac{4}{3},\frac{8}{3}\right)\)
\(\therefore OP\) সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{4}{3}}x\) ➜Note \(A(x_{1}, y_{1})\)
\(\therefore OA\) সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{8}{3}\times{\frac{3}{4}}x\)
\(\Rightarrow y=2x\)
\(\Rightarrow 2x=y\)
\(\therefore 2x-y=0\)
আবার,
\(P\) বিন্দুটি \(EF\) রেখাংশকে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{1.0+2.4}{1+2},\frac{1.4+2.0}{1+2}\right)\) ➜Note \(A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2})\)
\(R\) বিন্দুটি \(AB\) রেখাংশকে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{m.x_{2}+n.x_{1}}{m+n},\frac{m.y_{2}+n.y_{1}}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{0+8}{3},\frac{4+0}{3}\right)\)
\(\therefore P\left(\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right)\)
\(\therefore OP\) সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{8}{3}}x\) ➜Note \(A(x_{1}, y_{1})\)
\(\therefore OA\) সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{4}{3}\times{\frac{3}{8}}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{2}x\)
\(\Rightarrow 2y=x\)
\(\Rightarrow x=2y\)
\(\therefore x-2y=0\)
\(\therefore OP\) সরলরেখার সমীকরণ, \( 2x-y=0; x-2y=0\)
গ. চিত্রানুযায়ী নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র \(C(2, 2)\)
দেওয়া আছে, \(OD=3\sqrt{2}\) একক।
\(OC=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}\)
\(=\sqrt{4+4}\)
\(=\sqrt{8}\)
\(=2\sqrt{2}\)
ব্যসার্ধ, \(CD=OD-OC\)
\(=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}\)
\(=\sqrt{2}\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-2)^2+(y-2)^2=(\sqrt{2})^2\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2-4y+4=2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-4y+8-2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-4x-4y+6=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ক. \(L.S=\sin{44^{o}}+\cos{44^{o}}\)
\(=\sin{(90^{o}-46^{o})}+\cos{44^{o}}\)
\(=\cos{46^{o}}+\cos{44^{o}}\)
\(=2\cos{\frac{46^{o}+44^{o}}{2}}\cos{\frac{46^{o}-44^{o}}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(=2\cos{\frac{90^{o}}{2}}\cos{\frac{2^{o}}{2}}\)
\(=2\cos{45^{o}}\cos{1^{o}}\)
\(=\sqrt{2}\sqrt{2}\times{\frac{1}{\sqrt{2}}}\cos{1^{o}}\)
\(=\sqrt{2}\cos{1^{o}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore \sin{44^{o}}+\cos{44^{o}}=\sqrt{2}\cos{1^{o}}\)
( প্রমাণিত )
খ. দেওয়া আছে, \(h(x)=\sin{mx}\)
\(m=4\) হলে, \(h(x)=\sin{4x}\)
ধরি, \(y=h(x)=\sin{4x}, \ 0^{o}\le{x}\le{180^{o}}\)
প্রদত্ত ফাংশনটি সাইন ফাংশন। সাইন সারণি হতে \(x=0^{o}\) হতে \(x=180^{o}\) পর্যন্ত \(x\) এর কয়েকটি মাণ নিয়ে \(y\) এর আনুষঙ্গিক মাণ বের করে নিচের ছকে বসানো হয়েছে।

\(x\)

\(0^{o}\)

\(15^{o}\)

\(30^{o}\)

\(45^{o}\)

\(60^{o}\)

\(75^{o}\)

\(90^{o}\)

\(105^{o}\)

\(120^{o}\)

\(135^{o}\)

\(150^{o}\)

\(165^{o}\)

\(180^{o}\)

\(y\)

\(0\)

\(0.87\)

\(0.87\)

\(0\)

\(-0.87\)

\(-0.87\)

\(0\)

\(0.87\)

\(0.87\)

\(0\)

\(-0.87\)

\(-0.87\)

\(0\)

স্কেলঃ \(x\) অক্ষ বরাবর ছোট বর্গক্ষেত্রের \(1\) বাহু \(=10^{o}\) এবং \(y\) অক্ষ বরাবর ছোট বর্গক্ষেত্রের \(10\) বাহু \(1\) একক ধরে বিন্দুগুলি গ্রাফ কাগজে বসিয়ে সুষমভাবে যোগ করে \(\sin{4x}\) এর লেখচিত্র অঙ্কন করিঃ
গ. দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যসার্ধ, \(r=AB=5\)সে.মি.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi r^2\)
\(=3.1416\times{5^2}\)
\(=3.1416\times{25}\)
\(=78.54\) বর্গ সে.মি. ( প্রায় )
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ \(\theta=\angle{ABC}\)
\(=50^{o}\)
\(=\frac{50\pi}{180}\)
\(=\frac{5\pi}{18}\)
\(ABC\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{r^2\theta}{2}\)
\(=\frac{5^2\times{5\pi}}{2\times{18}}\)
\(=\frac{125\times{3.1416}}{36}\)
\(=\frac{392.7‬}{36}\)
\(=10.91\) বর্গ সে.মি. ( প্রায় )
চিত্রে গাড় অংশের ক্ষেত্রফল \(=78.54-10.91 \)
\(=67.63 \) বর্গ সে.মি. ( প্রায় )

ক. \(R.S=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{8+8\cos{6x}}}}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{8(1+\cos{2.3x}})}}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{8.2\cos^2{3x}}}}\) ➜Note \(\because 1+\cos{2A}=2\cos^2{A}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{16\cos^2{3x}}}}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+4\cos{3x}}}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4(1+\cos{2.\frac{3x}{2}})}}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4.2\cos^2{\frac{3x}{2}}}}\) ➜Note \(\because 1+\cos{2A}=2\cos^2{A}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{8\cos^2{\frac{3x}{2}}}}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cos{\frac{3x}{2}}}\)
\(=\frac{1}{\cos{\frac{3x}{2}}}\)
\(=\sec{\left(\frac{3x}{2}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\cos{A}}=\sec{A}\)
\(=L.S\)
\(\therefore \sec{\left(\frac{3x}{2}\right)}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{8+8\cos{6x}}}}\)
( প্রমাণিত )
খ. দেওয়া আছে, \(p=\sin{2\alpha}, q=\sin{2\beta}, r=\cos{2\alpha}, s=\cos{2\beta}, t=\sin{2\gamma}\)
শর্তমতে, \(p+q=c\)
\(\therefore \sin{2\alpha}+\sin{2\beta}=c ....(1)\)
এবং, \(r+s=d\)
\(\therefore \cos{2\alpha}+\cos{2\beta}=d ....(2)\)
\((2)\div{(1)}\) এর সাহায্যে।
\(\frac{\cos{2\alpha}+\cos{2\beta}}{\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}}=\frac{d}{c}\)
\(\Rightarrow \frac{2\cos{\frac{2\alpha+2\beta}{2}}\cos{\frac{2\alpha-2\beta}{2}}}{2\sin{\frac{2\alpha+2\beta}{2}}\cos{\frac{2\alpha-2\beta}{2}}}=\frac{d}{c}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{\frac{2(\alpha+\beta)}{2}}}{\sin{\frac{2(\alpha+\beta)}{2}}}=\frac{d}{c}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{(\alpha+\beta)}}{\sin{(\alpha+\beta)}}=\frac{d}{c}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos^2{(\alpha+\beta)}}{\sin^2{(\alpha+\beta)}}=\frac{d^2}{c^2}\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{\cos^2{(\alpha+\beta)}+\sin^2{(\alpha+\beta)}}{\cos^2{(\alpha+\beta)}-\sin^2{(\alpha+\beta)}}=\frac{d^2+c^2}{d^2-c^2}\) ➜Note যোজন-বিয়োজন করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{\cos{2(\alpha+\beta)}}=\frac{d^2+c^2}{d^2-c^2}\) ➜Note \(\sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)
\(\cos^2{A}-\sin^2{A}=\cos{2A}\)
\(\Rightarrow \cos{2(\alpha+\beta)}=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}\) ➜Note \(\frac{p}{q}=\frac{r}{s} \Rightarrow \frac{q}{p}=\frac{s}{r}\)
\(\therefore \cos{(2\alpha+2\beta)}=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}\)
( প্রমাণিত )
গ. \(L.S=p^2+q^2+t^2\)
\(=\sin^2{2\alpha}+\sin^2{2\beta}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=\frac{1}{2}(2\sin^2{2\alpha}+2\sin^2{2\beta})+\sin^2{2\gamma}\)
\(=\frac{1}{2}(1-\cos{4\alpha}+1-\cos{4\beta})+\sin^2{2\gamma}\) ➜Note \(\because 2\sin^2{A}=1-\cos{2A}\)
\(=\frac{1}{2}\{2-(\cos{4\alpha}+\cos{4\beta})\}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=\frac{1}{2}\{2-2\cos{\frac{4\alpha+4\beta}{2}}\cos{\frac{4\beta-4\alpha}{2}}\}+\sin^2{2\gamma}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(=1-\cos{\frac{2(2\alpha+2\beta)}{2}}\cos{\frac{2(2\beta-2\alpha)}{2}}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=1-\cos{(2\alpha+2\beta)}\cos{(2\beta-2\alpha)}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=1-\cos{(2\pi-2\gamma)}\cos{(2\beta-2\alpha)}+1-\cos^2{2\gamma}\) ➜Note \(\because \alpha+\beta+\gamma=\pi\)
\(\Rightarrow 2\alpha+2\beta+2\gamma=2\pi\)
\(\Rightarrow 2\alpha+2\beta=2\pi-2\gamma\)

\(=2-\cos{2\gamma}\cos{(2\beta-2\alpha)}-\cos^2{2\gamma}\)
\(=2-\cos{2\gamma}\{\cos{(2\beta-2\alpha)}+\cos{2\gamma}\}\)
\(=2-\cos{2\gamma}[\cos{(2\beta-2\alpha)}+\cos{\{2\pi-(2\alpha+2\beta)\}}]\) ➜Note \(\because \alpha+\beta+\gamma=\pi\)
\(\Rightarrow 2\alpha+2\beta+2\gamma=2\pi\)
\(\Rightarrow 2\gamma=2\pi-(2\alpha+2\beta)\)

\(=2-\cos{2\gamma}[\cos{(2\beta-2\alpha)}+\cos{(2\alpha+2\beta)}]\)
\(=2-\cos{2\gamma}2\cos{2\beta}\cos{2\alpha}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)
\(=2-2\cos{2\alpha}\cos{2\beta}\cos{2\gamma}\)
\(=R.S\)
\(\therefore p^2+q^2+t^2=2-2\cos{2\alpha}\cos{2\beta}\cos{2\gamma}\)
( প্রমাণিত )

ক. বক্ররেখার সমীকরণ, \(x^2-y^2=5\)
\(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে,
\(2x-2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow -2y\frac{dy}{dx}=-2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{-2y}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\)
\((-3, 2)\) বিন্দুতে ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-3, 2)}=\frac{-3}{2}\)
\(=-\frac{3}{2}\)
\((-3, 2)\) বিন্দুতে প্রদত্ত বক্ররেখার স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-2=-\frac{3}{2}(x+3)\) ➜Note \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী \(m\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-y_{1}=m(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow 2y-4=-3x-9\)
\(\Rightarrow 3x+2y-4+9=0\)
\(\therefore 3x+2y+5=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
খ. দেওয়া আছে, \(f(x)=x+6\) এবং \(g(x)=x^2\)
\(\therefore \int{\frac{xdx}{f(x)\{g(x)+4\}}}=\int{\frac{xdx}{(x+6)(x^2+4)}}\)
\(\int{\frac{xdx}{(x+6)(x^2+4)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x}{(x+6)(x^2+4)}\equiv \frac{A}{x+6}+\frac{Bx+C}{x^2+4} .......(i)\)
\(\Rightarrow x\equiv A(x^2+4)+(Bx+C)(x+6) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x+6)(x^2+4)\) গুন করে।
এখানে, \((x+6)(x^2+4)\) দুইটি উৎপাদক এর মধ্যে \((x+6)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x+6=0\)
\(\Rightarrow x=-6\)
এখন, \(x=-6\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(-6=A\{(-6)^2+4\}+\{B.(-6)+C\}.0\)
\(\Rightarrow -6=A(36+4)+0\)
\(\Rightarrow -6=40A\)
\(\Rightarrow 40A=-6\)
\(\therefore A=\frac{-6}{40}\)
\(\therefore A=-\frac{3}{20}\)
এখন,
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এবং \(x\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই। ➜Note অপর উৎপাদকটি \((x^2+4)\) জটিল দ্বিঘাত বলে এটি শুন্য ধরে \(x\) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে না।
\(0=A+B\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=\frac{3}{20}\) ➜Note \(\because A=-\frac{3}{2}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x}{(x+6)(x^2+4)}=\frac{-\frac{3}{20}}{x+6}+\frac{\frac{3}{20}x+\frac{1}{10}}{x^2+4}\)
\(\therefore \frac{x}{(x+6)(x^2+4)}=-\frac{3}{20(x+6)}+\frac{3x}{20(x^2+4)}+\frac{1}{10(x^2+4)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{-\frac{3}{20(x+6)}+\frac{3x}{20(x^2+4)}+\frac{1}{10(x^2+4)}\right\}dx}\)
\(=-\frac{3}{20}\int{\frac{1}{x+6}dx}+\frac{3}{40}\int{\frac{2x}{x^2+4}dx}+\frac{1}{10}\int{\frac{1}{4+x^2}dx}\)
\(=-\frac{3}{20}\int{\frac{1}{x+6}dx}+\frac{3}{40}\int{\frac{d(x^2+4)}{x^2+4}}+\frac{1}{10}\int{\frac{1}{2^2+x^2}dx}\)
\(=-\frac{3}{20}\ln{|x+6|}+\frac{3}{40}\ln{|x^2+4|}+\frac{1}{10}.\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{dx}{x}}=\ln{|x|}\), \(\int{\frac{1}{a^2+x^2}}=\frac{1}{a}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=-\frac{3}{20}\ln{|x+6|}+\frac{3}{40}\ln{|x^2+4|}+\frac{1}{20}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\)
\(=\frac{1}{40}\left\{3\ln{|x^2+4|}+2\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}-6\ln{|x+6|}\right\}+c\)
গ. ধরি, \(y=f(x)=x+6 .....(3)\)
\(y=g(x)=x^2 .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(x^2=x+6\)
\(\Rightarrow x^2-x-6=0\)
\(\Rightarrow x^2-3x+2x-6=0\)
\(\Rightarrow x(x-3)+2(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x+2)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, x+2=0\)
\(\Rightarrow x=3, x=-2\)
\(\therefore x=3, -2\)
নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(=\int_{-2}^{3}{\{f(x)-g(x)\}dx}\)
\(=\int_{-2}^{3}{(x+6-x^2)dx}\)
\(=[\frac{x^2}{2}+6x-\frac{x^3}{3}]_{-2}^{3}\)
\(=[\frac{3^2}{2}+6\times{3}-\frac{3^3}{3}]-[\frac{(-2)^2}{2}+6\times{-2}-\frac{(-2)^3}{3}]\)
\(=[\frac{9}{2}+18-\frac{27}{3}]-[\frac{4}{2}-12+\frac{8}{3}]\)
\(=[\frac{9}{2}+18-9]-[2-12+\frac{8}{3}]\)
\(=[\frac{9}{2}+9]-[\frac{8}{3}-10]\)
\(=\frac{9+18}{2}-\frac{8-30}{3}\)
\(=\frac{27}{2}-\frac{-22}{3}\)
\(=\frac{27}{2}+\frac{22}{3}\)
\(=\frac{81+44}{6}\)
\(=\frac{125}{6}\) বর্গ একক।

ক. ধরি, \[\frac{m}{5^{x}}=\theta\]
\[\Rightarrow \frac{5^{x}}{m}=\frac{1}{\theta}\]
\[\therefore 5^{x}=\frac{m}{\theta}\]
\[x\rightarrow{\infty}\] হলে, \[\theta\rightarrow{0}\]
\[\lim_{x \rightarrow{\infty}}5^x\sin{\left(\frac{m}{5^{x}}\right)}\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow{0}}\frac{m}{\theta}\sin{\theta}\]
\[=m\lim_{\theta \rightarrow{0}}\frac{\sin{\theta}}{\theta}\]
\[=m\times{1}\] ➜Note\[\because \lim_{\theta \rightarrow{0}}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\]
\[=m\]
ইহাই নির্ণেয় মাণ।
খ. দেওয়া আছে, \(f(x)=\tan{px}\) এবং \(p=4\)
\(\therefore f(x)=\tan{4x}\)
\(\Rightarrow f(x+h)=\tan{4(x+h)}\)
\(=\tan{(4x+4h)}\)
সংজ্ঞানুযায়ী,
\[\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[\therefore \frac{d}{dx}(\tan{4x})=\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{\tan{(4x+4h)}-\tan{4x}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{\frac{\sin{(4x+4h)}}{\cos{(4x+4h)}}-\frac{\sin{4x}}{\cos{4x}}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{\frac{\sin{(4x+4h)}\cos{4x}-\cos{(4x+4h)}\sin{4x}}{\cos{(4x+4h)}\cos{4x}}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{\sin{(4x+4h)}\cos{4x}-\cos{(4x+4h)}\sin{4x}}{h\cos{(4x+4h)}\cos{4x}}\]
\[=\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{\sin{(4x+4h-4x)}}{h\cos{(4x+4h)}\cos{4x}}\]
\[=\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{\sin{4h}}{h\cos{(4x+4h)}\cos{4x}}\]
\[=\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{\sin{4h}}{h}\times{\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{1}{\cos{(4x+4h)}\cos{4x}}}\]
\[=4\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{\sin{4h}}{4h}\times{\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{1}{\cos{(4x+4h)}\cos{4x}}}\]
\[=4\times{1}\times{\frac{1}{\cos{4x}\cos{4x}}}\] ➜Note \[\because \lim_{\theta \rightarrow{0}}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\]
এবং লিমিট ব্যবহার করে।
\[=4\frac{1}{\cos^2{(4x)}}\]
\[=4\sec^2{(4x)}\]
ইহাই নির্ণেয় মাণ।
গ. দেওয়া আছে, \(f(x)=\tan{px}, g(x)=\sec{px}, y=f(x)+g(x)\) এবং \(p=1\)
\(\Rightarrow y=\tan{px}+\sec{px}\) এবং \(p=1\)
\(\Rightarrow y=\tan{x}+\sec{x}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{1}{\cos{x}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\sin{x}+1}{\cos{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}y=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin{x}+1}{\cos{x}}\right)\) ➜Note \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\cos{x}\frac{d}{dx}(\sin{x}+1)-(\sin{x}+1)\frac{d}{dx}(\cos{x})}{\cos^2{x}}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{\cos{x}\cos{x}+(\sin{x}+1)\sin{x}}{\cos^2{x}}\)
\(=\frac{\cos^2{x}+\sin^2{x}+\sin{x}}{1-\sin^2{x}}\)
\(=\frac{1+\sin{x}}{(1+\sin{x})(1-\sin{x})}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1}{1-\sin{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-\sin{x}}\right)\) ➜Note \(x\) এর সাপেক্ষে পুনরায় অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(1-\sin{x})\frac{d}{dx}(1)-1\frac{d}{dx}(1-\sin{x})}{(1-\sin{x})^2}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(1-\sin{x}).0-(0-\cos{x})}{(1-\sin{x})^2}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{0+\cos{x}}{(1-\sin{x})^2}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\cos{x}}{(1-\sin{x})^2}\)
\(\Rightarrow (1-\sin{x})^2\frac{d^2y}{dx^2}=\cos{x}\)
\(\therefore (1-\sin{x})^2\frac{d^2y}{dx^2}-\cos{x}=0\)
দেখানো হলো।

ক. \(\mathbb{R}\) দ্বারা বাস্তব সংখ্যার সেটকে বোঝায়। \(\mathbb{C}\) দ্বারা জটিল সংখ্যার সেটকে বোঝায়।
\(\mathbb{R}\) ও \(\mathbb{C}\) এর মধ্যে সম্পর্ক হলো \(\mathbb{R}\subset{\mathbb{C}}\)
খ. দেওয়া আছে, \(f(x)=3x+1\)
\(\therefore f(x-2)=3(x-2)+1\)
\(=3x-6+1\)
\(=3x-5\)
এখন,
\(2|f(x-2)|\le{1}\)
\(\Rightarrow 2|3x-5|\le{1}\)
\(\Rightarrow |3x-5|\le{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}\le{3x-5}\le{\frac{1}{2}}\) ➜Note \(\because |a|\le{\alpha}\) হলে, \(-\alpha\le{a}\le{\alpha}\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}+5\le{3x-5+5}\le{\frac{1}{2}+5}\) ➜Note প্রত্যেক পদের সহিত \(5\) যোগ করে।
\(\Rightarrow \frac{-1+10}{2}\le{3x}\le{\frac{1+10}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{2}\le{3x}\le{\frac{11}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{2\times{3}}\le{x}\le{\frac{11}{2\times{3}}}\) ➜Note প্রত্যেক পদের সহিত \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{3}{2}\le{x}\le{\frac{11}{6}}\)
\(\therefore \frac{3}{2}\le{x}\le{\frac{11}{6}}\)
নির্ণেয় সমাধান সেট, \(S=\left\{x\in{\mathbb{R}}:\frac{3}{2}\le{x}\le{\frac{11}{6}}\right\}\)
সমাধান সেট নিম্নে সংখ্যারেখায় দেখানো হলোঃ

গ. দেওয়া আছে, \(|z-5|=3\) এবং \(z=x+iy\)
\(\therefore |x+iy-5|=3\)
\(\Rightarrow |x-5+iy|=3\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-5)^2+(y)^2}=3\)
\(\Rightarrow (x-5)^2+(y)^2=3^2\)
\(\Rightarrow (x-5)^2+(y-0)^2=3^2\)
যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
এবং বৃত্তটির কেন্দ্র \((5, 0)\) ও ব্যসার্ধ \(3\) একক।
সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথটি একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র \((5, 0)\) ও ব্যসার্ধ \(3\) একক।
ছক কাগজে \(x\) অক্ষ ও \(y\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের \(2\) বাহু সমান \(1\) একক ধরে বৃত্তটি অঙ্কন করা হলো।

ক. যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের দুইটি সুবিধা নিম্নরূপঃ
\((i.)\) সীমত অর্থ, কাঁচামাল, জনবল এবং যন্ত্র দক্ষতার সাথে সঠিক ব্যবহার ও কাঙ্ক্ষিত লক্ষ অর্জন।
\((ii.)\) তথ্য ও উপাত্তের ভিত্তিতে ভবিষ্যত উৎপাদনকে টেকসই ও অধিকতর লাভজনক করার জন্য দক্ষতা ও দূরদৃষ্টি বৃদ্ধিকরণ।
খ. মনে করি , \(F_{1}\) খাবার \(x\) কেজি এবং \(F_{2}\) খাবার \(y\) কেজি প্রয়োজন।
দেওয়া আছে, \(F_{1}\) এবং \(F_{2}\) খাবারে ভিটামিন \(C\) আছে যথাক্রমে \(6\) একক ও \(3\) একক। দৈনিক ন্যূনতম ভিটামিন \(C\) প্রয়োজন \(60\) একক।
\(F_{1}\) ও \(F_{2}\) খাবারে ভিটামিন \(D\) আছে যথাক্রমে \(2\) একক ও \(5\) একক। দৈনিক ন্যূনতম ভিটামিন \(D\) প্রয়োজন \(50\) একক।
\(F_{1}\) খাবারের প্রতি কেজির দাম \(=3\)
\(F_{2}\) খাবারের প্রতি কেজির দাম \(=5\)
শর্তমতে,
অভীষ্ট ফাংশন, \(z=3x+5y\)
সীমাবদ্ধতার শর্তসমূহঃ
\(6x+3y\ge{60}\)
\(2x+5y\ge{50}\)
\(x\ge{0}, y\ge{0}\)
গ.অভীষ্ট ফাংশন, \(z=3x+5y\)
সীমাবদ্ধতার শর্তসমূহঃ
\(6x+3y\ge{60}\)
\(2x+5y\ge{50}\)
\(x\ge{0}, y\ge{0}\)
প্রদত্ত অসমতাগুলোকে সমতা ধরে সমীকরণগুলোর লেখচিত্র অঙ্কন করি এবং সমীকরণের সম্ভাব্য অনুকূল এলাকা বের করি।
অতএব সমীকরণগুলোঃ
\(6x+3y=60\)
\(\Rightarrow \frac{6x}{60}+\frac{3y}{60}=1\)
\(\therefore \frac{x}{10}+\frac{y}{20}=1 ....(1)\)
\(2x+5y=50\)
\(\Rightarrow \frac{2x}{50}+\frac{5y}{50}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{25}+\frac{y}{10}=1 ....(2)\)
\(x=0 ....(3)\)
\(y=0 ....(4)\)
লেখচিত্র হতে দেখা যায় \((1)\) ও \((2)\) এর সকল বিন্দু এবং এদের যে পার্শে মূলবিন্দু তার বিপরীত পার্শের সকল বিন্দুর জন্য \(6x+3y\ge{60}\) এবং \(2x+5y\ge{50}\) সত্য। লেখচিত্র হতে পাই, সমাধানের সম্ভাব্য অনুকূল এলাকা \(\) হতে শুরু করে প্রথম চতুর্ভাগের ডানের সমস্ত এলাকা।
যেখানে \((25, 0)\) , \(\left(\frac{25}{4}, \frac{15}{2}\right)\) এবং \((0, 20)\)
এখন,
\(A(25, 0)\) বিন্দুতে \(z=3\times{25}+5\times{0}\)
\(=75+0\)
\(=75\)
\(B\left(\frac{25}{4}, \frac{15}{2}\right)\) বিন্দুতে \(z=3\times{\frac{25}{4}}+5\times{\frac{15}{2}}\)
\(=\frac{75}{4}+\frac{75}{2}\)
\(=\frac{75+150}{4}\)
\(=\frac{225}{4}\)
\(=56.25\)
এবং
\(A(0, 20)\) বিন্দুতে \(z=3\times{0}+5\times{20}\)
\(=0+100\)
\(=100\)
ইহা স্পষ্ট যে, \(B\left(\frac{25}{4}, \frac{15}{2}\right)\) বিন্দুতে \(z\) এর সর্বনিম্ন মাণ পাওয়া যায়।
\(\therefore\) দৈনিক সর্বনিম্ন খরচ \(=56.25\)

ক. দেওয়া আছে, \(\frac{1}{x}+\frac{1}{p-x}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow \frac{p-x+x}{x(p-x)}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow \frac{p}{x(p-x)}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow pq=px-x^2\)
\(\Rightarrow x^2-px+pq=0\)
এখন, \(p=q=1\) হলে,
\(\Rightarrow x^2-1.x+1.1=0\)
\(\therefore x^2-x+1=0 ......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণের নিশ্চায়ক, \(D=(-1)^2-4.1.1\) ➜Note \(\because ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের নিশ্চায়ক,
\(D=(b)^2-4ac\)

\(=1-4\)
\(=-3<0\)
\(\therefore D<0 \)
যেহেতু নিশ্চায়ক ঋণাত্মক, সমীকরণটির মূলদ্বয় জটিল ও অসমান হবে।
খ. দেওয়া আছে, \(\frac{1}{x}+\frac{1}{p-x}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow \frac{p-x+x}{x(p-x)}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow \frac{p}{x(p-x)}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow pq=px-x^2\)
\(\Rightarrow x^2-px+pq=0 .......(2)\)
ধরি, \((2)\) নং সমীকরণের মূলদ্বয়, \(\alpha, \beta\)
মূলদ্বয়ের যোগফল, \(\alpha+\beta=-\frac{-p}{1}\) ➜Note \(\because ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়, \(\alpha, \beta\) হলে,
মূলদ্বয়ের যোগফল, \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)

\(=p\)
মূলদ্বয়ের গুণফল, \(\alpha\beta=\frac{pq}{1}\) ➜Note \(\because ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়, \(\alpha, \beta\) হলে,
মূলদ্বয়ের গুণফল, \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)

\(=pq\)
প্রশ্নমতে, \(\alpha-\beta=\pm{r}\)
\(\Rightarrow (\alpha-\beta)^2=r^2\) ➜Noteউভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=r^2\) ➜Note\(\because (a-b)^2=(a+b)^2-4ab\)
\(\therefore p^2-4pq=r^2\)
ইহাই নির্ণেয় সম্পর্ক।
গ. মনে করি, \(\left(2x^3-\frac{1}{x}\right)^{20}\) এর বিস্তৃতিতে \(r+1\) তম পদে \(x^{12}\) এর সহগ আছে।
এখন, \(r+1\) তম পদে \(=^{20}C_{r}(2x^3)^{20-r}\left(-\frac{1}{x}\right)^r\)
\(=^{20}C_{r}(2)^{20-r}(x)^{60-3r}(-1)^r\frac{1}{x^r}\)
\(=^{20}C_{r}(2)^{20-r}(x)^{60-4r}(-1)^r\)
যেহেতু পদটিতে \(x^{12}\) এর সহগ আছে।
\(\therefore 12=60-4r\)
\(\Rightarrow 4r=60-12\)
\(\Rightarrow 4r=48\)
\(\therefore r=12\)
\(\therefore x^{12}\) এর সহগ \(=^{20}C_{12}(2)^{20-12}(-1)^12\)
\(=\frac{20!}{(20-12)!12!}(2)^{8}.1\)
\(=\frac{20.19.18.17.16.15.14.13.12!}{8.7.6.5.4.3.2.1.12!}\times{256}\)
\(=32,248,320‬\)

ক. মনে করি, \(A=\sin^{-1}{x}\)
\(\therefore \sin{A}=x\)
এবং \(\cos{A}=\sqrt{1-\sin^2{A}}\)
\(=\sqrt{1-x^2}\)
এখন, \(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)
\(\Rightarrow 2A=\sin^{-1}{2\sin{A}\cos{A}}\)
\(\therefore 2\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{2x\sqrt{1-x^2}}\) ➜Note \(A=\sin^{-1}{x}\)
\(\sin{A}=x\)
\(\cos{A}=\sqrt{1-x^2}\)

( প্রমাণিত )
খ.প্রদত্ত রাশি, \(\sin^{-1}{\left(\frac{4}{5}\right)}+\cos^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}-\cot^{-1}{\left(\frac{2}{11}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{4}{3}\right)}+\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}-\cot^{-1}{\left(\frac{2}{11}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{4}{3}\times{\frac{1}{2}}}\right)}-\cot^{-1}{\left(\frac{2}{11}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{8+3}{6}}{\frac{3-2}{3}}\right)}-\cot^{-1}{\left(\frac{2}{11}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{11}{6}}{\frac{1}{3}}\right)}-\cot^{-1}{\left(\frac{2}{11}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{11}{6}\times{3}\right)}-\cot^{-1}{\left(\frac{2}{11}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{11}{2}\right)}-\tan^{-1}{\left(\frac{11}{2}\right)}\)
\(=0\)
ইহাই নির্ণেয় মাণ।
গ. \(4(\sin^2{\theta}+\cos{\theta})=5, -2\pi<\theta<2\pi\)
\(\Rightarrow 4(\sin^2{\theta})+4\cos{\theta}=5\)
\(\Rightarrow 4(1-\cos^2{\theta})+4\cos{\theta}=5\)
\(\Rightarrow 4-4\cos^2{\theta}+4\cos{\theta}-5=0\)
\(\Rightarrow -4\cos^2{\theta}+4\cos{\theta}-1=0\)
\(\Rightarrow 4\cos^2{\theta}-4\cos{\theta}+1=0\)
\(\Rightarrow (2\cos{\theta})^2-2.2\cos{\theta}.1+1^2=0\)
\(\Rightarrow (2\cos{\theta}-1)^2=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{\theta}-1=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm{\frac{\pi}{3}}; n\in{\mathbb{Z}}\) ➜Note \(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\) হলে,
\(\theta=2n\pi\pm{\alpha}; n\in{\mathbb{Z}}\)
যখন, \(n=0\)
\(\Rightarrow \theta=2.0.\pi\pm{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow \theta=0\pm{\frac{\pi}{3}}\)
\(\therefore \theta=\pm{\frac{\pi}{3}}\)
যখন, \(n=1\)
\(\Rightarrow \theta=2.1.\pi\pm{\frac{\pi}{3}}\)
\(=2\pi\pm{\frac{\pi}{3}}\)
\(=2\pi+\frac{\pi}{3}, 2\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{6\pi+\pi}{3}, \frac{6\pi-\pi}{3}\)
\(=\frac{7\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=\frac{5\pi}{3}, -2\pi<\theta<2\pi\) ব্যবধিতে
যখন, \(n=-1\)
\(\Rightarrow \theta=2.(-1).\pi\pm{\frac{\pi}{3}}\)
\(=-2\pi\pm{\frac{\pi}{3}}\)
\(=-2\pi+\frac{\pi}{3}, -2\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{-6\pi+\pi}{3}, \frac{-6\pi-\pi}{3}\)
\(=\frac{-5\pi}{3}, \frac{-7\pi}{3}\)
\(=-\frac{5\pi}{3}, -\frac{7\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=-\frac{5\pi}{3}, -2\pi<\theta<2\pi\) ব্যবধিতে
\(\therefore -2\pi<\theta<2\pi\) ব্যবধিতে, \(\theta=\pm{\frac{\pi}{3}}, \pm{\frac{5\pi}{3}}\)

ক. দেওয়া আছে, \(x^2=-12y\)
এখানে, \(4a=-12\) ➜Note\(x^2=4ay\) এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{12}{4}\)
\(\therefore a=-3\)
\(\therefore\) নিয়ামকের সমীকরণ, \(y=-a\) ➜Note \(x^2=4ay\) পরাবৃত্তের,
নিয়ামকের সমীকরণ, \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-(-3), \because a=-3\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\therefore y-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় নিয়ামকের সমীকরণ।
খ.প্রদত্ত রেখাটি , \(x-y-5=0\)
\(\Rightarrow x-5=y\)
\(\therefore y=x-5 ....(1)\)
এবং কনিকটি, \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\therefore 9x^2+16y^2=144 ....(2)\) ➜Note \(144\) দ্বারা গুণ করে।
\((1)\) হতে \(y\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(9x^2+16(x-5)^2=144\)
\(\Rightarrow 9x^2+16(x^2-10x+25)=144\)
\(\Rightarrow 9x^2+16x^2-160x+400-144=0\)
\(\Rightarrow 25x^2-160x+256=0\)
\(\Rightarrow (5x)^2-2.5x.16+(16)^2=0\)
\(\Rightarrow (5x-16)^2=0\)
\(\Rightarrow 5x-16=0\)
\(\Rightarrow 5x=16\)
\(\therefore x=\frac{16}{5}\)
ইহা স্পষ্ট যে, \((1)\) নং রেখাটি \((2)\) নং কনিকটিকে একটি মাত্র বিন্দুতে ছেদ করে। অর্থাৎ সরলরেখাটি কনিকটিকে স্পর্শ করে।
\(\therefore x=\frac{16}{5}, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\therefore y=\frac{16}{5}-5\)
\(\Rightarrow y=\frac{16-25}{5}\)
\(\therefore y=-\frac{9}{5}\)
\(\therefore\) স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{16}{5}, -\frac{9}{5}\right)\)
গ. \(4x^2-5y^2-16x+10y-9=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-5y^2-16x+10y-9=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x-5y^2+10y-9=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x)-5(y^2-2y)-9=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4-4)-5(y^2-2y+1-1)-9=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4)-16-5(y^2-2y+1)+5-9=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2-5(y-1)^2-20=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2-5(y-1)^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-2)^2}{20}-\frac{5(y-1)^2}{20}=1\) ➜Note \(20\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{5}-\frac{(y-1)^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{X^2}{5}-\frac{Y^2}{4}=1\) ইহা একটি অধিবৃত্ত যেখানে, \(X=x-2, Y=y-1\)
এখানে, \(a^2=5, b^2=4\) ➜Note \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜Note \(\because \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের,
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{4}{5}} \because a^2=5, b^2=4\)
\(=\sqrt{\frac{5+4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{5}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\) ➜Note \(\because \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2\times{4}}{\sqrt{5}} \because a=\sqrt{5}, b^2=4\)
\(=\frac{8}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(X=\pm{ae}\) ➜Note \(\because \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(X=\pm{ae}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm{\sqrt{5}\times{\frac{3}{\sqrt{5}}}} \because X=x-2, a=\sqrt{5}, e=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm{3}\)
\(\Rightarrow x=\pm{3}+2\)
\(\Rightarrow x=3+2, x=-3+2\)
\(\Rightarrow x=5, x=-1\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x-5=0, x+1=0\)

ক. মনে করি, \(p\) মানের দুইটি সমান বল \(O\) বিন্দুতে পরস্পর \(60^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত। এই বলদ্বয়ের লব্ধি \(R\) একক হলে, বলের সামান্তরিক সূত্রানুসারে,
\(R=\sqrt{P^2+P^2+2.P.P\cos{60^{o}}}\)
\(=\sqrt{2P^2+2P^2\times{\frac{1}{2}}}\) ➜Note\(\because \cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)
\(=\sqrt{2P^2+P^2}\)
\(=\sqrt{3P^2}\)
\(=\sqrt{3}P\) একক।
ইহাই নির্ণেয় লব্ধি।
খ. \(\triangle{ABC}\) এর \(A, B, C\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(P, Q, R\) মানের তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে। \(A, B, C\) কোণগুলির অন্তর্দিখন্ডক তিনটি পরস্পর \(I\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। এখানে, \(I\) হলো \(\triangle{ABC}\) এর অন্তঃকেন্দ্র।
এখন, \(B\) ও \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(Q\) ও \(R\) বলের লব্ধি \(Q+R\) বলটি \(BC\) রেখাস্ত \(D\) বিন্দুতে ক্রিয়া করবে। আবার, বল তিনটির লব্ধি অন্তঃকেন্দ্র \(I\) বিন্দুগামী। সুতরাং \(I\) বিন্দু \(AD\) রেখার উপর অবস্থান করবে।
অর্থাৎ \(AD\) রেখা \(A\) কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।
\(\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC} .....(1)\) ➜Note \(\triangle{ABC}\) এর \(A\) কোণের সমদ্বিখন্ডক \(AD\) হলে,
\(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\)
কিন্তু লব্ধি \(D\) বিন্দুগামী হওয়ায় , \(Q.BD=R.CD\)
\(\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{R}{Q} .....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\frac{R}{Q}=\frac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow \frac{R}{AB}=\frac{Q}{AC}\)
\(\therefore \frac{Q}{AC}=\frac{R}{AB} .....(3)\)
অনুরূপভাবে,
\(\frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC} .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(\frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{AB}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{a}=\frac{Q}{b}=\frac{R}{c} ......(5)\) ➜Note
\(\triangle{ABC}\) এ
\(BC=a, AC=b, AB=c\)
আবার, \(\triangle{ABC}\) হতে সাইন সূত্রের সাহায্যে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=K\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sin{A}}=K, \frac{b}{\sin{B}}=K, \frac{c}{\sin{C}}=K\)
\(\therefore a=K\sin{A}, b=K\sin{B}, c=K\sin{C}\)
এখন, \(a=K\sin{A}, b=K\sin{B}, c=K\sin{C}\) মানগুলি \((5)\) এ বসিয়ে,
\(\frac{P}{K\sin{A}}=\frac{Q}{K\sin{B}}=\frac{R}{K\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{\sin{A}}=\frac{Q}{\sin{B}}=\frac{R}{\sin{C}}\) ➜Note \(K\) দ্বারা গুণ করে।
\(\therefore P:Q:R=\sin{A}:\sin{B}:\sin{C}\)
( দেখানো হলো )
গ. মনে করি, \(\triangle{ABC}\) এর \(A, B, C\) তিনটি কৌণিক বিন্দুতে যথাক্রমে \(P, Q, R\) মানের তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত। এদের লব্ধি এই ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রে ক্রিয়ারত। যেহেতু \(A\) বিন্দুতে \(P\) বল এবং \(G\) বিন্দুতে লব্ধি বল \(R+P+Q\) ক্রিয়াশীল সুতরাং \(B\) ও \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(Q\) ও \(R\) সমান্তরাল বলদ্বয়ের লব্ধি \(BC\) ও \(AGD\) এর ছেদবিন্দু \(D\) তে ক্রিয়া করবে।
\(\therefore Q.BD=R.CD .....(1)\)
যেহেতু \(AD\) মধ্যমা \(\therefore BD=CD .....(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণকে \((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করি
\(\frac{Q.BD}{BD}=\frac{R.CD}{CD}\)
\(\therefore Q=R ....(3)\)
অনুরূপভাবে,
\(P=Q .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(P=Q=R\)
ইহাই নির্ণেয় সম্পর্ক।

ক. দুইটি গতিশীল বস্তুকণার প্রথমটির সাপেক্ষে দ্বিতীয়টির সরণের পরিবর্তনের হারকে প্রথম বস্তুকণার সাপেক্ষে দ্বিতীয় বস্তুকণার আপেক্ষিক বেগ বলা হয়। মনে করি \(A\) ও \(B\) দুইটি গতিশীল বস্তুকণা। \(A\) বস্তুকণা হতে \(B\) বস্তুকণাকে পর্যবেক্ষণ করলে যে বেগ পরিলক্ষিত হয় তা হবে \(A\) বস্তুকণার সাপেক্ষে \(B\) বস্তুকণার আপেক্ষিক বেগ।
খ. মনে করি, রেলগাড়ির সর্বাধিক বেগ \(=v\) কি.মি./মিনিট
ধরি, \(t_{1}\) ও \(t_{2}\) মিনিট ধরে যথাক্রমে \(x\) সমত্বরণে ও \(y\) সমমন্দনে চলে এবং \(s_{1}\) ও \(s_{2}\) কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে।
তাহলে, \(s_{1}+s_{2}=4\) কি.মি. এবং \(t_{1}+t_{2}=8\) মিনিট।
\(\therefore \) গড়বেগ,
\(\frac{s_{1}}{t_{1}}=\frac{0+v}{2}\)
\(\therefore s_{1}=\frac{v}{2}t_{1} .....(1)\)
আবার,
\(\frac{s_{2}}{t_{2}}=\frac{v+0}{2}\)
\(\therefore s_{2}=\frac{v}{2}t_{2} .....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে।
\(s_{1}+s_{2}=\frac{v}{2}t_{1}+\frac{v}{2}t_{2}\)
\(\Rightarrow s_{1}+s_{2}=\frac{v}{2}(t_{1}+t_{2})\)
\(\Rightarrow 4=\frac{v}{2}\times{8}, \because s_{1}+s_{2}=4, t_{1}+t_{2}=8\)
\(\Rightarrow 4=4v\)
\(\Rightarrow 4v=4\)
\(\therefore v=1\) কি.মি./মিনিট
আবার,
\(v=u+ft\)
\(\Rightarrow 1=0+xt_{1}, \because v=1, f=x, t=t_{1}\)
\(\Rightarrow xt_{1}=1\)
\(\therefore t_{1}=\frac{1}{x} .....(3)\)
আবার,
\(v=u-ft\)
\(\Rightarrow 0=v-ft\) এখানে, শেষবেগ \(=0\) এবং আদিবেগ \(=v\)
\(\Rightarrow 0=1-yt_{2}, \because v=1, f=y, t=t_{2}\)
\(\Rightarrow yt_{2}=1\)
\(\therefore t_{2}=\frac{1}{y} .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) যোগ করে।
\(t_{1}+t_{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(\Rightarrow 8=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \because t_{1}+t_{2}=8\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=8\)
\(\Rightarrow \frac{x+y}{xy}=8\)
\(\therefore x+y=8xy\)
( দেখানো হলো )
গ. মনে করি, \(f\) সমত্বরণে চলমান একটি বস্তুকণা \(A\) বিন্দু থেকে \(u\) আদিবেগে যাত্রা করে \(t_{1}, t_{2}, t_{t}\) সময়ে যথাক্রমে \(B, C, D\) বিন্দুতে \(u_{1}, u_{2}, u_{t}\) বেগ প্রাপ্ত হয়।
\(\therefore u_{1}=u+ft_{1} .....(1)\)
আবার,
\(u_{2}=u_{1}+ft_{2}\)
\(\Rightarrow u_{2}=u+ft_{1}+ft_{2} .....(2), \because u_{1}=u+ft_{1}\)
আবার,
\(u_{3}=u_{2}+ft_{3}\)
\(\Rightarrow u_{3}=u+ft_{1}+ft_{2}+ft_{3} .....(3), \because u_{2}=u+ft_{1}+ft_{2}\)
এখন,
\(v_{1}=\frac{u+u_{1}}{2}\)
\(v_{2}=\frac{u_{1}+u_{2}}{2}\)
\(v_{3}=\frac{u_{2}+u_{3}}{2}\)
\(\therefore v_{1}-v_{2}=\frac{u+u_{1}}{2}-\frac{u_{1}+u_{2}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{1}-v_{2}=\frac{u+u_{1}-u_{1}-u_{2}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{1}-v_{2}=\frac{u-u_{2}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{1}-v_{2}=\frac{u-u-ft_{1}-ft_{2}}{2}, (2)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow v_{1}-v_{2}=\frac{-ft_{1}-ft_{2}}{2}\)
\(\therefore v_{1}-v_{2}=\frac{-f(t_{1}+t_{2})}{2} .......(4)\)
আবার,
\(\therefore v_{2}-v_{3}=\frac{u_{1}+u_{2}}{2}-\frac{u_{2}+u_{3}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{2}-v_{3}=\frac{u_{1}+u_{2}-u_{2}-u_{3}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{2}-v_{3}=\frac{u_{1}-u_{3}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{2}-v_{3}=\frac{u+ft_{1}-u-ft_{1}-ft_{2}-ft_{3}}{2}, (1)\) ও \((3)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow v_{2}-v_{3}=\frac{-ft_{2}-ft_{3}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{2}-v_{3}=\frac{-f(t_{2}+t_{3})}{2} .....(5)\)
\((5)\) কে \((4)\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\frac{v_{2}-v_{3}}{v_{1}-v_{2}}=\frac{\frac{-f(t_{2}+t_{3})}{2}}{\frac{-f(t_{1}+t_{2})}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{v_{2}-v_{3}}{v_{1}-v_{2}}=\frac{-f(t_{2}+t_{3})}{2}\times{\frac{2}{-f(t_{1}+t_{2})}}\)
\(\Rightarrow \frac{v_{2}-v_{3}}{v_{1}-v_{2}}=\frac{t_{2}+t_{3}}{t_{1}+t_{2}}\)
\(\therefore \frac{t_{1}+t_{2}}{v_{1}-v_{2}}=\frac{t_{2}+t_{3}}{v_{2}-v_{3}}\)
( প্রমাণিত )

ক. দেওয়া আছে, \(P(A)=\frac{1}{3}\) এবং \(P(A\cap B)=\frac{1}{5}\)
শর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞানুযায়ী,
\(P(B/A)= \frac{P(A\cap{B})}{P(A)}\)
\(=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{5}\times{\frac{3}{1}}\)
\(=\frac{3}{5}\)
ইহাই নির্ণেয় মাণ।
খ. দুইটি মূদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপের নমুনা ক্ষেত্র নিম্নরূপঃ

	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
\(HH\)	\(HH1\)	\(HH2\)	\(HH3\)	\(HH4\)	\(HH5\)	\(HH6\)
\(HT\)	\(HT1\)	\(HT2\)	\(HT3\)	\(HT4\)	\(HT5\)	\(HT6\)
\(TH\)	\(TH1\)	\(TH2\)	\(TH3\)	\(TH4\)	\(TH5\)	\(TH6\)
\(TT\)	\(TT1\)	\(TT2\)	\(TT3\)	\(TT4\)	\(TT5\)	\(TT6\)

নমুনা ক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা,
\(n(S)=24\)
নমুনা ক্ষত্রে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার অনুকূল নমুনা ক্ষেত্র
\(=\{HH1, HT1, TH1, TT1, HH3, HT3, TH3, TT3, HH5, HT5, TH5, TT5\}\)
নমুনা ক্ষত্রে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=12\)
নমুনা ক্ষত্রে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{12}{24} \)
\(=\frac{1}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় সম্ভাবনা।
গ. প্রদত্ত সমস্যার সমাধানকল্পে নিচে একটি সারণি তৈরী করা হলোঃ

বয়স	শ্রমিক সংখ্যা \((f_{i})\)	শ্রেণীর মধ্যবিন্দু \((x_{i})\)	\(u_{i}=\frac{x_{i}-45}{10}\)	\(f_{i}u_{i}\)	\(f_{i}u_{i}^2\)
\(20-30\)	\(25\)	\(25\)	\(-2\)	\(-50\)	\(100\)
\(30-40\)	\(40\)	\(35\)	\(-1\)	\(-40\)	\(40\)
\(40-50\)	\(20\)	\(45=a\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(50-60\)	\(10\)	\(55\)	\(1\)	\(10\)	\(10\)
\(60-70\)	\(5\)	\(65\)	\(2\)	\(10\)	\(20\)
	\(N=100\)			\(\sum{f_{i}u_{i}}=-70\)	\(\sum{f_{i}u_{i}^2}=170\)

পরিমিত ব্যবধান, \(\sigma_{x}=C\sqrt{\frac{\sum{f_{i}u_{i}^2}}{N}-\left(\frac{\sum{f_{i}u_{i}}}{N}\right)^2}\)
\(=10\times{\sqrt{\frac{170}{100}-\left(\frac{-70}{100}\right)^2}}\)
\(=10\times{\sqrt{\frac{170}{100}-\left(\frac{-7}{10}\right)^2}}\)
\(=10\times{\sqrt{\frac{170}{100}-\frac{49}{100}}}\)
\(=10\times{\sqrt{\frac{170-49}{100}}}\)
\(=10\times{\sqrt{\frac{121}{100}}}\)
\(=10\times{\frac{11}{10}}\)
\(=11\)
ইহাই নির্ণেয় পরিমিত ব্যবধান।