ক. দেওয়া আছে,
\( A=\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2 \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}2 \\5 \\4 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A\times{C}=\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2 \end{bmatrix}\times{\begin{bmatrix}2 \\5 \\4 \end{bmatrix}}\)
\(=\begin{bmatrix}1\times{2}+4\times{5}+2\times{4} \\4\times{2}+0\times{5}+3\times{4} \\2\times{2}+3\times{5}+2\times{4} \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}2+20+8 \\8+0+12 \\4+15+8 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}30 \\20 \\27 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A\times{C}\) এর মাত্রা \(3\times{1}\)
খ. দেওয়া আছে, \( A=\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2 \end{bmatrix}\)
\(\therefore |A|=\left|\begin{array}{c}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2 \end{array}\right|\)
\(=1(0-9)-4(8-6)+2(12-0)\)
\(=1(-9)-4(2)+2(12)\)
\(=-9-8+24\)
\(=-17+24\)
\(=7\)
\(A\) এর সহগুনকসমূহঃ
\(A_{11}=\left|\begin{array}{c}0 & 3 \\3 & 2 \end{array}\right|\)
\(=0-9\)
\(=-9\)
\(A_{12}=-\left|\begin{array}{c}4 & 3 \\2 & 2 \end{array}\right|\)
\(=-(8-6)\)
\(=-2\)
\(A_{13}=\left|\begin{array}{c}4 & 0 \\2 & 3 \end{array}\right|\)
\(=12-0\)
\(=12\)
\(A_{21}=-\left|\begin{array}{c}4 & 2 \\3 & 2 \end{array}\right|\)
\(=-(8-6)\)
\(=-2\)
\(A_{22}=\left|\begin{array}{c}1 & 2 \\2 & 2 \end{array}\right|\)
\(=2-4\)
\(=-2\)
\(A_{23}=-\left|\begin{array}{c}1 & 4 \\2 & 3 \end{array}\right|\)
\(=-(3-8)\)
\(=5\)
\(A_{31}=\left|\begin{array}{c}4 & 2 \\0 & 3 \end{array}\right|\)
\(=12-0\)
\(=12\)
\(A_{32}=-\left|\begin{array}{c}1 & 2 \\4 & 3 \end{array}\right|\)
\(=-(3-8)\)
\(=5\)
\(A_{33}=\left|\begin{array}{c}1 & 4 \\4 & 0 \end{array}\right|\)
\(=0-16\)
\(=-16\)
\(Adj{A}=\begin{bmatrix}-9 & -2 & 12 \\-2 & -2 & 5 \\ \ \ 12 & \ \ 5 & -16 \end{bmatrix}^{T}\)
\(=\begin{bmatrix}-9 & -2 & 12 \\-2 & -2 & 5 \\ \ \ 12 & \ \ 5 & -16 \end{bmatrix}\)
\(A^{-1}=\frac{Adj{A}}{|A|}\)
\(=\frac{1}{|A|}Adj{A}\)
\(=\frac{1}{7}\begin{bmatrix}-9 & -2 & 12 \\-2 & -2 & 5 \\ \ \ 12 & \ \ 5 & -16 \end{bmatrix}\)
ইহাই নির্ণেয় বিপরীত ম্যাট্রিক্স
গ. দেওয়া আছে, \( A=\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}2 \\5 \\4 \end{bmatrix}\)
এবং \(A\times B=C\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2 \end{bmatrix}\times{\begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix}}=\begin{bmatrix}2 \\5 \\4 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow x+4y+2z=2\)
\(4x+0+3z=5\)
\(2x+3y+2z=4\)
\(x, y\) ও \(z\) এর সহগগুলো নিয়ে গঠিত নির্ণায়কঃ
\(D=\left|\begin{array}{c}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2 \end{array}\right|\)
\(=1(0-9)-4(8-6)+2(12-0)\)
\(=1(-9)-4(2)+2(12)\)
\(=-9-8+24\)
\(=-17+24\)
\(=7\)
\(D_{x}=\left|\begin{array}{c}2 & 4 & 2 \\5 & 0 & 3 \\4 & 3 & 2 \end{array}\right|\)
\(=2(0-9)-4(10-12)+2(15-0)\)
\(=2(-9)-4(-2)+2(15)\)
\(=-18+8+30\)
\(=-18+38\)
\(=20\)
\(D_{y}=\left|\begin{array}{c}1 & 2 & 2 \\4 & 5 & 3 \\2 & 4 & 2 \end{array}\right|\)
\(=1(10-12)-2(8-6)+2(16-10)\)
\(=1(-2)-2(2)+2(6)\)
\(=-2-4+12\)
\(=-6+12\)
\(=6\)
\(D_{z}=\left|\begin{array}{c}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 5 \\2 & 3 & 4 \end{array}\right|\)
\(=1(0-15)-4(16-10)+2(12-0)\)
\(=1(-15)-4(6)+2(12)\)
\(=-15-24+24\)
\(=-15\)
\(x=\frac{D_{x}}{D}\)
\(\therefore x=\frac{20}{7}\)
\(y=\frac{D_{y}}{D}\)
\(\therefore y=\frac{6}{7}\)
\(z=\frac{D_{z}}{D}\)
\(=\frac{-15}{7}\)
\(\therefore z=-\frac{15}{7}\)
নির্ণেয় সমীকরণ জোটটির সমাধান, \((x, y, z)=\left(\frac{20}{7}, \frac{6}{7}, -\frac{15}{7}\right)\)

ক. দেওয়া আছে, \(^{n}P_r=54\) এবং \(^{n}C_r=9\)
আমরা জানি, \(^{n}C_r\times{r!}=^nP_{r}\)
\(\Rightarrow 9\times{r!}=54\)
\(\Rightarrow r!=\frac{54}{9}\)
\(\Rightarrow r!=6\)
\(\Rightarrow r!=3.2.1\)
\(\Rightarrow r!=3!\)
\(\therefore r=3\)
ইহাই \(r\) এর নির্ণেয় মাণ।
খ.ইউজার আইডিঃ \("COMBINATION"\)
\("COMBINATION"\) শব্দটিতে মোট \(11\) টি অক্ষর আছে। যার মধ্যে \(2\) টি \(I\)) টি \(O\)) টি \(N\) এবং অবশিষ্ট অক্ষগুলি ভিন্ন ভিন্ন।
\(11\) টি অক্ষর হতে প্রতিবার \(4\) টি অক্ষর নিয়ে সাজানোর উপায় নিম্নরূপঃ
\((1)\) \(8\) টি ভিন্ন অক্ষর হতে প্রতিবার \(4\) টি অক্ষর নিয়ে সাজানোর উপায় \(=^8P_{4}\)
\(=\frac{8!}{(8-4)!}\) ➜Note \(\because ^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)
\(=\frac{8.7.6.5.4!}{4!}\)
\(=8.7.6.5\)
\(=1680\)
\((2)\) \(3\) প্রকারের \(3\) জোড়া এক জাতীয় অক্ষর থেকে \(1\) জোড়া এবং অবশিষ্ট \(7\) টি ভিন্ন অক্ষর থেকে \(2\) টি অক্ষর নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(=^3C_{1}\times{^7C_{2}}\times{\frac{4!}{2!}}\)
\(=\frac{3!}{(3-1)!1!}\times{\frac{7!}{(7-2)!2!}}\times{\frac{4.3.2!}{2!}}\) ➜Note \(\because ^nC_{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
\(=\frac{3.2!}{2!.1}\times{\frac{7.6.5!}{5!2.1}}\times{12}\)
\(=3\times{\frac{7.6}{2.1}}\times{12}\)
\(=36\times{7.3}\)
\(=36\times{21}\)
\(=756\)
\((3)\) \(3\) প্রকারের \(3\) জোড়া এক জাতীয় অক্ষর থেকে \(2\) জোড়া অক্ষর নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(=^3C_{2}\times{\frac{4!}{2!2!}}\)
\(=\frac{3!}{(3-2)!2!}\times{\frac{4.3.2!}{2!2.1}}\) ➜Note \(\because ^nC_{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
\(=\frac{3.2!}{1!2!}\times{\frac{4.3}{2.1}}\)
\(=3\times{2.3}\)
\(=18\)
মোট সাজানোর উপায় \(=1680+756+18\)
\(=2454\)
গ. পাসওয়ার্ডঃ \(10652\)
প্রদত্ত অংকগুলি ব্যবহার করে পাঁচ অংকবিশিষ্ট বিজোড় সংখ্যা গঠন করতে হলে অবশ্যই সংখ্যাগুলির একক স্থানে অর্থাৎ শেষে \(1\) অথবা \(5\) থাকতে হবে।
আবার, সংখ্যার প্রথমে \(0\) থাকলে তা \(5\) অংকবিশিষ্ট সংখ্যা হবে না।
এখন, শেষ স্থানে \(1\) এবং প্রথম স্থানে পর্যায়ক্রমে \(2, 5 \) ও \(6\) রেখে অবশিষ্ট \(3\) অক্ষরের সাজানো সংখ্যা \(=3\times{3!}\)
\(=3\times{3.2.1}\)
\(=3\times{6}\)
\(=18\)
আবার, শেষ স্থানে \(5\) এবং প্রথম স্থানে পর্যায়ক্রমে \(1, 2 \) ও \(6\) রেখে অবশিষ্ট \(3\) অক্ষরের সাজানো সংখ্যা \(=3\times{3!}\)
\(=3\times{3.2.1}\)
\(=3\times{6}\)
\(=18\)
নির্ণেয় বিজোড় সংখ্যা গঠনের উপায় \(=18+18\)
\(=36\)

ক. দেওয়া আছে, \(\overrightarrow{A}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{B}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\)
\(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{B}=(\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}).(2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})\)
\(=1.2+(-2).1+(-3).(-1)\)
\(=2-2+3\)
\(=3\)
\(\because \overrightarrow{A}.\overrightarrow{B}\ne{0}\)
\(\therefore \) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব নয়।
খ. ধরি, \(8x+15y-12=0 ....(1)\)
\((1)\) নং রেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ \(8x+15y+k=0 ....(2)\) ➜Note \(\because ax+by+c=0\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(ax+by+k=0\) যেখানে, \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((1)\) ও \((2)\) নং সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব,
\(=\frac{|-12-k|}{\sqrt{8^2+15^2}}\) ➜Note \(\because ax+by+c_{1}=0\) ও \(ax+by+c_{2}=0\)
সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,
\(=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|-(12+k)|}{\sqrt{64+225}}\)
\(=\frac{|12+k|}{\sqrt{289}}\)
\(=\frac{|12+k|}{17}\)
শর্তমতে, \(\frac{|12+k|}{17}=2\)
\(\Rightarrow |12+k|=34\)
\(\Rightarrow 12+k=\pm{34}\)
\(\Rightarrow k=\pm{34}-12\)
\(\Rightarrow k=34-12, -34-12\)
\(\Rightarrow k=22, -46\)
\(k\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে।
\(8x+15y+22=0 .....(3)\) যখন, \( k=22\)
\(8x+15y-46=0 .....(4)\) যখন, \( k=-46\)
মূলবিন্দু \((0, 0)\) হতে \((3)\) এর লম্বদূরত্ব \( =\frac{|22|}{\sqrt{8^2+15^2}}\) ➜Note \(\because (0, 0)\) বিন্দু হতে
\(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{22}{\sqrt{64+225}}\)
\(=\frac{22}{\sqrt{289}}\)
\(=\frac{22}{17}\)
আবার, মূলবিন্দু \((0, 0)\) হতে \((4)\) এর লম্বদূরত্ব \( =\frac{|-46|}{\sqrt{8^2+15^2}}\) ➜Note \(\because (0, 0)\) বিন্দু হতে
\(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{46}{\sqrt{64+225}}\)
\(=\frac{46}{\sqrt{289}}\)
\(=\frac{46}{17}\)
গ. ধরি, \(8x+15y-12=0 ....(5)\)
\(3x-4y+12=0 ....(6)\)
\((5)\) ও \((6)\) নং সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভূক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{8x+15y-12}{\sqrt{8^2+15^2}}=\pm\frac{3x-4y+12}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\) ➜Note \(\because a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) ও \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\)
সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_{1}^2+b_{1}^2}}=\pm\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_{2}^2+b_{2}^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{8x+15y-12}{\sqrt{64+225}}=\pm\frac{3x-4y+12}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{8x+15y-12}{\sqrt{289}}=\pm\frac{3x-4y+12}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{8x+15y-12}{17}=\pm\frac{3x-4y+12}{5} ......(7)\)
এখানে, \(a_{1}=8, b_{1}=15, a_{2}=3, b_{2}=-4\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=8\times{3}+15\times{-4}\)
\(=24-60\)
\(=-36<0 \)
\(\therefore \) নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{8x+15y-12}{17}=\frac{3x-4y+12}{5}\)
\(\Rightarrow 51x-68y+204=40x+75y-60\)
\(\Rightarrow 51x-68y+204-40x-75y+60=0\)
\(\therefore 11x-143y+264=0\)
\(\therefore \) সরলরেখাটির ঢাল \(=-\frac{11}{-143}\)
\(=\frac{1}{13}\)

ক. দেওয়া আছে, \(r=6\cos{\theta}+4\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow r^2=6r\cos{\theta}+4r\sin{\theta}\) ➜Note উভয় পার্শে \(r\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2=6x+4y\) ➜Note \(\because r^2=x^2+y^2\)
\(x=r\cos{\theta}\)
\(y=r\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-6x-4y=0\)
এখানে, \( 2g=-6, 2f=-4, c=0\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore g=-3, f=-2, c=0\)
বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\Rightarrow (-\times{-3}, -\times{-2})\)
\(\Rightarrow (3, 2)\)
বৃত্তের ব্যসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2-0}\)
\(=\sqrt{9+4}\)
\(=\sqrt{13}\)
খ. ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ, \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 ....(1)\)
যেহেতু বৃত্তটির \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে, \(f^2=c ....(2)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \((0, -3)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 0^2+(-3)^2+2g.0+2f(-3)+c=0\)
\(\Rightarrow 0+9+0-6f+c=0\)
\(\Rightarrow 9-6f+f^2=0\) ➜Note \(\because f^2=c\)
\(\Rightarrow f^2-6f+9=0\)
\(\Rightarrow f^2-2.f.3+3^2=0\)
\(\Rightarrow (f-3)^2=0\)
\(\Rightarrow f-3=0\)
\(\therefore f=3\)
\((2)\) হতে,
\(c=f^2=3^2\)
\(\therefore c=9\)
বৃত্তটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=2\sqrt{g^2-c}\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্ত দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশ,
\(=2\sqrt{g^2-c}\)
শর্তমতে, \(2\sqrt{g^2-c}=8\)
\(\Rightarrow \sqrt{g^2-c}=4\)
\(\Rightarrow g^2-c=4^2\)
\(\Rightarrow g^2=16+c\)
\(\Rightarrow g^2=16+9\)
\(\Rightarrow g^2=25\)
\(\therefore g=\pm5\)
\(g\) ধনাত্মক হলে বৃত্তটির কেন্দ্র হয় \((-g, -f)\Rightarrow (-5, -3)\) যা গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ উদ্দিপকের বৃত্তটি \(y\) অক্ষের ডান পাশে অবস্থিত। সুতরাং কেদ্রের ভুজ ধনাত্মক হবে।
\(\therefore g=-5\)
\(g, f\) ও \(c\) এর মাণ \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2(-5)x+2.3.y+9=0\)
\(\therefore x^2+y^2-10x+6y+9=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
গ. নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, \(x^2+y^2-10x+6y+9=0\)
খ. হতে প্রাপ্ত বৃত্তের কেন্দ্র , \((-g, -f)\Rightarrow (5, -3)\)
বৃত্তের ব্যসার্ধ \(=5\) ➜Note যেহেতু বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \) কেন্দ্রের \(x\) স্থানাঙ্ক ব্যসার্ধের সমান।
\(3x+4y=2\) সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(4x-3y+k=0 ......(3)\) ➜Note \(\because ax+by+c=0\) সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(bx-ay+k=0, k \) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।

কেন্দ্র \((5, -3)\) হতে \((3)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব
\(=\frac{|4.5-3(-3)+k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}\)
\(=\frac{|20+9+k|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|29+k|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|29+k|}{5}\)
শর্তমতে, \(\frac{|29+k|}{5}=5\)
\(\Rightarrow |29+k|=25\)
\(\Rightarrow 29+k=\pm25\)
\(\Rightarrow k=\pm25-29\)
\(\Rightarrow k=25-29, -25-29\)
\(\therefore k=-4, -54\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y-4=0\) যখন \(k=-4\)
\(4x-3y-54=0\) যখন \(k=-54\)
নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ, \(4x-3y-4=0\) ও \(4x-3y-54=0\)

ক. চিত্রে বৃত্তের ব্যসার্ধ \(r=AB=AC=6\) সে.মি.
\(\theta=\angle{BAC}=42^{o}\)
\(=\frac{42\pi}{180}\)
বৃত্তকলা \(ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{r^2\theta}{2}\) বর্গ একক।
\(=\frac{6^2\times{\frac{42\pi}{180}}}{2}\) বর্গ একক।
\(=\frac{36\times{42\pi}}{2\times{180}}\) বর্গ একক।
\(=\frac{21\times{3.142}}{5}\) বর্গ একক।
\(=\frac{66.00}{5}\) বর্গ একক।
\(=13.19\) বর্গ একক (প্রায় )।
খ. \(BDC\) চাপের দৈর্ঘ্য \(=r\theta\)
\(=6\times{\frac{42\pi}{180}}\)
\(=\frac{7\pi}{5}\)
\(=\frac{7\times{3.142}}{5}\)
\(=\frac{21.994}{5}\)
\(=4.4\) সে.মি. (প্রায় )।
\(ABCD\) এর পরিসীমা \(=AB+AC+\)চাপ \(BDC\)
\(=16.4\) সে.মি. (প্রায় )।
গ. বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi{r^2}\) বর্গ একক।
\(=3.1416\times{6^2}\) বর্গ সে.মি.
\(=3.1416\times{36}\) বর্গ সে.মি.
\(=113.098\) বর্গ সে.মি. (প্রায় )।
\(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times{6}\times{6}\times{\sin{42^{o}}}\) বর্গ সে.মি.
\(=18\times{0.669}\) বর্গ সে.মি.
\(=12.044\) বর্গ সে.মি. (প্রায় )।
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=113.098-12.044\) বর্গ সে.মি.
\(=101.054\) বর্গ সে.মি. (প্রায় )।

ক. \(\sin 25^{o}+\cos 25^{o}\)
\(=\sin{25^{o}}+\cos{(90^{o}-65^{o})}\)
\(=\sin{25^{o}}+\sin{65^{o}}\)
\(=2\sin{\left(\frac{25^{o}+65^{o}}{2}\right)}\cos{\left(\frac{25^{o}-65^{o}}{2}\right)}\)
\(=2\sin{\left(\frac{90^{o}}{2}\right)}\cos{\left(\frac{-40^{o}}{2}\right)}\)
\(=2\sin{45^{o}}\cos{(-20^{o})}\)
\(=\sqrt{2}\sqrt{2}\times{\frac{1}{\sqrt{2}}}\cos{20^{o}}\)
\(=\sqrt{2}\cos{20^{o}}\)
ইহাই নির্ণেয় মাণ।
খ. \(\triangle{ABC}\) এ, \(\theta+2\theta+120^{o}=180^{o}\)
\(\Rightarrow 3\theta=180^{o}-120^{o}\)
\(\Rightarrow 3\theta=60^{o}\)
\(\therefore \theta=20^{o}\)
\(\therefore A=\theta=20^{o}\)
এবং \(B=2\theta=2\times{20^{o}}\)
\(=40^{o}\)
ধরি, \(BC=a=2\)
ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{\sin{20^{o}}}=\frac{b}{\sin{40^{o}}}=\frac{c}{\sin{120^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{\sin{40^{o}}}=\frac{c}{\sin{120^{o}}}=\frac{2}{\sin{20^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{\sin{40^{o}}}=\frac{2}{\sin{20^{o}}}, \frac{c}{\sin{120^{o}}}=\frac{2}{\sin{20^{o}}}\)
\(\Rightarrow b=\frac{2\sin{40^{o}}}{\sin{20^{o}}}, c=\frac{2\sin{120^{o}}}{\sin{20^{o}}}\)
\(\Rightarrow b=\frac{2\times{0.643}}{0.342}, c=\frac{2\times{0.866}}{0.342}\)
\(\Rightarrow b=\frac{1.286}{0.342}, c=\frac{1.732}{0.342}\)
\(\therefore b=3.76, c=5.06\) (প্রায় )।
গ. চিত্রানুসারে, \(\theta+\alpha+80^{o}=180^{o}\)
\(\Rightarrow 20^{o}+\alpha+80^{o}=180^{o}\)
\(\Rightarrow \alpha+100^{o}=180^{o}\)
\(\Rightarrow \alpha=180^{o}-100^{o}\)
\(\therefore \alpha=80^{o}\)
\(L.S=P\)
\(=\tan{\theta}\tan{2\theta}\tan{\alpha}\)
\(=\tan{20^{o}}\tan{2\times{20^{o}}}\tan{80^{o}}\)
\(=\tan{20^{o}}\tan{40^{o}}\tan{80^{o}}\)
\(=\tan{20^{o}}\tan{(60^{o}-20^{o})}\tan{(60^{o}+20^{o})}\)
\(=\tan{20^{o}}\times{\frac{\tan{60^{o}}-\tan{20^{o}}}{1+\tan{60^{o}}\tan{20^{o}}}}\times{\frac{\tan{60^{o}}+\tan{20^{o}}}{1-\tan{60^{o}}\tan{20^{o}}}} \)
\(=\tan{20^{o}}\times{\frac{\sqrt{3}-\tan{20^{o}}}{1+\sqrt{3}\tan{20^{o}}}}\times{\frac{\sqrt{3}+\tan{20^{o}}}{1-\sqrt{3}\tan{20^{o}}}} \)
\(=\tan{20^{o}}\times{\frac{(\sqrt{3})^2-\tan^2{20^{o}}}{1^2-(\sqrt{3})^2\tan^2{20^{o}}}}\)
\(=\tan{20^{o}}\times{\frac{3-\tan^2{20^{o}}}{1-3\tan^2{20^{o}}}}\)
\(=\frac{3\tan{20^{o}}-\tan^3{20^{o}}}{1-3\tan^2{20^{o}}}\)
\(=\tan{(3\times{20^{o}})}\)
\(=\tan{60^{o}}\)
\(=\sqrt{3}\)
\(=R.S\)
\(\therefore P=\sqrt{3}\)
দেখানো হলো।

ক. দেওয়া আছে, \(y=\sec{x}\)
\(x\) এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sec{x})\)
\(\Rightarrow y_{1}=\sec{x}\tan{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}(\sec{x}\tan{x})\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec{x}\frac{d}{dx}(\tan{x})+\tan{x}\frac{d}{dx}(\sec{x})\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec{x}\sec^2{x}+\tan{x}\sec{x}\tan{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec^3{x}+\tan^2{x}\sec{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec^3{x}+(\sec^2{x}-1)\sec{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec^3{x}+\sec^3{x}-\sec{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=2\sec^3{x}-\sec{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec{x}(2\sec^2{x}-1)\)
\(\Rightarrow y_{2}=y(2y^2-1)\) ➜Note \(\because \sec{x}=y\)
দেখানো হলো।
খ. দেওয়া আছে, \(y(x+1)(x+2)-x+4=0 ......(1)\)
যেহেতু বক্ররেখাটি \(x\) অক্ষকে ছেদ করে।
সুতরাং \(y=0\)
\(y\) এর মাণ \((1)\) নং এ বসিয়ে,
\(0.(x+1)(x+2)-x+4=0\)
\(\Rightarrow 0-x+4=0\)
\(\Rightarrow -x=-4\)
\(\therefore x=4\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দু \((4, 0)\)
\((1)\) নং হতে,
\(\Rightarrow y(x^2+x+2x+2)-x+4=0\)
\(\Rightarrow y(x^2+3x+2)-x+4=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{y(x^2+3x+2)-x+4\}=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (x^2+3x+2)\frac{dy}{dx}+y\frac{d}{dx}(x^2+3x+2)-\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(4)=0\)
\(\Rightarrow (x^2+3x+2)\frac{dy}{dx}+y(2x+3)-1+0=0\)
\(\Rightarrow (x^2+3x+2)\frac{dy}{dx}=1-2xy-3y\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1-2xy-3y}{x^2+3x+2}\)
\((4, 0)\) বিন্দুতে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{1-2\times{4}\times{0}-3\times{0}}{4^2+3\times{4}+2}\)
\(=\frac{1-0-0}{16+12+2}\)
\(=\frac{1}{30}\)
\((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \(y-0=\frac{1}{30}(x-4)\)
\(\Rightarrow 30y=x-4\)
\(\Rightarrow x-4=30y\)
\(\therefore x-30y-4=0\)
\((4, 0)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, \((x-4)+\frac{1}{30}(y-0)=0\)
\(\Rightarrow 30(x-4)+y=0\) ➜Note \(30\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 30x-120+y=0\)
\(\therefore 30x+y-120=0\)
গ. দেওয়া আছে, \(h(x)=2x^3-3x^2-12x+1 .....(2)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{h(x)\}=\frac{d}{dx}(2x^3-3x^2-12x+1)\) ➜Note \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow h^{\prime}(x)=6x^2-6x-12\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{h^{\prime}(x)\}=\frac{d}{dx}(6x^2-6x-12)\) ➜Noteপুনরায় \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\therefore h^{\prime\prime}(x)=12x-6\)
চরমমানের জন্য \( h^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 6x^2-6x-12=0\) ➜Note \(\because h^{\prime}(x)=6x^2-6x-12\)
\(\Rightarrow 6(x^2-x-2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-x-2=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+x-2=0\)
\(\Rightarrow x(x-2)+1(x-2)=0\)
\(\Rightarrow (x-2)(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, x+1=0\)
\(\therefore x=2, x=-1\)
এখন, \( x=2\) বিন্দুতে, \(h^{\prime\prime}(x)=12\times{2}-6\)
\(=24-6\)
\(=18>0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে, \(h(x)\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মাণ বিদ্যমান।
\(\therefore\) সর্বনিম্ন মাণ \(=2\times{2^3}-3\times{2^2}-12\times{2}+1\)
\(=2\times{8}-3\times{4}-24+1\)
\(=16-12-24+1\)
\(=17-36\)
\(=-19\)
আবার, \( x=-1\) বিন্দুতে, \(h^{\prime\prime}(x)=12\times{-1}-6\)
\(=-12-6\)
\(=-18<0 \)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে, \(h(x)\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মাণ বিদ্যমান।
\(\therefore\) সর্বোচ্চ মাণ \(=2\times{(-1)^3}-3\times{(-1)^2}-12\times{-1}+1\)
\(=2\times{-1}-3\times{1}+12+1\)
\(=-2-3+13\)
\(=13-5\)
\(=8\)

ক. \(\int{\ln{x}dx}\)
\(=\int{\ln{x}.1dx}\)
\(=\ln{x}\int{1dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(\ln{x})\int{1dx}\right\}dx}\) ➜Note \(\because \int{uvdx}=u\int{vdx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(u)\int{vdx}\right\}dx}\)
\(=\ln{x}.x-\int{\left\{\frac{1}{x}\times{x}\right\}dx}\)➜Note \(\because \int{1dx}=x, \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(=x\ln{x}-\int{1dx}\)
\(=x\ln{x}-x+c\) ➜Note এখানে, \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
খ.দৃশ্যকল্প-I: এ দেওয়া আছে, \(f(x)=\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}\)
এখন, \(\int f(x)dx\)
\(=\int{\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1} .......(i)\)
\(\Rightarrow x\equiv A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-1)(x^2+1)\) গুন করে।
এখানে, \((x-1)(x^2+1)\) দুইটি উৎপাদক এর মধ্যে \((x-1)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-1=0\)
\(\Rightarrow x=1\)
এখন, \(x=1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(1^2+1)+(B.1+C).0\)
\(\Rightarrow 1=A(1+1)+0\)
\(\Rightarrow 1=2A\)
\(\Rightarrow 2A=1\)
\(\therefore A=\frac{1}{2}\)
এখন,
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এবং \(x\) এর সহগ সমীকৃত করি। ➜Note অপর উৎপাদকটি \((x^2+1)\) জটিল দ্বিঘাত বলে এটি শুন্য ধরে \(x\) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে না।
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(0=A+B\) ➜Note \(\because (ii)\Rightarrow x\equiv Ax^2+A+Bx^2+Cx-Bx-c\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=-\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because A=\frac{1}{2}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{x^2+1}\)
\(\therefore \frac{x}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2(x^2+1)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{2(x-1)}-\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2(x^2+1)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{4}\int{\frac{2x}{x^2+1}dx}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\ln{|x-1|}-\frac{1}{4}\ln{|x^2+1|}+\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{dx}{x}}=\ln{|x|}\), \(\int{\frac{1}{1+x^2}}=\tan^{-1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{2}\ln{|x-1|}-\frac{1}{4}\ln{|x^2+1|}+\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}+c\)
গ. দৃশ্যকল্প-II: এ দেওয়া আছে, \(2x^2+2y^2=64\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2)=64\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{64}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=32\)
\(\therefore x^2+y^2=(4\sqrt{2})^2\)
যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=4\sqrt{2}\) ➜Note \(\because x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(a\)
প্রদত্ত বৃত্ত দ্বারা প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=OAB\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{4\sqrt{2}}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{4\sqrt{2}}{\sqrt{(4\sqrt{2})^2-x^2}dx}\) ➜Note \(\because x^2+y^2=(4\sqrt{2})^2\)
\(\Rightarrow y^2=(4\sqrt{2})^2-x^2\)
\(\therefore y=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-x^2}\)

\(=\left[\frac{x\sqrt{(4\sqrt{2})^2-x^2}}{2}+\frac{(4\sqrt{2})^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4\sqrt{2}}\right)}\right]_{0}^{4\sqrt{2}}\) ➜Note \(\because \int{\sqrt{a^2-x^2}dx}=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}\)
\(=\left[\frac{x\sqrt{32-x^2}}{2}+\frac{32}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4\sqrt{2}}\right)}\right]_{0}^{4\sqrt{2}}\)
\(=\left[\frac{x\sqrt{32-x^2}}{2}+16\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4\sqrt{2}}\right)}\right]_{0}^{4\sqrt{2}}\)
\(=\frac{4\sqrt{2}\sqrt{32-(4\sqrt{2})^2}}{2}+16\sin^{-1}{\left(\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\right)}-\frac{0.\sqrt{32-0^2}}{2}-16\sin^{-1}{\left(\frac{0}{4\sqrt{2}}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{2}\sqrt{32-32}}{2}+16\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-16\sin^{-1}{(0)}\)
\(=\frac{4\sqrt{2}\sqrt{0}}{2}+16\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-16\sin^{-1}{\sin{0}}\)
\(=\frac{4\sqrt{2}.0}{2}+16\times{\frac{\pi}{2}}-16\times{0}\)
\(=\frac{0}{2}+8\pi-0\)
\(=0+8\pi\)
\(=8\pi\) বর্গ একক।

ক. দেওয়া আছে, \( f(x)=x-1\)
\(\therefore -2<2-f(x)<8\)
\(\Rightarrow -2<2-(x-1)<8\)
\(\Rightarrow -2<2-x+1<8\)
\(\Rightarrow -2<3-x<8\)
\(\Rightarrow -2-3<3-x-3<8-3\) ➜Note প্রতিটি পদ হতে \(3\) বিয়োগ করে।
\(\Rightarrow -5<-x<5\)
\(\Rightarrow 5>x>-5\)
\(\therefore |x|<5\)
খ.দেওয়া আছে, \( f(x)=x-1\)
\(\therefore f(x+2)=x+2-1\)
\(\Rightarrow f(x+2)=x+1\)
এখন, \(\frac{1}{10}>|f(x)|\)
\(\Rightarrow \frac{1}{10}>|x-1|\)
\(\Rightarrow \frac{1}{10}>x-1>-\frac{1}{10}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{10}+1>x-1+1>-\frac{1}{10}+1\) ➜Note প্রতিটি পদের সহিত \(1\) যোগ করে।
\(\Rightarrow \frac{1+10}{10}>x>\frac{-1+10}{10}\)
\(\Rightarrow \frac{11}{10}>x>\frac{9}{10}\)
\(\Rightarrow \frac{121}{100}>x^2>\frac{81}{100}\) ➜Note বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{121}{100}-1>x^2-1>\frac{81}{100}-1\) ➜Note প্রতিটি পদ হতে \(1\) বিয়োগ করে।
\(\Rightarrow \frac{121-100}{100}>x^2-1>\frac{81-100}{100}\)
\(\Rightarrow \frac{21}{100}>x^2-1>\frac{-19}{100}\)
\(\Rightarrow \frac{21}{100}>(x-1)(x+1)>-\frac{19}{100}\)
\(\Rightarrow \frac{21}{100}>f(x)f(x+2)>-\frac{21}{100}\) ➜Note \(\because f(x)=x-1, f(x+2)=x+1; -\frac{19}{100}>-\frac{21}{100}\)
\(\therefore |f(x)f(x+2)|<\frac{21}{100}\)
দেখানো হলো।
গ. দেওয়া আছে, \(|3f(x)-1|<2\)
\(\Rightarrow |3(x-1)-1|<2\)
\(\Rightarrow |3x-3-1|<2\)
\(\Rightarrow |3x-4|<2\)
\(\Rightarrow -2<3x-4<2\)
\(\Rightarrow -2+4<3x-4+4<2+4\) ➜Note প্রতিটি পদের সহিত \(4\) যোগ করে।
\(\Rightarrow 2<3x<6\)
\(\Rightarrow \frac{2}{3}<\frac{3x}{3}<\frac{6}{3}\) ➜Note প্রতিটি পদের সহিত \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 2>x>\frac{2}{3}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান সেট \(=\left\{x\in{\mathbb{R}}:2>x>\frac{2}{3}\right\}\)
নিম্নে সমাধান সেটকে সংখ্যারেখায় দেখানো হলো।

ক. দেওয়া আছে, \(f(x)=ax^2+bx+c\)
এখানে, \(f(x)=0\)
\(\Rightarrow ax^2+bx+c=0 ......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণটির সমাধান,
\(x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)
\(b^2-4ac\) এর সাহায্যে \((1)\) নং সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নিশ্চিতভাবে জানা যায়।
\((i)\) \(b^2-4ac>0\) ও পূর্ণবর্গ হলে, মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও অসমান হবে।
\((ii)\) \( b^2-4ac<0 \) হলে, মূলদ্বয় জটিল ও অসমান হবে।
\((iii)\) \(b^2-4ac=0\) হলে, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
\((iv)\) \(b^2-4ac>0\) ও পূর্ণবর্গ না হলে, মূলদ্বয় বাস্তব, অমূলদ ও অসমান হবে।
খ. ক. হতে প্রাপ্ত \(ax^2+bx+c=0 ......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \beta \) হলে,
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a} \)
\(\Rightarrow a\alpha+a\beta=-b\)
\(\Rightarrow a\alpha+b=-a\beta .....(2)\)
\(\Rightarrow a\beta+b=-a\alpha .....(3)\)
এবং \(\beta\alpha=\frac{c}{a} ......(4)\)
\(L.S=(a\alpha+b)^{-3}+(a\beta+b)^{-3}\)
\(=(-a\beta)^{-3}+(-a\alpha)^{-3}\) ➜Note \(\because a\alpha+b=-a\beta; a\beta+b=-a\alpha\)
\(=\frac{1}{(-a\beta)^{3}}+\frac{1}{(-a\alpha)^{3}}\)
\(=\frac{1}{-a^3\beta^{3}}+\frac{1}{-a^3\alpha^{3}}\)
\(=\frac{1}{-a^3}\left\{\frac{1}{\beta^{3}}+\frac{1}{\alpha^{3}}\right\}\)
\(=-\frac{1}{a^3}\left\{\frac{\alpha^{3}+\beta^{3}}{\alpha^{3}\beta^{3}}\right\}\)
\(=-\frac{1}{a^3}\left\{\frac{(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)}{(\alpha\beta)^{3}}\right\}\)
\(=-\frac{1}{a^3}\left\{\frac{\left(-\frac{b}{a}\right)^3-3\times{\frac{c}{a}}\times{-\frac{b}{a}}}{\left(\frac{c}{a}\right)^{3}}\right\}\)
\(=-\frac{1}{a^3}\left\{\frac{-\frac{b^3}{a^3}+\frac{3bc}{a^2}}{\frac{c^3}{a^3}}\right\}\)
\(=-\frac{1}{a^3}\left\{\frac{\frac{-b^3+3abc}{a^3}}{\frac{c^3}{a^3}}\right\}\)
\(=-\frac{1}{a^3}\times{-\frac{b^3-3abc}{a^3}}\times{\frac{a^3}{c^3}}\)
\(=\frac{b^3-3abc}{a^3c^3}\)
\(=R.S\)
\(\therefore (a\alpha+b)^{-3}+(a\beta+b)^{-3}=\frac{b^3-3abc}{a^3c^3}\)
দেখানো হলো।
গ. ক. হতে প্রাপ্ত \(ax^2+bx+c=0 ......(1)\)
দেওয়া আছে, \(g(x)=cx^2+bx+a\)
এখানে, \(g(x)=0\)
\(\Rightarrow cx^2+bx+a=0 ......(2)\)
মনে করি, \((2)\) নং সমীকরণের একটি মূল \(\alpha\)
\(\therefore (1)\) নং সমীকরণের একটি মূল হবে, \(2\alpha\)
\((2)\) নং সমীকরণ হতে পাই \(c\alpha^2+b\alpha+a=0 ......(3)\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে \(a\alpha^2+b\alpha+c=0 ......(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) নং সমীকরণে বজ্রগুণন পদ্ধতি ব্যবহার করে,
\(\frac{\alpha^2}{bc-2ab}=\frac{\alpha}{4a^2-c^2}=\frac{1}{2bc-4ab}\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha^2}{bc-2ab}=\frac{1}{2bc-4ab}, \frac{\alpha}{4a^2-c^2}=\frac{1}{2bc-4ab}\)
\(\Rightarrow \alpha^2=\frac{bc-2ab}{2(bc-2ab)}, \alpha=\frac{4a^2-c^2}{2bc-4ab}\)
\(\Rightarrow \alpha^2=\frac{1}{2}, \alpha=\frac{4a^2-c^2}{2bc-4ab}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{4a^2-c^2}{2bc-4ab}\right)^2=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \left\{\frac{(2a)^2-c^2}{2b(c-2a)}\right\}^2=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \left\{\frac{(2a-c)(2a+c)}{2b(c-2a)}\right\}^2=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{(2a-c)^2(2a+c)^2}{4b^2(c-2a)^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{(2a-c)^2(2a+c)^2}{2b^2(c-2a)^2}=1\)
\(\Rightarrow 2b^2(c-2a)^2=(2a-c)^2(2a+c)^2\)
\(\Rightarrow 2b^2(2a-c)^2-(2a-c)^2(2a+c)^2=0\)
\(\Rightarrow (2a-c)^2\{2b^2-(2a+c)^2\}=0\)
\(\Rightarrow (2a-c)^2=0, 2b^2-(2a+c)^2=0\)
\(\Rightarrow 2a-c=0, 2b^2=(2a+c)^2\)
\(\therefore 2a=c, 2b^2=(2a+c)^2\)
দেখানো হলো।

ক. \(n=4\)-এর জন্য প্যাসকেলের ত্রিভুজঃ

খ. দেওয়া আছে, \(f(x)=\left(2-\frac{3}{x}\right)^{15}\)
মনে করি, বিস্তৃতিটির \((r+1)\) তম পদ \(x\) বর্জিত।
\(\therefore (r+1)\) তম পদ \(=^{15}C_{r}(2)^{15-r}\left(-\frac{3}{x}\right)^r\)
\(=^{15}C_{r}(2)^{15-r}(-3)^{r}\frac{1}{x^r}\)
\(=^{15}C_{r}(2)^{15-r}(-3)^rx^{-r}\)
যেহেতু \((r+1)\) তম পদ \(x\) বর্জিত
\(\therefore -r=0\)
\(\therefore r=0\)
\(\therefore r+1=0+1=1\) তম বা ১ম পদ \(x\) বর্জিত।
এর মাণ \(=^{15}C_{0}(2)^{15-0}(-3)^0\)
এর মাণ \(=^{15}C_{0}(2)^{15}.1\)
এর মাণ \(=32768\)
গ. দেওয়া আছে, \(f(x)=\left(2-\frac{3}{x}\right)^{15}\)
যেহেতু \(f(x)\) এর বিস্তৃতির ঘাত \(15\) যা বিজোড় সংখ্যা।
সুতরাং বিস্তৃতিটির মধ্যপদ হবে \(2\) টি
১ম মধ্যপদ \(=^{15}C_{\frac{15-1}{2}}(2)^{\frac{15+1}{2}}\left(-\frac{3}{x}\right)^{\frac{15-1}{2}}\) ➜Note \(\because (a+x)^n\) এর বিস্তৃতির ঘাত \(n\) বিজোড় সংখ্যা হলে,
মধ্যপদ হয় \(2\) টি
১ম মধ্যপদ \(=^{n}C_{\frac{n-1}{2}}(a)^{\frac{n+1}{2}}(x)^{\frac{n-1}{2}}\)
২য় মধ্যপদ \(=^{n}C_{\frac{n+1}{2}}(a)^{\frac{n-1}{2}}(x)^{\frac{n+1}{2}}\)

\(=^{15}C_{\frac{14}{2}}(2)^{\frac{16}{2}}\left(-\frac{3}{x}\right)^{\frac{14}{2}}\)
\(=^{15}C_{7}(2)^{8}\left(-\frac{3}{x}\right)^{7}\)
\(=^{15}C_{7}(2)^{8}(-3)^7\) যখন \(x=1\)
২য় মধ্যপদ \(=^{15}C_{\frac{15+1}{2}}(2)^{\frac{15-1}{2}}\left(-\frac{3}{x}\right)^{\frac{15+1}{2}}\)
\(=^{15}C_{\frac{16}{2}}(2)^{\frac{14}{2}}\left(-\frac{3}{x}\right)^{\frac{16}{2}}\)
\(=^{15}C_{8}(2)^{7}\left(-\frac{3}{x}\right)^{8}\)
\(=^{15}C_{8}(2)^{7}(3)^8\) যখন \(x=1\)
মধ্যপদ দুইটির মধ্যে পার্থক্য \(=^{15}C_{8}(2)^{7}(3)^8-^{15}C_{7}(2)^{8}(-3)^7\)
\(=5404164480+3602776320\)
\(=9006940800\)

ক. ধরি, \(\tan^{-1}{x}=\theta\)
\(\Rightarrow x=\tan{\theta}\)
\(\therefore \tan{\theta}=x\)
এখন, \(\sin{2\theta}=\frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\) ➜Note \(\because \sin{2A}=\frac{2\tan{A}}{1+\tan^2{A}}\)
\(\Rightarrow \sin{2\theta}=\frac{2x}{1+x^2}\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=x\)
\(\Rightarrow 2\theta=\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\)
\(\therefore 2\tan^{-1}{x}=\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\)➜Note \(\because \theta=\tan^{-1}{x}\)
দেখানো হলো।
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে, \(\sec^{-1}{\frac{5}{3}}+\cot^{-1}{\frac{11}{5}}+\sin^{-1}{\frac{16}{65}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{4}{3}}+\tan^{-1}{\frac{5}{12}}+\tan^{-1}{\frac{16}{63}}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{4}{3}+\frac{5}{12}}{1-\frac{4}{3}\times{\frac{5}{12}}}\right)}+\tan^{-1}{\frac{16}{63}}\) ➜Note \(\because \tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{48+15}{36}}{1-\frac{20}{36}}\right)}+\tan^{-1}{\frac{16}{63}}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{63}{36}}{\frac{36-20}{36}}\right)}+\tan^{-1}{\frac{16}{63}}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{7}{4}}{\frac{16}{36}}\right)}+\tan^{-1}{\frac{16}{63}}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{7}{4}}{\frac{4}{9}}\right)}+\tan^{-1}{\frac{16}{63}}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{7}{4}\times{\frac{9}{4}}\right)}+\tan^{-1}{\frac{16}{63}}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{63}{16}\right)}+\tan^{-1}{\frac{16}{63}}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{63}{16}+\frac{16}{63}}{1-\frac{63}{16}\times{\frac{16}{63}}}\right)}\) ➜Note \(\because \tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{63}{16}+\frac{16}{63}}{1-1}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{63}{16}+\frac{16}{63}}{0}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\infty}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় মাণ।
গ. দৃশ্যকল্প-২-এ প্রদত্ত সমীকরণ, \(\sqrt{3}\sin{\theta}=2+\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\sin{\theta}-\cos{\theta}=2\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}\sin{\theta}}{2}-\frac{\cos{\theta}}{2}=1\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ কর।
\(\Rightarrow \sin{\theta}\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos{\theta}\frac{1}{2}=1\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}\cos{\frac{\pi}{6}}-\cos{\theta}\sin{\frac{\pi}{6}}=1\)
\(\Rightarrow \sin{\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)}=1\)
\(\Rightarrow \theta-\frac{\pi}{6}=(4n+1)\frac{\pi}{2}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\) ➜Note \(\because \sin{\theta}=1 \Rightarrow \theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)
\(n=0\) হলে, \(\theta=(4.0+1)\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)
\(=(0+1)\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)
\(=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)
\(=\frac{3\pi+\pi}{6}\)
\(=\frac{4\pi}{6}\)
\(=\frac{2\pi}{3}\)
\(n=1\) হলে, \(\theta=(4.1+1)\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)
\(=(4+1)\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)
\(=\frac{5\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)
\(=\frac{15\pi+\pi}{6}\)
\(=\frac{16\pi}{6}\)
\(=\frac{8\pi}{3}\)
\(n=-1\) হলে, \(\theta=(4\times{-1}+1)\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)
\(=(-4+1)\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)
\(=\frac{-3\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)
\(=\frac{-9\pi+\pi}{6}\)
\(=\frac{-8\pi}{6}\)
\(=\frac{-4\pi}{3}\)
\(=-\frac{4\pi}{3}\)
\(n=-2\) হলে, \(\theta=(4\times{-2}+1)\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)
\(=(-8+1)\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)
\(=\frac{-7\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)
\(=\frac{-21\pi+\pi}{6}\)
\(=\frac{-20\pi}{6}\)
\(=\frac{-10\pi}{3}\)
\(=-\frac{10\pi}{3}\)
\(=-\frac{10\pi}{3}\)
\(\therefore -2\pi<\theta<2\pi\) সীমার মধ্যে,
\(\theta=-\frac{4\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\)
নির্ণেয় সমাধানঃ \(\theta=-\frac{4\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\)

ক. ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .....(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((0, 2\sqrt{2})\) ও \((-3, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{0^2}{a^2}+\frac{(2\sqrt{2})^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{8}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{8}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{8}{b^2}=1\)
\(\therefore b^2=8\)
আবার, \(\frac{(-3)^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=1\)
\(\therefore a^2=9\)
\((1)\) হতে,
নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\)
খ. প্রদত্ত কনিকের সমীকরণ, \(16x^2+25y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2}{400}+\frac{25y^2}{400}=1\) ➜Note উভয় পার্শে \(400\) ভাগ কর।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1\) যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
এখানে, \(a=5, b=4 \therefore a>b\) ➜Note \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের সহিত তুলুনা করে।
উপবৃত্তের উতকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜Note \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b\) উপবৃত্তের ,
উতকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)

\(=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(=\frac{3}{5}\)
উপবৃত্তের শীর্ষদ্বয়ের স্থানাংক, \((\pm{a}, 0)\) ➜Note \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b\) উপবৃত্তের ,
শীর্ষদ্বয়ের স্থানাংক, \((\pm{a}, 0)\)

\(\Rightarrow (\pm{5}, 0)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাংক, \((\pm{ae}, 0)\) ➜Note \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b\) উপবৃত্তের ,
উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাংক, \((\pm{ae}, 0)\)

\(\Rightarrow (\pm{5\times{\frac{3}{5}}}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm{3}, 0)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\) ➜Note \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b\) উপবৃত্তের ,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)

\(=\frac{2\times{16}}{5}\)
\(=\frac{32}{5}\) একক।
গ. প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ, \(16x^2+25y^2=400\)
\(\Rightarrow 25y^2=400-16x^2\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{400-16x^2}{25}\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{\frac{16(25-x^2)}{25}}\)
\(\therefore y=\frac{4\sqrt{25-x^2}}{5}\)
\(x\) এর বিভিন্ন মানের জন্য \(y\) এর প্রতিসঙ্গী মানগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করিঃ

\(x\)	\(0\)	\(5\)	\(-5\)	\(4\)	\(-4\)	\(3\)	\(-3\)
\(y\)	\(\pm{4}\)	\(0\)	\(0\)	\(\pm{\frac{12}{5}}\)	\(\pm{\frac{12}{5}}\)	\(\pm{\frac{16}{5}}\)	\(\pm{\frac{16}{5}}\)

ছক কাগজের \(x\) অক্ষ ও \(y\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(3\) বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য \(=1\) একক ধরে প্রাপ্ত বিন্দুগুলি স্থাপন করি। স্থাপিত বিন্দুগুলি যোগ করে কনিকটির লেখচিত্র অঙ্কন করি যা একটি উপবৃত্ত।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বদ্বয়ের সমীকরণ, \(x=\pm{ae}\) ➜Note \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b\) উপবৃত্তের ,
উপকেন্দ্রিক লম্বদ্বয়ের সমীকরণ, \(x=\pm{ae}\)

\(\Rightarrow x=\pm{5\times{\frac{3}{5}}}\)
\(\Rightarrow x=\pm{3}\)
\(\therefore x\pm{3}=0\)
উপবৃত্তের নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ, \(x=\pm{\frac{a}{e}}\) ➜Note \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b\) উপবৃত্তের ,
নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ, \(x=\pm{\frac{a}{e}}\)

\(\Rightarrow x=\pm{\frac{5}{\frac{3}{5}}}\)
\(\Rightarrow x=\pm{\frac{25}{3}}\)
\(\Rightarrow 3x=\pm{25}\)
\(\therefore 3x\pm{25}=0\)

ক. মনে করি, বলদ্বয় যথাক্রমে \(P\) ও \(Q,\) লব্ধি \(R\) এবং বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ \(\alpha\)
তাহলে, \(P=100N\)
\(Q=70N\)
\(\alpha=62^{o}\)
\(\therefore R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}}\)
\(=\sqrt{100^2+70^2+2\times{100}\times{70}\cos{62^{o}}}\)
\(=\sqrt{10000+4900+14000\times{0.469}}\)
\(=\sqrt{14900+6,572.60}\)
\(=\sqrt{21472.60}\)
\(=146.535N\)
ইহাই নির্ণেয় লব্ধির মাণ
খ. মনে করি, \(P\) ও \(Q\) সমমূখী সমান্তরাল বলদ্বয় যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়া করছে এবং তাদের লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল।
তাহলে, \(P.AC=Q.BC ......(1)\)
আবার, \(P\) কে \(R+3\) পরিমাণে ও \(Q\) কে \(S+2\) পরিমাণে বৃদ্ধি করলেও লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল থাকে।
\(\therefore (P+R+3).AC=(Q+S+2).BC ......(2)\)
আবার, \(P, Q\) এর পরিবর্তে যথআক্রমে \(Q, R+3\) ক্রিয়া করলেও লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল থাকে।
\(\therefore Q.AC=(R+3).BC ......(3)\)
\((1)\) নং সমীকরণকে \((3)\) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে,
\(\frac{P}{Q}=\frac{Q}{R+3}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{Q}=\frac{Q}{R+3}=\frac{P-Q}{Q-R-3} ....(4)\)
আবার, \((2)\) নং সমীকরণ হতে \((1)\) নং সমীকরণ বিয়োগ করে,
\((R+3)AC=(S+2)BC ......(5)\)
\((3)\) নং সমীকরণকে \((5)\) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে,
\(\frac{Q}{R+3}=\frac{R+3}{S+2}\)
\(\Rightarrow \frac{Q}{R+3}=\frac{R+3}{S+2}=\frac{Q-R-3}{R+3-S-2}\)
\(\Rightarrow \frac{Q}{R+3}=\frac{R+3}{S+2}=\frac{Q-R-3}{R-S+1} ......(6)\)
এখন, \((4)\) ও \((6)\) হতে,
\(\frac{P-Q}{Q-R-3}=\frac{Q-R-3}{R-S+1}\)
\(\Rightarrow (P-Q)(R-S+1)=(Q-R-3)^2\)
\(\Rightarrow R-S+1=\frac{(Q-R-3)^2}{P-Q}\)
\(\therefore R=S+\frac{(Q-R-3)^2}{P-Q}-1\)
( প্রমাণিত )
গ. 'খ' অংশ হতে প্রাপ্ত \(P.AC=Q.BC ......(1)\)
ধরি, \(R\) মানের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বল \(D\) ও \(E\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত হলো। যেখানে, \(DE=x\)
আবার ধরি, \(C\) ও \(D\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \((P+Q)\) ও \(R\) মানের দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি \((P+Q+R)\) যা \(AB\) রেখার \(G\) বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
সুতরাং \((P+Q)CG=R.DG ......(2)\)
এখন, \(G\) ও \(E\) বিন্দুতে \((P+Q+R)\) ও \(R\) মানের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি \(=P+Q+R-R=P+Q\) যা \(AB\) রেখার \(O\) বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
সুতরাং \((P+Q+R)GO=R.EO\)
\(\Rightarrow (P+Q).GO+R.GO=R.EO\)
\(\Rightarrow (P+Q).GO=R.EO-R.GO\)
\(\Rightarrow (P+Q).GO=(EO-GO).R\)
\(\Rightarrow (P+Q).GO=EG.R\) ➜Note\(\because EO-GO=EG\)
\(\therefore (P+Q).GO=EG.R .....(3)\)
এখন, \((3)\) নং সমীকরণ হতে \((2)\) নং সমীকরণ বিয়োগ করে,
\((P+Q).GO-(P+Q)CG=EG.R-R.DG\)
\(\Rightarrow(P+Q)(GO-CG)=R(EG-DG)\)
\(\Rightarrow(P+Q).CO=R.DE\) ➜Note\(\because GO-CG=CO; EG-DG=DE\)
\(\Rightarrow (P+Q).CO=R.x\)
\(\therefore CO=\frac{xR}{P+Q}\)
অর্থাৎ, অসদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি \(\frac{xR}{P+Q}\) দূরত্বে সরে যাবে।
( প্রমাণিত )

ক. ধরি, সরলরেখা বরাবর সমত্বরণে চলন্ত একটি কণার সমত্বরণ \(f\) এবং \(t\) সময় পরে বেগ \(v\)
\(\therefore \frac{dv}{dt}=f\)
\(\Rightarrow \int{\frac{dv}{dt}dt}=\int{fdt}\) ➜Note \(t\) এর সাপেক্ষে যোগজীকরণ করে।
\(\Rightarrow \int{1dv}=f\int{dt}\)
\(\Rightarrow v=ft+c ....(1)\) ➜Note এখানে \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
আদি অবস্থায় \(t=0, v=u\)
\((1)\) নং হতে \(u=0+c\)
\(\Rightarrow u=c\)
\(\therefore c=u\)
\((1)\) নং সমীকরণে \(c\) এর মাণ বসিয়ে,
\(v=ft+u\)
\(\therefore v=u+ft\)
( প্রমাণিত )
খ. মনে করি, ট্রেনটির সর্বাধিক বেগ \(v\) একক
এবং \(t_{1}\) ও \(t_{2}\) মিনিট ধরে যথাক্রমে \(x\) সমত্বরণে ও \(y\) সমমন্দনে চলে \(S_{1}\) ও \(S_{2}\) দূরত্ব অতিক্রম করে।
তাহলে, \(S_{1}+S_{2}=2 .....(1)\)
এবং \(t_{1}+t_{2}=4 .....(2)\)
আবার, গড়বেগ \(\frac{S_{1}}{t_{1}}=\frac{0+v}{2}\)
\(\therefore S_{1}=\frac{v}{2}t_{1} ......(3)\)
এবং \(\frac{S_{2}}{t_{2}}=\frac{v+0}{2}\)
\(\therefore S_{2}=\frac{v}{2}t_{2} ......(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) যোগ করে,
\(S_{1}+S_{2}=\frac{v}{2}(t_{1}+t_{2})\)
\(\Rightarrow 2=\frac{v}{2}\times{4}\) ➜Note \(\because S_{1}+S_{2}=2; t_{1}+t_{2}=4\)
\(\Rightarrow 2=2v\)
\(\Rightarrow 2v=2\)
\(\therefore v=1\)
আবার, \( v=u+ft\) সূত্র ব্যবহার করে।
\(v=0+xt_{1}\)
\(\Rightarrow xt_{1}=v\)
\(\Rightarrow xt_{1}=1\)
\(\therefore t_{1}=\frac{1}{x} ......(5)\)
এবং
\(0=v-yt_{2}\)
\(\Rightarrow yt_{2}=1\)
\(\therefore t_{2}=\frac{1}{y} ......(6)\)
\((5)\) ও \((6)\) যোগ করে,
\(t_{1}+t_{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(\Rightarrow 4=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) ➜Note \(\because t_{1}+t_{2}=4\)
\(\therefore \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\)
( প্রমাণিত )
গ. মনে করি, ব্রেক প্রয়োগ করার মূহুর্তে বিপরীত দিক হতে অগ্রসরমান গাড়ি দুইটির অবস্থান ছিল যথাক্রমে \(A\) এবং \(B\) বিন্দুতে
সুতরাং, \(AB=x\)
ধরি, উভয় গাড়িতে ব্রেক করার পর এরা যথাক্রমে \(x_{1}\) এবং \(x_{2}\) দূরত্ব অতিক্রম করে থেমে যায়।
প্রথম গাড়ির ক্ষেত্রে, আদিবেগ \(=u_{1}\) এবং মন্দন \(=a_{1}\)
\(\therefore u_{1}^2-2a_{1}x_{1}=0\)
\(\Rightarrow -2a_{1}x_{1}=-u_{1}^2\)
\(\Rightarrow x_{1}=\frac{-u_{1}^2}{-2a_{1}}\)
\(\therefore x_{1}=\frac{u_{1}^2}{2a_{1}} .....(1)\)
আবার, দ্বিতীয় গাড়ির ক্ষেত্রে, আদিবেগ \(=u_{2}\) এবং মন্দন \(=a_{2}\)
\(\therefore u_{2}^2-2a_{2}x_{2}=0\)
\(\Rightarrow -2a_{2}x_{2}=-u_{2}^2\)
\(\Rightarrow x_{2}=\frac{-u_{2}^2}{-2a_{2}}\)
\(\therefore x_{2}=\frac{u_{2}^2}{2a_{2}} .....(2)\)
এদের সংঘর্ষ কোনো রকমে এড়ানো সম্ভব যদি,
\(x_{1}+x_{2}\le{x}\) হয়।
\(\Rightarrow \frac{u_{1}^2}{2a_{1}}+\frac{u_{2}^2}{2a_{2}}\le{x}\) ➜Note \(\because x_{1}=\frac{u_{1}^2}{2a_{1}}; x_{2}=\frac{u_{2}^2}{2a_{2}}\)
\(\therefore u_{1}^2a_{2}+u_{2}^2a_{1}\le{2a_{1}a_{2}x}\) ➜Note উভয় পার্শে \(2a_{1}a_{2}\) গুণ করে।
\(\therefore\) কোনো রকমে সংঘর্ষ এড়ানো সম্ভব যদি \(u_{1}^2a_{2}+u_{2}^2a_{1}\le{2a_{1}a_{2}x}\) হয়।
( দেখানো হলো )

ক. তিনটি মুদ্রা নিক্ষেপের নমুনাক্ষেত্র নিম্নরূপঃ

	\(HH\)	\(HT\)	\(TH\)	\(TT\)
\(H\)	\(HHH\)	\(HHT\)	\(HTH\)	\(HTT\)
\(T\)	\(THH\)	\(THT\)	\(TTH\)	\(TTT\)

\(\therefore S=\{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}\)
ইহাই নির্ণেয় নমুনা ক্ষেত্র।
খ. দেওয়া আছে, \(S=\{1, 2, 3, ......., 50\}\)
মনে করি, সংখ্যাটির \(3\) অথবা \(5\) এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা \(=P(A)\)
এখন \(1\) থেকে \(50\) পর্যন্ত মোট সংখ্যা \(=50\) টি।
এখানে, \(1\) থেকে \(50\) এর মধ্যে \(3\) এর গুণিতক আছে \(=3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48=16\) টি
এবং \(1\) থেকে \(50\) এর মধ্যে \(5\) এর গুণিতক আছে \(=5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50=10\) টি
আবার, \(3\) ও \(5\) এর সাধারণ গুণিতক আছে \(=15, 30, 45=3\) টি
সুতরাং সংখ্যাটির \(3\) অথবা \(5\) এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা,
\(P(A)=\frac{^{16}C_{1}}{^{50}C_{1}}+\frac{^{10}C_{1}}{^{50}C_{1}}-\frac{^{3}C_{1}}{^{50}C_{1}}\)
\(=\frac{16}{50}+\frac{10}{50}-\frac{3}{50}\)
\(=\frac{16+10-3}{50}\)
\(=\frac{26-3}{50}\)
\(=\frac{23}{50}\)
ইহাই নির্ণেয় সম্ভাবনা।
গ. দেওয়া আছে, \(S=\{1, 2, 3, ......., 50\}\)
মনে করি, \(S\) এর জোড় সংখ্যাগুলির চলক,
\(x_{i}=2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50\)
এখানে মোট সদস্য \(n=25\)
\(\therefore \sum{x_{i}}=2+4+6+....+50\)
\(=2(1+2+3+....+25)\)
\(=2\times{\frac{25(25+1)}{2}}\)
\(=2\times{\frac{25\times{26}}{2}}\)
\(=2\times{25\times{13}}\)
\(=2\times{325}\)
\(=650\)
আবার, \(\sum{x_{i}^2}=2^2+4^2+6^2+....+50^2\)
\(=2^2(1^2+2^2+3^2+....+25^2)\)
\(=4\times{\frac{25(25+1)(2\times{25}+1)}{6}}\)
\(=4\times{\frac{25\times{26}(50+1)}{6}}\)
\(=4\times{\frac{25\times{13}\times{51}}{3}}\)
\(=4\times{25\times{13}\times{17}}\)
\(=22100\)
ভেদাংক, \(\sigma^2=\frac{\sum{x_{i}^2}}{n}-\left(\frac{\sum{x_{1}}}{n}\right)^2\)
\(=\frac{22100}{25}-\left(\frac{650}{25}\right)^2\)
\(=884-\left(26\right)^2\)
\(=884-676\)
\(=208\)
ইহাই নির্ণেয় ভেদাংক।

ক. দেওয়া আছে,
\(\begin{bmatrix}x & 2 \\x & 2 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী
\(\therefore \left|\begin{array}{c}x & 2\\ x & 2\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow 2x-2x=0\)
ইহা স্পষ্ট যে, \(x\in{\mathbb{R}}\)
খ.দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=3x^2+5x\)
দেওয়া আছে, \(A=\left(\begin{array}{c}2 & 1 & 5 \\-1 & 4 & 3 \\4 & -7 & 5 \end{array}\right)\)
\(\therefore f(A)=3A^2+5A\)
\(=3\left(\begin{array}{c}2 & 1 & 5 \\-1 & 4 & 3 \\4 & -7 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2 & 1 & 5 \\-1 & 4 & 3 \\4 & -7 & 5 \end{array}\right)+5\left(\begin{array}{c}2 & 1 & 5 \\-1 & 4 & 3 \\4 & -7 & 5 \end{array}\right)\)
\(=3\left(\begin{array}{c}4-1+20 & 2+4-35 & 10+3+25 \\-2-4+12 & -1+16-21 & -5+12+15 \\8+7+20 & 4-28-35 & 20-21+25 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}10 & 5 & 25 \\-5 & 20 & 15 \\20 & -35 & 25 \end{array}\right)\)
\(=3\left(\begin{array}{c}23 & -29 & 38 \\6 & -6 & 22 \\35 & -59 & 24 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}10 & 5 & 25 \\-5 & 20 & 15 \\20 & -35 & 25 \end{array}\right)\)
\(=3\left(\begin{array}{c}23 & -29 & 38 \\6 & -6 & 22 \\35 & -59 & 24 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}10 & 5 & 25 \\-5 & 20 & 15 \\20 & -35 & 25 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}69 & -87 & 114 \\18 & -18 & 66 \\105 & -177 & 72 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}10 & 5 & 25 \\-5 & 20 & 15 \\20 & -35 & 25 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}69+10 & -87+5 & 114+25 \\18-5 & -18+20 & 66+15 \\105+20 & -177-35 & 72+25 \end{array}\right)\)
\(\therefore f(A)=\left(\begin{array}{c}79 & -82 & 139 \\13 & 2 & 81 \\125 & -212 & 97 \end{array}\right)\)
গ. দেওয়া আছে,
\(B=\begin{bmatrix} \ l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \\l^3-1 & m^3-1 & n^3-1 \end{bmatrix}\)
\(\therefore |B|=\left|\begin{array}{c} \ l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \\l^3-1 & m^3-1 & n^3-1 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} \ l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \\l^3 & m^3 & n^3 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{c} \ l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \\-1 & -1 & -1 \end{array}\right|\) ➜Note সর্বনিম্ন সারি অর্থাৎ তৃতীয় সারি বিশ্লেষণ করে।
\(=\left|\begin{array}{c} \ l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \\l^3 & m^3 & n^3 \end{array}\right|-\left|\begin{array}{c} \ l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \\1 & 1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=lmn\left|\begin{array}{c} \ 1 & 1 & 1 \\l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{c} \ l & m & n \\1 & 1 & 1 \\l^2 & m^2 & n^2 \end{array}\right|\)
\(=lmn\left|\begin{array}{c} \ 1 & 1 & 1 \\l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \end{array}\right|-\left|\begin{array}{c} \ 1 & 1 & 1 \\l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \end{array}\right|\)
\(=(lmn-1)\left|\begin{array}{c} \ 1 & 1 & 1 \\l & m & n \\l^2 & m^2 & n^2 \end{array}\right|\)
\(=(lmn-1)\left|\begin{array}{c} \ 1-1 & 1-1 & 1 \\l-m & m-n & n \\l^2-m^2 & m^2-n^2 & n^2 \end{array}\right|\) ➜Note \(C_{1}^{\prime}=C_{1}-C_{2}, \ C_{2}^{\prime}=C_{2}-C_{3}\) ব্যবহার করে।
\(=(lmn-1)\left|\begin{array}{c} \ 0 & 0 & 1 \\l-m & m-n & n \\(l-m)(l+m) & (m-n)(m+n) & n^2 \end{array}\right|\)
\(=(lmn-1)(l-m)(m-n)\left|\begin{array}{c} \ 0 & 0 & 1 \\1 & 1 & n \\l+m & m+n & n^2 \end{array}\right|\)
\(=(lmn-1)(l-m)(m-n)\left|\begin{array}{c} 1 & 1 \\l+m & m+n \end{array}\right|\)
\(=(lmn-1)(l-m)(m-n)(m+n-l-m)\)
\(=(lmn-1)(l-m)(m-n)(n-l)\)
\(\therefore |B|=(lmn-1)(l-m)(m-n)(n-l)\)
( প্রমাণিত )

ক. ধরি, \((-4, -4)\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\)
এখানে, \(x=-4, y=-4\)
\(\therefore r=\sqrt{x^2+y^2}\) ➜Note
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(-4)^2}\) \(=\sqrt{16+16}\) \(=\sqrt{32}\) \(=4\sqrt{2}\) আবার,
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\) ➜Note
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(=tan^{-1}\frac{-4}{-4}\)
\(=tan^{-1}{1}\)
\(=tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=\frac{\pi}{4}\)
কিন্তু \((-4, -4)\) বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
\(\therefore \theta=\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi+\pi}{4}\)
\(=\frac{5\pi}{4}\)
\(\therefore\) বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক \(\left(4\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4}\right)\)
খ. \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ \(5x+9y=27\)
\(\therefore 5x+9y-27=0 ....(1)\)
\(AB\) এর সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x+9y+k=0 .....(2)\) ➜Note \(\because ax+by+c=0\) এর সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ,
\(ax+by+k=0\)
\((1)\) ও \((2)\) সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\frac{|k+27|}{\sqrt{5^2+9^2}}\) ➜Note \(\because ax+by+c_{1}=0\) ও \(ax+by+c_{2}=0\) সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,
\(=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|k+27|}{\sqrt{25+81}}\)
\(=\frac{|k+27|}{\sqrt{106}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{|k+27|}{\sqrt{106}}=4\)
\(\Rightarrow |k+27|=4\sqrt{106}\)
\(\Rightarrow k+27=\pm{4\sqrt{106}}\)
\(\therefore k=-27\pm{4\sqrt{106}}\)
\(k=-27\pm{4\sqrt{106}}\), \((2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(5x+9y-27\pm{4\sqrt{106}}=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
গ. \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ \(5x+9y=27\)
\(\therefore AB\) সরলরেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{5}{9}\) ➜Note \(\because ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল,
\(=-\frac{a}{b}\)
ধরি, নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল \(m\)
\((5, 4)\) বিন্দুগামী এবং \(m\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ \(y-4=m(x-5) .....(3)\) ➜Note \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী এবং \(m\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-y_{1}=m(x-x_{1})\)
শর্তমতে,
\(\tan{45^{o}}=\pm{\frac{m-m_{1}}{1+mm_{1}}}\) ➜Note \(y=m_{1}x+c_{1}\) ও \(y=m_{2}x+c_{2}\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ,
\(=\pm{\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm{\frac{m+\frac{5}{9}}{1+m\times{-\frac{5}{9}}}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm{\frac{m+\frac{5}{9}}{1-\frac{5m}{9}}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm{\frac{9m+5}{9-5m}}\) ➜Note লব ও হরের সহিত \(9\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 9m+5=\pm{(9-5m)}\)
\(\Rightarrow 9m+5=9-5m, 9m+5=-9+5m\)
\(\Rightarrow 9m+5m=9-5, 9m-5m=-9-5\)
\(\Rightarrow 14m=4, 4m=-14\)
\(\Rightarrow m=\frac{4}{14}, m=-\frac{14}{4}\)
\(\Rightarrow m=\frac{2}{7}, m=-\frac{7}{2}\)
\(\therefore m=\frac{2}{7}, -\frac{7}{2}\)
\(m\) এর মাণ \((3)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
যখন, \(m=\frac{2}{7}\)
\(y-4=\frac{2}{7}(x-5)\)
\(\Rightarrow 7y-28=2x-10\)
\(\Rightarrow 2x-10=7y-28\)
\(\Rightarrow 2x-7y-10+28=0\)
\(\therefore 2x-7y+18=0\)
যখন, \(m=-\frac{7}{2}\)
\(y-4=-\frac{7}{2}(x-5)\)
\(\Rightarrow 2y-8=-7x+35\)
\(\Rightarrow 7x+2y-8-35=0\)
\(\therefore 7x+2y-43=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(2x-7y+18=0; 7x+2y-43=0\)

ক. দেওয়া আছে, \(^nP_{2}=3\times{^nC_{3}}\)
\(\therefore \frac{n!}{(n-2)!}=3\times{\frac{n!}{(n-3)!3!}}\) ➜Note \(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)
\(^nC_{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
\(\Rightarrow \frac{n!}{(n-2)(n-3)!}=3\times{\frac{n!}{(n-3)!3!}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(n-2)}=3\times{\frac{1}{3.2.1}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(n-2)}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow n-2=2\)
\(\Rightarrow n=2+2\)
\(\therefore n=4\)
খ. দেওয়া আছে, \(A=3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}\) এবং \(B=\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}\)
\(A\) বরাবর \(B\) এর উপাংশ \(=\left(\frac{A.B}{|A|}\right)\left(\frac{A}{|A|}\right)\)
\(=\left(\frac{(3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}).(\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k})}{|3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}|}\right)\left(\frac{3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{|3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}|}\right)\)
\(=\left(\frac{3.1+2.(-4)+6.(-3)}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}}\right)\left(\frac{3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}}\right)\)
\(=\left(\frac{3-8-18}{\sqrt{9+4+36}}\right)\left(\frac{3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{9+4+36}}\right)\)
\(=\frac{-23}{\sqrt{49}}\left(\frac{3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{49}}\right)\)
\(=\frac{-23}{7}\left(\frac{3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{7}\right)\)
\(=\frac{-23}{49}(3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k})\)
ইহাই নির্ণেয় উপাংশ।
গ. \(0, 3, 4, 5, 6, 9\) অংকগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে ছয় অঙ্কবিশিষ্ট অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা গঠন করতে হলে অবশ্যই একক স্থানে \(0\) অথবা \(4\) অথবা \(6\) রাখতে হবে।
একক স্থানে \(0\) রেখে অবশিষ্ট \(5\) টি অংককে \(5\) টি স্থানে সাজানোর উপায় \(=5!\)
\(=5.4.3.2.1\)
\(=120\)
যে সমস্ত সংখ্যার প্রথম স্থানে \(0\) থাকবে সেগুলি ছয় অংকবিশীষ্ট হবে না।
প্রথম স্থানে \(0\) এবং একক স্থানে \(4\) অথবা \(6\) রেখে অবশিষ্ট \(4\) টি অংককে \(4\) টি স্থানে সাজানোর উপায় \(=4!\)
\(=4.3.2.1\)
\(=24\)
একক স্থানে \(4\) রেখে অবশিষ্ট \(5\) টি অংককে \(5\) টি স্থানে সাজানোর উপায় \(=5!\)
\(=5.4.3.2.1\)
\(=120\)
একক স্থানে \(4\) রেখে ছয় অংকবিশিষ্ট সংখ্যা \(=120-24\) টি।
\(=96\) টি।
অনুরূপভাবে
একক স্থানে \(6\) রেখে ছয় অংকবিশিষ্ট সংখ্যা \(=96\) টি।
\(\therefore \) মোট জোড় সংখ্যা গঠনের উপায় \(=120+96+96\)
\(=312\)

ক. দেওয়া আছে, একটি বৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ,
\(x^2=1-t^2 .....(1)\)
এবং \(y=t.......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ হতে পাই,
\(x^2=1-y^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=1\)
\(\therefore (x-0)^2+(y-0)^2=1\)
\(\therefore \) বৃত্তটির কেন্দ্র \((0, 0)\)
খ. চিত্রে মূলবিন্দু \((0, 0) \) এবং \(C(2, 2)\)
\(\therefore OC=\sqrt{(0-2)^2+(0-2)^2} \)
\(=\sqrt{4+4}\)
\(=\sqrt{8}\)
\(=2\sqrt{2}\)
যেহেতু মূলবিন্দু হতে \(EF\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{2}\) এবং লম্বটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore EF\) সরলরেখার সমীকরণ,
\(x\cos{45^{o}}+y\sin{45^{o}}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x.\frac{1}{\sqrt{2}}+y.\frac{1}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x+y=2\sqrt{2}\times{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x+y=2\times{2}\)
\(\Rightarrow x+y=4\)
\(\therefore \frac{x}{4}+\frac{y}{4}=1\)
উপরোক্ত সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(E(4, 0)\) ও \(F(0, 4)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(P\) বিন্দুটি \(EF\) রেখাংশকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{2.0+1.4}{2+1},\frac{2.4+1.0}{2+1}\right)\) ➜Note \(A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2})\)
\(R\) বিন্দুটি \(AB\) রেখাংশকে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{m.x_{2}+n.x_{1}}{m+n},\frac{m.y_{2}+n.y_{1}}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{0+4}{3},\frac{8+0}{3}\right)\)
\(\therefore P\left(\frac{4}{3},\frac{8}{3}\right)\)
\(\therefore OP\) সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{4}{3}}x\) ➜Note \(A(x_{1}, y_{1})\)
\(\therefore OA\) সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{8}{3}\times{\frac{3}{4}}x\)
\(\Rightarrow y=2x\)
\(\Rightarrow 2x=y\)
\(\therefore 2x-y=0\)
আবার,
\(P\) বিন্দুটি \(EF\) রেখাংশকে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{1.0+2.4}{1+2},\frac{1.4+2.0}{1+2}\right)\) ➜Note \(A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2})\)
\(R\) বিন্দুটি \(AB\) রেখাংশকে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{m.x_{2}+n.x_{1}}{m+n},\frac{m.y_{2}+n.y_{1}}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{0+8}{3},\frac{4+0}{3}\right)\)
\(\therefore P\left(\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right)\)
\(\therefore OP\) সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{8}{3}}x\) ➜Note \(A(x_{1}, y_{1})\)
\(\therefore OA\) সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{4}{3}\times{\frac{3}{8}}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{2}x\)
\(\Rightarrow 2y=x\)
\(\Rightarrow x=2y\)
\(\therefore x-2y=0\)
\(\therefore OP\) সরলরেখার সমীকরণ, \( 2x-y=0; x-2y=0\)
গ. চিত্রানুযায়ী নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র \(C(2, 2)\)
দেওয়া আছে, \(OD=3\sqrt{2}\) একক।
\(OC=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}\)
\(=\sqrt{4+4}\)
\(=\sqrt{8}\)
\(=2\sqrt{2}\)
ব্যসার্ধ, \(CD=OD-OC\)
\(=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}\)
\(=\sqrt{2}\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-2)^2+(y-2)^2=(\sqrt{2})^2\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2-4y+4=2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-4y+8-2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-4x-4y+6=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ক. \(L.S=\sin{44^{o}}+\cos{44^{o}}\)
\(=\sin{(90^{o}-46^{o})}+\cos{44^{o}}\)
\(=\cos{46^{o}}+\cos{44^{o}}\)
\(=2\cos{\frac{46^{o}+44^{o}}{2}}\cos{\frac{46^{o}-44^{o}}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(=2\cos{\frac{90^{o}}{2}}\cos{\frac{2^{o}}{2}}\)
\(=2\cos{45^{o}}\cos{1^{o}}\)
\(=\sqrt{2}\sqrt{2}\times{\frac{1}{\sqrt{2}}}\cos{1^{o}}\)
\(=\sqrt{2}\cos{1^{o}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore \sin{44^{o}}+\cos{44^{o}}=\sqrt{2}\cos{1^{o}}\)
( প্রমাণিত )
খ. দেওয়া আছে, \(h(x)=\sin{mx}\)
\(m=4\) হলে, \(h(x)=\sin{4x}\)
ধরি, \(y=h(x)=\sin{4x}, \ 0^{o}\le{x}\le{180^{o}}\)
প্রদত্ত ফাংশনটি সাইন ফাংশন। সাইন সারণি হতে \(x=0^{o}\) হতে \(x=180^{o}\) পর্যন্ত \(x\) এর কয়েকটি মাণ নিয়ে \(y\) এর আনুষঙ্গিক মাণ বের করে নিচের ছকে বসানো হয়েছে।

\(x\)

\(0^{o}\)

\(15^{o}\)

\(30^{o}\)

\(45^{o}\)

\(60^{o}\)

\(75^{o}\)

\(90^{o}\)

\(105^{o}\)

\(120^{o}\)

\(135^{o}\)

\(150^{o}\)

\(165^{o}\)

\(180^{o}\)

\(y\)

\(0\)

\(0.87\)

\(0.87\)

\(0\)

\(-0.87\)

\(-0.87\)

\(0\)

\(0.87\)

\(0.87\)

\(0\)

\(-0.87\)

\(-0.87\)

\(0\)

স্কেলঃ \(x\) অক্ষ বরাবর ছোট বর্গক্ষেত্রের \(1\) বাহু \(=10^{o}\) এবং \(y\) অক্ষ বরাবর ছোট বর্গক্ষেত্রের \(10\) বাহু \(1\) একক ধরে বিন্দুগুলি গ্রাফ কাগজে বসিয়ে সুষমভাবে যোগ করে \(\sin{4x}\) এর লেখচিত্র অঙ্কন করিঃ
গ. দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যসার্ধ, \(r=AB=5\)সে.মি.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi r^2\)
\(=3.1416\times{5^2}\)
\(=3.1416\times{25}\)
\(=78.54\) বর্গ সে.মি. ( প্রায় )
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ \(\theta=\angle{ABC}\)
\(=50^{o}\)
\(=\frac{50\pi}{180}\)
\(=\frac{5\pi}{18}\)
\(ABC\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{r^2\theta}{2}\)
\(=\frac{5^2\times{5\pi}}{2\times{18}}\)
\(=\frac{125\times{3.1416}}{36}\)
\(=\frac{392.7‬}{36}\)
\(=10.91\) বর্গ সে.মি. ( প্রায় )
চিত্রে গাড় অংশের ক্ষেত্রফল \(=78.54-10.91 \)
\(=67.63 \) বর্গ সে.মি. ( প্রায় )

ক. \(R.S=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{8+8\cos{6x}}}}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{8(1+\cos{2.3x}})}}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{8.2\cos^2{3x}}}}\) ➜Note \(\because 1+\cos{2A}=2\cos^2{A}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{16\cos^2{3x}}}}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+4\cos{3x}}}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4(1+\cos{2.\frac{3x}{2}})}}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4.2\cos^2{\frac{3x}{2}}}}\) ➜Note \(\because 1+\cos{2A}=2\cos^2{A}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{8\cos^2{\frac{3x}{2}}}}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cos{\frac{3x}{2}}}\)
\(=\frac{1}{\cos{\frac{3x}{2}}}\)
\(=\sec{\left(\frac{3x}{2}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\cos{A}}=\sec{A}\)
\(=L.S\)
\(\therefore \sec{\left(\frac{3x}{2}\right)}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{8+8\cos{6x}}}}\)
( প্রমাণিত )
খ. দেওয়া আছে, \(p=\sin{2\alpha}, q=\sin{2\beta}, r=\cos{2\alpha}, s=\cos{2\beta}, t=\sin{2\gamma}\)
শর্তমতে, \(p+q=c\)
\(\therefore \sin{2\alpha}+\sin{2\beta}=c ....(1)\)
এবং, \(r+s=d\)
\(\therefore \cos{2\alpha}+\cos{2\beta}=d ....(2)\)
\((2)\div{(1)}\) এর সাহায্যে।
\(\frac{\cos{2\alpha}+\cos{2\beta}}{\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}}=\frac{d}{c}\)
\(\Rightarrow \frac{2\cos{\frac{2\alpha+2\beta}{2}}\cos{\frac{2\alpha-2\beta}{2}}}{2\sin{\frac{2\alpha+2\beta}{2}}\cos{\frac{2\alpha-2\beta}{2}}}=\frac{d}{c}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{\frac{2(\alpha+\beta)}{2}}}{\sin{\frac{2(\alpha+\beta)}{2}}}=\frac{d}{c}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{(\alpha+\beta)}}{\sin{(\alpha+\beta)}}=\frac{d}{c}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos^2{(\alpha+\beta)}}{\sin^2{(\alpha+\beta)}}=\frac{d^2}{c^2}\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{\cos^2{(\alpha+\beta)}+\sin^2{(\alpha+\beta)}}{\cos^2{(\alpha+\beta)}-\sin^2{(\alpha+\beta)}}=\frac{d^2+c^2}{d^2-c^2}\) ➜Note যোজন-বিয়োজন করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{\cos{2(\alpha+\beta)}}=\frac{d^2+c^2}{d^2-c^2}\) ➜Note \(\sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)
\(\cos^2{A}-\sin^2{A}=\cos{2A}\)
\(\Rightarrow \cos{2(\alpha+\beta)}=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}\) ➜Note \(\frac{p}{q}=\frac{r}{s} \Rightarrow \frac{q}{p}=\frac{s}{r}\)
\(\therefore \cos{(2\alpha+2\beta)}=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}\)
( প্রমাণিত )
গ. \(L.S=p^2+q^2+t^2\)
\(=\sin^2{2\alpha}+\sin^2{2\beta}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=\frac{1}{2}(2\sin^2{2\alpha}+2\sin^2{2\beta})+\sin^2{2\gamma}\)
\(=\frac{1}{2}(1-\cos{4\alpha}+1-\cos{4\beta})+\sin^2{2\gamma}\) ➜Note \(\because 2\sin^2{A}=1-\cos{2A}\)
\(=\frac{1}{2}\{2-(\cos{4\alpha}+\cos{4\beta})\}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=\frac{1}{2}\{2-2\cos{\frac{4\alpha+4\beta}{2}}\cos{\frac{4\beta-4\alpha}{2}}\}+\sin^2{2\gamma}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(=1-\cos{\frac{2(2\alpha+2\beta)}{2}}\cos{\frac{2(2\beta-2\alpha)}{2}}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=1-\cos{(2\alpha+2\beta)}\cos{(2\beta-2\alpha)}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=1-\cos{(2\pi-2\gamma)}\cos{(2\beta-2\alpha)}+1-\cos^2{2\gamma}\) ➜Note \(\because \alpha+\beta+\gamma=\pi\)
\(\Rightarrow 2\alpha+2\beta+2\gamma=2\pi\)
\(\Rightarrow 2\alpha+2\beta=2\pi-2\gamma\)

\(=2-\cos{2\gamma}\cos{(2\beta-2\alpha)}-\cos^2{2\gamma}\)
\(=2-\cos{2\gamma}\{\cos{(2\beta-2\alpha)}+\cos{2\gamma}\}\)
\(=2-\cos{2\gamma}[\cos{(2\beta-2\alpha)}+\cos{\{2\pi-(2\alpha+2\beta)\}}]\) ➜Note \(\because \alpha+\beta+\gamma=\pi\)
\(\Rightarrow 2\alpha+2\beta+2\gamma=2\pi\)
\(\Rightarrow 2\gamma=2\pi-(2\alpha+2\beta)\)

\(=2-\cos{2\gamma}[\cos{(2\beta-2\alpha)}+\cos{(2\alpha+2\beta)}]\)
\(=2-\cos{2\gamma}2\cos{2\beta}\cos{2\alpha}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)
\(=2-2\cos{2\alpha}\cos{2\beta}\cos{2\gamma}\)
\(=R.S\)
\(\therefore p^2+q^2+t^2=2-2\cos{2\alpha}\cos{2\beta}\cos{2\gamma}\)
( প্রমাণিত )

ক. বক্ররেখার সমীকরণ, \(x^2-y^2=5\)
\(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে,
\(2x-2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow -2y\frac{dy}{dx}=-2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{-2y}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\)
\((-3, 2)\) বিন্দুতে ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-3, 2)}=\frac{-3}{2}\)
\(=-\frac{3}{2}\)
\((-3, 2)\) বিন্দুতে প্রদত্ত বক্ররেখার স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-2=-\frac{3}{2}(x+3)\) ➜Note \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী \(m\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-y_{1}=m(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow 2y-4=-3x-9\)
\(\Rightarrow 3x+2y-4+9=0\)
\(\therefore 3x+2y+5=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
খ. দেওয়া আছে, \(f(x)=x+6\) এবং \(g(x)=x^2\)
\(\therefore \int{\frac{xdx}{f(x)\{g(x)+4\}}}=\int{\frac{xdx}{(x+6)(x^2+4)}}\)
\(\int{\frac{xdx}{(x+6)(x^2+4)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x}{(x+6)(x^2+4)}\equiv \frac{A}{x+6}+\frac{Bx+C}{x^2+4} .......(i)\)
\(\Rightarrow x\equiv A(x^2+4)+(Bx+C)(x+6) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x+6)(x^2+4)\) গুন করে।
এখানে, \((x+6)(x^2+4)\) দুইটি উৎপাদক এর মধ্যে \((x+6)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x+6=0\)
\(\Rightarrow x=-6\)
এখন, \(x=-6\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(-6=A\{(-6)^2+4\}+\{B.(-6)+C\}.0\)
\(\Rightarrow -6=A(36+4)+0\)
\(\Rightarrow -6=40A\)
\(\Rightarrow 40A=-6\)
\(\therefore A=\frac{-6}{40}\)
\(\therefore A=-\frac{3}{20}\)
এখন,
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এবং \(x\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই। ➜Note অপর উৎপাদকটি \((x^2+4)\) জটিল দ্বিঘাত বলে এটি শুন্য ধরে \(x\) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে না।
\(0=A+B\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=\frac{3}{20}\) ➜Note \(\because A=-\frac{3}{2}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x}{(x+6)(x^2+4)}=\frac{-\frac{3}{20}}{x+6}+\frac{\frac{3}{20}x+\frac{1}{10}}{x^2+4}\)
\(\therefore \frac{x}{(x+6)(x^2+4)}=-\frac{3}{20(x+6)}+\frac{3x}{20(x^2+4)}+\frac{1}{10(x^2+4)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{-\frac{3}{20(x+6)}+\frac{3x}{20(x^2+4)}+\frac{1}{10(x^2+4)}\right\}dx}\)
\(=-\frac{3}{20}\int{\frac{1}{x+6}dx}+\frac{3}{40}\int{\frac{2x}{x^2+4}dx}+\frac{1}{10}\int{\frac{1}{4+x^2}dx}\)
\(=-\frac{3}{20}\int{\frac{1}{x+6}dx}+\frac{3}{40}\int{\frac{d(x^2+4)}{x^2+4}}+\frac{1}{10}\int{\frac{1}{2^2+x^2}dx}\)
\(=-\frac{3}{20}\ln{|x+6|}+\frac{3}{40}\ln{|x^2+4|}+\frac{1}{10}.\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{dx}{x}}=\ln{|x|}\), \(\int{\frac{1}{a^2+x^2}}=\frac{1}{a}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=-\frac{3}{20}\ln{|x+6|}+\frac{3}{40}\ln{|x^2+4|}+\frac{1}{20}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\)
\(=\frac{1}{40}\left\{3\ln{|x^2+4|}+2\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}-6\ln{|x+6|}\right\}+c\)
গ. ধরি, \(y=f(x)=x+6 .....(3)\)
\(y=g(x)=x^2 .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(x^2=x+6\)
\(\Rightarrow x^2-x-6=0\)
\(\Rightarrow x^2-3x+2x-6=0\)
\(\Rightarrow x(x-3)+2(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x+2)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, x+2=0\)
\(\Rightarrow x=3, x=-2\)
\(\therefore x=3, -2\)
নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(=\int_{-2}^{3}{\{f(x)-g(x)\}dx}\)
\(=\int_{-2}^{3}{(x+6-x^2)dx}\)
\(=[\frac{x^2}{2}+6x-\frac{x^3}{3}]_{-2}^{3}\)
\(=[\frac{3^2}{2}+6\times{3}-\frac{3^3}{3}]-[\frac{(-2)^2}{2}+6\times{-2}-\frac{(-2)^3}{3}]\)
\(=[\frac{9}{2}+18-\frac{27}{3}]-[\frac{4}{2}-12+\frac{8}{3}]\)
\(=[\frac{9}{2}+18-9]-[2-12+\frac{8}{3}]\)
\(=[\frac{9}{2}+9]-[\frac{8}{3}-10]\)
\(=\frac{9+18}{2}-\frac{8-30}{3}\)
\(=\frac{27}{2}-\frac{-22}{3}\)
\(=\frac{27}{2}+\frac{22}{3}\)
\(=\frac{81+44}{6}\)
\(=\frac{125}{6}\) বর্গ একক।

ক. ধরি, \[\frac{m}{5^{x}}=\theta\]
\[\Rightarrow \frac{5^{x}}{m}=\frac{1}{\theta}\]
\[\therefore 5^{x}=\frac{m}{\theta}\]
\[x\rightarrow{\infty}\] হলে, \[\theta\rightarrow{0}\]
\[\lim_{x \rightarrow{\infty}}5^x\sin{\left(\frac{m}{5^{x}}\right)}\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow{0}}\frac{m}{\theta}\sin{\theta}\]
\[=m\lim_{\theta \rightarrow{0}}\frac{\sin{\theta}}{\theta}\]
\[=m\times{1}\] ➜Note\[\because \lim_{\theta \rightarrow{0}}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\]
\[=m\]
ইহাই নির্ণেয় মাণ।
খ. দেওয়া আছে, \(f(x)=\tan{px}\) এবং \(p=4\)
\(\therefore f(x)=\tan{4x}\)
\(\Rightarrow f(x+h)=\tan{4(x+h)}\)
\(=\tan{(4x+4h)}\)
সংজ্ঞানুযায়ী,
\[\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[\therefore \frac{d}{dx}(\tan{4x})=\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{\tan{(4x+4h)}-\tan{4x}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{\frac{\sin{(4x+4h)}}{\cos{(4x+4h)}}-\frac{\sin{4x}}{\cos{4x}}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{\frac{\sin{(4x+4h)}\cos{4x}-\cos{(4x+4h)}\sin{4x}}{\cos{(4x+4h)}\cos{4x}}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{\sin{(4x+4h)}\cos{4x}-\cos{(4x+4h)}\sin{4x}}{h\cos{(4x+4h)}\cos{4x}}\]
\[=\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{\sin{(4x+4h-4x)}}{h\cos{(4x+4h)}\cos{4x}}\]
\[=\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{\sin{4h}}{h\cos{(4x+4h)}\cos{4x}}\]
\[=\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{\sin{4h}}{h}\times{\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{1}{\cos{(4x+4h)}\cos{4x}}}\]
\[=4\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{\sin{4h}}{4h}\times{\lim_{h \rightarrow{0}}\frac{1}{\cos{(4x+4h)}\cos{4x}}}\]
\[=4\times{1}\times{\frac{1}{\cos{4x}\cos{4x}}}\] ➜Note \[\because \lim_{\theta \rightarrow{0}}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\]
এবং লিমিট ব্যবহার করে।
\[=4\frac{1}{\cos^2{(4x)}}\]
\[=4\sec^2{(4x)}\]
ইহাই নির্ণেয় মাণ।
গ. দেওয়া আছে, \(f(x)=\tan{px}, g(x)=\sec{px}, y=f(x)+g(x)\) এবং \(p=1\)
\(\Rightarrow y=\tan{px}+\sec{px}\) এবং \(p=1\)
\(\Rightarrow y=\tan{x}+\sec{x}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{1}{\cos{x}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\sin{x}+1}{\cos{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}y=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin{x}+1}{\cos{x}}\right)\) ➜Note \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\cos{x}\frac{d}{dx}(\sin{x}+1)-(\sin{x}+1)\frac{d}{dx}(\cos{x})}{\cos^2{x}}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{\cos{x}\cos{x}+(\sin{x}+1)\sin{x}}{\cos^2{x}}\)
\(=\frac{\cos^2{x}+\sin^2{x}+\sin{x}}{1-\sin^2{x}}\)
\(=\frac{1+\sin{x}}{(1+\sin{x})(1-\sin{x})}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1}{1-\sin{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-\sin{x}}\right)\) ➜Note \(x\) এর সাপেক্ষে পুনরায় অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(1-\sin{x})\frac{d}{dx}(1)-1\frac{d}{dx}(1-\sin{x})}{(1-\sin{x})^2}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(1-\sin{x}).0-(0-\cos{x})}{(1-\sin{x})^2}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{0+\cos{x}}{(1-\sin{x})^2}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\cos{x}}{(1-\sin{x})^2}\)
\(\Rightarrow (1-\sin{x})^2\frac{d^2y}{dx^2}=\cos{x}\)
\(\therefore (1-\sin{x})^2\frac{d^2y}{dx^2}-\cos{x}=0\)
দেখানো হলো।

ক. \(\mathbb{R}\) দ্বারা বাস্তব সংখ্যার সেটকে বোঝায়। \(\mathbb{C}\) দ্বারা জটিল সংখ্যার সেটকে বোঝায়।
\(\mathbb{R}\) ও \(\mathbb{C}\) এর মধ্যে সম্পর্ক হলো \(\mathbb{R}\subset{\mathbb{C}}\)
খ. দেওয়া আছে, \(f(x)=3x+1\)
\(\therefore f(x-2)=3(x-2)+1\)
\(=3x-6+1\)
\(=3x-5\)
এখন,
\(2|f(x-2)|\le{1}\)
\(\Rightarrow 2|3x-5|\le{1}\)
\(\Rightarrow |3x-5|\le{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}\le{3x-5}\le{\frac{1}{2}}\) ➜Note \(\because |a|\le{\alpha}\) হলে, \(-\alpha\le{a}\le{\alpha}\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}+5\le{3x-5+5}\le{\frac{1}{2}+5}\) ➜Note প্রত্যেক পদের সহিত \(5\) যোগ করে।
\(\Rightarrow \frac{-1+10}{2}\le{3x}\le{\frac{1+10}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{2}\le{3x}\le{\frac{11}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{2\times{3}}\le{x}\le{\frac{11}{2\times{3}}}\) ➜Note প্রত্যেক পদের সহিত \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{3}{2}\le{x}\le{\frac{11}{6}}\)
\(\therefore \frac{3}{2}\le{x}\le{\frac{11}{6}}\)
নির্ণেয় সমাধান সেট, \(S=\left\{x\in{\mathbb{R}}:\frac{3}{2}\le{x}\le{\frac{11}{6}}\right\}\)
সমাধান সেট নিম্নে সংখ্যারেখায় দেখানো হলোঃ

গ. দেওয়া আছে, \(|z-5|=3\) এবং \(z=x+iy\)
\(\therefore |x+iy-5|=3\)
\(\Rightarrow |x-5+iy|=3\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-5)^2+(y)^2}=3\)
\(\Rightarrow (x-5)^2+(y)^2=3^2\)
\(\Rightarrow (x-5)^2+(y-0)^2=3^2\)
যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
এবং বৃত্তটির কেন্দ্র \((5, 0)\) ও ব্যসার্ধ \(3\) একক।
সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথটি একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র \((5, 0)\) ও ব্যসার্ধ \(3\) একক।
ছক কাগজে \(x\) অক্ষ ও \(y\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের \(2\) বাহু সমান \(1\) একক ধরে বৃত্তটি অঙ্কন করা হলো।

ক. যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের দুইটি সুবিধা নিম্নরূপঃ
\((i.)\) সীমত অর্থ, কাঁচামাল, জনবল এবং যন্ত্র দক্ষতার সাথে সঠিক ব্যবহার ও কাঙ্ক্ষিত লক্ষ অর্জন।
\((ii.)\) তথ্য ও উপাত্তের ভিত্তিতে ভবিষ্যত উৎপাদনকে টেকসই ও অধিকতর লাভজনক করার জন্য দক্ষতা ও দূরদৃষ্টি বৃদ্ধিকরণ।
খ. মনে করি , \(F_{1}\) খাবার \(x\) কেজি এবং \(F_{2}\) খাবার \(y\) কেজি প্রয়োজন।
দেওয়া আছে, \(F_{1}\) এবং \(F_{2}\) খাবারে ভিটামিন \(C\) আছে যথাক্রমে \(6\) একক ও \(3\) একক। দৈনিক ন্যূনতম ভিটামিন \(C\) প্রয়োজন \(60\) একক।
\(F_{1}\) ও \(F_{2}\) খাবারে ভিটামিন \(D\) আছে যথাক্রমে \(2\) একক ও \(5\) একক। দৈনিক ন্যূনতম ভিটামিন \(D\) প্রয়োজন \(50\) একক।
\(F_{1}\) খাবারের প্রতি কেজির দাম \(=3\)
\(F_{2}\) খাবারের প্রতি কেজির দাম \(=5\)
শর্তমতে,
অভীষ্ট ফাংশন, \(z=3x+5y\)
সীমাবদ্ধতার শর্তসমূহঃ
\(6x+3y\ge{60}\)
\(2x+5y\ge{50}\)
\(x\ge{0}, y\ge{0}\)
গ.অভীষ্ট ফাংশন, \(z=3x+5y\)
সীমাবদ্ধতার শর্তসমূহঃ
\(6x+3y\ge{60}\)
\(2x+5y\ge{50}\)
\(x\ge{0}, y\ge{0}\)
প্রদত্ত অসমতাগুলোকে সমতা ধরে সমীকরণগুলোর লেখচিত্র অঙ্কন করি এবং সমীকরণের সম্ভাব্য অনুকূল এলাকা বের করি।
অতএব সমীকরণগুলোঃ
\(6x+3y=60\)
\(\Rightarrow \frac{6x}{60}+\frac{3y}{60}=1\)
\(\therefore \frac{x}{10}+\frac{y}{20}=1 ....(1)\)
\(2x+5y=50\)
\(\Rightarrow \frac{2x}{50}+\frac{5y}{50}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{25}+\frac{y}{10}=1 ....(2)\)
\(x=0 ....(3)\)
\(y=0 ....(4)\)
লেখচিত্র হতে দেখা যায় \((1)\) ও \((2)\) এর সকল বিন্দু এবং এদের যে পার্শে মূলবিন্দু তার বিপরীত পার্শের সকল বিন্দুর জন্য \(6x+3y\ge{60}\) এবং \(2x+5y\ge{50}\) সত্য। লেখচিত্র হতে পাই, সমাধানের সম্ভাব্য অনুকূল এলাকা \(\) হতে শুরু করে প্রথম চতুর্ভাগের ডানের সমস্ত এলাকা।
যেখানে \((25, 0)\) , \(\left(\frac{25}{4}, \frac{15}{2}\right)\) এবং \((0, 20)\)
এখন,
\(A(25, 0)\) বিন্দুতে \(z=3\times{25}+5\times{0}\)
\(=75+0\)
\(=75\)
\(B\left(\frac{25}{4}, \frac{15}{2}\right)\) বিন্দুতে \(z=3\times{\frac{25}{4}}+5\times{\frac{15}{2}}\)
\(=\frac{75}{4}+\frac{75}{2}\)
\(=\frac{75+150}{4}\)
\(=\frac{225}{4}\)
\(=56.25\)
এবং
\(A(0, 20)\) বিন্দুতে \(z=3\times{0}+5\times{20}\)
\(=0+100\)
\(=100\)
ইহা স্পষ্ট যে, \(B\left(\frac{25}{4}, \frac{15}{2}\right)\) বিন্দুতে \(z\) এর সর্বনিম্ন মাণ পাওয়া যায়।
\(\therefore\) দৈনিক সর্বনিম্ন খরচ \(=56.25\)

ক. দেওয়া আছে, \(\frac{1}{x}+\frac{1}{p-x}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow \frac{p-x+x}{x(p-x)}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow \frac{p}{x(p-x)}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow pq=px-x^2\)
\(\Rightarrow x^2-px+pq=0\)
এখন, \(p=q=1\) হলে,
\(\Rightarrow x^2-1.x+1.1=0\)
\(\therefore x^2-x+1=0 ......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণের নিশ্চায়ক, \(D=(-1)^2-4.1.1\) ➜Note \(\because ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের নিশ্চায়ক,
\(D=(b)^2-4ac\)

\(=1-4\)
\(=-3<0\)
\(\therefore D<0 \)
যেহেতু নিশ্চায়ক ঋণাত্মক, সমীকরণটির মূলদ্বয় জটিল ও অসমান হবে।
খ. দেওয়া আছে, \(\frac{1}{x}+\frac{1}{p-x}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow \frac{p-x+x}{x(p-x)}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow \frac{p}{x(p-x)}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow pq=px-x^2\)
\(\Rightarrow x^2-px+pq=0 .......(2)\)
ধরি, \((2)\) নং সমীকরণের মূলদ্বয়, \(\alpha, \beta\)
মূলদ্বয়ের যোগফল, \(\alpha+\beta=-\frac{-p}{1}\) ➜Note \(\because ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়, \(\alpha, \beta\) হলে,
মূলদ্বয়ের যোগফল, \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)

\(=p\)
মূলদ্বয়ের গুণফল, \(\alpha\beta=\frac{pq}{1}\) ➜Note \(\because ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়, \(\alpha, \beta\) হলে,
মূলদ্বয়ের গুণফল, \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)

\(=pq\)
প্রশ্নমতে, \(\alpha-\beta=\pm{r}\)
\(\Rightarrow (\alpha-\beta)^2=r^2\) ➜Noteউভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=r^2\) ➜Note\(\because (a-b)^2=(a+b)^2-4ab\)
\(\therefore p^2-4pq=r^2\)
ইহাই নির্ণেয় সম্পর্ক।
গ. মনে করি, \(\left(2x^3-\frac{1}{x}\right)^{20}\) এর বিস্তৃতিতে \(r+1\) তম পদে \(x^{12}\) এর সহগ আছে।
এখন, \(r+1\) তম পদে \(=^{20}C_{r}(2x^3)^{20-r}\left(-\frac{1}{x}\right)^r\)
\(=^{20}C_{r}(2)^{20-r}(x)^{60-3r}(-1)^r\frac{1}{x^r}\)
\(=^{20}C_{r}(2)^{20-r}(x)^{60-4r}(-1)^r\)
যেহেতু পদটিতে \(x^{12}\) এর সহগ আছে।
\(\therefore 12=60-4r\)
\(\Rightarrow 4r=60-12\)
\(\Rightarrow 4r=48\)
\(\therefore r=12\)
\(\therefore x^{12}\) এর সহগ \(=^{20}C_{12}(2)^{20-12}(-1)^12\)
\(=\frac{20!}{(20-12)!12!}(2)^{8}.1\)
\(=\frac{20.19.18.17.16.15.14.13.12!}{8.7.6.5.4.3.2.1.12!}\times{256}\)
\(=32,248,320‬\)

ক. মনে করি, \(A=\sin^{-1}{x}\)
\(\therefore \sin{A}=x\)
এবং \(\cos{A}=\sqrt{1-\sin^2{A}}\)
\(=\sqrt{1-x^2}\)
এখন, \(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)
\(\Rightarrow 2A=\sin^{-1}{2\sin{A}\cos{A}}\)
\(\therefore 2\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{2x\sqrt{1-x^2}}\) ➜Note \(A=\sin^{-1}{x}\)
\(\sin{A}=x\)
\(\cos{A}=\sqrt{1-x^2}\)

( প্রমাণিত )
খ.প্রদত্ত রাশি, \(\sin^{-1}{\left(\frac{4}{5}\right)}+\cos^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}-\cot^{-1}{\left(\frac{2}{11}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{4}{3}\right)}+\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}-\cot^{-1}{\left(\frac{2}{11}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{4}{3}\times{\frac{1}{2}}}\right)}-\cot^{-1}{\left(\frac{2}{11}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{8+3}{6}}{\frac{3-2}{3}}\right)}-\cot^{-1}{\left(\frac{2}{11}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{11}{6}}{\frac{1}{3}}\right)}-\cot^{-1}{\left(\frac{2}{11}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{11}{6}\times{3}\right)}-\cot^{-1}{\left(\frac{2}{11}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{11}{2}\right)}-\tan^{-1}{\left(\frac{11}{2}\right)}\)
\(=0\)
ইহাই নির্ণেয় মাণ।
গ. \(4(\sin^2{\theta}+\cos{\theta})=5, -2\pi<\theta<2\pi\)
\(\Rightarrow 4(\sin^2{\theta})+4\cos{\theta}=5\)
\(\Rightarrow 4(1-\cos^2{\theta})+4\cos{\theta}=5\)
\(\Rightarrow 4-4\cos^2{\theta}+4\cos{\theta}-5=0\)
\(\Rightarrow -4\cos^2{\theta}+4\cos{\theta}-1=0\)
\(\Rightarrow 4\cos^2{\theta}-4\cos{\theta}+1=0\)
\(\Rightarrow (2\cos{\theta})^2-2.2\cos{\theta}.1+1^2=0\)
\(\Rightarrow (2\cos{\theta}-1)^2=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{\theta}-1=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm{\frac{\pi}{3}}; n\in{\mathbb{Z}}\) ➜Note \(\cos{\theta}=\cos{\alpha}\) হলে,
\(\theta=2n\pi\pm{\alpha}; n\in{\mathbb{Z}}\)
যখন, \(n=0\)
\(\Rightarrow \theta=2.0.\pi\pm{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow \theta=0\pm{\frac{\pi}{3}}\)
\(\therefore \theta=\pm{\frac{\pi}{3}}\)
যখন, \(n=1\)
\(\Rightarrow \theta=2.1.\pi\pm{\frac{\pi}{3}}\)
\(=2\pi\pm{\frac{\pi}{3}}\)
\(=2\pi+\frac{\pi}{3}, 2\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{6\pi+\pi}{3}, \frac{6\pi-\pi}{3}\)
\(=\frac{7\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=\frac{5\pi}{3}, -2\pi<\theta<2\pi\) ব্যবধিতে
যখন, \(n=-1\)
\(\Rightarrow \theta=2.(-1).\pi\pm{\frac{\pi}{3}}\)
\(=-2\pi\pm{\frac{\pi}{3}}\)
\(=-2\pi+\frac{\pi}{3}, -2\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{-6\pi+\pi}{3}, \frac{-6\pi-\pi}{3}\)
\(=\frac{-5\pi}{3}, \frac{-7\pi}{3}\)
\(=-\frac{5\pi}{3}, -\frac{7\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=-\frac{5\pi}{3}, -2\pi<\theta<2\pi\) ব্যবধিতে
\(\therefore -2\pi<\theta<2\pi\) ব্যবধিতে, \(\theta=\pm{\frac{\pi}{3}}, \pm{\frac{5\pi}{3}}\)

ক. দেওয়া আছে, \(x^2=-12y\)
এখানে, \(4a=-12\) ➜Note\(x^2=4ay\) এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{12}{4}\)
\(\therefore a=-3\)
\(\therefore\) নিয়ামকের সমীকরণ, \(y=-a\) ➜Note \(x^2=4ay\) পরাবৃত্তের,
নিয়ামকের সমীকরণ, \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-(-3), \because a=-3\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\therefore y-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় নিয়ামকের সমীকরণ।
খ.প্রদত্ত রেখাটি , \(x-y-5=0\)
\(\Rightarrow x-5=y\)
\(\therefore y=x-5 ....(1)\)
এবং কনিকটি, \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\therefore 9x^2+16y^2=144 ....(2)\) ➜Note \(144\) দ্বারা গুণ করে।
\((1)\) হতে \(y\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(9x^2+16(x-5)^2=144\)
\(\Rightarrow 9x^2+16(x^2-10x+25)=144\)
\(\Rightarrow 9x^2+16x^2-160x+400-144=0\)
\(\Rightarrow 25x^2-160x+256=0\)
\(\Rightarrow (5x)^2-2.5x.16+(16)^2=0\)
\(\Rightarrow (5x-16)^2=0\)
\(\Rightarrow 5x-16=0\)
\(\Rightarrow 5x=16\)
\(\therefore x=\frac{16}{5}\)
ইহা স্পষ্ট যে, \((1)\) নং রেখাটি \((2)\) নং কনিকটিকে একটি মাত্র বিন্দুতে ছেদ করে। অর্থাৎ সরলরেখাটি কনিকটিকে স্পর্শ করে।
\(\therefore x=\frac{16}{5}, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\therefore y=\frac{16}{5}-5\)
\(\Rightarrow y=\frac{16-25}{5}\)
\(\therefore y=-\frac{9}{5}\)
\(\therefore\) স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{16}{5}, -\frac{9}{5}\right)\)
গ. \(4x^2-5y^2-16x+10y-9=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-5y^2-16x+10y-9=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x-5y^2+10y-9=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x)-5(y^2-2y)-9=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4-4)-5(y^2-2y+1-1)-9=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4)-16-5(y^2-2y+1)+5-9=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2-5(y-1)^2-20=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2-5(y-1)^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-2)^2}{20}-\frac{5(y-1)^2}{20}=1\) ➜Note \(20\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{5}-\frac{(y-1)^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{X^2}{5}-\frac{Y^2}{4}=1\) ইহা একটি অধিবৃত্ত যেখানে, \(X=x-2, Y=y-1\)
এখানে, \(a^2=5, b^2=4\) ➜Note \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜Note \(\because \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের,
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{4}{5}} \because a^2=5, b^2=4\)
\(=\sqrt{\frac{5+4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{5}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\) ➜Note \(\because \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2\times{4}}{\sqrt{5}} \because a=\sqrt{5}, b^2=4\)
\(=\frac{8}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(X=\pm{ae}\) ➜Note \(\because \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(X=\pm{ae}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm{\sqrt{5}\times{\frac{3}{\sqrt{5}}}} \because X=x-2, a=\sqrt{5}, e=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm{3}\)
\(\Rightarrow x=\pm{3}+2\)
\(\Rightarrow x=3+2, x=-3+2\)
\(\Rightarrow x=5, x=-1\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x-5=0, x+1=0\)

ক. মনে করি, \(p\) মানের দুইটি সমান বল \(O\) বিন্দুতে পরস্পর \(60^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত। এই বলদ্বয়ের লব্ধি \(R\) একক হলে, বলের সামান্তরিক সূত্রানুসারে,
\(R=\sqrt{P^2+P^2+2.P.P\cos{60^{o}}}\)
\(=\sqrt{2P^2+2P^2\times{\frac{1}{2}}}\) ➜Note\(\because \cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)
\(=\sqrt{2P^2+P^2}\)
\(=\sqrt{3P^2}\)
\(=\sqrt{3}P\) একক।
ইহাই নির্ণেয় লব্ধি।
খ. \(\triangle{ABC}\) এর \(A, B, C\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(P, Q, R\) মানের তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে। \(A, B, C\) কোণগুলির অন্তর্দিখন্ডক তিনটি পরস্পর \(I\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। এখানে, \(I\) হলো \(\triangle{ABC}\) এর অন্তঃকেন্দ্র।
এখন, \(B\) ও \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(Q\) ও \(R\) বলের লব্ধি \(Q+R\) বলটি \(BC\) রেখাস্ত \(D\) বিন্দুতে ক্রিয়া করবে। আবার, বল তিনটির লব্ধি অন্তঃকেন্দ্র \(I\) বিন্দুগামী। সুতরাং \(I\) বিন্দু \(AD\) রেখার উপর অবস্থান করবে।
অর্থাৎ \(AD\) রেখা \(A\) কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।
\(\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC} .....(1)\) ➜Note \(\triangle{ABC}\) এর \(A\) কোণের সমদ্বিখন্ডক \(AD\) হলে,
\(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\)
কিন্তু লব্ধি \(D\) বিন্দুগামী হওয়ায় , \(Q.BD=R.CD\)
\(\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{R}{Q} .....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\frac{R}{Q}=\frac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow \frac{R}{AB}=\frac{Q}{AC}\)
\(\therefore \frac{Q}{AC}=\frac{R}{AB} .....(3)\)
অনুরূপভাবে,
\(\frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC} .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(\frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{AB}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{a}=\frac{Q}{b}=\frac{R}{c} ......(5)\) ➜Note
\(\triangle{ABC}\) এ
\(BC=a, AC=b, AB=c\)
আবার, \(\triangle{ABC}\) হতে সাইন সূত্রের সাহায্যে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=K\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sin{A}}=K, \frac{b}{\sin{B}}=K, \frac{c}{\sin{C}}=K\)
\(\therefore a=K\sin{A}, b=K\sin{B}, c=K\sin{C}\)
এখন, \(a=K\sin{A}, b=K\sin{B}, c=K\sin{C}\) মানগুলি \((5)\) এ বসিয়ে,
\(\frac{P}{K\sin{A}}=\frac{Q}{K\sin{B}}=\frac{R}{K\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{\sin{A}}=\frac{Q}{\sin{B}}=\frac{R}{\sin{C}}\) ➜Note \(K\) দ্বারা গুণ করে।
\(\therefore P:Q:R=\sin{A}:\sin{B}:\sin{C}\)
( দেখানো হলো )
গ. মনে করি, \(\triangle{ABC}\) এর \(A, B, C\) তিনটি কৌণিক বিন্দুতে যথাক্রমে \(P, Q, R\) মানের তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত। এদের লব্ধি এই ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রে ক্রিয়ারত। যেহেতু \(A\) বিন্দুতে \(P\) বল এবং \(G\) বিন্দুতে লব্ধি বল \(R+P+Q\) ক্রিয়াশীল সুতরাং \(B\) ও \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(Q\) ও \(R\) সমান্তরাল বলদ্বয়ের লব্ধি \(BC\) ও \(AGD\) এর ছেদবিন্দু \(D\) তে ক্রিয়া করবে।
\(\therefore Q.BD=R.CD .....(1)\)
যেহেতু \(AD\) মধ্যমা \(\therefore BD=CD .....(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণকে \((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করি
\(\frac{Q.BD}{BD}=\frac{R.CD}{CD}\)
\(\therefore Q=R ....(3)\)
অনুরূপভাবে,
\(P=Q .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(P=Q=R\)
ইহাই নির্ণেয় সম্পর্ক।

ক. দুইটি গতিশীল বস্তুকণার প্রথমটির সাপেক্ষে দ্বিতীয়টির সরণের পরিবর্তনের হারকে প্রথম বস্তুকণার সাপেক্ষে দ্বিতীয় বস্তুকণার আপেক্ষিক বেগ বলা হয়। মনে করি \(A\) ও \(B\) দুইটি গতিশীল বস্তুকণা। \(A\) বস্তুকণা হতে \(B\) বস্তুকণাকে পর্যবেক্ষণ করলে যে বেগ পরিলক্ষিত হয় তা হবে \(A\) বস্তুকণার সাপেক্ষে \(B\) বস্তুকণার আপেক্ষিক বেগ।
খ. মনে করি, রেলগাড়ির সর্বাধিক বেগ \(=v\) কি.মি./মিনিট
ধরি, \(t_{1}\) ও \(t_{2}\) মিনিট ধরে যথাক্রমে \(x\) সমত্বরণে ও \(y\) সমমন্দনে চলে এবং \(s_{1}\) ও \(s_{2}\) কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে।
তাহলে, \(s_{1}+s_{2}=4\) কি.মি. এবং \(t_{1}+t_{2}=8\) মিনিট।
\(\therefore \) গড়বেগ,
\(\frac{s_{1}}{t_{1}}=\frac{0+v}{2}\)
\(\therefore s_{1}=\frac{v}{2}t_{1} .....(1)\)
আবার,
\(\frac{s_{2}}{t_{2}}=\frac{v+0}{2}\)
\(\therefore s_{2}=\frac{v}{2}t_{2} .....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে।
\(s_{1}+s_{2}=\frac{v}{2}t_{1}+\frac{v}{2}t_{2}\)
\(\Rightarrow s_{1}+s_{2}=\frac{v}{2}(t_{1}+t_{2})\)
\(\Rightarrow 4=\frac{v}{2}\times{8}, \because s_{1}+s_{2}=4, t_{1}+t_{2}=8\)
\(\Rightarrow 4=4v\)
\(\Rightarrow 4v=4\)
\(\therefore v=1\) কি.মি./মিনিট
আবার,
\(v=u+ft\)
\(\Rightarrow 1=0+xt_{1}, \because v=1, f=x, t=t_{1}\)
\(\Rightarrow xt_{1}=1\)
\(\therefore t_{1}=\frac{1}{x} .....(3)\)
আবার,
\(v=u-ft\)
\(\Rightarrow 0=v-ft\) এখানে, শেষবেগ \(=0\) এবং আদিবেগ \(=v\)
\(\Rightarrow 0=1-yt_{2}, \because v=1, f=y, t=t_{2}\)
\(\Rightarrow yt_{2}=1\)
\(\therefore t_{2}=\frac{1}{y} .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) যোগ করে।
\(t_{1}+t_{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(\Rightarrow 8=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \because t_{1}+t_{2}=8\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=8\)
\(\Rightarrow \frac{x+y}{xy}=8\)
\(\therefore x+y=8xy\)
( দেখানো হলো )
গ. মনে করি, \(f\) সমত্বরণে চলমান একটি বস্তুকণা \(A\) বিন্দু থেকে \(u\) আদিবেগে যাত্রা করে \(t_{1}, t_{2}, t_{t}\) সময়ে যথাক্রমে \(B, C, D\) বিন্দুতে \(u_{1}, u_{2}, u_{t}\) বেগ প্রাপ্ত হয়।
\(\therefore u_{1}=u+ft_{1} .....(1)\)
আবার,
\(u_{2}=u_{1}+ft_{2}\)
\(\Rightarrow u_{2}=u+ft_{1}+ft_{2} .....(2), \because u_{1}=u+ft_{1}\)
আবার,
\(u_{3}=u_{2}+ft_{3}\)
\(\Rightarrow u_{3}=u+ft_{1}+ft_{2}+ft_{3} .....(3), \because u_{2}=u+ft_{1}+ft_{2}\)
এখন,
\(v_{1}=\frac{u+u_{1}}{2}\)
\(v_{2}=\frac{u_{1}+u_{2}}{2}\)
\(v_{3}=\frac{u_{2}+u_{3}}{2}\)
\(\therefore v_{1}-v_{2}=\frac{u+u_{1}}{2}-\frac{u_{1}+u_{2}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{1}-v_{2}=\frac{u+u_{1}-u_{1}-u_{2}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{1}-v_{2}=\frac{u-u_{2}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{1}-v_{2}=\frac{u-u-ft_{1}-ft_{2}}{2}, (2)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow v_{1}-v_{2}=\frac{-ft_{1}-ft_{2}}{2}\)
\(\therefore v_{1}-v_{2}=\frac{-f(t_{1}+t_{2})}{2} .......(4)\)
আবার,
\(\therefore v_{2}-v_{3}=\frac{u_{1}+u_{2}}{2}-\frac{u_{2}+u_{3}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{2}-v_{3}=\frac{u_{1}+u_{2}-u_{2}-u_{3}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{2}-v_{3}=\frac{u_{1}-u_{3}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{2}-v_{3}=\frac{u+ft_{1}-u-ft_{1}-ft_{2}-ft_{3}}{2}, (1)\) ও \((3)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow v_{2}-v_{3}=\frac{-ft_{2}-ft_{3}}{2}\)
\(\Rightarrow v_{2}-v_{3}=\frac{-f(t_{2}+t_{3})}{2} .....(5)\)
\((5)\) কে \((4)\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\frac{v_{2}-v_{3}}{v_{1}-v_{2}}=\frac{\frac{-f(t_{2}+t_{3})}{2}}{\frac{-f(t_{1}+t_{2})}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{v_{2}-v_{3}}{v_{1}-v_{2}}=\frac{-f(t_{2}+t_{3})}{2}\times{\frac{2}{-f(t_{1}+t_{2})}}\)
\(\Rightarrow \frac{v_{2}-v_{3}}{v_{1}-v_{2}}=\frac{t_{2}+t_{3}}{t_{1}+t_{2}}\)
\(\therefore \frac{t_{1}+t_{2}}{v_{1}-v_{2}}=\frac{t_{2}+t_{3}}{v_{2}-v_{3}}\)
( প্রমাণিত )

ক. দেওয়া আছে, \(P(A)=\frac{1}{3}\) এবং \(P(A\cap B)=\frac{1}{5}\)
শর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞানুযায়ী,
\(P(B/A)= \frac{P(A\cap{B})}{P(A)}\)
\(=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{5}\times{\frac{3}{1}}\)
\(=\frac{3}{5}\)
ইহাই নির্ণেয় মাণ।
খ. দুইটি মূদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপের নমুনা ক্ষেত্র নিম্নরূপঃ

	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
\(HH\)	\(HH1\)	\(HH2\)	\(HH3\)	\(HH4\)	\(HH5\)	\(HH6\)
\(HT\)	\(HT1\)	\(HT2\)	\(HT3\)	\(HT4\)	\(HT5\)	\(HT6\)
\(TH\)	\(TH1\)	\(TH2\)	\(TH3\)	\(TH4\)	\(TH5\)	\(TH6\)
\(TT\)	\(TT1\)	\(TT2\)	\(TT3\)	\(TT4\)	\(TT5\)	\(TT6\)

নমুনা ক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা,
\(n(S)=24\)
নমুনা ক্ষত্রে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার অনুকূল নমুনা ক্ষেত্র
\(=\{HH1, HT1, TH1, TT1, HH3, HT3, TH3, TT3, HH5, HT5, TH5, TT5\}\)
নমুনা ক্ষত্রে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=12\)
নমুনা ক্ষত্রে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{12}{24} \)
\(=\frac{1}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় সম্ভাবনা।
গ. প্রদত্ত সমস্যার সমাধানকল্পে নিচে একটি সারণি তৈরী করা হলোঃ

বয়স	শ্রমিক সংখ্যা \((f_{i})\)	শ্রেণীর মধ্যবিন্দু \((x_{i})\)	\(u_{i}=\frac{x_{i}-45}{10}\)	\(f_{i}u_{i}\)	\(f_{i}u_{i}^2\)
\(20-30\)	\(25\)	\(25\)	\(-2\)	\(-50\)	\(100\)
\(30-40\)	\(40\)	\(35\)	\(-1\)	\(-40\)	\(40\)
\(40-50\)	\(20\)	\(45=a\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(50-60\)	\(10\)	\(55\)	\(1\)	\(10\)	\(10\)
\(60-70\)	\(5\)	\(65\)	\(2\)	\(10\)	\(20\)
	\(N=100\)			\(\sum{f_{i}u_{i}}=-70\)	\(\sum{f_{i}u_{i}^2}=170\)

পরিমিত ব্যবধান, \(\sigma_{x}=C\sqrt{\frac{\sum{f_{i}u_{i}^2}}{N}-\left(\frac{\sum{f_{i}u_{i}}}{N}\right)^2}\)
\(=10\times{\sqrt{\frac{170}{100}-\left(\frac{-70}{100}\right)^2}}\)
\(=10\times{\sqrt{\frac{170}{100}-\left(\frac{-7}{10}\right)^2}}\)
\(=10\times{\sqrt{\frac{170}{100}-\frac{49}{100}}}\)
\(=10\times{\sqrt{\frac{170-49}{100}}}\)
\(=10\times{\sqrt{\frac{121}{100}}}\)
\(=10\times{\frac{11}{10}}\)
\(=11\)
ইহাই নির্ণেয় পরিমিত ব্যবধান।