ক. তিনটি মুদ্রা নিক্ষেপের নমুনাক্ষেত্র নিম্নরূপঃ
দুইটি মূদ্রার নমুনা ক্ষেত্র
একটি মূদ্রার নমুনা ক্ষেত্র
| \(HH\) | \(HT\) | \(TH\) | \(TT\) |
\(H\) | \(HHH\) | \(HHT\) | \(HTH\) | \(HTT\) |
\(T\) | \(THH\) | \(THT\) | \(TTH\) | \(TTT\) |
\(\therefore S=\{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}\)
ইহাই নির্ণেয় নমুনা ক্ষেত্র।
খ. দেওয়া আছে, \(S=\{1, 2, 3, ......., 50\}\)
মনে করি, সংখ্যাটির \(3\) অথবা \(5\) এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা \(=P(A)\)
এখন \(1\) থেকে \(50\) পর্যন্ত মোট সংখ্যা \(=50\) টি।
এখানে, \(1\) থেকে \(50\) এর মধ্যে \(3\) এর গুণিতক আছে \(=3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48=16\) টি
এবং \(1\) থেকে \(50\) এর মধ্যে \(5\) এর গুণিতক আছে \(=5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50=10\) টি
আবার, \(3\) ও \(5\) এর সাধারণ গুণিতক আছে \(=15, 30, 45=3\) টি
সুতরাং সংখ্যাটির \(3\) অথবা \(5\) এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা,
\(P(A)=\frac{^{16}C_{1}}{^{50}C_{1}}+\frac{^{10}C_{1}}{^{50}C_{1}}-\frac{^{3}C_{1}}{^{50}C_{1}}\)
\(=\frac{16}{50}+\frac{10}{50}-\frac{3}{50}\)
\(=\frac{16+10-3}{50}\)
\(=\frac{26-3}{50}\)
\(=\frac{23}{50}\)
ইহাই নির্ণেয় সম্ভাবনা।
গ. দেওয়া আছে, \(S=\{1, 2, 3, ......., 50\}\)
মনে করি, \(S\) এর জোড় সংখ্যাগুলির চলক,
\(x_{i}=2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50\)
এখানে মোট সদস্য \(n=25\)
\(\therefore \sum{x_{i}}=2+4+6+....+50\)
\(=2(1+2+3+....+25)\)
\(=2\times{\frac{25(25+1)}{2}}\)
\(=2\times{\frac{25\times{26}}{2}}\)
\(=2\times{25\times{13}}\)
\(=2\times{325}\)
\(=650\)
আবার, \(\sum{x_{i}^2}=2^2+4^2+6^2+....+50^2\)
\(=2^2(1^2+2^2+3^2+....+25^2)\)
\(=4\times{\frac{25(25+1)(2\times{25}+1)}{6}}\)
\(=4\times{\frac{25\times{26}(50+1)}{6}}\)
\(=4\times{\frac{25\times{13}\times{51}}{3}}\)
\(=4\times{25\times{13}\times{17}}\)
\(=22100\)
ভেদাংক, \(\sigma^2=\frac{\sum{x_{i}^2}}{n}-\left(\frac{\sum{x_{1}}}{n}\right)^2\)
\(=\frac{22100}{25}-\left(\frac{650}{25}\right)^2\)
\(=884-\left(26\right)^2\)
\(=884-676\)
\(=208\)
ইহাই নির্ণেয় ভেদাংক।