১। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্পঃ \(A=\left[\begin{array}{rrr}4 & 1 & 5 \\ -2 & -1 & -3 \\ 3 & -4 & -9\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 4\end{array}\right]\)
এবং \(f(x)=x^2-2x^2+x-2I\) যেখানে \(I\) অভেদ ম্যাট্রিক্স।
ক. \(\left[\begin{array}{rrr}2 & 3 \\ -1 & -2\end{array}\right]\) ম্যাট্রিক্সটি অভেদঘাতি (involutory) কি-না যাচাই কর। ২
খ. \(f(A^T)\) নির্ণয় কর, যেখানে \(A^T\) হচ্ছে \(A\) এর ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স। ৪
গ. ক্রামারের সূত্রের সাহায্যে \(AX=B\) সমীকরণ জোট সমাধান কর। ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্পঃ \(A=\left[\begin{array}{ccc}x & y & z \\ 2 x^{3}+1 & 2 y^{3}+1 & 2 z^{3}+1 \\ x^{2} & y^{2} & z^{2}\end{array}\right]\), \(\mathrm{B}=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]\)
ক. \(\left[\begin{array}{rrr}0 & 2 & m \\ -2 & 0 & 3 \\ 4 & -3 & 0\end{array}\right]\) ম্যাট্রিক্সটি বিপ্রতিসম হলে \(m\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. প্রমাণ কর যে, \({det}(A)=-(2xyz+1)(x-y)(y-z)(z-x)\) ৪
গ. এমন ম্যাট্রিক্স \(C\) নির্ণয় কর যেন \(BC=CB=I_{3}\) হয়। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্পঃ
\(AB\) রেখার সমীকরণ \(2x+3y=12\) এবং \(CD\) রেখার উপর \((6, 4)\) একটি বিন্দু।
ক. \((-3,-3)\) বিন্দুর পোলার স্থানাংক নির্ণয় কর। ২
খ. \(AB||CD\) এবং \(CD\)রেখার সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয় \(P\) ও \(Q\) হলে, \(\triangle{OPQ}\) এর ক্ষেত্রফল বের কর। ৪
গ. \((5, 5)\) বিন্দু হতে \(AB\) রেখার উপর অংকিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্পঃ \(A\equiv 3x+y-15, \ B\equiv 4x+3y-12,\) \(C\equiv 3x-4y+16, \ D \equiv 4x-3y+12\)
ক. \(3x-4y+2=0\) এবং \(6x-8y-7=0\) সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর। ২
খ. দুইটি সরলরেখা \((7, -1)\) বিন্দুগামী এবং \(A=0\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. যদি \(B=0, \ C=0\) এবং \(D=0\) ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সমীকরণ হয় তবে ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=\ln_{5}x\) এবং \(g(x)=\sec{x}\)
ক. \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{15x^2}\] এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(f(x)\) এর ১ম অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(\frac{1}{g(\sqrt{y})}=2x\) হলে দেখাও যে, \((1-4x^{2})y_{2}-4xy_{1}-8=0\) ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(xy+y=\sin^{-1}{\frac{y}{x}}\)
ক. \(x\) এর সাপেক্ষে \(x^{\cos^{-1}{3x}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-২ হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে \(y\) এর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্পঃ \(f(x)=\cos{x}, \ g(x)=2x^{2}+2y^{2}\).
ক. \(\int{xe^{2x^{2}}dx}\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{f(x)}{8+\{f(x)\}^{2}}dx}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে \(g(x)=72\) বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্পঃ \(f(x)=x^{2}\sqrt{16-x^{2}}, \ g(x)=y^{2}-8x\) এবং \(h(x)=x^{2}-8y\).
ক. \(\int{x\ln{\left(2x\right)}dx}\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int_{-2}^{2}{f(x)dx}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. \(g(x)=0\) এবং \(h(x)=0\) বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান