১। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(x^2-px+pq=0\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(x^{2}+ax+b=0\) এবং \(x^{2}+bx+a=0\)
ক. \(x^3+qx+r=0 \) সমীকরণের মূলগুলো \(a, \ b, \ c\) হলে, \((b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণটির মুলদ্বয়ের অন্তর \(r\) হলে \(p\) কে \(q\) ও \(r\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, তাদের অপর দুইটি মূল দ্বারা গঠিত সমীকরণটি \(x^2+x+ab=0\) ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(ax^{2}+bx-c=2\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(8x^{3}-42x^2+63x-27=0\)
ক. মূলদ সহগবিশিষ্ট একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি মূল \((3+\sqrt{2}i)^{-1}.\) ২
খ. যদি দৃশ্যকল্প-১ এ \(a=27, \ b=6, \ c=m\) এবং সমীকরণটির একটি মূল অপরটির বর্গের সমান হয়, তবে \(m\) এর মানগুলো নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটি সমাধান কর, যেখানে মূলগুলো গুণোত্তর প্রগমন শ্রেণীভুক্ত। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=\sin{x}\)
ক. \(\cos\left(2\cot^{-1}\frac{3}{2}\right)\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. প্রমাণ কর যে, \(\sin^{-1}{\{\sqrt{2}f(\theta)\}}+\sin^{-1}{\left\{\sqrt{f\left(\frac{\pi}{2}-2\theta\right)}\right\}}=\frac{\pi}{2}\) ৪
গ. সমাধান করঃ \(f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+f(\theta)=f\left(\frac{\pi}{2}-2\theta\right)+f(2\theta)\) ৪
সমাধান

ক. \(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}=\frac{\pi}{2}\) হলে,দেখাও যে, \(x^2+y^2=1\)
২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এ \(\angle{ACB}=2x\) হলে, \(\cot^{-1}{3}-x\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটি \(0\lt{x}\lt{\pi}\) ব্যবধিতে সমাধান কর। ৪
সমাধান

ক. \(x^{2}=1-2y\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাংক নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর উপবৃতটির উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্র ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

ক. \(y^{2}-2x^{2}=2\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এ \(AA^{\prime}=8\) হলে, উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সাহায্যে অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

ক. মূল বিন্দুতে \(5, \ 8\) ও \(10\) একক মানের তিনটি বল \(x\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(0^{o}, \ 60^{o}\) ও \(120^{o}\) কোণে ক্রিয়া করছে। \(OX\) বরাবর বলগুলোর লম্বাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর বলগুলোর লব্ধি নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সদৃশ সমান্তরাল বল \(P, \ Q, \ R\) এর লব্ধি যদি \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G\) তে ক্রিয়া করে তবে প্রমাণ কর যে, \(P=Q=R\) ৪
সমাধান

ক. কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(P\) ও \(2P\) মানের বলদ্বয়ের লব্ধি যদি \(P\) এর ক্রিয়ারেখার উপর লম্ব হয় তবে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর এক বিন্দুতে ক্রিয়াশীল \(P, \ Q, \ R\) বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রমাণ কর যে, \(R^2=Q(Q-P)\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এ যদি \(AB=a\) একক এবং উভয় বলকে যদি \(x\) পরিমাণ বৃদ্ধি করা হয় তা হলে দেখাও যে, তাদের লব্ধি \(\frac{ax}{7}\) দূরত্বে সরে যাবে। ৪
সমাধান