১। \(\blacktriangleright\) \(P=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 5 & 3\\ 1 & -1 & 6\\ 1 & 2 & -5\end{array}\right], \ Q=\left[\begin{array}{r} 6\\9\\0\end{array}\right], \ R=\left[\begin{array}{r} x\\y\\z\end{array}\right]\)
ক. দুইটি ম্যাট্রিক্সের গুণন যোগ্যতা ব্যাখ্যা কর। ২
খ. \(f\left(x\right)=x^{2}-3x\) হলে, \(f(P)\) নির্ণয় কর। ৪
গ. \(P^{T}R=Q\) থোকে প্রাপ্ত সমীকরণ জোটকে নির্ণার্যকে সাহায্যে সমাধান কর। ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(S=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 2\\ 2 & -3\end{array}\right), \ T=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 2\\ 2 & -3\end{array}\right),\) \(U=\left(\begin{array}{rrr}a & b & c\\ 2a^3+1 & 2b^3+1 & 2c^3+1 \\ a^2 & b^2 & c^2\end{array}\right)\)
ক. বিস্তার না করে গ্রমাণ করঃ \(\left[\begin{array}{rrr}a & -x&a+x\\b & -y&b+y\\c & -z&c+z\end{array}\right]=0\) ২
খ. দেখাও যে, \((ST)^{-1}=-T^{-1}S^{-1}\) একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স। ৪
গ. গ্রমাণ কর যে, \(|U|=-\left(2abc+1\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\) ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) \(L(2, -1), \ M(-3, 3)\) এবং \(2x-y+1=0\)
ক. \((1, 1)\) বিন্দু থেকে যে সকল বিন্দুর দূরত্ব সর্বদাই \(5\) একক ঐ সকল বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(L\) ও \(M\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার উপর অংকিত লন্বদ্বিণ্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(\angle{ACB}\) এর সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\)

ক. \(\left(1, 3\right)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. বৃত্তটির একটি জ্যা এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দু \((-5, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত। ৪
গ. \(OP\) স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(\angle{P}+\angle{Q}=\angle{R}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ

ক. প্রমাণ কর যে, \(\sin{\theta}+\sin\left(120^{o}+\theta\right)+\sin\left(240^{o}+\theta\right)=0\) ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে দেখাও যে, \(\cos^{2}{\frac{P}{3}}+\cos^{2}{\frac{Q}{3}}+\cos^{2}{\frac{R}{3}}=1+2\cos{\frac{P}{3}}\cos{\frac{Q}{3}}\cos{\frac{R}{3}}\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সাহায্যে \(C\) এর মান নির্ণয় কর। অতঃপর দেখাও বে, এিভুজটির ক্ষেত্রফল \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) বর্গ একক। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) \(g\left(x\right)=x^{3}-3xy+y^{3}-3,\)\(f\left(x\right)=\frac{2}{3}x^{3}+\frac{11}{2}x^{2}-6x+5\)

ক. \[\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-3x}}{x}\] এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক হতে \(g\left(x, y\right)=0\) বক্র রেখাটির \(\left(2, 1\right)\) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শেকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপক হতে \(f(x)\) ফাংশনের বৃহত্তম ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(g\left(x\right)=\cot^{-1}{x}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(y^2=2x\)
ক. \(\int{\frac{dx}{\sqrt{5-3x^{2}}}}\) নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্ল-১ এর সাহায্যে \(\int_{1}^{\sqrt{3}}{xg\left(x\right)dx}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্ল-২ এবং \(x=3y\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(f\left(z\right)=\frac{z^{2}}{\left(1+z^{2}\right)^{2}}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ\(g\left(t\right)=e^{a\cos^{-1}{\left(2t\right)}}\)
ক. \(y=3x\left(1+x\right)\) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে অংকিত অভিলম্বের ঢালের মান নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে \(\int_{0}^{\ln{2}}{f(e^{x})dx}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, \((1-4x^{2})g^{\prime\prime}\left(x\right)-4xg^{\prime}\left(x\right)-4a^{2}g\left(x\right)=0\) ৪
সমাধান