১। \(\blacktriangleright\) \(N=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 2\\ 2 & 1 & 2\\ -2 & 2 & -1\end{array}\right], \ X=\left[\begin{array}{r} x\\y\\z\end{array}\right]\) এবং \(B=\left[\begin{array}{r} 3\\5\\4\end{array}\right]\)
ক. \(\left(\begin{array}{rrr} c & -5 & -6\\ 5 & 2c & 3\\ a & -3 & c\end{array}\right)\) ম্যাট্রিক্সটি বিপ্রতিসম হলে, \(c+a=\)? ২
খ. \(B^{-1}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. \(MN=I_{3}\) (অভেদক ম্যাট্রিক্স) হলে, \(M\) ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(A=\left[\begin{array}{rrr}a^2 & b^2 & c^2 \\a^3 & b^3 & c^3 \\a^4-2a & b^4-2b & c^4-2c \end{array}\right], \ P=\left[\begin{array}{rr}-3 & 2 \\3 & -1\end{array}\right]\)
এবং \(f(x)=5x^2-11x\)
ক. \((3, -11)\) বিন্দু থেকে সর্বদা \(5\) একক দূরত্বে অবস্থিত কোনো চলমান বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(f(P)+6I_{2}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \(det(A)=abc(abc-2)(a-b)(b-c)(c-a)\) ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\)
এবং \(OC\) রেখার ঢাল \(=-\frac{4}{3}\)
ক. \((3, 6)\) বিন্দুগামী \(\frac{1}{3}x+5y+8=0\) রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(\Delta{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
গ. দেখাও যে, \(OC\) রেখা ও \(x\) অক্ষরেখার মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\)

ক. \(x^2+y^2=121\) বৃত্তের পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে অংকিত বৃত্তটি কতৃক অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ৪
গ. \('O'\) মূলবিন্দু থেকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী বৃত্তের উপর অংকিত অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\)

ক. প্রমাণ কর যে, \(\tan{35^{o}}+\tan{10^{o}}+\tan{35^{o}}\tan{10^{o}}=1\) ২
খ. প্রমাণ করঃ \(\cos^2{A}-\cos^2{B}+\cos^2{C}=1-2\sin{A}\cos{B}\sin{C}\) ৪
গ. \(ABC\) ত্রিভুজটি সমাধান কর। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) \(x=\cos{\alpha}, f(x)=2x\)
ক. \(t\) এর সাপেক্ষে \(\frac{1+\sin{t}}{\sin{t}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ২
খ. \(y=\sin{(a\alpha)}\) হলে প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+a^2y=0\) ৪
গ. দেখাও যে, \(f(x)+\frac{1}{f(x)}\) এর গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) \(g\left(x,y\right)=16x^2+25y^2-400; \ F(z)=z\ln{z}\)
ক. \(\int{\frac{\operatorname{cosec^2{x}}}{\sqrt{1-\cot^2{x}}}dx}\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int_{1}^{\sqrt{e}}{F(x)dx}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. \(g(x, y)=0\) বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) বক্ররেখার সমীকরণঃ \(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\) এবং \(P(x)=2x+5\)
ক. \(y=x^{e^{3x}}\) হলে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর। ২
খ. বক্ররেখাটির \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(\int{\frac{dx}{(2x+1)\sqrt{P(x)}}}\) নির্ণয় কর। ৪
সমাধান