১। \(\blacktriangleright\) \(M=-5+12\sqrt{-1}, \ p=\sqrt[3]{a+ib}\) এবং \(q=x+iy\)
ক. \(1+2i\) কে আর্গণ্ড চিত্রের সাহায্যে প্রকাশ কর। ২
খ. \(M\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর। ৪
গ. \(p=q\) হলে প্রমাণ কর যে, \(4(x^{2}-y^{2})=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}\) ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c\) এবং \(g\left(x\right)=x^{2}-px+q\)
ক. \(3x^{2}-mx+4=0\) সমীকরণের একটি মূল অপর মূলটির তিনগুণ হলে, \(m\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. \(f\left(x\right)=0\) সমীকরণের মূল দুটির অনূপাত \(r\) হলে দেখাও যে, \(\frac{\left(r+1\right)^{2}}{r}=\frac{b^{2}}{ac} \) ৪
গ. \(g\left(x\right)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে, \(\frac{q}{p-\alpha}\) এবং \(\frac{q}{p-\beta}\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) \(f\left(x\right)=px^{2}+2qx+r, \ g\left(x\right)=x^{2}+\left(p+r\right)x+\left(p^{2}+r^{2}+2q^{2}\right)\) এবং \(M\left(y\right)=8y^{3}-42y^{2}+63y-27\)
ক. \(x^{2}-6x+25=0\) সমীকরণের \(x\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. \(f\left(x\right)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, দেখাও যে \(g(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় কাল্পনিক হবে। ৪
গ. \(M\left(x\right)=0\) সমীকরণটির মূলগুলো গুণোতর প্রগমনভুক্ত হলে, সমীকরণটির সমাধান কর। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) \(f\left(x\right)=\sin x\) এবং \(g\left(y\right)=\cos{y}\)
ক. \(\sin^{-1}\frac{4}{5}+\cos^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. \(f\left(x\right)+g\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)+f\left(3x\right)=1+g\left(x\right)+f\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\) সমীকরণটির সমাধান কর। ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \(2\tan^{-1}\left\{\frac{f\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{f\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)}\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)\right\}=\tan^{-1}\left\{\frac{f\left(\alpha\right)\cdot g\left(\beta\right)}{g\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)+f\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}\right\}\) ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ একটি পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((5, 3),\) অক্ষরেখাক \(y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((7, 2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উদ্দীপক-২ঃ একটি উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((-2, 3),\) নিয়ামকের সমীকরণ \(2x+y-3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ক. \(y^{2}-8x+8y=0\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাংক কত? ২
খ. পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ কোনো কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়ায়াশীল \(P\) এবং \(Q \left(P\gt{Q}\right)\) দুটি বলের লব্ধি \(P\) বলের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। \(P\) বলকে দ্বিগুণ করলে উক্ত কোণটি পূর্বের কোণের অর্ধেক হয়।
উদ্দীপক-২ঃ\(M\) মানের তিনটি বল একটি বিন্দুতে এরূপ ভাবে কার্যরত যেন এদের দিক \(\Delta ABC\) এর \(BC, \ CA\) এবং \(AB\) বাহুর সমান্তরাল।
ক. \(5N\) এবং \(12N\) দুটি বল একটি বিন্দুতে \(45^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত থাকলে, বলদুটির লব্ধি নির্ণয় কর। ২
খ. \(P\) এবং \(Q\) বলের মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ নির্ণয় কর। ৪
গ. প্রমাণ কর যে, বলত্রয়ের লব্ধির পরিমাণ \(M\sqrt{3-2\cos{A}-2\cos{B}-2\cos{C}}\) ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ \(P, \ Q\) ও \(R\) বলত্রয় একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে। \(P\) ও \(Q\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(60^{o}\) এবং \(P\) ও \(R\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(150^{o}\)
উদ্দীপক-২ঃ\(20\) সে.মি. দীর্ঘ \(AB\) হালকা দন্ডটি \(10\) সে.মি. ব্যবধানে দুইটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে অবস্থিত। \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(2W\) এবং \(3W\) ওজন ঝুলানো হলো।
ক. \(15N\) এবং \(20N\) ওজনের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বল দুইটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত খাকলে, তাদের লব্ধি কত? ২
খ. প্রমাণ কর বে, \(P=Q=\frac{R}{\sqrt{3}}\) ৪
গ. খুঁটি দুইটির অবস্থান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ একটি বস্তু কণা স্থিরাবস্থা থেকে একটি সরলরেখা বরাবর যাত্রা করে প্রথমে \(f_1\) সুষম ত্বরণে এবং পরে \(f_2\) সুষম মন্দনে চলে। \(t\) সময় যাত্রা করে কণাটি \(S\) দূরত্বে গিয়ে থামে।
উদ্দীপক-২ঃ কোনো অনুভূমিক তলের উপরস্থ একটি বিন্দু হতে একটি কণা \(u\) বেগে এবং \(\alpha\) কোণে প্রক্ষিপ্ত হলো। তার পাল্লা \(R\) এবং লব্ধ বৃহত্তম উচ্চতা \(H\)।
ক. একটি বস্তুকণাকে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত করা হলো। কণাটি সর্বোচ্চ \(39.2\) মিটার উপরে উঠে ভূমিতে পতিত হলে, বেগ নির্ণয় কর। ২
খ. প্রমাণ কর যে, \(\frac{t^{2}}{2S}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}\) ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \(16gH^{2}-8u^{2}H+gR^{2}=0\) ৪
সমাধান