১। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ \(z=-1+i\) একটি জটিল সংখ্যা।
উদ্দীপক-২ঃ \(z=x+iy\) একটি জটিল সংখ্যা।
ক. \(z=i\) হলে, \(\bar{z}\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ এ উল্লেখিত জটিল সংখ্যার মডুলাস ও আর্গুমেন্ট আর্গন্ড চিত্রে দেখাও। ৪
গ. উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে \(|z+2|=5\) বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(10x^{2}-8x+1=0\) এবং \(2x^{3}-3x^2+4x-1=0\) দুইটি বহুপদী সমীকরণ।
ক. \(3x^{2}+2x+1=0\) সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর। ২
খ. একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় হবে উদ্দীপকে উল্লেখিত দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল ও অন্তরফলের যোগবোধক মান। ৪
গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত দ্বিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে, \(\sum{\alpha^2\beta}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ \(x^2-2x+b=0\) এবং \(x^2-bx+2=0\) দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
উদ্দীপক-২ঃ \(x^4-7x^3+18x^2-22x+12=0\) সমীকরণের একটি মূল \(1+i\)
ক. \(a\) এর মান কত হলে, \((a-1)x^2+(a+2)x+4=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে? ২
খ. উদ্দীপক-১ এ উল্লেখিত সমীকরণ দুইটির মূলদ্বয়ের পার্থক্য একটি ধ্রুবক রাশি হলে, প্রমাণ কর যে, \(b^2+4b-12=0\) ৪
গ. উদ্দীপক-২ এ উল্লেখিত সমীকরণটি সমাধান কর। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ \(f(x)=\cos{x}\)
উদ্দীপক-২ঃ \(\cot^{-1}{\frac{1}{x}}+\frac{1}{2}\sec^{-1}{\left(\frac{1+y^2}{1-y^2}\right)}+\frac{1}{2}\operatorname{cosec}^{-1}{\left(\frac{1+z^2}{2z}\right)}=\pi\)
ক. \(\cot{\cos^{-1}{\sin{\tan^{-1}{\frac{3}{4}}}}}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. \((-2\pi, 2\pi)\) ব্যবধিতে \(f(x)+\frac{1}{\sqrt{3}}f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\) সমীকরণটির সমাধান কর। ৪
গ. উদ্দীপক-২ হতে প্রমাণ কর যে, \(x+y+z=xyz\) ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ একটি কনিকের উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{\sqrt{13}}{3}\) এবং উহা \(\left(4, \frac{\sqrt{28}}{3}\right)\) বিন্দুগামী।
উদ্দীপক-২ঃ \(x^2+2y^2-12x+28=0\)
ক. \(4x^2-9y^{2}-1=0\) কনিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে শনাক্ত কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ এ উল্লেখিত কণিকের অক্ষদ্বয়কে \(x\) অক্ষ ও \(y\) অক্ষ ধরে উহার অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপক-২ এ উল্লেখিত কণিকের উপকেন্দ্রের স্থানাংক ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ একটি উপবৃত্তের অক্ষদ্বয় \(x\) ও \(y\) অক্ষরেখা, উপকেন্দ্র \((2, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
উদ্দীপক-২ঃএকটি পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((-2, 1)\)
ক. \(x^2+4y^2=1\) কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর। ২
খ. নিয়ামক রেখা \(x\) অক্ষের উপর লম্ব এবং \((8, 0)\) বিন্দুগামী হলে, উদ্দীপক-১ হতে দেখাও যে, উপবৃত্তের সমীকরণ \(x^2+2y^2+8x-56=0\) ৪
গ. উদ্দীপক-২ এ উল্লেখিত পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-6, -3)\) হলে, উহার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\)

ক. \(\alpha\) কোণে ক্রিয়ারত \(3\) ও \(2\) একক মানের বলদ্বয়ের লব্ধি \(R\) এবং একই কোণে ক্রিয়ারত \(6\) ও \(2\) একক মানের বলদ্বয়ের লব্ধি \(2R\)। \(\alpha\) এর মান কত? ২
খ. উদ্দীপকে উল্লেখিত সমান্তরাল বলদ্বয়ের অবস্থান বিনিময় করলেও যদি তাদের লব্ধির ক্রিয়াবিন্দুর অবস্থান অপরিবর্তিত থাকে তবে দেখাও যে, \(F=G\) ৪
গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয়ের অবস্থান বিনিময় করলে তাদের লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \(FG\) বরাবর \(x\) দূরত্বে সরে যায়। প্রমাণ কর যে, \(x=\frac{F-G}{F+G}AB; \ F\gt{G}\) ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ একটি টাওয়ারের শীর্ষ হতে স্থির অবস্থান থেকে অবাধে পড়ন্ত একটি পাথর, তার গতির শেষতম সেকেন্ডে টাওয়ারের উচ্চতার \(\frac{5}{9}\) অংশ অতিক্রম করে।
উদ্দীপক-২ঃ দুইটি রেলগাড়ি একই রেল লাইনে যথাক্রমে \(u\) ও \(v\) সমবেগে একে অপরের দিকে অগ্রসর হচ্ছে। যখন তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(d\) তখন একে অপরকে দেখতে পায়। ট্রেন দুইটির সর্বোচ্চ মন্দন \(a\) ও \(b\) প্রয়োগ করে কোনো রকমে সংঘর্ষ এড়ানো সম্ভব।
ক. \(490\) মিটার উচু একটি টাওয়ারের শীর্ষ হতে একটি পাথরকে আনুভূমিকভাবে নিক্ষেপ করা হলো। পাথরটি মাটিতে পৌঁছার সময় নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ এ উল্লেখিত টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপক-২ এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, \(u^2b+v^2a=2abd\) ৪
সমাধান