১। \(\blacktriangleright\) \(A=(1 \ -2 \ 3), \ X=(x \ y \ z), \ B=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&3\\1&5&0\\4&-2&1\end{array}\right)\)
\(C=\left(\begin{array}{ccc}(m+n)^{2}&&l^{2}&&l^{2}\\m^{2}&&(n+l)^{2}&&m^{2}\\n^{2}&&n^{2}&&(l+m)^{2}\end{array}\right)\)
ক. \(3\left[\begin{array}{rrr}1&-1\\2&4\end{array}\right]+E=I_2\) হলে, \(E\) ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর। ২
খ. ক্রেমারের নিয়মে \(BX^{T}=A^{T}\) সমীকরণ জোট সমাধান কর। ৪
গ. দেখাও যে, \(|C|=2lmn\left(l+m+n\right)^{3}\) ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\)

ক. \(AB\) সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের তিখণ্ডন বিন্দু নির্ণয় কর। ২
খ. \((7, 9)\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(D\) বিন্দুর স্থানাক নির্ণর কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(x=0, \ y=0\) এবং \(x=10\) তিনটি সরলরেখার সমীকরণ।
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(x^{2}+y^{2}-12x+16y-69=0\) এবং \(x^2+y^{2}-9x+12y-59=0\) দুইটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক. \((3, 2)\) বিন্দু থেকে \(2x^2+2y^2-6x-7=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সরলরেখা তিনটিকে স্পর্ণ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর বৃত্ত দুইটির জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) \(x^{2}+y^{2}+6x-6y-31=0 .....(1)\)
\(4x+3y+7=0 .....(2)\)
\(2x-5y+1=0 ......(3)\)
ক. \(r=\cos{\theta}-\sin{\theta}\) বৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয় কর। ২
খ. \((2)\) ও \((3)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \((2)\) নং রেখার উপর লম্ব এবং \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্প করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) \(PQR\) একটি এভুজ।
ক. প্রমাণ কর যে, \(2\cos{x}=\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos{4x}}}\) ২
খ. উদ্দীপক হতে গ্রমাণ কর যে, \(1+4\sin{\frac{Q+R}{4}}\sin{\frac{R+P}{4}}\sin{\frac{P+Q}{4}}=\sin{\frac{P}{2}}+\sin{\frac{Q}{2}}+\sin{\frac{R}{2}}\) ৪
গ. উদ্দীপক হতে প্রমাণ কর যে, \(p^{3}\cos{\left(Q-R\right)}+q^{3}\cos{\left(R-P\right)}+r^{3}\cos{\left(P-Q\right)}=3pqr\) ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=a^{5x}, \ g(x)=\sqrt{\frac{x}{2a}}+\sqrt{\frac{y}{2a}}-1.\)
ক. \[\lim_{x\to a}\frac{x^{\frac32}-a^{\frac32}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\] এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. লিমিটের সাহায্যে \(f(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \(g(x)=0\) বক্ররেখার যে কোনো বিন্দুতে স্পর্শক দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতাংশের যোগফল একটি ধুবক। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(f(x)=\frac{1}{\left(4+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(x^{2}+y^{2}=64\)
\(y=5\)
ক. \(\int{\sin{9x}\sin{11x}dx}\) নির্ণর কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ ব্যবহার করে \(\int_{0}^{4}{f(x)dx}\) নির্ণর কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর বৃত্ত ও সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেএফল নির্ণর কর। ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+5\)
\(g\left(x\right)=x+2\)
\(h\left(x\right)=\left(1-x\right)\left(x^{2}+4\right)\)
ক. \(\int{x\ln{|x|}dx}\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(f(x)\) ফাংশনটির মান যে সকল ব্যবধিতে বৃদ্ধি বা হ্বাস পায় তা নির্ণয় কর। ৪
গ. \(\int{\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}dx}\) নির্ণয় কর। ৪
সমাধান