১। \(\blacktriangleright\) \(A=\left[\begin{array}{rrr}2&-1&3\\1&1&1\\1&-1&2\end{array}\right], \ B=\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right], \ C=\left[\begin{array}{c}2\\5\\4\end{array}\right]\)
ক. কী শর্তে দুইটি ম্যাট্রিক্সের যোগ ও গুণ করা সম্ভব? ২
খ. \(AB=C\) হলে, ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণ জোটটি সমাধান কর। ৪
গ. \(A^{-1}\) নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(M=\left[\begin{array}{c}a-5&2\\2&a-2\end{array}\right], \ N=\left[\begin{array}{rrr}-1&2&-3\\2&1&0\\4&-2&5\end{array}\right],\) \(P=\left[\begin{array}{c}-2&a+b&-c\\-2&b+c&-a\\a+b-c&c^2&ab\end{array}\right]\)
ক. \(a\) এর মান কত হলে \(M\) একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে? ২
খ. \(N^2-5N+4I\) নির্ণয় কর। ৪
গ. দেখাও যে, \(|P|=(c-a)(a^2+b^2+c^2)\) ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\)

ক. \(\Delta{OAB}\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ২
খ. এরূপ একটি রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(C\) বিন্দুগামী এবং \(x-y+2=0\) রেখার সমান্তরাল। ৪
গ. দেখাও যে, উদ্দীপকের রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-I:
উদ্দীপক-II: \(x^2+y^2+2x+3y+1=0\) একটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(x^2+y^2-12x-8y+34=0\) বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-I এর বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. মূলবিন্দু \((0, 0)\) থেকে উদ্দীপক-II এর বৃত্তটির উপর অংকিত স্পর্শকের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\)

ক. \(\frac{\tan{42^{o}}\tan{78^{o}}}{\cot{6^{o}}\cot{66^{o}}}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{E}{2}=\frac{p-q}{p+q}\cot{\left(\frac{S-T}{2}\right)}}\) ৪
গ. যদি, \(p^4+q^4+r^4=2p^2(q^2+r^2)\) হয়, তবে দেখাও যে, \(S=45^{o}\) অথবা \(135^{o}\) ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-I: \(\triangle{ABC}\) এ \(A+B+C=\pi\)
উদ্দীপক-II:

ক. উদ্দীপক-I থেকে প্রমাণ কর যে, \(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\) ২
খ. উদ্দীপক-II থেকে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\) ৪
গ. উদ্দীপক-I থেকে প্রমাণ কর যে, \(\sin^2{\frac{A}{2}}+\sin^2{\frac{B}{2}}+\sin^2{\frac{C}{2}}=1-2\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}\) ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=\ln{x}, \ g(x)=\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\)
ক. \(x\) এর সাপেক্ষে \(\left(\cos^{-1}{\sqrt{x}}\right)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকের আলোকে মূল নিয়মে \(f(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(z=\{g(x)\}^{m}\) হলে, উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)\frac{d^2z}{dx^2}+x\frac{dz}{dx}-m^2z=0\) ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) \(P(x)=\cos{x}, \ Q(x, y)=x^2+y^2-25, \ L=x-3\)
ক. \(\int{\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}}\) এর যোগজ নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকের আলোকে \(\int{\frac{d\theta}{1-\left\{P\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}}}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকের আলোকে \(Q(x, y)=0\) এবং \(L=0\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান