১। \(\blacktriangleright\) \(2x-y-z=6, \ x+3y+2z=1\) এবং \(3x-y-5z=1\)
ক. বিস্তার না করে \(\left|\begin{array}{rrr}a&1&b+c\\b&1&c+a\\c&1&a+b\end{array}\right|\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. \(x, \ y\) ও \(z\) এর সহগগুলো নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স \(A\) হলে, \(A^{-1}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণ জোট সমাধান কর। ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ \(x-2y+3=0, \ 2x+3y=1\)
ক. \(2x-3y+5=0\) এবং \(7x+4y-3=0\) সরলরেখদ্বয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকে উল্লেখিত সমীকরণ দুইটি কোন সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু এবং উক্ত সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু \((2, -3)\) হলে, অপর বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত প্রথম সরলরেখার \(\sqrt{5}\) একক দূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) বৃত্তের সমীকরণঃ \(x^2+y^2+6x+2y+6=0\)
\(x^2+y^2+8x+y+10=0\)
ক. ব্যাসার্ধ \(3\) এবং \(x^2+y^2-4x-6y=0\) বৃত্তের সাথে সমকেন্দ্রিক এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকে উল্লেখিত বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা কে ব্যাস ধরে অংকিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \((-3, 2)\) বিন্দু হতে উদ্দীপকের ১ম বৃত্তটির উপর অংকিত স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) \(Q=\left[\begin{array}{rrr}3+x&4&2\\4&2+x&3\\2&3&4+x\end{array}\right]\)
ক. \(\left[\begin{array}{rr}1&2\\-1&-k\end{array}\right]\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. যদি \(x=7\) হয়, \(Q^2-5Q+3I\) এর মান নির্ণয় কর যেখানে \(I_{3}\) একক ম্যাট্রিক্স। ৪
গ. \(|Q|=0\) হলে, সমাধান সেট নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\)
যেখানে \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\)
ক. প্রমাণ করঃ \(\frac{\sin{75^{o}}+\sin{15^{o}}}{\sin{75^{o}}-\sin{15^{o}}}=\sqrt{3}.\) ২
খ. প্রমাণ করঃ \(\sin^2{\alpha}-\sin^2{\beta}+\sin^2{\gamma}=2\sin{\alpha}\cos{\beta}\sin{\gamma}\) ৪
গ. \(\cos{P}=\sin{Q}-\cos{R}\) হলে, দেখাও যে, \(PQR\) ত্রিভুজটি সমকোণী। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(f(x)=x, \ g(x)=\sin{x}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(n\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{y}\)
ক. মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^4+3x^2-1}{3x^4+x^3-2x}\] ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে \(\{f(x)\}^{g(x)}+\{g(x)\}^{f(x)}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+n^2y=0\) ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=\cos{x}\)
ক. \(\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}\right)\) নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকের আলোকে \((0, \pi)\) ব্যবধিতে \(f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+f(2x)\) ফাংশনের লঘুমান এবং গুরুমান নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকের আলোকে \(\int{\{f(x)\}^3dx}+\int{\sqrt{1-\{f(x)\}^2}\ln{\{f(x)\}}dx}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\)
\(f(x)=\sin{x}\)
ক. \(\int{\frac{1}{e^{-x}+1}dx}\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{f^{\prime}(x)}{[\{f(x)\}^2-16]\{f(x)-3\}}dx}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান