১। \(\blacktriangleright\) \((i) \ x+y+z=R\)
\((ii) \ p=x+iy\)

ক. \((-1-\sqrt{3}i)\) সংখ্যাটির আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর। ২
খ. \(p\) জটিল সংখ্যাটির অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা \(q\) হলে, \(|p+3i|=|q+4|\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর। ৪
গ. যদি \(R=0\) এবং \(\omega\) এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হয় তবে, প্রমাণ কর যে, \((x+y\omega+z\omega^2)^3+(x+y\omega^2+z\omega)^3=27xyz\) ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \((i) \ mx^2+nx+n=L_{1}\)
\((ii) \ S=6x^3-20x^2+5\) এবং \(T=6-6x-9x^2\)

ক. একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি মূল \(\frac{1}{2+i3}\) ২
খ. যদি \(L_{1}=0\) সমীকরণের মূল দুইটি অনুপাত \(p:q\) হয় তাহলে প্রমাণ কর যে, \(\sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{n}{m}}=0\) ৪
গ. যদি \(S=T\) সমীকরণটির মূলগুলো সমান্তর প্রগমনের গৌণিক বিপরীত প্রগমনভুক্ত হয় তবে, \(x\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) \(\sin{A}=\frac{2}{\sqrt{5}}, \ \cos{B}=\frac{4}{5}, \ \cot{C}=3\) এবং \(g(\theta)=\cos{\theta}-\cos{7\theta}\)

ক. প্রমাণ কর যে, \(\sin{\tan^{-1}{\cot{\cos^{-1}{y}}}}=y\) ২
খ. প্রমাণ কর যে, \(A-\frac{1}{2}B+C=\tan^{-1}{2}\) ৪
গ. যদি \(g(\theta)=\sin{4\theta}\) হয়, তাহলে \(\theta\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) \(x=a\cos{P}, \ y=b\cos{Q}\) এবং \(f(z)=\tan{z}\tan{3z}\)
ক. যদি \(\sin^{-1}{m}+\sin^{-1}{n}=\frac{\pi}{2}\) হয় তবে দেখাও যে, \(m^2+n^2=1\) ২
খ. যদি \(P+Q=\psi\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{2xy}{ab}\cos{\psi}+\frac{y^2}{b^2}=\sin^2{\psi}\) ৪
গ. যদি \(f(z)=1\) হয় তবে \(z\) এর মান নির্ণয় কর যখন \(-\frac{\pi}{2}\le{z}\le{\frac{\pi}{2}}\) ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) \(f(x, y)=x^2-4y^2-6x-16y-11\) এবং \(g(x, y)=4y^2-20x-4y+30\)

ক. \(x^2-4y-2=0\) পরাবৃত্তটির অক্ষরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(f(x, y)=0\) কণিকের প্রকৃতি নির্ণয় করে উহার উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর। ৪
গ. \(g(x, y)=4y-9\) হলে, কণিকটির অক্ষরেখা ও নিয়ামকের ছেদবিন্দু নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\)

ক. \(9x^2-4y^2=36\) কণিকের নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(A\) কে শীর্ষবিন্দু ও \(B\) কে উপকেন্দ্র ধরে অংকিত পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকে \(OB^{\prime}=4\) এবং \(AS=A^{\prime}S\) হলে \(BB^{\prime}\) কে বৃহৎ অক্ষ ও \(AA^{\prime}\) ক্ষুদ্র অক্ষ ধরে অংকিত উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ বাহির কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(XYZ\) সমবাহু ত্রিভুজের \(YZ, \ ZX\) এবং \(XY\) বাহুর সমান্তরাল বরাবর যথাক্রমে \(5, \ 7\) এবং \(9\) একক মানের তিনটি বল ক্রিয়ারত।
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(2P\) দীর্ঘ এবং \(M\) ওজন বিশিষ্ট একটি সুষম তক্তা \(l\) দূরত্বে অবস্থিত দুটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে অবস্থিত। একে না উল্টিয়ে এর দুই প্রান্তে পর্যায়ক্রমে সর্বাধিক \(M_1\) ও \(M_2\) ওজন ঝুলানো যায়।
ক. \(8N\) ও \(5N\) মানের দুইটি বলের লব্ধি বৃহত্তর বলের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করলে বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণের মান নির্ণয় করা ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, \(\frac{M_{1}}{M+M_{1}}+\frac{M_{2}}{M+M_{2}}=\frac{l}{P}\) ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) \((i)\) একটি বস্তু সমত্বরণে সরলরেখা বরাবর চলে \(25\) তম সেকেন্ডে \(266\) সে.মি. এবং \(42\) তম সেকেন্ডে \(402\) সে.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে।
\((ii)\) কোনো বিন্দু \(O\) হতে প্রক্ষিপ্ত একটি বল দুইটি দেয়াল অতিক্রম করে। \(O\) বিন্দু হতে তাদের একটির আনুভূমিক দূরত্ব \(q\) এবং খাড়া দূরত্ব \(p\) এবং \(O\) বিন্দু হতে অপরটির আনুভূমিক দূরত্ব \(p\) এবং খাড়া দূরত্ব \(q\)
ক. স্থির অবস্থা হতে একটি কণা \(10\) সে.মি./বর্গ সে. সমত্বরণে কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখায় চলছে। \(5\) সে. পরে বস্তুটির বেগ কত হবে? ২
খ. বস্তুটির আদিবেগ নির্ণয় কর। ৪
গ. দেখাও যে, \(O\) বিন্দুগামী বলটির আনুভূমিক তলের উপর পাল্লা \(\frac{p^2+pq+q^2}{p+q}\) ৪
সমাধান