১। \(\blacktriangleright\) \(Z_{1}=1-ix\) এবং \(Z_{2}=a+ib\) যেখানে \(a, b\in\mathbb{R}\)
ক. \(x=\sqrt{3}\) হলে, \(Z_{1}\) কে পোলার আকারে প্রকাশ কর। ২
খ. প্রমাণ কর যে, \(x\) এর একটি বাস্তব মান \(\frac{Z_{1}}{\bar{Z_{1}}}=\bar{Z_{2}}\) সমীকরণকে সিদ্ধ করে যেখানে \(a^2+b^2=1.\) ৪
গ. \(\sqrt[3]{Z_{2}}=p+iq\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(-2(p^2+q^2)=\frac{a}{p}-\frac{b}{q}\) ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=x^2+x+1.\)
ক. \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর। ২
খ. \(\{f(x)\}^n=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+......+a_{2n}x^{2n}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(a_{0}+a_{3}+a_{6}+......=3^{n-1}\) ৪
গ. \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে, \(\alpha+\frac{1}{\beta}\) এবং \(\beta+\frac{1}{\alpha}\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) \((i) \ ax^2+2cx+2b=0\)
\((ii) \ ax^2+2bx+2c=0\)
ক. \(a+b+c=0\) এবং \(a, \ b, \ c\) বাস্তব হলে দেখাও যে, \((ii)\) নং সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে। ২
খ. \((i)\) ও \((ii)\) নং সমীকরণের একটি সাধারন মূল থাকলে দেখাও যে, \(a+2b+2c=0\) ৪
গ. সমীকরণ \((i)\) ও \((ii)\) এর মূলদ্বয়ের পার্থক্য সমান হলে দেখাও যে, \(b=c, \ b+c+2a=0\) ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\)

ক. \(\sin{\cot^{-1}{\tan{\sec^{-1}{x}}}}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকে \(\angle{BAC}=\alpha\) হলে, \(\alpha+\theta=\frac{\pi}{2}\) থেকে দেখাও যে, \(x^2+y^2=1\) ৪
গ. উদ্দীপকে অনুসারে \(x+y=\sqrt{2}\) সমাধান কর যখন \(-2\pi\le{\theta\le{2\pi}}\) ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(x=by^2+cy+a\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ কোন পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-2, 2)\) এবং \((-4, 2)\)
ক. \(x^2-4y^2=2\) কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-২ থেকে পরাবৃত্তের সমীকররণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-১ এ কণিকের শীর্ষবিন্দু \((1, -2)\) এবং এটি \((3, 0)\) বিন্দুগামী হলে \(a, \ b, \ c\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) এবং নিয়ামক \(MZ\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(5x^2+4y^2-10x-8y-11=0\)
ক. \(y^2=-6x\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ থেকে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ থেকে কণিকটির নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\)

ক. তিনটি বলের মান ও দিক \(ABC\) ত্রিভুজের বাহু বরাবর একইক্রমে গৃহীত হলে ভেক্টর পদ্ধতিতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় করা ২
খ. ১নং চিত্রে \(R, \ S, \ T\) বলত্রয়ের লব্ধি \(H\) বিন্দুগামী হলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{R}{\tan{A}}=\frac{S}{\tan{B}}=\frac{T}{\tan{C}}\) ৪
গ. ২নং চিত্রে বলগুলোর ক্রিয়ারেখা কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর সমান্তরাল বাহু বরাবর হলে তাদের লব্ধির মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\)দৃশ্যকল্প-১ঃ একটি নদী সোজাসুজি পার হতে একজন সাঁতারুর \(t_1\) সেকেন্ড সময় লাগে। স্রোতের অনুকূলে তীর বরাবর একই দূরত্ব অতিক্রম করতে তার \(t_2\) সেকেন্ড সময় লাগে।
দৃশ্যকল্প-২ঃ

ক. কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি বেগের বৃহত্তম লব্ধি \(14 m/sec\) এবং ক্ষুদ্রতম লব্ধি \(2 m/sec\) হলে বেগদ্বয় নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এ সান্ত নদীতে সাঁতারুর বেগ \(u\) এবং স্রোতের বেগ \(v\) হলে প্রমাণ কর যে, \(u:v=(t_{1}^2+t_{2}^2):(t_{1}^2-t_{2}^2)\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এ কণাটির সর্বোচ্চ উচ্চতা \(h\) হলে \(OA\) নির্ণয় কর। \([g=9.8m/s^2]\) ৪
সমাধান