শিক্ষা বোর্ড রাজশাহী - 2017
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(SESIP\) শব্দটির সবগুলো অক্ষর ব্যবহার করে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা পাওয়া যায়?
সবগুলি অক্ষরের সাজানো সংখ্যা \(=\frac{5!}{2!}\)
\(=\frac{5.4.3.2!}{2!}\)
\(=5.4.3\)
\(=60\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(24\)
গ \(120\)
গ \(120\)
খ \(60\)
ঘ \(240\)
\((SESIP)\) শব্দটিতে মোট \(5\) টি অক্ষর তার মধ্যে \(2\) টি \(S\) আছে।ঘ \(240\)
সবগুলি অক্ষরের সাজানো সংখ্যা \(=\frac{5!}{2!}\)
\(=\frac{5.4.3.2!}{2!}\)
\(=5.4.3\)
\(=60\)
উত্তরঃ ( খ )
২।
\(AB=6cm,\) চাপ \(BE=?\)
\(\therefore 2r=AB=6cm\)
\(\Rightarrow 2r=6cm\)
\(\therefore r=3cm\)
\(BE=\frac{\pi{r}\theta}{180} cm\)
\(=\frac{\pi\times{3}\times{30}}{180} cm\)
\(=\frac{\pi\times{3}}{6} cm\)
\(=\frac{\pi}{2} cm\)
উত্তরঃ ( ক )
\(AB=6cm,\) চাপ \(BE=?\)
ক \(\frac{\pi}{2}cm\)
গ \(\pi cm\)
গ \(\pi cm\)
খ \(\frac{3\pi}{2}cm\)
ঘ \(2\pi cm\)
দেওয়া আছে, \(AB=6cm\) এবং \(\theta=30^{o}\) ঘ \(2\pi cm\)
\(\therefore 2r=AB=6cm\)
\(\Rightarrow 2r=6cm\)
\(\therefore r=3cm\)
\(BE=\frac{\pi{r}\theta}{180} cm\)
\(=\frac{\pi\times{3}\times{30}}{180} cm\)
\(=\frac{\pi\times{3}}{6} cm\)
\(=\frac{\pi}{2} cm\)
উত্তরঃ ( ক )
৩। \((1, -1)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2-3x-4y+7=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য-
\(=\sqrt{1^2+(-1)^2-3\times{1}-4\times{-1}+7}\)
\(=\sqrt{1+1-3+4+7}\)
\(=\sqrt{13-3}\)
\(=\sqrt{10}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\sqrt{2}\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(\sqrt{10}\)
ঘ \(10\)
\((1, -1)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2-3x-4y+7=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,ঘ \(10\)
\(=\sqrt{1^2+(-1)^2-3\times{1}-4\times{-1}+7}\)
\(=\sqrt{1+1-3+4+7}\)
\(=\sqrt{13-3}\)
\(=\sqrt{10}\)
উত্তরঃ ( খ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ৪ ও ৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
৪। \(\sin{(B+C)}\) এর মাণ কত?
ক \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
গ \(-\sqrt{2}\)
গ \(-\sqrt{2}\)
খ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ঘ \(\sqrt{2}\)
চিত্র হতে, \(A=45^{o}\) ঘ \(\sqrt{2}\)
কিন্তু \(A+B+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow B+C=180^{o}-A\)
\(\Rightarrow B+C=180^{o}-45^{o}\)
\(\Rightarrow \sin{B+C}=\sin{(180^{o}-45^{o})}\)
\(=\sin{45^{o}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ ( খ )
৫। \(AB=\) কত সে.মি.?
কিন্তু \(A+B+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow C=180^{o}-(A+B)\)
\(=180^{o}-(45^{o}+75^{o})\)
\(=180^{o}-120^{o}\)
\(=60^{o}\)
আবার, \(\frac{AB}{\sin{C}}=\frac{BC}{\sin{A}}=\frac{CA}{\sin{B}}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{\sin{60^{o}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sin{45^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{2}\times{\sqrt{2}}\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(=2\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
গ \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
গ \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
খ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
ঘ \(\sqrt{3}\)
চিত্র হতে, \(A=45^{o}, \ B=75^{o}, \ BC=\sqrt{2} cm\) ঘ \(\sqrt{3}\)
কিন্তু \(A+B+C=180^{o}\)
\(\Rightarrow C=180^{o}-(A+B)\)
\(=180^{o}-(45^{o}+75^{o})\)
\(=180^{o}-120^{o}\)
\(=60^{o}\)
আবার, \(\frac{AB}{\sin{C}}=\frac{BC}{\sin{A}}=\frac{CA}{\sin{B}}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{\sin{60^{o}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sin{45^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{2}\times{\sqrt{2}}\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(=2\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৬। \(f(x)=\cos{3x}\) ফাংশনটির-
\(i.\) পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{3}\)
\(ii.\) রেঞ্জ \([-3, 3]\)
\(iii.\) লেখচিত্রটি \(y\) অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম
নিচের কোনটি সঠীক?
পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{3}\)
\(\therefore (i)\) নং বাক্যটি সত্য।
ফাংশনটির রেঞ্জ \([-1, 1]\)
\(\therefore (ii)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
ফাংশনটির লেখচিত্র \(y\) অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম
\(\therefore (iii)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
\(i.\) পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{3}\)
\(ii.\) রেঞ্জ \([-3, 3]\)
\(iii.\) লেখচিত্রটি \(y\) অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(f(x)=\cos{3x}\) ফাংশনটির-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{3}\)
\(\therefore (i)\) নং বাক্যটি সত্য।
ফাংশনটির রেঞ্জ \([-1, 1]\)
\(\therefore (ii)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
ফাংশনটির লেখচিত্র \(y\) অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম
\(\therefore (iii)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
৭। \(y=e^{\sqrt{x}}\) হলে \(y_{1}=\) কত?
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(e^{\sqrt{x}}\right)\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{\sqrt{x}}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)\)
\(=e^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(e^{\sqrt{x}}\)
গ \(\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
গ \(\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
খ \(2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}}{2}\)
\(y=e^{\sqrt{x}}\)ঘ \(\frac{\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(e^{\sqrt{x}}\right)\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{\sqrt{x}}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)\)
\(=e^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ ( গ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ৮ এবং ৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
৮। \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?
ক \(5x-3y+15=0\)
গ \(5x-3y-15=0\)
গ \(5x-3y-15=0\)
খ \(3x-5y+15=0\)
ঘ \(3x-5y-15=0\)
চিত্র হতে, \(OA=-3, \ OB=5\) ঘ \(3x-5y-15=0\)
\(AB\) সরলরেখার সমীকরণ ,
\(\frac{x}{OA}+\frac{y}{OB}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-3}+\frac{y}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{5x-3y}{-15}=1\)
\(\Rightarrow 5x-3y=-15\)
\(\therefore 5x-3y+15=0\)
উত্তরঃ ( ক )
৯। \(OAB\) ত্রিভুজের ভারকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কোনটি?
\(OAB\) ত্রিভুজের ভারকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক,
\(\left(\frac{0+(-3)+0}{3}, \frac{0+0+5}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{-3}{3}, \frac{5}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(-1, \frac{5}{3}\right)\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\left(\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}\right)\)
গ \(\left(-1, \frac{5}{3}\right)\)
গ \(\left(-1, \frac{5}{3}\right)\)
খ \(\left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)\)
ঘ \(\left(\frac{5}{3}, -1\right)\)
চিত্র হতে, \(O(0, 0), \ A(-3, 0), \ B(0, 5)\) ঘ \(\left(\frac{5}{3}, -1\right)\)
\(OAB\) ত্রিভুজের ভারকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক,
\(\left(\frac{0+(-3)+0}{3}, \frac{0+0+5}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{-3}{3}, \frac{5}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(-1, \frac{5}{3}\right)\)
উত্তরঃ ( গ )
১০। \(\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{k}, \ \overrightarrow{b}=3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) এর মাণ কত?
\(\therefore \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(\hat{i}+\hat{k}).(3\hat{j}-2\hat{k})\)
\(=1.0+0.3+1.(-2)\)
\(=0+0-2\)
\(=-2\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-2\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(2\)
ঘ \(8\)
\(\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{k}, \ \overrightarrow{b}=3\hat{j}-2\hat{k}\)ঘ \(8\)
\(\therefore \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(\hat{i}+\hat{k}).(3\hat{j}-2\hat{k})\)
\(=1.0+0.3+1.(-2)\)
\(=0+0-2\)
\(=-2\)
উত্তরঃ ( ক )
১১। \(\int_{2}^{3}\frac{x}{x^2-1}dx\) এর মাণ কত?
\(=\frac{1}{2}\int_{2}^{3}\frac{2x}{x^2-1}dx\)
\(=\frac{1}{2}\int_{2}^{3}\frac{d(x^2-1)}{x^2-1}\)
\(=\frac{1}{2}[\ln{(x^2-1)}]_{2}^{3}\)
\(=\frac{1}{2}[\ln{(3^2-1)}-\ln{(2^2-1)}]\)
\(=\frac{1}{2}[\ln{(9-1)}-\ln{(4-1)}]\)
\(=\frac{1}{2}[\ln{8}-\ln{3}]\)
\(=\frac{1}{2}\ln{\frac{8}{3}}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\ln{\frac{8}{3}}\)
গ \(\frac{1}{2}\ln{24}\)
গ \(\frac{1}{2}\ln{24}\)
খ \(\frac{1}{2}\ln{\frac{8}{3}}\)
ঘ \(\ln{24}\)
\(\int_{2}^{3}\frac{x}{x^2-1}dx\) ঘ \(\ln{24}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{2}^{3}\frac{2x}{x^2-1}dx\)
\(=\frac{1}{2}\int_{2}^{3}\frac{d(x^2-1)}{x^2-1}\)
\(=\frac{1}{2}[\ln{(x^2-1)}]_{2}^{3}\)
\(=\frac{1}{2}[\ln{(3^2-1)}-\ln{(2^2-1)}]\)
\(=\frac{1}{2}[\ln{(9-1)}-\ln{(4-1)}]\)
\(=\frac{1}{2}[\ln{8}-\ln{3}]\)
\(=\frac{1}{2}\ln{\frac{8}{3}}\)
উত্তরঃ ( খ )
১২। \(A=\begin{bmatrix}3 & 5 & 1 \\4 & 0 & 2 \\1 & 6 & 4 \end{bmatrix}\) হলে \(A-2I=?\)
\(A-2I=\begin{bmatrix}3 & 5 & 1 \\4 & 0 & 2 \\1 & 6 & 4 \end{bmatrix}-2I\)
\(=\begin{bmatrix}3 & 5 & 1 \\4 & 0 & 2 \\1 & 6 & 4 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}3 & 5 & 1 \\4 & 0 & 2 \\1 & 6 & 4 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}3-2 & 5-0 & 1-0 \\4-0 & 0-2 & 2-0 \\1-0 & 6-0 & 4-2 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ 5 & 1 \\4 & -2 & 2 \\1 & \ \ \ 6 & 2 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\begin{bmatrix}5 & 5 & 1 \\4 & 2 & 2 \\1 & 6 & 6 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}1 & 3 & -1 \\4 & 0 & \ \ \ 2 \\1 & 6 & \ \ \ 4 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}1 & 3 & -1 \\4 & 0 & \ \ \ 2 \\1 & 6 & \ \ \ 4 \end{bmatrix}\)
খ \(\begin{bmatrix}1 & \ \ \ 5 & 1 \\4 & -2 & 2 \\1 & \ \ \ 6 & 2 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix}\ \ \ 1 & \ \ \ 3 & -1 \\ \ \ \ 2 & -2 & \ \ \ 0 \\-1 & \ \ \ 4 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}\)
\(A=\begin{bmatrix}3 & 5 & 1 \\4 & 0 & 2 \\1 & 6 & 4 \end{bmatrix}\)ঘ \(\begin{bmatrix}\ \ \ 1 & \ \ \ 3 & -1 \\ \ \ \ 2 & -2 & \ \ \ 0 \\-1 & \ \ \ 4 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}\)
\(A-2I=\begin{bmatrix}3 & 5 & 1 \\4 & 0 & 2 \\1 & 6 & 4 \end{bmatrix}-2I\)
\(=\begin{bmatrix}3 & 5 & 1 \\4 & 0 & 2 \\1 & 6 & 4 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}3 & 5 & 1 \\4 & 0 & 2 \\1 & 6 & 4 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}3-2 & 5-0 & 1-0 \\4-0 & 0-2 & 2-0 \\1-0 & 6-0 & 4-2 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ 5 & 1 \\4 & -2 & 2 \\1 & \ \ \ 6 & 2 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৩। \(7\) বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কৌণিক বিন্দুর সংযোগ রেখার সাহায্যে গঠিত কর্ণের সংখ্যা-
\(2\) টি বিন্দুর সংযোগে কর্ণ এবং পার্শবাহু উভয়ে গঠিত হয়।
\(7\) টি বিন্দুর সংযোগে গঠিত কর্ণের সংখ্যা-
\(=^{7}C_{2}-7\)
\(=\frac{7!}{(7-2)!2!}-7\)
\(=\frac{7.6.5!}{5!2.1}-7\)
\(=\frac{7.6}{2.1}-7\)
\(=7.3-7\)
\(=21-7\)
\(=14\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(14\)
গ \(35\)
গ \(35\)
খ \(21\)
ঘ \(42\)
\(7\) বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কৌণিক বিন্দুর সংখ্যা \(7\)ঘ \(42\)
\(2\) টি বিন্দুর সংযোগে কর্ণ এবং পার্শবাহু উভয়ে গঠিত হয়।
\(7\) টি বিন্দুর সংযোগে গঠিত কর্ণের সংখ্যা-
\(=^{7}C_{2}-7\)
\(=\frac{7!}{(7-2)!2!}-7\)
\(=\frac{7.6.5!}{5!2.1}-7\)
\(=\frac{7.6}{2.1}-7\)
\(=7.3-7\)
\(=21-7\)
\(=14\)
উত্তরঃ ( ক )
১৪। \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^2}{3x^2-4}\] এর মাণ কত?
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^2}{x^2\left(3-\frac{4}{x^2}\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2}{3-\frac{4}{x^2}}\]
\[=\frac{2}{3-0}\]
\[=\frac{2}{3}\]
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-\frac{1}{4}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
খ \(0\)
ঘ \(1\)
\[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^2}{3x^2-4}\] ঘ \(1\)
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^2}{x^2\left(3-\frac{4}{x^2}\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2}{3-\frac{4}{x^2}}\]
\[=\frac{2}{3-0}\]
\[=\frac{2}{3}\]
উত্তরঃ ( গ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১৫ এবং ১৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(f(x)=3x-2, \ g(x)=2x+5\)
১৫। \(gof(-2)=?\)\(f(x)=3x-2, \ g(x)=2x+5\)
ক \(-11\)
গ \(13\)
গ \(13\)
খ \(1\)
ঘ \(25\)
\(f(x)=3x-2, \ g(x)=2x+5\)ঘ \(25\)
\(gof(x)=g\{f(x)\}\)
\(=2f(x)+5\)
\(=2(3x-2)+5\)
\(=6x-4+5\)
\(\therefore gof(x)=6x+1\)
\(\therefore gof(-2)=6\times{-2}+1\)
\(=-12+1\)
\(=-11\)
উত্তরঃ ( ক )
১৬। \(f^{-1}(x)=?\)
ধরি, \(y=f(x)=3x-2\)
\(\Rightarrow y=f(x), \ y=3x-2\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=x, \ y+2=3x\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=x, \ 3x=y+2\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=x, \ x=\frac{y+2}{3}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{y+2}{3}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}\)
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{1}{3}(x+2)\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{1}{3}x+2\)
গ \(\frac{1}{3}x-2\)
গ \(\frac{1}{3}x-2\)
খ \(\frac{1}{3}(x+2)\)
ঘ \(\frac{1}{3}(x-2)\)
\(f(x)=3x-2\)ঘ \(\frac{1}{3}(x-2)\)
ধরি, \(y=f(x)=3x-2\)
\(\Rightarrow y=f(x), \ y=3x-2\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=x, \ y+2=3x\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=x, \ 3x=y+2\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=x, \ x=\frac{y+2}{3}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{y+2}{3}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}\)
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{1}{3}(x+2)\)
উত্তরঃ ( খ )
১৭। \(A=\begin{bmatrix}3 & 1 \\2 & 0 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}6 \\4 \end{bmatrix}, \ X=\begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix}\) এবং \(AX=B\) হলে \((x, y)=\) কত?
এবং \(AX=B\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}3 & 1 \\2 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 \\4 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}3x+y \\2x+0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 \\4 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}3x+y \\2x \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 \\4 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow 3x+y=6, \ 2x=4\)
\(\Rightarrow y=6-3x, \ x=2\)
\(\Rightarrow y=6-3\times{2}, \ x=2\)
\(\Rightarrow y=6-6, \ x=2\)
\(\Rightarrow y=0, \ x=2\)
\(\Rightarrow (x, y)=(2, 0)\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \((2, 0)\)
গ \((2, 4)\)
গ \((2, 4)\)
খ \((2, 2)\)
ঘ \((4, -3)\)
\(A=\begin{bmatrix}3 & 1 \\2 & 0 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}6 \\4 \end{bmatrix}, \ X=\begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix}\)ঘ \((4, -3)\)
এবং \(AX=B\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}3 & 1 \\2 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 \\4 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}3x+y \\2x+0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 \\4 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}3x+y \\2x \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 \\4 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow 3x+y=6, \ 2x=4\)
\(\Rightarrow y=6-3x, \ x=2\)
\(\Rightarrow y=6-3\times{2}, \ x=2\)
\(\Rightarrow y=6-6, \ x=2\)
\(\Rightarrow y=0, \ x=2\)
\(\Rightarrow (x, y)=(2, 0)\)
উত্তরঃ ( ক )
১৮। \(3x-5y+1=0\) সরলরেখার ঢাল-
\(=-\frac{3}{-5}, \ \because \) ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
\(=\frac{3}{5}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-\frac{5}{3}\)
গ \(-\frac{3}{5}\)
গ \(-\frac{3}{5}\)
খ \(\frac{5}{3}\)
ঘ \(\frac{3}{5}\)
\(3x-5y+1=0\) সরলরেখার ঢাল-ঘ \(\frac{3}{5}\)
\(=-\frac{3}{-5}, \ \because \) ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
\(=\frac{3}{5}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৯। \(A\) ও \(B\) ম্যট্রিক্সদ্বয়ের ক্রম \(4\times{5}\) এবং \(5\times{4}\) হলে \(AB\) ম্যট্রিক্সের ক্রম-
\(AB\) ম্যট্রিক্সের ক্রম
\(=\)প্রথম ম্যট্রিক্সের সারি সংখ্যা \(\times\) দ্বিতীয় ম্যট্রিক্সের কলাম সংখ্যা
\(\therefore 4\times{4}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(4\times{5}\)
গ \(4\times{4}\)
গ \(4\times{4}\)
খ \(5\times{4}\)
ঘ \(5\times{5}\)
\(A\) ও \(B\) ম্যট্রিক্সদ্বয়ের ক্রম \(4\times{5}\) এবং \(5\times{4}\) হলে, ঘ \(5\times{5}\)
\(AB\) ম্যট্রিক্সের ক্রম
\(=\)প্রথম ম্যট্রিক্সের সারি সংখ্যা \(\times\) দ্বিতীয় ম্যট্রিক্সের কলাম সংখ্যা
\(\therefore 4\times{4}\)
উত্তরঃ ( গ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ২০ এবং২১ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
২০। বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?
ক \(x^2+y^2-6x=0\)
গ \(x^2+y^2-6y=0\)
গ \(x^2+y^2-6y=0\)
খ \(x^2+y^2+6x=0\)
ঘ \(x^2+y^2+6y=0\)
চিত্র হতে, বৃত্তের কেন্দ্র \((-3, 0)\) ঘ \(x^2+y^2+6y=0\)
বৃত্তের ব্যসার্ধ \(=3\)
বৃত্তের সমীকরণ \((x+3)^2+(y-0)^2=3^2\)
\(\Rightarrow x^2+6x+9+y^2=9\)
\(\therefore x^2+y^2+6x=0\)
উত্তরঃ ( খ )
২১। বৃত্তটির যে স্পর্শক \(y\) অক্ষের সমান্তরাল উহার সমীকরণ কোনটি?
বৃত্তের ব্যসার্ধ \(=3\)
\(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ,
\(x=a\)
\(\therefore x-a=0\)
এখন, \(\frac{-3-a}{\sqrt{1^2+0^2}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{-3-a}{1}=3\)
\(\Rightarrow -3-a=3\)
\(\Rightarrow -a=3+3\)
\(\Rightarrow -a=6\)
\(\therefore a=-6\)
\(\therefore \) স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x+6=0\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(y-6=0\)
গ \(x-6=0\)
গ \(x-6=0\)
খ \(y+6=0\)
ঘ \(x+6=0\)
চিত্র হতে, বৃত্তের কেন্দ্র \((-3, 0)\) ঘ \(x+6=0\)
বৃত্তের ব্যসার্ধ \(=3\)
\(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ,
\(x=a\)
\(\therefore x-a=0\)
এখন, \(\frac{-3-a}{\sqrt{1^2+0^2}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{-3-a}{1}=3\)
\(\Rightarrow -3-a=3\)
\(\Rightarrow -a=3+3\)
\(\Rightarrow -a=6\)
\(\therefore a=-6\)
\(\therefore \) স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x+6=0\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২২। \(x\) এর কোন মানের জন্য \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2+6x-1\) এর চরম মাণ পাওয়া যাবে?
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{3}\times{3x^2}-\frac{5}{2}\times{2x}+6\)
\(=x^2-5x+6\)
চরম মানের জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\Rightarrow x^2-5x+6=0\)
\(\Rightarrow x^2-3x-2x+6=0\)
\(\Rightarrow x(x-3)-2(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, \ x-2=0\)
\(\Rightarrow x=3, \ x=2\)
\(\therefore x=2, \ 3\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-2, -3\)
গ \(2, -3\)
গ \(2, -3\)
খ \(-2, 3\)
ঘ \(2, 3\)
\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2+6x-1\)ঘ \(2, 3\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{3}\times{3x^2}-\frac{5}{2}\times{2x}+6\)
\(=x^2-5x+6\)
চরম মানের জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\Rightarrow x^2-5x+6=0\)
\(\Rightarrow x^2-3x-2x+6=0\)
\(\Rightarrow x(x-3)-2(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, \ x-2=0\)
\(\Rightarrow x=3, \ x=2\)
\(\therefore x=2, \ 3\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২৩। \(2x^2+2y^2-5x+7y-6=0\) বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক-
\(\Rightarrow x^2+y^2-\frac{5}{2}x+\frac{7}{2}y-3=0\)
এখানে, \(2g=-\frac{5}{2}, \ 2f=\frac{7}{2}\)
\(\Rightarrow g=-\frac{5}{4}, \ f=\frac{7}{4}\)
বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((-g, -f)\)
\(\therefore \left(\frac{5}{4}, -\frac{7}{4}\right)\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\left(\frac{5}{4}, -\frac{7}{4}\right)\)
গ \(\left(\frac{5}{2}, -\frac{7}{2}\right)\)
গ \(\left(\frac{5}{2}, -\frac{7}{2}\right)\)
খ \(\left(-\frac{5}{4}, \frac{7}{4}\right)\)
ঘ \(\left(-\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right)\)
\(2x^2+2y^2-5x+7y-6=0\)ঘ \(\left(-\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-\frac{5}{2}x+\frac{7}{2}y-3=0\)
এখানে, \(2g=-\frac{5}{2}, \ 2f=\frac{7}{2}\)
\(\Rightarrow g=-\frac{5}{4}, \ f=\frac{7}{4}\)
বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((-g, -f)\)
\(\therefore \left(\frac{5}{4}, -\frac{7}{4}\right)\)
উত্তরঃ ( ক )
২৪। \((-4, 3, 0)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{r}\) হলে-
\(i.\) \(\overrightarrow{r}=4\hat{i}-3\hat{j}\)
\(ii.\) \(|\overrightarrow{r}|=5\)
\(iii.\) \(\overrightarrow{r}, \ z\) অক্ষের উপর লম্ব
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\overrightarrow{r}=(-4-0)\hat{i}+(3-0)\hat{j}+(0-0)\hat{k}\)
\(=-4\hat{i}+3\hat{j}\)
\(\therefore (i)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
\(|\overrightarrow{r}|=|-4\hat{i}+3\hat{j}|\)
\(=\sqrt{(-4)^2+3^2+0^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(\therefore (ii)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\overrightarrow{r}.\hat{k}=(-4\hat{i}+3\hat{j}).\hat{k}\)
\(=(-4).0+3.0+0.1\)
\(=0+0+0\)
\(=0\)
\(\therefore (iii)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
\(i.\) \(\overrightarrow{r}=4\hat{i}-3\hat{j}\)
\(ii.\) \(|\overrightarrow{r}|=5\)
\(iii.\) \(\overrightarrow{r}, \ z\) অক্ষের উপর লম্ব
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\((-4, 3, 0)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{r}\) হলে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\overrightarrow{r}=(-4-0)\hat{i}+(3-0)\hat{j}+(0-0)\hat{k}\)
\(=-4\hat{i}+3\hat{j}\)
\(\therefore (i)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
\(|\overrightarrow{r}|=|-4\hat{i}+3\hat{j}|\)
\(=\sqrt{(-4)^2+3^2+0^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(\therefore (ii)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\overrightarrow{r}.\hat{k}=(-4\hat{i}+3\hat{j}).\hat{k}\)
\(=(-4).0+3.0+0.1\)
\(=0+0+0\)
\(=0\)
\(\therefore (iii)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
২৫। \(p\) এর কোন মানের জন্য \(\left|\begin{array}{c}1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & p\\ 3 & 4 & 0 \end{array}\right|\) নির্ণায়কটির মাণ শূন্য হবে?
\(\Rightarrow 1(0-4p)-2(0-3p)+3(4-6)=0\)
\(\Rightarrow -4p+6p+3(-2)=0\)
\(\Rightarrow 2p-6=0\)
\(\Rightarrow 2p=6\)
\(\therefore p=3\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-\frac{3}{5}\)
গ \(-3\)
গ \(-3\)
খ \(\frac{3}{5}\)
ঘ \(3\)
\(\left|\begin{array}{c}1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & p\\ 3 & 4 & 0 \end{array}\right|=0\)ঘ \(3\)
\(\Rightarrow 1(0-4p)-2(0-3p)+3(4-6)=0\)
\(\Rightarrow -4p+6p+3(-2)=0\)
\(\Rightarrow 2p-6=0\)
\(\Rightarrow 2p=6\)
\(\therefore p=3\)
উত্তরঃ ( ঘ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000005