শিক্ষা বোর্ড রাজশাহী - 2017
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(3x^2+2y^2=6\) কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) হলে উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক কত?
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{6}+\frac{2y^2}{6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1\)
এখানে, \(a^2=2, \ b^2=3\)
\(\therefore a=\sqrt{2}, \ b=\sqrt{3}\)
উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক \((0, \pm{be})\)
\((0, \pm{\sqrt{3}\times{\frac{1}{\sqrt{3}}}})\)
\((0, \pm{1})\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(\left(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}, 0\right)\)
গ \((0, \pm \sqrt{3})\)
গ \((0, \pm \sqrt{3})\)
খ \(\left(\pm \sqrt{\frac{2}{3}}, 0\right)\)
ঘ \((0, \pm 1)\)
\(3x^2+2y^2=6\) কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{\sqrt{3}}\) ঘ \((0, \pm 1)\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{6}+\frac{2y^2}{6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1\)
এখানে, \(a^2=2, \ b^2=3\)
\(\therefore a=\sqrt{2}, \ b=\sqrt{3}\)
উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক \((0, \pm{be})\)
\((0, \pm{\sqrt{3}\times{\frac{1}{\sqrt{3}}}})\)
\((0, \pm{1})\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২। \(i^{m}+i^{m+1}+i^{m+2}+i^{m+3}=\) কত? \((m\in \mathbb{Z})\)
\(=i^{m}+i^{m}.i+i^{m}.i^2+i^{m}.i^3\)
\(=i^{m}+i^{m}.i+i^{m}.(-1)+i^{m}.(-i)\)
\(=i^{m}+i^{m}.i-i^{m}-i^{m}.i\)
\(=0\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-1\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(-i\)
ঘ \(1\)
\(i^{m}+i^{m+1}+i^{m+2}+i^{m+3}\)ঘ \(1\)
\(=i^{m}+i^{m}.i+i^{m}.i^2+i^{m}.i^3\)
\(=i^{m}+i^{m}.i+i^{m}.(-1)+i^{m}.(-i)\)
\(=i^{m}+i^{m}.i-i^{m}-i^{m}.i\)
\(=0\)
উত্তরঃ ( গ )
৩। স্থিরাবস্থায় \(2m\) উঁচূ থেকে অবাধে খাড়া নিম্নমুখী পড়ন্ত বস্তর ভূমিতে পতনকাল কত সেকেন্ড?
\(\Rightarrow 2=0.t+\frac{1}{2}ft^2\)
\(\Rightarrow 2=\frac{gt^2}{2}\)
\(\Rightarrow gt^2=4\)
\(\Rightarrow t^2=\frac{4}{g}\)
\(\Rightarrow t=\sqrt{\frac{4}{g}}\)
\(\therefore t=2\sqrt{\frac{1}{g}}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\sqrt{\frac{2}{g}}\)
গ \(\sqrt{\frac{1}{g}}\)
গ \(\sqrt{\frac{1}{g}}\)
খ \(2\sqrt{\frac{1}{g}}\)
ঘ \(\sqrt{\frac{g}{2}}\)
\(s=ut+\frac{1}{2}ft^2\) ঘ \(\sqrt{\frac{g}{2}}\)
\(\Rightarrow 2=0.t+\frac{1}{2}ft^2\)
\(\Rightarrow 2=\frac{gt^2}{2}\)
\(\Rightarrow gt^2=4\)
\(\Rightarrow t^2=\frac{4}{g}\)
\(\Rightarrow t=\sqrt{\frac{4}{g}}\)
\(\therefore t=2\sqrt{\frac{1}{g}}\)
উত্তরঃ ( খ )
৪। \(y>x\) এর লেখচিত্র নিচের কোনটি?
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\(y>x\) এর লেখচিত্র
'খ' অপশনকে নির্দেশ করে।
উত্তরঃ ( খ )
ক 
গ
গ
খ 
ঘ
ঘ
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\(y>x\) এর লেখচিত্র
'খ' অপশনকে নির্দেশ করে।
উত্তরঃ ( খ )
৫। \(mx^3-nx+3=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(a, b\) ও \(c\) হলে \(ab+bc+ca\) এর মাণ কোনটি?
দুইটি করে মূলের গুনফলের যোগফল \(ab+bc+ca=\frac{-n}{m}=-\frac{n}{m}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-\frac{n}{m}\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(\frac{n}{m}\)
ঘ \(-\frac{3}{m}\)
\(mx^3-nx+3=0 \Rightarrow mx^3+0.x^2-nx+3=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(a, b\) ও \(c\) ঘ \(-\frac{3}{m}\)
দুইটি করে মূলের গুনফলের যোগফল \(ab+bc+ca=\frac{-n}{m}=-\frac{n}{m}\)
উত্তরঃ ( ক )
৬। \(u\) গতিবেগে আনুভূমিকের সহিত \(\alpha\) কোণে একটি বস্তুকণা প্রক্ষিপ্ত হলে-
\(i.\) বায়ুশূন্য স্থানে বস্তুকণাটির গতিপথ একটি পরাবৃত্ত
\(ii.\) আনুভূমিক পাল্লা \(R\) বৃহত্তম হলে \(R=\frac{u^2}{g}\)
\(iii.\) বস্তুকণাটির বিচরণকাল \(\frac{u\sin 2\alpha}{g}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
বায়ুশূন্য স্থানে বস্তুকণাটির গতিপথ একটি পরাবৃত্ত
\(i\) নং বাক্যটি সত্য।
আনুভূমিক পাল্লা \(R\) বৃহত্তম হলে \(R=\frac{u^2}{g}\)
\(ii\) নং বাক্যটি সত্য।
বস্তুকণাটির বিচরণকাল \(T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(iii\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) বায়ুশূন্য স্থানে বস্তুকণাটির গতিপথ একটি পরাবৃত্ত
\(ii.\) আনুভূমিক পাল্লা \(R\) বৃহত্তম হলে \(R=\frac{u^2}{g}\)
\(iii.\) বস্তুকণাটির বিচরণকাল \(\frac{u\sin 2\alpha}{g}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(u\) গতিবেগে আনুভূমিকের সহিত \(\alpha\) কোণে একটি বস্তুকণা প্রক্ষিপ্ত হলে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
বায়ুশূন্য স্থানে বস্তুকণাটির গতিপথ একটি পরাবৃত্ত
\(i\) নং বাক্যটি সত্য।
আনুভূমিক পাল্লা \(R\) বৃহত্তম হলে \(R=\frac{u^2}{g}\)
\(ii\) নং বাক্যটি সত্য।
বস্তুকণাটির বিচরণকাল \(T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(iii\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
৭। \((1+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ \((-1)^r(r+1)x^r\) হলে \(n\)এর মাণ কত? [ যখন \(1 > |x|\)]
আমরা জানি, \((1+x)^{-2}=1-2x+3x^2-4x^3+ .......+(-1)^r(r+1)x^r+....\)
এখানে, সাধারণ পদ \((-1)^r(r+1)x^r\)
\(\therefore n=-2\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(2\)
গ \(-2\)
গ \(-2\)
খ \(-1\)
ঘ \(-3\)
\((1+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ \((-1)^r(r+1)x^r\)ঘ \(-3\)
আমরা জানি, \((1+x)^{-2}=1-2x+3x^2-4x^3+ .......+(-1)^r(r+1)x^r+....\)
এখানে, সাধারণ পদ \((-1)^r(r+1)x^r\)
\(\therefore n=-2\)
উত্তরঃ ( গ )
৮। \(P\) ও \(Q\) দুইটি সমান্তরাল বল এবং \(Q>P\) হলে নিচের কোনটি সঠিক?
আমরা জানি, অসদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি \((Q-P)\)এর ক্রিয়াবিন্দু বৃহত্তর বলের দিকে হয়।
যা 'ঘ' চিত্রকে নির্দেশ করে।
উত্তরঃ ( ঘ )
ক 
গ
গ
খ 
ঘ
\(P\) ও \(Q\) দুইটি সমান্তরাল বল এবং \(Q>P\)ঘ
আমরা জানি, অসদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি \((Q-P)\)এর ক্রিয়াবিন্দু বৃহত্তর বলের দিকে হয়।
যা 'ঘ' চিত্রকে নির্দেশ করে।
উত্তরঃ ( ঘ )
৯। \(-2-2i\)এর মূখ্য আর্গুমেন্ট কত?
এখানে, \(x=-2, \ y=-2\) উভয় স্থানাংকই ঋণাত্মক।
অর্থাৎ ইহা তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
মূখ্য আর্গুমেন্ট \( =-\pi+\tan^{-1}{\left|\frac{-2}{-2}\right|}\)
\(=-\pi+\tan^{-1}{1}\)
\(=-\pi+\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=-\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{-4\pi+\pi}{4}\)
\(=-\frac{3\pi}{4}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-\frac{3\pi}{4}\)
গ \(\frac{\pi}{4}\)
গ \(\frac{\pi}{4}\)
খ \(-\frac{\pi}{4}\)
ঘ \(\frac{3\pi}{4}\)
\(-2-2i\)ঘ \(\frac{3\pi}{4}\)
এখানে, \(x=-2, \ y=-2\) উভয় স্থানাংকই ঋণাত্মক।
অর্থাৎ ইহা তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
মূখ্য আর্গুমেন্ট \( =-\pi+\tan^{-1}{\left|\frac{-2}{-2}\right|}\)
\(=-\pi+\tan^{-1}{1}\)
\(=-\pi+\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=-\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{-4\pi+\pi}{4}\)
\(=-\frac{3\pi}{4}\)
উত্তরঃ ( ক )
১০। নিচের চিত্রে সমাধানের অনুকূল এলাকা হতে \(z=7x+3y\) এর সর্বোচ্চ মাণ কোনটি?
সর্বোচ্চ মান \(E(2, 3)\) বিন্দুতে।
\(\therefore z=7\times{2}+3\times(3)\)
\(=14+9\)
\(=23\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(12\)
গ \(23\)
গ \(23\)
খ \(15\)
ঘ \(35\)
চিত্রে সমাধানের অনুকূল এলাকা \(DEB\) ঘ \(35\)
সর্বোচ্চ মান \(E(2, 3)\) বিন্দুতে।
\(\therefore z=7\times{2}+3\times(3)\)
\(=14+9\)
\(=23\)
উত্তরঃ ( গ )
১১। \(5\) টি নীল \(3\) টি লাল ও \(4\) টি কাল বল আছে। দৈব্যভাবে একটি বল উত্তোলন করলে বলটি-
\(i.\) নীল না হওয়ার সম্ভাবনা \(\frac{5}{12}\)
\(ii.\) লাল হওয়ার সম্ভাবনা \(\frac{1}{4}\)
\(iii.\) নীল বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা \(\frac{2}{3}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
নীল না হওয়ার সম্ভাবনা \(=1-\frac{5}{12}\)
\(=\frac{12-5}{12}\)
\(=\frac{7}{12}\)
\(i\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
লাল হওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{3}{12}\)
\(=\frac{1}{4}\)
\(ii\) নং বাক্যটি সত্য।
নীল বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{5}{12}+\frac{1}{4}\)
\(=\frac{5+3}{12}\)
\(=\frac{8}{12}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(iii\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
\(i.\) নীল না হওয়ার সম্ভাবনা \(\frac{5}{12}\)
\(ii.\) লাল হওয়ার সম্ভাবনা \(\frac{1}{4}\)
\(iii.\) নীল বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা \(\frac{2}{3}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(5\) টি নীল \(3\) টি লাল ও \(4\) টি কাল বল আছে। দৈব্যভাবে একটি বল উত্তোলন করলে বলটি-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
নীল না হওয়ার সম্ভাবনা \(=1-\frac{5}{12}\)
\(=\frac{12-5}{12}\)
\(=\frac{7}{12}\)
\(i\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
লাল হওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{3}{12}\)
\(=\frac{1}{4}\)
\(ii\) নং বাক্যটি সত্য।
নীল বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{5}{12}+\frac{1}{4}\)
\(=\frac{5+3}{12}\)
\(=\frac{8}{12}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(iii\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
১২। \(3, \ 4, \ 5\) সংখ্যা তিনটির-
\(i.\) গাণিতিক গড় \(4\)
\(ii.\) গড় ব্যবধান \(\frac{2}{3}\)
\(iii.\) ভেদাংক \(\frac{4}{9}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
গাণিতিক গড় \(=\frac{3+4+5}{3}\)
\(=\frac{12}{3}\)
\(=4\)
\(i\) নং বাক্যটি সত্য।
গড় ব্যবধান \(=\frac{\sum{|x_{i}-\overline{x}|}}{n}\)
\(=\frac{|3-4|+|4-4|+|5-4|}{3}\)
\(=\frac{1+0+1}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(ii\) নং বাক্যটি সত্য।
ভেদাংক \(=\frac{\sum{(x_{i}-\overline{x})^2}}{n}\)
\(=\frac{(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2}{3}\)
\(=\frac{1+0+1}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(iii\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) গাণিতিক গড় \(4\)
\(ii.\) গড় ব্যবধান \(\frac{2}{3}\)
\(iii.\) ভেদাংক \(\frac{4}{9}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(3, \ 4, \ 5\) সংখ্যা তিনটির-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
গাণিতিক গড় \(=\frac{3+4+5}{3}\)
\(=\frac{12}{3}\)
\(=4\)
\(i\) নং বাক্যটি সত্য।
গড় ব্যবধান \(=\frac{\sum{|x_{i}-\overline{x}|}}{n}\)
\(=\frac{|3-4|+|4-4|+|5-4|}{3}\)
\(=\frac{1+0+1}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(ii\) নং বাক্যটি সত্য।
ভেদাংক \(=\frac{\sum{(x_{i}-\overline{x})^2}}{n}\)
\(=\frac{(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2}{3}\)
\(=\frac{1+0+1}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(iii\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
১৩। \(^{10}C_{2}+^{10}C_{3}+^{10}C_{4}+.....^{10}C_{10}\) এর মাণ কোনটি?
\(=1+10+^{10}C_{2}+^{10}C_{3}+^{10}C_{4}+.....^{10}C_{10}-1-10\)
\(=^{10}C_{0}+^{10}C_{1}+^{10}C_{2}+^{10}C_{3}+^{10}C_{4}+.....^{10}C_{10}-11\)
\(=2^{10}-11\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(2^{10}+1\)
গ \(2^{10}-1\)
গ \(2^{10}-1\)
খ \(2^{10}\)
ঘ \(2^{10}-11\)
\(^{10}C_{2}+^{10}C_{3}+^{10}C_{4}+.....^{10}C_{10}\)ঘ \(2^{10}-11\)
\(=1+10+^{10}C_{2}+^{10}C_{3}+^{10}C_{4}+.....^{10}C_{10}-1-10\)
\(=^{10}C_{0}+^{10}C_{1}+^{10}C_{2}+^{10}C_{3}+^{10}C_{4}+.....^{10}C_{10}-11\)
\(=2^{10}-11\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৪। \(|2x-7|\le{3}\) হলে নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow -3\le{2x-7}\le{3}\)
\(\Rightarrow -3+7\le{2x-7+7}\le{3+7}\)
\(\Rightarrow 4\le{2x}\le{10}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{2}\le{\frac{2x}{2}}\le{\frac{10}{2}}\)
\(\Rightarrow 2\le{x}\le{5}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-7\le x\le -3\)
গ \(2\le x\le 5\)
গ \(2\le x\le 5\)
খ \(-5\le x\le -2\)
ঘ \(3\le x\le 7\)
\(|2x-7|\le{3}\)ঘ \(3\le x\le 7\)
\(\Rightarrow -3\le{2x-7}\le{3}\)
\(\Rightarrow -3+7\le{2x-7+7}\le{3+7}\)
\(\Rightarrow 4\le{2x}\le{10}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{2}\le{\frac{2x}{2}}\le{\frac{10}{2}}\)
\(\Rightarrow 2\le{x}\le{5}\)
উত্তরঃ ( গ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১৫ এবং ১৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(16x^2-9y^2+144=0\) একটি কণিকের সমীকরণ।
১৫। কণিকটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?\(16x^2-9y^2+144=0\) একটি কণিকের সমীকরণ।
ক \((0, \pm{4})\)
গ \((\pm{4}, 0)\)
গ \((\pm{4}, 0)\)
খ \((0, \pm{5})\)
ঘ \((\pm{5}, 0)\)
\(16x^2-9y^2+144=0\) একটি কণিকের সমীকরণ।ঘ \((\pm{5}, 0)\)
\(\Rightarrow 16x^2-9y^2=-144\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2}{-144}-\frac{9y^2}{-144}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{-9}-\frac{y^2}{-16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4^2}-\frac{x^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=3, \ b=4\)
কণিকটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm{b})\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm{4})\)
উত্তরঃ ( ক )
১৬। কণিকটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
\(\Rightarrow 16x^2-9y^2=-144\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2}{-144}-\frac{9y^2}{-144}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{-9}-\frac{y^2}{-16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4^2}-\frac{x^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=3, \ b=4\)
কণিকটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\left|\frac{2a^2}{b}\right|\)
\(=\left|\frac{2\times{9}}{4}\right|\)
\(=\frac{9}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{32}{3}\)
গ \(\frac{9}{2}\)
গ \(\frac{9}{2}\)
খ \(\frac{16}{3}\)
ঘ \(\frac{9}{4}\)
\(16x^2-9y^2+144=0\) একটি কণিকের সমীকরণ।ঘ \(\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 16x^2-9y^2=-144\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2}{-144}-\frac{9y^2}{-144}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{-9}-\frac{y^2}{-16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4^2}-\frac{x^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=3, \ b=4\)
কণিকটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\left|\frac{2a^2}{b}\right|\)
\(=\left|\frac{2\times{9}}{4}\right|\)
\(=\frac{9}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
১৭। \(\sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)+\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\) হলে \(x\) এর মাণ কত?
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\)
\(\Rightarrow x=\tan{\left\{\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\right\}}\)
\(\Rightarrow x=\cot{\left\{\sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\right\}}\)
\(\Rightarrow x=\cot{\left\{\cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}}{2}\right)\right\}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{5-4}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{1}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(\frac{1}{2}\)
ঘ \(\sqrt{5}\)
\(\sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)+\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)ঘ \(\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\)
\(\Rightarrow x=\tan{\left\{\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\right\}}\)
\(\Rightarrow x=\cot{\left\{\sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\right\}}\)
\(\Rightarrow x=\cot{\left\{\cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}}{2}\right)\right\}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{5-4}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{1}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৮। \(O\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত সমতলীয় তিনটি বল \(P, \ Q\) ও \(R\) সাম্যাবস্থায় আছে। \(P\) এর মাণ \(12N\) হলে, \(Q\) ও \(R\)এর মাণ যথাক্রমে নিচের কোনটি?
সাইন সূত্র ব্যবহার করে।
\(\frac{P}{\sin{90^{o}}}=\frac{Q}{\sin{150^{o}}}=\frac{R}{\sin{120^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{12}{1}=\frac{Q}{\sin{(180^{o}-30^{o})}}=\frac{R}{\sin{(180^{o}-60^{o})}}\)
\(\Rightarrow 12=\frac{Q}{\sin{30^{o}}}=\frac{R}{\sin{60^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{Q}{\sin{30^{o}}}=12, \ \frac{R}{\sin{60^{o}}}=12\)
\(\Rightarrow \frac{Q}{\frac{1}{2}}=12, \ \frac{R}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=12\)
\(\Rightarrow Q=12\times{\frac{1}{2}}, \ R=12\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\therefore Q=6N, \ R=6\sqrt{3}N\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(24\sqrt{3}N, \ 24N\)
গ \(6\sqrt{3}N, \ 6N\)
গ \(6\sqrt{3}N, \ 6N\)
খ \(24N, \ 24\sqrt{3}N\)
ঘ \(6N, \ 6\sqrt{3}N\)
\(O\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত সমতলীয় তিনটি বল \(P, \ Q\) ও \(R\) সাম্যাবস্থায় আছে। \(P\) এর মাণ \(12N\)ঘ \(6N, \ 6\sqrt{3}N\)
সাইন সূত্র ব্যবহার করে।
\(\frac{P}{\sin{90^{o}}}=\frac{Q}{\sin{150^{o}}}=\frac{R}{\sin{120^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{12}{1}=\frac{Q}{\sin{(180^{o}-30^{o})}}=\frac{R}{\sin{(180^{o}-60^{o})}}\)
\(\Rightarrow 12=\frac{Q}{\sin{30^{o}}}=\frac{R}{\sin{60^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{Q}{\sin{30^{o}}}=12, \ \frac{R}{\sin{60^{o}}}=12\)
\(\Rightarrow \frac{Q}{\frac{1}{2}}=12, \ \frac{R}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=12\)
\(\Rightarrow Q=12\times{\frac{1}{2}}, \ R=12\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\therefore Q=6N, \ R=6\sqrt{3}N\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৯। \(x^2+px+q=0\) সমীকরণের একটি মূল \(3+i\) হলে \(p\) ও \(q\) এর মাণ কত?
\(\therefore \) অপর মূলটি হবে \(3-i\)
\(\therefore \) মূল দ্বয়ের যোগফল \(-\frac{p}{1}=3+i+3-i\)
\(\Rightarrow -p=6\)
\(\therefore p=-6\)
আবার, মূল দ্বয়ের গুনগফল \(\frac{q}{1}=(3+i)(3-i)\)
\(\Rightarrow q=3^2-i^2\)
\(\Rightarrow q=9+1\)
\(\therefore q=10\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(-6, \ -10\)
গ \(6, \ -10\)
গ \(6, \ -10\)
খ \(-6, \ 10\)
ঘ \(6, \ 10\)
\(x^2+px+q=0\) সমীকরণের একটি মূল \(3+i\)ঘ \(6, \ 10\)
\(\therefore \) অপর মূলটি হবে \(3-i\)
\(\therefore \) মূল দ্বয়ের যোগফল \(-\frac{p}{1}=3+i+3-i\)
\(\Rightarrow -p=6\)
\(\therefore p=-6\)
আবার, মূল দ্বয়ের গুনগফল \(\frac{q}{1}=(3+i)(3-i)\)
\(\Rightarrow q=3^2-i^2\)
\(\Rightarrow q=9+1\)
\(\therefore q=10\)
উত্তরঃ ( খ )
২০। \(x^2+2y=0\) সমীকরণের লেখচিত্র কোনটি?
\(\Rightarrow x^2=-2y\)
\(x\) এর সকল বাস্তব মানের \(y\) এর মান ঋণাত্মক।
\(\therefore \) লেখচিত্রটি \(x\) অক্ষের নিচে অবস্থিত।
যা 'গ' অপশনকে নির্দেশ করে।
উত্তরঃ ( গ )
ক 
গ
গ
খ 
ঘ
\(x^2+2y=0\)ঘ
\(\Rightarrow x^2=-2y\)
\(x\) এর সকল বাস্তব মানের \(y\) এর মান ঋণাত্মক।
\(\therefore \) লেখচিত্রটি \(x\) অক্ষের নিচে অবস্থিত।
যা 'গ' অপশনকে নির্দেশ করে।
উত্তরঃ ( গ )
২১। \(P\) ও \(Q\) দুইটি বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে-
\(i.\) \(|P+Q|\le{|P|+|Q|}\)
\(ii.\) \(|PQ|\le{|P||Q|}\)
\(iii.\) \(|P-Q|\le{|P|-|Q|}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(|P+Q|\le{|P|+|Q|}\)
\(i\) নং বাক্যটি সত্য।
\(|PQ|\le{|P||Q|}\)
\(ii\) নং বাক্যটি সত্য।
\(|P-Q|\ge{|P|-|Q|}\)
\(iii\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) \(|P+Q|\le{|P|+|Q|}\)
\(ii.\) \(|PQ|\le{|P||Q|}\)
\(iii.\) \(|P-Q|\le{|P|-|Q|}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(P\) ও \(Q\) দুইটি বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(|P+Q|\le{|P|+|Q|}\)
\(i\) নং বাক্যটি সত্য।
\(|PQ|\le{|P||Q|}\)
\(ii\) নং বাক্যটি সত্য।
\(|P-Q|\ge{|P|-|Q|}\)
\(iii\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
নিচের উদ্দীপক হতে ২২ এবং ২৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
২২। \(R\)-এর মাণ কত নিউটন?
ক \(775\)
গ \(5\sqrt{37}\)
গ \(5\sqrt{37}\)
খ \(35\)
ঘ \(25\)
\(R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}}\) ঘ \(25\)
\(=\sqrt{15^2+20^2+2\times{15}\times{20}\cos{60^{o}}}\)
\(=\sqrt{225+400+600\times{\frac{1}{2}}}\)
\(=\sqrt{625+300}\)
\(=\sqrt{925}\)
\(=\sqrt{25\times{37}}\)
\(=5\sqrt{37}\)
উত্তরঃ ( গ )
২৩। \(OY\) বরাবর \(Q\) এর লম্বাংশ কত নিউটন?
\(=15\sin{30^{o}}\)
\(=15\times{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{15}{2}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(0\)
গ \(\frac{15\sqrt{3}}{2}\)
গ \(\frac{15\sqrt{3}}{2}\)
খ \(\frac{15}{2}\)
ঘ \(15\)
\(OY\) বরাবর \(Q\) এর লম্বাংশ, ঘ \(15\)
\(=15\sin{30^{o}}\)
\(=15\times{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{15}{2}\)
উত্তরঃ ( খ )
২৪। \(\sin{x}+\cos{x}=0\) এবং \(n\in{\mathbb{Z}}\) হলে \(x\)এর মাণ কোনটি?
\(\Rightarrow \sin{x}=-\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{x}}{\cos{x}}=-1\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\tan{\frac{-\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow x=n\pi+\frac{-\pi}{4}\)
\(\Rightarrow x=n\pi-\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(n\pi\)
গ \(n\pi+\frac{\pi}{4}\)
গ \(n\pi+\frac{\pi}{4}\)
খ \(n\pi-\frac{\pi}{4}\)
ঘ \((2n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\sin x+\cos x=0\) এবং \(n\in{\mathbb{Z}}\)ঘ \((2n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{x}=-\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{x}}{\cos{x}}=-1\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\tan{\frac{-\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow x=n\pi+\frac{-\pi}{4}\)
\(\Rightarrow x=n\pi-\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ ( খ )
২৫। \(\frac{1}{2}\cos^{-1}\left(\frac{9}{41}\right)=\) কত?
\(\Rightarrow 2\theta=\cos^{-1}\left(\frac{9}{41}\right)\)
\(\Rightarrow \cos{(2\theta)}=\frac{9}{41}\)
\(\Rightarrow \frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}=\frac{9}{41}\)
\(\Rightarrow \frac{1-\tan^2{\theta}+1+\tan^2{\theta}}{1-\tan^2{\theta}-1-\tan^2{\theta}}=\frac{9+41}{9-41}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{-2\tan^2{\theta}}=\frac{50}{-32}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\tan^2{\theta}}=\frac{25}{16}\)
\(\Rightarrow \tan^2{\theta}=\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\sin^{-1}\left(\frac{40}{41}\right)\)
গ \(\tan^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\)
গ \(\tan^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\)
খ \(\sec^{-1}\left(\frac{9}{41}\right)\)
ঘ \(\tan^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)\)
ধরি, \(\theta=\frac{1}{2}\cos^{-1}\left(\frac{9}{41}\right)\)ঘ \(\tan^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)\)
\(\Rightarrow 2\theta=\cos^{-1}\left(\frac{9}{41}\right)\)
\(\Rightarrow \cos{(2\theta)}=\frac{9}{41}\)
\(\Rightarrow \frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}=\frac{9}{41}\)
\(\Rightarrow \frac{1-\tan^2{\theta}+1+\tan^2{\theta}}{1-\tan^2{\theta}-1-\tan^2{\theta}}=\frac{9+41}{9-41}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{-2\tan^2{\theta}}=\frac{50}{-32}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\tan^2{\theta}}=\frac{25}{16}\)
\(\Rightarrow \tan^2{\theta}=\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\)
উত্তরঃ ( গ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004