শিক্ষা বোর্ড চট্টগ্রাম - 2019
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(A\) এবং \(B\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম যথাক্রমে \(4\times5\) এবং \(5\times4\) হলে, \(AB\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম-
একইভাবে, দুইটি ম্যাট্রিক্স \(A\) এর ক্রম \(4\times5\) এবং \(B\) এর ক্রম \(5\times4,\) সুতরাং \(AB\) নির্ণয় সম্ভব এবং \(AB\) এর ক্রম হবে \(4\times4\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(5\times4\)
গ \(5\times5\)
গ \(5\times5\)
খ \(4\times5\)
ঘ \(4\times4\)
\(A\) এর ক্রম \(m\times{n}\) এবং \(B\) এর ক্রম \(n\times{p},\) সুতরাং \(AB\) নির্ণয় সম্ভব এবং \(AB\) এর ক্রম হবে \(m\times{p}\) ঘ \(4\times4\)
একইভাবে, দুইটি ম্যাট্রিক্স \(A\) এর ক্রম \(4\times5\) এবং \(B\) এর ক্রম \(5\times4,\) সুতরাং \(AB\) নির্ণয় সম্ভব এবং \(AB\) এর ক্রম হবে \(4\times4\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২। \(Q(2, 3, -1)\) এবং \(P(4, -3, 2)\) হলে, \(|\overrightarrow{PQ}|=\)কত?
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2+(z_{2}-z_{1})^2}\)
এখানে,
\(Q(2, 3, -1)\) এবং \(P(4, -3, 2)\)
\(\therefore |\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(2-4)^2+(3+3)^2+(-1-2)^2}\)
\(=\sqrt{2^2+6^2+(-3)^2}\)
\(=\sqrt{4+36+9}\)
\(=\sqrt{49}\)
\(=7\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(5\)
গ \(7\)
গ \(7\)
খ \(6\)
ঘ \(10\)
\(A(x_{1}, y_{1}, z_{1}), \ B(x_{2}, y_{2},z_{2})\)
হলে, ঘ \(10\)
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2+(z_{2}-z_{1})^2}\)
এখানে,
\(Q(2, 3, -1)\) এবং \(P(4, -3, 2)\)
\(\therefore |\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(2-4)^2+(3+3)^2+(-1-2)^2}\)
\(=\sqrt{2^2+6^2+(-3)^2}\)
\(=\sqrt{4+36+9}\)
\(=\sqrt{49}\)
\(=7\)
উত্তরঃ ( গ )
নিচের তথ্যের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x+y+3=0\)
৩। উপরোক্ত সরলরেখাটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে?\(x+y+3=0\)
ক \(45^{o}\)
গ \(90^{o}\)
গ \(90^{o}\)
খ \(60^{o}\)
ঘ \(135^{o}\)
\(x+y+3=0\) ঘ \(135^{o}\)
সরলরেখাটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করলে,
\(\tan{\theta}=-\frac{1}{1}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-\tan{45^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{(180^{o}-45^{o})}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{135^{o}}\)
\(\therefore \theta=135^{o}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৪। উপরোক্ত সরলরেখাটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণ কত?
সরলরেখাটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণ \(=|b|\)
এখানে, \(x+y+3=0\)
\(\Rightarrow x+y=-3\)
\(\therefore \frac{x}{-3}+\frac{y}{-3}=1\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণ \(=|-3|\)
\(=3\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-3\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(-1\)
ঘ \(3\)
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) ঘ \(3\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণ \(=|b|\)
এখানে, \(x+y+3=0\)
\(\Rightarrow x+y=-3\)
\(\therefore \frac{x}{-3}+\frac{y}{-3}=1\)
সরলরেখাটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণ \(=|-3|\)
\(=3\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৫। \(x^2+y^2-4x+6y=0\) বৃত্তেটি-
\(i.\) মূল বিন্দুগামী
\(ii.\) \(x\) অক্ষ থেকে \(4\) একক অংশ খন্ডন করে।
\(iii.\) \(y\) অক্ষকে \((0, -6)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
নিচের কোনটি সঠীক?
বৃত্তেটি মূল বিন্দুগামী
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
\(x^2+y^2-4x+6y=0\) হতে,
\(2g=-4, \ 2f=6, \ c=0\)
\(\therefore g=-2, \ f=3, \ c=0\)
\(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^2-0}\)
\(=2\sqrt{4}\)
\(=2\times2\)
\(=4\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
\(x^2+y^2-4x+6y=0\) বৃত্তটি যখন \(y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\(Rightarrow 0+y^2-0+6y=0\)
\(Rightarrow y^2+6y=0\)
\(Rightarrow y(y+6)=0\)
\(Rightarrow y=0, \ y+6=0\)
\(therefore y=0, \ y=-6\)
\(x^2+y^2-4x-6y=0\) বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে \((0, -6)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) মূল বিন্দুগামী
\(ii.\) \(x\) অক্ষ থেকে \(4\) একক অংশ খন্ডন করে।
\(iii.\) \(y\) অক্ষকে \((0, -6)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2+y^2-4x+6y=0\) সমীকরণটিতে কোনো ধ্রুবক যোগ বা বিয়োগ অবস্থায় নেই।ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
বৃত্তেটি মূল বিন্দুগামী
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
\(x^2+y^2-4x+6y=0\) হতে,
\(2g=-4, \ 2f=6, \ c=0\)
\(\therefore g=-2, \ f=3, \ c=0\)
\(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^2-0}\)
\(=2\sqrt{4}\)
\(=2\times2\)
\(=4\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
\(x^2+y^2-4x+6y=0\) বৃত্তটি যখন \(y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\(Rightarrow 0+y^2-0+6y=0\)
\(Rightarrow y^2+6y=0\)
\(Rightarrow y(y+6)=0\)
\(Rightarrow y=0, \ y+6=0\)
\(therefore y=0, \ y=-6\)
\(x^2+y^2-4x-6y=0\) বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে \((0, -6)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
৬। \((2, 3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?
\(\Rightarrow -g=2, \ -f=3\)
\(\therefore g=-2, \ f=-3\)
আবার,
বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore c=g^2=(-2)^2=4\)
বৃত্তটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণ
\(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-3)^2-4}\)
\(=2\sqrt{9-4}\)
\(=2\sqrt{5}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
গ \(2\sqrt{5}\)
গ \(2\sqrt{5}\)
খ \(\sqrt{5}\)
ঘ \(5\)
শর্তমতে, \((-g, -f)=(2, 3)\)ঘ \(5\)
\(\Rightarrow -g=2, \ -f=3\)
\(\therefore g=-2, \ f=-3\)
আবার,
বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore c=g^2=(-2)^2=4\)
বৃত্তটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণ
\(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-3)^2-4}\)
\(=2\sqrt{9-4}\)
\(=2\sqrt{5}\)
উত্তরঃ ( গ )
৭। \(\sin{2x}\) এর পর্যায় কত?
\(\therefore \sin{2x}\) এর পর্যায় \(=\frac{2\pi}{2}\)
\(=\pi\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(2\pi\)
গ \(2\pi\)
খ \(\pi\)
ঘ \(4\pi\)
\(\sin{mx}\) এর পর্যায় \(=\frac{2\pi}{m}\)ঘ \(4\pi\)
\(\therefore \sin{2x}\) এর পর্যায় \(=\frac{2\pi}{2}\)
\(=\pi\)
উত্তরঃ ( খ )
৮। \(\cos{2\theta}\) এর মান-
\(i.\) \(1-2\sin^2{\theta}\)
\(ii.\) \(\frac{1-\tan^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}\)
\(iii.\) \(\frac{1+\tan^2{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\)
\(=1-\sin^2{\theta}-\sin^2{\theta}\)
\(=1-2\sin^2{\theta}\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
\(\cos{2\theta}\)
\(=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\)
\(=\cos^2{\theta}\left(1-\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}\right)\)
\(=\frac{1}{\sec^2{\theta}}\left(1-\tan^2{\theta}\right)\)
\(=\frac{1-\tan^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
\(\cos{2\theta}\)
\(=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\)
\(=\cos^2{\theta}\left(1-\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}\right)\)
\(=\frac{1}{\sec^2{\theta}}\left(1-\tan^2{\theta}\right)\)
\(=\frac{1-\tan^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}\)
\(=\frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) \(1-2\sin^2{\theta}\)
\(ii.\) \(\frac{1-\tan^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}\)
\(iii.\) \(\frac{1+\tan^2{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\cos{2\theta}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\)
\(=1-\sin^2{\theta}-\sin^2{\theta}\)
\(=1-2\sin^2{\theta}\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
\(\cos{2\theta}\)
\(=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\)
\(=\cos^2{\theta}\left(1-\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}\right)\)
\(=\frac{1}{\sec^2{\theta}}\left(1-\tan^2{\theta}\right)\)
\(=\frac{1-\tan^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
\(\cos{2\theta}\)
\(=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\)
\(=\cos^2{\theta}\left(1-\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}\right)\)
\(=\frac{1}{\sec^2{\theta}}\left(1-\tan^2{\theta}\right)\)
\(=\frac{1-\tan^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}\)
\(=\frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
৯। \(\int{\sin^4{x}\cos{x}dx}=f(x)+c\) যেখানে \(c\) একটি ধ্রুবক \(f(x)=?\)
\(\Rightarrow \int{\sin^4{x}d(\sin{x})}=f(x)+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{5}\sin^5{x}+c=f(x)+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{5}\sin^5{x}=f(x)\)
\(\therefore f(x)=\frac{1}{5}\sin^5{x}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{1}{5}\cos^5{x}\)
গ \(\frac{-\sin^5{x}\cos^2{x}}{10}\)
গ \(\frac{-\sin^5{x}\cos^2{x}}{10}\)
খ \(\frac{1}{5}\sin^5{x}\)
ঘ \(-\frac{1}{5}\cos^5{x}\)
\(\int{\sin^4{x}\cos{x}dx}=f(x)+c\) যেখানে \(c\) একটি ধ্রুবকঘ \(-\frac{1}{5}\cos^5{x}\)
\(\Rightarrow \int{\sin^4{x}d(\sin{x})}=f(x)+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{5}\sin^5{x}+c=f(x)+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{5}\sin^5{x}=f(x)\)
\(\therefore f(x)=\frac{1}{5}\sin^5{x}\)
উত্তরঃ ( খ )
১০। \(y=2x^2\) বক্ররেখার \((-1, -2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{d}{dx}(x^2)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\times2x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4x\)
\((-1, -2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল,
\(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1, -2)}=4\times-1\)
\(=-4\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-4\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(-2\)
ঘ \(4\)
\(y=2x^2\)ঘ \(4\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{d}{dx}(x^2)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\times2x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4x\)
\((-1, -2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল,
\(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1, -2)}=4\times-1\)
\(=-4\)
উত্তরঃ ( ক )
১১। \(\int{xe^{x^2}dx}=?\)
\(=\frac{1}{2}\int{e^{x^2}d(x^2)}\)
\(=\frac{1}{2}e^{x^2}+c\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(2e^{x^2}+c\)
গ \(xe^{x^2}+c\)
গ \(xe^{x^2}+c\)
খ \(e^{x^2}+c\)
ঘ \(\frac{1}{2}e^{x^2}+c\)
\(\int{xe^{x^2}dx}\)ঘ \(\frac{1}{2}e^{x^2}+c\)
\(=\frac{1}{2}\int{e^{x^2}d(x^2)}\)
\(=\frac{1}{2}e^{x^2}+c\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১২। \(3\hat{i}+2\hat{j}+a\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে \(a\) এর মান কত?
\(\therefore (3\hat{i}+2\hat{j}+a\hat{k}).(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow (3).(4)+(2).(-3)+(a).(1)=0\)
\(\Rightarrow 12-6+a=0\)
\(\Rightarrow 6+a=0\)
\(\therefore a=-6\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-6\)
গ \(6\)
গ \(6\)
খ \(1\)
ঘ \(12\)
\(3\hat{i}+2\hat{j}+a\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্বঘ \(12\)
\(\therefore (3\hat{i}+2\hat{j}+a\hat{k}).(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow (3).(4)+(2).(-3)+(a).(1)=0\)
\(\Rightarrow 12-6+a=0\)
\(\Rightarrow 6+a=0\)
\(\therefore a=-6\)
উত্তরঃ ( ক )
১৩। \(f(x)=x+3\) হলে \(f\{f(-3)\}\) এর মান কত?
\(\Rightarrow f(-3)=-3+3\)
\(\therefore f(-3)=0\)
আবার,
\(f(x)=x+3\)
\(\Rightarrow f\{f(-3)\}=0+3\)
\(\therefore f\{f(-3)\}=3\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-3\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(0\)
ঘ \(9\)
দেওয়া আছে, \(f(x)=x+3\)ঘ \(9\)
\(\Rightarrow f(-3)=-3+3\)
\(\therefore f(-3)=0\)
আবার,
\(f(x)=x+3\)
\(\Rightarrow f\{f(-3)\}=0+3\)
\(\therefore f\{f(-3)\}=3\)
উত্তরঃ ( গ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১৪ ও ১৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(A=\begin{bmatrix}3 & -2 \\2 & \ \ 2 \end{bmatrix}, \ D=\begin{bmatrix}x & \ \ 0 & 0\\2 & \ \ 4 & 1\\3 & -2 & 0 \end{bmatrix}\)
১৪। \(x\) এর কোন মানের জন্য \(|A|=|D|\) হবে?\(A=\begin{bmatrix}3 & -2 \\2 & \ \ 2 \end{bmatrix}, \ D=\begin{bmatrix}x & \ \ 0 & 0\\2 & \ \ 4 & 1\\3 & -2 & 0 \end{bmatrix}\)
ক \(-5\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(-1\)
ঘ \(5\)
দেওয়া আছে,ঘ \(5\)
\(A=\begin{bmatrix}3 & -2 \\2 & \ \ 2 \end{bmatrix}, \ D=\begin{bmatrix}x & \ \ 0 & 0\\2 & \ \ 4 & 1\\3 & -2 & 0 \end{bmatrix}\)
এবং \(|A|=|D|\) হবে?
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}3&-2\\ 2& \ \ 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}x & \ \ 0 & 0\\ 2 & \ \ 4 & 1 \\ 3 & -2 & 0\end{array}\right|\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}3&-2\\ 2& \ \ 2\end{array}\right|=x\left|\begin{array}{c} \ \ 4 & 1 \\ -2 & 0\end{array}\right|\)
\(\Rightarrow 3\times2-(-2)\times2=x(4\times0-1\times-2)\)
\(\Rightarrow 6+4=x(0+2)\)
\(\Rightarrow 10=2x\)
\(\Rightarrow 2x=10\)
\(\therefore x=5\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৫। \(A^{-1}=?\)
দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix}3 & -2 \\2 & \ \ 2 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A^{-1}=\frac{1}{3\times2-(-2)\times2}\begin{bmatrix} \ \ 2 & -(-2) \\-2 & \ \ 3 \end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{6+4}\begin{bmatrix} \ \ 2 & 2 \\-2 & 3 \end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{10}\begin{bmatrix} \ \ 2 & 2 \\-2 & 3 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{1}{10}\begin{bmatrix} \ \ 2 & 2 \\-2 & 3 \end{bmatrix}\)
গ \(\frac{1}{10}\begin{bmatrix} \ \ 3 & 2 \\-2 & 2 \end{bmatrix}\)
গ \(\frac{1}{10}\begin{bmatrix} \ \ 3 & 2 \\-2 & 2 \end{bmatrix}\)
খ \(\frac{1}{10}\begin{bmatrix} 2 & -2 \\2 & \ \ 3 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ \ \ 2 & 2 \end{bmatrix}\)
দ্রষ্টব্যঃ দুই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স \(\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} \ \ d & -b \\-c & \ \ a \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ \ \ 2 & 2 \end{bmatrix}\)
দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix}3 & -2 \\2 & \ \ 2 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A^{-1}=\frac{1}{3\times2-(-2)\times2}\begin{bmatrix} \ \ 2 & -(-2) \\-2 & \ \ 3 \end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{6+4}\begin{bmatrix} \ \ 2 & 2 \\-2 & 3 \end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{10}\begin{bmatrix} \ \ 2 & 2 \\-2 & 3 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ ( ক )
১৬। \(4y=3(x-4)\) এবং \(4y=3(x-1)\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব \(=?\)
\(\Rightarrow 4y=3x-12\) এবং \(4y=3x-3\)
\(\therefore 3x-4y-12=0\) এবং \(3x-4y-3=0\)
এখানে, \(a=3, \ b=4, \ c_{1}=-12, \ c_{2}=-3\)
দূরত্ব \(=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|-12+3|}{\sqrt{3^2+4^2}}\)
\(=\frac{|-9|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{9}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{9}{5}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{15}{9}\)
গ \(\frac{9}{4}\)
গ \(\frac{9}{4}\)
খ \(\frac{9}{5}\)
ঘ \(3\)
\(4y=3(x-4)\) এবং \(4y=3(x-1)\)ঘ \(3\)
\(\Rightarrow 4y=3x-12\) এবং \(4y=3x-3\)
\(\therefore 3x-4y-12=0\) এবং \(3x-4y-3=0\)
এখানে, \(a=3, \ b=4, \ c_{1}=-12, \ c_{2}=-3\)
দূরত্ব \(=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|-12+3|}{\sqrt{3^2+4^2}}\)
\(=\frac{|-9|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{9}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{9}{5}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৭। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{4x}}{\tan{7x}}\] এর মান কত?
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{4x}}{4x}\times\frac{7x}{\tan{7x}}\times\frac{4}{7}\]
\[=\frac{4}{7}\lim_{4x \rightarrow 0}\frac{\sin{4x}}{4x}\times\lim_{7x \rightarrow 0}\frac{7x}{\tan{7x}}\]
\[=\frac{4}{7}\times1\times1\]
\[=\frac{4}{7}\]
উত্তরঃ ( খ )
ক \(0\)
গ \(\frac{7}{4}\)
গ \(\frac{7}{4}\)
খ \(\frac{4}{7}\)
ঘ \(\infty\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{4x}}{\tan{7x}}\] ঘ \(\infty\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{4x}}{4x}\times\frac{7x}{\tan{7x}}\times\frac{4}{7}\]
\[=\frac{4}{7}\lim_{4x \rightarrow 0}\frac{\sin{4x}}{4x}\times\lim_{7x \rightarrow 0}\frac{7x}{\tan{7x}}\]
\[=\frac{4}{7}\times1\times1\]
\[=\frac{4}{7}\]
উত্তরঃ ( খ )
১৮। \(6\) একক বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?
\(= \ ^{n}C_{2}-n\)
অতএব \(6\) একক বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা
\(= \ ^{6}C_{2}-6\)
\(=\frac{6!}{2!(6-2)!}-6\)
\(=\frac{6.5.4!}{2\times4!}-6\)
\(=\frac{30}{2}-6\)
\(=15-6\)
\(=9\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(2\)
গ \(9\)
গ \(9\)
খ \(6\)
ঘ \(12\)
\(n\) একক বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কর্ণের সংখ্যাঘ \(12\)
\(= \ ^{n}C_{2}-n\)
অতএব \(6\) একক বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা
\(= \ ^{6}C_{2}-6\)
\(=\frac{6!}{2!(6-2)!}-6\)
\(=\frac{6.5.4!}{2\times4!}-6\)
\(=\frac{30}{2}-6\)
\(=15-6\)
\(=9\)
উত্তরঃ ( গ )
১৯। \(\int_{0}^{1}{\frac{\cos^{-1}{x}}{\sqrt{1-x^2}}dx}\) এর মান কত?
\(=-\int_{0}^{1}{\cos^{-1}{x}d\left(\cos^{-1}x\right)}\)
\(=-\left[\frac{\left(\cos^{-1}x\right)^2}{2}\right]_{0}^{1}\)
\(=-\frac{1}{2}\left[\left(\cos^{-1}x\right)^2\right]_{0}^{1}\)
\(=-\frac{1}{2}\left[\left(\cos^{-1}1\right)^2-\left(\cos^{-1}0\right)^2\right]\)
\(=-\frac{1}{2}\left[\left(\cos^{-1}\cos{0^{o}}\right)^2-\left(\cos^{-1}\cos{90^{o}}\right)^2\right]\)
\(=-\frac{1}{2}\left[(0)^2-\left(90^{o}\right)^2\right]\)
\(=-\frac{1}{2}\left[0-\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\right]\)
\(=\frac{1}{2}\times\frac{\pi^2}{4}\)
\(=\frac{\pi^2}{8}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{\pi^2}{8}\)
গ \(\frac{\pi}{8}\)
গ \(\frac{\pi}{8}\)
খ \(\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(\frac{\pi}{4}\)
\(\int_{0}^{1}{\frac{\cos^{-1}{x}}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)ঘ \(\frac{\pi}{4}\)
\(=-\int_{0}^{1}{\cos^{-1}{x}d\left(\cos^{-1}x\right)}\)
\(=-\left[\frac{\left(\cos^{-1}x\right)^2}{2}\right]_{0}^{1}\)
\(=-\frac{1}{2}\left[\left(\cos^{-1}x\right)^2\right]_{0}^{1}\)
\(=-\frac{1}{2}\left[\left(\cos^{-1}1\right)^2-\left(\cos^{-1}0\right)^2\right]\)
\(=-\frac{1}{2}\left[\left(\cos^{-1}\cos{0^{o}}\right)^2-\left(\cos^{-1}\cos{90^{o}}\right)^2\right]\)
\(=-\frac{1}{2}\left[(0)^2-\left(90^{o}\right)^2\right]\)
\(=-\frac{1}{2}\left[0-\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\right]\)
\(=\frac{1}{2}\times\frac{\pi^2}{4}\)
\(=\frac{\pi^2}{8}\)
উত্তরঃ ( ক )
২০। একটি গাড়ির চাকার ব্যসার্ধ \(20\) সে.মি.। চাকাটি প্রতি সেকেন্ডে \(10\) বার আবর্তিত হলে-
\(i.\) চাকাটির পরিধি \(40\pi\) সে.মি.
\(ii.\) চাকাটি একবার ঘুরে প্রায় \(125.66\) সে.মি. পথ অতিক্রম করে
\(iii.\) চাকাটির গতিবেগ প্রায় \(12.57\) মি./সে.
নিচের কোনটি সঠীক?
চাকাটির পরিধি \(=2\pi r\)
\(=2\pi\times20\)
\(=40\pi\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
চাকার ব্যসার্ধ \(r=20\) সে.মি.।
চাকাটির পরিধি \(=2\pi r\)
চাকাটি একবার ঘুরে প্রায় \(=2\pi r\) সে.মি. পথ অতিক্রম করে
\(=2\times3.14\times20\) সে.মি.
\(=125.6\) সে.মি.
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
চাকার ব্যসার্ধ \(r=20\) সে.মি.।
চাকাটির পরিধি \(=2\pi r\)
চাকাটি একবার ঘুরে প্রায় \(=2\pi r\) সে.মি. পথ অতিক্রম করে
চাকাটি প্রতি সেকেন্ডে \(10\) বার আবর্তিত হয়।
চাকাটির গতিবেগ প্রায় \(=10\times2\times3.14\times20\) সে.মি./সে.
\(=1256\) সে.মি./সে.
\(=12.56\) মি./সে.
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) চাকাটির পরিধি \(40\pi\) সে.মি.
\(ii.\) চাকাটি একবার ঘুরে প্রায় \(125.66\) সে.মি. পথ অতিক্রম করে
\(iii.\) চাকাটির গতিবেগ প্রায় \(12.57\) মি./সে.
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
চাকার ব্যসার্ধ \(r=20\) সে.মি.।ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
চাকাটির পরিধি \(=2\pi r\)
\(=2\pi\times20\)
\(=40\pi\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
চাকার ব্যসার্ধ \(r=20\) সে.মি.।
চাকাটির পরিধি \(=2\pi r\)
চাকাটি একবার ঘুরে প্রায় \(=2\pi r\) সে.মি. পথ অতিক্রম করে
\(=2\times3.14\times20\) সে.মি.
\(=125.6\) সে.মি.
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
চাকার ব্যসার্ধ \(r=20\) সে.মি.।
চাকাটির পরিধি \(=2\pi r\)
চাকাটি একবার ঘুরে প্রায় \(=2\pi r\) সে.মি. পথ অতিক্রম করে
চাকাটি প্রতি সেকেন্ডে \(10\) বার আবর্তিত হয়।
চাকাটির গতিবেগ প্রায় \(=10\times2\times3.14\times20\) সে.মি./সে.
\(=1256\) সে.মি./সে.
\(=12.56\) মি./সে.
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
২১। \(y=e^{\sqrt{x}}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}=\) কত?
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(e^{\sqrt{x}}\right)\)
\(=e^{\sqrt{x}}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)\)
\(=e^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(2e^{\sqrt{x}}\)
গ \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
গ \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
খ \(\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
ঘ \(\frac{2\sqrt{x}}{e^{\sqrt{x}}}\)
\(y=e^{\sqrt{x}}\)ঘ \(\frac{2\sqrt{x}}{e^{\sqrt{x}}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(e^{\sqrt{x}}\right)\)
\(=e^{\sqrt{x}}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)\)
\(=e^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ ( খ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ২২ ও ২৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
২২। \(2AB=BC\) হলে, \(\sin{\theta}=?\)
ক \(\sin{\phi}\)
গ \(\frac{1}{2}\sin{\phi}\)
গ \(\frac{1}{2}\sin{\phi}\)
খ \(2\sin{\phi}\)
ঘ \(\frac{1}{4}\sin{\phi}\)
দেওয়া আছে, \(2AB=BC\)ঘ \(\frac{1}{4}\sin{\phi}\)
চিত্র হতে,
\(\sin{\theta}=\frac{BC}{AC}\)
\(=\frac{2AB}{AC}\)
\(=2\frac{AB}{AC}\)
\(=2\sin{\phi}\)
উত্তরঃ ( খ )
২৩। \(AB=3, \ BC=4\) হলে, \(\cos{\theta}+\cos{\phi}=?\)
চিত্র হতে, \(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}\)
\(=\sqrt{3^2+4^2}\)
\(=\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(\therefore AC=5\)
এখন, \(\cos{\theta}+\cos{\phi}\)
\(=\frac{AB}{AC}+\frac{BC}{AC}\)
\(=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\)
\(=\frac{3+4}{5}\)
\(=\frac{7}{5}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{5}{8}\)
গ \(\frac{7}{5}\)
গ \(\frac{7}{5}\)
খ \(\frac{5}{7}\)
ঘ \(\frac{8}{5}\)
দেওয়া আছে, \(AB=3, \ BC=4\)ঘ \(\frac{8}{5}\)
চিত্র হতে, \(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}\)
\(=\sqrt{3^2+4^2}\)
\(=\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(\therefore AC=5\)
এখন, \(\cos{\theta}+\cos{\phi}\)
\(=\frac{AB}{AC}+\frac{BC}{AC}\)
\(=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\)
\(=\frac{3+4}{5}\)
\(=\frac{7}{5}\)
উত্তরঃ ( গ )
২৪। \(y=\sqrt{(x-1)(x-2)}\) ফাংশনটির ডোমেন কত?
\((x-1)(x-2)\ge{0}\)
\(\Rightarrow x-2\ge 0, x-1\ge 0\) অথবা, \(x-2\le 0, x-1\le 0\)
\(\Rightarrow x\ge 2, x\ge 1\) অথবা, \(x\le 2, x\le 1\)
\(\therefore x\ge 2\) অথবা, \(x\le 1\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(x\lt{1}\)
গ \(1\le{x}\lt{2}\)
গ \(1\le{x}\lt{2}\)
খ \(x\gt{2}\)
ঘ \(x\ge 2\) অথবা, \(x\le 1\)
\(y=\sqrt{(x-1)(x-2)}\) ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয়ের ক্ষেত্রে,ঘ \(x\ge 2\) অথবা, \(x\le 1\)
\((x-1)(x-2)\ge{0}\)
\(\Rightarrow x-2\ge 0, x-1\ge 0\) অথবা, \(x-2\le 0, x-1\le 0\)
\(\Rightarrow x\ge 2, x\ge 1\) অথবা, \(x\le 2, x\le 1\)
\(\therefore x\ge 2\) অথবা, \(x\le 1\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২৫। \(^nC_{5}= \ ^nC_{7}\) হলে, \(n\) এর মান কত?
\(^nC_{5}= \ ^nC_{7}\)
\(\Rightarrow ^nC_{n-5}= \ ^nC_{7}\)
\(\Rightarrow n-5=7\)
\(\Rightarrow n=7+5\)
\(\therefore n=12\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(2\)
গ \(12\)
গ \(12\)
খ \(7\)
ঘ \(35\)
দেওয়া আছে,ঘ \(35\)
\(^nC_{5}= \ ^nC_{7}\)
\(\Rightarrow ^nC_{n-5}= \ ^nC_{7}\)
\(\Rightarrow n-5=7\)
\(\Rightarrow n=7+5\)
\(\therefore n=12\)
উত্তরঃ ( গ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000001