শিক্ষা বোর্ড বরিশাল - 2019
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \((1-2x)^5\) এর বিস্তৃতিতে \(x^3\) এর সহগ কত?
\((r+1)\) তম পদ \(=^5C_{r}(-2x)^{r}\)
\(=\frac{5!}{r!(5-r)!}(-2)^{r}x^r\)
পদটিতে \(x^3\) আছে বলে, \(r=3\)
\(\therefore x^3\) এর সহগ \(=\frac{5!}{3!(5-3)!}(-2)^{3}\)
\(=\frac{5.4.3!}{3!2!}\times-8\)
\(=\frac{20}{2}\times-8\)
\(=10\times-8\)
\(=-80\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-80\)
গ \(10\)
গ \(10\)
খ \(-10\)
ঘ \(80\)
যদি \((1-2x)^5\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদে \(x^3\) থাকে,ঘ \(80\)
\((r+1)\) তম পদ \(=^5C_{r}(-2x)^{r}\)
\(=\frac{5!}{r!(5-r)!}(-2)^{r}x^r\)
পদটিতে \(x^3\) আছে বলে, \(r=3\)
\(\therefore x^3\) এর সহগ \(=\frac{5!}{3!(5-3)!}(-2)^{3}\)
\(=\frac{5.4.3!}{3!2!}\times-8\)
\(=\frac{20}{2}\times-8\)
\(=10\times-8\)
\(=-80\)
উত্তরঃ ( ক )
২। \(p\) এর কোন মানের জন্য \(px^2+3x+4=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে?
যদি, \(D\gt{0}\) হয়।
\(\Rightarrow 3^2-4p.4\gt{0}\)
\(\Rightarrow 9-16p\gt{0}\)
\(\Rightarrow 9\gt{16p}\)
\(\Rightarrow 16p\lt{9}\)
\(\therefore p\lt{\frac{9}{16}}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(p=\frac{9}{16}\)
গ \(p\lt{\frac{9}{16}}\)
গ \(p\lt{\frac{9}{16}}\)
খ \(p\lt{\frac{16}{9}}\)
ঘ \(p\gt{\frac{9}{16}}\)
\(px^2+3x+4=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে, ঘ \(p\gt{\frac{9}{16}}\)
যদি, \(D\gt{0}\) হয়।
\(\Rightarrow 3^2-4p.4\gt{0}\)
\(\Rightarrow 9-16p\gt{0}\)
\(\Rightarrow 9\gt{16p}\)
\(\Rightarrow 16p\lt{9}\)
\(\therefore p\lt{\frac{9}{16}}\)
উত্তরঃ ( গ )
৩। \(n\) একটি পূর্ণ সংখ্যা হলে, \(\sin{2\theta}=\frac{1}{2}\) সমীকরণের সাধারণ সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow \sin{2\theta}=\sin{\frac{\pi}{6}}\) সমীকরণের সাধারণ সমাধান,
\(\Rightarrow 2\theta=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore \theta=\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{12}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(n\pi+\frac{\pi}{12}\)
গ \(n\pi-\frac{\pi}{12}\)
গ \(n\pi-\frac{\pi}{12}\)
খ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\)
ঘ \(\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{6}\)
\(\sin{2\theta}=\frac{1}{2}\)ঘ \(\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{6}\)
\(\Rightarrow \sin{2\theta}=\sin{\frac{\pi}{6}}\) সমীকরণের সাধারণ সমাধান,
\(\Rightarrow 2\theta=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore \theta=\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{12}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৪। \(\sqrt{3}\) এককের দুইটি সমান বল \(120^{o}\) কোণে একটি বিন্দুতে ক্রিয়াশীল হলে, তাদের লব্ধির মান কত?
\(=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2+2\times\sqrt{3}\times\sqrt{3}\cos{120^{o}}}\)
\(=\sqrt{3+3+6\times-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{6-3}\)
\(=\sqrt{3}\) একক
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\sqrt{3}\) একক
গ \(2\sqrt{3}\) একক
গ \(2\sqrt{3}\) একক
খ \(3\) একক
ঘ \(4\sqrt{3}\) একক
\(\sqrt{3}\) এককের দুইটি সমান বল \(120^{o}\) কোণে একটি বিন্দুতে ক্রিয়াশীল হলে, তাদের লব্ধি,ঘ \(4\sqrt{3}\) একক
\(=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2+2\times\sqrt{3}\times\sqrt{3}\cos{120^{o}}}\)
\(=\sqrt{3+3+6\times-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{6-3}\)
\(=\sqrt{3}\) একক
উত্তরঃ ( ক )
৫। \(3\) টি কলম, \(4\) টি পেন্সিল ও \(5\) টি বইয়ের মধ্য থেকে দৈবভাবে একটি বস্তু নেয়া হলো। তা কলম হওয়ার সম্ভাবনা কত?
\(=\frac{3}{3+4+5}\)
\(=\frac{3}{12}\)
\(=\frac{1}{4}\)
\(=0.25\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(0.20\)
গ \(0.50\)
গ \(0.50\)
খ \(0.25\)
ঘ \(0.75\)
\(3\) টি কলম, \(4\) টি পেন্সিল ও \(5\) টি বইয়ের মধ্য থেকে দৈবভাবে একটি বস্তু নেয়া হলো। তা কলম হওয়ার সম্ভাবনাঘ \(0.75\)
\(=\frac{3}{3+4+5}\)
\(=\frac{3}{12}\)
\(=\frac{1}{4}\)
\(=0.25\)
উত্তরঃ ( খ )
৬। একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি বল \(P\) ও \(2P\)। তাদের লব্ধি \(R, \ P\) বলের উপর লম্ব হলে তাদের অন্তর্গত কোণ কত?
তাদের অন্তর্গত কোণ \(\alpha\) হলে,
\(\tan{90^{o}}=\frac{2P\sin{\alpha}}{P+2P\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{2P\sin{\alpha}}{P+2P\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow P+2P\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow P(1+2\cos{\alpha})=0\)
\(\Rightarrow 1+2\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{\alpha}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(30^{o}\)
গ \(90^{o}\)
গ \(90^{o}\)
খ \(60^{o}\)
ঘ \(120^{o}\)
একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি বল \(P\) ও \(2P\)। তাদের লব্ধি \(R, \ P\) বলের উপর লম্বঘ \(120^{o}\)
তাদের অন্তর্গত কোণ \(\alpha\) হলে,
\(\tan{90^{o}}=\frac{2P\sin{\alpha}}{P+2P\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{2P\sin{\alpha}}{P+2P\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow P+2P\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow P(1+2\cos{\alpha})=0\)
\(\Rightarrow 1+2\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{\alpha}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৭। দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(\frac{1}{1+\sqrt{-3}}\) হলে, সমীকরণটি হবে-
অপর মূলটি হবে \(\frac{1}{1-\sqrt{-3}}\)
সমীকরণটি হবে,
\(x^2-\left(\frac{1}{1+\sqrt{-3}}+\frac{1}{1-\sqrt{-3}}\right)x+\frac{1}{1+\sqrt{-3}}\times\frac{1}{1-\sqrt{-3}}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{1-\sqrt{-3}+1+\sqrt{-3}}{(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})}x+\frac{1}{(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{2}{1^2-(\sqrt{-3})^2}x+\frac{1}{1^2-(\sqrt{-3})^2}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{2}{1+3}x+\frac{1}{1+3}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{2}{4}x+\frac{1}{4}=0\)
\(\therefore 4x^2-2x+1=0\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(4x^2+2x+1=0\)
গ \(2x^2-4x+1=0\)
গ \(2x^2-4x+1=0\)
খ \(4x^2-2x+1=0\)
ঘ \(2x^2+4x+1=0\)
দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(\frac{1}{1+\sqrt{-3}}\) হলে,ঘ \(2x^2+4x+1=0\)
অপর মূলটি হবে \(\frac{1}{1-\sqrt{-3}}\)
সমীকরণটি হবে,
\(x^2-\left(\frac{1}{1+\sqrt{-3}}+\frac{1}{1-\sqrt{-3}}\right)x+\frac{1}{1+\sqrt{-3}}\times\frac{1}{1-\sqrt{-3}}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{1-\sqrt{-3}+1+\sqrt{-3}}{(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})}x+\frac{1}{(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{2}{1^2-(\sqrt{-3})^2}x+\frac{1}{1^2-(\sqrt{-3})^2}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{2}{1+3}x+\frac{1}{1+3}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{2}{4}x+\frac{1}{4}=0\)
\(\therefore 4x^2-2x+1=0\)
উত্তরঃ ( খ )
৮। \((2+x)^{17}\) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ দুটি হলো-
\(=\left(\frac{17-1}{2}+1\right)\)
\(=\left(\frac{16}{2}+1\right)\)
\(=\left(8+1\right)\)
\(=9\) তম
২য় মধ্যপদ \(=10\) তম
মধ্যপদ দুটি হলো ৯ম ও ১০ম পদ
উত্তরঃ ( গ )
ক ৭ম ও ৮ম পদ
গ ৯ম ও ১০ম পদ
গ ৯ম ও ১০ম পদ
খ ৮ম ও ৯ম পদ
ঘ ১০ম ও ১১ম পদ
\((2+x)^{17}\) এর বিস্তৃতিতে ১ম মধ্যপদঘ ১০ম ও ১১ম পদ
\(=\left(\frac{17-1}{2}+1\right)\)
\(=\left(\frac{16}{2}+1\right)\)
\(=\left(8+1\right)\)
\(=9\) তম
২য় মধ্যপদ \(=10\) তম
মধ্যপদ দুটি হলো ৯ম ও ১০ম পদ
উত্তরঃ ( গ )
৯। \(9.8\) মিটার/সেকেন্ড আদিবেগে এবং অনুভূমিকের সাথে \(30^{o}\) কোণে একটি বস্তুকে শূন্যে নিক্ষেপ করা হলো।
\(i.\) বস্তুটির সর্বাধিক উচ্চতা \(=2.45\) মিটার
\(ii.\) সর্বাধিক অনুভূমিক পাল্লা \(=9.8\) মিটার
\(iii.\) বিচরণকাল \(=1\) সেকেন্ড
নিচের কোনটি সঠীক?
বস্তুটির সর্বাধিক উচ্চতা \(=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{(9.8)^2\sin^2{30^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{9.8\times\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{9.8\times\frac{1}{4}}{2}\)
\(=\frac{9.8}{8}\)
\(=1.225\) মিটার
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
সর্বাধিক অনুভূমিক পাল্লা \(=\frac{u^2}{g}\)
\(=\frac{(9.8)^2}{9.8}\)
\(=9.8\) মিটার
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
বিচরণকাল \(=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times9.8\sin{30^{o}}}{9.8}\)
\(=2\times\frac{1}{2}\)
\(=1\) সেকেন্ড
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
\(i.\) বস্তুটির সর্বাধিক উচ্চতা \(=2.45\) মিটার
\(ii.\) সর্বাধিক অনুভূমিক পাল্লা \(=9.8\) মিটার
\(iii.\) বিচরণকাল \(=1\) সেকেন্ড
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(9.8\) মিটার/সেকেন্ড আদিবেগে এবং অনুভূমিকের সাথে \(30^{o}\) কোণে একটি বস্তুকে শূন্যে নিক্ষেপ করা হলো।ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
বস্তুটির সর্বাধিক উচ্চতা \(=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{(9.8)^2\sin^2{30^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{9.8\times\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{9.8\times\frac{1}{4}}{2}\)
\(=\frac{9.8}{8}\)
\(=1.225\) মিটার
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
সর্বাধিক অনুভূমিক পাল্লা \(=\frac{u^2}{g}\)
\(=\frac{(9.8)^2}{9.8}\)
\(=9.8\) মিটার
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
বিচরণকাল \(=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times9.8\sin{30^{o}}}{9.8}\)
\(=2\times\frac{1}{2}\)
\(=1\) সেকেন্ড
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
১০। অনুভূমির সাথে \(\alpha\) কোণে \(u\) বেগে প্রক্ষিপ্ত কণার অনুভূমিক পাল্লা \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)। প্রক্ষেপন কোণ \(\alpha\) কত হলে \(R\) বৃহত্তম হবে?
এখানে, \(g\) ও \(u\) ধ্রুবক কাজেই \(R\) এর মান \(\alpha\) এর উপর নির্ভরশীল। পাল্লা বৃহত্তম হবে যদি \(\sin{2\alpha}\) বৃহত্তম হয়।
\(\therefore \sin{2\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\sin{90^{o}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=90^{o}\)
\(\therefore \alpha=45^{o}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(30^{o}\)
গ \(60^{o}\)
গ \(60^{o}\)
খ \(45^{o}\)
ঘ \(90^{o}\)
অনুভূমিক পাল্লা \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)ঘ \(90^{o}\)
এখানে, \(g\) ও \(u\) ধ্রুবক কাজেই \(R\) এর মান \(\alpha\) এর উপর নির্ভরশীল। পাল্লা বৃহত্তম হবে যদি \(\sin{2\alpha}\) বৃহত্তম হয়।
\(\therefore \sin{2\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\sin{90^{o}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=90^{o}\)
\(\therefore \alpha=45^{o}\)
উত্তরঃ ( খ )
১১। \(1\) এর ঘনমূল তিনটির-
\(i.\) যোগফল \(=0\)
\(ii.\) গুণফল \(=1\)
\(iii.\) জটিল মূল দুটির একটি অপরিহার্য বর্গ
নিচের কোনটি সঠীক?
এদের যোগফল \(\omega^2+\omega+1=0\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
এদের গুণফল \(=1\times\omega\times\omega^2\)
\(=\omega^3\)
\(=1\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
জটিল মূল দুটি \(\frac{\sqrt{-3}-1}{2}, \ \frac{-\sqrt{-3}-1}{2}\)
এদের যে কোনো একটিকে বর্গ করলে অপরটির সমান হয়।
অর্থাৎ \(\left(\frac{\sqrt{-3}-1}{2}\right)^2=\frac{-\sqrt{-3}-1}{2}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) যোগফল \(=0\)
\(ii.\) গুণফল \(=1\)
\(iii.\) জটিল মূল দুটির একটি অপরিহার্য বর্গ
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(1\) এর ঘনমূল তিনটি \(1, \ \omega, \ \omega^2\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এদের যোগফল \(\omega^2+\omega+1=0\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
এদের গুণফল \(=1\times\omega\times\omega^2\)
\(=\omega^3\)
\(=1\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
জটিল মূল দুটি \(\frac{\sqrt{-3}-1}{2}, \ \frac{-\sqrt{-3}-1}{2}\)
এদের যে কোনো একটিকে বর্গ করলে অপরটির সমান হয়।
অর্থাৎ \(\left(\frac{\sqrt{-3}-1}{2}\right)^2=\frac{-\sqrt{-3}-1}{2}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
নিচের তথ্যের আলোকে ১২ এবং ১৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
তথ্য সারি \(A=\{-2, \ -1, \ 1, \ 2\}\)
১২। তথ্য সারি \(A\) এর গড় ব্যবধান নিচের কোনটি?তথ্য সারি \(A=\{-2, \ -1, \ 1, \ 2\}\)
ক \(\frac{3}{2}\)
গ \(\frac{4}{5}\)
গ \(\frac{4}{5}\)
খ \(\frac{2}{3}\)
ঘ \(\frac{5}{4}\)
তথ্য সারি \(A=\{-2, \ -1, \ 1, \ 2\}\) ঘ \(\frac{5}{4}\)
গড় ব্যবধান \(\overline{x}=\frac{-2-1+1+2}{4} \)
\(=\frac{0}{4} \)
\(=0\)
তাহলে গড় ব্যবধান \(=\frac{|-2-0|+|-1-0|+|1-0|+|2-0|}{4} \)
\(=\frac{2+1+1+2}{4} \)
\(=\frac{6}{4} \)
\(=\frac{3}{2} \)
উত্তরঃ ( ক )
১৩। তথ্য সারি \(A\) এর ভেদাংক নিচের কোনটি?
গড় ব্যবধান \(\overline{x}=\frac{-2-1+1+2}{4} \)
\(=\frac{0}{4} \)
\(=0\)
\(\therefore \overline{x}^2=0^2=0\)
আবার
\(\sum_{i=1}^4x_{i}^2=(-2)^2+(-1)^2+(1)^2+(2)^2\)
\(=4+1+1+4\)
\(=10\)
পরিমিত ব্যবধান \(\sigma=\sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4x_{i}^2-\overline{x}^2} \)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}\times10-0} \)
\(=\sqrt{\frac{5}{2}} \)
ভেদাংক,
\(\sigma^2=\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2 \)
\(=\frac{5}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{3}{5}\)
গ \(\frac{5}{2}\)
গ \(\frac{5}{2}\)
খ \(\frac{2}{5}\)
ঘ \(\frac{5}{3}\)
তথ্য সারি \(A=\{-2, \ -1, \ 1, \ 2\}\) ঘ \(\frac{5}{3}\)
গড় ব্যবধান \(\overline{x}=\frac{-2-1+1+2}{4} \)
\(=\frac{0}{4} \)
\(=0\)
\(\therefore \overline{x}^2=0^2=0\)
আবার
\(\sum_{i=1}^4x_{i}^2=(-2)^2+(-1)^2+(1)^2+(2)^2\)
\(=4+1+1+4\)
\(=10\)
পরিমিত ব্যবধান \(\sigma=\sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4x_{i}^2-\overline{x}^2} \)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}\times10-0} \)
\(=\sqrt{\frac{5}{2}} \)
ভেদাংক,
\(\sigma^2=\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2 \)
\(=\frac{5}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
১৪। নিচের কোনটি সঠিক?
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\mathbb{Z}\subset{\mathbb{N}}\)
গ \(\mathbb{Q}\cap{\mathbb{Q^{\prime}}}=\mathbb{R}\)
গ \(\mathbb{Q}\cap{\mathbb{Q^{\prime}}}=\mathbb{R}\)
খ \(\mathbb{N}\subset{\mathbb{R}}\)
ঘ \(\mathbb{Q}\cap{\mathbb{Q^{\prime}}}\ne{\phi}\)
\(\mathbb{N}\subset{\mathbb{R}}\) বাক্যটি সঠিক।ঘ \(\mathbb{Q}\cap{\mathbb{Q^{\prime}}}\ne{\phi}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৫। অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(e=0\)
গ \(0\lt{e}\lt{1}\)
গ \(0\lt{e}\lt{1}\)
খ \(e=1\)
ঘ \(e\gt{1}\)
অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে নিচের \(e\gt{1}\) বাক্যটি সঠিক।ঘ \(e\gt{1}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৬। \(u\) ও \(v\) দুইটি বেগ পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে এদের লব্ধি বেগ হবে-
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\sqrt{u+v}\)
গ \(u-v\)
গ \(u-v\)
খ \(u+v\)
ঘ \(\sqrt{u-v}\)
\(u\) ও \(v\) দুইটি বেগ পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে এদের লব্ধি বেগ হবে \(u-v\)ঘ \(\sqrt{u-v}\)
উত্তরঃ ( গ )
১৭। \(x=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\) হলে, \(x+\frac{1}{x}\) এর মান কত?
\(\therefore \ x+\frac{1}{x}=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{2}{-1+\sqrt{-3}}\)
\(=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{2(-1-\sqrt{-3})}{(-1+\sqrt{-3})(-1-\sqrt{-3})}\)
\(=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{2(-1-\sqrt{-3})}{(-1)^2-(\sqrt{-3})^2}\)
\(=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{2(-1-\sqrt{-3})}{1+3}\)
\(=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{2(-1-\sqrt{-3})}{4}\)
\(=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)
\(=\frac{-1+\sqrt{-3}-1-\sqrt{-3}}{2}\)
\(=\frac{-2}{2}\)
\(=-1\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-1\)
গ \(\sqrt{3}i\)
গ \(\sqrt{3}i\)
খ \(-\sqrt{3}i\)
ঘ \(1\)
দেওয়া আছে \(x=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\)ঘ \(1\)
\(\therefore \ x+\frac{1}{x}=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{2}{-1+\sqrt{-3}}\)
\(=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{2(-1-\sqrt{-3})}{(-1+\sqrt{-3})(-1-\sqrt{-3})}\)
\(=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{2(-1-\sqrt{-3})}{(-1)^2-(\sqrt{-3})^2}\)
\(=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{2(-1-\sqrt{-3})}{1+3}\)
\(=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{2(-1-\sqrt{-3})}{4}\)
\(=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)
\(=\frac{-1+\sqrt{-3}-1-\sqrt{-3}}{2}\)
\(=\frac{-2}{2}\)
\(=-1\)
উত্তরঃ ( ক )
১৮। \(\cot{\left(\sin^{-1}\frac{1}{2}\right)}\) এর মান কত?
\(\sin^{-1}\frac{1}{2}\) এর ক্ষেত্রে,
লম্ব \(=1\)
অতিভুজ \(=2\)
অতএব, ভূমি \(=\sqrt{2^2-1^2}\)
\(=\sqrt{4-1}\)
\(=\sqrt{3}\)
এখন, \(\cot{\left(\sin^{-1}\frac{1}{2}\right)}\)
\(=\cot{\left(\cot^{-1}\frac{\sqrt{3}}{1}\right)}\)
\(=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
খ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
ঘ \(\sqrt{3}\)
দেওয়া আছে \(\cot{\left(\sin^{-1}\frac{1}{2}\right)}\)ঘ \(\sqrt{3}\)
\(\sin^{-1}\frac{1}{2}\) এর ক্ষেত্রে,
লম্ব \(=1\)
অতিভুজ \(=2\)
অতএব, ভূমি \(=\sqrt{2^2-1^2}\)
\(=\sqrt{4-1}\)
\(=\sqrt{3}\)
এখন, \(\cot{\left(\sin^{-1}\frac{1}{2}\right)}\)
\(=\cot{\left(\cot^{-1}\frac{\sqrt{3}}{1}\right)}\)
\(=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৯। বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে-
\(i.\) \(|x|=x\) যখন \(x\gt{0}\)
\(ii.\) \(|x|=-x\) যখন \(x\lt{0}\)
\(iii.\) \(|x+y|\ge{|x|+|y|}\) যখন \(x\gt{0}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(|x|=x\) যখন \(x\gt{0}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(|x|=-x\) যখন \(x\lt{0}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
\(|x+y|\le{|x|+|y|}\) যখন \(x\gt{0}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) \(|x|=x\) যখন \(x\gt{0}\)
\(ii.\) \(|x|=-x\) যখন \(x\lt{0}\)
\(iii.\) \(|x+y|\ge{|x|+|y|}\) যখন \(x\gt{0}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(|x|=x\) যখন \(x\gt{0}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(|x|=-x\) যখন \(x\lt{0}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
\(|x+y|\le{|x|+|y|}\) যখন \(x\gt{0}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি নয়।
উত্তরঃ ( ক )
২০। যদি \(\frac{2+3i}{2-i}=A+iB\) এবং \(A\) ও \(B\) বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে \(B=\)কত?
\(\Rightarrow \frac{(2+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=A+iB\)
\(\Rightarrow \frac{4+2i+6i+3i^2}{2^2-i^2}=A+iB\)
\(\Rightarrow \frac{4+8i-3}{4+1}=A+iB\)
\(\Rightarrow \frac{1+8i}{5}=A+iB\)
\(\Rightarrow \frac{1}{5}+\frac{8i}{5}=A+iB\)
\(\therefore \frac{1}{5}+i\frac{8}{5}=A+iB\)
\(\thereforeB=\frac{8}{5}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-\frac{8}{5}\)
গ \(-\frac{1}{5}\)
গ \(-\frac{1}{5}\)
খ \(\frac{1}{5}\)
ঘ \(\frac{8}{5}\)
\(\frac{2+3i}{2-i}=A+iB\)ঘ \(\frac{8}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{(2+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=A+iB\)
\(\Rightarrow \frac{4+2i+6i+3i^2}{2^2-i^2}=A+iB\)
\(\Rightarrow \frac{4+8i-3}{4+1}=A+iB\)
\(\Rightarrow \frac{1+8i}{5}=A+iB\)
\(\Rightarrow \frac{1}{5}+\frac{8i}{5}=A+iB\)
\(\therefore \frac{1}{5}+i\frac{8}{5}=A+iB\)
\(\thereforeB=\frac{8}{5}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২১।
উপরোক্ত সরলরেখার সমীকরণটির পরমমানের প্রকাশ কোনটি?
\(\Rightarrow -1-\frac{3}{2}\lt{x-\frac{3}{2}}\lt{4-\frac{3}{2}}\) প্রতিটি পদের সাথে \(\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}\) বিয়োগ করে,
\(\Rightarrow \frac{-2-3}{2}\lt{x-\frac{3}{2}}\lt{\frac{8-3}{2}}\)
\(\Rightarrow -\frac{5}{2}\lt{x-\frac{3}{2}}\lt{\frac{5}{2}}\)
\(\therefore \left|x-\frac{3}{2}\right|\lt{\frac{5}{2}}\)
উত্তরঃ ( গ )
উপরোক্ত সরলরেখার সমীকরণটির পরমমানের প্রকাশ কোনটি?
ক \(|x-1|\lt{4}\)
গ \(\left|x-\frac{3}{2}\right|\lt{\frac{5}{2}}\)
গ \(\left|x-\frac{3}{2}\right|\lt{\frac{5}{2}}\)
খ \(|x+4|\lt{-1}\)
ঘ \(\left|x-\frac{3}{2}\right|\gt{\frac{5}{2}}\)
চিত্র হতে, \(-1\lt{x}\lt{4}\)ঘ \(\left|x-\frac{3}{2}\right|\gt{\frac{5}{2}}\)
\(\Rightarrow -1-\frac{3}{2}\lt{x-\frac{3}{2}}\lt{4-\frac{3}{2}}\) প্রতিটি পদের সাথে \(\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}\) বিয়োগ করে,
\(\Rightarrow \frac{-2-3}{2}\lt{x-\frac{3}{2}}\lt{\frac{8-3}{2}}\)
\(\Rightarrow -\frac{5}{2}\lt{x-\frac{3}{2}}\lt{\frac{5}{2}}\)
\(\therefore \left|x-\frac{3}{2}\right|\lt{\frac{5}{2}}\)
উত্তরঃ ( গ )
২২। \(3x^2+x+2=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে, \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\)কত?
\(\therefore \ \alpha+\beta=-\frac{1}{3}\)
\(\alpha\beta=\frac{2}{3}\)
এখন, \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\)
\(=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)
\(=\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}\)
\(=-\frac{1}{3}\times\frac{3}{2}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(-\frac{2}{3}\)
ঘ \(\frac{2}{3}\)
\(3x^2+x+2=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) ঘ \(\frac{2}{3}\)
\(\therefore \ \alpha+\beta=-\frac{1}{3}\)
\(\alpha\beta=\frac{2}{3}\)
এখন, \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\)
\(=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)
\(=\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}\)
\(=-\frac{1}{3}\times\frac{3}{2}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ ( ক )
নিচের তথ্যের আলোকে ২৩ এবং ২৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
২৩। প্রদত্ত চিত্রের আলোকে নিচের কোনটি অনুকূল এলাকা নির্দেশ করে?
ক \(5x+2y\le{30}, \ x\ge{2}, \ y\ge{5}\)
গ \(5x+2y\gt{30}, \ x\ge{2}, \ y\le{5}\)
গ \(5x+2y\gt{30}, \ x\ge{2}, \ y\le{5}\)
খ \(5x+2y\le{30}, \ x\ge{2}, \ y\le{5}\)
ঘ \(5x+2y\lt{30}, \ x\le{2}, \ y\le{5}\)
ঘ \(5x+2y\lt{30}, \ x\le{2}, \ y\le{5}\)
প্রদত্ত চিত্রের আলোকে
\(5x+2y\le{30}, \ x\ge{2}, \ y\le{5}\) অনুকূল এলাকা নির্দেশ করে
উত্তরঃ ( খ )
২৪। প্রদত্ত চিত্রের অনুকূল এলাকা \(z=x+y\) এর সর্বোচ্চ মান কত?
প্রদত্ত চিত্রের অনুকূল এলাকা
\(z=x+y\) এর সর্বোচ্চ মানের জন্য নমুনা বিন্দু \((4, 5)\)
\(z=x+y\) এর সর্বোচ্চ মান
\(=4+5\)
\(=9\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(6\)
গ \(9\)
গ \(9\)
খ \(7\)
ঘ \(12\)
ঘ \(12\)
প্রদত্ত চিত্রের অনুকূল এলাকা
\(z=x+y\) এর সর্বোচ্চ মানের জন্য নমুনা বিন্দু \((4, 5)\)
\(z=x+y\) এর সর্বোচ্চ মান
\(=4+5\)
\(=9\)
উত্তরঃ ( গ )
২৫। \(2y^2=5x\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কোনটি?
\(\Rightarrow y^2=\frac{5}{2}x\)
\(\therefore y^2=4\times\frac{5}{8}x\)
এখানে, \(a=\frac{5}{8}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\left(a, 0\right)\)
\(\left(\frac{5}{8}, 0\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\left(0, \frac{5}{8}\right)\)
গ \(\left(0, \frac{5}{2}\right)\)
গ \(\left(0, \frac{5}{2}\right)\)
খ \(\left(\frac{5}{8}, 0\right)\)
ঘ \(\left(\frac{5}{2}, 0\right)\)
\(2y^2=5x\)ঘ \(\left(\frac{5}{2}, 0\right)\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{5}{2}x\)
\(\therefore y^2=4\times\frac{5}{8}x\)
এখানে, \(a=\frac{5}{8}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\left(a, 0\right)\)
\(\left(\frac{5}{8}, 0\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000003