শিক্ষা বোর্ড কুমিল্লা - 2019
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। ভূমির সাথে \(60^{o}\) কোণে এবং \(9.8 m s^{-1}\) বেগে একটি ক্রিকেট বল নিক্ষিপ্ত হলে, ইহা সর্বাধিক কত উচ্চতায় উঠবে?
\(\therefore 60^{o}\) কোণে এবং \(9.8 m s^{-1}\) বেগে প্রক্ষিপ্ত ক্রিকেট বলের,
সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{(9.8)^2\sin^2{60^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{9.8\times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2}\)
\(=4.9\times\frac{3}{4}\)
\(=\frac{14.7}{4}\)
\(=3.675\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(1.255\) মিটার
গ \(4.239\) মিটার
গ \(4.239\) মিটার
খ \(3.675\) মিটার
ঘ \(7.350\) মিটার
\(\alpha\) কোণে এবং \(u\) বেগে প্রক্ষিপ্ত বস্তুর সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)ঘ \(7.350\) মিটার
\(\therefore 60^{o}\) কোণে এবং \(9.8 m s^{-1}\) বেগে প্রক্ষিপ্ত ক্রিকেট বলের,
সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{(9.8)^2\sin^2{60^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{9.8\times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2}\)
\(=4.9\times\frac{3}{4}\)
\(=\frac{14.7}{4}\)
\(=3.675\)
উত্তরঃ ( খ )
২। একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(7N\) মানের দুইটি সমান বলের লব্ধি \(7N\) হলে, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কোনটি?
\(7^2+7^2+2\times7\times7\cos{\alpha}=7^2\)
\(\Rightarrow 49+98\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 98\cos{\alpha}=-49\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{49}{98}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(120^{o}\)
গ \(90^{o}\)
গ \(90^{o}\)
খ \(60^{o}\)
ঘ \(30^{o}\)
বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\) হলে, ঘ \(30^{o}\)
\(7^2+7^2+2\times7\times7\cos{\alpha}=7^2\)
\(\Rightarrow 49+98\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 98\cos{\alpha}=-49\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{49}{98}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ ( ক )
৩। একটি কণার উপর কার্যরত \(P\) ও \(Q\) মানের বলদ্বয় সমান ও একই রেখায় বিপরীতমূখী হলে, এদের লব্ধি কোনটি?
এদের লব্ধি \(=P-Q\)
\(=P-P\) দেওয়া আছে, \(P=Q\)
\(=0\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(0\)
গ \(P^2+Q^2\)
গ \(P^2+Q^2\)
খ \(P+Q\)
ঘ \(\sqrt{P^2+Q^2}\)
একটি কণার উপর কার্যরত \(P\) ও \(Q\) মানের বলদ্বয় সমান ও একই রেখায় বিপরীতমূখী হলে,ঘ \(\sqrt{P^2+Q^2}\)
এদের লব্ধি \(=P-Q\)
\(=P-P\) দেওয়া আছে, \(P=Q\)
\(=0\)
উত্তরঃ ( ক )
৪। \(2\cos{\theta}=1\) সমীকরণের সমাধান-
\(i.\) \(\theta=\frac{\pi}{3}, \ 0\lt{\theta}\lt{\frac{\pi}{2}}\)
\(ii.\) \(\theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(iii.\) \(\theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{3}, \ 0\lt{\theta}\lt{\frac{\pi}{2}}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার
\(2\cos{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(2\cos{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) \(\theta=\frac{\pi}{3}, \ 0\lt{\theta}\lt{\frac{\pi}{2}}\)
\(ii.\) \(\theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(iii.\) \(\theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(2\cos{\theta}=1\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{3}, \ 0\lt{\theta}\lt{\frac{\pi}{2}}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার
\(2\cos{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(2\cos{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
৫। \(\sin^2{\left(\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}\) এর মান কোনটি?
\(=1-\cos^2{\left(\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}\)
\(=1-\left\{\cos{\left(\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}\right\}^2\)
\(=1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\)
\(=1-\frac{1}{3}\)
\(=\frac{3-1}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
খ \(\frac{1}{3}\)
ঘ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\sin^2{\left(\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}\)ঘ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(=1-\cos^2{\left(\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}\)
\(=1-\left\{\cos{\left(\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}\right\}^2\)
\(=1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\)
\(=1-\frac{1}{3}\)
\(=\frac{3-1}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ ( গ )
৬। \(1\) এর ঘনমূল তিনটির যোগফল-
\(i.\) \(0\)
\(ii.\) \(\omega^3\)
\(iii.\) \(1+\omega+\omega^2\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ঘনমূল তিনটির যোগফল \(1+\omega+\omega^2=0\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
কিন্তু \((ii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
ঘনমূল তিনটির যোগফল \(1+\omega+\omega^2\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
\(i.\) \(0\)
\(ii.\) \(\omega^3\)
\(iii.\) \(1+\omega+\omega^2\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(1\) এর ঘনমূল তিনটি হলো \(1, \ \omega, \ \omega^2\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘনমূল তিনটির যোগফল \(1+\omega+\omega^2=0\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
কিন্তু \((ii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
ঘনমূল তিনটির যোগফল \(1+\omega+\omega^2\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
৭। \(3, \ 4\) ও \(5\) এই তিনটি সংখ্যার গড় ব্যবধান কোনটি?
\(=\frac{12}{3}\)
\(=4\)
গড় ব্যবধান \[MD\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\overline{x}|\]
\(=\frac{|3-4|+|4-4|+|5-4|}{3}\)
\(=\frac{1+0+1}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(4\)
গ \(\frac{2}{3}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
খ \(1\)
ঘ \(\frac{4}{9}\)
এখানে, গাণিতিক গড় \(\overline{x}=\frac{3+4+5}{3}\)ঘ \(\frac{4}{9}\)
\(=\frac{12}{3}\)
\(=4\)
গড় ব্যবধান \[MD\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\overline{x}|\]
\(=\frac{|3-4|+|4-4|+|5-4|}{3}\)
\(=\frac{1+0+1}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ ( গ )
৮। \(A\) ও \(B\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(P(A)=\frac{3}{4}\) ও \(P(B)=\frac{1}{3}\) হলে, \(P(A\cap{B})\) কোনটি?
এখন, \(P(A\cap{B})=P(A)\times{P(B)}\)
\(=\frac{3}{4}\times\frac{1}{3}\)
\(=\frac{1}{4}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{1}{12}\)
গ \(\frac{1}{3}\)
গ \(\frac{1}{3}\)
খ \(\frac{1}{4}\)
ঘ \(\frac{3}{4}\)
\(A\) ও \(B\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(P(A)=\frac{3}{4}\) ও \(P(B)=\frac{1}{3}\)ঘ \(\frac{3}{4}\)
এখন, \(P(A\cap{B})=P(A)\times{P(B)}\)
\(=\frac{3}{4}\times\frac{1}{3}\)
\(=\frac{1}{4}\)
উত্তরঃ ( খ )
৯। \(x^2=3y\) কণিকের লেখচিত্র কোনটি?
তাহলে, ক' নং চিত্রটি \(x^2=3y\) কণিকের লেখচিত্র
উত্তরঃ ( ক )
ক 
গ
গ
খ 
ঘ
\(x^2=3y\) মূলবিন্দুগামী এবং \(y\) অক্ষের ধনাত্মক দিকে প্রতিসম পরাবৃত্তের সমীকরণ, যার অক্ষ রেখা \(y\) অক্ষ বরাবর। উপকেন্দ্র \(y\) অক্ষের ধনাত্মক অংশের উপর অবস্থিত।ঘ
তাহলে, ক' নং চিত্রটি \(x^2=3y\) কণিকের লেখচিত্র
উত্তরঃ ( ক )
১০। দুইটি নৌকা \(3\) একক ও \(4\) একক বেগে পরস্পর বিপরীত দিকে চলছে। প্রথম নৌকার সাপেক্ষে আপেক্ষিক বেগ কনটি?
আপেক্ষিক বেগ \(=V_{A}+V_{B}\)
\(=3+4\) এখানে, \(V_{A}=3, \ V_{B}=4\)
\(=7\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(7\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(5\)
ঘ \(1\)
পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল হলে,ঘ \(1\)
আপেক্ষিক বেগ \(=V_{A}+V_{B}\)
\(=3+4\) এখানে, \(V_{A}=3, \ V_{B}=4\)
\(=7\)
উত্তরঃ ( ক )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১১ এবং ১২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^2-5x+4=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)
১১। সমীকরণটির মূলদ্বয়ের ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?\(x^2-5x+4=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)
ক মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান
গ মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান
গ মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান
খ মূলদ্বয় অমূলদ
ঘ মূলদ্বয় জটিল
\(x^2-5x+4=0\) সমীকরণের ক্ষেত্রেঘ মূলদ্বয় জটিল
\(a=1, \ b=-5, \ c=4\)
\(\therefore D=b^2-4ac\)
\(=(-5))^2-4\times1\times4\)
\(=25-16\)
\(=9\)
\(=3^2\)
যেহেতু \(D\) যোগবোধক ও পূর্ণ বর্গ সংখ্যা
অতএব, সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান
উত্তরঃ ( গ )
১২। \(\alpha\gt{\beta}\) হলে, \(\alpha-\beta=\) কত?
\(a=1, \ b=-5, \ c=4\)
\(\therefore \alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)
\(=-\frac{-5}{1}\)
\(=5\)
\(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)
\(=\frac{4}{1}\)
\(=4\)
এখন, \(\alpha-\beta=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\)
\(=\sqrt{(5)^2-4\times4}\)
\(=\sqrt{25-16}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(1\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(3\)
ঘ \(5\)
\(x^2-5x+4=0\) সমীকরণের ক্ষেত্রেঘ \(5\)
\(a=1, \ b=-5, \ c=4\)
\(\therefore \alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)
\(=-\frac{-5}{1}\)
\(=5\)
\(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)
\(=\frac{4}{1}\)
\(=4\)
এখন, \(\alpha-\beta=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\)
\(=\sqrt{(5)^2-4\times4}\)
\(=\sqrt{25-16}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
উত্তরঃ ( খ )
১৩। \(|2x+1|\lt{3}\) অসমতার সমাধান সেট কোনটি?
\(\Rightarrow -3\lt{2x+1}\lt{3}\)
\(\Rightarrow -3-1\lt{2x+1-1}\lt{3-1}\)
\(\Rightarrow -4\lt{2x}\lt{2}\)
\(\Rightarrow -\frac{4}{2}\lt{x}\lt{\frac{2}{2}}\)
\(\therefore -2\lt{x}\lt{1}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(-2\le{x}\le{1}\)
গ \(-1\le{x}\le{2}\)
গ \(-1\le{x}\le{2}\)
খ \(-2\lt{x}\lt{1}\)
ঘ \(-1\lt{x}\lt{2}\)
\(|2x+1|\lt{3}\)ঘ \(-1\lt{x}\lt{2}\)
\(\Rightarrow -3\lt{2x+1}\lt{3}\)
\(\Rightarrow -3-1\lt{2x+1-1}\lt{3-1}\)
\(\Rightarrow -4\lt{2x}\lt{2}\)
\(\Rightarrow -\frac{4}{2}\lt{x}\lt{\frac{2}{2}}\)
\(\therefore -2\lt{x}\lt{1}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৪। \(S=\{x\in{\mathbb{R}}:x-x^2+6\gt{0}\}\) হলে, \(sup(S)=\) কত?
\(\Rightarrow x-x^2+6\gt{0}\)
\(\Rightarrow x^2-x-6\lt{0}\)
\(\Rightarrow x^2-3x+2x-6\lt{0}\)
\(\Rightarrow x(x-3)+2(x-3)\lt{0}\)
\(\Rightarrow (x-3)(x+2)\lt{0}\)
\(\therefore -2\lt{x}\lt{3}\)
\(\therefore sup(S)=3\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-2\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(-3\)
ঘ \(3\)
\(S=\{x\in{\mathbb{R}}:x-x^2+6\gt{0}\}\) হলে,ঘ \(3\)
\(\Rightarrow x-x^2+6\gt{0}\)
\(\Rightarrow x^2-x-6\lt{0}\)
\(\Rightarrow x^2-3x+2x-6\lt{0}\)
\(\Rightarrow x(x-3)+2(x-3)\lt{0}\)
\(\Rightarrow (x-3)(x+2)\lt{0}\)
\(\therefore -2\lt{x}\lt{3}\)
\(\therefore sup(S)=3\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৫। \((1-x)^{-3}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^3\) এর সহগ কোনটি?
\(1+3x+6x^2+10x^3+.......\)
\(\therefore x^3\) এর সহগ \(=10\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-27\)
গ \(10\)
গ \(10\)
খ \(-10\)
ঘ \(27\)
\((1-x)^{-3}\) এর বিস্তৃতি,ঘ \(27\)
\(1+3x+6x^2+10x^3+.......\)
\(\therefore x^3\) এর সহগ \(=10\)
উত্তরঃ ( গ )
১৬। \(z=x+iy\) হলে, \(z\overline{z}=1\) সমীকরণের জ্যামিতিক রূপ কোনটি?
\(\overline{z}=x-iy\)
এখন, \(z\overline{z}=1\)
\(\Rightarrow (x+iy)(x-iy)=1\)
\(\Rightarrow x^2-(iy)^2=1\)
\(\Rightarrow x^2-i^2y^2=1\)
\(\therefore x^2+y^2=1\) যা একটি বৃত্তের সমীকরণ।
উত্তরঃ ( খ )
ক অধিবৃত্ত
গ উপবৃত্ত
গ উপবৃত্ত
খ বৃত্ত
ঘ পরাবৃত্ত
\(z=x+iy\) হলে,ঘ পরাবৃত্ত
\(\overline{z}=x-iy\)
এখন, \(z\overline{z}=1\)
\(\Rightarrow (x+iy)(x-iy)=1\)
\(\Rightarrow x^2-(iy)^2=1\)
\(\Rightarrow x^2-i^2y^2=1\)
\(\therefore x^2+y^2=1\) যা একটি বৃত্তের সমীকরণ।
উত্তরঃ ( খ )
নিচের চিত্রের আলোকে ১৭ এবং ১৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
১৭। \(F=3x+4y\) হলে, \(F\) এর সর্বোচ্চ মান কোনটি?
ক \(21\)
গ \(28\)
গ \(28\)
খ \(23\)
ঘ \(30\)
\(F=3x+4y\)ঘ \(30\)
\(F_{O(0, 0)}=3\times0+4\times0=0\)
\(F_{A(7, 0)}=3\times7+4\times0=21\)
\(F_{C(5, 2)}=3\times5+4\times2=15+8=23\)
\(F_{E(0, 4)}=3\times0+4\times4=16\)
\(\therefore F_{max}=23\)
উত্তরঃ ( খ )
১৮। উদ্দীপকে উল্লেখিত চিত্রে সমাধান ক্ষেত্র কোনটি?
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(OACD\)
গ \(OBCE\)
গ \(OBCE\)
খ \(OADE\)
ঘ \(OACE\)
উদ্দীপকে উল্লেখিত চিত্রে সমাধান ক্ষেত্র \(OACE\)ঘ \(OACE\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৯। \(x^3-3x^2-16x+48=0\) সমীকরণের দুইটি মূলের যোগফল শূন্য হলে, তৃতীয় মূল কোনটি?
এখন, \(\alpha+\beta+\gamma=-\frac{-3}{1}\)
\(\Rightarrow 0+\gamma=3\)
\(\therefore \gamma=3\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-4\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(-3\)
ঘ \(4\)
\(x^3-3x^2-16x+48=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) এবং \(\alpha+\beta=0\)ঘ \(4\)
এখন, \(\alpha+\beta+\gamma=-\frac{-3}{1}\)
\(\Rightarrow 0+\gamma=3\)
\(\therefore \gamma=3\)
উত্তরঃ ( গ )
২০। \(\frac{1}{3}i\) এর বর্গমূল কোনটি?
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{i}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\sqrt{2i}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{1+2i-1}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{1^2+2.1.i+i^2}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{(1+i)^2}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}(1+i)\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}(1+i)\)
গ \(\pm\frac{1}{\sqrt{6}}(1+i)\)
গ \(\pm\frac{1}{\sqrt{6}}(1+i)\)
খ \(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}(1-i)\)
ঘ \(\pm\frac{1}{\sqrt{6}}(1-i)\)
\(\frac{1}{3}i\) এর বর্গমূল \(=\pm\sqrt{\frac{1}{3}i}\)ঘ \(\pm\frac{1}{\sqrt{6}}(1-i)\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{i}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\sqrt{2i}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{1+2i-1}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{1^2+2.1.i+i^2}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{(1+i)^2}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}(1+i)\)
উত্তরঃ ( গ )
২১। \((a+bx)^{2n}; \ n\in{\mathbb{N}}\) এর সম্প্রসারণে মধ্যপদ কততম?
মধ্যপদ হবে \(\frac{2n}{2}+1\) তম
\(\therefore n+1\) তম
উত্তরঃ ( খ )
ক \(n-1\)
গ \(\frac{n}{2}+1\)
গ \(\frac{n}{2}+1\)
খ \(n+1\)
ঘ \(\frac{n}{2}-1\)
এখানে, \(2n\) জোড় সংখ্যা,ঘ \(\frac{n}{2}-1\)
মধ্যপদ হবে \(\frac{2n}{2}+1\) তম
\(\therefore n+1\) তম
উত্তরঃ ( খ )
২২। \(x^2-y^2=2\) অধিবৃত্তের ফোকাসদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{(\sqrt{2})^2}-\frac{y^2}{(\sqrt{2})^2}=1\)
এখানে, \(a=b=\sqrt{2}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{2}{2}}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
\(=|2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}|\)
\(=|2\times2|\)
\(=|4|\)
\(=4\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(2\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(2\sqrt{2}\)
ঘ \(4\sqrt{2}\)
\(x^2-y^2=2\)ঘ \(4\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{(\sqrt{2})^2}-\frac{y^2}{(\sqrt{2})^2}=1\)
এখানে, \(a=b=\sqrt{2}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{2}{2}}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
\(=|2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}|\)
\(=|2\times2|\)
\(=|4|\)
\(=4\)
উত্তরঃ ( গ )
২৩। \(4x^2+y^2=1\) কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{1}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}+\frac{y^2}{1^2}=1\)
এখানে, \(a=\frac{1}{2}, \ b=1\)
\(\therefore b\gt{a}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{4}}{1}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
খ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(4x^2+y^2=1\)ঘ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{1}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}+\frac{y^2}{1^2}=1\)
এখানে, \(a=\frac{1}{2}, \ b=1\)
\(\therefore b\gt{a}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{4}}{1}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
২৪। \((1+x)^8\) এর বিস্তৃতিতে ৪র্থ ও ৫ম পদ সমান হলে, \(x\) এর মান কত?
\((1+x)^8\) এর বিস্তৃতিতে ৫ম পদ \(= \ ^8C_{4}x^4\)
শর্তমতে, \( ^8C_{4}x^4= \ ^8C_{3}x^3\)
\(\Rightarrow x=\frac{^8C_{3}}{^8C_{4}}\)
\(=\frac{\frac{8!}{3!5!}}{\frac{8!}{4!4!}}\)
\(=\frac{8!}{3!5!}\times\frac{4!4!}{8!}\)
\(=\frac{4!4.3!}{3!5.4!}\)
\(=\frac{4}{5}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{4}{5}\)
গ \(\frac{3}{4}\)
গ \(\frac{3}{4}\)
খ \(\frac{5}{4}\)
ঘ \(\frac{4}{3}\)
\((1+x)^8\) এর বিস্তৃতিতে ৪র্থ পদ \(= \ ^8C_{3}x^3\)ঘ \(\frac{4}{3}\)
\((1+x)^8\) এর বিস্তৃতিতে ৫ম পদ \(= \ ^8C_{4}x^4\)
শর্তমতে, \( ^8C_{4}x^4= \ ^8C_{3}x^3\)
\(\Rightarrow x=\frac{^8C_{3}}{^8C_{4}}\)
\(=\frac{\frac{8!}{3!5!}}{\frac{8!}{4!4!}}\)
\(=\frac{8!}{3!5!}\times\frac{4!4!}{8!}\)
\(=\frac{4!4.3!}{3!5.4!}\)
\(=\frac{4}{5}\)
উত্তরঃ ( ক )
২৫। \(25\) জন শ্রমিকের বেতনের পরিমিত ব্যবধান \(16\) হলে, তাদের বেতনের ভেদাংক কত?
\(\sqrt{\text{ভেদাংক}}=\text{পরিমিত ব্যবধান}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\text{ভেদাংক}}=16\)
\(\Rightarrow \text{ভেদাংক}=16^2\)
\(\therefore \text{ভেদাংক}=256\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(4\)
গ \(256\)
গ \(256\)
খ \(5\)
ঘ \(625\)
আমরা জানি,ঘ \(625\)
\(\sqrt{\text{ভেদাংক}}=\text{পরিমিত ব্যবধান}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\text{ভেদাংক}}=16\)
\(\Rightarrow \text{ভেদাংক}=16^2\)
\(\therefore \text{ভেদাংক}=256\)
উত্তরঃ ( গ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000006