শিক্ষা বোর্ড কুমিল্লা - 2021
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(\int{\frac{dx}{\sqrt{16-25x^2}}}=\) কত?
\(=\int{\frac{dx}{\sqrt{25\left(\frac{16}{25}-x^2\right)}}}\)
\(=\frac{1}{5}\int{\frac{dx}{\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2-x^2}}}\)
\(=\frac{1}{5}\sin^{-1}{\frac{x}{\frac{4}{5}}}+c\)
\(=\frac{1}{5}\sin^{-1}{\frac{5x}{4}}+c\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{1}{5}\sin^{-1}{\frac{5x}{4}}+c\)
গ \(\frac{1}{4}\sin^{-1}{\frac{5x}{4}}+c\)
গ \(\frac{1}{4}\sin^{-1}{\frac{5x}{4}}+c\)
খ \(\frac{1}{5}\sin^{-1}{\frac{4x}{5}}+c\)
ঘ \(\frac{1}{4}\sin^{-1}{\frac{4x}{5}}+c\)
\(\int{\frac{dx}{\sqrt{16-25x^2}}}\)ঘ \(\frac{1}{4}\sin^{-1}{\frac{4x}{5}}+c\)
\(=\int{\frac{dx}{\sqrt{25\left(\frac{16}{25}-x^2\right)}}}\)
\(=\frac{1}{5}\int{\frac{dx}{\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2-x^2}}}\)
\(=\frac{1}{5}\sin^{-1}{\frac{x}{\frac{4}{5}}}+c\)
\(=\frac{1}{5}\sin^{-1}{\frac{5x}{4}}+c\)
উত্তরঃ (ক)
২। \(\int{\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}}dx}=\) কত?
\(=\int{\frac{d\left\{f(x)\right\}}{\sqrt{f(x)}}}\)
\(=2\sqrt{f(x)}+c\) যেহেতু, \(\int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{x}+c\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{1}{2}f(x)+c\)
গ \(2f(x)+c\)
গ \(2f(x)+c\)
খ \(\sqrt{f(x)}+c\)
ঘ \(2\sqrt{f(x)}+c\)
\(\int{\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}}dx}\)ঘ \(2\sqrt{f(x)}+c\)
\(=\int{\frac{d\left\{f(x)\right\}}{\sqrt{f(x)}}}\)
\(=2\sqrt{f(x)}+c\) যেহেতু, \(\int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{x}+c\)
উত্তরঃ (ঘ)
৩। \(\int_{0}^{1}{\frac{\sin^{-1}{x}}{\sqrt{1-x^2}}dx}\) এর মান কত?
\(=\int_{0}^{1}{\sin^{-1}{x}d\left(\sin^{-1}{x}\right)}\)
\(=\left[\frac{(\sin^{-1}{x})^2}{2}\right]_{0}^{1}\) যেহেতু, \(\int{xdx}=\frac{x^2}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\left[(\sin^{-1}{x})^2\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{2}\left[(\sin^{-1}{1})^2-(\sin^{-1}{0})^2\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-(0)^2\right]\)
\(=\frac{1}{2}\times\frac{\pi^2}{4}\)
\(=\frac{\pi^2}{8}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{\pi^2}{16}\)
গ \(\frac{\pi^2}{4}\)
গ \(\frac{\pi^2}{4}\)
খ \(\frac{\pi^2}{8}\)
ঘ \(\frac{\pi}{2}\)
\(\int_{0}^{1}{\frac{\sin^{-1}{x}}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)ঘ \(\frac{\pi}{2}\)
\(=\int_{0}^{1}{\sin^{-1}{x}d\left(\sin^{-1}{x}\right)}\)
\(=\left[\frac{(\sin^{-1}{x})^2}{2}\right]_{0}^{1}\) যেহেতু, \(\int{xdx}=\frac{x^2}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\left[(\sin^{-1}{x})^2\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{2}\left[(\sin^{-1}{1})^2-(\sin^{-1}{0})^2\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-(0)^2\right]\)
\(=\frac{1}{2}\times\frac{\pi^2}{4}\)
\(=\frac{\pi^2}{8}\)
উত্তরঃ (খ)
৪। \(\int_{1}^{3}{\frac{2x}{1+x^2}dx}\) এর মান কত?
\(=\int_{1}^{3}{\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}}\)
\(=[\ln{(1+x^2)}]_{1}^{3}\) যেহেতু, \(\int{\frac{dx}{x}}=\ln{x}\)
\(=\ln{(1+3^2)}-\ln{(1+1^2)}\)
\(=\ln{(1+9)}-\ln{(1+1)}\)
\(=\ln{10}-\ln{2}\)
\(=\ln{\frac{10}{2}}\)
\(=\ln{5}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\ln{10}\)
গ \(\ln{4}\)
গ \(\ln{4}\)
খ \(\ln{5}\)
ঘ \(\ln{2}\)
\(\int_{1}^{3}{\frac{2x}{1+x^2}dx}\)ঘ \(\ln{2}\)
\(=\int_{1}^{3}{\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}}\)
\(=[\ln{(1+x^2)}]_{1}^{3}\) যেহেতু, \(\int{\frac{dx}{x}}=\ln{x}\)
\(=\ln{(1+3^2)}-\ln{(1+1^2)}\)
\(=\ln{(1+9)}-\ln{(1+1)}\)
\(=\ln{10}-\ln{2}\)
\(=\ln{\frac{10}{2}}\)
\(=\ln{5}\)
উত্তরঃ (খ)
৫। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1-\cos{2x}}}{x}\] এর মান কত?
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{2\sin^2{x}}}{x}\]
\[=\sqrt{2}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}\]
\[=\sqrt{2}\times1\] যেহেতু, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\]
\[=\sqrt{2}\]
উত্তরঃ (খ)
ক \(2\sqrt{2}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
খ \(\sqrt{2}\)
ঘ \(0\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1-\cos{2x}}}{x}\]ঘ \(0\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{2\sin^2{x}}}{x}\]
\[=\sqrt{2}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}\]
\[=\sqrt{2}\times1\] যেহেতু, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\]
\[=\sqrt{2}\]
উত্তরঃ (খ)
৬।
চিত্রটির ক্ষেত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক।
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\) বৃত্তের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\times\pi\times3^2\)
\(=\frac{\pi}{2}\times9\)
\(=\frac{9\pi}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
চিত্রটির ক্ষেত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক।
ক \(\frac{3\pi}{2}\)
গ \(\frac{9\pi}{2}\)
গ \(\frac{9\pi}{2}\)
খ \(\frac{9\pi}{4}\)
ঘ \(9\pi\)
প্রদত্ত চিত্রটি একটি বৃত্তের যার ব্যাসার্ধ \(=3\)ঘ \(9\pi\)
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\) বৃত্তের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\times\pi\times3^2\)
\(=\frac{\pi}{2}\times9\)
\(=\frac{9\pi}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
৭। নিচের কোনটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স?
\(=12-12\)
\(=0\)
\(\therefore \left[\begin{array}{rr}3&6\\2&4\end{array}\right]\)
ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\left[\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right]\)
গ \(\left[\begin{array}{rr}1&2\\2&-4\end{array}\right]\)
গ \(\left[\begin{array}{rr}1&2\\2&-4\end{array}\right]\)
খ \(\left[\begin{array}{rr}2&-1\\6&3\end{array}\right]\)
ঘ \(\left[\begin{array}{rr}3&6\\2&4\end{array}\right]\)
\(\left|\begin{array}{rr}3&6\\2&4\end{array}\right|\)ঘ \(\left[\begin{array}{rr}3&6\\2&4\end{array}\right]\)
\(=12-12\)
\(=0\)
\(\therefore \left[\begin{array}{rr}3&6\\2&4\end{array}\right]\)
ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
উত্তরঃ (ঘ)
৮। \(A\) ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হবে যখন-
\(i.\) \(A\) বর্গ
\(ii.\) \(A^2=A\)
\(iii.\) \(A^T=A\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(A^2=A\) হলে, এটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হতে পারে না।
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(A^T=A\) হলে, এটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হবে।
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) \(A\) বর্গ
\(ii.\) \(A^2=A\)
\(iii.\) \(A^T=A\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(A\) বর্গ ম্যাট্রিক্স হলে, এটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হবেঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(A^2=A\) হলে, এটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হতে পারে না।
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(A^T=A\) হলে, এটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হবে।
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
৯। \(\left|\begin{array}{rrr}x&y+z&1\\y&x+z&1\\z&x+y&1\end{array}\right|\) নির্ণায়কের মান কোনটি?
\(=\left|\begin{array}{rrr}x&x+y+z&1\\y&x+y+z&1\\z&x+y+z&1\end{array}\right|,\) যখন \(c_{2}^{\prime}=c_{2}+c_{1}\)
\(=(x+y+z)\left|\begin{array}{rrr}x&1&1\\y&1&1\\z&1&1\end{array}\right|\)
\(=(x+y+z).0\) (যেহেতু দুইটি কলাম অনুরূপ)
\(=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(4x^2y^2z^2\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(4xyz\)
ঘ \(0\)
\(\left|\begin{array}{rrr}x&y+z&1\\y&x+z&1\\z&x+y&1\end{array}\right|\) ঘ \(0\)
\(=\left|\begin{array}{rrr}x&x+y+z&1\\y&x+y+z&1\\z&x+y+z&1\end{array}\right|,\) যখন \(c_{2}^{\prime}=c_{2}+c_{1}\)
\(=(x+y+z)\left|\begin{array}{rrr}x&1&1\\y&1&1\\z&1&1\end{array}\right|\)
\(=(x+y+z).0\) (যেহেতু দুইটি কলাম অনুরূপ)
\(=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
১০। \(A=\left[\begin{array}{rr}3&0\\0&3\end{array}\right]\) হলে, \(A^{-1}\) নিচের কোনটি?
\(=9-0\)
\(=9\)
\(adj(A)=\left[\begin{array}{rr}3&0\\0&3\end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr}3&0\\0&3\end{array}\right]\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\)
\(=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{rr}3&0\\0&3\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{rr}\frac{3}{9}&0\\0&\frac{3}{9}\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{3}&0\\0&\frac{1}{3}\end{array}\right]\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{3}&0\\0&\frac{1}{3}\end{array}\right]\)
গ \(\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{3}&0\\0&\frac{1}{3}\end{array}\right]\)
গ \(\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{3}&0\\0&\frac{1}{3}\end{array}\right]\)
খ \(\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{3}&0\\0&-\frac{1}{3}\end{array}\right]\)
ঘ \(\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{3}&0\\0&-\frac{1}{3}\end{array}\right]\)
\(|A|=\left|\begin{array}{rr}3&0\\0&3\end{array}\right|\)ঘ \(\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{3}&0\\0&-\frac{1}{3}\end{array}\right]\)
\(=9-0\)
\(=9\)
\(adj(A)=\left[\begin{array}{rr}3&0\\0&3\end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr}3&0\\0&3\end{array}\right]\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\)
\(=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{rr}3&0\\0&3\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{rr}\frac{3}{9}&0\\0&\frac{3}{9}\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{3}&0\\0&\frac{1}{3}\end{array}\right]\)
উত্তরঃ (ক)
১১। \(\left|\begin{array}{rrr}1&2&3\\0&3&6\\1&-x&-2\end{array}\right|\) নির্ণায়কটির \((2, 3)\) তম ভুক্তির সহগুণক \(0\) হলে, \(x\) এর মান কত?
\(\Rightarrow (-1)^{5}(-x-2)=0\)
\(\Rightarrow -1(-x-2)=0\)
\(\Rightarrow x+2=0\)
\(\therefore x=-2\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-2\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(-1\)
ঘ \(2\)
\((2, 3)\) তম ভুক্তির সহগুণক, \((-1)^{2+3}\left|\begin{array}{rrr}1&2\\1&-x\end{array}\right|=0\)ঘ \(2\)
\(\Rightarrow (-1)^{5}(-x-2)=0\)
\(\Rightarrow -1(-x-2)=0\)
\(\Rightarrow x+2=0\)
\(\therefore x=-2\)
উত্তরঃ (ক)
১২। \(P=\left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\) হলে-
\(i.\) \(Det(P)=1\)
\(ii.\) \(P^T=P\)
\(iii.\) \(P=I_{3}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(=\left|\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\)
\(=1\left|\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right|\)
\(=1(1-0)\)
\(=1\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(P^T=\left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\) ( সারিগুলিকে কলামে পরিনত করা হয়েছে )
\(=P\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(P=\left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\) যা \((3\times3)\) মাত্রার একক ম্যাট্রিক্স।
\(\Rightarrow P=I_{3}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \(Det(P)=1\)
\(ii.\) \(P^T=P\)
\(iii.\) \(P=I_{3}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(Det(P)\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(=\left|\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\)
\(=1\left|\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right|\)
\(=1(1-0)\)
\(=1\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(P^T=\left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\) ( সারিগুলিকে কলামে পরিনত করা হয়েছে )
\(=P\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(P=\left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\) যা \((3\times3)\) মাত্রার একক ম্যাট্রিক্স।
\(\Rightarrow P=I_{3}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
১৩। নিচের কোনটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স?
ধরি, \(M=\left[\begin{array}{rr} 0 & a \\ -a & 0 \end{array}\right]\)
\(\Rightarrow M^T=\left[\begin{array}{rr} 0 & a \\ -a & 0 \end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr} 0 & -a \\ a & 0 \end{array}\right]\)
\(=-\left[\begin{array}{rr} 0 & a \\ -a & 0 \end{array}\right]\)
\(=-M\)
\(\therefore M^T=-M\)
\(\therefore M\) বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
উত্তরঃ (গ)
ক \(\left[\begin{array}{rr} a & 0 \\ 0 & -a \end{array}\right]\)
গ \(\left[\begin{array}{rr} 0 & a \\ -a & 0 \end{array}\right]\)
গ \(\left[\begin{array}{rr} 0 & a \\ -a & 0 \end{array}\right]\)
খ \(\left[\begin{array}{rr} a & 0 \\ -a & 0 \end{array}\right]\)
ঘ \(\left[\begin{array}{rr} 0 & -a \\ 0 & a \end{array}\right]\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স \(M\) বিপ্রতিসম হবে যদি \(M^T=-M\) হয় এবং বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের মুখ্য কর্ণের ভুক্তিগুলো শূন্য হয়।ঘ \(\left[\begin{array}{rr} 0 & -a \\ 0 & a \end{array}\right]\)
ধরি, \(M=\left[\begin{array}{rr} 0 & a \\ -a & 0 \end{array}\right]\)
\(\Rightarrow M^T=\left[\begin{array}{rr} 0 & a \\ -a & 0 \end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr} 0 & -a \\ a & 0 \end{array}\right]\)
\(=-\left[\begin{array}{rr} 0 & a \\ -a & 0 \end{array}\right]\)
\(=-M\)
\(\therefore M^T=-M\)
\(\therefore M\) বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
উত্তরঃ (গ)
১৪। \(y=-3x+7\) রেখার সাথে লম্বরেখার ঢাল কত?
এর উপর লম্বরেখার ঢাল \(=\frac{1}{3}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-3\)
গ \(\frac{1}{3}\)
গ \(\frac{1}{3}\)
খ \(-\frac{1}{3}\)
ঘ \(3\)
\(y=-3x+7\) রেখার ঢাল \(=-3\)ঘ \(3\)
এর উপর লম্বরেখার ঢাল \(=\frac{1}{3}\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৫ ও ১৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(P(x, y), \ Q(2, -2)\) এবং \(R(0, 4)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
১৫। \(P\) হতে \(QR\) এর উপর মধ্যমার দৈর্ঘ্য \(\sqrt{3}\) একক হলে মধ্যমার সঞ্চারপথের সমীকরণ নিচের কোনটি? \(P(x, y), \ Q(2, -2)\) এবং \(R(0, 4)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
ক \(x^2+y^2+2x+2y=1\)
গ \(x^2+y^2-2x-2y=1\)
গ \(x^2+y^2-2x-2y=1\)
খ \(x^2+y^2+2x-2y=1\)
ঘ \(x^2+y^2-2x+2y=1\)
\(QR\) এর মধ্যবিন্দু \(S\left(\frac{2+0}{2}, \frac{-2+4}{2}\right)\)ঘ \(x^2+y^2-2x+2y=1\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{2}{2}, \frac{2}{2}\right)\)
\(\therefore S\left(1, 1\right)\)
শর্তমতে, \(PS=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=3\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=3\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-2y+2=3\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-2y=3-2\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-2y=1\)
উত্তরঃ (গ)
১৬।
\(i.\) \(QR\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাংক \((1, 1)\)
\(ii.\) \(QR\) এর সমান্তরাল রেখার ঢাল \(3\)
\(iii.\) \(QR\) এর দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{10}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow S\left(\frac{2}{2}, \frac{2}{2}\right)\)
\(\therefore S\left(1, 1\right)\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(QR\) এর সমান্তরাল রেখার ঢাল \(=\frac{-2-4}{2-0}\)
\(=\frac{-6}{2}\)
\(=-3\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(QR=\sqrt{(2-0)^2+(-2-4)^2}\)
\(=\sqrt{(2)^2+(-6)^2}\)
\(=\sqrt{4+36}\)
\(=\sqrt{40}\)
\(=2\sqrt{10}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) \(QR\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাংক \((1, 1)\)
\(ii.\) \(QR\) এর সমান্তরাল রেখার ঢাল \(3\)
\(iii.\) \(QR\) এর দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{10}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(QR\) এর মধ্যবিন্দু \(S\left(\frac{2+0}{2}, \frac{-2+4}{2}\right)\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{2}{2}, \frac{2}{2}\right)\)
\(\therefore S\left(1, 1\right)\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(QR\) এর সমান্তরাল রেখার ঢাল \(=\frac{-2-4}{2-0}\)
\(=\frac{-6}{2}\)
\(=-3\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(QR=\sqrt{(2-0)^2+(-2-4)^2}\)
\(=\sqrt{(2)^2+(-6)^2}\)
\(=\sqrt{4+36}\)
\(=\sqrt{40}\)
\(=2\sqrt{10}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
১৭। একটি সরলরেখার ঢাল \(\frac{2}{3}\) এবং \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(-5\) হলে রেখাটির সমীকরণ-
\(y=\frac{2}{3}x+(-5),\) যেহেতু \(y=mx+c\)
\(\Rightarrow y=\frac{2}{3}x-5\)
\(\Rightarrow 3y=2x-15\)
\(\Rightarrow 2x-15=3y\)
\(\therefore 2x-3y=15\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(2x+3y=15\)
গ \(2x-3y=15\)
গ \(2x-3y=15\)
খ \(3x+2y=15\)
ঘ \(3x-2y=15\)
ঢাল \(\frac{2}{3}\) এবং \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(-5\) হলে রেখাটির সমীকরণ,ঘ \(3x-2y=15\)
\(y=\frac{2}{3}x+(-5),\) যেহেতু \(y=mx+c\)
\(\Rightarrow y=\frac{2}{3}x-5\)
\(\Rightarrow 3y=2x-15\)
\(\Rightarrow 2x-15=3y\)
\(\therefore 2x-3y=15\)
উত্তরঃ (গ)
১৮। \(3x-4y-18=0\) এবং \(-3x+4y-7=0\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব কত?
\(=\frac{|-18-7|}{\sqrt{3^2+4^2}}\)
\(=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{25}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{25}{5}\)
\(=5\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\pm5\)
গ \(\frac{11}{5}\)
গ \(\frac{11}{5}\)
খ \(\pm\frac{11}{5}\)
ঘ \(5\)
\(3x-4y-18=0\) এবং \(-3x+4y-7=0 \Rightarrow 3x-4y+7=0\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্বঘ \(5\)
\(=\frac{|-18-7|}{\sqrt{3^2+4^2}}\)
\(=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{25}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{25}{5}\)
\(=5\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৯। \((1, 2)\) ও \((3, -2)\) বিন্দুগামী রেখার অক্ষ দুইটির মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য কত?
\(\frac{x-1}{1-3}=\frac{y-2}{2+2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-2}\times-4=\frac{y-2}{4}\times-4\)
\(\Rightarrow 2x-2=-y+2\)
\(\Rightarrow 2x+y=2+2\)
\(\Rightarrow 2x+y=4\)
\(\Rightarrow \frac{2x}{4}+\frac{y}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1\)
রেখাটি অক্ষদ্বয়কে \(A(2, 0)\) ও \((0, 4)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
অক্ষ দুইটির মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=AB\)
\(=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}\)
\(=\sqrt{4+16}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=2\sqrt{5}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(2\sqrt{5}\)
গ \(5\sqrt{2}\)
গ \(5\sqrt{2}\)
খ \(3\sqrt{5}\)
ঘ \(5\sqrt{3}\)
\((1, 2)\) ও \((3, -2)\) বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ,ঘ \(5\sqrt{3}\)
\(\frac{x-1}{1-3}=\frac{y-2}{2+2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-2}\times-4=\frac{y-2}{4}\times-4\)
\(\Rightarrow 2x-2=-y+2\)
\(\Rightarrow 2x+y=2+2\)
\(\Rightarrow 2x+y=4\)
\(\Rightarrow \frac{2x}{4}+\frac{y}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1\)
রেখাটি অক্ষদ্বয়কে \(A(2, 0)\) ও \((0, 4)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
অক্ষ দুইটির মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=AB\)
\(=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}\)
\(=\sqrt{4+16}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=2\sqrt{5}\)
উত্তরঃ (ক)
২০। \(y=e^{-3x}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}=?\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(e^{-3x}\right)\)
\(=e^{-3x}\times\frac{d}{dx}(-3x)\)
\(=e^{-3x}\times-3\)
\(=-3e^{-3x}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-e^{-3x}\)
গ \(e^{-3x}\)
গ \(e^{-3x}\)
খ \(-3e^{-3x}\)
ঘ \(3e^{-3x}\)
\(y=e^{-3x}\)ঘ \(3e^{-3x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(e^{-3x}\right)\)
\(=e^{-3x}\times\frac{d}{dx}(-3x)\)
\(=e^{-3x}\times-3\)
\(=-3e^{-3x}\)
উত্তরঃ (খ)
২১। \(\cos{\sqrt{x}}\) এর অন্তরক সহগ কোনটি?
\(=\frac{d}{dx}\left(\cos{\sqrt{x}}\right)\)
\(=-\sin{\sqrt{x}}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)\)
\(=-\sin{\sqrt{x}}\times\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=-\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-\sin{\sqrt{x}}\)
গ \(\frac{\sin{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\)
গ \(\frac{\sin{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\)
খ \(-\frac{\sin{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\)
ঘ \(-\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
\(\cos{\sqrt{x}}\) এর অন্তরক সহগঘ \(-\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\cos{\sqrt{x}}\right)\)
\(=-\sin{\sqrt{x}}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)\)
\(=-\sin{\sqrt{x}}\times\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=-\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
নিচের তথ্যের আলোকে ২২ ও ২৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(f(x)=x^2-x\)
২২। ফাংশনটির কোন বিন্দুতে অংকিত স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল? \(f(x)=x^2-x\)
ক \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)\)
গ \(\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)\)
গ \(\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)\)
খ \(\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)\)
ঘ \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)\)
\(f(x)=x^2-x\)ঘ \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2x-1\)
স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হলে, \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\Rightarrow 2x-1=0\)
\(\Rightarrow 2x=1\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\)
তাহলে, \(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1-2}{4}\)
\(=-\frac{1}{4}\)
\(\therefore \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)\) বিন্দুতে।
উত্তরঃ (গ)
২৩। ফাংশনটির চরম মান কত?
এখানে, \(a=1, \ b=-1, \ c=0\)
\(f(x)=x^2-x\) এর চরম মান \(=0-\frac{(-1)^2}{4\times1},\) যেহেতু \(f(x)=ax^2+bx+c\) এর চরম মান \(=c-\frac{b^2}{4a}\)
\(=0-\frac{1}{4}\)
\(=-\frac{1}{4}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-\frac{1}{4}\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(-\frac{1}{2}\)
ঘ \(\frac{1}{2}\)
\(f(x)=x^2-x\)ঘ \(\frac{1}{2}\)
এখানে, \(a=1, \ b=-1, \ c=0\)
\(f(x)=x^2-x\) এর চরম মান \(=0-\frac{(-1)^2}{4\times1},\) যেহেতু \(f(x)=ax^2+bx+c\) এর চরম মান \(=c-\frac{b^2}{4a}\)
\(=0-\frac{1}{4}\)
\(=-\frac{1}{4}\)
উত্তরঃ (ক)
২৪। \(y=\sin{2x}\) হলে-
\(i.\) \(y_{1}=2\cos{2x}\)
\(ii.\) \(y_{2}+4y=0\)
\(iii.\) \(y_{3}-4y_{1}=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{d}{dx}(\sin{2x})\)
\(=\cos{2x}\frac{d}{dx}(2x)\)
\(=\cos{2x}\times2\)
\(=2\cos{2x}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(y_{1}=2\cos{2x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=2\frac{d}{dx}(\cos{2x})\)
\(\Rightarrow y_{2}=2\times-\sin{2x}\times2\)
\(\Rightarrow y_{2}=-4\sin{2x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=-4y\)
\(\Rightarrow y_{2}+4y=0\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(y_{2}+4y=0\)
\(\Rightarrow y_{3}+4y_{1}=0\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) \(y_{1}=2\cos{2x}\)
\(ii.\) \(y_{2}+4y=0\)
\(iii.\) \(y_{3}-4y_{1}=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(y=\sin{2x}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{d}{dx}(\sin{2x})\)
\(=\cos{2x}\frac{d}{dx}(2x)\)
\(=\cos{2x}\times2\)
\(=2\cos{2x}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(y_{1}=2\cos{2x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=2\frac{d}{dx}(\cos{2x})\)
\(\Rightarrow y_{2}=2\times-\sin{2x}\times2\)
\(\Rightarrow y_{2}=-4\sin{2x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=-4y\)
\(\Rightarrow y_{2}+4y=0\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(y_{2}+4y=0\)
\(\Rightarrow y_{3}+4y_{1}=0\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
২৫। \(\int{\frac{\tan{(\ln{x})}}{x}dx}=\) কত?
\(=\int{\tan{(\ln{x})}.\frac{1}{x}dx}\)
\(=\int{\tan{(\ln{x})}d(\ln{x})}\)
\(=\ln{\sec{(\ln{x})}}+c,\) যেহেতু \(\int{\tan{x}dx}=\ln{(\sec{x})}+c\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\ln{(\sec^2{x})}+c\)
গ \(\ln{(\sec{x})}+c\)
গ \(\ln{(\sec{x})}+c\)
খ \(\ln{\sec{(\ln{x})}}+c\)
ঘ \(\ln{(\tan^2{x})}+c\)
\(\int{\frac{\tan{(\ln{x})}}{x}dx}\)ঘ \(\ln{(\tan^2{x})}+c\)
\(=\int{\tan{(\ln{x})}.\frac{1}{x}dx}\)
\(=\int{\tan{(\ln{x})}d(\ln{x})}\)
\(=\ln{\sec{(\ln{x})}}+c,\) যেহেতু \(\int{\tan{x}dx}=\ln{(\sec{x})}+c\)
উত্তরঃ (খ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000001