শিক্ষা বোর্ড রাজশাহী - 2021
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(3x^2-9x-5=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল কত?
মূলদ্বয়ের যোগফল \(=-\frac{-9}{3}\)
\(=3\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-9\)
গ \(\frac{5}{3}\)
গ \(\frac{5}{3}\)
খ \(-\frac{5}{3}\)
ঘ \(3\)
\(3x^2-9x-5=0\) সমীকরণেরঘ \(3\)
মূলদ্বয়ের যোগফল \(=-\frac{-9}{3}\)
\(=3\)
উত্তরঃ (ঘ)
২। \(x^2+3x-4=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়-
\(i.\) সমান
\(ii.\) বাস্তব ও অসমান
\(iii.\) মূলদ
নিচের কোনটি সঠিক?
এখন, \(a=1, \ b=3, \ c=-4\)
\(D=b^2-4ac\)
\(=3^2-4.1.(-4)\)
\(=9+16\)
\(=25\)
\(=5^2\)
\(\therefore D\gt{0}\) এবং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।
সমীকরণের মূলদ্বয় অসমান।
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
যেহেতু \(D\gt{0}\) এবং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।
সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
যেহেতু \(D\gt{0}\) এবং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।
সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ।
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
\(i.\) সমান
\(ii.\) বাস্তব ও অসমান
\(iii.\) মূলদ
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2+3x-4=0\) সমীকরণের ক্ষেত্রে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখন, \(a=1, \ b=3, \ c=-4\)
\(D=b^2-4ac\)
\(=3^2-4.1.(-4)\)
\(=9+16\)
\(=25\)
\(=5^2\)
\(\therefore D\gt{0}\) এবং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।
সমীকরণের মূলদ্বয় অসমান।
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
যেহেতু \(D\gt{0}\) এবং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।
সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
যেহেতু \(D\gt{0}\) এবং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।
সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ।
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
৩। \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তের পরামিতিক স্থানাংক কোনটি?
\(x=at^2\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow y^2=4a\times{at^2}\)
\(\Rightarrow y^2=4a^2t^2\)
\(\Rightarrow y^2=(2at)^2\)
\(\therefore y=2at\)
\(\therefore\) পরামিতিক স্থানাংক \((at^2, 2at)\)
উত্তরঃ (ক)
ক \((at^2, 2at)\)
গ \((2at, at^2)\)
গ \((2at, at^2)\)
খ \((-at^2, 2at)\)
ঘ \((-2at, at^2)\)
\(y^2=4ax\) সমীকরণেঘ \((-2at, at^2)\)
\(x=at^2\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow y^2=4a\times{at^2}\)
\(\Rightarrow y^2=4a^2t^2\)
\(\Rightarrow y^2=(2at)^2\)
\(\therefore y=2at\)
\(\therefore\) পরামিতিক স্থানাংক \((at^2, 2at)\)
উত্তরঃ (ক)
৪। \(2+3i\) মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নিচের কোনটি?
\(x^2-(2+3i+2-3i)x+(2+3i)(2-3i)=0\) যেহেতু দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(2+3i\) হলে, অপরটি হয় \(2-3i\)
\(\Rightarrow x^2-4x+2^2-(3i)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4-9i^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+9=0\) যেহেতু \(i^2=-1\)
\(\therefore x^2-4x+13=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(x^2+4x+13=0\)
গ \(x^2+4x-13=0\)
গ \(x^2+4x-13=0\)
খ \(x^2-4x+13=0\)
ঘ \(x^2-4x-13=0\)
\(2+3i\) মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ,ঘ \(x^2-4x-13=0\)
\(x^2-(2+3i+2-3i)x+(2+3i)(2-3i)=0\) যেহেতু দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(2+3i\) হলে, অপরটি হয় \(2-3i\)
\(\Rightarrow x^2-4x+2^2-(3i)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4-9i^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+9=0\) যেহেতু \(i^2=-1\)
\(\therefore x^2-4x+13=0\)
উত্তরঃ (খ)
৫। \(2x^3-4x^2+6x+1=0\) সমীকরণের মূলগুলো \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে,
\(\sum{\alpha\beta}\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{-4}{2}, \ \alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{6}{2}, \ \alpha\beta\gamma=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore \alpha+\beta+\gamma=2, \ \alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=3, \ \alpha\beta\gamma=-\frac{1}{2}\)
এখন, \(\sum{\alpha\beta}\)
\(=\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma\)
\(=3\)
উত্তরঃ (খ)
\(\sum{\alpha\beta}\) এর মান কত?
ক \(2\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(3\)
ঘ \(6\)
\(2x^3-4x^2+6x+1=0\) সমীকরণের মূলগুলো \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\)ঘ \(6\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{-4}{2}, \ \alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{6}{2}, \ \alpha\beta\gamma=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore \alpha+\beta+\gamma=2, \ \alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=3, \ \alpha\beta\gamma=-\frac{1}{2}\)
এখন, \(\sum{\alpha\beta}\)
\(=\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma\)
\(=3\)
উত্তরঃ (খ)
৬। \(\sin^{-1}{x}\) এর মুখ্যমানের সীমা নিচের কোনটি?
ধরি, \(\theta=\sin^{-1}{x}\)
\(\therefore \sin{\theta}=x\)
আমরা জানি, \(-1\le{\sin{\theta}}\le{1}\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{(-1)}\le{\sin^{-1}{(\sin{\theta})}}\le{\sin^{-1}{(1)}}\)
\(\Rightarrow -\frac{\pi}{2}\le{\theta}\le{\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow -\frac{\pi}{2}\le{\sin^{-1}{x}}\le{\frac{\pi}{2}}\)
\(\therefore \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
গ \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
গ \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
খ \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)
ঘ \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)
\(\sin^{-1}{x}\)ঘ \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)
ধরি, \(\theta=\sin^{-1}{x}\)
\(\therefore \sin{\theta}=x\)
আমরা জানি, \(-1\le{\sin{\theta}}\le{1}\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{(-1)}\le{\sin^{-1}{(\sin{\theta})}}\le{\sin^{-1}{(1)}}\)
\(\Rightarrow -\frac{\pi}{2}\le{\theta}\le{\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow -\frac{\pi}{2}\le{\sin^{-1}{x}}\le{\frac{\pi}{2}}\)
\(\therefore \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
উত্তরঃ (গ)
৭। \(y=2x+c\) রেখাটি \(y^2=8x\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে \(c\) এর মান কত?
\(y=2x+c\) হতে, \(m=2\)
\(y^2=8x\) হতে, \(a=2\)
শর্তমতে, \(c=\frac{a}{m}\) যেহেতু \(y=mx+c\) রেখাটি \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত \(c=\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow c=\frac{2}{2}\)
\(\therefore c=1\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(1\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(2\)
ঘ \(8\)
\(y=2x+c\) রেখাটি \(y^2=8x\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।ঘ \(8\)
\(y=2x+c\) হতে, \(m=2\)
\(y^2=8x\) হতে, \(a=2\)
শর্তমতে, \(c=\frac{a}{m}\) যেহেতু \(y=mx+c\) রেখাটি \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত \(c=\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow c=\frac{2}{2}\)
\(\therefore c=1\)
উত্তরঃ (ক)
নিচের তথ্যের আলোকে ৮ ও ৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(y^2+2x-2=0\) একটি কণিক।
৮। শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক কোনটি?\(y^2+2x-2=0\) একটি কণিক।
ক \((-1, 0)\)
গ \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\)
গ \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\)
খ \(\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\)
ঘ \((1, 0)\)
\(y^2+2x-2=0\)ঘ \((1, 0)\)
\(\Rightarrow y^2=-2x+2\)
\(\therefore (y-0)^2=-2(x-1)\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক \((1, 0)\) যেহেতু \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\) এর শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক \((\alpha, \beta)\)
উত্তরঃ (ঘ)
৯। নিয়ামক রেখার সমীকরণ কোনটি?
\(\Rightarrow y^2=-2x+2\)
\(\Rightarrow (y-0)^2=-2(x-1)\)
\(\Rightarrow 4a=-2\)
\(\Rightarrow a=-\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=-\frac{1}{2}\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x-1=-a\) যেহেতু \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\) এর নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x-\alpha=-a\)
\(\Rightarrow x-1=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2x-2=1\)
\(\Rightarrow 2x-2-1=0\)
\(\therefore 2x-3=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2x-1=0\)
গ \(2x+1=0\)
গ \(2x+1=0\)
খ \(2x-3=0\)
ঘ \(2x+3=0\)
\(y^2+2x-2=0\)ঘ \(2x+3=0\)
\(\Rightarrow y^2=-2x+2\)
\(\Rightarrow (y-0)^2=-2(x-1)\)
\(\Rightarrow 4a=-2\)
\(\Rightarrow a=-\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=-\frac{1}{2}\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x-1=-a\) যেহেতু \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\) এর নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x-\alpha=-a\)
\(\Rightarrow x-1=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2x-2=1\)
\(\Rightarrow 2x-2-1=0\)
\(\therefore 2x-3=0\)
উত্তরঃ (খ)
১০। \(2x^2+3y^2=6\) কণিকের-
\(i.\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{3}\) একক
\(ii.\) ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{2}\) একক
\(iii.\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\sqrt{3}\) একক
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow \frac{2x^2}{6}+\frac{3y^2}{6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{(\sqrt{3})^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{2})^2}=1\)
এখানে, \(a=\sqrt{3}, \ b=\sqrt{2}, \ a\gt{b}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য, \(2a=2\sqrt{3}\) একক
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য, \(2b=2\sqrt{2}\) একক
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\left|\frac{2b^2}{a}\right|\)
\(=\left|\frac{2\times2}{\sqrt{3}}\right|\)
\(=\left|\frac{4}{\sqrt{3}}\right|\)
\(=\frac{4}{\sqrt{3}}\) একক
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{3}\) একক
\(ii.\) ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{2}\) একক
\(iii.\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\sqrt{3}\) একক
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(2x^2+3y^2=6\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \frac{2x^2}{6}+\frac{3y^2}{6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{(\sqrt{3})^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{2})^2}=1\)
এখানে, \(a=\sqrt{3}, \ b=\sqrt{2}, \ a\gt{b}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য, \(2a=2\sqrt{3}\) একক
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য, \(2b=2\sqrt{2}\) একক
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\left|\frac{2b^2}{a}\right|\)
\(=\left|\frac{2\times2}{\sqrt{3}}\right|\)
\(=\left|\frac{4}{\sqrt{3}}\right|\)
\(=\frac{4}{\sqrt{3}}\) একক
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
১১। \(2x^2+3y^2-4x-12y+8=0\) সমীকরণটি-
\(\Rightarrow 2x^2-4x+3y^2-12y+8=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-2x)+3(y^2-4y)+8=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-2x+1-1)+3(y^2-4y+4-4)+8=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-2x+1)-2+3(y^2-4y+4)-12+8=0\)
\(\Rightarrow 2(x-1)^2+3(y-2)^2-6=0\)
\(\Rightarrow 2(x-1)^2+3(y-2)^2=6\)
\(\Rightarrow \frac{2(x-1)^2}{6}+\frac{3(y-2)^2}{6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{3}+\frac{(y-2)^2}{2}=1\)
\(\therefore \frac{(x-1)^2}{(\sqrt{3})^2}+\frac{(y-2)^2}{(\sqrt{2})^2}=1\) যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
উত্তরঃ (ঘ)
ক বৃত্তের
গ অধিবৃত্তের
গ অধিবৃত্তের
খ পরাবৃত্তের
ঘ উপবৃত্তের
\(2x^2+3y^2-4x-12y+8=0\)ঘ উপবৃত্তের
\(\Rightarrow 2x^2-4x+3y^2-12y+8=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-2x)+3(y^2-4y)+8=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-2x+1-1)+3(y^2-4y+4-4)+8=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-2x+1)-2+3(y^2-4y+4)-12+8=0\)
\(\Rightarrow 2(x-1)^2+3(y-2)^2-6=0\)
\(\Rightarrow 2(x-1)^2+3(y-2)^2=6\)
\(\Rightarrow \frac{2(x-1)^2}{6}+\frac{3(y-2)^2}{6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{3}+\frac{(y-2)^2}{2}=1\)
\(\therefore \frac{(x-1)^2}{(\sqrt{3})^2}+\frac{(y-2)^2}{(\sqrt{2})^2}=1\) যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
উত্তরঃ (ঘ)
১২। একটি কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) কণিকটি একটি-
\(\therefore\) কণিকটি একটি অধিবৃত্ত।
উত্তরঃ (গ)
ক বৃত্ত
গ অধিবৃত্ত
গ অধিবৃত্ত
খ উপবৃত্ত
ঘ পরাবৃত্ত
একটি কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) যা \(1\) অপেক্ষা বৃহত্তর।ঘ পরাবৃত্ত
\(\therefore\) কণিকটি একটি অধিবৃত্ত।
উত্তরঃ (গ)
১৩। \(\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{3}=1\) কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা নিচের কোনটি?
\(\therefore \frac{y^2}{(\sqrt{2})^2}-\frac{x^2}{(\sqrt{3})^2}=1\)
এখানে, \(a=\sqrt{3}, \ b=\sqrt{2}\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2+3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{2}}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\sqrt{\frac{5}{2}}\)
গ \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)
গ \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)
খ \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
ঘ \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{3}=1\)ঘ \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(\therefore \frac{y^2}{(\sqrt{2})^2}-\frac{x^2}{(\sqrt{3})^2}=1\)
এখানে, \(a=\sqrt{3}, \ b=\sqrt{2}\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2+3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{2}}\)
উত্তরঃ (ক)
১৪। নিচের কোনটি সঠিক?
এখানে, ভূমি \(=4,\) অতিভুজ \(=5\)
লম্ব \(=\sqrt{(\text{অতিভুজ})^2-(\text{ভূমি})^2}\)
\(=\sqrt{5^2-4^2}\)
\(=\sqrt{25-16}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\(\therefore \cos^{-1}{\frac{4}{5}}=\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\cos^{-1}{\frac{4}{5}}=\tan^{-1}{\frac{5}{4}}\)
গ \(\cos^{-1}{\frac{4}{5}}= cosec^{-1}{\frac{3}{5}}\)
গ \(\cos^{-1}{\frac{4}{5}}= cosec^{-1}{\frac{3}{5}}\)
খ \(\cos^{-1}{\frac{4}{5}}=\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\)
ঘ \(\cos^{-1}{\frac{4}{5}}=\tan^{-1}{\frac{4}{3}}\)
\(\cos^{-1}{\frac{4}{5}}\)ঘ \(\cos^{-1}{\frac{4}{5}}=\tan^{-1}{\frac{4}{3}}\)
এখানে, ভূমি \(=4,\) অতিভুজ \(=5\)
লম্ব \(=\sqrt{(\text{অতিভুজ})^2-(\text{ভূমি})^2}\)
\(=\sqrt{5^2-4^2}\)
\(=\sqrt{25-16}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\(\therefore \cos^{-1}{\frac{4}{5}}=\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\)
উত্তরঃ (খ)
১৫। \(\tan^2{\left(\cos^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}\) এর মান কত?
এখানে, ভূমি \(=\sqrt{3},\) অতিভুজ \(=2\)
লম্ব \(=\sqrt{(\text{অতিভুজ})^2-(\text{ভূমি})^2}\)
\(=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}\)
\(=\sqrt{4-3}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
\(=\tan^2{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\)
\(=\left\{\tan{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\right\}^2\)
\(=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\)
\(=\frac{1}{3}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
খ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
ঘ \(\frac{1}{3}\)
\(\tan^2{\left(\cos^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}\)ঘ \(\frac{1}{3}\)
এখানে, ভূমি \(=\sqrt{3},\) অতিভুজ \(=2\)
লম্ব \(=\sqrt{(\text{অতিভুজ})^2-(\text{ভূমি})^2}\)
\(=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}\)
\(=\sqrt{4-3}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
\(=\tan^2{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\)
\(=\left\{\tan{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\right\}^2\)
\(=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\)
\(=\frac{1}{3}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৬।
\(i.\) \(\tan^{-1}{x}+\cot^{-1}{x}=\pi\)
\(ii.\) \(\tan^{-1}{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}=\sec^{-1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
\(iii.\) \(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\cos^{-1}{\left\{xy-\sqrt{(1-y^2)(1-x^2)}\right\}}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(\tan^{-1}{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}\)
এখানে, লম্ব \(=x,\) ভূমি \(=\sqrt{1-x^2}\)
অতিভুজ \(=\sqrt{(\text{লম্ব})^2+(\text{ভূমি})^2}\)
\(=\sqrt{x^2+(\sqrt{1-x^2})^2}\)
\(=\sqrt{x^2+1-x^2}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
\(\therefore \tan^{-1}{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}=\sec^{-1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\cos^{-1}{\left\{xy-\sqrt{(1-y^2)(1-x^2)}\right\}}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
\(i.\) \(\tan^{-1}{x}+\cot^{-1}{x}=\pi\)
\(ii.\) \(\tan^{-1}{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}=\sec^{-1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
\(iii.\) \(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\cos^{-1}{\left\{xy-\sqrt{(1-y^2)(1-x^2)}\right\}}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\tan^{-1}{x}+\cot^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(\tan^{-1}{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}\)
এখানে, লম্ব \(=x,\) ভূমি \(=\sqrt{1-x^2}\)
অতিভুজ \(=\sqrt{(\text{লম্ব})^2+(\text{ভূমি})^2}\)
\(=\sqrt{x^2+(\sqrt{1-x^2})^2}\)
\(=\sqrt{x^2+1-x^2}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
\(\therefore \tan^{-1}{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}=\sec^{-1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\cos^{-1}{\left\{xy-\sqrt{(1-y^2)(1-x^2)}\right\}}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
১৭। \(\sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) হলে, \(\theta=\) কত?
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\frac{\pi}{3}}\)
\(\therefore \theta=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
খ \(2n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
ঘ \(2n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)ঘ \(2n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\frac{\pi}{3}}\)
\(\therefore \theta=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (গ)
১৮। \(\cos{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) হলে, \(\theta=\) কত?
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{\pi}{4}}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2n\pi+\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(2n\pi-\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(2n\pi-\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
খ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
ঘ \(n\pi\pm\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\cos{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)ঘ \(n\pi\pm\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{\pi}{4}}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (খ)
১৯। \(a\) এর কোন মানের জন্য \(ax^2-x+4=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে?
এখানে, \(b=-1, \ c=4\)
\(\therefore D=b^2-4ac\)
\(=(-1)^2-4.a.4\)
\(=1-16a\)
শর্তমতে, \(D=0,\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে যদি \(D=0\) হয়
\(\Rightarrow 1-16a=0\)
\(\Rightarrow -16a=-1\)
\(\therefore a=\frac{1}{16}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{1}{16}\)
গ \(\frac{1}{4}\)
গ \(\frac{1}{4}\)
খ \(-\frac{1}{16}\)
ঘ \(-\frac{1}{4}\)
\(ax^2-x+4=0\)ঘ \(-\frac{1}{4}\)
এখানে, \(b=-1, \ c=4\)
\(\therefore D=b^2-4ac\)
\(=(-1)^2-4.a.4\)
\(=1-16a\)
শর্তমতে, \(D=0,\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে যদি \(D=0\) হয়
\(\Rightarrow 1-16a=0\)
\(\Rightarrow -16a=-1\)
\(\therefore a=\frac{1}{16}\)
উত্তরঃ (ক)
নিচের তথ্যের আলোকে ২০ ও ২১ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(P\) ও \(Q\) দুইটি বল।
২০। ক্ষুদ্রতম লব্ধির ক্ষেত্রে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?\(P\) ও \(Q\) দুইটি বল।
ক \(0^{o}\)
গ \(120^{o}\)
গ \(120^{o}\)
খ \(90^{o}\)
ঘ \(180^{o}\)
ক্ষুদ্রতম লব্ধি \((P-Q)\) এর জন্য মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\) হলে,ঘ \(180^{o}\)
\(P^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}=(P-Q)^2\)
\(\Rightarrow P^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}=P^2+Q^2-2PQ\)
\(\Rightarrow 2PQ\cos{\alpha}=-2PQ\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{180^{o}}\)
\(\therefore \alpha=180^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২১। বলদ্বয়ের বৃহত্তম লব্ধি কত?
বৃহত্তম লব্ধি \(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{0^{o}}}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ}\)
\(=\sqrt{(P+Q)^2}\)
\(=P+Q\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(P^{2}+Q^{2}\)
গ \(P-Q\)
গ \(P-Q\)
খ \(\sqrt{P^{2}+Q^{2}}\)
ঘ \(P+Q\)
বলদ্বয়ের লব্ধি বৃহত্তম হবে যদি মধ্যবর্তী কোণ \(0^{o}\) হয়,ঘ \(P+Q\)
বৃহত্তম লব্ধি \(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{0^{o}}}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ}\)
\(=\sqrt{(P+Q)^2}\)
\(=P+Q\)
উত্তরঃ (ঘ)
২২।
লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \(B\) হতে কত মিটার দূরত্বে অবস্থিত?
\(\therefore AC.6=BC.4\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{4}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{AC+BC}{BC}=\frac{4+6}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{10}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{10}{BC}=\frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{BC}=\frac{1}{3}\)
\(\therefore BC=6\) মিটার
উত্তরঃ (গ)
লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \(B\) হতে কত মিটার দূরত্বে অবস্থিত?
ক \(2\)
গ \(6\)
গ \(6\)
খ \(4\)
ঘ \(8\)
ধরি, লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \(C\)ঘ \(8\)
\(\therefore AC.6=BC.4\)\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{4}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{AC+BC}{BC}=\frac{4+6}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{10}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{10}{BC}=\frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{BC}=\frac{1}{3}\)
\(\therefore BC=6\) মিটার
উত্তরঃ (গ)
২৩। \(x^2-2x-3=0\) সমীকরণের একটি মূল \(3\) অপর মূল কোনটি?
ধরি, অপর মূলটি \(a\)
তাহলে, মূলদ্বয়ের যোগফল \(a+3=-\frac{-2}{1},\) যেহেতু \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল \(=-\frac{b}{a}\)
\(\Rightarrow a+3=2\)
\(\Rightarrow a=2-3\)
\(\therefore a=-1\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-1\)
গ \(-3\)
গ \(-3\)
খ \(-2\)
ঘ \(-5\)
\(x^2-2x-3=0\) সমীকরণের একটি মূল \(3\)ঘ \(-5\)
ধরি, অপর মূলটি \(a\)
তাহলে, মূলদ্বয়ের যোগফল \(a+3=-\frac{-2}{1},\) যেহেতু \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল \(=-\frac{b}{a}\)
\(\Rightarrow a+3=2\)
\(\Rightarrow a=2-3\)
\(\therefore a=-1\)
উত্তরঃ (ক)
২৪। এক বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি সমান বল সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করলে, এদের মধ্যবর্তী কোণ কোনটি?
ধরি, প্রত্যেকটি বলের মান \(P\) এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)
এক্ষেত্রে, প্রত্যেকটি বল অপর বলদ্বয়ের লব্দির সমান হবে।
তাহলে, \(p^2+P^2+2P.P\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2+2P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2(1+\cos{\alpha})=P^2\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=\frac{P^2}{2P^2}\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1}{2}-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1-2}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(180^{o}\)
গ \(90^{o}\)
গ \(90^{o}\)
খ \(120^{o}\)
ঘ \(60^{o}\)
এক বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি সমান বল সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে।ঘ \(60^{o}\)
ধরি, প্রত্যেকটি বলের মান \(P\) এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)
এক্ষেত্রে, প্রত্যেকটি বল অপর বলদ্বয়ের লব্দির সমান হবে।
তাহলে, \(p^2+P^2+2P.P\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2+2P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2(1+\cos{\alpha})=P^2\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=\frac{P^2}{2P^2}\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1}{2}-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1-2}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ (খ)
২৫।
বৃহত্তম বল থেকে লব্ধির প্রয়োগবিন্দু কত দূরে অবস্থিত?
\(\therefore AC.7=BC.5\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{5}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC-AC}=\frac{5}{7-5}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{24}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{5\times24}{2}\)
\(\therefore AC=60\) সেমি.
উত্তরঃ (গ)
বৃহত্তম বল থেকে লব্ধির প্রয়োগবিন্দু কত দূরে অবস্থিত?
ক \(5\) সেমি.
গ \(60\) সেমি.
গ \(60\) সেমি.
খ \(7\) সেমি.
ঘ \(84\) সেমি.
ধরি, লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \(C\)ঘ \(84\) সেমি.
\(\therefore AC.7=BC.5\)\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{5}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC-AC}=\frac{5}{7-5}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{24}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{5\times24}{2}\)
\(\therefore AC=60\) সেমি.
উত্তরঃ (গ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000003