শিক্ষা বোর্ড যশোর - 2021
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(k\) এর মান কত হলে, \(kx^2+4x+4=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবে?
যদি নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\lt{0}\) যেখানে, \(a=k, \ b=4, \ c=4\)
\(\Rightarrow 4^2-4.k.4\lt{0}\)
\(\Rightarrow 16-16k\lt{0}\)
\(\Rightarrow 16(1-k)\lt{0}\)
\(\Rightarrow 1-k\lt{0}\)
\(\Rightarrow 1\lt{k}\)
\(\therefore k\gt{1}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(k\gt{4}\)
গ \(k\gt{1}\)
গ \(k\gt{1}\)
খ \(k\lt{4}\)
ঘ \(k\gt{16}\)
\(kx^2+4x+4=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবেঘ \(k\gt{16}\)
যদি নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\lt{0}\) যেখানে, \(a=k, \ b=4, \ c=4\)
\(\Rightarrow 4^2-4.k.4\lt{0}\)
\(\Rightarrow 16-16k\lt{0}\)
\(\Rightarrow 16(1-k)\lt{0}\)
\(\Rightarrow 1-k\lt{0}\)
\(\Rightarrow 1\lt{k}\)
\(\therefore k\gt{1}\)
উত্তরঃ (গ)
২। কী শর্তে \(x^3+px^2+qx-r=0\) সমীকরণের দুইটি মূলের সমষ্টি শূন্য হবে?
\(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) যেখানে, \(\alpha+\beta=0\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{p}{1}\)
\(\Rightarrow 0+\gamma=-p\)
\(\Rightarrow \gamma=-p\)
\(\therefore x=-p\) যেহেতু \(\gamma\) একটি মূল
\(\gamma=-p\) সমীকরণটিতে বসিয়ে,
\((-p)^3+p(-p)^2+q(-p)-r=0\)
\(\Rightarrow -p^3+p^3-pq-r=0\)
\(\Rightarrow -pq-r=0\)
\(\Rightarrow -(pq+r)=0\)
\(\therefore pq+r=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(pr=q\)
গ \(qr=p\)
গ \(qr=p\)
খ \(pq+r=0\)
ঘ \(r=p\)
ধরি, \(x^3+px^2+qx-r=0\) সমীকরণের মূলগুলি,ঘ \(r=p\)
\(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) যেখানে, \(\alpha+\beta=0\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{p}{1}\)
\(\Rightarrow 0+\gamma=-p\)
\(\Rightarrow \gamma=-p\)
\(\therefore x=-p\) যেহেতু \(\gamma\) একটি মূল
\(\gamma=-p\) সমীকরণটিতে বসিয়ে,
\((-p)^3+p(-p)^2+q(-p)-r=0\)
\(\Rightarrow -p^3+p^3-pq-r=0\)
\(\Rightarrow -pq-r=0\)
\(\Rightarrow -(pq+r)=0\)
\(\therefore pq+r=0\)
উত্তরঃ (খ)
৩। \(x^2-5x+6=0\) এবং \(x^2+x-12=0\) সমীকরণদ্বয়ের-
\(i.\) প্রতিটির মূলদ্বয় মূলদ
\(ii.\) সাধারণ মূল \(3\)
\(iii.\) প্রথম সমীকরণের মূলদ্বয়ের সমষ্টি \(5\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(D=b^2-4ac=(-5)^2-4.1.6\) যেখানে, \(a=1, \ b=-5, \ c=6\)
\(=25-24\)
\(=1\gt{0}\)
\(x^2+x-12=0\) এর ক্ষেত্রে,
\(D=b^2-4ac=(1)^2-4.1.(-12)\) যেখানে, \(a=1, \ b=1, \ c=-12\)
\(=1+48\)
\(=49\gt{0}\)
\(\therefore\) প্রতিটির মূলদ্বয় মূলদ
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(x=3\) হলে,
\(3^2-5\times3+6=0\) এবং \(3^2+3-12=0\)
\(\Rightarrow 9-15+6=0\) এবং \(9+3-12=0\)
\(\Rightarrow 15-15=0\) এবং \(12-12=0\)
\(\Rightarrow 0=0\) এবং \(0=0\)
\(\therefore\) উভয় সমীকরণ সিদ্ধ হয়।
\(\therefore\) সাধারণ মূল \(3\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(x^2-5x+6=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের সমষ্টি,
\(=-\frac{-5}{1}=5\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) প্রতিটির মূলদ্বয় মূলদ
\(ii.\) সাধারণ মূল \(3\)
\(iii.\) প্রথম সমীকরণের মূলদ্বয়ের সমষ্টি \(5\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2-5x+6=0\) এর ক্ষেত্রে,ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(D=b^2-4ac=(-5)^2-4.1.6\) যেখানে, \(a=1, \ b=-5, \ c=6\)
\(=25-24\)
\(=1\gt{0}\)
\(x^2+x-12=0\) এর ক্ষেত্রে,
\(D=b^2-4ac=(1)^2-4.1.(-12)\) যেখানে, \(a=1, \ b=1, \ c=-12\)
\(=1+48\)
\(=49\gt{0}\)
\(\therefore\) প্রতিটির মূলদ্বয় মূলদ
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(x=3\) হলে,
\(3^2-5\times3+6=0\) এবং \(3^2+3-12=0\)
\(\Rightarrow 9-15+6=0\) এবং \(9+3-12=0\)
\(\Rightarrow 15-15=0\) এবং \(12-12=0\)
\(\Rightarrow 0=0\) এবং \(0=0\)
\(\therefore\) উভয় সমীকরণ সিদ্ধ হয়।
\(\therefore\) সাধারণ মূল \(3\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(x^2-5x+6=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের সমষ্টি,
\(=-\frac{-5}{1}=5\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৪ ও ৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^2+x+1=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha^{-1}\) ও \(\beta^{-1}\) হলে-
৪। \((\alpha-\beta)\) এর মান কত? \(x^2+x+1=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha^{-1}\) ও \(\beta^{-1}\) হলে-
ক \(1\)
গ \(-1\)
গ \(-1\)
খ \(\pm\sqrt{3}i\)
ঘ \(1+3i\)
\(x^2+x+1=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha^{-1}\) ও \(\beta^{-1}\)ঘ \(1+3i\)
\(\Rightarrow \alpha^{-1}+\beta^{-1}=-\frac{1}{1}, \ \alpha^{-1}\beta^{-1}=\frac{1}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-1, \ \frac{1}{\alpha\beta}=1\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=-1, \ \alpha\beta=1\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+\beta}{1}=-1, \ \alpha\beta=1\)
\(\therefore \alpha+\beta=-1, \ \alpha\beta=1\)
এখন, \(\alpha-\beta=\pm\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\)
\(=\pm\sqrt{(-1)^2-4\times1}\)
\(=\pm\sqrt{1-4}\)
\(=\pm\sqrt{-3}\)
\(=\pm\sqrt{3}i\)
উত্তরঃ (খ)
৫। \(\alpha\) এর মান কত?
এবং \(\alpha-\beta=\pm\sqrt{3}i\)
সমীকরণদ্বয় যোগ করে, \(\alpha+\beta+\alpha-\beta=-1\pm\sqrt{3}i\)
\(\Rightarrow 2\alpha=-1\pm\sqrt{3}i\)
\(\therefore \alpha=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(1-i\)
গ \(-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
গ \(-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
খ \(1+i\)
ঘ \(\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}i\)
'৪' হতে, \(\alpha+\beta=-1\)ঘ \(\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}i\)
এবং \(\alpha-\beta=\pm\sqrt{3}i\)
সমীকরণদ্বয় যোগ করে, \(\alpha+\beta+\alpha-\beta=-1\pm\sqrt{3}i\)
\(\Rightarrow 2\alpha=-1\pm\sqrt{3}i\)
\(\therefore \alpha=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
উত্তরঃ (গ)
৬। \(x\) এর মান বাস্তব হলে, \(-4x^2+4ax+b^2\) এর সর্বোচ্চ মান-
\(=-(4x^2-4ax-b^2)\)
\(=-(4x^2-4ax+a^2-a^2-b^2)\)
\(=-(4x^2-4ax+a^2)+a^2+b^2\)
\(=-(2x-a)^2+a^2+b^2\)
\(\therefore\) সর্বোচ্চ মান \(a^2+b^2\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(a^2+b^2\)
গ \(a^2-b^2\)
গ \(a^2-b^2\)
খ \(a+b\)
ঘ \(a-b\)
প্রদত্ত রাশি, \(-4x^2+4ax+b^2\)ঘ \(a-b\)
\(=-(4x^2-4ax-b^2)\)
\(=-(4x^2-4ax+a^2-a^2-b^2)\)
\(=-(4x^2-4ax+a^2)+a^2+b^2\)
\(=-(2x-a)^2+a^2+b^2\)
\(\therefore\) সর্বোচ্চ মান \(a^2+b^2\)
উত্তরঃ (ক)
৭। \(7x^2+7y^2-2xy-30x+50y+103=0\) সমীকরণটি নিচের কোনটি বোঝায়?
আবার, \(xy\) সম্বলিত পদও বিদ্যমান।
\(\therefore \) ইহা উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
উত্তরঃ (খ)
ক বৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
খ উপবৃত্ত
ঘ অধিবৃত্ত
যেহেতু সমীকরণটিতে \(x^2\) ও \(y^2\) উভয়ই বিদ্যমান এবং একই চিহ্ন বিশিষ্ট।ঘ অধিবৃত্ত
আবার, \(xy\) সম্বলিত পদও বিদ্যমান।
\(\therefore \) ইহা উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
উত্তরঃ (খ)
৮। \(x^2-4y^2-2x=3\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা কত?
\(\Rightarrow x^2-2x+1-4y^2=3+1\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-4y^2=4\)
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{4}-\frac{4y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1\)
এখানে, \(a^2=4, \ b^2=1\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4+1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
গ \(2\sqrt{5}\)
গ \(2\sqrt{5}\)
খ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ঘ \(2\sqrt{3}\)
\(x^2-4y^2-2x=3\)ঘ \(2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1-4y^2=3+1\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-4y^2=4\)
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{4}-\frac{4y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1\)
এখানে, \(a^2=4, \ b^2=1\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4+1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
উত্তরঃ (ক)
৯। \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ-
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=4, \ b=3\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm\frac{b}{a}x\)
\(\therefore y=\pm\frac{3}{4}x\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=0\)
গ \(y=\pm\frac{3}{4}x\)
গ \(y=\pm\frac{3}{4}x\)
খ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=0\)
ঘ \(x=\pm\frac{5}{4}y\)
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)ঘ \(x=\pm\frac{5}{4}y\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=4, \ b=3\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm\frac{b}{a}x\)
\(\therefore y=\pm\frac{3}{4}x\)
উত্তরঃ (গ)
১০। \(y^2=14x\) পরাবৃত্ত হলে, \(P(2, 2\sqrt{7})\) বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব কত?
এখানে, \(4a=14\)
\(\Rightarrow a=\frac{14}{4}\)
\(\therefore a=\frac{7}{2}\)
\(P(2, 2\sqrt{7})\) বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব,
\(=a+|2|\)
\(=\frac{7}{2}+2\)
\(=\frac{7+4}{2}\)
\(=\frac{11}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{7}{2}\)
গ \(\frac{11}{2}\)
গ \(\frac{11}{2}\)
খ \(\frac{15}{2}\)
ঘ \(\frac{3}{2}\)
\(y^2=14x\)ঘ \(\frac{3}{2}\)
এখানে, \(4a=14\)
\(\Rightarrow a=\frac{14}{4}\)
\(\therefore a=\frac{7}{2}\)
\(P(2, 2\sqrt{7})\) বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব,
\(=a+|2|\)
\(=\frac{7}{2}+2\)
\(=\frac{7+4}{2}\)
\(=\frac{11}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
১১। \(x^2=4-4y^2\) উপবৃত্তের-
\(i.\) পরামিতিক স্থানাংক \((2\cos{\theta}, \sin{\theta})\)
\(ii.\) ক্ষুদ্রাক্ষ \(x\) অক্ষ বরাবর
\(iii.\) ফোকাসদ্বয়ের দূরত্ব \(2\sqrt{3}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow x^2+4y^2=4\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{4y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(2\cos{\theta})^2}{4}+\frac{\sin^2{\theta}}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4\cos^2{\theta}}{4}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow 1=1\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(x^2=4-4y^2\)
\(\Rightarrow x^2+4y^2=4\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{4y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1\)
এখানে, \(a=2, \ b=1; \ a\gt{b}\)
\(\therefore\) ক্ষুদ্রাক্ষ \(y\) অক্ষ বরাবর
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
এখানে, \(a=2, \ b=1; \ a\gt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1^2}{2^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ফোকাসদ্বয়ের দূরত্ব \(=\left|2ae\right|\)
\(=\left|2\times2\times\frac{\sqrt{3}}{2}\right|\)
\(=2\sqrt{3}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) পরামিতিক স্থানাংক \((2\cos{\theta}, \sin{\theta})\)
\(ii.\) ক্ষুদ্রাক্ষ \(x\) অক্ষ বরাবর
\(iii.\) ফোকাসদ্বয়ের দূরত্ব \(2\sqrt{3}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2=4-4y^2\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow x^2+4y^2=4\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{4y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(2\cos{\theta})^2}{4}+\frac{\sin^2{\theta}}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4\cos^2{\theta}}{4}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow 1=1\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(x^2=4-4y^2\)
\(\Rightarrow x^2+4y^2=4\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{4y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1\)
এখানে, \(a=2, \ b=1; \ a\gt{b}\)
\(\therefore\) ক্ষুদ্রাক্ষ \(y\) অক্ষ বরাবর
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
এখানে, \(a=2, \ b=1; \ a\gt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1^2}{2^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ফোকাসদ্বয়ের দূরত্ব \(=\left|2ae\right|\)
\(=\left|2\times2\times\frac{\sqrt{3}}{2}\right|\)
\(=2\sqrt{3}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১২ ও ১৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
১২। পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ-
ক \(y=3\)
গ \(y=-3\)
গ \(y=-3\)
খ \(x+2=0\)
ঘ \(x-2=0\)
চিত্রে দেওয়া আছে,ঘ \(x-2=0\)
পরাবৃত্তের অক্ষ \(Z(-2, 3)\) ও \(A(0, 3)\) বিন্দুগামী।
অক্ষের ঢাল, \(=\frac{3-3}{-2-0}\)
\(=\frac{0}{-2}\)
\(=0\)
দিকাক্ষের ঢাল, \(=-\frac{1}{0}\)
\(Z(-2, 3)\) বিন্দুগামী এবং \(-\frac{1}{0}\) ঢাল বিশিষ্ট রেখার সমীকরণ,
\(y-3=-\frac{1}{0}(x+2)\)
\(\Rightarrow y-3=-\frac{x+2}{0}\)
\(\therefore x+2=0\)
উত্তরঃ (খ)
১৩। পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ-
\(A\left(\frac{a-2}{2}, \frac{b+3}{2}\right)\)
\(A\left(\frac{a-2}{2}, \frac{b+3}{2}\right) \Rightarrow A(0, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{a-2}{2}=0, \ \frac{b+3}{2}=3\)
\(\Rightarrow a-2=0, \ b+3=6\)
\(\Rightarrow a=2, \ b=6-3\)
\(\Rightarrow a=2, \ b=3\)
\(\therefore S(2, 3)\)
দিকাক্ষ \(x+2=0\) এর সমান্তরাল এবং \(S(2, 3)\) বিন্দুগামী, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=2\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(x=4\)
গ \(x=8\)
গ \(x=8\)
খ \(x=-2\)
ঘ \(x=2\)
ধরি, \(S(a, b)\)ঘ \(x=2\)
\(A\left(\frac{a-2}{2}, \frac{b+3}{2}\right)\)
\(A\left(\frac{a-2}{2}, \frac{b+3}{2}\right) \Rightarrow A(0, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{a-2}{2}=0, \ \frac{b+3}{2}=3\)
\(\Rightarrow a-2=0, \ b+3=6\)
\(\Rightarrow a=2, \ b=6-3\)
\(\Rightarrow a=2, \ b=3\)
\(\therefore S(2, 3)\)
দিকাক্ষ \(x+2=0\) এর সমান্তরাল এবং \(S(2, 3)\) বিন্দুগামী, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=2\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৪। \(\sin{x}=\cos{x}\) হয় তবে \(x\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \frac{\sin{x}}{\cos{x}}=1\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\tan{\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(\Rightarrow x=\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4\pi+\pi}{4}\)
\(\therefore x=\frac{5\pi}{4}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{\pi}{3}\)
গ \(\frac{5\pi}{6}\)
গ \(\frac{5\pi}{6}\)
খ \(\frac{5\pi}{4}\)
ঘ \(\frac{\pi}{2}\)
\(\sin{x}=\cos{x}\)ঘ \(\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{x}}{\cos{x}}=1\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\tan{\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(\Rightarrow x=\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4\pi+\pi}{4}\)
\(\therefore x=\frac{5\pi}{4}\)
উত্তরঃ (খ)
১৫। \(\sin^{-1}{\frac{2}{5}}+\sin^{-1}{\frac{\sqrt{21}}{5}}\) এর মান কত?
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{2}{5}\sqrt{1-\frac{21}{25}}+\frac{\sqrt{21}}{5}\sqrt{1-\frac{4}{25}}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{2}{5}\sqrt{\frac{25-21}{25}}+\frac{\sqrt{21}}{5}\sqrt{\frac{25-4}{25}}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{2}{5}\sqrt{\frac{4}{25}}+\frac{\sqrt{21}}{5}\sqrt{\frac{21}{25}}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{2}{5}\times\frac{2}{5}+\frac{\sqrt{21}}{5}\times\frac{\sqrt{21}}{5}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{4}{25}+\frac{21}{25}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{4+21}{25}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{25}{25}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{1}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\pi\)
গ \(2\pi\)
গ \(2\pi\)
খ \(\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(\frac{\pi}{4}\)
\(\sin^{-1}{\frac{2}{5}}+\sin^{-1}{\frac{\sqrt{21}}{5}}\)ঘ \(\frac{\pi}{4}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{2}{5}\sqrt{1-\frac{21}{25}}+\frac{\sqrt{21}}{5}\sqrt{1-\frac{4}{25}}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{2}{5}\sqrt{\frac{25-21}{25}}+\frac{\sqrt{21}}{5}\sqrt{\frac{25-4}{25}}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{2}{5}\sqrt{\frac{4}{25}}+\frac{\sqrt{21}}{5}\sqrt{\frac{21}{25}}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{2}{5}\times\frac{2}{5}+\frac{\sqrt{21}}{5}\times\frac{\sqrt{21}}{5}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{4}{25}+\frac{21}{25}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{4+21}{25}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{25}{25}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{1}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
১৬। \(3\sec^{-1}{2}=\cos^{-1}{x}\) হলে, \(x\) এর মান কত?
\(\Rightarrow 3\cos^{-1}{\frac{1}{2}}=\cos^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}{x}=3\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}{x}=3\cos^{-1}{\cos{\frac{\pi}{3}}}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}{x}=3\times\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}{x}=\pi\)
\(\Rightarrow x=\cos{\pi}\)
\(\therefore x=-1\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{1}{3}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(-\frac{1}{3}\)
ঘ \(-1\)
\(3\sec^{-1}{2}=\cos^{-1}{x}\)ঘ \(-1\)
\(\Rightarrow 3\cos^{-1}{\frac{1}{2}}=\cos^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}{x}=3\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}{x}=3\cos^{-1}{\cos{\frac{\pi}{3}}}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}{x}=3\times\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}{x}=\pi\)
\(\Rightarrow x=\cos{\pi}\)
\(\therefore x=-1\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৭। বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে-
\(i.\) \(\sin^{-1}{\frac{1}{2}}\) এর পূরক কোণ \(\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\)
\(ii.\) \(cosec^{-1}{\frac{1}{x}}=\sec^{-1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
\(iii.\) \(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\frac{x+y}{1-xy}}\) যখন \(xy\gt{1}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(=\sin^{-1}{\sin{\frac{\pi}{6}}}\)
\(=\frac{\pi}{6}\) এর পূরক কোণ \(=\frac{\pi}{3}\)
\(=\cos^{-1}{\cos{\frac{\pi}{3}}}\)
\(=\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(cosec^{-1}{\frac{1}{x}}=\sin^{-1}{x}\)
\(=\cos^{-1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\sec^{-1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\pi+\tan^{-1}{\frac{x+y}{1-xy}}\) যখন \(xy\gt{1}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) \(\sin^{-1}{\frac{1}{2}}\) এর পূরক কোণ \(\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\)
\(ii.\) \(cosec^{-1}{\frac{1}{x}}=\sec^{-1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
\(iii.\) \(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\frac{x+y}{1-xy}}\) যখন \(xy\gt{1}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\sin^{-1}{\frac{1}{2}}\) ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(=\sin^{-1}{\sin{\frac{\pi}{6}}}\)
\(=\frac{\pi}{6}\) এর পূরক কোণ \(=\frac{\pi}{3}\)
\(=\cos^{-1}{\cos{\frac{\pi}{3}}}\)
\(=\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(cosec^{-1}{\frac{1}{x}}=\sin^{-1}{x}\)
\(=\cos^{-1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\sec^{-1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\pi+\tan^{-1}{\frac{x+y}{1-xy}}\) যখন \(xy\gt{1}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৮ ও ১৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(\tan^{-1}{(3)}=A, \ \tan^{-1}{(2)}=B\) এবং \(A+B+C=\pi\)
১৮। \(A+B\) এর মান নিচের কোনটি?\(\tan^{-1}{(3)}=A, \ \tan^{-1}{(2)}=B\) এবং \(A+B+C=\pi\)
ক \(\frac{\pi}{4}\)
গ \(\frac{3\pi}{4}\)
গ \(\frac{3\pi}{4}\)
খ \(\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(\frac{3\pi}{2}\)
\(\tan^{-1}{(3)}=A, \ \tan^{-1}{(2)}=B\) ঘ \(\frac{3\pi}{2}\)
\(A+B=\tan^{-1}{(3)}+\tan^{-1}{(2)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{3+2}{1-3\times2}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{5}{1-6}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{5}{-5}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{(-1)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(-\tan{\frac{\pi}{4}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\tan{\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)}\right\}}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi-\pi}{4}\)
\(=\frac{3\pi}{4}\)
উত্তরঃ (গ)
১৯। নিচের কোন সম্পর্কটি সত্য?
\(\Rightarrow 2=\tan{B}\)
\(\Rightarrow 2=\cot{\left(\frac{\pi}{2}-B\right)}\)
\(\therefore \cot^{-1}{2}=\frac{\pi}{2}-B\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(A-B=\frac{\pi}{4}\)
গ \(\cot^{-1}{2}=\frac{\pi}{2}+B\)
গ \(\cot^{-1}{2}=\frac{\pi}{2}+B\)
খ \(\cot{B}=2\)
ঘ \(\cot^{-1}{2}=\frac{\pi}{2}-B\)
\(\tan^{-1}{(2)}=B\)ঘ \(\cot^{-1}{2}=\frac{\pi}{2}-B\)
\(\Rightarrow 2=\tan{B}\)
\(\Rightarrow 2=\cot{\left(\frac{\pi}{2}-B\right)}\)
\(\therefore \cot^{-1}{2}=\frac{\pi}{2}-B\)
উত্তরঃ (ঘ)
২০। একটি বলের আনুভূমিক ও উল্লম্ব অংশের মান \(4N\) ও \(3N\) হলে বলটির মান-
তাহলে, \(F\cos{\theta}=4 .......(1)\)
\(F\sin{\theta}=3 .......(2)\)
\((1)^2+(2)^2\) এর সাহায্যে,
\(F^2\cos^2{\theta}+F^2\sin^2{\theta}=4^2+3^2\)
\(\Rightarrow F^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})=16+9\)
\(\Rightarrow F^2.1=25\)
\(\Rightarrow F^2=25\)
\(\Rightarrow F=5\)
\(\therefore\) বলটির মান \(5N\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(5N\)
গ \(2\sqrt{3}N\)
গ \(2\sqrt{3}N\)
খ \(10N\)
ঘ \(7N\)
ধরি, বলটি \(F\)ঘ \(7N\)
তাহলে, \(F\cos{\theta}=4 .......(1)\)
\(F\sin{\theta}=3 .......(2)\)
\((1)^2+(2)^2\) এর সাহায্যে,
\(F^2\cos^2{\theta}+F^2\sin^2{\theta}=4^2+3^2\)
\(\Rightarrow F^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})=16+9\)
\(\Rightarrow F^2.1=25\)
\(\Rightarrow F^2=25\)
\(\Rightarrow F=5\)
\(\therefore\) বলটির মান \(5N\)
উত্তরঃ (ক)
২১। \(\sqrt{3} kg\) ওজনের একটি বস্তুকে দুইটি বল দ্বারা টেনে রাখা হয়েছে। একটি অনুভূমিক এবং অপরটি অনুভূমিকের সাথে \(30^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত হলে বলদ্বয় কত কেজি ওজন?
ফলে, এদের লব্ধি \(\sqrt{3} kg\) এবং মধ্যবর্তী কোণ হবে \(150^{o}\)
লব্ধি, \(P\) ও \(Q\) বলের সাথে যথাক্রমে \(90^{o}\) ও \(60^{o}\) কোণ করে।
তাহলে, \(P=\frac{\sqrt{3}\sin{60^{o}}}{\sin{(90^{o}+60^{o})}}, \ Q=\frac{\sqrt{3}\sin{90^{o}}}{\sin{(90^{o}+60^{o})}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{3}\sin{60^{o}}}{\cos{60^{o}}}, \ Q=\frac{\sqrt{3}\sin{90^{o}}}{\cos{60^{o}}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}, \ Q=\frac{\sqrt{3}.1}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}, \ Q=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}\)
\(\therefore P=3, \ Q=2\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(3\sqrt{5}, 10\)
গ \(5\sqrt{3}, 10\)
গ \(5\sqrt{3}, 10\)
খ \(2\sqrt{3}, \sqrt{3}\)
ঘ \(3, 2\sqrt{3}\)
ধরি, বলদ্বয় \(P\) ও \(Q\)ঘ \(3, 2\sqrt{3}\)
ফলে, এদের লব্ধি \(\sqrt{3} kg\) এবং মধ্যবর্তী কোণ হবে \(150^{o}\)
লব্ধি, \(P\) ও \(Q\) বলের সাথে যথাক্রমে \(90^{o}\) ও \(60^{o}\) কোণ করে।
তাহলে, \(P=\frac{\sqrt{3}\sin{60^{o}}}{\sin{(90^{o}+60^{o})}}, \ Q=\frac{\sqrt{3}\sin{90^{o}}}{\sin{(90^{o}+60^{o})}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{3}\sin{60^{o}}}{\cos{60^{o}}}, \ Q=\frac{\sqrt{3}\sin{90^{o}}}{\cos{60^{o}}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}, \ Q=\frac{\sqrt{3}.1}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}, \ Q=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}\)
\(\therefore P=3, \ Q=2\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২২। একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুটি বলের ক্ষুদ্রতম লব্ধি \(1N\) এবং বল দুটি লম্বভাবে ক্রিয়াশীল হলে লব্ধির মান \(5N\)। বলদ্বয় দ্বারা বৃহত্তম লব্ধির মান-
১ম শর্তমতে, \(P-Q=1 .......(1)\)
২য় শর্তমতে, \(P^2+Q^2+2PQ\cos{90^{o}}=5^2\)
\(\Rightarrow P^2+Q^2+2PQ.0=25\)
\(\Rightarrow P^2+Q^2=25\)
\(\Rightarrow (P-Q)^2+2PQ=25\)
\(\Rightarrow (1)^2+2PQ=25\)
\(\Rightarrow 1+2PQ=25\)
\(\Rightarrow 2PQ=25-1\)
\(\Rightarrow 2PQ=24\)
\(\therefore PQ=12 ......(2)\)
\(P+Q=\sqrt{(P-Q)^2+4PQ}\)
\(=\sqrt{(1)^2+4\times12}\)
\(=\sqrt{1+48}\)
\(=\sqrt{49}\)
\(=7\)
\(\therefore\) বৃহত্তম লব্ধির মান \(7N\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(5N\)
গ \(7N\)
গ \(7N\)
খ \(2N\)
ঘ \(3N\)
ধরি, বলদ্বয় \(P\) ও \(Q\)ঘ \(3N\)
১ম শর্তমতে, \(P-Q=1 .......(1)\)
২য় শর্তমতে, \(P^2+Q^2+2PQ\cos{90^{o}}=5^2\)
\(\Rightarrow P^2+Q^2+2PQ.0=25\)
\(\Rightarrow P^2+Q^2=25\)
\(\Rightarrow (P-Q)^2+2PQ=25\)
\(\Rightarrow (1)^2+2PQ=25\)
\(\Rightarrow 1+2PQ=25\)
\(\Rightarrow 2PQ=25-1\)
\(\Rightarrow 2PQ=24\)
\(\therefore PQ=12 ......(2)\)
\(P+Q=\sqrt{(P-Q)^2+4PQ}\)
\(=\sqrt{(1)^2+4\times12}\)
\(=\sqrt{1+48}\)
\(=\sqrt{49}\)
\(=7\)
\(\therefore\) বৃহত্তম লব্ধির মান \(7N\)
উত্তরঃ (গ)
২৩। কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(Q\) ও \(2Q\) মানের বলদ্বয়ের লব্ধি \(Q\) বলের ক্রিয়ারেখার উপর লম্ব হলে-
\(i.\) বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(120^{o}\)
\(ii.\) লব্ধির মান \(\sqrt{3}Q\) একক
\(iii.\) \(Q\) বলের দিক বরাবর \(2Q\) বলের ধনাত্মক লম্বাংশ \(3Q\)
নিচের কোনটি সঠিক?
তাহলে, \(\tan{90^{o}}=\frac{2Q\sin{\alpha}}{Q+2Q\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{2Q\sin{\alpha}}{Q(1+2\cos{\alpha})}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{2\sin{\alpha}}{1+2\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow 1+2\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{\alpha}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\Rightarrow \alpha=120^{o}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
লব্ধির মান \(=\sqrt{Q^2+(2Q)^2+2.Q.2Q\cos{120^{o}}}\)
\(=\sqrt{Q^2+4Q^2+4Q^2\times-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{5Q^2-2Q^2}\)
\(=\sqrt{3Q^2}\)
\(=\sqrt{3}Q\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(Q\) বলের দিক বরাবর \(2Q\) বলের ধনাত্মক লম্বাংশ \(=|2Q\cos{120^{o}}|\)
\(=\left|2Q\times-\frac{1}{2}\right|\)
\(=|-Q|\)
\(=Q\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(120^{o}\)
\(ii.\) লব্ধির মান \(\sqrt{3}Q\) একক
\(iii.\) \(Q\) বলের দিক বরাবর \(2Q\) বলের ধনাত্মক লম্বাংশ \(3Q\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ধরি, মধ্যবর্তী কোণ \(=\alpha\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
তাহলে, \(\tan{90^{o}}=\frac{2Q\sin{\alpha}}{Q+2Q\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{2Q\sin{\alpha}}{Q(1+2\cos{\alpha})}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{2\sin{\alpha}}{1+2\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow 1+2\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{\alpha}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\Rightarrow \alpha=120^{o}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
লব্ধির মান \(=\sqrt{Q^2+(2Q)^2+2.Q.2Q\cos{120^{o}}}\)
\(=\sqrt{Q^2+4Q^2+4Q^2\times-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{5Q^2-2Q^2}\)
\(=\sqrt{3Q^2}\)
\(=\sqrt{3}Q\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(Q\) বলের দিক বরাবর \(2Q\) বলের ধনাত্মক লম্বাংশ \(=|2Q\cos{120^{o}}|\)
\(=\left|2Q\times-\frac{1}{2}\right|\)
\(=|-Q|\)
\(=Q\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
নিচের তথ্যের আলোকে ২৪ ও ২৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
২৪। \(x\) এর মান হলো-
ক \(\frac{QL}{P+Q}\)
গ \(\frac{QL}{P-Q}\)
গ \(\frac{QL}{P-Q}\)
খ \(\frac{Q+L}{P+Q}\)
ঘ \(\frac{Q-L}{P+Q}\)
চিত্রমতে,ঘ \(\frac{Q-L}{P+Q}\)
\(P.x=Q.(L-x)\)
\(\Rightarrow Px=QL-Qx\)
\(\Rightarrow Px+Qx=QL\)
\(\Rightarrow x(P+Q)=QL\)
\(\therefore x=\frac{QL}{P+Q}\)
উত্তরঃ (ক)
২৫। \(L=8, \ Q=30, \ x=6\) হলে, \(P\) এর মান কত?
\(x=\frac{QL}{P+Q}\)
\(\Rightarrow x(P+Q)=QL\)
\(\Rightarrow P+Q=\frac{QL}{x}\)
\(\Rightarrow P=\frac{QL}{x}-Q\)
\(=\frac{30\times8}{6}-30\)
\(=5\times8-30\)
\(=40-30\)
\(=10\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(100\)
গ \(70\)
গ \(70\)
খ \(7\)
ঘ \(10\)
'২৪' হতে,ঘ \(10\)
\(x=\frac{QL}{P+Q}\)
\(\Rightarrow x(P+Q)=QL\)
\(\Rightarrow P+Q=\frac{QL}{x}\)
\(\Rightarrow P=\frac{QL}{x}-Q\)
\(=\frac{30\times8}{6}-30\)
\(=5\times8-30\)
\(=40-30\)
\(=10\)
উত্তরঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000007