শিক্ষা বোর্ড কুমিল্লা - 2021
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(4x^2+4x-1=0\) সমীকরণে-
\(i.\) মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান
\(ii.\) একটি মূল \(\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)
\(iii.\) মূলদ্বয় জটিল ও অসমান
নিচের কোনটি সঠিক?
\(D=b^2-4ac=(4)^2-4.4.(-1)\) যেখানে, \(a=4, \ b=4, \ c=-1\)
\(=16+16\)
\(=32\gt{0}\)
\(\therefore\) মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(4x^2+4x-1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4.4.(-1)}}{2\times4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm\sqrt{16+16}}{8}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm\sqrt{32}}{8}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm4\sqrt{2}}{8}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4(-1\pm\sqrt{2})}{8}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{2}}{2}, \ \frac{-1-\sqrt{2}}{2}\)
\(\therefore\) একটি মূল \(\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(\because D\gt{0}\) মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান
\(ii.\) একটি মূল \(\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)
\(iii.\) মূলদ্বয় জটিল ও অসমান
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(4x^2+4x-1=0\) এর ক্ষেত্রে,ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(D=b^2-4ac=(4)^2-4.4.(-1)\) যেখানে, \(a=4, \ b=4, \ c=-1\)
\(=16+16\)
\(=32\gt{0}\)
\(\therefore\) মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(4x^2+4x-1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4.4.(-1)}}{2\times4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm\sqrt{16+16}}{8}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm\sqrt{32}}{8}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm4\sqrt{2}}{8}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4(-1\pm\sqrt{2})}{8}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{2}}{2}, \ \frac{-1-\sqrt{2}}{2}\)
\(\therefore\) একটি মূল \(\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(\because D\gt{0}\) মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
২। পরস্পর বিপরীতমুখী ক্রিয়াশীল \(5N\) ও \(10N\) মানের বলদ্বয়ের লব্ধি কোনটি?
\(=(10-5)N\)
\(=5N\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(0\)
গ \(5\sqrt{5}N\)
গ \(5\sqrt{5}N\)
খ \(5N\)
ঘ \(15N\)
পরস্পর বিপরীতমুখী ক্রিয়াশীল \(5N\) ও \(10N\) মানের বলদ্বয়ের লব্ধিঘ \(15N\)
\(=(10-5)N\)
\(=5N\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(\frac{(x-2)^2}{2}+\frac{(y-1)^2}{8}=1\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
৩। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য-
\(\frac{(x-2)^2}{2}+\frac{(y-1)^2}{8}=1\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
ক \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
গ \(2\sqrt{2}\)
গ \(2\sqrt{2}\)
খ \(\sqrt{2}\)
ঘ \(8\)
\(\frac{(x-2)^2}{2}+\frac{(y-1)^2}{8}=1\)ঘ \(8\)
এখানে, \(a^2=2, \ b^2=8\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{2}, \ b=2\sqrt{2}; \ a\lt{b}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2\times2}{2\sqrt{2}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}\)
উত্তরঃ (খ)
৪। উপকেন্দ্রের স্থানাংক কোনটি?
এখানে, \(a^2=2, \ b^2=8, \ \alpha=2, \ \beta=1\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{2}, \ b=2\sqrt{2}; \ a\lt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{2}{8}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((\alpha, \pm{be}+\beta)\)
\(\Rightarrow \left(2, \pm{2\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}}+1\right)\)
\(\Rightarrow \left(2, \pm{\sqrt{6}}+1\right)\)
\(\therefore \left(2, 1\pm\sqrt{6}\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \((\sqrt{2}, 0), \ (-\sqrt{2}, 0)\)
গ \((2, -1\pm\sqrt{6})\)
গ \((2, -1\pm\sqrt{6})\)
খ \((0, 2), \ (0, -2)\)
ঘ \((2, 1\pm\sqrt{6})\)
\(\frac{(x-2)^2}{2}+\frac{(y-1)^2}{8}=1\)ঘ \((2, 1\pm\sqrt{6})\)
এখানে, \(a^2=2, \ b^2=8, \ \alpha=2, \ \beta=1\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{2}, \ b=2\sqrt{2}; \ a\lt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{2}{8}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((\alpha, \pm{be}+\beta)\)
\(\Rightarrow \left(2, \pm{2\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}}+1\right)\)
\(\Rightarrow \left(2, \pm{\sqrt{6}}+1\right)\)
\(\therefore \left(2, 1\pm\sqrt{6}\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
৫। \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\) যদি-
\(\Rightarrow \theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\cot{\theta}=0\)
গ \(\sin{\theta}=1\)
গ \(\sin{\theta}=1\)
খ \(\cos{\theta}+1=0\)
ঘ \(\cos{\theta}=1\)
\(\cot{\theta}=0\)ঘ \(\cos{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (ক)
৬। \(k\) এর কোন মানের জন্য \((k-1)x^2-(k+2)x+4\) রাশিটি পূর্ন বর্গ হবে?
যদি \((k-1)x^2-(k+2)x+4=0\) সমীকরণের নিশ্চায়ক \(D=0\) হয়।
তাহলে, \(\{-(k+2)\}^2-4.(k-1).4=0\)
\(\Rightarrow (k+2)^2-16(k-1)=0\)
\(\Rightarrow k^2+4k+4-16k+16=0\)
\(\Rightarrow k^2-12k+20=0\)
\(\Rightarrow k^2-2k-10k+20=0\)
\(\Rightarrow k(k-2)-10(k-2)=0\)
\(\Rightarrow (k-2)(k-10)=0\)
\(\Rightarrow k-2=0, \ k-10=0\)
\(\Rightarrow k=2, \ k=10\)
\(\therefore k=2, \ 10\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-10, \ 2\)
গ \(2, \ 10\)
গ \(2, \ 10\)
খ \(10, \ -2\)
ঘ \(-2, \ -10\)
প্রদত্ত রাশি, \((k-1)x^2-(k+2)x+4\) পূর্ন বর্গ হবে,ঘ \(-2, \ -10\)
যদি \((k-1)x^2-(k+2)x+4=0\) সমীকরণের নিশ্চায়ক \(D=0\) হয়।
তাহলে, \(\{-(k+2)\}^2-4.(k-1).4=0\)
\(\Rightarrow (k+2)^2-16(k-1)=0\)
\(\Rightarrow k^2+4k+4-16k+16=0\)
\(\Rightarrow k^2-12k+20=0\)
\(\Rightarrow k^2-2k-10k+20=0\)
\(\Rightarrow k(k-2)-10(k-2)=0\)
\(\Rightarrow (k-2)(k-10)=0\)
\(\Rightarrow k-2=0, \ k-10=0\)
\(\Rightarrow k=2, \ k=10\)
\(\therefore k=2, \ 10\)
উত্তরঃ (গ)
৭। বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জন্য-
\(i.\)\(\sin^{-1}{x}\) এর ডোমেন \([-1, 1]\)
\(ii.\) \(\cos^{-1}{x}\) এর রেঞ্জ \([0, \pi]\)
\(iii.\) \(\tan^{-1}{x}\) একটি অনুপাত
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\cos^{-1}{x}\) এর রেঞ্জ \([0, \pi]\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(\tan^{-1}{x}\) একটি অনুপাত নয়।
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\)\(\sin^{-1}{x}\) এর ডোমেন \([-1, 1]\)
\(ii.\) \(\cos^{-1}{x}\) এর রেঞ্জ \([0, \pi]\)
\(iii.\) \(\tan^{-1}{x}\) একটি অনুপাত
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\sin^{-1}{x}\) এর ডোমেন \([-1, 1]\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\cos^{-1}{x}\) এর রেঞ্জ \([0, \pi]\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(\tan^{-1}{x}\) একটি অনুপাত নয়।
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
৮। \(x^2-7x+p=0\) সমীকরণের একটি মূল \(-4\) হলে, \(p\) এর মান কত?
\(\Rightarrow (-4)^2-7\times-4+p=0\)
\(\Rightarrow 16+28+p=0\)
\(\Rightarrow 44+p=0\)
\(\therefore p=-44\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-60\)
গ \(44\)
গ \(44\)
খ \(-44\)
ঘ \(60\)
\(x^2-7x+p=0\) সমীকরণের একটি মূল \(-4\)ঘ \(60\)
\(\Rightarrow (-4)^2-7\times-4+p=0\)
\(\Rightarrow 16+28+p=0\)
\(\Rightarrow 44+p=0\)
\(\therefore p=-44\)
উত্তরঃ (খ)
৯। একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(P\) ও \(30N\) বলদ্বয়ের লব্ধি \(25N\) \(P\) বলের উপর লম্ব। \(P\) এর মান কত?
\((\text{বৃহত্তম বল})^2=(\text{লব্ধি})^2+(\text{ক্ষুদ্রত্তম বল})^2\) হয়।
\(\Rightarrow (30)^2=(25)^2+P^2\)
\(\Rightarrow (25)^2+P^2=(30)^2\)
\(\Rightarrow 625+P^2=900\)
\(\Rightarrow P^2=900-625\)
\(\Rightarrow P^2=275\)
\(\Rightarrow P=\sqrt{275}\)
\(\therefore P=5\sqrt{11}N\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(10\sqrt{5}N\)
গ \(5\sqrt{11}N\)
গ \(5\sqrt{11}N\)
খ \(10\sqrt{3}\)
ঘ \(5\sqrt{15}\)
দুইটি বলের লব্ধি একটি বলের উপর লম্ব হলে,ঘ \(5\sqrt{15}\)
\((\text{বৃহত্তম বল})^2=(\text{লব্ধি})^2+(\text{ক্ষুদ্রত্তম বল})^2\) হয়।
\(\Rightarrow (30)^2=(25)^2+P^2\)
\(\Rightarrow (25)^2+P^2=(30)^2\)
\(\Rightarrow 625+P^2=900\)
\(\Rightarrow P^2=900-625\)
\(\Rightarrow P^2=275\)
\(\Rightarrow P=\sqrt{275}\)
\(\therefore P=5\sqrt{11}N\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১০ ও ১১ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(5x^2-7x-3=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)
১০। কোন সমীকরণের মূল \(\alpha+\beta\) এবং \(\alpha\beta\)?\(5x^2-7x-3=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)
ক \(25x^2-20x-21=0\)
গ \(25x^2+20x-21=0\)
গ \(25x^2+20x-21=0\)
খ \(25x^2-20x+21=0\)
ঘ \(25x^2+20x+21=0\)
\(5x^2-7x-3=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)ঘ \(25x^2+20x+21=0\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{-7}{5}, \ \alpha\beta=\frac{-3}{5}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=\frac{7}{5}, \ \alpha\beta=-\frac{3}{5}\)
\(\alpha+\beta\) এবং \(\alpha\beta\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,
\(x^2-(\alpha+\beta+\alpha\beta)x+(\alpha+\beta)\alpha\beta=0\)
\(\Rightarrow x^2-\left(\frac{7}{5}-\frac{3}{5}\right)x+\frac{7}{5}\times-\frac{3}{5}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{7-3}{5}x-\frac{21}{25}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{4}{5}x-\frac{21}{25}=0\)
\(\Rightarrow 25x^2-20x-21=0\)
উত্তরঃ (ক)
১১। \(\alpha\) এর মান কত ( যদি\(\alpha\gt{\beta}\) হয় )?
এখানে, \(a=5, \ b=-7, \ c=-3\)
\(\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4.5.(-3)}}{2.5}\)
\(\Rightarrow x=\frac{7\pm\sqrt{49+60}}{10}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{10}(7\pm\sqrt{109})\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{10}(7+\sqrt{109}), \ \frac{1}{10}(7-\sqrt{109})\)
\(\therefore \alpha=\frac{1}{10}(7+\sqrt{109})\) যেহেতু \(\alpha\gt{\beta}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-\frac{1}{10}(7+\sqrt{109})\)
গ \(\frac{1}{10}(7-\sqrt{109})\)
গ \(\frac{1}{10}(7-\sqrt{109})\)
খ \(\frac{1}{10}(-7+\sqrt{109})\)
ঘ \(\frac{1}{10}(7+\sqrt{109})\)
\(5x^2-7x-3=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)ঘ \(\frac{1}{10}(7+\sqrt{109})\)
এখানে, \(a=5, \ b=-7, \ c=-3\)
\(\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4.5.(-3)}}{2.5}\)
\(\Rightarrow x=\frac{7\pm\sqrt{49+60}}{10}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{10}(7\pm\sqrt{109})\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{10}(7+\sqrt{109}), \ \frac{1}{10}(7-\sqrt{109})\)
\(\therefore \alpha=\frac{1}{10}(7+\sqrt{109})\) যেহেতু \(\alpha\gt{\beta}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১২। \(30\) মিটার লম্বা \(AB\) রডের \(A\) প্রান্তে \(20 \ kg\) ওজন এবং \(B\) প্রান্তে \(P \ kg\) ওজন ঝুলানো আছে। তাদের লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। \(AC\) এর দৈর্ঘ্য \(20\) মিটার হলে \(P\) এর মান কত?
\(A\) প্রান্তে \(20 \ kg\) ওজন এবং \(B\) প্রান্তে \(P \ kg\) ওজন ঝুলানো আছে। তাদের লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল।
তাহলে, \(20.AC=P.BC\)
\(\Rightarrow P.BC=20.AC\)
\(\Rightarrow P=\frac{20.AC}{BC}\)
\(=\frac{20.AC}{AB-AC}\)
\(=\frac{20\times20}{30-20}\)
\(=\frac{400}{10}\)
\(=40 \ kg\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(15 \ kg\)
গ \(30 \ kg\)
গ \(30 \ kg\)
খ \(20 \ kg\)
ঘ \(40 \ kg\)
দেওয়া আছে, \(AB=30\) মিটার, \(AC=20\) মিটার।ঘ \(40 \ kg\)
\(A\) প্রান্তে \(20 \ kg\) ওজন এবং \(B\) প্রান্তে \(P \ kg\) ওজন ঝুলানো আছে। তাদের লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল।
তাহলে, \(20.AC=P.BC\)
\(\Rightarrow P.BC=20.AC\)
\(\Rightarrow P=\frac{20.AC}{BC}\)
\(=\frac{20.AC}{AB-AC}\)
\(=\frac{20\times20}{30-20}\)
\(=\frac{400}{10}\)
\(=40 \ kg\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৩। \(\sin^2{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\) এর মান কত?
\(=1-\cos^2{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\)
\(=1-\left\{\cos{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\right\}^2\)
\(=1-\left\{\frac{1}{2}\right\}^2\)
\(=1-\frac{1}{4}\)
\(=\frac{4-1}{4}\)
\(=\frac{3}{4}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{1}{4}\)
গ \(\frac{3}{4}\)
গ \(\frac{3}{4}\)
খ \(\frac{1}{2}\)
ঘ \(1\)
\(\sin^2{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\)ঘ \(1\)
\(=1-\cos^2{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\)
\(=1-\left\{\cos{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\right\}^2\)
\(=1-\left\{\frac{1}{2}\right\}^2\)
\(=1-\frac{1}{4}\)
\(=\frac{4-1}{4}\)
\(=\frac{3}{4}\)
উত্তরঃ (গ)
১৪। কেন্দ্রবিহীন কণিক কোনটি?
ইহা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ। যা কেন্দ্রবিহীন কণিক নামে পরিচিত।
উত্তরঃ (খ)
ক \(x^2+y^2=0\)
গ \(x^2-y^2=10\)
গ \(x^2-y^2=10\)
খ \(x^2+y=0\)
ঘ \(x^2+2y^2=10\)
\(x^2+y=0\)ঘ \(x^2+2y^2=10\)
ইহা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ। যা কেন্দ্রবিহীন কণিক নামে পরিচিত।
উত্তরঃ (খ)
১৫। নিচের কোন দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(\frac{1}{1+\sqrt{-2}}\)?
\(\Rightarrow x=\frac{1-\sqrt{-2}}{(1-\sqrt{-2})(1+\sqrt{-2})}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1-\sqrt{-2}}{(1)^2-(\sqrt{-2})^2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1-\sqrt{-2}}{1-(-2)}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1-\sqrt{-2}}{1+2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1-\sqrt{-2}}{3}\)
\(\Rightarrow 3x=1-\sqrt{-2}\)
\(\Rightarrow 3x-1=-\sqrt{-2}\)
\(\Rightarrow (3x-1)^2=-2\)
\(\Rightarrow 9x^2-6x+1+2=0\)
\(\Rightarrow 9x^2-6x+3=0\)
\(\Rightarrow 3(3x^2-2x+1)=0\)
\(\therefore 3x^2-2x+1=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(2x^2-3x+1=0\)
গ \(3x^2-2x+1=0\)
গ \(3x^2-2x+1=0\)
খ \(2x^2-3x-1=0\)
ঘ \(3x^2-2x-1=0\)
ধরি, \(x=\frac{1}{1+\sqrt{-2}}\)ঘ \(3x^2-2x-1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{1-\sqrt{-2}}{(1-\sqrt{-2})(1+\sqrt{-2})}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1-\sqrt{-2}}{(1)^2-(\sqrt{-2})^2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1-\sqrt{-2}}{1-(-2)}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1-\sqrt{-2}}{1+2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1-\sqrt{-2}}{3}\)
\(\Rightarrow 3x=1-\sqrt{-2}\)
\(\Rightarrow 3x-1=-\sqrt{-2}\)
\(\Rightarrow (3x-1)^2=-2\)
\(\Rightarrow 9x^2-6x+1+2=0\)
\(\Rightarrow 9x^2-6x+3=0\)
\(\Rightarrow 3(3x^2-2x+1)=0\)
\(\therefore 3x^2-2x+1=0\)
উত্তরঃ (গ)
১৬। দুইটি সমান্তরাল বল \(18 \ N\) এবং \(12 \ N\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত এবং তাদের লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। \(AB=15\) মি.
\(i.\) যদি বলদ্বয় অসদৃশ হয় তাহলে লব্ধির মান \(6 \ N\)
\(ii.\) যদি বলদ্বয় সদৃশ হয় \(BC=9\) মিটার
\(iii.\) যদি বলদ্বয় অসদৃশ হয় \(AC=30\) মিটার
নিচের কোনটি সঠিক?
তাহলে লব্ধির মান \(=(18-12) \ N =6 \ N\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
যদি বলদ্বয় সদৃশ হয়
তাহলে \(18.AC=12.BC\)
\(\Rightarrow 18.(AB-BC)=12.BC\)
\(\Rightarrow 18.AB=12.BC+18.BC\)
\(\Rightarrow 18\times15=30.BC\)
\(\Rightarrow 30.BC=18\times15\)
\(\Rightarrow BC=\frac{18\times15}{30}\)
\(\Rightarrow BC=9\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
যদি বলদ্বয় অসদৃশ হয়
তাহলে \(18.AC=12.BC\)
\(\Rightarrow 18.AC=12.(AB+AC)\)
\(\Rightarrow 18.AC=12.AB+12.AC\)
\(\Rightarrow 6.AC=12\times15\)
\(\Rightarrow AC=\frac{12\times15}{6}\)
\(\Rightarrow AC=30\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) যদি বলদ্বয় অসদৃশ হয় তাহলে লব্ধির মান \(6 \ N\)
\(ii.\) যদি বলদ্বয় সদৃশ হয় \(BC=9\) মিটার
\(iii.\) যদি বলদ্বয় অসদৃশ হয় \(AC=30\) মিটার
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
যদি বলদ্বয় অসদৃশ হয়ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
তাহলে লব্ধির মান \(=(18-12) \ N =6 \ N\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
যদি বলদ্বয় সদৃশ হয়
তাহলে \(18.AC=12.BC\)
\(\Rightarrow 18.(AB-BC)=12.BC\)
\(\Rightarrow 18.AB=12.BC+18.BC\)
\(\Rightarrow 18\times15=30.BC\)
\(\Rightarrow 30.BC=18\times15\)
\(\Rightarrow BC=\frac{18\times15}{30}\)
\(\Rightarrow BC=9\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
যদি বলদ্বয় অসদৃশ হয়
তাহলে \(18.AC=12.BC\)
\(\Rightarrow 18.AC=12.(AB+AC)\)
\(\Rightarrow 18.AC=12.AB+12.AC\)
\(\Rightarrow 6.AC=12\times15\)
\(\Rightarrow AC=\frac{12\times15}{6}\)
\(\Rightarrow AC=30\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
১৭। \(2x^3-3x-5=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(p, \ q, \ r\) হলে, \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\) এর মান কত?
\(\Rightarrow p+q+r=-\frac{0}{2}, \ pq+qr+pr=\frac{-3}{2}, \ pqr=-\frac{-5}{2}\)
\(\Rightarrow p+q+r=0, \ pq+qr+pr=-\frac{3}{2}, \ pqr=\frac{5}{2}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\)
\(=\frac{qr+pr+pq}{pqr}\)
\(=\frac{pq+qr+pr}{pqr}\)
\(=\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}}\)
\(=-\frac{3}{2}\times\frac{2}{5}\)
\(=-\frac{3}{5}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-\frac{3}{5}\)
গ \(-\frac{3}{2}\)
গ \(-\frac{3}{2}\)
খ \(\frac{3}{5}\)
ঘ \(\frac{2}{5}\)
\(2x^3-3x-5=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(p, \ q, \ r\)ঘ \(\frac{2}{5}\)
\(\Rightarrow p+q+r=-\frac{0}{2}, \ pq+qr+pr=\frac{-3}{2}, \ pqr=-\frac{-5}{2}\)
\(\Rightarrow p+q+r=0, \ pq+qr+pr=-\frac{3}{2}, \ pqr=\frac{5}{2}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\)
\(=\frac{qr+pr+pq}{pqr}\)
\(=\frac{pq+qr+pr}{pqr}\)
\(=\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}}\)
\(=-\frac{3}{2}\times\frac{2}{5}\)
\(=-\frac{3}{5}\)
উত্তরঃ (ক)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৮ ও ১৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(4(\cos^2{x}+\sin{x})=5\) একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
১৮। \(x\) এর মান কত?\(4(\cos^2{x}+\sin{x})=5\) একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
ক \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
খ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
ঘ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(4(\cos^2{x}+\sin{x})=5\) ঘ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\Rightarrow 4(1-\sin^2{x}+\sin{x})=5\)
\(\Rightarrow 4-4\sin^2{x}+4\sin{x}-5=0\)
\(\Rightarrow -4\sin^2{x}+4\sin{x}-1=0\)
\(\Rightarrow 4\sin^2{x}-4\sin{x}+1=0\)
\(\Rightarrow (2\sin{x}-1)^2=0\)
\(\Rightarrow 2\sin{x}-1=0\)
\(\Rightarrow 2\sin{x}=1\)
\(\Rightarrow \sin{x}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{x}=\sin{\frac{\pi}{6}}\)
\(\therefore x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (গ)
১৯। \(x\) এর মান কত, যখন \(0\lt{x}\lt{2\pi}\)?
\(x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(n=0\) হলে, \(x=\frac{\pi}{6}\)
\(n=1\) হলে, \(x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{6\pi-\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{3}\)
গ \(\frac{\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}\)
গ \(\frac{\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}\)
খ \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}\)
ঘ \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{11\pi}{6}\)
'১৮' হতে প্রাপ্ত,ঘ \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{11\pi}{6}\)
\(x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(n=0\) হলে, \(x=\frac{\pi}{6}\)
\(n=1\) হলে, \(x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{6\pi-\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}\)
উত্তরঃ (খ)
২০। \(P\) বলের উপাংশদ্বয় \(P\) এর সাথে \(15^{o}\) ও \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। \(P\) বলের একটি উপাংশ কোনটি?
\(\frac{\sin{45^{o}}}{\sin{(45^{o}+15^{o})}}P\)
\(=\frac{\sin{45^{o}}}{\sin{60^{o}}}P\)
\(=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}P\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{2}{\sqrt{3}}P\)
\(=\frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{3}}P\)
\(=\frac{\sqrt{2}P}{\sqrt{3}}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{\sqrt{2}P}{\sqrt{3}}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}P}{\sqrt{2}}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}P}{\sqrt{2}}\)
খ \(\frac{2P}{\sqrt{3}}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{3}P}{2}\)
\(P\) বলের একটি উপাংশঘ \(\frac{\sqrt{3}P}{2}\)
\(\frac{\sin{45^{o}}}{\sin{(45^{o}+15^{o})}}P\)
\(=\frac{\sin{45^{o}}}{\sin{60^{o}}}P\)
\(=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}P\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{2}{\sqrt{3}}P\)
\(=\frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{3}}P\)
\(=\frac{\sqrt{2}P}{\sqrt{3}}\)
উত্তরঃ (ক)
২১। \(x^2=2y\) কণিকের জন্য-
\(i.\) উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\)
\(ii.\)অক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
\(iii.\) নিয়ামকের সমীকরণ \(2y+1=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
এখানে, \(4a=2\)
\(\Rightarrow a=\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((0, a) \Rightarrow \left(0, \frac{1}{2}\right)\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য নয়।
অক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=-1\)
\(\therefore 2y+1=0\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
\(i.\) উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\)
\(ii.\)অক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
\(iii.\) নিয়ামকের সমীকরণ \(2y+1=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2=2y\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখানে, \(4a=2\)
\(\Rightarrow a=\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((0, a) \Rightarrow \left(0, \frac{1}{2}\right)\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য নয়।
অক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=-1\)
\(\therefore 2y+1=0\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
২২। কোন সম্পর্কটি সঠিক?
\(\Rightarrow \sin{p}=x\)
আবার, \(\sin{3p}=3\sin{p}-4\sin^3{p}\)
\(\Rightarrow 3p=\sin^{-1}{(3\sin{p}-4\sin^3{p})}\)
\(\therefore 3\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{(3x-4x^3)}\)
সম্পর্কটি সঠিক
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(2\tan^{-1}{x}=\sin^{-1}{\frac{2x}{1-x^2}}\)
গ \(2\cos^{-1}{x}=\cos^{-1}{(1-2x^2)}\)
গ \(2\cos^{-1}{x}=\cos^{-1}{(1-2x^2)}\)
খ \(3\tan^{-1}{x}=\tan^{-1}{\frac{x^3-3x}{1-3x^2}}\)
ঘ \(3\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{(3x-4x^3)}\)
ধরি, \(p=\sin^{-1}{x}\)ঘ \(3\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{(3x-4x^3)}\)
\(\Rightarrow \sin{p}=x\)
আবার, \(\sin{3p}=3\sin{p}-4\sin^3{p}\)
\(\Rightarrow 3p=\sin^{-1}{(3\sin{p}-4\sin^3{p})}\)
\(\therefore 3\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{(3x-4x^3)}\)
সম্পর্কটি সঠিক
উত্তরঃ (ঘ)
২৩। \(9x^2-16y^2+18x-48y=0\) সমীকরণটি একটি-
উত্তরঃ (ঘ)
ক বৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
খ উপবৃত্ত
ঘ অধিবৃত্ত
সমীকরণটিতে \(x^2\) ও \(y^2\) উভয় পদ বিদ্যমান এবং তাদের সহগ অসমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত তাই সমীকরণটি একটি অধিবৃত্ত।ঘ অধিবৃত্ত
উত্তরঃ (ঘ)
২৪। একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল \(5N, \ 7N\) ও \(8N\) ভিন্ন ভিন্ন রেখা বরাবর ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় থাকে। \(8N\) ও \(5N\) বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কোনটি?
তাহলে, \(8^2+5^2+2.8.5\cos{\alpha}=7^2\)
\(\Rightarrow 64+25+80\cos{\alpha}=49\)
\(\Rightarrow 89+80\cos{\alpha}=49\)
\(\Rightarrow 80\cos{\alpha}=49-89\)
\(\Rightarrow 80\cos{\alpha}=49-89\)
\(\Rightarrow 80\cos{\alpha}=-40\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{40}{80}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(60^{o}\)
গ \(-\cos^{-1}{\left(\frac{1}{7}\right)}\)
গ \(-\cos^{-1}{\left(\frac{1}{7}\right)}\)
খ \(120^{o}\)
ঘ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{7}\right)}\)
ধরি,\(8N\) ও \(5N\) বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)ঘ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{7}\right)}\)
তাহলে, \(8^2+5^2+2.8.5\cos{\alpha}=7^2\)
\(\Rightarrow 64+25+80\cos{\alpha}=49\)
\(\Rightarrow 89+80\cos{\alpha}=49\)
\(\Rightarrow 80\cos{\alpha}=49-89\)
\(\Rightarrow 80\cos{\alpha}=49-89\)
\(\Rightarrow 80\cos{\alpha}=-40\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{40}{80}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ (খ)
২৫। \((\pm3, 0)\) শীর্ষবিন্দু এবং \(\sqrt{3}\) উৎকেন্দ্রিকতাবিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নিচের কোনটি?
\(2x^2-y^2=18\) সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
তাই অধিবৃত্তের সমীকরণ \(2x^2-y^2=18\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(x^2-2y^2=18\)
গ \(2y^2-x^2=18\)
গ \(2y^2-x^2=18\)
খ \(2x^2-y^2=18\)
ঘ \(y^2-2x^2=18\)
\((\pm3, 0)\) শীর্ষবিন্দুটি ঘ \(y^2-2x^2=18\)
\(2x^2-y^2=18\) সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
তাই অধিবৃত্তের সমীকরণ \(2x^2-y^2=18\)
উত্তরঃ (খ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000001