শিক্ষা বোর্ড চট্টগ্রাম - 2021
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(4\) একক দূরত্বে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(3\) ও \(6\) একক সমান্তরাল বলদ্বয়-
\(i.\) সদৃশ হলে লব্ধি \(9\) একক।
\(ii.\) অসদৃশ হলে লব্ধি \(3\) একক।
\(iii.\) অসদৃশ এবং লব্ধি \(R\) বিন্দগামী হলে \(QR=4\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(=9\) একক।
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
অসদৃশ হলে লব্ধি \(=6-3\)
\(=3\) একক।
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
অসদৃশ এবং লব্ধি \(R\) বিন্দগামী হলে \(QR.6=PR.3\)
\(\Rightarrow QR.6=(PQ+QR).3\)
\(\Rightarrow QR.6-QR.3=PQ.3\)
\(\Rightarrow 3QR=4\times3\)
\(\Rightarrow QR=4\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) সদৃশ হলে লব্ধি \(9\) একক।
\(ii.\) অসদৃশ হলে লব্ধি \(3\) একক।
\(iii.\) অসদৃশ এবং লব্ধি \(R\) বিন্দগামী হলে \(QR=4\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
সদৃশ হলে লব্ধি \(=3+6\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(=9\) একক।
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
অসদৃশ হলে লব্ধি \(=6-3\)
\(=3\) একক।
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
অসদৃশ এবং লব্ধি \(R\) বিন্দগামী হলে \(QR.6=PR.3\)
\(\Rightarrow QR.6=(PQ+QR).3\)
\(\Rightarrow QR.6-QR.3=PQ.3\)
\(\Rightarrow 3QR=4\times3\)
\(\Rightarrow QR=4\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
নিচের তথ্যের আলোকে ২ ও ৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(f(x)=1+3x-2x^2\)
২। \(f\) এর গরিষ্ট মান কত?\(f(x)=1+3x-2x^2\)
ক \(-\frac{17}{8}\)
গ \(\frac{1}{8}\)
গ \(\frac{1}{8}\)
খ \(-\frac{1}{8}\)
ঘ \(\frac{17}{8}\)
\(f(x)=1+3x-2x^2\)ঘ \(\frac{17}{8}\)
এখানে, \(a=-2, \ b=3, \ c=1;\) \(ax^2+bx+c\) এর সাথে তুলুনা করে।
\(ax^2+bx+c\) এর গরিষ্ট মান \(=c-\frac{b^2}{4a}\)
\(\therefore 1+3x-2x^2\) এর গরিষ্ট মান \(=1-\frac{3^2}{4\times-2}\)
\(=1-\frac{9}{-8}\)
\(=1+\frac{9}{8}\)
\(=\frac{8+9}{8}\)
\(=\frac{17}{8}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৩। \(f(x)=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে, \(-\alpha\) ও \(-\beta\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?
\(\Rightarrow 1+3x-2x^2=0\)
\(\Rightarrow -(2x^2-3x-1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2-3x-1=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)
তাহলে, \(\alpha+\beta=-\frac{-3}{2}, \ \alpha\beta=\frac{-1}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=\frac{3}{2}, \ \alpha\beta=-\frac{1}{2}\)
\(-\alpha\) ও \(-\beta\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ \(x^2-(-\alpha-\beta)x+(-\alpha\times-\beta)=0\)
\(\Rightarrow x^2+(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)
\(\Rightarrow x^2+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}=0\)
\(\therefore 2x^2+3x-1=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2x^2-3x+1=0\)
গ \(2x^2-3x-1=0\)
গ \(2x^2-3x-1=0\)
খ \(2x^2+3x-1=0\)
ঘ \(2x^2+3x+1=0\)
\(f(x)=1+3x-2x^2\) এবং \(f(x)=0\)ঘ \(2x^2+3x+1=0\)
\(\Rightarrow 1+3x-2x^2=0\)
\(\Rightarrow -(2x^2-3x-1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2-3x-1=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)
তাহলে, \(\alpha+\beta=-\frac{-3}{2}, \ \alpha\beta=\frac{-1}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=\frac{3}{2}, \ \alpha\beta=-\frac{1}{2}\)
\(-\alpha\) ও \(-\beta\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ \(x^2-(-\alpha-\beta)x+(-\alpha\times-\beta)=0\)
\(\Rightarrow x^2+(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)
\(\Rightarrow x^2+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}=0\)
\(\therefore 2x^2+3x-1=0\)
উত্তরঃ (খ)
৪। \(4x^2+y^2=1\) দ্বারা নির্দেশিত কণিকটির উৎকেন্দ্রিকতা কত?
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{1}=1\)
এখানে, \(a^2=\frac{1}{4}, \ b^2=1\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{2}, \ b=1; \ a\lt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{4}}{1}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
খ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(4x^2+y^2=1\)ঘ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{1}=1\)
এখানে, \(a^2=\frac{1}{4}, \ b^2=1\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{2}, \ b=1; \ a\lt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{4}}{1}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
৫। \(2x^2-kx+2=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হলে, \(k\) এর মান কত?
এখানে, \(a=-2, \ b=-k, \ c=2;\) \(ax^2+bx+c=0\) এর সাথে তুলুনা করে।
এখন, \(D=b^2-4ac\)
\(=(-k)^2-4.2.2\)
\(=k^2-16\)
শর্তমতে, \(D\gt{0}\)
\(\Rightarrow k^2-16\gt{0}\)
\(\Rightarrow k^2-4^2\gt{0}\)
\(\Rightarrow (k-4)(k+4)\gt{0}\)
\(\Rightarrow k-4\gt{0}, \ k+4\gt{0} \ \text{অথবা}, \ k-4\lt{0}, \ k+4\lt{0}\)
\(\Rightarrow k\gt{4}, \ k\gt{-4} \ \text{অথবা}, \ k\lt{4}, \ k\lt{-4}\)
\(\Rightarrow k\gt{4} \ \text{অথবা}, \ k\lt{-4}\)
\(\Rightarrow k=(4, \infty)\cup{(-\infty, -4)}\)
\(\therefore k=(-\infty, -4)\cup{(4, \infty)}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \((-4, -4)\)
গ \((-\infty, -4)\cup{(4, \infty)}\)
গ \((-\infty, -4)\cup{(4, \infty)}\)
খ \((-4, -4]\)
ঘ \((-\infty, -4)\cap{(4, \infty)}\)
\(2x^2-kx+2=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমানঘ \((-\infty, -4)\cap{(4, \infty)}\)
এখানে, \(a=-2, \ b=-k, \ c=2;\) \(ax^2+bx+c=0\) এর সাথে তুলুনা করে।
এখন, \(D=b^2-4ac\)
\(=(-k)^2-4.2.2\)
\(=k^2-16\)
শর্তমতে, \(D\gt{0}\)
\(\Rightarrow k^2-16\gt{0}\)
\(\Rightarrow k^2-4^2\gt{0}\)
\(\Rightarrow (k-4)(k+4)\gt{0}\)
\(\Rightarrow k-4\gt{0}, \ k+4\gt{0} \ \text{অথবা}, \ k-4\lt{0}, \ k+4\lt{0}\)
\(\Rightarrow k\gt{4}, \ k\gt{-4} \ \text{অথবা}, \ k\lt{4}, \ k\lt{-4}\)
\(\Rightarrow k\gt{4} \ \text{অথবা}, \ k\lt{-4}\)
\(\Rightarrow k=(4, \infty)\cup{(-\infty, -4)}\)
\(\therefore k=(-\infty, -4)\cup{(4, \infty)}\)
উত্তরঃ (গ)
৬। একটি অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \((4\sec{\theta}, 6\tan{\theta})\) অধিবৃত্তটির সমীকরণ-
এখানে, \(4\sec{\theta}=x, \ 6\tan{\theta}=y\)
\(\Rightarrow \sec{\theta}=\frac{x}{4}, \ \tan{\theta}=\frac{y}{6}\)
\(\Rightarrow \sec^2{\theta}-\tan^2{\theta}=\left(\frac{x}{4}\right)^2-\left(\frac{y}{6}\right)^2\)
\(\Rightarrow 1=\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2-4y^2}{144}=1\)
\(\therefore 9x^2-4y^2=144\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(6x^2+25y^2=400\)
গ \(9x^2-4y^2=144\)
গ \(9x^2-4y^2=144\)
খ \(6x^2-25y^2=400\)
ঘ \(4x^2-9y^2=144\)
\((4\sec{\theta}, 6\tan{\theta})\)ঘ \(4x^2-9y^2=144\)
এখানে, \(4\sec{\theta}=x, \ 6\tan{\theta}=y\)
\(\Rightarrow \sec{\theta}=\frac{x}{4}, \ \tan{\theta}=\frac{y}{6}\)
\(\Rightarrow \sec^2{\theta}-\tan^2{\theta}=\left(\frac{x}{4}\right)^2-\left(\frac{y}{6}\right)^2\)
\(\Rightarrow 1=\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2-4y^2}{144}=1\)
\(\therefore 9x^2-4y^2=144\)
উত্তরঃ (গ)
৭। \(f(x)=\operatorname{cosec{(\cot^{-1}{x})}}\) হলে \(f(2)\) এর মান কত?
\(\Rightarrow f(2)=\operatorname{cosec{(\cot^{-1}{2})}}\)
\(=\operatorname{cosec{\left(\operatorname{cosec^{-1}{\frac{\sqrt{1^2+2^2}}{1}}}\right)}}\)
\(=\frac{\sqrt{1+4}}{1}\)
\(=\sqrt{5}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
গ \(\sqrt{5}\)
গ \(\sqrt{5}\)
খ \(\frac{1}{3}\)
ঘ \(3\)
\(f(x)=\operatorname{cosec{(\cot^{-1}{x})}}\)ঘ \(3\)
\(\Rightarrow f(2)=\operatorname{cosec{(\cot^{-1}{2})}}\)
\(=\operatorname{cosec{\left(\operatorname{cosec^{-1}{\frac{\sqrt{1^2+2^2}}{1}}}\right)}}\)
\(=\frac{\sqrt{1+4}}{1}\)
\(=\sqrt{5}\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৮ ও ৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(10 N\) ও \(5 N\) মানের বলদ্বয় একটি বিন্দুতে \(120^{o}\) কোণে ক্রিয়াশীল।
৮। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?\(10 N\) ও \(5 N\) মানের বলদ্বয় একটি বিন্দুতে \(120^{o}\) কোণে ক্রিয়াশীল।
ক \(3\sqrt{5} N\)
গ \(5\sqrt{7} N\)
গ \(5\sqrt{7} N\)
খ \(5\sqrt{3} N\)
ঘ \(7\sqrt{5} N\)
লব্ধির মান \(=\sqrt{10^2+5^2+2.10.5\cos{120^{o}}}\)ঘ \(7\sqrt{5} N\)
\(=\sqrt{100+25+100\times-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{125-50}\)
\(=\sqrt{75}\)
\(=\sqrt{25\times3}\)
\(=5\sqrt{3}\)
\(\therefore\) লব্ধির মান \(5\sqrt{3} N\)
উত্তরঃ (খ)
৯। লব্ধি বলের ক্রিয়ারেখা বৃহত্তর বলটির সাথে কত কোণে অবস্থান করে?
\(\theta\) কোণে অবস্থান করে।
তাহলে, \(\tan{\theta}=\frac{5\sin{120^{o}}}{10+5\cos{120^{o}}}\)
\(=\frac{5\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{10+5\times-\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{10-\frac{5}{2}}\)
\(=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{\frac{20-5}{2}}\)
\(=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{\frac{15}{2}}\)
\(=\frac{5\sqrt{3}}{2}\times\frac{2}{15}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{30^{o}}\)
\(\therefore \theta=30^{o}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(30^{o}\)
গ \(60^{o}\)
গ \(60^{o}\)
খ \(45^{o}\)
ঘ \(90^{o}\)
ধরি,ঘ \(90^{o}\)
\(\theta\) কোণে অবস্থান করে।
তাহলে, \(\tan{\theta}=\frac{5\sin{120^{o}}}{10+5\cos{120^{o}}}\)
\(=\frac{5\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{10+5\times-\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{10-\frac{5}{2}}\)
\(=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{\frac{20-5}{2}}\)
\(=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{\frac{15}{2}}\)
\(=\frac{5\sqrt{3}}{2}\times\frac{2}{15}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{30^{o}}\)
\(\therefore \theta=30^{o}\)
উত্তরঃ (ক)
১০। \(x^2=1-y\) পরাবৃত্তটির-
\(i.\) শীর্ষবিন্দু \((1, 0)\)
\(ii.\) উপকেন্দ্র \(\left(0, \frac{3}{4}\right)\)
\(iii.\) নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(4y=5\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow x^2=-1(y-1)\)
এখানে, \(4a=-1, \ \alpha=0, \ \beta=1\)
\(\therefore a=-\frac{1}{4}, \ \alpha=0, \ \beta=1\)
শীর্ষবিন্দু \((\alpha, \beta)\)
\(\Rightarrow (0, 1)\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উপকেন্দ্র \(\left(\alpha, a+\beta\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, -\frac{1}{4}+1\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, \frac{-1+4}{4}\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, \frac{3}{4}\right)\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y-1=-a\)
\(\Rightarrow y-1=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow y=1+\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow y=\frac{4+1}{4}\)
\(\Rightarrow y=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow 4y=5\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
\(i.\) শীর্ষবিন্দু \((1, 0)\)
\(ii.\) উপকেন্দ্র \(\left(0, \frac{3}{4}\right)\)
\(iii.\) নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(4y=5\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2=1-y\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow x^2=-1(y-1)\)
এখানে, \(4a=-1, \ \alpha=0, \ \beta=1\)
\(\therefore a=-\frac{1}{4}, \ \alpha=0, \ \beta=1\)
শীর্ষবিন্দু \((\alpha, \beta)\)
\(\Rightarrow (0, 1)\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উপকেন্দ্র \(\left(\alpha, a+\beta\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, -\frac{1}{4}+1\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, \frac{-1+4}{4}\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, \frac{3}{4}\right)\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y-1=-a\)
\(\Rightarrow y-1=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow y=1+\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow y=\frac{4+1}{4}\)
\(\Rightarrow y=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow 4y=5\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
১১। এক বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল \(P, \ \sqrt{3}P, \ P\) সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রথমোক্ত বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ কত?
মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)
তাহলে, \(P^2+(\sqrt{3}P)^2+2.P.\sqrt{3}P\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 4P^2+2\sqrt{3}P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow P^2(4+2\sqrt{3}\cos{\alpha})=P^2\)
\(\Rightarrow 4+2\sqrt{3}\cos{\alpha}=1\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}\cos{\alpha}=1-4\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}\cos{\alpha}=-3\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{3}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\cos{30^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{(180^{o}-30^{o})}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{150^{o}}\)
\(\therefore \alpha=150^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(30^{o}\)
গ \(120^{o}\)
গ \(120^{o}\)
খ \(60^{o}\)
ঘ \(150^{o}\)
ধরি,ঘ \(150^{o}\)
মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)
তাহলে, \(P^2+(\sqrt{3}P)^2+2.P.\sqrt{3}P\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 4P^2+2\sqrt{3}P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow P^2(4+2\sqrt{3}\cos{\alpha})=P^2\)
\(\Rightarrow 4+2\sqrt{3}\cos{\alpha}=1\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}\cos{\alpha}=1-4\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}\cos{\alpha}=-3\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{3}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\cos{30^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{(180^{o}-30^{o})}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{150^{o}}\)
\(\therefore \alpha=150^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১২। নিচের কোনটি \(\sin{(2\sin^{-1}{x})}\) এর মান?
\(=\sin{\{\sin^{-1}{(2x\sqrt{1-x^2})}\}}\)
\(=2x\sqrt{1-x^2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2x\sqrt{x^2-1}\)
গ \(\frac{2x}{1-x^2}\)
গ \(\frac{2x}{1-x^2}\)
খ \(2x\sqrt{1-x^2}\)
ঘ \(\frac{2x}{1+x^2}\)
\(\sin{(2\sin^{-1}{x})}\)ঘ \(\frac{2x}{1+x^2}\)
\(=\sin{\{\sin^{-1}{(2x\sqrt{1-x^2})}\}}\)
\(=2x\sqrt{1-x^2}\)
উত্তরঃ (খ)
১৩। \(x^2-kx-6=0\) সমীকরণের একটি মূল \(-6\) হলে অপর মূলটি কত?
\(\Rightarrow x^2-kx+(-6).1=0\)
অপর মূলটি \(=1\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-5\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(-1\)
ঘ \(5\)
\(x^2-kx-6=0\)ঘ \(5\)
\(\Rightarrow x^2-kx+(-6).1=0\)
অপর মূলটি \(=1\)
উত্তরঃ (গ)
১৪। কোনো জড় বস্তুর উপর \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(42 N\) এবং \(24 N\) মানের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে। যদি তাদের লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \(BA\) এর বর্ধিতাংশকে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে তবে \(AB:BC=\) কত?
\(\Rightarrow BC.24=(BC-AB).42\)
\(\Rightarrow BC.24=BC.42-AB.42\)
\(\Rightarrow AB.42=BC.42-BC.24\)
\(\Rightarrow AB.42=BC.(42-24)\)
\(\Rightarrow AB.42=BC.18\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{18}{42}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{3}{7}\)
\(\therefore AB:BC=3:7\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(3:7\)
গ \(7:3\)
গ \(7:3\)
খ \(4:7\)
ঘ \(7:4\)
শর্তমতে, \(BC.24=AC.42\)ঘ \(7:4\)
\(\Rightarrow BC.24=(BC-AB).42\)
\(\Rightarrow BC.24=BC.42-AB.42\)
\(\Rightarrow AB.42=BC.42-BC.24\)
\(\Rightarrow AB.42=BC.(42-24)\)
\(\Rightarrow AB.42=BC.18\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{18}{42}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{3}{7}\)
\(\therefore AB:BC=3:7\)
উত্তরঃ (ক)
১৫। \(2x^2-px+8\) রাশিটি একটি পূর্ণ বর্গ হলে \(p\) এর মান কত?
এখানে, \(a=2, \ b=-p, \ c=8;\) \(ax^2+bx+c=0\) এর সাথে তুলুনা করে।
এখন, \(D=b^2-4ac\)
\(=(-p)^2-4.2.8\)
\(=p^2-64\)
তাহলে, \(p^2-64=0\)
\(\Rightarrow p^2=64\)
\(\Rightarrow p=\pm\sqrt{64}\)
\(\therefore p=\pm8\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\pm2\sqrt{2}\)
গ \(\pm4\sqrt{2}\)
গ \(\pm4\sqrt{2}\)
খ \(\pm4\)
ঘ \(\pm8\)
শর্তমতে, \(2x^2-px+8=0\) এর নিশ্চায়ক শূন্য হবেঘ \(\pm8\)
এখানে, \(a=2, \ b=-p, \ c=8;\) \(ax^2+bx+c=0\) এর সাথে তুলুনা করে।
এখন, \(D=b^2-4ac\)
\(=(-p)^2-4.2.8\)
\(=p^2-64\)
তাহলে, \(p^2-64=0\)
\(\Rightarrow p^2=64\)
\(\Rightarrow p=\pm\sqrt{64}\)
\(\therefore p=\pm8\)
উত্তরঃ (ঘ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৬ ও ১৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(9x^2-4y^2+36=0\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
১৬। অধিবৃত্তটির আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য কত?\(9x^2-4y^2+36=0\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
ক \(4\)
গ \(8\)
গ \(8\)
খ \(6\)
ঘ \(16\)
\(9x^2-4y^2+36=0\)ঘ \(16\)
\(\Rightarrow 9x^2-4y^2=-36\)
\(\Rightarrow -(4y^2-9x^2)=-36\)
\(\Rightarrow 4y^2-9x^2=36\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{36}-\frac{9x^2}{36}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=4, \ b^2=9;\) \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) এর সাথে তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2, \ b=3\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\times3\)
\(=6\)
উত্তরঃ (খ)
১৭। অধিবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাংক কত?
\(\Rightarrow 9x^2-4y^2=-36\)
\(\Rightarrow -(4y^2-9x^2)=-36\)
\(\Rightarrow 4y^2-9x^2=36\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{36}-\frac{9x^2}{36}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=4, \ b^2=9;\) \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) এর সাথে তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2, \ b=3\)
অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{13}{9}}\)
\(=\frac{\sqrt{13}}{3}\)
অধিবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((0, \pm{be})\)
\(\Rightarrow \left(0, \pm{3\times\frac{\sqrt{13}}{3}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, \pm{\sqrt{13}}\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \((\pm\sqrt{13}, 0)\)
গ \((0, \pm\sqrt{5})\)
গ \((0, \pm\sqrt{5})\)
খ \((\pm\sqrt{5}, 0)\)
ঘ \((0, \pm\sqrt{13})\)
\(9x^2-4y^2+36=0\)ঘ \((0, \pm\sqrt{13})\)
\(\Rightarrow 9x^2-4y^2=-36\)
\(\Rightarrow -(4y^2-9x^2)=-36\)
\(\Rightarrow 4y^2-9x^2=36\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{36}-\frac{9x^2}{36}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=4, \ b^2=9;\) \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) এর সাথে তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2, \ b=3\)
অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{13}{9}}\)
\(=\frac{\sqrt{13}}{3}\)
অধিবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((0, \pm{be})\)
\(\Rightarrow \left(0, \pm{3\times\frac{\sqrt{13}}{3}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, \pm{\sqrt{13}}\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৮। \(2\cos{\theta}+1=0\) এর সাধারণ সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow 2\cos{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{2\pi}{3}}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(2n\pi\pm\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
খ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
ঘ \(2n\pi\pm\frac{5\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(2\cos{\theta}+1=0\) ঘ \(2n\pi\pm\frac{5\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\Rightarrow 2\cos{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{2\pi}{3}}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (গ)
১৯। \(x^3-4x+3=0\) সমীকরণের মূলগুলো \(a, \ b, \ c\) হলে \(\sum{a}\) এর মান কত হবে?
তাহলে, \(a+b+c=-\frac{0}{1}\)
\(\Rightarrow \sum{a}=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-4\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(-3\)
ঘ \(4\)
\(x^3-4x+3=0 \Rightarrow x^3+0.x^2-4x+3=0\) সমীকরণের মূলগুলো \(a, \ b, \ c\)ঘ \(4\)
তাহলে, \(a+b+c=-\frac{0}{1}\)
\(\Rightarrow \sum{a}=0\)
উত্তরঃ (গ)
২০। যদি, \(x^2+x+2=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হয় তবে \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) এর মান কত?
তাহলে, \(\alpha+\beta=-\frac{1}{1}, \ \alpha\beta=\frac{2}{1}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-1, \ \alpha\beta=2\)
প্রদত্ত রাশি \(=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\)
\(=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)
\(=\frac{-1}{2}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}P\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{2}{\sqrt{3}}P\)
\(=\frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{3}}P\)
\(=\frac{\sqrt{2}P}{\sqrt{3}}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-1\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(-\frac{1}{2}\)
ঘ \(2\)
\(x^2+x+2=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)ঘ \(2\)
তাহলে, \(\alpha+\beta=-\frac{1}{1}, \ \alpha\beta=\frac{2}{1}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-1, \ \alpha\beta=2\)
প্রদত্ত রাশি \(=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\)
\(=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)
\(=\frac{-1}{2}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}P\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{2}{\sqrt{3}}P\)
\(=\frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{3}}P\)
\(=\frac{\sqrt{2}P}{\sqrt{3}}\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ২১ ও ২২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(p=\cos{\theta}, \ q=\sin{\theta}\)
২১। \(\sec{\theta}\) এর মান কনটি?\(p=\cos{\theta}, \ q=\sin{\theta}\)
ক \(\frac{1}{\sqrt{1-q^2}}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{q^2-1}}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{q^2-1}}\)
খ \(\sqrt{1-q^2}\)
ঘ \(\sqrt{q^2-1}\)
\(\sec{\theta}\)ঘ \(\sqrt{q^2-1}\)
\(=\frac{1}{\cos{\theta}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2{\theta}}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-q^2}}\)
উত্তরঃ (ক)
২২। \(p-\sqrt{3}q=0\) এর সাধারণ সমাধান কোনটি?
\(p=\cos{\theta}, \ q=\sin{\theta}\) এবং \(p-\sqrt{3}q=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}-\sqrt{3}\sin{\theta}=0\)
\(\Rightarrow -\sqrt{3}\sin{\theta}=-\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\sin{\theta}=\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\frac{\pi}{6}}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(n\pi-\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(n\pi+\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(n\pi+\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
খ \(n\pi-\frac{\pi}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
ঘ \(n\pi-\frac{\pi}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
দেওয়া আছে,ঘ \(n\pi-\frac{\pi}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(p=\cos{\theta}, \ q=\sin{\theta}\) এবং \(p-\sqrt{3}q=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}-\sqrt{3}\sin{\theta}=0\)
\(\Rightarrow -\sqrt{3}\sin{\theta}=-\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\sin{\theta}=\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\frac{\pi}{6}}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (গ)
২৩। \(3x^2-px+4=0\) সমীকরণের একটি মূল অপরটির তিনগুণ হলে \(p\) এর মান কত?
\(\alpha\times3\alpha=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow \alpha^2=\frac{4}{3\times3}\)
\(\Rightarrow \alpha^2=\frac{4}{9}\)
\(\therefore \alpha=\pm\frac{2}{3}\)
আবার, \(\alpha+3\alpha=-\frac{p}{3}\)
\(\Rightarrow 4\alpha=-\frac{p}{3}\)
\(\Rightarrow p=-12\alpha\)
\(\Rightarrow p=-12\times\pm\frac{2}{3}\)
\(\therefore p=\pm8\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\pm3\)
গ \(\pm6\)
গ \(\pm6\)
খ \(\pm2\sqrt{2}\)
ঘ \(\pm8\)
সমীকরণটির মূলগুলি \(\alpha, \ 3\alpha\) হলেঘ \(\pm8\)
\(\alpha\times3\alpha=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow \alpha^2=\frac{4}{3\times3}\)
\(\Rightarrow \alpha^2=\frac{4}{9}\)
\(\therefore \alpha=\pm\frac{2}{3}\)
আবার, \(\alpha+3\alpha=-\frac{p}{3}\)
\(\Rightarrow 4\alpha=-\frac{p}{3}\)
\(\Rightarrow p=-12\alpha\)
\(\Rightarrow p=-12\times\pm\frac{2}{3}\)
\(\therefore p=\pm8\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৪। \(\frac{(x-1)^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\) উপবৃত্তটির-
\(i.\) কেন্দ্রের স্থানাংক \((1, 0)\)
\(ii.\) উপকেন্দ্র স্থানাংক \(\left(0, \pm7\right)\)
\(iii.\) বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(8\)
নিচের কোনটি সঠিক?
এখানে, \(a^2=9, \ b^2=16, \ \alpha=1, \ \beta=0\)
\(\therefore a=3, \ b=4, \ \alpha=1, \ \beta=0; \ a\lt{b}\)
কেন্দ্রের স্থানাংক \((\alpha, \beta)\)
\(\Rightarrow (1, 0)\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{9}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16-9}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{7}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{7}}{4}\)
উপকেন্দ্র স্থানাংক \(\left(\alpha, \pm{be}+\beta\right)\)
\(\Rightarrow \left(1, \pm4\frac{\sqrt{7}}{4}+0\right)\)
\(\Rightarrow \left(1, \pm\sqrt{7}\right)\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\times4\)
\(=8\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) কেন্দ্রের স্থানাংক \((1, 0)\)
\(ii.\) উপকেন্দ্র স্থানাংক \(\left(0, \pm7\right)\)
\(iii.\) বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(8\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\frac{(x-1)^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখানে, \(a^2=9, \ b^2=16, \ \alpha=1, \ \beta=0\)
\(\therefore a=3, \ b=4, \ \alpha=1, \ \beta=0; \ a\lt{b}\)
কেন্দ্রের স্থানাংক \((\alpha, \beta)\)
\(\Rightarrow (1, 0)\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{9}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16-9}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{7}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{7}}{4}\)
উপকেন্দ্র স্থানাংক \(\left(\alpha, \pm{be}+\beta\right)\)
\(\Rightarrow \left(1, \pm4\frac{\sqrt{7}}{4}+0\right)\)
\(\Rightarrow \left(1, \pm\sqrt{7}\right)\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\times4\)
\(=8\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
২৫। একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(7 N\) মানের দুইটি সমান বলের লব্ধি \(7 N,\) বলদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?
\(7^2+7^2+2.7.7\cos{\alpha}=7^2\)
\(\Rightarrow 49+49+98\cos{\alpha}=49\)
\(\Rightarrow 49+98\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 98\cos{\alpha}=-49\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{49}{98}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(30^{o}\)
গ \(90^{o}\)
গ \(90^{o}\)
খ \(60^{o}\)
ঘ \(120^{o}\)
বলদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\alpha\) হলে ঘ \(120^{o}\)
\(7^2+7^2+2.7.7\cos{\alpha}=7^2\)
\(\Rightarrow 49+49+98\cos{\alpha}=49\)
\(\Rightarrow 49+98\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 98\cos{\alpha}=-49\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{49}{98}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004