শিক্ষা বোর্ড সিলেট - 2022
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(f(x)=x^2-2x\) ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান হওয়ার শর্ত-
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2x-2\)
ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান হবে যদি, \(f^{\prime}(x)\lt{0}\) হয়।
\(\Rightarrow 2x-2\lt{0}\)
\(\Rightarrow 2(x-1)\lt{0}\)
\(\Rightarrow x-1\lt{0}\)
\(\therefore x\lt{1}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(x\gt{1}\)
গ \(x\lt{1}\)
গ \(x\lt{1}\)
খ \(x\gt{2}\)
ঘ \(x\lt{2}\)
\(f(x)=x^2-2x\)ঘ \(x\lt{2}\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2x-2\)
ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান হবে যদি, \(f^{\prime}(x)\lt{0}\) হয়।
\(\Rightarrow 2x-2\lt{0}\)
\(\Rightarrow 2(x-1)\lt{0}\)
\(\Rightarrow x-1\lt{0}\)
\(\therefore x\lt{1}\)
উত্তরঃ (গ)
২। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+\sin{x}}-\sqrt{1-\sin{x}}}{x}\] এর মান কত?
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(\sqrt{1+\sin{x}}-\sqrt{1-\sin{x}})(\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}})}{x(\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}})}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(\sqrt{1+\sin{x}})^2-(\sqrt{1-\sin{x}})^2}{x(\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}})}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1+\sin{x}-1+\sin{x}}{x(\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}})}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin{x}}{x(\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}})}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}\times\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{(\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}})}\]
\[=2\times1\times\frac{1}{(\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0})}\]
\[=2\times\frac{1}{(1+1)}\]
\[=2\times\frac{1}{2}\]
\[=1\]
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{1}{2}\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(-2\)
ঘ \(1\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+\sin{x}}-\sqrt{1-\sin{x}}}{x}\]ঘ \(1\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(\sqrt{1+\sin{x}}-\sqrt{1-\sin{x}})(\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}})}{x(\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}})}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(\sqrt{1+\sin{x}})^2-(\sqrt{1-\sin{x}})^2}{x(\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}})}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1+\sin{x}-1+\sin{x}}{x(\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}})}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin{x}}{x(\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}})}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}\times\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{(\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}})}\]
\[=2\times1\times\frac{1}{(\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0})}\]
\[=2\times\frac{1}{(1+1)}\]
\[=2\times\frac{1}{2}\]
\[=1\]
উত্তরঃ (ঘ)
৩। \(\int{\frac{\cot{x}}{\sqrt{\sin{x}}}dx}=\) কত?
\(=2\int{\frac{d(\sqrt{\sin{x}})}{(\sqrt{\sin{x}})^2}}\)
\(=2\times-\frac{1}{\sqrt{\sin{x}}};\) \(\because \int{\frac{dx}{x^2}}=-\frac{1}{x}\)
\(=-\frac{2}{\sqrt{\sin{x}}}+c\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-\frac{2}{\sqrt{\sin{x}}}+c\)
গ \(\frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}+c\)
গ \(\frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}+c\)
খ \(-\frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}+c\)
ঘ \(2\sqrt{\sin{x}}+c\)
\(\int{\frac{\cot{x}}{\sqrt{\sin{x}}}dx}\)ঘ \(2\sqrt{\sin{x}}+c\)
\(=2\int{\frac{d(\sqrt{\sin{x}})}{(\sqrt{\sin{x}})^2}}\)
\(=2\times-\frac{1}{\sqrt{\sin{x}}};\) \(\because \int{\frac{dx}{x^2}}=-\frac{1}{x}\)
\(=-\frac{2}{\sqrt{\sin{x}}}+c\)
উত্তরঃ (ক)
৪। \(\int{e^x\cos{x}(1+\tan{x})dx}\) এর মান কত?
\(=\int{e^x\cos{x}\left(1+\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\right)dx}\)
\(=\int{e^x\cos{x}dx}+\int{e^x\sin{x}dx}\)
\(=e^x\int{\cos{x}dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(e^x)\int{\cos{x}}\right\}dx}+\int{e^x\sin{x}dx}\)
\(=e^x\sin{x}-\int{e^x\sin{x}dx}+\int{e^x\sin{x}dx}\)
\(=e^x\sin{x}+c\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(e^x\cos{x}+c\)
গ \(e^x\sec{x}+c\)
গ \(e^x\sec{x}+c\)
খ \(e^x\tan{x}+c\)
ঘ \(e^x\sin{x}+c\)
\(\int{e^x\cos{x}(1+\tan{x})dx}\)ঘ \(e^x\sin{x}+c\)
\(=\int{e^x\cos{x}\left(1+\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\right)dx}\)
\(=\int{e^x\cos{x}dx}+\int{e^x\sin{x}dx}\)
\(=e^x\int{\cos{x}dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(e^x)\int{\cos{x}}\right\}dx}+\int{e^x\sin{x}dx}\)
\(=e^x\sin{x}-\int{e^x\sin{x}dx}+\int{e^x\sin{x}dx}\)
\(=e^x\sin{x}+c\)
উত্তরঃ (ঘ)
৫। \(\int_{0}^{3}{f(x)dx}=4\) হলে, \(\int_{2}^{5}{f(x-2)dx}=\) কত?
\(\Rightarrow [f^{\prime}(x)]_{0}^{3}=4\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(3)-f^{\prime}(0)=4 ......(1)\)
এখন, \(\int_{2}^{5}{f(x-2)dx}\)
\(=[f^{\prime}(x-2)]_{2}^{5}\)
\(=f^{\prime}(5-2)-f^{\prime}(2-2)\)
\(=f^{\prime}(3)-f^{\prime}(0)\)
\(=4\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(0\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(4\)
ঘ \(2\)
\(\int_{0}^{3}{f(x)dx}=4\)ঘ \(2\)
\(\Rightarrow [f^{\prime}(x)]_{0}^{3}=4\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(3)-f^{\prime}(0)=4 ......(1)\)
এখন, \(\int_{2}^{5}{f(x-2)dx}\)
\(=[f^{\prime}(x-2)]_{2}^{5}\)
\(=f^{\prime}(5-2)-f^{\prime}(2-2)\)
\(=f^{\prime}(3)-f^{\prime}(0)\)
\(=4\)
উত্তরঃ (খ)
৬। \(y\) অক্ষ এবং \(x=4-y^2\) পরাবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
\(\Rightarrow 0=4-y^2\)
\(\Rightarrow y^2=4\)
\(\Rightarrow y=\pm\sqrt{4}\)
\(\therefore y=\pm2\)
\(y\) এর সীমা \(0\) থেকে \(2\) পর্যন্ত।
ক্ষেত্রফল \(=2\int_{0}^{2}{xdy}\)
\(=2\int_{0}^{2}{(4-y^2)dy}\)
\(=2\left[4y-\frac{y^3}{3}\right]_{0}^{2}\)
\(=2\left[4\times2-\frac{2^3}{3}-0+0\right]\)
\(=2\left[8-\frac{8}{3}\right]\)
\(=2\times\frac{24-8}{3}\)
\(=2\times\frac{16}{3}\)
\(=\frac{32}{3}\) বর্গ একক।
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{3}{32}\) বর্গ একক
গ \(\frac{32}{3}\) বর্গ একক
গ \(\frac{32}{3}\) বর্গ একক
খ \(\frac{2}{33}\) বর্গ একক
ঘ \(\frac{33}{2}\) বর্গ একক
\(y\) অক্ষ বা \(x=0\) এবং \(x=4-y^2\)ঘ \(\frac{33}{2}\) বর্গ একক
\(\Rightarrow 0=4-y^2\)
\(\Rightarrow y^2=4\)
\(\Rightarrow y=\pm\sqrt{4}\)\(\therefore y=\pm2\)
\(y\) এর সীমা \(0\) থেকে \(2\) পর্যন্ত।
ক্ষেত্রফল \(=2\int_{0}^{2}{xdy}\)
\(=2\int_{0}^{2}{(4-y^2)dy}\)
\(=2\left[4y-\frac{y^3}{3}\right]_{0}^{2}\)
\(=2\left[4\times2-\frac{2^3}{3}-0+0\right]\)
\(=2\left[8-\frac{8}{3}\right]\)
\(=2\times\frac{24-8}{3}\)
\(=2\times\frac{16}{3}\)
\(=\frac{32}{3}\) বর্গ একক।
উত্তরঃ (গ)
৭। \(\frac{\cot{54^{o}}}{\tan{36^{o}}}+\frac{\tan{20^{o}}}{\cot{70^{o}}}\) এর মান কত?
\(=\frac{\cot{(90^{o}-36^{o})}}{\tan{36^{o}}}+\frac{\tan{20^{o}}}{\cot{(90^{o}-20^{o})}}\)
\(=\frac{\tan{36^{o}}}{\tan{36^{o}}}+\frac{\tan{20^{o}}}{\tan{20^{o}}}\)
\(=1+1\)
\(=2\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(0\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(1\)
ঘ \(3\)
\(\frac{\cot{54^{o}}}{\tan{36^{o}}}+\frac{\tan{20^{o}}}{\cot{70^{o}}}\)ঘ \(3\)
\(=\frac{\cot{(90^{o}-36^{o})}}{\tan{36^{o}}}+\frac{\tan{20^{o}}}{\cot{(90^{o}-20^{o})}}\)
\(=\frac{\tan{36^{o}}}{\tan{36^{o}}}+\frac{\tan{20^{o}}}{\tan{20^{o}}}\)
\(=1+1\)
\(=2\)
উত্তরঃ (গ)
৮। \(\cos{\theta}=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\) তবে তবে \(\cos{3\theta}\) এর মান-
\(=4\cos^3{\theta}-3\cos{\theta}\)
\(=4\left\{\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\right\}^3-3\left\{\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\right\}\)
\(=\frac{4}{8}\left\{\left(a+\frac{1}{a}\right)\right\}^3-\frac{3}{2}\left\{\left(a+\frac{1}{a}\right)\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{\left(a+\frac{1}{a}\right)^3-3\left(a+\frac{1}{a}\right)\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{\left(a+\frac{1}{a}\right)^3-3.a.\frac{1}{a}\left(a+\frac{1}{a}\right)\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left(a^{3}+\frac{1}{a^{3}}\right)\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{1}{8}\left(a^{3}+\frac{1}{a^{3}}\right)\)
গ \(\frac{1}{2}\left(a^{3}+\frac{1}{a^{3}}\right)\)
গ \(\frac{1}{2}\left(a^{3}+\frac{1}{a^{3}}\right)\)
খ \(\frac{1}{3}\left(a^{3}+\frac{1}{a^{3}}\right)\)
ঘ \(\frac{3}{2}\left(a^{3}+\frac{1}{a^{3}}\right)\)
\(\cos{3\theta}\)ঘ \(\frac{3}{2}\left(a^{3}+\frac{1}{a^{3}}\right)\)
\(=4\cos^3{\theta}-3\cos{\theta}\)
\(=4\left\{\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\right\}^3-3\left\{\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\right\}\)
\(=\frac{4}{8}\left\{\left(a+\frac{1}{a}\right)\right\}^3-\frac{3}{2}\left\{\left(a+\frac{1}{a}\right)\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{\left(a+\frac{1}{a}\right)^3-3\left(a+\frac{1}{a}\right)\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{\left(a+\frac{1}{a}\right)^3-3.a.\frac{1}{a}\left(a+\frac{1}{a}\right)\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left(a^{3}+\frac{1}{a^{3}}\right)\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৯ ও ১০ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
৯। \(\angle{A}=60^{o}, \ b=2\) এবং \(c=4\) হলে, \(a\) এর মান কত?
ক \(2\sqrt{2}\)
গ \(\sqrt{3}\)
গ \(\sqrt{3}\)
খ \(2\sqrt{3}\)
ঘ \(\sqrt{6}\)
চিত্র হতে,ঘ \(\sqrt{6}\)
\(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(\Rightarrow \cos{60^{o}}=\frac{2^2+4^2-a^2}{2\times2\times4}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{4+16-a^2}{16}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{20-a^2}{16}\)
\(\Rightarrow \frac{16}{2}=20-a^2\)
\(\Rightarrow 8=20-a^2\)
\(\Rightarrow a^2=20-8\)
\(\Rightarrow a^2=12\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{12}\)
\(\therefore a=2\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (খ)
১০। \(\angle{A}:\angle{B}:\angle{C}=1:2:3\) হলে, \(a:b:c=\) কত?
\(\angle{A}:\angle{B}:\angle{C}=1:2:3\)
\(\Rightarrow \angle{A}:\angle{B}=1:2, \ \angle{A}:\angle{C}=1:3\)
\(\Rightarrow \frac{\angle{A}}{\angle{B}}=\frac{1}{2}, \ \frac{\angle{A}}{\angle{C}}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \angle{B}=2\angle{A}, \ \angle{C}=3\angle{A}\)
\(\Rightarrow \angle{A}+2\angle{A}+3\angle{A}=180^{o}\)
\(\Rightarrow 6\angle{A}=180^{o}\)
\(\Rightarrow \angle{A}=30^{o}, \ \angle{B}=60^{o}, \ \angle{C}=90^{o}\)
আবার,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sin{30^{o}}}=\frac{b}{\angle{60^{o}}}=\frac{c}{\angle{90^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\frac{1}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{c}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\frac{1}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{c}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{1}=\frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{c}{2}\)
\(\therefore a:b:c=1:\sqrt{3}:2\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(2:\sqrt{3}:1\)
গ \(2:3:1\)
গ \(2:3:1\)
খ \(\sqrt{3}:2:1\)
ঘ \(1:\sqrt{3}:2\)
দেওয়া আছে,ঘ \(1:\sqrt{3}:2\)
\(\angle{A}:\angle{B}:\angle{C}=1:2:3\)
\(\Rightarrow \angle{A}:\angle{B}=1:2, \ \angle{A}:\angle{C}=1:3\)
\(\Rightarrow \frac{\angle{A}}{\angle{B}}=\frac{1}{2}, \ \frac{\angle{A}}{\angle{C}}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \angle{B}=2\angle{A}, \ \angle{C}=3\angle{A}\)
\(\Rightarrow \angle{A}+2\angle{A}+3\angle{A}=180^{o}\)
\(\Rightarrow 6\angle{A}=180^{o}\)
\(\Rightarrow \angle{A}=30^{o}, \ \angle{B}=60^{o}, \ \angle{C}=90^{o}\)
আবার,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sin{30^{o}}}=\frac{b}{\angle{60^{o}}}=\frac{c}{\angle{90^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\frac{1}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{c}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\frac{1}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{c}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{1}=\frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{c}{2}\)
\(\therefore a:b:c=1:\sqrt{3}:2\)
উত্তরঃ (ঘ)
১১। \(y=x^3+2x^2+4\) বক্ররেখার \((1, 7)\) বিন্দুতে-
\(i.\) স্পর্শকের ঢাল \(7\)
\(ii.\) স্পর্শকের সমীকরণ \(7x-y+5=0\)
\(iii.\) অভিলম্বের সমীকরণ \(x+7y=50\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow y_{1}=3x^2+4x\)
\((1, 7)\) বিন্দুতে \(y_{1}=3.1^2+4.1\)
\(=3+4\)
\(=7\)
স্পর্শকের ঢাল \(=7\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
স্পর্শকের সমীকরণ \(y-7=7(x-1)\)
\(\Rightarrow y-7=7x-7\)
\(\Rightarrow 7x-7=y-7\)
\(\Rightarrow 7x-y=0\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
অভিলম্বের সমীকরণ \((y-7)=-\frac{1}{7}(x-1)\)
\(\Rightarrow 7(y-7)+(x-1)=0\)
\(\Rightarrow 7y-49+x-1=0\)
\(\Rightarrow x+7y=50\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) স্পর্শকের ঢাল \(7\)
\(ii.\) স্পর্শকের সমীকরণ \(7x-y+5=0\)
\(iii.\) অভিলম্বের সমীকরণ \(x+7y=50\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(y=x^3+2x^2+4\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow y_{1}=3x^2+4x\)
\((1, 7)\) বিন্দুতে \(y_{1}=3.1^2+4.1\)
\(=3+4\)
\(=7\)
স্পর্শকের ঢাল \(=7\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
স্পর্শকের সমীকরণ \(y-7=7(x-1)\)
\(\Rightarrow y-7=7x-7\)
\(\Rightarrow 7x-7=y-7\)
\(\Rightarrow 7x-y=0\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
অভিলম্বের সমীকরণ \((y-7)=-\frac{1}{7}(x-1)\)
\(\Rightarrow 7(y-7)+(x-1)=0\)
\(\Rightarrow 7y-49+x-1=0\)
\(\Rightarrow x+7y=50\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
১২। দূরত্ব \(S=5t^{3}-9t^{2}+3t+2\) হলে \(t=4\) সময় পর বেগ কত একক হবে?
\(\Rightarrow \frac{dS}{dt}=15t^{2}-18t+3\)
\(t=4\) সময় পর বেগ \(\frac{dS}{dt}=v=15.4^{2}-18.4+3\)
\(=15.16-72+3\)
\(=240-72+3\)
\(=243-72\)
\(=171\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(71\)
গ \(243\)
গ \(243\)
খ \(171\)
ঘ \(343\)
\(S=5t^{3}-9t^{2}+3t+2\)ঘ \(343\)
\(\Rightarrow \frac{dS}{dt}=15t^{2}-18t+3\)
\(t=4\) সময় পর বেগ \(\frac{dS}{dt}=v=15.4^{2}-18.4+3\)
\(=15.16-72+3\)
\(=240-72+3\)
\(=243-72\)
\(=171\)
উত্তরঃ (খ)
১৩। \(5x+3y-7=0\) এবং \(15x+9y+14=0\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব-
\(\Rightarrow 5x+3y-7=0\) এবং \(3\left(5x+3y+\frac{14}{3}\right)=0\)
\(\Rightarrow 5x+3y-7=0\) এবং \(5x+3y+\frac{14}{3}=0\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\frac{|-7-\frac{14}{3}|}{\sqrt{5^2+3^2}}\)
\(=\frac{|\frac{-21-14}{3}|}{\sqrt{25+9}}\)
\(=\frac{|\frac{-35}{3}|}{\sqrt{34}}\)
\(=\frac{\frac{35}{3}}{\sqrt{34}}\)
\(=\frac{35}{3\sqrt{34}}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{7}{\sqrt{34}}\)
গ \(\frac{35}{3\sqrt{34}}\)
গ \(\frac{35}{3\sqrt{34}}\)
খ \(\frac{15}{2\sqrt{34}}\)
ঘ \(\frac{47}{4\sqrt{34}}\)
\(5x+3y-7=0\) এবং \(15x+9y+14=0\)ঘ \(\frac{47}{4\sqrt{34}}\)
\(\Rightarrow 5x+3y-7=0\) এবং \(3\left(5x+3y+\frac{14}{3}\right)=0\)
\(\Rightarrow 5x+3y-7=0\) এবং \(5x+3y+\frac{14}{3}=0\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\frac{|-7-\frac{14}{3}|}{\sqrt{5^2+3^2}}\)
\(=\frac{|\frac{-21-14}{3}|}{\sqrt{25+9}}\)
\(=\frac{|\frac{-35}{3}|}{\sqrt{34}}\)
\(=\frac{\frac{35}{3}}{\sqrt{34}}\)
\(=\frac{35}{3\sqrt{34}}\)
উত্তরঃ (গ)
১৪। \(2x+3y=8\) রেখা দ্বারা-
\(i.\) \(x\)-অক্ষের খন্ডিতাংশ \(4\)
\(ii.\) অক্ষদ্বয়ের সাথে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\frac{16}{3}\) বর্গ একক
\(iii.\) \(y\)-অক্ষকে \((0, 8)\) বিন্দুতে ছেদ করে
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow \frac{2x}{8}+\frac{3y}{8}=1\)
\(\therefore \frac{x}{4}+\frac{y}{\frac{8}{3}}=1\)
রেখাটি দ্বারা \(x\)-অক্ষের খন্ডিতাংশ \(4\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
অক্ষদ্বয়ের সাথে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times4\times\frac{8}{3}\)
\(=2\times\frac{8}{3}\) বর্গ একক
\(=\frac{16}{3}\) বর্গ একক
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(y\)-অক্ষকে \(\left(0, \frac{8}{3}\right)\) বিন্দুতে ছেদ করে
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) \(x\)-অক্ষের খন্ডিতাংশ \(4\)
\(ii.\) অক্ষদ্বয়ের সাথে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\frac{16}{3}\) বর্গ একক
\(iii.\) \(y\)-অক্ষকে \((0, 8)\) বিন্দুতে ছেদ করে
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(2x+3y=8\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \frac{2x}{8}+\frac{3y}{8}=1\)
\(\therefore \frac{x}{4}+\frac{y}{\frac{8}{3}}=1\)
রেখাটি দ্বারা \(x\)-অক্ষের খন্ডিতাংশ \(4\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
অক্ষদ্বয়ের সাথে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times4\times\frac{8}{3}\)
\(=2\times\frac{8}{3}\) বর্গ একক
\(=\frac{16}{3}\) বর্গ একক
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(y\)-অক্ষকে \(\left(0, \frac{8}{3}\right)\) বিন্দুতে ছেদ করে
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৫ ও ১৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^2+y^2-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
১৫। \(c\) এর মান কত?\(x^2+y^2-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
ক \(9\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(3\)
ঘ \(2\)
\(x^2+y^2-4x-6y+c=0\)ঘ \(2\)
এখানে, \(2g=-4, \ 2f=-6\)
\(\Rightarrow g=-2, \ f=-3\)
বৃত্তের কেন্দ্র \((2, 3)\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2-c}\)
\(=\sqrt{4+9-c}\)
\(=\sqrt{13-c}\)
বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে, ফলে কেন্দ্রের \(x\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\Rightarrow \sqrt{13-c}=2\)
\(\Rightarrow 13-c=4\)
\(\Rightarrow -c=4-14\)
\(\Rightarrow -c=-9\)
\(\therefore c=9\)
উত্তরঃ (ক)
১৬। স্পর্শ বিন্দুর স্থানাংক কত?
বৃত্তটি যখন \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে তখন \(x=0\)
\(\Rightarrow 0^2+y^2-4.0-6y+9=0\)
\(\Rightarrow y^2-6y+9=0\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=0\)
\(\Rightarrow y-3=0\)
\(\therefore y=3\)
স্পর্শ বিন্দুর স্থানাংক \((0, 3)\)
উত্তরঃ (খ)
ক \((3, 0)\)
গ \((2, 0)\)
গ \((2, 0)\)
খ \((0, 3)\)
ঘ \((0, 2)\)
'১৫' হতে প্রাপ্ত \(x^2+y^2-4x-6y+9=0\)ঘ \((0, 2)\)
বৃত্তটি যখন \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে তখন \(x=0\)
\(\Rightarrow 0^2+y^2-4.0-6y+9=0\)
\(\Rightarrow y^2-6y+9=0\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=0\)
\(\Rightarrow y-3=0\)
\(\therefore y=3\)
স্পর্শ বিন্দুর স্থানাংক \((0, 3)\)
উত্তরঃ (খ)
১৭। \((-1, -3)\) বিন্দু হতে অংকিত \(x^2+y^2-2x-y-7=0\) বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?
\(=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2-2(-1)-(-3)-7}\)
\(=\sqrt{1+9+2+3-7}\)
\(=\sqrt{15-7}\)
\(=\sqrt{8}\)
\(=2\sqrt{2}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(4\)
গ \(2\sqrt{2}\)
গ \(2\sqrt{2}\)
খ \(2\sqrt{3}\)
ঘ \(8\)
\((-1, -3)\) বিন্দু হতে অংকিত \(x^2+y^2-2x-y-7=0\) বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্যঘ \(8\)
\(=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2-2(-1)-(-3)-7}\)
\(=\sqrt{1+9+2+3-7}\)
\(=\sqrt{15-7}\)
\(=\sqrt{8}\)
\(=2\sqrt{2}\)
উত্তরঃ (গ)
১৮। \(3x-4y+4=0\) এবং \(6x-8y-7=0\) সরলরেখাদ্বয় একই বৃত্তের স্পর্শক হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ-
\(\Rightarrow 3x-4y+4=0\) এবং \(2\left(3x-4y-\frac{7}{2}\right)=0\)
\(\Rightarrow 3x-4y+4=0\) এবং \(3x-4y-\frac{7}{2}=0\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল এবং একই বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাহলে সরলরেখদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসের সমান হবে।
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(=\frac{1}{2}\times\frac{|4+\frac{7}{2}|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\)
\(=\frac{1}{2}\times\frac{|\frac{8+7}{2}|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{1}{2}\times\frac{15}{2\sqrt{25}}\)
\(=\frac{1}{2}\times\frac{15}{2\times5}\)
\(=\frac{3}{4}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{3}{5}\)
গ \(\frac{3}{4}\)
গ \(\frac{3}{4}\)
খ \(\frac{5}{7}\)
ঘ \(\frac{5}{6}\)
\(3x-4y+4=0\) এবং \(6x-8y-7=0\) ঘ \(\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow 3x-4y+4=0\) এবং \(2\left(3x-4y-\frac{7}{2}\right)=0\)
\(\Rightarrow 3x-4y+4=0\) এবং \(3x-4y-\frac{7}{2}=0\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল এবং একই বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাহলে সরলরেখদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসের সমান হবে।
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(=\frac{1}{2}\times\frac{|4+\frac{7}{2}|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\)
\(=\frac{1}{2}\times\frac{|\frac{8+7}{2}|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{1}{2}\times\frac{15}{2\sqrt{25}}\)
\(=\frac{1}{2}\times\frac{15}{2\times5}\)
\(=\frac{3}{4}\)
উত্তরঃ (গ)
১৯। বর্গ ম্যাট্রিক্স \(A\) এর ক্ষেত্রে \(A^2=I\) হলে, \(A^{-1}=\)?
\(=\frac{I}{A}\)
\(=\frac{A^2}{A}\) যেহেতু \(A^2=I\)
\(=A\)
\(\therefore A^{-1}=A\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2A\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(A\)
ঘ \(A+I\)
\(A^{-1}\)ঘ \(A+I\)
\(=\frac{I}{A}\)
\(=\frac{A^2}{A}\) যেহেতু \(A^2=I\)
\(=A\)
\(\therefore A^{-1}=A\)
উত্তরঃ (খ)
২০। \(\begin{bmatrix}1 & 3 & \lambda+2 \\2 & 4 & 8 \\3 & 5 & 10\end{bmatrix}\) ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে, \(\lambda\) এর মান-
\(\Rightarrow 1(40-40)-3(20-24)+(\lambda+2)(10-12)=0\)
\(\Rightarrow 0-3(-4)+(\lambda+2)(-2)=0\)
\(\Rightarrow 12+(\lambda+2)(-2)=0\)
\(\Rightarrow (\lambda+2)(-2)=-12\)
\(\Rightarrow \lambda+2=6\)
\(\Rightarrow \lambda=6-2\)
\(\therefore \lambda=4\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-2\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(2\)
ঘ \(-4\)
\(\begin{bmatrix}1 & 3 & \lambda+2 \\2 & 4 & 8 \\3 & 5 & 10\end{bmatrix}\) ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্সঘ \(-4\)
\(\Rightarrow 1(40-40)-3(20-24)+(\lambda+2)(10-12)=0\)
\(\Rightarrow 0-3(-4)+(\lambda+2)(-2)=0\)
\(\Rightarrow 12+(\lambda+2)(-2)=0\)
\(\Rightarrow (\lambda+2)(-2)=-12\)
\(\Rightarrow \lambda+2=6\)
\(\Rightarrow \lambda=6-2\)
\(\therefore \lambda=4\)
উত্তরঃ (গ)
২১। \(A^{-1}=\left[\begin{array}{c}2 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right], B^{-1}=\left[\begin{array}{c}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\) হলে \((AB)^{-1}\) এর মান কত?
\(=\left[\begin{array}{c}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{c}2 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{c}0+0 & 0+2 \\ 2+0 & 0+0\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{c}0 & 2 \\ 2 & 0\end{array}\right]\)
\(\therefore (AB)^{-1}=\left[\begin{array}{c}0 & 2 \\ 2 & 0\end{array}\right]\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\left[\begin{array}{c}0 & 2 \\ 2 & 0\end{array}\right]\)
গ \(\left[\begin{array}{c}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\)
গ \(\left[\begin{array}{c}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\)
খ \(\left[\begin{array}{c}2 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]\)
ঘ \(\left[\begin{array}{c}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\)
আমরা জানি, \((AB)^{-1}=(B)^{-1}(A)^{-1}\)ঘ \(\left[\begin{array}{c}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{c}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{c}2 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{c}0+0 & 0+2 \\ 2+0 & 0+0\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{c}0 & 2 \\ 2 & 0\end{array}\right]\)
\(\therefore (AB)^{-1}=\left[\begin{array}{c}0 & 2 \\ 2 & 0\end{array}\right]\)
উত্তরঃ (ক)
২২। \(A\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং \(K\) একটি স্কেলার হলে-
\(i.\) \((A^t)^t=A\)
\(ii.\) \((KA)^t=KA^t\)
\(iii.\) যদি \(|A|\ne{0}\) হয়, তবে \(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\((A^t)^t=A\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(A\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং \(K\) একটি স্কেলার হলে
\((KA)^t=KA^t\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(A\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হলে
যদি \(|A|\ne{0}\) হয়, তবে \(|A^{-1}|=\left|\frac{1}{A}\right|\)
\(=\frac{1}{|A|}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \((A^t)^t=A\)
\(ii.\) \((KA)^t=KA^t\)
\(iii.\) যদি \(|A|\ne{0}\) হয়, তবে \(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(A\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হলেঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\((A^t)^t=A\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(A\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং \(K\) একটি স্কেলার হলে
\((KA)^t=KA^t\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(A\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হলে
যদি \(|A|\ne{0}\) হয়, তবে \(|A^{-1}|=\left|\frac{1}{A}\right|\)
\(=\frac{1}{|A|}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
২৩। \(A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\e & \pi & \sqrt{3}\\3 & 3 & 3 \end{bmatrix}\) হলে, \(|A|=\)?
\(\Rightarrow |A|=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1 \\e & \pi & \sqrt{3}\\3 & 3 & 3\end{array}\right|\)
\(=3\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1 \\e & \pi & \sqrt{3}\\1 & 1 & 1\end{array}\right|\)
\(=3\times0\) যেহেতু নির্ণায়কটির প্রথম ও তৃতীয় সারি অনুরূপ।
\(=0\)
\(\therefore |A|=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(e\)
গ \(2(e-\pi+\sqrt{3})\)
গ \(2(e-\pi+\sqrt{3})\)
খ \(\pi\)
ঘ \(0\)
\(A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\e & \pi & \sqrt{3}\\3 & 3 & 3 \end{bmatrix}\)ঘ \(0\)
\(\Rightarrow |A|=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1 \\e & \pi & \sqrt{3}\\3 & 3 & 3\end{array}\right|\)
\(=3\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1 \\e & \pi & \sqrt{3}\\1 & 1 & 1\end{array}\right|\)
\(=3\times0\) যেহেতু নির্ণায়কটির প্রথম ও তৃতীয় সারি অনুরূপ।
\(=0\)
\(\therefore |A|=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
নিচের তথ্যের আলোকে ২৪ ও ২৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\((\sqrt{3}, 1)\) বিন্দু হতে \(\sqrt{3}x-y+8=0\) সরলরেখার উপর অংকিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(P\) এবং লম্ব রেখাটি \(x\) অক্ষের সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করলে-
২৪। \(P\) এর মান কত?\((\sqrt{3}, 1)\) বিন্দু হতে \(\sqrt{3}x-y+8=0\) সরলরেখার উপর অংকিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(P\) এবং লম্ব রেখাটি \(x\) অক্ষের সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করলে-
ক \(5\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(4\)
ঘ \(5\sqrt{2}\)
\((\sqrt{3}, 1)\) বিন্দু হতে \(\sqrt{3}x-y+8=0\) সরলরেখার উপর অংকিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(P\)ঘ \(5\sqrt{2}\)
\(P=\frac{|\sqrt{3}.\sqrt{3}-1+8|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}}\)
\(=\frac{|3-1+8|}{\sqrt{3+1}}\)
\(=\frac{|10|}{\sqrt{4}}\)
\(=\frac{10}{2}\)
\(=5\)
\(\therefore P=5\)
উত্তরঃ (ক)
২৫। \(\theta\) এর মান-
\(\Rightarrow x+\sqrt{3}y=\sqrt{3}+\sqrt{3}.1\)
\(\Rightarrow x+\sqrt{3}y=\sqrt{3}+\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}y=-x+2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+2\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-\tan{30^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{(180^{o}-30^{o})}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{150^{o}}\)
\(\therefore \theta=150^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(30^{o}\)
গ \(60^{o}\)
গ \(60^{o}\)
খ \(120^{o}\)
ঘ \(150^{o}\)
\(\sqrt{3}x-y+8=0\) এর উপর লম্ব এবং \((\sqrt{3}, 1)\) বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ,ঘ \(150^{o}\)
\(\Rightarrow x+\sqrt{3}y=\sqrt{3}+\sqrt{3}.1\)
\(\Rightarrow x+\sqrt{3}y=\sqrt{3}+\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}y=-x+2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+2\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-\tan{30^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{(180^{o}-30^{o})}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{150^{o}}\)
\(\therefore \theta=150^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000003