শিক্ষা বোর্ড যশোর - 2022
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। যদি \(A\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং \(A^2=I\) হয়,তবে \(A\) কে বলে-
উত্তরঃ (খ)
ক শূন্যঘাতি ম্যাট্রিক্স
গ শূন্য ম্যাট্রিক্স
গ শূন্য ম্যাট্রিক্স
খ অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স
ঘ বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
যদি \(A\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং \(A^2=I\) হয়,তবে \(A\) কে বলে অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স।ঘ বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
উত্তরঃ (খ)
২। \(\left|\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -2\\ -1 & 0 & 2 \end{array}\right|\) নির্ণায়কটির \((1, 2)\) তম ভুক্তির সহগুণক কোনটি?
\(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{rrr}0 & -2 \\ -1 & 2\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(0\times2+2\times-1)\)
\(=-(0-2)\)
\(=2\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(4\)
গ \(-2\)
গ \(-2\)
খ \(2\)
ঘ \(-4\)
নির্ণায়কটির \((1, 2)\) তম ভুক্তির সহগুণকঘ \(-4\)
\(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{rrr}0 & -2 \\ -1 & 2\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(0\times2+2\times-1)\)
\(=-(0-2)\)
\(=2\)
উত্তরঃ (খ)
৩। কোনো বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাংক \((-1, \sqrt{3})\) হলে, বিন্দুটির পোলার স্থানাংক কোনটি?
এখানে, \(x=-1, \ y=\sqrt{3}\)
এখন, \(r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{-1}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{1+3}, \ \theta=\pi-\tan^{-1}{(\sqrt{3})}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{4}, \ \theta=\pi-\tan^{-1}{\left(\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(\Rightarrow r=2, \ \theta=\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow r=2, \ \theta=\frac{3\pi-\pi}{3}\)
\(\Rightarrow r=2, \ \theta=\frac{2\pi}{3}\)
বিন্দুটির পোলার স্থানাংক \(\left(2, \frac{2\pi}{3}\right)\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\left(2, \frac{2\pi}{3}\right)\)
গ \(\left(2, \frac{\pi}{3}\right)\)
গ \(\left(2, \frac{\pi}{3}\right)\)
খ \(\left(2, -\frac{\pi}{3}\right)\)
ঘ \(\left(4, \frac{2\pi}{3}\right)\)
\((-1, \sqrt{3})\)ঘ \(\left(4, \frac{2\pi}{3}\right)\)
এখানে, \(x=-1, \ y=\sqrt{3}\)
এখন, \(r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{-1}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{1+3}, \ \theta=\pi-\tan^{-1}{(\sqrt{3})}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{4}, \ \theta=\pi-\tan^{-1}{\left(\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(\Rightarrow r=2, \ \theta=\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow r=2, \ \theta=\frac{3\pi-\pi}{3}\)
\(\Rightarrow r=2, \ \theta=\frac{2\pi}{3}\)
বিন্দুটির পোলার স্থানাংক \(\left(2, \frac{2\pi}{3}\right)\)
উত্তরঃ (ক)
৪। যে কোনো ত্রিভুজের বাহু \(a, \ b, \ c\) এবং এর ক্ষেত্রফল \(\Delta\) হলে, \(\sin{A}=\) কত?
\(\frac{1}{2}bc\sin{A}=\Delta\)
\(\therefore \sin{A}=\frac{2\Delta}{bc}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{2\Delta}{ca}\)
গ \(\frac{2\Delta}{ab}\)
গ \(\frac{2\Delta}{ab}\)
খ \(\frac{2\Delta}{bc}\)
ঘ \(\frac{2\Delta}{abc}\)
কোনো ত্রিভুজের বাহু \(a, \ b, \ c\) এবং এর ক্ষেত্রফল \(\Delta\) হলে,ঘ \(\frac{2\Delta}{abc}\)
\(\frac{1}{2}bc\sin{A}=\Delta\)
\(\therefore \sin{A}=\frac{2\Delta}{bc}\)
উত্তরঃ (খ)
৫। \(\triangle{ABC}\) এ, \(\cos{A}=\sin{B}-\cos{C}\) হলে, \(\angle{A}\) এর মান কোনটি?
\(\Rightarrow \cos{A}+\cos{C}=\sin{B}\)
\(\Rightarrow 2\cos{\frac{A+C}{2}}\cos{\frac{A-C}{2}}=\sin{B}\)
\(\Rightarrow 2\cos{\frac{A+B+C-B}{2}}\cos{\frac{A-C}{2}}=\sin{B}\)
\(\Rightarrow 2\cos{\frac{\pi-B}{2}}\cos{\frac{A-C}{2}}=\sin{B}\)
\(\Rightarrow 2\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2}\right)}\cos{\frac{A-C}{2}}=\sin{B}\)
\(\Rightarrow 2\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{A-C}{2}}=2\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\frac{A-C}{2}}=\cos{\frac{B}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{A-C}{2}=\frac{B}{2}\)
\(\Rightarrow A-C=B\)
\(\Rightarrow A=B+C\)
\(\Rightarrow A+A=A+B+C\)
\(\Rightarrow 2A=\pi\)
\(\therefore A=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{\pi}{4}\)
গ \(\frac{\pi}{6}\)
গ \(\frac{\pi}{6}\)
খ \(\frac{\pi}{3}\)
ঘ \(\frac{\pi}{2}\)
\(\cos{A}=\sin{B}-\cos{C}\) ঘ \(\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{A}+\cos{C}=\sin{B}\)
\(\Rightarrow 2\cos{\frac{A+C}{2}}\cos{\frac{A-C}{2}}=\sin{B}\)
\(\Rightarrow 2\cos{\frac{A+B+C-B}{2}}\cos{\frac{A-C}{2}}=\sin{B}\)
\(\Rightarrow 2\cos{\frac{\pi-B}{2}}\cos{\frac{A-C}{2}}=\sin{B}\)
\(\Rightarrow 2\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2}\right)}\cos{\frac{A-C}{2}}=\sin{B}\)
\(\Rightarrow 2\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{A-C}{2}}=2\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\frac{A-C}{2}}=\cos{\frac{B}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{A-C}{2}=\frac{B}{2}\)
\(\Rightarrow A-C=B\)
\(\Rightarrow A=B+C\)
\(\Rightarrow A+A=A+B+C\)
\(\Rightarrow 2A=\pi\)
\(\therefore A=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৬ ও ৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(3x-4y-12=0\) সরলরেখাটি \(x\) ও \(y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে।
৬। \(B\) বিন্দুর স্থানাংক কত?\(3x-4y-12=0\) সরলরেখাটি \(x\) ও \(y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে।
ক \((4, 0)\)
গ \((0, -3)\)
গ \((0, -3)\)
খ \((0, 3)\)
ঘ \((0, 4)\)
\(3x-4y-12=0\)ঘ \((0, 4)\)
\(\Rightarrow 3x-4y=12\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{12}-\frac{4y}{12}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{-3}=1\)
সরলরেলখাটি \(y\) অক্ষকে \(B(0, -3)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
উত্তরঃ (গ)
৭। উদ্দীপকের সরলরেখার উপর লম্ব এবং \((1, 2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?
সরলরেখার উপর লম্ব এবং \((1, 2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y=4\times1+3\times2\)
\(\Rightarrow 4x+3y=4+6\)
\(\Rightarrow 4x+3y=10\)
\(\therefore 4x+3y-10=0\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(4x+3y-10=0\)
গ \(3x-4y+12=0\)
গ \(3x-4y+12=0\)
খ \(4x+3y-12=0\)
ঘ \(4x-3y-10=0\)
\(3x-4y-12=0\)ঘ \(4x-3y-10=0\)
সরলরেখার উপর লম্ব এবং \((1, 2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y=4\times1+3\times2\)
\(\Rightarrow 4x+3y=4+6\)
\(\Rightarrow 4x+3y=10\)
\(\therefore 4x+3y-10=0\)
উত্তরঃ (ক)
৮। \(r^2+2r\sin{\theta}=3\) বৃত্তটির কেন্দ্র-
\(\Rightarrow x^2+y^2+2y=3\) যেহেতু \(r^2=x^2+y^2, \ r\sin{\theta}=y\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2y+1=3+1\)
\(\Rightarrow x^2+(y+1)^2=4\)
\(\therefore (x-0)^2+\{y-(-1)\}^2=2^2\)
বৃত্তটির কেন্দ্র \((0, -1)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \((1, 0)\)
গ \((0, 1)\)
গ \((0, 1)\)
খ \((-1, 0)\)
ঘ \((0, -1)\)
\(r^2+2r\sin{\theta}=3\)ঘ \((0, -1)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2y=3\) যেহেতু \(r^2=x^2+y^2, \ r\sin{\theta}=y\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2y+1=3+1\)
\(\Rightarrow x^2+(y+1)^2=4\)
\(\therefore (x-0)^2+\{y-(-1)\}^2=2^2\)
বৃত্তটির কেন্দ্র \((0, -1)\)
উত্তরঃ (ঘ)
৯। \(y=\sin^2{x^2}\) হলে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\sin^2{x^2})\)
\(=2\sin{x^2}\frac{d}{dx}(\sin{x^2})\)
\(=2\sin{x^2}\cos{x^2}\frac{d}{dx}(x^2)\)
\(=2\sin{x^2}\cos{x^2}.2x\)
\(=\sin{2x^2}.2x\)
\(=2x\sin{2x^2}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(2\sin{x^2}\)
গ \(2x\sin{2x^2}\)
গ \(2x\sin{2x^2}\)
খ \(2x\sin{x^2}\)
ঘ \(2x^2\sin{2x^2}\)
\(y=\sin^2{x^2}\)ঘ \(2x^2\sin{2x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\sin^2{x^2})\)
\(=2\sin{x^2}\frac{d}{dx}(\sin{x^2})\)
\(=2\sin{x^2}\cos{x^2}\frac{d}{dx}(x^2)\)
\(=2\sin{x^2}\cos{x^2}.2x\)
\(=\sin{2x^2}.2x\)
\(=2x\sin{2x^2}\)
উত্তরঃ (গ)
১০। \(y=(x^2+1)\tan^{-1}{x}-x\) হলে \(\frac{dy}{dx}=\)?
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\{(x^2+1)\tan^{-1}{x}-x\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{(x^2+1)\tan^{-1}{x}\}-\frac{d}{dx}(x)\)
\(=(x^2+1)\frac{d}{dx}\{\tan^{-1}{x}\}+\tan^{-1}{x}\frac{d}{dx}(x^2+1)-1\)
\(=(x^2+1)\frac{1}{1+x^2}+\tan^{-1}{x}(2x+0)-1\)
\(=1+2x\tan^{-1}{x}-1\)
\(=2x\tan^{-1}{x}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2\tan^{-1}{x}\)
গ \(x\tan^{-1}{x}\)
গ \(x\tan^{-1}{x}\)
খ \(2x\tan^{-1}{x}\)
ঘ \(\frac{2x}{1+x^2}\)
\(y=(x^2+1)\tan^{-1}{x}-x\)ঘ \(\frac{2x}{1+x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\{(x^2+1)\tan^{-1}{x}-x\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{(x^2+1)\tan^{-1}{x}\}-\frac{d}{dx}(x)\)
\(=(x^2+1)\frac{d}{dx}\{\tan^{-1}{x}\}+\tan^{-1}{x}\frac{d}{dx}(x^2+1)-1\)
\(=(x^2+1)\frac{1}{1+x^2}+\tan^{-1}{x}(2x+0)-1\)
\(=1+2x\tan^{-1}{x}-1\)
\(=2x\tan^{-1}{x}\)
উত্তরঃ (খ)
১১। \(x^2+y^2=25\) বৃত্তের \((4, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?
\(x.4+y.3-25=0\)
\(\therefore 4x+3y-25=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(3x+4y-25=0\)
গ \(4x+3y-25=0\)
গ \(4x+3y-25=0\)
খ \(3x+4y+25=0\)
ঘ \(4x+3y+25=0\)
\(x^2+y^2=25\) বৃত্তের \((4, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,ঘ \(4x+3y+25=0\)
\(x.4+y.3-25=0\)
\(\therefore 4x+3y-25=0\)
উত্তরঃ (গ)
১২। \(x=a\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমবর্ধমান হবে যদি-
\(f^{\prime}(a)\gt{0}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(f^{\prime}(a)=0\)
গ \(f^{\prime}(a)\ne{0}\)
গ \(f^{\prime}(a)\ne{0}\)
খ \(f^{\prime}(a)\lt{0}\)
ঘ \(f^{\prime}(a)\gt{0}\)
\(x=a\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমবর্ধমান হবে যদি,ঘ \(f^{\prime}(a)\gt{0}\)
\(f^{\prime}(a)\gt{0}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৩। \(A, \ B\) ও \(C\) ম্যাট্রিক্সগুলোর মাত্রা যথাক্রমে \(4\times3, \ 3\times4\) এবং \(7\times4\) হলে, \((B+A^{T})C^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা কত?
\(A^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(3\times4\)
\(B+A^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(3\times4\)
\(C\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(7\times4\)
\(C^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(4\times7\)
\(B+A^{T}\) ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা এবং \(C^{T}\) ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা নিয়ে গঠিত মাত্রা \(3\times7\)
\(\therefore (B+A^{T})C^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(3\times7\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(3\times4\)
গ \(3\times7\)
গ \(3\times7\)
খ \(4\times3\)
ঘ \(4\times7\)
\(A\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(4\times3\)ঘ \(4\times7\)
\(A^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(3\times4\)
\(B+A^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(3\times4\)
\(C\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(7\times4\)
\(C^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(4\times7\)
\(B+A^{T}\) ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা এবং \(C^{T}\) ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা নিয়ে গঠিত মাত্রা \(3\times7\)
\(\therefore (B+A^{T})C^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(3\times7\)
উত্তরঃ (গ)
১৪। \(f(x)=x(2a-x)\) এর সর্বোচ্চ মান কোনটি?
\(=2ax-x^2\)
\(=-(x^2-2ax)\)
\(=-(x^2-2ax+a^2-a^2)\)
\(=-(x^2-2ax+a^2)+a^2\)
\(=-(x-a)^2+a^2\)
\(\therefore f(x)\) এর সর্বোচ্চ মান \(a^2\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(a\)
গ \(a^2\)
গ \(a^2\)
খ \(2a\)
ঘ \(2a^2\)
\(f(x)=x(2a-x)\)ঘ \(2a^2\)
\(=2ax-x^2\)
\(=-(x^2-2ax)\)
\(=-(x^2-2ax+a^2-a^2)\)
\(=-(x^2-2ax+a^2)+a^2\)
\(=-(x-a)^2+a^2\)
\(\therefore f(x)\) এর সর্বোচ্চ মান \(a^2\)
উত্তরঃ (গ)
১৫। \(x^2+y^2-2x+6y-6=0\) বৃত্তটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য কত একক?
এখানে, \(2g=-2, \ 2f=6, \ c=-6\)
\(\Rightarrow g=-1, \ f=3, \ c=-6\)
\(x\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-1)^2-(-6)}\)
\(=2\sqrt{1+6}\)
\(=2\sqrt{7}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2\sqrt{2}\)
গ \(2\sqrt{10}\)
গ \(2\sqrt{10}\)
খ \(2\sqrt{7}\)
ঘ \(2\sqrt{15}\)
\(x^2+y^2-2x+6y-6=0\)ঘ \(2\sqrt{15}\)
এখানে, \(2g=-2, \ 2f=6, \ c=-6\)
\(\Rightarrow g=-1, \ f=3, \ c=-6\)
\(x\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-1)^2-(-6)}\)
\(=2\sqrt{1+6}\)
\(=2\sqrt{7}\)
উত্তরঃ (খ)
১৬। \(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}}=\)?
\(=\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1-1+2x-x^2}}}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1-(x^2-2x+1)}}}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1^2-(x-1)^2}}}\)
\(=\left[\sin^{-1}{(x-1)}\right]_{0}^{1}\)
\(=\sin^{-1}{(1-1)}-\sin^{-1}{(0-1)}\)
\(=\sin^{-1}{0}-\sin^{-1}{(-1)}\)
\(=0+\sin^{-1}{1}\)
\(=\sin^{-1}{\sin{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\pi\)
গ \(\pi\)
খ \(-\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(-\pi\)
\(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}}\)ঘ \(-\pi\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1-1+2x-x^2}}}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1-(x^2-2x+1)}}}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1^2-(x-1)^2}}}\)
\(=\left[\sin^{-1}{(x-1)}\right]_{0}^{1}\)
\(=\sin^{-1}{(1-1)}-\sin^{-1}{(0-1)}\)
\(=\sin^{-1}{0}-\sin^{-1}{(-1)}\)
\(=0+\sin^{-1}{1}\)
\(=\sin^{-1}{\sin{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (ক)
১৭। \(\int_{0}^{1}{\frac{e^{5x}+e^{3x}}{e^{x}+e^{-x}}dx}\) এর মান কোনটি?
\(=\int_{0}^{1}{\frac{e^{4x}(e^{x}+e^{-x})}{e^{x}+e^{-x}}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{e^{4x}dx}\)
\(=\left[\frac{e^{4x}}{4}\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{4}\left[e^{4x}\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{4}\left[e^{4.1}-e^{4.0}\right]\)
\(=\frac{1}{4}\left[e^{4}-e^{0}\right]\)
\(=\frac{1}{4}(e^{4}-1)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(4(e^{4}-1)\)
গ \(5(e^{5}-1)\)
গ \(5(e^{5}-1)\)
খ \(\frac{1}{5}(e^{5}-1)\)
ঘ \(\frac{1}{4}(e^{4}-1)\)
\(\int_{0}^{1}{\frac{e^{5x}+e^{3x}}{e^{x}+e^{-x}}dx}\)ঘ \(\frac{1}{4}(e^{4}-1)\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{e^{4x}(e^{x}+e^{-x})}{e^{x}+e^{-x}}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{e^{4x}dx}\)
\(=\left[\frac{e^{4x}}{4}\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{4}\left[e^{4x}\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{4}\left[e^{4.1}-e^{4.0}\right]\)
\(=\frac{1}{4}\left[e^{4}-e^{0}\right]\)
\(=\frac{1}{4}(e^{4}-1)\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৮। \(\cos{2A}=\)
\(i.\) \(-2\sin^2{A}+1\)
\(ii.\) \(2\cos^2{A}-1\)
\(iii.\) \(\frac{1-\tan^2{A}}{\sec^2{A}}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(=-2\sin^2{A}+1\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\cos{2A}=2\cos^2{A}-1\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(\cos{2A}=\frac{1-\tan^2{A}}{1+\tan^2{A}}\)
\(=\frac{1-\tan^2{A}}{\sec^2{A}}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \(-2\sin^2{A}+1\)
\(ii.\) \(2\cos^2{A}-1\)
\(iii.\) \(\frac{1-\tan^2{A}}{\sec^2{A}}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\cos{2A}=1-2\sin^2{A}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(=-2\sin^2{A}+1\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\cos{2A}=2\cos^2{A}-1\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(\cos{2A}=\frac{1-\tan^2{A}}{1+\tan^2{A}}\)
\(=\frac{1-\tan^2{A}}{\sec^2{A}}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
১৯। \(y=mx+c\) সরলরেখটি \(x^2+y^2=25\) বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত-
\(\Rightarrow y=mx+c\) এবং \(x^2+y^2=5^2\)
এখানে, ব্যাসার্ধ \(a=5\)
স্পর্শ করার শর্ত \(c=\pm{a\sqrt{1+m^2}}\)
\(\therefore c=\pm{5\sqrt{1+m^2}}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(c=-25\sqrt{1+m^2}\)
গ \(c=\pm5\sqrt{1+m^2}\)
গ \(c=\pm5\sqrt{1+m^2}\)
খ \(c=25\sqrt{1+m^2}\)
ঘ \(c=\pm5\sqrt{1-m^2}\)
\(y=mx+c\) এবং \(x^2+y^2=25\)ঘ \(c=\pm5\sqrt{1-m^2}\)
\(\Rightarrow y=mx+c\) এবং \(x^2+y^2=5^2\)
এখানে, ব্যাসার্ধ \(a=5\)
স্পর্শ করার শর্ত \(c=\pm{a\sqrt{1+m^2}}\)
\(\therefore c=\pm{5\sqrt{1+m^2}}\)
উত্তরঃ (গ)
২০। \(\left[\begin{array}{rr} 2 & -4\\ -4 & -8\end{array}\right]\) একটি -
\(i.\) বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠিক?
কারণ এর সমান সংখ্যক সারি এবং কলাম আছে।
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\left|\begin{array}{rr} 2 & -4\\ -4 & -8\end{array}\right|\)
\(=-16-16\)
\(=-32\ne{0}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(\left[\begin{array}{rr} 2 & -4\\ -4 & -8\end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr} 2 & -4\\ -4 & -8\end{array}\right]\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\left[\begin{array}{rr} 2 & -4\\ -4 & -8\end{array}\right]\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স,ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
কারণ এর সমান সংখ্যক সারি এবং কলাম আছে।
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\left|\begin{array}{rr} 2 & -4\\ -4 & -8\end{array}\right|\)
\(=-16-16\)
\(=-32\ne{0}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(\left[\begin{array}{rr} 2 & -4\\ -4 & -8\end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr} 2 & -4\\ -4 & -8\end{array}\right]\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
২১। \(y-x=4\) এবং \(y=x\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব কত একক?
\(\Rightarrow y-x-4=0\) এবং \(y-x=0\)
সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|-4-0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(=\frac{4}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{4}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=2\sqrt{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(4\)
গ \(4\sqrt{2}\)
গ \(4\sqrt{2}\)
খ \(2\)
ঘ \(2\sqrt{2}\)
\(y-x=4\) এবং \(y=x\)ঘ \(2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow y-x-4=0\) এবং \(y-x=0\)
সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|-4-0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(=\frac{4}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{4}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=2\sqrt{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২২। \(2\sin^2{15^{o}}\) এর মান কত?
\(=1-1+2\sin^2{15^{o}}\)
\(=1-(1-2\sin^2{15^{o}})\)
\(=1-\cos{(2\times15^{o})}\)
\(=1-\cos{30^{o}}\)
\(=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{2-\sqrt{3}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)
খ \(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
ঘ \(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)
\(2\sin^2{15^{o}}\)ঘ \(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)
\(=1-1+2\sin^2{15^{o}}\)
\(=1-(1-2\sin^2{15^{o}})\)
\(=1-\cos{(2\times15^{o})}\)
\(=1-\cos{30^{o}}\)
\(=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ (ক)
২৩। \(x+y-4=0\) সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ তৈরী করে তার ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
\(\Rightarrow x+y=4\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{4}=1\)
এখানে, \(a=b=4\)
সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ তৈরী করে তার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}ab\)
\(=\frac{1}{2}\times4\times4\)
\(=2\times4\)
\(=8\) বর্গ একক
উত্তরঃ (খ)
ক \(4\)
গ \(16\)
গ \(16\)
খ \(8\)
ঘ \(32\)
\(x+y-4=0\)ঘ \(32\)
\(\Rightarrow x+y=4\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{4}=1\)
এখানে, \(a=b=4\)
সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ তৈরী করে তার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}ab\)
\(=\frac{1}{2}\times4\times4\)
\(=2\times4\)
\(=8\) বর্গ একক
উত্তরঃ (খ)
২৪। \(f(x)=\sqrt{x}\) হলে-
\(i.\) \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(ii.\) \(\int_{0}^{1}{f(x)dx}=\frac{2}{3}\)
\(iii.\) \(\int{\frac{\sec^2{x}}{f(\tan{x})}dx}=\frac{1}{2}\sqrt{\tan{x}}+c\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\int_{0}^{1}{f(x)dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\sqrt{x}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{x^{\frac{1}{2}}dx}\)
\(=\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{2}{3}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{2}{3}\left[1^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[1-0\right]\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(\int{\frac{\sec^2{x}}{f(\tan{x})}dx}\)
\(=\int{\frac{\sec^2{x}}{\sqrt{\tan{x}}}dx}\)
\(=2\int{\frac{d(\tan{x})}{2\sqrt{\tan{x}}}}\)
\(=2\sqrt{\tan{x}}+c\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(ii.\) \(\int_{0}^{1}{f(x)dx}=\frac{2}{3}\)
\(iii.\) \(\int{\frac{\sec^2{x}}{f(\tan{x})}dx}=\frac{1}{2}\sqrt{\tan{x}}+c\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(f(x)=\sqrt{x}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\int_{0}^{1}{f(x)dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\sqrt{x}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{x^{\frac{1}{2}}dx}\)
\(=\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{2}{3}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{2}{3}\left[1^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[1-0\right]\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(\int{\frac{\sec^2{x}}{f(\tan{x})}dx}\)
\(=\int{\frac{\sec^2{x}}{\sqrt{\tan{x}}}dx}\)
\(=2\int{\frac{d(\tan{x})}{2\sqrt{\tan{x}}}}\)
\(=2\sqrt{\tan{x}}+c\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
২৫। \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{8}{\theta}\cos{\theta}d\theta}\) এর মান-
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{8}{\theta}d(\sin{\theta})}\)
\(=\left[\frac{\sin^{9}{\theta}}{9}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\frac{1}{9}\left[\sin^{9}{\theta}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\frac{1}{9}\left[\sin^{9}{\frac{\pi}{2}}-\sin^{9}{0}\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left[1^9-0\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left[1\right]\)
\(=\frac{1}{9}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{1}{9}\)
গ \(\frac{1}{7}\)
গ \(\frac{1}{7}\)
খ \(\frac{1}{8}\)
ঘ \(0\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{8}{\theta}\cos{\theta}d\theta}\)ঘ \(0\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{8}{\theta}d(\sin{\theta})}\)
\(=\left[\frac{\sin^{9}{\theta}}{9}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\frac{1}{9}\left[\sin^{9}{\theta}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\frac{1}{9}\left[\sin^{9}{\frac{\pi}{2}}-\sin^{9}{0}\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left[1^9-0\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left[1\right]\)
\(=\frac{1}{9}\)
উত্তরঃ (ক)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000001