শিক্ষা বোর্ড কুমিল্লা - 2022
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \((-1, -1)\) বিন্দুটির পোলার স্থানাংক কোনটি?
এখানে, \(x=-1, \ y=-1\)
তাহলে, \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
এবং \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{-1}{-1}}\)
\(=\pi+\tan^{-1}{1}\)
\(=\pi+\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi+\pi}{4}\)
\(=\frac{5\times180^{o}}{4}\)
\(=225^{o}\)
পোলার স্থানাংক \((\sqrt{2}, 225^{o})\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \((\sqrt{2}, -45^{o})\)
গ \((\sqrt{2}, 135^{o})\)
গ \((\sqrt{2}, 135^{o})\)
খ \((\sqrt{2}, 45^{o})\)
ঘ \((\sqrt{2}, 225^{o})\)
\((-1, -1)\)ঘ \((\sqrt{2}, 225^{o})\)
এখানে, \(x=-1, \ y=-1\)
তাহলে, \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
এবং \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{-1}{-1}}\)
\(=\pi+\tan^{-1}{1}\)
\(=\pi+\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi+\pi}{4}\)
\(=\frac{5\times180^{o}}{4}\)
\(=225^{o}\)
পোলার স্থানাংক \((\sqrt{2}, 225^{o})\)
উত্তরঃ (ঘ)
২। \(3x-5y+7=0\) রেখার উপর লম্বএবং \((2, 1)\) বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ কোনটি?
\(5x+3y=5\times2+3\times1\)
\(\Rightarrow 5x+3y=10+3\)
\(\Rightarrow 5x+3y=13\)
\(\therefore 5x+3y-13=0\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(5x+3y-13=0\)
গ \(3x+5y-13=0\)
গ \(3x+5y-13=0\)
খ \(5x+3y+13=0\)
ঘ \(5x-3y-13=0\)
\(3x-5y+7=0\) রেখার উপর লম্বএবং \((2, 1)\) বিন্দুগামী রেখার সমীকরণঘ \(5x-3y-13=0\)
\(5x+3y=5\times2+3\times1\)
\(\Rightarrow 5x+3y=10+3\)
\(\Rightarrow 5x+3y=13\)
\(\therefore 5x+3y-13=0\)
উত্তরঃ (ক)
৩। \(4x-5y+9=0\) সমীকরণটির-
\(i.\) ঢাল \(=\frac{4}{5}\)
\(ii.\) \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=\frac{9}{4}\)
\(iii.\) \(y\) অক্ষের ছেদবিন্দু \(\left(0, \frac{9}{5}\right)\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ঢাল \(=-\frac{4}{-5}\)
\(=\frac{4}{5}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(4x-5y+9=0\)
\(\Rightarrow 4x-5y=-9\)
\(\Rightarrow \frac{4x}{-9}-\frac{5y}{-9}=1\)
\(\therefore \frac{x}{-\frac{9}{4}}+\frac{y}{\frac{9}{5}}=1\)
\(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=-\frac{9}{4}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
আবার, \(\frac{x}{-\frac{9}{4}}+\frac{y}{\frac{9}{5}}=1\)
\(y\) অক্ষের ছেদবিন্দু \(\left(0, \frac{9}{5}\right)\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) ঢাল \(=\frac{4}{5}\)
\(ii.\) \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=\frac{9}{4}\)
\(iii.\) \(y\) অক্ষের ছেদবিন্দু \(\left(0, \frac{9}{5}\right)\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(4x-5y+9=0\) সমীকরণটিরঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ঢাল \(=-\frac{4}{-5}\)
\(=\frac{4}{5}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(4x-5y+9=0\)
\(\Rightarrow 4x-5y=-9\)
\(\Rightarrow \frac{4x}{-9}-\frac{5y}{-9}=1\)
\(\therefore \frac{x}{-\frac{9}{4}}+\frac{y}{\frac{9}{5}}=1\)
\(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=-\frac{9}{4}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
আবার, \(\frac{x}{-\frac{9}{4}}+\frac{y}{\frac{9}{5}}=1\)
\(y\) অক্ষের ছেদবিন্দু \(\left(0, \frac{9}{5}\right)\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৪ ও ৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(\sqrt{2}x-y+5=0\) একটি সরলরেখার সমীকরণ।
৪। \((\sqrt{2}, 1)\) বিন্দু হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব কত? \(\sqrt{2}x-y+5=0\) একটি সরলরেখার সমীকরণ।
ক \(2\sqrt{3}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
খ \(3\sqrt{2}\)
ঘ \(\frac{3}{2}\)
\((\sqrt{2}, 1)\) বিন্দু হতে \(\sqrt{2}x-y+5=0\) রেখাটির লম্ব দূরত্বঘ \(\frac{3}{2}\)
\(=\frac{|\sqrt{2}\times\sqrt{2}-1+5|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}}\)
\(=\frac{|2+4|}{\sqrt{2+1}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{3}}\)
\(=\frac{2\times\sqrt{3}\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(=2\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (ক)
৫। প্রদত্ত সরলরেখা দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য কোনটি?
\(\Rightarrow \sqrt{2}x-y=-5\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{2}x}{-5}-\frac{y}{-5}=1\)
\(\therefore \frac{x}{-\frac{5}{\sqrt{2}}}+\frac{y}{5}=1\)
\(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=5\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-5\)
গ \(\frac{5}{\sqrt{2}}\)
গ \(\frac{5}{\sqrt{2}}\)
খ \(-\frac{5}{\sqrt{2}}\)
ঘ \(5\)
\(\sqrt{2}x-y+5=0\)ঘ \(5\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}x-y=-5\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{2}x}{-5}-\frac{y}{-5}=1\)
\(\therefore \frac{x}{-\frac{5}{\sqrt{2}}}+\frac{y}{5}=1\)
\(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=5\)
উত্তরঃ (ঘ)
৬। \(2x^2+2y^2+4x-2y+4=0\) বৃত্তের কেন্দ্র কোনটি?
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2+2x-y+2)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x-y+2=0\)
এখানে, \(2g=2, \ 2f=-1\)
\(\Rightarrow g=1, \ f=-\frac{1}{2}\)
বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow \left(-1, \frac{1}{2}\right)\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\left(-1, \frac{1}{2}\right)\)
গ \(\left(-2, 1\right)\)
গ \(\left(-2, 1\right)\)
খ \(\left(1, -\frac{1}{2}\right)\)
ঘ \(\left(2, -\frac{1}{2}\right)\)
\(2x^2+2y^2+4x-2y+4=0\)ঘ \(\left(2, -\frac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2+2x-y+2)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x-y+2=0\)
এখানে, \(2g=2, \ 2f=-1\)
\(\Rightarrow g=1, \ f=-\frac{1}{2}\)
বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow \left(-1, \frac{1}{2}\right)\)
উত্তরঃ (ক)
৭। \(x^2+y^2-4x+8y=0\) বৃত্তের \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য কোনটি?
এখানে, \(2g=-4, \ 2f=8\)
\(\Rightarrow g=-2, \ f=4, \ c=0\)
\(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{4^2-0}\)
\(=2\sqrt{16}\)
\(=2\times4\)
\(=8\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(4\)
গ \(16\)
গ \(16\)
খ \(8\)
ঘ \(32\)
\(x^2+y^2-4x+8y=0\)ঘ \(32\)
এখানে, \(2g=-4, \ 2f=8\)
\(\Rightarrow g=-2, \ f=4, \ c=0\)
\(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{4^2-0}\)
\(=2\sqrt{16}\)
\(=2\times4\)
\(=8\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৮ ও ৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(f(x)=\ln{(1-x)}\) এবং \(g(x)=\tan{x^2}\)
৮। \(g(x)\) অন্তরজ কোনটি?\(f(x)=\ln{(1-x)}\) এবং \(g(x)=\tan{x^2}\)
ক \(\sec^2{x^2}\)
গ \(2x\sec^2{x^2}\)
গ \(2x\sec^2{x^2}\)
খ \(2x\sec{x^2}\)
ঘ \(2\tan{x}\sec^2{x}\)
\(g(x)=\tan{x^2}\)ঘ \(2\tan{x}\sec^2{x}\)
\(\Rightarrow g^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(\tan{x^2})\)
\(=\sec^2{x^2}\frac{d}{dx}(x^2)\)
\(=\sec^2{x^2}\times2x\)
\(=2x\sec^2{x^2}\)
উত্তরঃ (গ)
৯। \(f^{\prime\prime}(2)\) এর মান কত?
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\{\ln{(1-x)}\}\)
\(=\frac{1}{1-x}\frac{d}{dx}(1-x)\)
\(=\frac{1}{1-x}\times-1\)
\(=\frac{1}{x-1}\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{x-1}\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x-1}\right)\)
\(=-\frac{1}{(x-1)^2}\frac{d}{dx}\left(x-1\right)\)
\(=-\frac{1}{(x-1)^2}.1\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(2)=-\frac{1}{(2-1)^2}\)
\(=-\frac{1}{(1)^2}\)
\(=-\frac{1}{1}\)
\(=-1\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-2\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(-1\)
ঘ \(2\)
\(f(x)=\ln{(1-x)}\)ঘ \(2\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\{\ln{(1-x)}\}\)
\(=\frac{1}{1-x}\frac{d}{dx}(1-x)\)
\(=\frac{1}{1-x}\times-1\)
\(=\frac{1}{x-1}\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{x-1}\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x-1}\right)\)
\(=-\frac{1}{(x-1)^2}\frac{d}{dx}\left(x-1\right)\)
\(=-\frac{1}{(x-1)^2}.1\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(2)=-\frac{1}{(2-1)^2}\)
\(=-\frac{1}{(1)^2}\)
\(=-\frac{1}{1}\)
\(=-1\)
উত্তরঃ (খ)
১০। \(\frac{d}{dx}(\log_a{2x})=\) কত?
\(=\frac{d}{dx}(\log_a{e}\times\log_e{2x})\)
\(=\log_a{e}\times\frac{d}{dx}(\ln{2x})\)
\(=\log_a{e}\times\frac{1}{2x}\frac{d}{dx}(2x)\)
\(=\log_a{e}\times\frac{1}{2x}\times2\)
\(=\log_a{e}\times\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x}\log_a{e}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{1}{x}\)
গ \(\frac{1}{x}\log_a{e}\)
গ \(\frac{1}{x}\log_a{e}\)
খ \(\frac{1}{x}\log_e{a}\)
ঘ \(\frac{1}{2x}\log_a\)
\(\frac{d}{dx}(\log_a{2x})\)ঘ \(\frac{1}{2x}\log_a\)
\(=\frac{d}{dx}(\log_a{e}\times\log_e{2x})\)
\(=\log_a{e}\times\frac{d}{dx}(\ln{2x})\)
\(=\log_a{e}\times\frac{1}{2x}\frac{d}{dx}(2x)\)
\(=\log_a{e}\times\frac{1}{2x}\times2\)
\(=\log_a{e}\times\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x}\log_a{e}\)
উত্তরঃ (গ)
১১। দুইটি ম্যাট্রিক্স \(A\) ও \(B\) এর মাত্রা যথাক্রমে \(p\times{q}\) এবং \(n\times{r}\) হলে, \(AB\) নির্ণয়ের শর্ত কোনটি?
প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা সমান হতে হবে।
অর্থাৎ \(q=n\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(p=r\)
গ \(q=r\)
গ \(q=r\)
খ \(p=n\)
ঘ \(q=n\)
দুইটি ম্যাট্রিক্স \(A\) ও \(B\) এর মাত্রা যথাক্রমে \(p\times{q}\) এবং \(n\times{r}\) হলে, \(AB\) নির্ণয়ের শর্তঃঘ \(q=n\)
প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা সমান হতে হবে।
অর্থাৎ \(q=n\)
উত্তরঃ (ঘ)
১২। \(\left[\begin{array}{rrr}2&3&4\\4&6&8\\3&1&2\end{array}\right]\) একটি-
\(i.\)একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\therefore\) ইহা একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
ধরি, \(A=\left[\begin{array}{rrr}2&3&4\\4&6&8\\3&1&2\end{array}\right]\)
এখন, \(|A|=\left|\begin{array}{rrr}2&3&4\\4&6&8\\3&1&2\end{array}\right|\)
\(=2\left|\begin{array}{rrr}2&3&4\\2&3&4\\3&1&2\end{array}\right|\)
\(=2\times0\)
\(=0\)
অতএব, ইহা একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
ধরি, \(A=\left[\begin{array}{rrr}2&3&4\\4&6&8\\3&1&2\end{array}\right]\)
\(\Rightarrow A^T=\left[\begin{array}{rrr}2&3&4\\4&6&8\\3&1&2\end{array}\right]^T\)
\(\Rightarrow A^T=\left[\begin{array}{rrr}2&4&3\\3&6&1\\4&8&2\end{array}\right]\)
\(\Rightarrow A^T\ne{A}\)
অতএব, ইহা প্রতিসম ম্যাট্রিক্স নয়।
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\)একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা এবং কলাম সংখ্যা সমান।ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore\) ইহা একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
ধরি, \(A=\left[\begin{array}{rrr}2&3&4\\4&6&8\\3&1&2\end{array}\right]\)
এখন, \(|A|=\left|\begin{array}{rrr}2&3&4\\4&6&8\\3&1&2\end{array}\right|\)
\(=2\left|\begin{array}{rrr}2&3&4\\2&3&4\\3&1&2\end{array}\right|\)
\(=2\times0\)
\(=0\)
অতএব, ইহা একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
ধরি, \(A=\left[\begin{array}{rrr}2&3&4\\4&6&8\\3&1&2\end{array}\right]\)
\(\Rightarrow A^T=\left[\begin{array}{rrr}2&3&4\\4&6&8\\3&1&2\end{array}\right]^T\)
\(\Rightarrow A^T=\left[\begin{array}{rrr}2&4&3\\3&6&1\\4&8&2\end{array}\right]\)
\(\Rightarrow A^T\ne{A}\)
অতএব, ইহা প্রতিসম ম্যাট্রিক্স নয়।
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
১৩। নিচের কোনটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স?
'খ' অপশনের ম্যাট্রিক্সটি ধরি, \(A=\left[\begin{array}{rr}2&1\\-2&-1\end{array}\right]\)
\(\Rightarrow A^2=\left[\begin{array}{rr}2&1\\-2&-1\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{rr}2&1\\-2&-1\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{c}2\times2+1\times-2&2\times1+1\times-1\\-2\times2+(-1)\times-2&-2\times1+(-1)\times-1\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{rr}4-2&2-1\\-4+2&-2+1\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{rr}2&1\\-2&-1\end{array}\right]\)
\(\therefore A^2=A\)
ইহা একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স
উত্তরঃ (খ)
ক \(\left[\begin{array}{rr}-2&-1\\-2&-1\end{array}\right]\)
গ \(\left[\begin{array}{rr}-2&1\\-2&-1\end{array}\right]\)
গ \(\left[\begin{array}{rr}-2&1\\-2&-1\end{array}\right]\)
খ \(\left[\begin{array}{rr}2&1\\-2&-1\end{array}\right]\)
ঘ \(\left[\begin{array}{rr}2&1\\-2&1\end{array}\right]\)
বর্গাকার কোনো ম্যাট্রিক্স \(A\) কে সমঘাতি ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(A^2=A\) হয়।ঘ \(\left[\begin{array}{rr}2&1\\-2&1\end{array}\right]\)
'খ' অপশনের ম্যাট্রিক্সটি ধরি, \(A=\left[\begin{array}{rr}2&1\\-2&-1\end{array}\right]\)
\(\Rightarrow A^2=\left[\begin{array}{rr}2&1\\-2&-1\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{rr}2&1\\-2&-1\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{c}2\times2+1\times-2&2\times1+1\times-1\\-2\times2+(-1)\times-2&-2\times1+(-1)\times-1\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{rr}4-2&2-1\\-4+2&-2+1\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{rr}2&1\\-2&-1\end{array}\right]\)
\(\therefore A^2=A\)
ইহা একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স
উত্তরঃ (খ)
১৪। \(\left|\begin{array}{rrr}3&2&4\\0&3&6\\1&-1&-2\end{array}\right|\) নির্ণায়কটির-
\(i.\)মান \(=0\)
\(ii.\) \((2,3)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(=5\)
\(iii.\) \((2,1)\) তম ভুক্তির সহগুণক \(=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(=2\left|\begin{array}{rrr}3&2&2\\0&3&3\\1&-1&-1\end{array}\right|\)
\(=2\times0\)
\(=0\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\((2,3)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(=\left|\begin{array}{rr}3&2\\1&-1\end{array}\right|\)
\(=-3-2\)
\(=-5\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
\((2,1)\) তম ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{rr}2&4\\-1&-2\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(-4+4)\)
\(=-(0)\)
\(=0\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\)মান \(=0\)
\(ii.\) \((2,3)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(=5\)
\(iii.\) \((2,1)\) তম ভুক্তির সহগুণক \(=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\left|\begin{array}{rrr}3&2&4\\0&3&6\\1&-1&-2\end{array}\right|\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(=2\left|\begin{array}{rrr}3&2&2\\0&3&3\\1&-1&-1\end{array}\right|\)
\(=2\times0\)
\(=0\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\((2,3)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(=\left|\begin{array}{rr}3&2\\1&-1\end{array}\right|\)
\(=-3-2\)
\(=-5\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
\((2,1)\) তম ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{rr}2&4\\-1&-2\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(-4+4)\)
\(=-(0)\)
\(=0\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
১৫। \(\left[\begin{array}{rr}1&2\\3&-4\end{array}\right]\) এর অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স কোনটি?
\(\Rightarrow adj{A}=\left[\begin{array}{rr}-4&-3\\-2&1\end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr}-4&-2\\-3&1\end{array}\right]\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\left[\begin{array}{rr}-4&2\\3&-1\end{array}\right]\)
গ \(\left[\begin{array}{rr}-4&-2\\-3&1\end{array}\right]\)
গ \(\left[\begin{array}{rr}-4&-2\\-3&1\end{array}\right]\)
খ \(\left[\begin{array}{rr}-4&2\\3&1\end{array}\right]\)
ঘ \(\left[\begin{array}{rr}-4&-2\\3&1\end{array}\right]\)
ধরি, \(A=\left[\begin{array}{rr}1&2\\3&-4\end{array}\right]\)ঘ \(\left[\begin{array}{rr}-4&-2\\3&1\end{array}\right]\)
\(\Rightarrow adj{A}=\left[\begin{array}{rr}-4&-3\\-2&1\end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr}-4&-2\\-3&1\end{array}\right]\)
উত্তরঃ (গ)
১৬। \(y^2=x\) হলে, \(y_{1}\) নিচের কোনটি?
\(\Rightarrow y=\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(2y\)
গ \(2\sqrt{x}\)
গ \(2\sqrt{x}\)
খ \(2x\)
ঘ \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(y^2=x\)ঘ \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৭। \(y=\sin{x}\) হলে-
\(i.\)\(y_{1}=\cos{x}\)
\(ii.\)\(y_{2}=-\sin{x}\)
\(iii.\)\(y_{3}+y_{1}=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{d}{dx}(\sin{x})\)
\(=\cos{x}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(y_{1}=\cos{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=\frac{d}{dx}(\cos{x})\)
\(=-\sin{x}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(y_{2}=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=-y\)
\(\Rightarrow y_{3}=-\frac{d}{dx}(y)\)
\(\Rightarrow y_{3}=-y_{1}\)
\(\Rightarrow y_{3}+y_{1}=0\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\)\(y_{1}=\cos{x}\)
\(ii.\)\(y_{2}=-\sin{x}\)
\(iii.\)\(y_{3}+y_{1}=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(y=\sin{x}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{d}{dx}(\sin{x})\)
\(=\cos{x}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(y_{1}=\cos{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=\frac{d}{dx}(\cos{x})\)
\(=-\sin{x}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(y_{2}=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=-y\)
\(\Rightarrow y_{3}=-\frac{d}{dx}(y)\)
\(\Rightarrow y_{3}=-y_{1}\)
\(\Rightarrow y_{3}+y_{1}=0\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
১৮। \(\int{\frac{1}{3\sqrt{x}}dx}=\) কত?
\(=\frac{2}{3}\int{\frac{1}{2\sqrt{x}}dx}\)
\(=\frac{2}{3}\sqrt{x}+c\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-\frac{2}{3}\sqrt{x}+c\)
গ \(\frac{2}{3}\sqrt{x}+c\)
গ \(\frac{2}{3}\sqrt{x}+c\)
খ \(\frac{3}{2}\sqrt{x}+c\)
ঘ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{x}+c\)
\(\int{\frac{1}{3\sqrt{x}}dx}\)ঘ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{x}+c\)
\(=\frac{2}{3}\int{\frac{1}{2\sqrt{x}}dx}\)
\(=\frac{2}{3}\sqrt{x}+c\)
উত্তরঃ (গ)
১৯। \(\int_{1}^{\sqrt{3}}{\frac{dx}{1+x^2}}=\) কত?
\(=\left[\tan^{-1}{x}\right]_{1}^{\sqrt{3}}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\sqrt{3}\right)}-\tan^{-1}{\left(1\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\tan{\frac{\pi}{3}}\right)}-\tan^{-1}{\left(\tan{\frac{\pi}{4}}\right)}\)
\(=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi-3\pi}{12}\)
\(=\frac{\pi}{12}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{\pi}{24}\)
গ \(\frac{\pi}{4}\)
গ \(\frac{\pi}{4}\)
খ \(\frac{\pi}{12}\)
ঘ \(\frac{\pi}{3}\)
\(\int_{1}^{\sqrt{3}}{\frac{dx}{1+x^2}}\)ঘ \(\frac{\pi}{3}\)
\(=\left[\tan^{-1}{x}\right]_{1}^{\sqrt{3}}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\sqrt{3}\right)}-\tan^{-1}{\left(1\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\tan{\frac{\pi}{3}}\right)}-\tan^{-1}{\left(\tan{\frac{\pi}{4}}\right)}\)
\(=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi-3\pi}{12}\)
\(=\frac{\pi}{12}\)
উত্তরঃ (খ)
২০। \(\int_{0}^{1}{\frac{\ln{(x+1)}}{1+x}dx}=\) কত?
\(=\int_{0}^{1}{\ln{(x+1)}d\{\ln{(x+1)}\}}\)
\(=\left[\frac{\{\ln{(x+1)}\}^2}{2}\right]_{0}^{1}\) যেহেতু, \(\int{xdx}=\frac{x^2}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\{\ln{(x+1)}\}^2\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\{\ln{(1+1)}\}^2-\{\ln{(0+1)}\}^2\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[(\ln{2})^2-(\ln{1})^2\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[(\ln{2})^2-(0)^2\right]\) যেহেতু, \(\ln{1}=0\)
\(=\frac{1}{2}(\ln{2})^2\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(2\ln{2}\)
গ \(2(\ln{2})^2\)
গ \(2(\ln{2})^2\)
খ \(\frac{1}{2}\ln{2}\)
ঘ \(\frac{1}{2}(\ln{2})^2\)
\(\int_{0}^{1}{\frac{\ln{(x+1)}}{1+x}dx}\)ঘ \(\frac{1}{2}(\ln{2})^2\)
\(=\int_{0}^{1}{\ln{(x+1)}d\{\ln{(x+1)}\}}\)
\(=\left[\frac{\{\ln{(x+1)}\}^2}{2}\right]_{0}^{1}\) যেহেতু, \(\int{xdx}=\frac{x^2}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\{\ln{(x+1)}\}^2\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\{\ln{(1+1)}\}^2-\{\ln{(0+1)}\}^2\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[(\ln{2})^2-(\ln{1})^2\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[(\ln{2})^2-(0)^2\right]\) যেহেতু, \(\ln{1}=0\)
\(=\frac{1}{2}(\ln{2})^2\)
উত্তরঃ (ঘ)
২১। \(\sin{20^{o}}+\cos{20^{o}}\) এর মান কত?
\(=\sin{20^{o}}+\cos{\left(90^{o}-70^{o}\right)}\)
\(=\sin{20^{o}}+\sin{70^{o}}\)
\(=\sin{70^{o}}+\sin{20^{o}}\)
\(=2\sin{\frac{70^{o}+20^{o}}{2}}\cos{\frac{70^{o}-20^{o}}{2}}\)
\(=2\sin{\frac{90^{o}}{2}}\cos{\frac{50^{o}}{2}}\)
\(=2\sin{45^{o}}\cos{25^{o}}\)
\(=2\times\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{25^{o}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{2}}\cos{25^{o}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\cos{25^{o}}\)
\(=\sqrt{2}\cos{25^{o}}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\sqrt{2}\cos{25^{o}}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{25^{o}}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{25^{o}}\)
খ \(\sqrt{2}\sin{25^{o}}\)
ঘ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{25^{o}}\)
\(\sin{20^{o}}+\cos{20^{o}}\)ঘ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{25^{o}}\)
\(=\sin{20^{o}}+\cos{\left(90^{o}-70^{o}\right)}\)
\(=\sin{20^{o}}+\sin{70^{o}}\)
\(=\sin{70^{o}}+\sin{20^{o}}\)
\(=2\sin{\frac{70^{o}+20^{o}}{2}}\cos{\frac{70^{o}-20^{o}}{2}}\)
\(=2\sin{\frac{90^{o}}{2}}\cos{\frac{50^{o}}{2}}\)
\(=2\sin{45^{o}}\cos{25^{o}}\)
\(=2\times\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{25^{o}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{2}}\cos{25^{o}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\cos{25^{o}}\)
\(=\sqrt{2}\cos{25^{o}}\)
উত্তরঃ (ক)
২২। \(\Delta{ABC}\) এর \(AB=6, \ AC=8\) এবং \(\angle{BAC}=60^{o}\) হলে, \(\Delta{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
এখানে, \(c=6, \ b=8\) এবং \(A=60^{o}\)
এখন, \(\Delta{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin{A}\) বর্গ একক
\(=\frac{1}{2}\times8\times6\sin{60^{o}}\)
\(=24\times\frac{\sqrt{3}}{2}\) যেহেতু, \(\sin{60^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=12\sqrt{3}\) বর্গ একক।
উত্তরঃ (ক)
ক \(12\sqrt{3}\)
গ \(48\)
গ \(48\)
খ \(24\)
ঘ \(48\sqrt{3}\)
\(\Delta{ABC}\) এর \(AB=6, \ AC=8\) এবং \(\angle{BAC}=60^{o}\)ঘ \(48\sqrt{3}\)
এখানে, \(c=6, \ b=8\) এবং \(A=60^{o}\)
এখন, \(\Delta{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin{A}\) বর্গ একক
\(=\frac{1}{2}\times8\times6\sin{60^{o}}\)
\(=24\times\frac{\sqrt{3}}{2}\) যেহেতু, \(\sin{60^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=12\sqrt{3}\) বর্গ একক।
উত্তরঃ (ক)
২৩। \(n\) একটি পূর্ণ সংখ্যা হলে, \(\sin{\left\{2n\pi+(-1)^{2n}\frac{\pi}{6}\right\}}\) এর মান কত?
\(=\sin{\left\{0+(-1)^{0}\frac{\pi}{6}\right\}}\)
\(=\sin{\frac{\pi}{6}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(n=1\) হলে,
\(=\sin{\left(2\pi+(-1)^2\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(=\sin{\left(2\pi+\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(=\sin{\frac{\pi}{6}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(n=-1\) হলে,
\(=\sin{\left(-2\pi+(-1)^{-2}\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(=\sin{\left(-2\pi+\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(=\sin{\frac{\pi}{6}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-\frac{1}{2}\)
গ \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
গ \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
খ \(\frac{1}{2}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(n=0\) হলে,ঘ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\sin{\left\{0+(-1)^{0}\frac{\pi}{6}\right\}}\)
\(=\sin{\frac{\pi}{6}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(n=1\) হলে,
\(=\sin{\left(2\pi+(-1)^2\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(=\sin{\left(2\pi+\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(=\sin{\frac{\pi}{6}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(n=-1\) হলে,
\(=\sin{\left(-2\pi+(-1)^{-2}\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(=\sin{\left(-2\pi+\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(=\sin{\frac{\pi}{6}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
২৪। \(\sin{10^{o}}=p\) হলে, \(\sin{20^{o}}\) এর মান কোনটি?
\(=\sin{(2\times10^{o})}\)
\(=2\sin{10^{o}}\cos{10^{o}}\)
\(=2\sin{10^{o}}\sqrt{1-\sin^2{10^{o}}}\)
\(=2p\sqrt{1-p^2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2p\)
গ \(2p\sqrt{p^2-1}\)
গ \(2p\sqrt{p^2-1}\)
খ \(2p\sqrt{1-p^2}\)
ঘ \(2\sqrt{1-p^2}\)
\(\sin{20^{o}}\)ঘ \(2\sqrt{1-p^2}\)
\(=\sin{(2\times10^{o})}\)
\(=2\sin{10^{o}}\cos{10^{o}}\)
\(=2\sin{10^{o}}\sqrt{1-\sin^2{10^{o}}}\)
\(=2p\sqrt{1-p^2}\)
উত্তরঃ (খ)
২৫। নিচের কোন শর্তে \(ax^2+by^2=c\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে?
\(ax^2+by^2=c\) সমীকরণটি দাঁড়ায়,
\(bx^2+by^2=c\) কারণ, \(\frac{a}{b}=1 \Rightarrow a=b\)
\(\Rightarrow b(x^2+y^2)=c\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{c}{b}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\left(\sqrt{\frac{c}{b}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=r^2\) যখন, \(r=\sqrt{\frac{c}{b}}\)
\(\therefore x^2+y^2=r^2\) একটি বৃত্ত নির্দেশ করে।
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(c=0\)
গ \(a\ne{b}\)
গ \(a\ne{b}\)
খ \(c=r^2\)
ঘ \(\frac{a}{b}=1, \ b\ne{0}\)
শর্ত \(\frac{a}{b}=1, \ b\ne{0}\) হলে,ঘ \(\frac{a}{b}=1, \ b\ne{0}\)
\(ax^2+by^2=c\) সমীকরণটি দাঁড়ায়,
\(bx^2+by^2=c\) কারণ, \(\frac{a}{b}=1 \Rightarrow a=b\)
\(\Rightarrow b(x^2+y^2)=c\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{c}{b}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\left(\sqrt{\frac{c}{b}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=r^2\) যখন, \(r=\sqrt{\frac{c}{b}}\)
\(\therefore x^2+y^2=r^2\) একটি বৃত্ত নির্দেশ করে।
উত্তরঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004