উচ্চতর গণিত প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি-2022

শিক্ষা বোর্ড চট্টগ্রাম - 2022
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]

১। \(4x-3y-51=0\) সরলরেখার উপর লম্ব রেখার ঢাল কত?

ক \(\frac{4}{3}\)

গ \(\frac{3}{4}\)

খ \(-\frac{4}{3}\)

ঘ \(-\frac{3}{4}\)

\(4x-3y-51=0\)
রেখাটির ঢাল \(=-\frac{4}{-3}\)
\(=\frac{4}{3}\)
রেখাটির উপর লম্ব রেখার ঢাল, \(=-\frac{3}{4}\)
উত্তরঃ (ঘ)

২। \(A(3, -2), \ B(4, 6)\) এবং \(C(5, 7)\) কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হলে-
\(i.\) ভরকেন্দ্র \(\left(4, \frac{11}{3}\right)\)
\(ii.\) \(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(\left(\frac{9}{2}, \frac{13}{2}\right)\)
\(iii.\) \(AB\) এর সমীকরণ \(8x-y-26=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?

ক \(i.\) ও \(ii.\)

গ \(ii.\) ও \(iii.\)

খ \(i.\) ও \(iii.\)

ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)

ভরকেন্দ্র \(\left(\frac{3+4+5}{3}, \frac{-2+6+7}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{12}{3}, \frac{11}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(4, \frac{11}{3}\right)\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(\left(\frac{4+5}{2}, \frac{6+7}{2}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{9}{2}, \frac{13}{2}\right)\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x-3}{3-4}=\frac{y+2}{-2-6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{-1}=\frac{y+2}{-8}\)
\(\Rightarrow 8x-24=y+2\)
\(\Rightarrow 8x-y-26=0\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)

৩। \(x^2+y^2-4x-10y+4=0\) বৃত্তটি স্পর্শ করে-

ক \(x\) অক্ষকে

গ উভয় অক্ষকে

খ \(y\) অক্ষকে

ঘ মূলবিন্দুকে

\(x^2+y^2-4x-10y+4=0\)
এখানে, \(2g=-4, \ 2f=-10, \ c=4;\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) এর সাথে তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, \ f=-5, \ c=4\)
এখন, \(g^2=(-2)^2\)
\(=4\)
\(=c\)
আবার, \(f^2=(-5)^2\)
\(=25\)
\(\ne{c}\)
\(\therefore \) ইহা শুধু \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ (ক)

৪। \(x+y=4\) রেখাটি \(x^2+y^2-12x-8y+34=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুর স্থানাংক কোনটি?

ক \((1, 3)\)

গ \((3, 2)\)

খ \((3, 1)\)

ঘ \((2, 5)\)

\((3, 1)\) বিন্দুটি প্রদত্ত সরলরেখা এবং বৃত্ত উভয়কে সিদ্ধ করে,
ফলে, স্পর্শবিন্দুর স্থানাংক \((3, 1)\)
উত্তরঃ (খ)

৫। \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \((2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?

ক \(x+2y+10=0\)

গ \(2x+y-10=0\)

খ \(x+2y=10\)

ঘ \(2x-y-10=0\)

\(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \((2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
\(x.2+y.4=20\)
\(\Rightarrow 2x+4y=20\)
\(\Rightarrow 2(x+2y)=20\)
\(\therefore x+2y=10\)
উত্তরঃ (খ)

৬। \(\tan{\frac{\pi}{8}}\) এর মান কত?

ক \(1-\sqrt{2}\)

গ \(1+\sqrt{2}\)

খ \(-1+\sqrt{2}\)

ঘ \(-1-\sqrt{2}\)

\(\tan{\frac{\pi}{8}}\)
\(=\frac{\sin{\frac{\pi}{8}}}{\cos{\frac{\pi}{8}}}\)
\(=\frac{2\sin{\frac{\pi}{8}}\cos{\frac{\pi}{8}}}{2\cos^2{\frac{\pi}{8}}}\)
\(=\frac{\sin{\frac{\pi}{4}}}{1+\cos{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\)
\(=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}\)
\(=\frac{\sqrt{2}-1}{1}\)
\(=\sqrt{2}-1\)
\(=-1+\sqrt{2}\)
উত্তরঃ (খ)

৭। \(A(-1, 0)\) বিন্দুটি \(y=x^3-3x^2-x+3\) বক্ররেখার উপর হলে-
\(i.\)\(A\) বিন্দুতে ঢাল \(=8\)
\(ii.\) \(A\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(8x-y+8=0\)
\(iii.\) \(A\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \(x-8y-1=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?

ক \(i.\) ও \(ii.\)

গ \(ii.\) ও \(iii.\)

খ \(i.\) ও \(iii.\)

ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)

\(y=x^3-3x^2-x+3\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-6x-1\)
\(A(-1, 0)\) বিন্দুতে ঢাল \(=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1, 0)}\)
\(=3(-1)^2-6(-1)-1\)
\(=3+6-1\)
\(=9-1\)
\(=8\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(A\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y-0=8(x+1)\)
\(\Rightarrow y=8x+8\)
\(\Rightarrow 8x+8=y\)
\(\Rightarrow 8x-y+8=0\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(A\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \(y-0+\frac{1}{8}(x+1)=0\)
\(\Rightarrow 8y+x+1=0\)
\(\Rightarrow x+8y+1=0\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)

৮। \(\int{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx}=\) কত?

ক \(\frac{x^2}{2}+c\)

গ \(\sqrt{1-x^2}+c\)

খ \(-\sqrt{1-x^2}+c\)

ঘ \(\sqrt{1+x}+c\)

\(\int{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)
\(=-\frac{1}{2}\int{\frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)
\(=-\frac{1}{2}\times2\sqrt{1-x^2}+c\) যেহেতু, \(\int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{x}+c\)
\(=-\sqrt{1-x^2}+c\)
উত্তরঃ (খ)

৯। \(\int{e^x\left(\frac{1}{x}+\ln{x}\right)dx}=\) কত?

ক \(e^x\ln{x}+c\)

গ \(e^x.\frac{1}{x}+c\)

খ \(e^x+\ln{x}+c\)

ঘ \(e^x+\frac{1}{x}+c\)

\(\int{e^x\left(\frac{1}{x}+\ln{x}\right)dx}\)
\(\int{e^x\left(\ln{x}+\frac{1}{x}\right)dx}\) ➜
\(=\int{\left(e^x\ln{x}+e^x\frac{1}{x}\right)dx}\)
\(=\int{e^x\ln{x}dx}+\int{e^x\frac{1}{x}dx}\)
\(=\ln{x}\int{e^xdx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(\ln{x})\int{e^xdx}\right\}dx}+\int{e^x\frac{1}{x}dx}\) ➜
\(=\ln{x}e^x-\int{\frac{1}{x}.e^xdx}+\int{e^x\frac{1}{x}dx}\) ➜
\(=\ln{x}e^x-\int{e^x\frac{1}{x}dx}+\int{e^x\frac{1}{x}dx}\)
\(=e^x\ln{x}+c\) ➜
উত্তরঃ (ক)

১০। \(\int_{0}^{\ln{2}}{\frac{e^x}{1+e^x}dx}=\) কত?

ক \(\ln{\frac{2}{3}}\)

গ \(\ln{\frac{3}{2}}\)

খ \(2\)

ঘ \(3\)

\(\int_{0}^{\ln{2}}{\frac{e^x}{1+e^x}dx}\)
\(=\int_{0}^{\ln{2}}{\frac{d(1+e^x)}{1+e^x}}\)
\(=[\ln{(1+e^x)}]_{0}^{\ln{2}}\) যেহেতু, \(\int{\frac{dx}{x}}=\ln{x}\)
\(=\ln{(1+e^{\ln{2}})}-\ln{(1+e^{0})}\)
\(=\ln{(1+2)}-\ln{(1+1)}\)
\(=\ln{3}-\ln{2}\)
\(=\ln{\frac{3}{2}}\)
উত্তরঃ (গ)

১১। \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^2{x}dx}=\) কত?

ক \(1\)

গ \(\frac{\pi}{2}\)

খ \(-1\)

ঘ \(\frac{\pi}{4}\)

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^2{x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{2\cos^2{x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(1+\cos{2x})dx}\) ➜
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{1dx}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos{2x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\left[x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\sin{2x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\) ➜
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{2}-0\right]+\frac{1}{4}\left[\sin{2x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{2}\right]+\frac{1}{4}\left[\sin{\pi}-\sin{0}\right]\)
\(=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}\left[0-0\right]\) ➜
\(=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}.0\)
\(=\frac{\pi}{4}+0\)
\(=\frac{\pi}{4}\) উত্তরঃ (ঘ)

১২। \(f(x)=5\) হলে, \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\]?

ক \(-1\)

গ \(1\)

খ \(0\)

ঘ \(\infty\)

\(f(x)=5\)
\(\Rightarrow f(x+h)=5\)
এখন, \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{5-5}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{0}{h}\]
\[=0\]
উত্তরঃ (খ)

১৩। যদি \(A=\left[\begin{array}{rr}2&-3\\1&6\end{array}\right]\) হয়, তবে-
\(i.\) \(A\) একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) \(|A|=15\)
\(iii.\) \(A\) একটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স নয়
নিচের কোনটি সঠিক?

ক \(i.\) ও \(ii.\)

গ \(ii.\) ও \(iii.\)

খ \(i.\) ও \(iii.\)

ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)

\(A=\left[\begin{array}{rr}2&-3\\1&6\end{array}\right]\)
\(\Rightarrow A^T=\left[\begin{array}{rr}2&-3\\1&6\end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr}2&1\\-3&6\end{array}\right]\)
\(=-\left[\begin{array}{rr}-2&-1\\3&-6\end{array}\right]\)
\(\ne{-A}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(|A|=\left|\begin{array}{rr}2&-3\\1&6\end{array}\right|\)
\(=12+3\)
\(=15\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(A^2=\left[\begin{array}{rr}2&-3\\1&6\end{array}\right]\times{\left[\begin{array}{rr}2&-3\\1&6\end{array}\right]}\)
\(=\left[\begin{array}{rr}2\times2-3\times1&2\times-3-3\times6\\1\times2+6\times1&1\times-3+6\times6\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{rr}4-3&-6-18\\2+6&-3+36\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{rr}1&-24\\8&33\end{array}\right]\)
\(\ne{A}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)

১৪। \(\left[\begin{array}{rr}4&3\\3&2\end{array}\right]\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স কোনটি?

ক \(\left[\begin{array}{rr}2&-3\\-3&4\end{array}\right]\)

গ \(\left[\begin{array}{rr}-2&3\\3&-4\end{array}\right]\)

খ \(\left[\begin{array}{rr}2&3\\-3&-4\end{array}\right]\)

ঘ \(\left[\begin{array}{rr}-4&3\\3&-2\end{array}\right]\)

ধরি, \(A=\left[\begin{array}{rr}4&3\\3&2\end{array}\right]\)
এখন, \(|A|=\left|\begin{array}{rr}4&3\\3&2\end{array}\right|\)
\(=8-9\)
\(=-1\)
\(adj(A)=\left[\begin{array}{rr}2&-3\\-3&4\end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr}2&-3\\-3&4\end{array}\right]\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\)
\(=\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{rr}2&-3\\-3&4\end{array}\right]\)
\(=-\left[\begin{array}{rr}2&-3\\-3&4\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{rr}-2&3\\3&-4\end{array}\right]\)
উত্তরঃ (গ)

১৫। যদি \(\left[\begin{array}{rr}m-2&6\\2&m-3\end{array}\right]\) একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হয়, তবে \(m=\)?

ক \(-2, \ -3\)

গ \(6, \ -1\)

খ \(1, \ -6\)

ঘ \(2, \ -3\)

শর্তমতে, \(\left|\begin{array}{rr}m-2&6\\2&m-3\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow (m-2)(m-3)-12=0\)
\(\Rightarrow m^2-2m-3m+6-12=0\)
\(\Rightarrow m^2-5m-6=0\)
\(\Rightarrow m^2-6m+1m-6=0\)
\(\Rightarrow m(m-6)+1(m-6)=0\)
\(\Rightarrow (m-6)(m+1)=0\)
\(\Rightarrow m-6=0, \ m+1=0\)
\(\Rightarrow m=6, \ m=-1\)
\(\Rightarrow m=6, \ -1\)
উত্তরঃ (গ)

১৬। \(\left|\begin{array}{rrr}1&2&3\\2&3&4\\1&5&7\end{array}\right|\) নির্ণায়কের \((3, 2)\) তম সহগুণক কোনটি?

ক \(2\)

গ \(4\)

খ \(3\)

ঘ \(5\)

\(\left|\begin{array}{rrr}1&2&3\\2&3&4\\1&5&7\end{array}\right|\) নির্ণায়কের \((3, 2)\) তম সহগুণক
\(=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{rr}1&3\\2&4\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(4-6)\)
\(=-(-2)\)
\(=2\)
উত্তরঃ (ক)

নিচের তথ্যের আলোকে ১৭ ও ১৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x+y+4=0\) এবং \(x-y-2=0\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ।

১৭। রেখা দুইটির ছেদবিন্দুর স্থানাংক কোনটি?

ক \((3, 1)\)

গ \((-3, -1)\)

খ \((1, 3)\)

ঘ \((-1, -3)\)

\(x+y+4=0 ......(1)\)
\(x-y-2=0 ......(2)\)
\((1)+(2)\) এর সাহায্যে,
\(x+y+4+x-y-2=0\)
\(\Rightarrow 2x+2=0\)
\(\Rightarrow 2x=-2\)
\(\therefore x=-1\)
\((2)\) হতে,
\(-1-y-2=0\)
\(\Rightarrow -y-3=0\)
\(\Rightarrow -y=3\)
\(\therefore y=-3\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দুর স্থানাংক \((-1, -3)\)
উত্তরঃ (ঘ)

১৮। \(x\) অক্ষের সাথে রেখা দুইটি যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল কত?

ক \(9\) বর্গ একক

গ \(4\) বর্গ একক

খ \(6\) বর্গ একক

ঘ \(3\) বর্গ একক

রেখা দুইটির ছেদবিন্দু \(A(-1, -3)\)
\(x+y+4=0\) রেখাটি \(x\) অক্ষকে \(B(-4, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(x-y-2=0\) রেখাটি \(x\) অক্ষকে \(C(2, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\Delta{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrrr}-1&-4&2&-1\\-3&0&0&-3\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{(0-12)+(0-0)+(-6+0)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{-12+0-6\}\)
\(=\frac{1}{2}\{-18\}\)
\(=-9\)
\(=9\) বর্গ একক (ক্ষেত্রফল ঋনাত্মক হতে পারে না)
উত্তরঃ (ক)

১৯। \((-5, 10)\) বিন্দুগামী সরলরেখা \(\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\tan^{-1}{\frac{3}{4}}\) কোণ উৎপন্ন করে। সরলরেখার সমীকরণ-

ক \(4x+3y-10=0\)

গ \(3x+4y+55=0\)

খ \(3x-4y+55=0\)

ঘ \(4x+3y+30=0\)

শর্তমতে, রেখাটির ঢাল \(=\frac{3}{4}\)
সরলরেখাটির সমীকরণ \(y-10=\frac{3}{4}(x+5)\)
\(\Rightarrow 4y-40=3(x+5)\)
\(\Rightarrow 4y-40=3x+15\)
\(\Rightarrow 3x+15=4y-40\)
\(\Rightarrow 3x+15-4y+40=0\)
\(\therefore 3x-4y+55=0\)
উত্তরঃ (খ)

২০। \(\cos{2A}=\frac{3}{5}\) হলে, \(\sin{A}\) এর মান কত?

ক \(\pm\frac{1}{\sqrt{10}}\)

গ \(\pm\sqrt{\frac{3}{5}}\)

খ \(\pm\frac{1}{\sqrt{5}}\)

ঘ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)

\(\cos{2A}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow 1-2\sin^2{A}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow -2\sin^2{A}=\frac{3}{5}-1\)
\(\Rightarrow -2\sin^2{A}=\frac{3-5}{5}\)
\(\Rightarrow -2\sin^2{A}=-\frac{2}{5}\)
\(\Rightarrow \sin^2{A}=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow \sin{A}=\pm\sqrt{\frac{1}{5}}\)
\(\therefore \sin{A}=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}\)
উত্তরঃ (খ)

নিচের তথ্যের আলোকে ২১ ও ২২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
question

২১। \(\Delta{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল কত?

ক \(\sqrt{15}\) বর্গ একক

গ \(3\sqrt{15}\) বর্গ একক

খ \(9\sqrt{15}\) বর্গ একক

ঘ \(2\sqrt{15}\) বর্গ একক

চিত্রে, দেওয়া আছে, \(a=4, \ b=6, \ c=8\)
তাহলে, \(s=\frac{4+6+8}{2}\)
\(=\frac{18}{2}\)
\(=9\)
\(\Delta{ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{9(9-4)(9-6)(9-8)}\)
\(=\sqrt{9\times5\times3\times1}\)
\(=\sqrt{9\times15}\)
\(=3\sqrt{15}\) বর্গ একক
উত্তরঃ (গ)

২২। \(\angle{C}\) এর মান কত?

ক \(\cos^{-1}{\left(\frac{39}{12}\right)}\)

গ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\)

খ \(\cos^{-1}{\left(\frac{12}{39}\right)}\)

ঘ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{4}\right)}\)

চিত্রে, দেওয়া আছে, \(a=4, \ b=6, \ c=8\)
তাহলে, \(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
\(\Rightarrow C=\cos^{-1}{\left(\frac{4^2+6^2-8^2}{2\times4\times6}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{16+36-64}{48}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{52-64}{48}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(-\frac{12}{48}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{4}\right)}\)
উত্তরঃ (ঘ)

২৩। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{bx}}{\sin{ax}}\] এর মান কত?

ক \(\frac{a}{b}\)

গ \(\frac{b}{a}\)

খ \(ab\)

ঘ \(ab^2\)

\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{bx}}{\sin{ax}}\]
\(=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{bx}}{bx}\times\lim_{x \rightarrow 0}\frac{ax}{\sin{ax}}\times\frac{b}{a}\)
\(=1\times1\times\frac{b}{a}\)
\(=\frac{b}{a}\)
উত্তরঃ (গ)

২৪। \(\sec^{-1}{\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)}\) এর অন্তরক সহগ কত?

ক \(\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)

গ \(\frac{1}{1+x^2}\)

খ \(-\frac{2}{x\sqrt{1-x^2}}\)

ঘ \(\frac{2}{1+x^2}\)

ধরি, \(y=\sec^{-1}{\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)}\) এবং \(\tan{\theta}=x \Rightarrow \theta=\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow y=\sec^{-1}{\left(\frac{1+\tan^2{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}\right)}\)
\(\Rightarrow y=\cos^{-1}{\left(\frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\right)}\)
\(\Rightarrow y=\cos^{-1}{\cos{2\theta}}\)
\(\Rightarrow y=2\theta\)
\(\Rightarrow y=2\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}{x}\right)\)
\(=2\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{2}{1+x^2}\)
উত্তরঃ (ঘ)

২৫। \(\cos{(ax+b)}\) এর \(n\) তম অন্তরক সহগ কত?

ক \((-1)^na^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax+b\right)}\)

গ \(\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax+b\right)}\)

খ \(a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax+b\right)}\)

ঘ \(a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax+b\right)}\)

ধরি, \(y=\cos{(ax+b)}\)
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{(ax+b)}\times{a}=a\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax+b\right)}\)
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax+b\right)}\times{a}=a^2\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax+b\right)}\)
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax+b\right)}\times{a}=a^3\cos{\left(\frac{3\pi}{2}+ax+b\right)}\)
\(------------------\)
\(------------------\)
\(\therefore y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax+b\right)}\)
উত্তরঃ (ঘ)

Post List

Multiple Choise

Category