শিক্ষা বোর্ড যশোর - 2022
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(19.6\) মিটার উঁচু দালানের ছাদ থেকে একটি পাথর ছেড়ে দিলে ভূমিতে পড়তে কত সময় লাগবে?
\(\Rightarrow \frac{1}{2}gt^2=S\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times9.8t^2=19.6\)
\(\Rightarrow t^2=\frac{19.6\times2}{9.8}\)
\(\Rightarrow t^2=2\times2\)
\(\Rightarrow t^2=4\)
\(\Rightarrow t=\sqrt{4}\)
\(\therefore t=2 \ sec\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(1 \ sec\)
গ \(2 \ sec\)
গ \(2 \ sec\)
খ \(1.41 \ sec\)
ঘ \(2.82 \ sec\)
\(S=\frac{1}{2}gt^2\)ঘ \(2.82 \ sec\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}gt^2=S\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times9.8t^2=19.6\)
\(\Rightarrow t^2=\frac{19.6\times2}{9.8}\)
\(\Rightarrow t^2=2\times2\)
\(\Rightarrow t^2=4\)
\(\Rightarrow t=\sqrt{4}\)
\(\therefore t=2 \ sec\)
উত্তরঃ (গ)
২। \(10N\) এবং \(5N\) দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল \(15\) মিটার লম্বা একটি হালকা দন্ডের দুই প্রান্তে কার্যকর হলে, ক্ষুদ্রতম বল থেকে লব্ধি কত দূরে ক্রিয়া করবে?
তাহলে, \(AC.10=BC.5\)
\(\Rightarrow (AB-BC)10=5BC\)
\(\Rightarrow 10AB-10BC=5BC\)
\(\Rightarrow 10AB=5BC+10BC\)
\(\Rightarrow 10AB=15BC\)
\(\Rightarrow 15BC=10AB\)
\(\Rightarrow BC=\frac{10\times15}{15}\)
\(\therefore BC=10\) মিটার
উত্তরঃ (খ)
ক \(5\) মিটার
গ \(15\) মিটার
গ \(15\) মিটার
খ \(10\) মিটার
ঘ \(30\) মিটার
ধরি, \(AB\) দন্ডের \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(10N\) এবং \(5N\) দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত। লব্ধি \(AB\) এর উপরোস্থ \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত।ঘ \(30\) মিটার
তাহলে, \(AC.10=BC.5\)
\(\Rightarrow (AB-BC)10=5BC\)
\(\Rightarrow 10AB-10BC=5BC\)
\(\Rightarrow 10AB=5BC+10BC\)
\(\Rightarrow 10AB=15BC\)
\(\Rightarrow 15BC=10AB\)
\(\Rightarrow BC=\frac{10\times15}{15}\)
\(\therefore BC=10\) মিটার
উত্তরঃ (খ)
৩। \(z=x+iy\) হলে, \(|z|=5\) সমীকরণটি প্রকাশ করে-
\(\Rightarrow |x+iy|=5\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=5\)
\(\therefore x^2+y^2=5^2\) যা একটি বৃত্তের সমীকরণ।
উত্তরঃ (খ)
ক সরলরেখা
গ পরাবৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
খ বৃত্ত
ঘ উপবৃত্ত
\(z=x+iy\) এবং \(|z|=5\) ঘ উপবৃত্ত
\(\Rightarrow |x+iy|=5\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=5\)
\(\therefore x^2+y^2=5^2\) যা একটি বৃত্তের সমীকরণ।
উত্তরঃ (খ)
৪। \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের উপরোস্থ \((4, 8)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব কত?
এখানে, \(4a=16\)
\(\Rightarrow a=4\)
\((4, 8)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|x|\)
\(=4+|4|\)
\(=4+4\)
\(=8\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(20\)
গ \(12\)
গ \(12\)
খ \(16\)
ঘ \(8\)
\(y^2=16x\) ঘ \(8\)
এখানে, \(4a=16\)
\(\Rightarrow a=4\)
\((4, 8)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|x|\)
\(=4+|4|\)
\(=4+4\)
\(=8\)
উত্তরঃ (ঘ)
৫। \(\tan{\theta}+1=0\) এর সাধারণ সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi-\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=(4n-1)\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \((4n-1)\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \((8n-1)\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \((8n-1)\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
খ \((4n+1)\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
ঘ \((8n+1)\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\tan{\theta}+1=0\)ঘ \((8n+1)\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi-\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=(4n-1)\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (ক)
৬। স্থিরাবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করে একটি কণা \(2\) সেকেন্ডে \(6\) মিটার অতিক্রম করলে তৃতীয় সেকেন্ডে কত পথ অতিক্রম করবে?
\(\Rightarrow \frac{1}{2}f\times2^2=6\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}f\times4=6\)
\(\Rightarrow 2f=6\)
\(\therefore f=3\)
এখন, \(S_{3}=\frac{1}{2}f(2\times3-1)\)
\(=\frac{1}{2}\times3(6-1)\)
\(=\frac{1}{2}\times3(5)\)
\(=\frac{1}{2}\times15\)
\(=\frac{15}{2}\)
\(=7.5\) মিটার
উত্তরঃ (খ)
ক \(4.5\) মিটার
গ \(13.5\) মিটার
গ \(13.5\) মিটার
খ \(7.5\) মিটার
ঘ \(15\) মিটার
সমত্বরণ \(f\) হলে,ঘ \(15\) মিটার
\(\Rightarrow \frac{1}{2}f\times2^2=6\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}f\times4=6\)
\(\Rightarrow 2f=6\)
\(\therefore f=3\)
এখন, \(S_{3}=\frac{1}{2}f(2\times3-1)\)
\(=\frac{1}{2}\times3(6-1)\)
\(=\frac{1}{2}\times3(5)\)
\(=\frac{1}{2}\times15\)
\(=\frac{15}{2}\)
\(=7.5\) মিটার
উত্তরঃ (খ)
৭। \(9.8 \ ms^{-1}\) আদিবেগে ভূমির সাথে \(30^{o}\) কোণে একটি বস্তুকণা নিক্ষেপ করা হলো। কণাটির সর্বোচ্চ উচ্চতা কত?
তাহলে সর্বোচ্চ উচ্চতা , \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{(9.8)^2\sin^2{30^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{9.8\times\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}\)
\(=4.9\times\frac{1}{4}\)
\(=1.225 \ m\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(0.25 \ m\)
গ \(2.45 \ m\)
গ \(2.45 \ m\)
খ \(1.225 \ m\)
ঘ \(4.9 \ m\)
এখানে, \(u=9.8 \ ms^{-1}, \ \alpha=30^{o}\)ঘ \(4.9 \ m\)
তাহলে সর্বোচ্চ উচ্চতা , \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{(9.8)^2\sin^2{30^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{9.8\times\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}\)
\(=4.9\times\frac{1}{4}\)
\(=1.225 \ m\)
উত্তরঃ (খ)
৮। \(2y^2-x^2=1\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{y^2}{\frac{1}{2}}-\frac{x^2}{1}=1\)
এখানে, \(a^2=1, \ b^2=\frac{1}{2}\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{1}{\frac{1}{2}}}\)
\(=\sqrt{1+2}\)
\(=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)
গ \(\frac{3}{2}\)
গ \(\frac{3}{2}\)
খ \(\sqrt{3}\)
ঘ \(3\)
\(2y^2-x^2=1\)ঘ \(3\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{\frac{1}{2}}-\frac{x^2}{1}=1\)
এখানে, \(a^2=1, \ b^2=\frac{1}{2}\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{1}{\frac{1}{2}}}\)
\(=\sqrt{1+2}\)
\(=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (খ)
৯। একটি কণার উপর \(3 \ ms^{-1}, \ 4 \ ms^{-1}\) এবং \(5 \ ms^{-1}\) বেগ তিনটি ক্রিয়া করায় কণাটি সাম্যাবস্থায় আছে। ক্ষুদ্রতম বেগ দুইটির মধ্যবর্তী কোণ কত?
\(3^2+4^2+2.3.4\cos{\alpha}=5^2\)
\(\Rightarrow 9+16+24\cos{\alpha}=25\)
\(\Rightarrow 25+24\cos{\alpha}=25\)
\(\Rightarrow 24\cos{\alpha}=25-25\)
\(\Rightarrow 24\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{90^{o}}\)
\(\therefore \alpha=90^{o}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(0^{o}\)
গ \(90^{o}\)
গ \(90^{o}\)
খ \(60^{o}\)
ঘ \(120^{o}\)
মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\) হলে,ঘ \(120^{o}\)
\(3^2+4^2+2.3.4\cos{\alpha}=5^2\)
\(\Rightarrow 9+16+24\cos{\alpha}=25\)
\(\Rightarrow 25+24\cos{\alpha}=25\)
\(\Rightarrow 24\cos{\alpha}=25-25\)
\(\Rightarrow 24\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{90^{o}}\)
\(\therefore \alpha=90^{o}\)
উত্তরঃ (গ)
১০। \(\sqrt{2}\sin{\theta}+1=0\) এর সাধারণ সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow \sqrt{2}\sin{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=-\sin{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(\therefore \theta=n\pi-(-1)^{n}\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(n\pi+(-1)^{n}\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
খ \(n\pi-(-1)^{n}\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
ঘ \(2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\sqrt{2}\sin{\theta}+1=0\)ঘ \(2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}\sin{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=-\sin{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(\therefore \theta=n\pi-(-1)^{n}\frac{\pi}{4}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১১ ও ১২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(P(x)=x^2-kx+9\) একটি দ্বিঘাত বহুপদী, যেখানে \(k\) একটি ধ্রুবক।
১১। \(k=2\) হলে, \(P(x)\) এর ক্ষুদ্রতম মান কত?\(P(x)=x^2-kx+9\) একটি দ্বিঘাত বহুপদী, যেখানে \(k\) একটি ধ্রুবক।
ক \(-10\)
গ \(8\)
গ \(8\)
খ \(-8\)
ঘ \(10\)
\(P(x)=x^2-2x+9, \ \because k=2\)ঘ \(10\)
এখানে, \(a=1, \ b=-2, \ c=9\)
\(ax^2+bx+c\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(=c-\frac{b^2}{4a}\)
\(\therefore P(x)\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(=9-\frac{(-2)^2}{4\times1}\)
\(=9-\frac{4}{4}\)
\(=9-1\)
\(=8\)
উত্তরঃ (গ)
১২। \(P(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে যদি-
\(\Rightarrow x^2-kx+9=0\)
এখানে, \(a=1, \ b=-k, \ c=9\)
সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে যদি, \(b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow (-k)^2-4.1.9=0\)
\(\Rightarrow k^2-36=0\)
\(\Rightarrow k^2=36\)
\(\Rightarrow k=\pm\sqrt{36}\)
\(\therefore k=\pm6\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(k\gt{6}\)
গ \(k=\pm6i\)
গ \(k=\pm6i\)
খ \(k\lt{6}\)
ঘ \(k=\pm6\)
\(P(x)=x^2-kx+9, \ P(x)=0\)ঘ \(k=\pm6\)
\(\Rightarrow x^2-kx+9=0\)
এখানে, \(a=1, \ b=-k, \ c=9\)
সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে যদি, \(b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow (-k)^2-4.1.9=0\)
\(\Rightarrow k^2-36=0\)
\(\Rightarrow k^2=36\)
\(\Rightarrow k=\pm\sqrt{36}\)
\(\therefore k=\pm6\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৩। \(\cos{(\cot^{-1}{2})}\) এর মান কত?
এখানে, ভূমি\(=2\) এবং লম্ব \(=1\)
\(\therefore\) অতিভুজ \(=\sqrt{2^2+1^2}\)
\(=\sqrt{4+1}\)
\(=\sqrt{5}\)
প্রদত্ত রাশি, \(=\cos{(\cos^{-1}{\frac{2}{\sqrt{5}}})}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
খ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
ঘ \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\cos{(\cot^{-1}{2})}\)ঘ \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
এখানে, ভূমি\(=2\) এবং লম্ব \(=1\)
\(\therefore\) অতিভুজ \(=\sqrt{2^2+1^2}\)
\(=\sqrt{4+1}\)
\(=\sqrt{5}\)
প্রদত্ত রাশি, \(=\cos{(\cos^{-1}{\frac{2}{\sqrt{5}}})}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
উত্তরঃ (খ)
১৪। \(3x^3-6x+8=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(\alpha, \ \beta\) ও \(\gamma\) হলে, \(\sum{\alpha}\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{0}{3}\)
\(\Rightarrow \sum{\alpha}=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-6\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(-2\)
ঘ \(2\)
\(3x^3-6x+8=0 \Rightarrow 3x^3+0.x^2-6x+8=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(\alpha, \ \beta\) ও \(\gamma\)ঘ \(2\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{0}{3}\)
\(\Rightarrow \sum{\alpha}=0\)
উত্তরঃ (গ)
১৫। \(-\sqrt{3}-i\) এর মূখ্য আর্গুমেন্ট কত?
এখানে, \(x=-\sqrt{3}, \ y=-1; \ x+iy\) এর সাথে তুলুনা করে।
আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{-1}{-\sqrt{3}}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}-\pi\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{6}}}-\pi\)
\(=\frac{\pi}{6}-\pi\)
\(=\frac{\pi-6\pi}{6}\)
\(=-\frac{5\pi}{6}\) যেহেতু ইহা \(-\pi\) এবং \(\pi\) এর মধ্যে অবস্থিত, ইহাই মূখ্য আর্গুমেন্ট।
উত্তরঃ (গ)
ক \(-\frac{\pi}{6}\)
গ \(-\frac{5\pi}{6}\)
গ \(-\frac{5\pi}{6}\)
খ \(\frac{\pi}{6}\)
ঘ \(\frac{7\pi}{6}\)
\(-\sqrt{3}-i\)ঘ \(\frac{7\pi}{6}\)
এখানে, \(x=-\sqrt{3}, \ y=-1; \ x+iy\) এর সাথে তুলুনা করে।
আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{-1}{-\sqrt{3}}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}-\pi\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{6}}}-\pi\)
\(=\frac{\pi}{6}-\pi\)
\(=\frac{\pi-6\pi}{6}\)
\(=-\frac{5\pi}{6}\) যেহেতু ইহা \(-\pi\) এবং \(\pi\) এর মধ্যে অবস্থিত, ইহাই মূখ্য আর্গুমেন্ট।
উত্তরঃ (গ)
১৬। \(4x^2+y^2=4\) উপবৃত্তের ক্ষেত্রে-
\(i.\) বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(4\)
\(ii.\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(1\)
\(iii.\)উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাংক \((0, \pm{\sqrt{2}})\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=1, \ b^2=4\)
\(\Rightarrow a=1, \ b=2; \ a\lt{b}\)
বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
\(=|2\times2|\)
\(=4\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
এখানে, \(a^2=1, \ b^2=4\)
\(\Rightarrow a=1, \ b=2; \ a\lt{b}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\left|\frac{2a^2}{b}\right|\)
\(=\left|\frac{2\times1}{2}\right|\)
\(=1\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
এখানে, \(a^2=1, \ b^2=4\)
\(\Rightarrow a=1, \ b=2; \ a\lt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাংক \((0, \pm{be})\)
\(\Rightarrow (0, \pm{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}})\)
\(\Rightarrow (0, \pm{\sqrt{3}})\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(4\)
\(ii.\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(1\)
\(iii.\)উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাংক \((0, \pm{\sqrt{2}})\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(4x^2+y^2=4\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=1, \ b^2=4\)
\(\Rightarrow a=1, \ b=2; \ a\lt{b}\)
বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
\(=|2\times2|\)
\(=4\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
এখানে, \(a^2=1, \ b^2=4\)
\(\Rightarrow a=1, \ b=2; \ a\lt{b}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\left|\frac{2a^2}{b}\right|\)
\(=\left|\frac{2\times1}{2}\right|\)
\(=1\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
এখানে, \(a^2=1, \ b^2=4\)
\(\Rightarrow a=1, \ b=2; \ a\lt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাংক \((0, \pm{be})\)
\(\Rightarrow (0, \pm{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}})\)
\(\Rightarrow (0, \pm{\sqrt{3}})\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৭ ও ১৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(2N\) ও \(3N\) মানের বলদ্বয় \(60^{o}\) কোণে একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত।
১৭। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?\(2N\) ও \(3N\) মানের বলদ্বয় \(60^{o}\) কোণে একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত।
ক \(\sqrt{7}N\)
গ \(7N\)
গ \(7N\)
খ \(\sqrt{19}N\)
ঘ \(19N\)
\(2N\) ও \(3N\) মানের বলদ্বয় \(60^{o}\) কোণে একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত।ঘ \(19N\)
লব্ধি \(=\sqrt{2^2+3^2+2.2.3\cos{60^{o}}}\)
\(=\sqrt{4+9+12\times\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{13+6}\)
\(=\sqrt{19}N\)
উত্তরঃ (খ)
১৮। লব্ধি বলের ক্রিয়ারেখা ক্ষুদ্রতম বলের সাথে কত কোণ তৈরী করবে?
তাহলে, \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{3\sin{60^{o}}}{2+3\cos{60^{o}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{3\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{2+3\times\frac{1}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{2+\frac{3}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{4+3}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{7}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\times\frac{2}{7}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{3\sqrt{3}}{7}\right)}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)}\)
গ \(\tan^{-1}{\left(\frac{3}{4+3\sqrt{3}}\right)}\)
গ \(\tan^{-1}{\left(\frac{3}{4+3\sqrt{3}}\right)}\)
খ \(\tan^{-1}{\left(\frac{3\sqrt{3}}{7}\right)}\)
ঘ \(\tan^{-1}{\left(\frac{1}{3+\sqrt{3}}\right)}\)
ধরি, লব্ধি ক্ষুদ্রতম বলের সাথে \(\theta\) কোণ করে।ঘ \(\tan^{-1}{\left(\frac{1}{3+\sqrt{3}}\right)}\)
তাহলে, \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{3\sin{60^{o}}}{2+3\cos{60^{o}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{3\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{2+3\times\frac{1}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{2+\frac{3}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{4+3}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{7}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\times\frac{2}{7}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{3\sqrt{3}}{7}\right)}\)
উত্তরঃ (খ)
১৯। \(\tan^{-1}{2}+\tan^{-1}{3}\) এর মান কত?
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2+3}{1-2\times3}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{5}{1-6}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{5}{-5}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(-1\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}}\)
\(=-\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-\frac{\pi}{4}\)
গ \(-\frac{3\pi}{4}\)
গ \(-\frac{3\pi}{4}\)
খ \(\frac{\pi}{4}\)
ঘ \(\frac{5\pi}{4}\)
\(\tan^{-1}{2}+\tan^{-1}{3}\)ঘ \(\frac{5\pi}{4}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2+3}{1-2\times3}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{5}{1-6}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{5}{-5}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(-1\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}}\)
\(=-\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ (ক)
২০। \(i^2=-1\) হলে, \(i^{-39}\) এর মান-
\(=\frac{1}{i^{39}}\)
\(=\frac{1}{(i^{2})^{19}.i}\)
\(=\frac{1}{(-1)^{19}.i}\)
\(=\frac{1}{-i}\)
\(=\frac{i}{-i^2}\)
\(=\frac{i}{-(-1)}\)
\(=\frac{i}{1}\)
\(=i\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-1\)
গ \(-i\)
গ \(-i\)
খ \(1\)
ঘ \(i\)
\(i^{-39}\)ঘ \(i\)
\(=\frac{1}{i^{39}}\)
\(=\frac{1}{(i^{2})^{19}.i}\)
\(=\frac{1}{(-1)^{19}.i}\)
\(=\frac{1}{-i}\)
\(=\frac{i}{-i^2}\)
\(=\frac{i}{-(-1)}\)
\(=\frac{i}{1}\)
\(=i\)
উত্তরঃ (ঘ)
২১। \(1-\sqrt{-3}\) মূল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কোনটি?
সমীকরণ, \(x^2-(1-\sqrt{-3}+1+\sqrt{-3})x+(1-\sqrt{-3})(1+\sqrt{-3})=0\)
\(\Rightarrow x^2-(2)x+\{1^2-(\sqrt{-3})^2\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+\{1-(-3)\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+\{1+3\}=0\)
\(\therefore x^2-2x+4=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(x^2-2x-4=0\)
গ \(x^2+2x-4=0\)
গ \(x^2+2x-4=0\)
খ \(x^2-2x+4=0\)
ঘ \(x^2+2x+4=0\)
দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \((1-\sqrt{-3})\) হলে অপর মূলটি হবে \((1+\sqrt{-3})\)ঘ \(x^2+2x+4=0\)
সমীকরণ, \(x^2-(1-\sqrt{-3}+1+\sqrt{-3})x+(1-\sqrt{-3})(1+\sqrt{-3})=0\)
\(\Rightarrow x^2-(2)x+\{1^2-(\sqrt{-3})^2\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+\{1-(-3)\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+\{1+3\}=0\)
\(\therefore x^2-2x+4=0\)
উত্তরঃ (খ)
২২। \(z=i-1\) হলে-
\(i.\) \(\overline{z}=-i-1\)
\(ii.\) \(|z|=\sqrt{2}\)
\(iii.\) \(z\) এর পোলার আকার \(\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}-i\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow \overline{z}=\overline{i-1}\)
\(=-i-1\) যেহেতু \(\overline{x+iy}=x-iy\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(|z|=|i-1|=\sqrt{1^2+(-1)^2}\) যেহেতু \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
এখানে, \(x=-1, \ y=1\)
তাহলে, \(r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-1)^2+1^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{1}{-1}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{1+1}, \ \theta=\tan^{-1}{(-1)}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=-\frac{\pi}{4}\)
\(z=i-1\) এর পোলার আকার \(=\sqrt{2}\cos{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}+i\sqrt{2}\sin{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(=\sqrt{2}\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}-i\sqrt{2}\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) \(\overline{z}=-i-1\)
\(ii.\) \(|z|=\sqrt{2}\)
\(iii.\) \(z\) এর পোলার আকার \(\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}-i\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(z=i-1\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \overline{z}=\overline{i-1}\)
\(=-i-1\) যেহেতু \(\overline{x+iy}=x-iy\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(|z|=|i-1|=\sqrt{1^2+(-1)^2}\) যেহেতু \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
এখানে, \(x=-1, \ y=1\)
তাহলে, \(r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-1)^2+1^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{1}{-1}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{1+1}, \ \theta=\tan^{-1}{(-1)}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=-\frac{\pi}{4}\)
\(z=i-1\) এর পোলার আকার \(=\sqrt{2}\cos{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}+i\sqrt{2}\sin{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(=\sqrt{2}\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}-i\sqrt{2}\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
নিচের তথ্যের আলোকে ২৩ ও ২৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(y^2=1-x\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
২৩। পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু কোনটি?\(y^2=1-x\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
ক \((-1, 0)\)
গ \((0, -1)\)
গ \((0, -1)\)
খ \((1, 0)\)
ঘ \((0, 1)\)
\(y^2=1-x\)ঘ \((0, 1)\)
\(\Rightarrow y^2=-1(x-1)\)
পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দুতে, \(x-1=0, \ y=0\)
\(\Rightarrow x=1, \ y=0\)
\(\therefore\) শীর্ষবিন্দু \((1, 0)\)
উত্তরঃ (খ)
২৪। পরাবৃত্তটির নিয়ামক রেখা কোনটি?
\(\Rightarrow y^2=-1(x-1)\)
এখানে, \(4a=-1\)
\(\Rightarrow a=-\frac{1}{4}\)
পরাবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ, \(x-1=-a\)
\(\Rightarrow x-1=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow 4x-4=1\)
\(\Rightarrow 4x-4-1=\)
\(\therefore 4x-5=\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(x=0\)
গ \(4x-3=0\)
গ \(4x-3=0\)
খ \(x-2=0\)
ঘ \(4x-5=0\)
\(y^2=1-x\)ঘ \(4x-5=0\)
\(\Rightarrow y^2=-1(x-1)\)
এখানে, \(4a=-1\)
\(\Rightarrow a=-\frac{1}{4}\)
পরাবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ, \(x-1=-a\)
\(\Rightarrow x-1=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow 4x-4=1\)
\(\Rightarrow 4x-4-1=\)
\(\therefore 4x-5=\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৫। একটি বিন্দুতে একই সময় ক্রিয়ারত নিচের কোন বলত্রয়কে তাদের সাম্যাবস্থার জন্য একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা একই ক্রমে মানে ও দিকে প্রকাশ করা সম্ভব নয়?
এখানে, প্রথম দুইটি বলের যোগফল তৃতীয় বলটির সমান। ফলে একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা একই ক্রমে মানে ও দিকে প্রকাশ করা সম্ভব নয়।
উত্তরঃ (ক)
ক \(1N, \ 2N, \ 3N\)
গ \(3N, \ 4N, \ 5N\)
গ \(3N, \ 4N, \ 5N\)
খ \(2N, \ 3N, \ 4N\)
ঘ \(3N, \ 5N, \ 7N\)
\(1N, \ 2N, \ 3N\)ঘ \(3N, \ 5N, \ 7N\)
এখানে, প্রথম দুইটি বলের যোগফল তৃতীয় বলটির সমান। ফলে একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা একই ক্রমে মানে ও দিকে প্রকাশ করা সম্ভব নয়।
উত্তরঃ (ক)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000003