শিক্ষা বোর্ড কুমিল্লা - 2022
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মুল \(\frac{1}{1+i}\) হলে, অপর মূলটি কত?
\(=\frac{1-i}{(1-i)(1+i)}\)
\(=\frac{1-i}{1^2-i^2}\)
\(=\frac{1-i}{1+1}\)
\(=\frac{1-i}{2}\)
তাহলে, অপর মূলটি হবে \(\frac{1+i}{2}\)
কারণ, দ্বিঘাত সমীকরণের কাল্পনিক মূলগুলি অনুবন্ধী যুগলে, অবস্থান করে।
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{1}{1-i}\)
গ \(\frac{1+i}{2}\)
গ \(\frac{1+i}{2}\)
খ \(\frac{1-i}{2}\)
ঘ \(1-i\)
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মুল \(\frac{1}{1+i}\)ঘ \(1-i\)
\(=\frac{1-i}{(1-i)(1+i)}\)
\(=\frac{1-i}{1^2-i^2}\)
\(=\frac{1-i}{1+1}\)
\(=\frac{1-i}{2}\)
তাহলে, অপর মূলটি হবে \(\frac{1+i}{2}\)
কারণ, দ্বিঘাত সমীকরণের কাল্পনিক মূলগুলি অনুবন্ধী যুগলে, অবস্থান করে।
উত্তরঃ (গ)
২। \(x^2=-12y\) এর স্কেচ কোনটি?
তাহলে, 'ঘ' নং চিত্রটি \(x^2=-12y\) এর স্কেচ
উত্তরঃ (ঘ)
ক 
গ
গ
খ 
ঘ
\(x^2=-12y\) মূলবিন্দুগামী এবং \(y\) অক্ষের ঋনাত্মক দিকে প্রতিসম পরাবৃত্তের সমীকরণ, যার অক্ষ রেখা \(y\) অক্ষ বরাবর। উপকেন্দ্র \(y\) অক্ষের ঋনাত্মক অংশের উপর অবস্থিত।ঘ
তাহলে, 'ঘ' নং চিত্রটি \(x^2=-12y\) এর স্কেচ
উত্তরঃ (ঘ)
৩। \(\tan^{-1}{2}+\tan^{-1}{3}\) এর মান কত?
\(=\tan^{-1}{2}+\tan^{-1}{3}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2+3}{1-2\times3}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{5}{1-6}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{5}{-5}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(-1\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\tan{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}\right\}}\)
\(=-\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-\frac{\pi}{4}\)
গ \(-\frac{3\pi}{4}\)
গ \(-\frac{3\pi}{4}\)
খ \(\frac{\pi}{4}\)
ঘ \(\frac{5\pi}{4}\)
\(\tan^{-1}{2}+\tan^{-1}{3}\)ঘ \(\frac{5\pi}{4}\)
\(=\tan^{-1}{2}+\tan^{-1}{3}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2+3}{1-2\times3}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{5}{1-6}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{5}{-5}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(-1\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\tan{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}\right\}}\)
\(=-\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ (ক)
৪। \(\sqrt{6}N\) মানের দুইটি সমান বল \(60^{o}\) কোণে এক বিন্দুতে ক্রিয়াশীল হলে, তাদের লব্ধির মান কত?
তাহলে, \(R=\sqrt{(\sqrt{6})^2+(\sqrt{6})^2+2.\sqrt{6}.\sqrt{6}\cos{60^{o}}}\)
\(=\sqrt{6+6+12\times\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{12+6}\)
\(=\sqrt{18}\)
\(=3\sqrt{2}\)
\(\therefore R=3\sqrt{2} N\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(2\sqrt{6} N\)
গ \(18 N\)
গ \(18 N\)
খ \(2\sqrt{3} N\)
ঘ \(3\sqrt{2} N\)
ধরি, লব্ধি \(=R\) ঘ \(3\sqrt{2} N\)
তাহলে, \(R=\sqrt{(\sqrt{6})^2+(\sqrt{6})^2+2.\sqrt{6}.\sqrt{6}\cos{60^{o}}}\)
\(=\sqrt{6+6+12\times\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{12+6}\)
\(=\sqrt{18}\)
\(=3\sqrt{2}\)
\(\therefore R=3\sqrt{2} N\)
উত্তরঃ (ঘ)
৫। \(x^2-\frac{1}{3}x-15=0\) সমীকরণের মূলগুলি \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে-
\(i.\) \(\sum{\alpha}=0\)
\(ii.\) \(\sum{\alpha\beta}=-\frac{1}{3}\)
\(iii.\)\(\alpha\beta\gamma=15\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{0}{1}\)
\(\therefore \sum{\alpha}=0\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\Rightarrow \alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{-\frac{1}{3}}{1}\)
\(\therefore \sum{\alpha\beta}=-\frac{1}{3}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(\Rightarrow \alpha\beta\gamma=-\frac{-15}{1}\)
\(\therefore \alpha\beta\gamma=15\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \(\sum{\alpha}=0\)
\(ii.\) \(\sum{\alpha\beta}=-\frac{1}{3}\)
\(iii.\)\(\alpha\beta\gamma=15\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2-\frac{1}{3}x-15=0\) সমীকরণের মূলগুলি \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{0}{1}\)
\(\therefore \sum{\alpha}=0\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\Rightarrow \alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{-\frac{1}{3}}{1}\)
\(\therefore \sum{\alpha\beta}=-\frac{1}{3}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(\Rightarrow \alpha\beta\gamma=-\frac{-15}{1}\)
\(\therefore \alpha\beta\gamma=15\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৬ ও ৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(9x^2+25y^2=225\)
৬। উদ্দীপকের কণিকের উপকেন্দ্রের স্থানাংক কোনটি?\(9x^2+25y^2=225\)
ক \((\pm4, 0)\)
গ \((0, \pm4)\)
গ \((0, \pm4)\)
খ \((\pm5, 0)\)
ঘ \((0, \pm5)\)
\(9x^2+25y^2=225\)ঘ \((0, \pm5)\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{225}+\frac{25y^2}{225}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)
এখন, \(a^2=25, \ b^2=9\)
\(\Rightarrow a=5, \ b=3; \ a\gt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(=\frac{4}{5}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(\pm{ae}, 0\right)\)
\(\equiv \left(\pm{5\times\frac{4}{5}}, 0\right)\)
\(\equiv \left(\pm{4}, 0\right)\)
উত্তরঃ (ক)
৭। উদ্দীপকের কণিকের নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{225}+\frac{25y^2}{225}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)
এখন, \(a^2=25, \ b^2=9\)
\(\Rightarrow a=5, \ b=3; \ a\gt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(=\frac{4}{5}\)
নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\left|\frac{2a}{e}\right|\)
\(=\left|\frac{2\times5}{\frac{4}{5}}\right|\)
\(=\frac{10}{\frac{4}{5}}\)
\(=\frac{10\times5}{4}\)
\(=\frac{5\times5}{2}\)
\(=\frac{25}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{25}{4}\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(\frac{25}{2}\)
ঘ \(8\)
\(9x^2+25y^2=225\)ঘ \(8\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{225}+\frac{25y^2}{225}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)
এখন, \(a^2=25, \ b^2=9\)
\(\Rightarrow a=5, \ b=3; \ a\gt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(=\frac{4}{5}\)
নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\left|\frac{2a}{e}\right|\)
\(=\left|\frac{2\times5}{\frac{4}{5}}\right|\)
\(=\frac{10}{\frac{4}{5}}\)
\(=\frac{10\times5}{4}\)
\(=\frac{5\times5}{2}\)
\(=\frac{25}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
৮। \(\sin^{-1}{\frac{3}{5}}+\cos^{-1}{\frac{3}{5}}\) এর মান কত?
\(=\frac{\pi}{2}\) যেহেতু \(\sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-\pi\)
গ \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\frac{\pi}{2}\)
খ \(\pi\)
ঘ \(-\frac{\pi}{2}\)
\(\sin^{-1}{\frac{3}{5}}+\cos^{-1}{\frac{3}{5}}\)ঘ \(-\frac{\pi}{2}\)
\(=\frac{\pi}{2}\) যেহেতু \(\sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
৯। চিত্র অনুসারে \(6\) একক বলের অংশকদ্বয় \(P_{1}\) ও \(P_{2}\)
হলে, \(P_{1}\) এর মান কোনটি?
তাহলে, \(\frac{P_{1}}{\sin{(180^{o}-30^{o})}}=\frac{6}{\sin{(90^{o}+30^{o})}}\)
\(\Rightarrow \frac{P_{1}}{\sin{30^{o}}}=\frac{6}{\cos{30^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{P_{1}}{\frac{1}{2}}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{2P_{1}}{1}=\frac{12}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow P_{1}=\frac{6}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow P_{1}=\frac{2\times\sqrt{3}\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore P_{1}=2\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (গ)
হলে, \(P_{1}\) এর মান কোনটি?
ক \(\sqrt{2}\)
গ \(2\sqrt{3}\)
গ \(2\sqrt{3}\)
খ \(\sqrt{3}\)
ঘ \(3\sqrt{2}\)
চিত্রে, \(6\) একক বলকে বিপরীতমুখী করা হলে বল তিনটি সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে।ঘ \(3\sqrt{2}\)
তাহলে, \(\frac{P_{1}}{\sin{(180^{o}-30^{o})}}=\frac{6}{\sin{(90^{o}+30^{o})}}\)
\(\Rightarrow \frac{P_{1}}{\sin{30^{o}}}=\frac{6}{\cos{30^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{P_{1}}{\frac{1}{2}}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{2P_{1}}{1}=\frac{12}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow P_{1}=\frac{6}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow P_{1}=\frac{2\times\sqrt{3}\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore P_{1}=2\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১০ ও ১১ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^2-5x+k=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\)
১০। \(k\) এর মান কত হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে?\(x^2-5x+k=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\)
ক \(k=4\)
গ \(k\lt\frac{25}{4}\)
গ \(k\lt\frac{25}{4}\)
খ \(k=\frac{25}{4}\)
ঘ \(k\gt\frac{25}{4}\)
\(x^2-5x+k=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে,ঘ \(k\gt\frac{25}{4}\)
যদি, \(D=b^2-4ac=0\) হয়।
\(\Rightarrow (-5)^2-4.1.k=0\)
\(\Rightarrow 25-4k=0\)
\(\Rightarrow -4k=-25\)
\(\Rightarrow 4k=25\)
\(\therefore k=\frac{25}{4}\)
উত্তরঃ (খ)
১১। \(k=6\) হলে, \(\alpha+2, \ \beta+2\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{-5}{1}, \ \alpha\beta=\frac{6}{1}\)
\(\therefore \alpha+\beta=5, \ \alpha\beta=6\)
এখন, \(\alpha+2, \ \beta+2\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,
\(x^2-(\alpha+2+\beta+2)x+(\alpha+2)(\beta+2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-(\alpha+\beta+4)x+\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=0\)
\(\Rightarrow x^2-(5+4)x+6+2(5)+4=0\)
\(\Rightarrow x^2-9x+10+10=0\)
\(\therefore x^2-9x+20=0\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(x^2-9x+20=0\)
গ \(x^2+9x-20=0\)
গ \(x^2+9x-20=0\)
খ \(x^2+9x+20=0\)
ঘ \(x^2-9x-20=0\)
\(x^2-5x+6=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\)ঘ \(x^2-9x-20=0\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{-5}{1}, \ \alpha\beta=\frac{6}{1}\)
\(\therefore \alpha+\beta=5, \ \alpha\beta=6\)
এখন, \(\alpha+2, \ \beta+2\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,
\(x^2-(\alpha+2+\beta+2)x+(\alpha+2)(\beta+2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-(\alpha+\beta+4)x+\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=0\)
\(\Rightarrow x^2-(5+4)x+6+2(5)+4=0\)
\(\Rightarrow x^2-9x+10+10=0\)
\(\therefore x^2-9x+20=0\)
উত্তরঃ (ক)
১২। \(y^2=18x\) পরাবৃত্তের উপরোস্থ \((2, 6)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব কত?
এখানে, \(4a=18\)
\(\Rightarrow a=\frac{18}{4}\)
\(\therefore a=\frac{9}{2}\)
\((2, 6)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=\frac{9}{2}+|2|;\) যেহেতু, \((x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|x|\)
\(=\frac{9}{2}+2\)
\(=\frac{9+4}{2}\)
\(=\frac{13}{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{3}{2}\)
গ \(\frac{21}{2}\)
গ \(\frac{21}{2}\)
খ \(\frac{5}{2}\)
ঘ \(\frac{13}{2}\)
\(y^2=18x\)ঘ \(\frac{13}{2}\)
এখানে, \(4a=18\)
\(\Rightarrow a=\frac{18}{4}\)
\(\therefore a=\frac{9}{2}\)
\((2, 6)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=\frac{9}{2}+|2|;\) যেহেতু, \((x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|x|\)
\(=\frac{9}{2}+2\)
\(=\frac{9+4}{2}\)
\(=\frac{13}{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৩। \(z=x+iy\) হলে, \(|z-1|=5\) সমীকরণটি কী নির্দেশ করে?
\(\Rightarrow |x+iy-1|=5\)
\(\Rightarrow |(x-1)+iy|=5\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+y^2}=5\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+y^2=5^2\)
\(\therefore (x-1)^2+(y-0)^2=5^2\) যা একটি বৃত্ত নির্দেশ করে।
কেন্দ্র \((1, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=5\)
উত্তরঃ (খ)
ক সরলরেখা
গ পরাবৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
খ বৃত্ত
ঘ উপবৃত্ত
দেওয়া আছে, \(z=x+iy\) এবং \(|z-1|=5\)ঘ উপবৃত্ত
\(\Rightarrow |x+iy-1|=5\)
\(\Rightarrow |(x-1)+iy|=5\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+y^2}=5\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+y^2=5^2\)
\(\therefore (x-1)^2+(y-0)^2=5^2\) যা একটি বৃত্ত নির্দেশ করে।
কেন্দ্র \((1, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=5\)
উত্তরঃ (খ)
১৪। একই বিন্দুতে \(\alpha\) কোণে ক্রিয়ারত \(P\) ও \(Q\) বলের লব্ধি \(R\) হলে-
\(i.\) \(R=P+Q\) যখন, \(\alpha=90^{o}\)
\(ii.\) \(R=P-Q\) যখন, \(\alpha=180^{o}\)
\(iii.\)\(Q=P\) হলে, \(R=2P\cos{\frac{\alpha}{2}}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ.0}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{180^{o}}}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\times-1}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2-2PQ}\)
\(=\sqrt{(P-Q)^2}\)
\(=P-Q\)
\(\therefore R=P-Q\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}}\)
\(=\sqrt{P^2+P^2+2P.P\cos{\alpha}};\) যেহেতু, \(Q=P\)
\(=\sqrt{2P^2+2P^2\cos{\alpha}}\)
\(=P\sqrt{2+2\cos{\alpha}}\)
\(=P\sqrt{2(1+\cos{\alpha})}\)
\(=P\sqrt{2\times2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}};\) যেহেতু, \(1+\cos{A}=2\cos^2{\frac{A}{2}}\)
\(=P\sqrt{4\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}\)
\(=P\times2\cos{\frac{\alpha}{2}}\)
\(=2P\cos{\frac{\alpha}{2}}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
\(i.\) \(R=P+Q\) যখন, \(\alpha=90^{o}\)
\(ii.\) \(R=P-Q\) যখন, \(\alpha=180^{o}\)
\(iii.\)\(Q=P\) হলে, \(R=2P\cos{\frac{\alpha}{2}}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{90^{o}}}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ.0}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{180^{o}}}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\times-1}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2-2PQ}\)
\(=\sqrt{(P-Q)^2}\)
\(=P-Q\)
\(\therefore R=P-Q\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}}\)
\(=\sqrt{P^2+P^2+2P.P\cos{\alpha}};\) যেহেতু, \(Q=P\)
\(=\sqrt{2P^2+2P^2\cos{\alpha}}\)
\(=P\sqrt{2+2\cos{\alpha}}\)
\(=P\sqrt{2(1+\cos{\alpha})}\)
\(=P\sqrt{2\times2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}};\) যেহেতু, \(1+\cos{A}=2\cos^2{\frac{A}{2}}\)
\(=P\sqrt{4\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}\)
\(=P\times2\cos{\frac{\alpha}{2}}\)
\(=2P\cos{\frac{\alpha}{2}}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
১৫। \(-1-i\sqrt{3}\) এর মূখ্য আর্গুমেন্ট কত?
এখানে, \(x=-1, \ y=-\sqrt{3}; \ x+iy\) এর সাথে তুলুনা করে।
আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{-\sqrt{3}}{-1}}\)
\(=\tan^{-1}{\sqrt{3}}-\pi\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{3}}}-\pi\)
\(=\frac{\pi}{3}-\pi\)
\(=\frac{\pi-3\pi}{3}\)
\(=-\frac{2\pi}{3}\) যেহেতু ইহা \(-\pi\) এবং \(\pi\) এর মধ্যে অবস্থিত, ইহাই মূখ্য আর্গুমেন্ট।
উত্তরঃ (ক)
ক \(-\frac{2\pi}{3}\)
গ \(-\frac{4\pi}{3}\)
গ \(-\frac{4\pi}{3}\)
খ \(\frac{2\pi}{3}\)
ঘ \(\frac{4\pi}{3}\)
\(-1-i\sqrt{3}\) ঘ \(\frac{4\pi}{3}\)
এখানে, \(x=-1, \ y=-\sqrt{3}; \ x+iy\) এর সাথে তুলুনা করে।
আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{-\sqrt{3}}{-1}}\)
\(=\tan^{-1}{\sqrt{3}}-\pi\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{3}}}-\pi\)
\(=\frac{\pi}{3}-\pi\)
\(=\frac{\pi-3\pi}{3}\)
\(=-\frac{2\pi}{3}\) যেহেতু ইহা \(-\pi\) এবং \(\pi\) এর মধ্যে অবস্থিত, ইহাই মূখ্য আর্গুমেন্ট।
উত্তরঃ (ক)
১৬। \(2N, \ \sqrt{5}N\) এবং \(3N\) বলত্রয় কোনো বিন্দুতে ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করে। ক্ষুদ্রতম বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ কোনটি?
তাহলে, \(2^2+(\sqrt{5})^2+2.2.\sqrt{5}\cos{\alpha}=3^2\)
\(\Rightarrow 4+5+4\sqrt{5}\cos{\alpha}=9\)
\(\Rightarrow 9+4\sqrt{5}\cos{\alpha}=9\)
\(\Rightarrow 4\sqrt{5}\cos{\alpha}=9-9\)
\(\Rightarrow 4\sqrt{5}\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{90^{o}};\) যেহেতু \(\cos{90^{o}}=0\)
\(\therefore \alpha=90^{o}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(30^{o}\)
গ \(90^{o}\)
গ \(90^{o}\)
খ \(60^{o}\)
ঘ \(180^{o}\)
ধরি, ক্ষুদ্রতম \(2N\) এবং \(\sqrt{5}N\) বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ \(\alpha\)ঘ \(180^{o}\)
তাহলে, \(2^2+(\sqrt{5})^2+2.2.\sqrt{5}\cos{\alpha}=3^2\)
\(\Rightarrow 4+5+4\sqrt{5}\cos{\alpha}=9\)
\(\Rightarrow 9+4\sqrt{5}\cos{\alpha}=9\)
\(\Rightarrow 4\sqrt{5}\cos{\alpha}=9-9\)
\(\Rightarrow 4\sqrt{5}\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{90^{o}};\) যেহেতু \(\cos{90^{o}}=0\)
\(\therefore \alpha=90^{o}\)
উত্তরঃ (গ)
১৭। স্থিরাবস্থা হতে সমত্বরণে চলমান একটি কণা \(4\) সেকেন্ডে \(16\) মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। \(5\)ম সেকেন্ডে কণাটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
\(4\) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(0.4+\frac{1}{2}f.4^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}f.16=16\)
\(\Rightarrow 8f=16\)
\(\therefore f=2\)
\(5\)ম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(S_{5}=0+\frac{1}{2}.2(2\times5-1);\) যেহেতু, \(S_{t}=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\)
\(=\frac{1}{2}.2(2\times5-1)\)
\(=1(2\times5-1)\)
\(=10-1\)
\(=9\) মিটার
উত্তরঃ (ক)
ক \(9\) মিটার
গ \(18\) মিটার
গ \(18\) মিটার
খ \(11\) মিটার
ঘ \(22\) মিটার
এখানে, \(u=0, \ t=4\) সেকেন্ডে,ঘ \(22\) মিটার
\(4\) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(0.4+\frac{1}{2}f.4^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}f.16=16\)
\(\Rightarrow 8f=16\)
\(\therefore f=2\)
\(5\)ম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(S_{5}=0+\frac{1}{2}.2(2\times5-1);\) যেহেতু, \(S_{t}=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\)
\(=\frac{1}{2}.2(2\times5-1)\)
\(=1(2\times5-1)\)
\(=10-1\)
\(=9\) মিটার
উত্তরঃ (ক)
১৮। \(i^{-49}\) এর মান কোনটি?
\(=i^{-50}\times{i}\)
\(=(i^2)^{-25}\times{i}\)
\(=(-1)^{-25}\times{i};\) যেহেতু, \(i^2=-1\)
\(=\frac{1}{(-1)^{25}}\times{i}\)
\(=\frac{1}{-1}\times{i}\)
\(=-1\times{i}\)
\(=-i\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-i\)
গ \(-1\)
গ \(-1\)
খ \(i\)
ঘ \(1\)
\(i^{-49}\)ঘ \(1\)
\(=i^{-50}\times{i}\)
\(=(i^2)^{-25}\times{i}\)
\(=(-1)^{-25}\times{i};\) যেহেতু, \(i^2=-1\)
\(=\frac{1}{(-1)^{25}}\times{i}\)
\(=\frac{1}{-1}\times{i}\)
\(=-1\times{i}\)
\(=-i\)
উত্তরঃ (ক)
১৯। \(-1+i\) এর পোলার আকার-
এখানে, \(x=-1, \ y=1\)
তাহলে, \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+1^2}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
এবং \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{1}{-1}}\)
\(=\pi-\tan^{-1}{1}\)
\(=\pi-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi-\pi}{4}\)
\(=\frac{3\pi}{4}\)
পোলার আকার \(=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)
\(=\sqrt{2}\left(\cos{\frac{3\pi}{4}}+i\sin{\frac{3\pi}{4}}\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\sqrt{2}\left(\cos{\frac{\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi}{4}}\right)\)
গ \(\sqrt{2}\left(\cos{\frac{3\pi}{4}}-i\sin{\frac{3\pi}{4}}\right)\)
গ \(\sqrt{2}\left(\cos{\frac{3\pi}{4}}-i\sin{\frac{3\pi}{4}}\right)\)
খ \(\sqrt{2}\left(\cos{\frac{\pi}{4}}-i\sin{\frac{\pi}{4}}\right)\)
ঘ \(\sqrt{2}\left(\cos{\frac{3\pi}{4}}+i\sin{\frac{3\pi}{4}}\right)\)
\(-1+i\)ঘ \(\sqrt{2}\left(\cos{\frac{3\pi}{4}}+i\sin{\frac{3\pi}{4}}\right)\)
এখানে, \(x=-1, \ y=1\)
তাহলে, \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+1^2}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
এবং \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{1}{-1}}\)
\(=\pi-\tan^{-1}{1}\)
\(=\pi-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi-\pi}{4}\)
\(=\frac{3\pi}{4}\)
পোলার আকার \(=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)
\(=\sqrt{2}\left(\cos{\frac{3\pi}{4}}+i\sin{\frac{3\pi}{4}}\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
২০। \(9.8\) মিটার/সে. বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপিত কোনো বস্তুর সর্বোচ্চ উচ্চতা কত?
সর্বোচ্চ উচ্চতা \(H=\frac{u^2}{2g}\)
\(=\frac{9.8^2}{2\times9.8}\)
\(=\frac{9.8}{2}\)
\(=4.9\) মিটার
উত্তরঃ (খ)
ক \(2.0\) মিটার
গ \(9.8\) মিটার
গ \(9.8\) মিটার
খ \(4.9\) মিটার
ঘ \(19.6\) মিটার
এখানে, \(u=9.8\)ঘ \(19.6\) মিটার
সর্বোচ্চ উচ্চতা \(H=\frac{u^2}{2g}\)
\(=\frac{9.8^2}{2\times9.8}\)
\(=\frac{9.8}{2}\)
\(=4.9\) মিটার
উত্তরঃ (খ)
২১। অনুভূমিকের সাথে \(30^{o}\) কোণে এবং \(9.8\) মিটার/সে. বেগে একটি বস্তু প্রক্ষিপ্ত হলো। কত সময় পরে বস্তুটি অনুভূমিকভাবে চলবে?
সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠতে সময় \(=\frac{u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{9.8\sin{30^{o}}}{9.8}\)
\(=\sin{30^{o}}\)
\(=\frac{1}{2}\) সেকেন্ড
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{1}{2}\) সেকেন্ড
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) সেকেন্ড
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) সেকেন্ড
খ \(\frac{1}{4}\) সেকেন্ড
ঘ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) সেকেন্ড
সর্বোচ্চ উচ্চতায় বস্তুটি অনুভূমিকভাবে চলবে।ঘ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) সেকেন্ড
সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠতে সময় \(=\frac{u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{9.8\sin{30^{o}}}{9.8}\)
\(=\sin{30^{o}}\)
\(=\frac{1}{2}\) সেকেন্ড
উত্তরঃ (ক)
২২। অনুভূমিকের সাথে \(A\) কোণে এবং \(B\) বেগে প্রক্ষিপ্ত বস্তুর-
\(i.\) সর্বোচ্চ উচ্চতা \(=\frac{B^2\sin{A}}{2g}\)
\(ii.\) সর্বোচ্চ উচ্চতায় গমনকাল \(=\frac{B\sin{A}}{g}\)
\(iii.\) অনুভূমিক পাল্লা \(=\frac{B^2\sin{2A}}{g}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য নয়।
সর্বোচ্চ উচ্চতায় গমনকাল \(=\frac{B\sin{A}}{g};\) যেহেতু \(T=\frac{u\sin{\alpha}}{g}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
অনুভূমিক পাল্লা \(=\frac{B^2\sin{2A}}{g};\) যেহেতু \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
\(i.\) সর্বোচ্চ উচ্চতা \(=\frac{B^2\sin{A}}{2g}\)
\(ii.\) সর্বোচ্চ উচ্চতায় গমনকাল \(=\frac{B\sin{A}}{g}\)
\(iii.\) অনুভূমিক পাল্লা \(=\frac{B^2\sin{2A}}{g}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
সর্বোচ্চ উচ্চতা \(=\frac{B^2}{2g};\) যেহেতু \(H=\frac{u^2}{2g}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য নয়।
সর্বোচ্চ উচ্চতায় গমনকাল \(=\frac{B\sin{A}}{g};\) যেহেতু \(T=\frac{u\sin{\alpha}}{g}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
অনুভূমিক পাল্লা \(=\frac{B^2\sin{2A}}{g};\) যেহেতু \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
২৩। \(\tan{5\theta}.\tan{4\theta}=1\) সমীকরণের সাধারণ সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{\sin{5\theta}\sin{4\theta}}{\cos{5\theta}\cos{4\theta}}=1\)
\(\Rightarrow \cos{5\theta}\cos{4\theta}=\sin{5\theta}\sin{4\theta}\)
\(\Rightarrow \cos{5\theta}\cos{4\theta}-\sin{5\theta}\sin{4\theta}=0\)
\(\Rightarrow \cos{(5\theta+4\theta)}=0;\) যেহেতু \(\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\Rightarrow \cos{9\theta}=\cos{\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow 9\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=(2n+1)\frac{\pi}{2\times9}\)
\(\therefore \theta=(2n+1)\frac{\pi}{18}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \((2n+1)\frac{\pi}{9}\)
গ \((2n+1)\frac{\pi}{18}\)
গ \((2n+1)\frac{\pi}{18}\)
খ \((2n-1)\frac{\pi}{9}\)
ঘ \((2n-1)\frac{\pi}{18}\)
\(\tan{5\theta}.\tan{4\theta}=1\)ঘ \((2n-1)\frac{\pi}{18}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{5\theta}\sin{4\theta}}{\cos{5\theta}\cos{4\theta}}=1\)
\(\Rightarrow \cos{5\theta}\cos{4\theta}=\sin{5\theta}\sin{4\theta}\)
\(\Rightarrow \cos{5\theta}\cos{4\theta}-\sin{5\theta}\sin{4\theta}=0\)
\(\Rightarrow \cos{(5\theta+4\theta)}=0;\) যেহেতু \(\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\Rightarrow \cos{9\theta}=\cos{\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow 9\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=(2n+1)\frac{\pi}{2\times9}\)
\(\therefore \theta=(2n+1)\frac{\pi}{18}\)
উত্তরঃ (গ)
২৪। \(\sin{2\theta}+3\sin{\theta}=0\) হলে, \(\theta\) এর মান কোনটি?
\(\Rightarrow 2\sin{\theta}\cos{\theta}+3\sin{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}(2\cos{\theta}+3)=0\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=0, \ 2\cos{\theta}+3\ne{0} \ \because -1\le{\cos{\theta}}\le{1}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=0\)
\(\therefore \theta=n\pi\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \((2n+1)\frac{\pi}{2}\)
গ \((2n+1)\pi\)
গ \((2n+1)\pi\)
খ \((4n+1)\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(n\pi\)
\(\sin{2\theta}+3\sin{\theta}=0\)ঘ \(n\pi\)
\(\Rightarrow 2\sin{\theta}\cos{\theta}+3\sin{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}(2\cos{\theta}+3)=0\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=0, \ 2\cos{\theta}+3\ne{0} \ \because -1\le{\cos{\theta}}\le{1}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=0\)
\(\therefore \theta=n\pi\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৫। \(x^2+5y=0\) পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ কোনটি?
\(\Rightarrow x^2=-5y\)
এখানে, \(4a=-5\)
\(\Rightarrow a=-\frac{5}{4}\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-\left(-\frac{5}{4}\right)\)
\(\Rightarrow y=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow 4y=5\)
\(\therefore 4y-5=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(4y+5=0\)
গ \(4y-5=0\)
গ \(4y-5=0\)
খ \(4x+5=0\)
ঘ \(4x-5=0\)
\(x^2+5y=0\)ঘ \(4x-5=0\)
\(\Rightarrow x^2=-5y\)
এখানে, \(4a=-5\)
\(\Rightarrow a=-\frac{5}{4}\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-\left(-\frac{5}{4}\right)\)
\(\Rightarrow y=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow 4y=5\)
\(\therefore 4y-5=0\)
উত্তরঃ (গ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004