শিক্ষা বোর্ড চট্টগ্রাম - 2022
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(2x^2-x-k=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবে যখন-
এখানে, \(a=2, \ b=-1, \ c=-k;\) \(ax^2+bx+c\) এর সাথে তুলুনা করে।
নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\)
\(=(-1)^2-4.2.(-k)\)
\(=1+8k\)
মূলদ্বয় জটিল হবে যখন \(D\lt{0}\)
\(\Rightarrow 1+8k\lt{0}\)
\(\Rightarrow 8k\lt{-1}\)
\(\therefore k\lt{-\frac{1}{8}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(k\gt{-\frac{1}{8}}\)
গ \(k\gt{\frac{1}{8}}\)
গ \(k\gt{\frac{1}{8}}\)
খ \(k\lt{\frac{1}{8}}\)
ঘ \(k\lt{-\frac{1}{8}}\)
\(2x^2-x-k=0\)ঘ \(k\lt{-\frac{1}{8}}\)
এখানে, \(a=2, \ b=-1, \ c=-k;\) \(ax^2+bx+c\) এর সাথে তুলুনা করে।
নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\)
\(=(-1)^2-4.2.(-k)\)
\(=1+8k\)
মূলদ্বয় জটিল হবে যখন \(D\lt{0}\)
\(\Rightarrow 1+8k\lt{0}\)
\(\Rightarrow 8k\lt{-1}\)
\(\therefore k\lt{-\frac{1}{8}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২। \(i^2=-1\) হলে, \(\frac{-i-i^{-5}}{2i^{-5}+i}\) এর মান-
\(=\frac{i^5(-i-i^{-5})}{i^5(2i^{-5}+i)}\)
\(=\frac{-i^6-i^{-5+5}}{2i^{-5+5}+i^6}\)
\(=\frac{-(i^2)^3-i^{0}}{2i^{0}+(i^2)^3}\)
\(=\frac{-(-1)^3-1}{2.1+(-1)^3}\)
\(=\frac{1-1}{2-1}\)
\(=\frac{0}{1}\)
\(=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-2\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(0\)
ঘ \(2\)
\(\frac{-i-i^{-5}}{2i^{-5}+i}\)ঘ \(2\)
\(=\frac{i^5(-i-i^{-5})}{i^5(2i^{-5}+i)}\)
\(=\frac{-i^6-i^{-5+5}}{2i^{-5+5}+i^6}\)
\(=\frac{-(i^2)^3-i^{0}}{2i^{0}+(i^2)^3}\)
\(=\frac{-(-1)^3-1}{2.1+(-1)^3}\)
\(=\frac{1-1}{2-1}\)
\(=\frac{0}{1}\)
\(=0\)
উত্তরঃ (খ)
৩। \(5x^3-3x+2=0\) এর মূলত্রয় \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে, \(\alpha+\beta+\gamma=\) ?
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{0}{5}\)
\(\therefore \alpha+\beta+\gamma=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-\frac{3}{5}\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(-\frac{2}{5}\)
ঘ \(\frac{3}{5}\)
\(5x^3-3x+2=0 \Rightarrow 5x^3+0.x^2-3x+2=0\) এর মূলত্রয় \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\)ঘ \(\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{0}{5}\)
\(\therefore \alpha+\beta+\gamma=0\)
উত্তরঃ (গ)
৪। \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের একটি মূল শূন্য হবে যখন-
\(c=0\) হলে,
\(ax^2+bx+0=0\)
\(\Rightarrow ax^2+bx=0\)
\(\Rightarrow x(ax+b)=0\)
\(\Rightarrow x=0, \ ax+b=0\)
\(\therefore x=0, \ x=-\frac{b}{a}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(a=0\)
গ \(c=0\)
গ \(c=0\)
খ \(b=0\)
ঘ \(b=c=0\)
\(ax^2+bx+c=0\)ঘ \(b=c=0\)
\(c=0\) হলে,
\(ax^2+bx+0=0\)
\(\Rightarrow ax^2+bx=0\)
\(\Rightarrow x(ax+b)=0\)
\(\Rightarrow x=0, \ ax+b=0\)
\(\therefore x=0, \ x=-\frac{b}{a}\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৫ ও ৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(y^2=32x-64\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
৫। পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাংক-\(y^2=32x-64\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
ক \((8, 0)\)
গ \((0, 10)\)
গ \((0, 10)\)
খ \((0, 8)\)
ঘ \((10, 0)\)
\(y^2=32x-64\) ঘ \((10, 0)\)
\(\Rightarrow y^2=32(x-2)\)
এখানে, \(4a=32, \ \alpha=2, \ \beta=0\)
\(\Rightarrow a=8\)
পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((a+\alpha, \beta)\)
\(\Rightarrow (8+2, 0)\)
\(\therefore (10, 0)\)
উত্তরঃ (ঘ)
৬। পরাবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ-
\(\Rightarrow y^2=32(x-2)\)
এখানে, \(4a=32, \ \alpha=2, \ \beta=0\)
\(\Rightarrow a=8\)
পরাবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x-\alpha=-a\)
\(\Rightarrow x-2=-8\)
\(\Rightarrow x-2+8=0\)
\(\therefore x+6=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(x-6=0\)
গ \(x-10=0\)
গ \(x-10=0\)
খ \(x+8=0\)
ঘ \(x+6=0\)
\(y^2=32x-64\) ঘ \(x+6=0\)
\(\Rightarrow y^2=32(x-2)\)
এখানে, \(4a=32, \ \alpha=2, \ \beta=0\)
\(\Rightarrow a=8\)
পরাবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x-\alpha=-a\)
\(\Rightarrow x-2=-8\)
\(\Rightarrow x-2+8=0\)
\(\therefore x+6=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
৭। \(\sqrt[3]{1}\) এর মূলত্রয়ের-
\(i.\) যোগফল শূন্য
\(ii.\) দুইটি জটিল
\(iii.\) একটি মুল অপর একটি মূলের বর্গের সমান
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow x^3=1\)
\(\Rightarrow x^3-1=0\)
\(\Rightarrow x^3-1^3=0\)
\(\Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, \ x^2+x+1=0\)
\(\Rightarrow x=1, \ x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4.1.1}}{2.1}\)
\(\Rightarrow x=1, \ x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}\)
\(\Rightarrow x=1, \ x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}\)
\(\Rightarrow x=1, \ \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \ \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)
\(\therefore\) মূলত্রয় \(1, \ \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \ \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)
মূলত্রয়ের যোগফল \(=1+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)
\(=\frac{2-1+\sqrt{-3}-1-\sqrt{-3}}{2}\)
\(=\frac{0}{2}\)
\(=0\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\) এবং \(\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\) মূলদ্বয় জটিল
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
জটিল মূলদ্বয়ের যে কোনো একটিকে বর্গ করলে তা অপরটির সমান হয়।
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) যোগফল শূন্য
\(ii.\) দুইটি জটিল
\(iii.\) একটি মুল অপর একটি মূলের বর্গের সমান
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ধরি, \(x=\sqrt[3]{1}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow x^3=1\)
\(\Rightarrow x^3-1=0\)
\(\Rightarrow x^3-1^3=0\)
\(\Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, \ x^2+x+1=0\)
\(\Rightarrow x=1, \ x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4.1.1}}{2.1}\)
\(\Rightarrow x=1, \ x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}\)
\(\Rightarrow x=1, \ x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}\)
\(\Rightarrow x=1, \ \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \ \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)
\(\therefore\) মূলত্রয় \(1, \ \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \ \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)
মূলত্রয়ের যোগফল \(=1+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)
\(=\frac{2-1+\sqrt{-3}-1-\sqrt{-3}}{2}\)
\(=\frac{0}{2}\)
\(=0\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\) এবং \(\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\) মূলদ্বয় জটিল
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
জটিল মূলদ্বয়ের যে কোনো একটিকে বর্গ করলে তা অপরটির সমান হয়।
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
৮। \(\sin^{2}{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}-\cos^{2}{\left(\sin^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}\) এর মান-
\(=1-\cos^{2}{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}-1+\sin^{2}{\left(\sin^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}\)
\(=-\left\{\cos{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\right\}^2+\left\{\sin{\left(\sin^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}\right\}^2\)
\(=-\left\{\frac{1}{2}\right\}^2+\left\{\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}^2\)
\(=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)
\(=\frac{-1+3}{4}\)
\(=\frac{2}{4}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-1\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(-\frac{1}{2}\)
ঘ \(1\)
\(\sin^{2}{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}-\cos^{2}{\left(\sin^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}\)ঘ \(1\)
\(=1-\cos^{2}{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}-1+\sin^{2}{\left(\sin^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}\)
\(=-\left\{\cos{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\right\}^2+\left\{\sin{\left(\sin^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}\right\}^2\)
\(=-\left\{\frac{1}{2}\right\}^2+\left\{\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}^2\)
\(=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)
\(=\frac{-1+3}{4}\)
\(=\frac{2}{4}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
৯। \(20 m/s\) বেগে ও \(4 m/s^2\) সমত্বরণে চলমান বস্তুকণার \(5-\)তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব-
\(u=20 m/s, \ a=4 m/s^2, \ t=5 s\)
তাহলে, \(t-\)তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব
\(s_{t}=u+\frac{1}{2}a(2t-1)\)
\(\therefore 5-\)তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব
\(s_{5}=20+\frac{1}{2}\times4(2\times5-1)\)
\(=20+2(10-1)\)
\(=20+2(9)\)
\(=20+18\)
\(=38 m\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(36 m\)
গ \(42 m\)
গ \(42 m\)
খ \(38 m\)
ঘ \(150 m\)
এখানে,ঘ \(150 m\)
\(u=20 m/s, \ a=4 m/s^2, \ t=5 s\)
তাহলে, \(t-\)তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব
\(s_{t}=u+\frac{1}{2}a(2t-1)\)
\(\therefore 5-\)তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব
\(s_{5}=20+\frac{1}{2}\times4(2\times5-1)\)
\(=20+2(10-1)\)
\(=20+2(9)\)
\(=20+18\)
\(=38 m\)
উত্তরঃ (খ)
১০। \(P\) ও \(Q (P\gt{Q})\) বলদ্বয় \(O\) বিন্দুতে পরস্পর \(\alpha\) কোণে ক্রিয়াশীল-
\(i.\) \(\alpha=0\) হলে লব্ধি বৃহত্তম হবে
\(ii.\) \(\alpha=180^{o}\) হলে লব্ধি ক্ষুদ্রতম হবে
\(iii.\) \(P\) বলের ক্রিয়ারেখা বরাবর তাদের লম্বাংশের যোগফল \(P+Q\cos{\alpha}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
লব্ধি \(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}}\)
\(\alpha=0\) হলে
লব্ধি \(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{0}}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ.1}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ}\)
\(=\sqrt{(P+Q)^2}\)
\(=P+Q\) যা বৃহত্তম।
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\alpha=180^{o}\) হলে
লব্ধি \(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{180^{o}}}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ.(-1)}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2-2PQ}\)
\(=\sqrt{(P-Q)^2}\)
\(=P-Q\) যা ক্ষুদ্রতম।
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(P\) বলের ক্রিয়ারেখা বরাবর তাদের লম্বাংশের যোগফল \(=P\cos{0}+Q\cos{\alpha}\)
\(=P.1+Q\cos{\alpha}\)
\(=P+Q\cos{\alpha}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \(\alpha=0\) হলে লব্ধি বৃহত্তম হবে
\(ii.\) \(\alpha=180^{o}\) হলে লব্ধি ক্ষুদ্রতম হবে
\(iii.\) \(P\) বলের ক্রিয়ারেখা বরাবর তাদের লম্বাংশের যোগফল \(P+Q\cos{\alpha}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
শর্তমতে,ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
লব্ধি \(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}}\)
\(\alpha=0\) হলে
লব্ধি \(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{0}}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ.1}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ}\)
\(=\sqrt{(P+Q)^2}\)
\(=P+Q\) যা বৃহত্তম।
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\alpha=180^{o}\) হলে
লব্ধি \(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{180^{o}}}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ.(-1)}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2-2PQ}\)
\(=\sqrt{(P-Q)^2}\)
\(=P-Q\) যা ক্ষুদ্রতম।
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(P\) বলের ক্রিয়ারেখা বরাবর তাদের লম্বাংশের যোগফল \(=P\cos{0}+Q\cos{\alpha}\)
\(=P.1+Q\cos{\alpha}\)
\(=P+Q\cos{\alpha}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
১১। \(-\pi\le{x}\le{\pi}\) ব্যবধিতে \(\sin{x}=-\frac{1}{2}\) সমীকরণের সমাধান-
\(\Rightarrow \sin{x}=-\sin{\frac{\pi}{6}}\)
\(\Rightarrow \sin{x}=\sin{\left(-\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(\therefore x=n\pi-(-1)^n\frac{\pi}{6}\)
\(n=0\) হলে,
\(x=-\frac{\pi}{6}\) যা প্রদত্ত ব্যবধির মধ্যে অবস্থিত।
\(n=1\) হলে,
\(x=\pi+\frac{\pi}{6}\) যা প্রদত্ত ব্যবধির বাহিরে অবস্থিত।
\(n=-1\) হলে,
\(x=-\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{5\pi}{6}\) যা প্রদত্ত ব্যবধির মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore\) \(-\pi\le{x}\le{\pi}\) ব্যবধিতে সমাধান \(-\frac{\pi}{6}, \ -\frac{5\pi}{6}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-\frac{\pi}{6}, \ -\frac{5\pi}{6}\)
গ \(\frac{\pi}{6}, \ -\frac{5\pi}{6}\)
গ \(\frac{\pi}{6}, \ -\frac{5\pi}{6}\)
খ \(-\frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}\)
ঘ \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}\)
\(\sin{x}=-\frac{1}{2}\)ঘ \(\frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}\)
\(\Rightarrow \sin{x}=-\sin{\frac{\pi}{6}}\)
\(\Rightarrow \sin{x}=\sin{\left(-\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(\therefore x=n\pi-(-1)^n\frac{\pi}{6}\)
\(n=0\) হলে,
\(x=-\frac{\pi}{6}\) যা প্রদত্ত ব্যবধির মধ্যে অবস্থিত।
\(n=1\) হলে,
\(x=\pi+\frac{\pi}{6}\) যা প্রদত্ত ব্যবধির বাহিরে অবস্থিত।
\(n=-1\) হলে,
\(x=-\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{5\pi}{6}\) যা প্রদত্ত ব্যবধির মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore\) \(-\pi\le{x}\le{\pi}\) ব্যবধিতে সমাধান \(-\frac{\pi}{6}, \ -\frac{5\pi}{6}\)
উত্তরঃ (ক)
১২। \(\operatorname{cosec^2{(\sec^{-1}{\sqrt{5}})}}\) এর মান-
\(=\operatorname{cosec^2{\left(\operatorname{cosec^{-1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}}\right)}}\)
\(=\left\{\operatorname{cosec{\left(\operatorname{cosec^{-1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}}\right)}}\right\}^2\)
\(=\left\{\frac{\sqrt{5}}{2}\right\}^2\)
\(=\frac{5}{4}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{5}{4}\)
গ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
খ \(\frac{4}{5}\)
ঘ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
\(\operatorname{cosec^2{(\sec^{-1}{\sqrt{5}})}}\)ঘ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
\(=\operatorname{cosec^2{\left(\operatorname{cosec^{-1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}}\right)}}\)
\(=\left\{\operatorname{cosec{\left(\operatorname{cosec^{-1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}}\right)}}\right\}^2\)
\(=\left\{\frac{\sqrt{5}}{2}\right\}^2\)
\(=\frac{5}{4}\)
উত্তরঃ (ক)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৩ ও ১৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
১৩। পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাংক-
ক \((8, 0)\)
গ \((0, 2)\)
গ \((0, 2)\)
খ \((2, 0)\)
ঘ \((0, 8)\)
\(x^2=8y\)ঘ \((0, 8)\)
এখানে, \(4a=8\)
\(\Rightarrow a=2\)
পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((0, a)\)
\(\Rightarrow (0, 2)\)
উত্তরঃ (গ)
১৪। পরাবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ-
এখানে, \(4a=8\)
\(\Rightarrow a=2\)
পরাবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-2\)
\(\Rightarrow y+2=0\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(y+2=0\)
গ \(y-2=0\)
গ \(y-2=0\)
খ \(x+2=0\)
ঘ \(x-2=0\)
\(x^2=8y\)ঘ \(x-2=0\)
এখানে, \(4a=8\)
\(\Rightarrow a=2\)
পরাবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-2\)
\(\Rightarrow y+2=0\)
উত্তরঃ (ক)
১৫। \(\cos{2\theta}=-1\) হলে-
\(\Rightarrow 2\theta=(2n+1)\pi, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
খ \(\theta=(2n+1)\pi, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
ঘ \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\cos{2\theta}=-1\)ঘ \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\Rightarrow 2\theta=(2n+1)\pi, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (ক)
১৬। \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষের সমীকরণ-
এখানে, \(a^2=16, \ b^2=9\)
\(\Rightarrow a=4, \ b=3; \ a\gt{b}\)
উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(x=0\)
গ \(x=4\)
গ \(x=4\)
খ \(y=3\)
ঘ \(y=0\)
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)ঘ \(y=0\)
এখানে, \(a^2=16, \ b^2=9\)
\(\Rightarrow a=4, \ b=3; \ a\gt{b}\)
উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
উত্তরঃ (খ)
১৭। \(\tan^{-1}{\frac{5}{4}}+\cot^{-1}{\frac{5}{4}}\) এর মান-
\(=\tan^{-1}{\frac{5}{4}}+\tan^{-1}{\frac{4}{5}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{5}{4}+\frac{4}{5}}{1-\frac{5}{4}\times\frac{4}{5}}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{5}{4}+\frac{4}{5}}{1-1}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{5}{4}+\frac{4}{5}}{0}}\)
\(=\tan^{-1}{\infty}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(0\)
গ \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\frac{\pi}{2}\)
খ \(\pi\)
ঘ \(\tan^{-1}{\frac{9}{40}}\)
\(\tan^{-1}{\frac{5}{4}}+\cot^{-1}{\frac{5}{4}}\)ঘ \(\tan^{-1}{\frac{9}{40}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{5}{4}}+\tan^{-1}{\frac{4}{5}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{5}{4}+\frac{4}{5}}{1-\frac{5}{4}\times\frac{4}{5}}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{5}{4}+\frac{4}{5}}{1-1}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{5}{4}+\frac{4}{5}}{0}}\)
\(=\tan^{-1}{\infty}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
১৮। \(x^3-2x^2-2x+4=0\) সমীকরণের-
\(i.\) একটি মূল \(2\)
\(ii.\) দুইটি মূল অমূলদ
\(iii.\) মূলত্রয়ের গুণফল \(4\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow x^3-2x^2-2x+4=0\)
\(\Rightarrow x^2(x-2)-2(x-2)=0\)
\(\Rightarrow (x-2)(x^2-2)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, \ x^2-2=0\)
\(\Rightarrow x=2, \ x^2=2\)
\(\Rightarrow x=2, \ x=\pm\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x=2, \ \sqrt{2}, \ -\sqrt{2}\)
একটি মূল \(2\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
দুইটি মূল \(\sqrt{2}, \ -\sqrt{2}\) যা অমূলদ
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
মূলত্রয়ের গুণফল \(=2\times\sqrt{2}\times-\sqrt{2}\)
\(=2\times-2\)
\(=-4\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) একটি মূল \(2\)
\(ii.\) দুইটি মূল অমূলদ
\(iii.\) মূলত্রয়ের গুণফল \(4\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^3-2x^2-2x+4=0\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow x^3-2x^2-2x+4=0\)
\(\Rightarrow x^2(x-2)-2(x-2)=0\)
\(\Rightarrow (x-2)(x^2-2)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, \ x^2-2=0\)
\(\Rightarrow x=2, \ x^2=2\)
\(\Rightarrow x=2, \ x=\pm\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x=2, \ \sqrt{2}, \ -\sqrt{2}\)
একটি মূল \(2\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
দুইটি মূল \(\sqrt{2}, \ -\sqrt{2}\) যা অমূলদ
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
মূলত্রয়ের গুণফল \(=2\times\sqrt{2}\times-\sqrt{2}\)
\(=2\times-2\)
\(=-4\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
১৯। \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল বলদ্বয়ের লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল হলে \(AC=\) ?
\(AB=24 m\)
শর্তমতে, \(AC.12=BC.8\)
\(\Rightarrow AC.12=(AB-AC).8\)
\(\Rightarrow AC.12=AB.8-AC.8\)
\(\Rightarrow AC.12+AC.8=AB.8\)
\(\Rightarrow AC.(12+8)=24.8\)
\(\Rightarrow AC.20=24.8\)
\(\Rightarrow AC=\frac{24.8}{20}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{24.2}{5}\)
\(\therefore AC=\frac{48}{5} m\)
উত্তরঃ (খ)
\(AB=24 m\)
ক \(\frac{5}{48} m\)
গ \(\frac{72}{5} m\)
গ \(\frac{72}{5} m\)
খ \(\frac{48}{5} m\)
ঘ \(48 m\)
এখানে, \(AB=24 m\)ঘ \(48 m\)
শর্তমতে, \(AC.12=BC.8\)
\(\Rightarrow AC.12=(AB-AC).8\)
\(\Rightarrow AC.12=AB.8-AC.8\)
\(\Rightarrow AC.12+AC.8=AB.8\)
\(\Rightarrow AC.(12+8)=24.8\)
\(\Rightarrow AC.20=24.8\)
\(\Rightarrow AC=\frac{24.8}{20}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{24.2}{5}\)
\(\therefore AC=\frac{48}{5} m\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ২০ ও ২১ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
২০। প্রক্ষেপকটির বিচরণকাল-
ক \(\frac{5}{2}\) সেকেন্ড
গ \(10\) সেকেন্ড
গ \(10\) সেকেন্ড
খ \(5\) সেকেন্ড
ঘ \(\frac{245}{4}\) সেকেন্ড
চিত্রে দেওয়া আছে, \(u=49 m/s, \ \alpha=30^{o}\) ঘ \(\frac{245}{4}\) সেকেন্ড
তাহলে, বিচরণকাল \(T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times49\sin{30^{o}}}{9.8}\)
\(=\frac{98\times\frac{1}{2}}{9.8}\)
\(=\frac{49}{9.8}\)
\(=5\) সেকেন্ড
উত্তরঃ (খ)
২১। প্রক্ষেপকটির সর্বাধিক উচ্চতা-
তাহলে, সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{49^2\sin^2{30^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{2401\times\frac{1}{4}}{19.6}\)
\(=\frac{600.25}{19.6}\)
\(=\frac{60025}{1960}\)
\(=\frac{245}{8}\) মিটার
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{245}{8}\) মিটার
গ \(5\) মিটার
গ \(5\) মিটার
খ \(\frac{245}{4}\) মিটার
ঘ \(10\) মিটার
চিত্রে দেওয়া আছে, \(u=49 m/s, \ \alpha=30^{o}\) ঘ \(10\) মিটার
তাহলে, সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{49^2\sin^2{30^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{2401\times\frac{1}{4}}{19.6}\)
\(=\frac{600.25}{19.6}\)
\(=\frac{60025}{1960}\)
\(=\frac{245}{8}\) মিটার
উত্তরঃ (ক)
২২। \(u\) বেগে ভূমি হতে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুকণার-
\(i.\) সর্বাধিক উচ্চতা \(\frac{u^2}{g}\)
\(ii.\) সর্বাধিক উচ্চতায় পৌছার সময় \(\frac{u}{g}\)
\(iii.\) বিচরণকাল \(\frac{2u}{g}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{90^{o}}}{2g}\)
\(=\frac{u^2.1^2}{2g}\)
\(=\frac{u^2}{2g}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য নয়।
সর্বাধিক উচ্চতায় পৌছার সময় \(t=\frac{u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{u\sin{90^{o}}}{g}\)
\(=\frac{u.1}{g}\)
\(=\frac{u}{g}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
বিচরণকাল \(T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2u\sin{90^{o}}}{g}\)
\(=\frac{2u.1}{g}\)
\(=\frac{2u}{g}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
\(i.\) সর্বাধিক উচ্চতা \(\frac{u^2}{g}\)
\(ii.\) সর্বাধিক উচ্চতায় পৌছার সময় \(\frac{u}{g}\)
\(iii.\) বিচরণকাল \(\frac{2u}{g}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\alpha=90^{o}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{90^{o}}}{2g}\)
\(=\frac{u^2.1^2}{2g}\)
\(=\frac{u^2}{2g}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য নয়।
সর্বাধিক উচ্চতায় পৌছার সময় \(t=\frac{u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{u\sin{90^{o}}}{g}\)
\(=\frac{u.1}{g}\)
\(=\frac{u}{g}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
বিচরণকাল \(T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2u\sin{90^{o}}}{g}\)
\(=\frac{2u.1}{g}\)
\(=\frac{2u}{g}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
২৩। \(-i\) এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট-
এখানে, \(x=0, \ y=-1\)
মডুলাস \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{0^2+(-1)^2}\)
\(=\sqrt{0+1}\)
\(=1\)
আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{-1}{0}}\)
\(=\tan^{-1}{(-\infty)}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\left(-\frac{\pi}{2}\right)}}\)
\(=-\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(1\) ও \(0\)
গ \(1\) ও \(\pi\)
গ \(1\) ও \(\pi\)
খ \(1\) ও \(-\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(1\) ও \(\frac{\pi}{2}\)
\(-i\) ঘ \(1\) ও \(\frac{\pi}{2}\)
এখানে, \(x=0, \ y=-1\)
মডুলাস \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{0^2+(-1)^2}\)
\(=\sqrt{0+1}\)
\(=1\)
আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{-1}{0}}\)
\(=\tan^{-1}{(-\infty)}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\left(-\frac{\pi}{2}\right)}}\)
\(=-\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
২৪। \(x^2-5x+4=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়-
এখানে, \(a=1, \ b=-5, \ c=4; ax^2+bx+c=0\) এর সাথে তুলুনা করে।
নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\)
\(=(-5)^2-4.1.4\)
\(=25-16\)
\(=9\gt{0}\)
\(\therefore\) মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
উত্তরঃ (খ)
ক বাস্তব ও সমান
গ অমূলদ
গ অমূলদ
খ বাস্তব ও অসমান
ঘ জটিল
\(x^2-5x+4=0\) ঘ জটিল
এখানে, \(a=1, \ b=-5, \ c=4; ax^2+bx+c=0\) এর সাথে তুলুনা করে।
নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\)
\(=(-5)^2-4.1.4\)
\(=25-16\)
\(=9\gt{0}\)
\(\therefore\) মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
উত্তরঃ (খ)
২৫। এককের একটি জটিল ঘনমূল \(\omega\) হলে \(\frac{2}{\omega^{13}+\omega^{26}}\) এর মান-
\(=\frac{2}{\omega^{13}+(\omega^{13})^2}\)
\(=\frac{2}{\omega.(\omega^{3})^4+\{\omega.(\omega^{3})^4\}^2}\)
\(=\frac{2}{\omega.(1)^4+\{\omega.(1)^4\}^2}\)
\(=\frac{2}{\omega.1+\{\omega\}^2}\)
\(=\frac{2}{\omega+\omega^2}\)
\(=\frac{2}{1+\omega+\omega^2-1}\)
\(=\frac{2}{0-1}\)
\(=\frac{2}{-1}\)
\(=-2\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-2\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(-1\)
ঘ \(2\)
\(\frac{2}{\omega^{13}+\omega^{26}}\)ঘ \(2\)
\(=\frac{2}{\omega^{13}+(\omega^{13})^2}\)
\(=\frac{2}{\omega.(\omega^{3})^4+\{\omega.(\omega^{3})^4\}^2}\)
\(=\frac{2}{\omega.(1)^4+\{\omega.(1)^4\}^2}\)
\(=\frac{2}{\omega.1+\{\omega\}^2}\)
\(=\frac{2}{\omega+\omega^2}\)
\(=\frac{2}{1+\omega+\omega^2-1}\)
\(=\frac{2}{0-1}\)
\(=\frac{2}{-1}\)
\(=-2\)
উত্তরঃ (ক)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004