শিক্ষা বোর্ড রাজশাহী - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(x^2+y^2-2x-6y+6=0\) বৃত্তের ক্ষেত্রে-
\(i.\) বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(2\) একক
\(ii.\) বৃত্তটির একটি স্পর্শক \(y=1\)
\(iii.\) বৃত্তটির \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে
নিচের কোনটি সঠিক?
\(2g=-2, \ 2f=-6, \ c=6\)
\(\therefore g=-1, \ f=-3, \ c=6\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2-6}\)
\(=\sqrt{1+9-6}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\) একক
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
বৃত্তের কেন্দ্র, \((-g, -f)\)
\(\therefore (1, 3)\)
কেন্দ্র হতে \(y=1 \Rightarrow y-1=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|3-1|}{\sqrt{0^2+1^2}}\)
\(=\frac{|2|}{\sqrt{0+1}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{1}}\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2=\) ব্যাসার্ধ
\(\therefore\) কেন্দ্র হতে \(y=1\) এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান।
\(\therefore\) বৃত্তটির একটি স্পর্শক \(y=1\) \(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
এখানে, \(f^2=(-3)^2\)
\(=9\ne{c}\)
অর্থাৎ \(f^2\ne{c}\)
\(\therefore\) বৃত্তটির \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে না
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(2\) একক
\(ii.\) বৃত্তটির একটি স্পর্শক \(y=1\)
\(iii.\) বৃত্তটির \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2+y^2-2x-6y+6=0\) সমীকরণের ক্ষেত্রে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(2g=-2, \ 2f=-6, \ c=6\)
\(\therefore g=-1, \ f=-3, \ c=6\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2-6}\)
\(=\sqrt{1+9-6}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\) একক
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
বৃত্তের কেন্দ্র, \((-g, -f)\)
\(\therefore (1, 3)\)
কেন্দ্র হতে \(y=1 \Rightarrow y-1=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|3-1|}{\sqrt{0^2+1^2}}\)
\(=\frac{|2|}{\sqrt{0+1}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{1}}\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2=\) ব্যাসার্ধ
\(\therefore\) কেন্দ্র হতে \(y=1\) এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান।
\(\therefore\) বৃত্তটির একটি স্পর্শক \(y=1\) \(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
এখানে, \(f^2=(-3)^2\)
\(=9\ne{c}\)
অর্থাৎ \(f^2\ne{c}\)
\(\therefore\) বৃত্তটির \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে না
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
২। নিচের কোনটি সঠিক?
উত্তরঃ (গ)
ক \(\sin{(-\theta)}=\sin{\theta}\)
গ \(\sec{(-\theta)}=\sec{\theta}\)
গ \(\sec{(-\theta)}=\sec{\theta}\)
খ \(\tan{(-\theta)}=\tan{\theta}\)
ঘ \(cosec \ {(-\theta)}=cosec \ {\theta}\)
\(\sec{(-\theta)}=\sec{\theta}\) এটি সঠিকঘ \(cosec \ {(-\theta)}=cosec \ {\theta}\)
উত্তরঃ (গ)
৩। \(\frac{1-\tan{25^{o}}}{1+\tan{25^{o}}}\) এর মান নিম্নের কোনটি?
\(=\frac{\tan{45^{o}}-\tan{25^{o}}}{1+\tan{45^{o}}\tan{25^{o}}}\)
\(=\tan{(45^{o}-25^{o})},\) যেহেতু \(\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}=\tan{(A-B)}\)
\(=\tan{20^{o}}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\cot{20^{o}}\)
গ \(\tan{70^{o}}\)
গ \(\tan{70^{o}}\)
খ \(\tan{20^{o}}\)
ঘ \(\cot{70^{o}}\)
\(\frac{1-\tan{25^{o}}}{1+\tan{25^{o}}}\)ঘ \(\cot{70^{o}}\)
\(=\frac{\tan{45^{o}}-\tan{25^{o}}}{1+\tan{45^{o}}\tan{25^{o}}}\)
\(=\tan{(45^{o}-25^{o})},\) যেহেতু \(\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}=\tan{(A-B)}\)
\(=\tan{20^{o}}\)
উত্তরঃ (খ)
৪। \(\tan{\left(19\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)}\) এর মান কত?
\(=\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times19-\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(=\cot{\frac{\pi}{6}}\) যেহেতু \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগ বিজোড় সংখ্যা এবং ইহা তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
\(=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\sqrt{3}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
খ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ঘ \(\frac{1}{2}\)
\(\tan{\left(19\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)}\)ঘ \(\frac{1}{2}\)
\(=\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times19-\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(=\cot{\frac{\pi}{6}}\) যেহেতু \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগ বিজোড় সংখ্যা এবং ইহা তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
\(=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (ক)
৫। \(\triangle{ABC}\) এ \(AB=12\) সে.মি., \(BC=5\) সে.মি., \(AC=13\) সে.মি.
\(i.\) \(\angle{B}=\frac{\pi}{2}\)
\(ii.\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(30\) বর্গ সে.মি.
\(iii.\) ত্রিভুজটির পরিবৃত্তের ব্যাস \(13\) সে.মি.
নিচের কোনটি সঠিক?
এখানে, \(c=12, \ a=5, \ b=13\)
\(\angle{B}=\cos{\left(\frac{12^2+5^2-13^2}{2\times12\times5}\right)}\) যেহেতু \(\angle{B}=\cos^{-1}{\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{144+25-169}{120}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{169-169}{120}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{0}{120}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{0}\)
\(=\cos^{-1}{\cos{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+13+12}{2}\)
\(=\frac{30}{2}\)
\(=15\)
\(\therefore \) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{15(15-5)(15-13)(15-12)}\)
\(=\sqrt{15\times10\times2\times3}\)
\(=\sqrt{900}\)
\(=30\) বর্গ সে.মি.
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
ধরি, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=R\)
তাহলে, \(\frac{b}{\sin{B}}=2R\)
\(\Rightarrow 2R=\frac{b}{\sin{B}}\)
\(=\frac{13}{\sin{\frac{\pi}{2}}},\) যেহেতু \(b=13, \ \angle{B}=\frac{\pi}{2}\)
\(=\frac{13}{1}\)
\(=13\)
\(\therefore\) ত্রিভুজটির পরিবৃত্তের ব্যাস \(=13\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য ।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \(\angle{B}=\frac{\pi}{2}\)
\(ii.\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(30\) বর্গ সে.মি.
\(iii.\) ত্রিভুজটির পরিবৃত্তের ব্যাস \(13\) সে.মি.
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\triangle{ABC}\) এ \(AB=12\) সে.মি., \(BC=5\) সে.মি., \(AC=13\) সে.মি.ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখানে, \(c=12, \ a=5, \ b=13\)
\(\angle{B}=\cos{\left(\frac{12^2+5^2-13^2}{2\times12\times5}\right)}\) যেহেতু \(\angle{B}=\cos^{-1}{\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{144+25-169}{120}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{169-169}{120}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{0}{120}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{0}\)
\(=\cos^{-1}{\cos{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+13+12}{2}\)
\(=\frac{30}{2}\)
\(=15\)
\(\therefore \) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{15(15-5)(15-13)(15-12)}\)
\(=\sqrt{15\times10\times2\times3}\)
\(=\sqrt{900}\)
\(=30\) বর্গ সে.মি.
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
ধরি, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=R\)
তাহলে, \(\frac{b}{\sin{B}}=2R\)
\(\Rightarrow 2R=\frac{b}{\sin{B}}\)
\(=\frac{13}{\sin{\frac{\pi}{2}}},\) যেহেতু \(b=13, \ \angle{B}=\frac{\pi}{2}\)
\(=\frac{13}{1}\)
\(=13\)
\(\therefore\) ত্রিভুজটির পরিবৃত্তের ব্যাস \(=13\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য ।
উত্তরঃ (ঘ)
৬। \(2\sin^2{75^{o}}\) এর মান কত?
\(=2\{\sin{75^{o}}\}^2\)
\(=2\{\sin{(45^{o}+30^{o})}\}^2\)
\(=2\{\sin{45^{o}}\cos{30^{o}}+\cos{45^{o}}\sin{30^{o}}\}^2\)
\(=2\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{1}{2}\right\}^2\)
\(=2\left\{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right\}^2\)
\(=2\left\{\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\right\}^2\)
\(=2\times\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{8}\)
\(=\frac{(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}+1}{4}\)
\(=\frac{3+2\sqrt{3}+1}{4}\)
\(=\frac{4+2\sqrt{3}}{4}\)
\(=\frac{2(2+\sqrt{3})}{4}\)
\(=\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\)
গ \(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)
গ \(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)
খ \(\frac{2-\sqrt{3}}{2}\)
ঘ \(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)
\(2\sin^2{75^{o}}\)ঘ \(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)
\(=2\{\sin{75^{o}}\}^2\)
\(=2\{\sin{(45^{o}+30^{o})}\}^2\)
\(=2\{\sin{45^{o}}\cos{30^{o}}+\cos{45^{o}}\sin{30^{o}}\}^2\)
\(=2\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{1}{2}\right\}^2\)
\(=2\left\{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right\}^2\)
\(=2\left\{\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\right\}^2\)
\(=2\times\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{8}\)
\(=\frac{(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}+1}{4}\)
\(=\frac{3+2\sqrt{3}+1}{4}\)
\(=\frac{4+2\sqrt{3}}{4}\)
\(=\frac{2(2+\sqrt{3})}{4}\)
\(=\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৭। \(y=\ln{(e^{x^2})}\) হলে, \(y_{2}=?\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{d}{dx}\left\{\ln{(e^{x^2})}\right\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{e^{x^2}}\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}\right)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{e^{x^2}}\times{e^{x^2}}\frac{d}{dx}(x^2)\)
\(\Rightarrow y_{1}=2x\)
\(\Rightarrow y_{2}=\frac{d}{dx}(2x)\)
\(\therefore y_{2}=2\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(2x\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(e^{x^2}\ln{(e^{x^2})}\)
ঘ \(e^{x^2}\)
\(y=\ln{(e^{x^2})}\)ঘ \(e^{x^2}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{d}{dx}\left\{\ln{(e^{x^2})}\right\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{e^{x^2}}\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}\right)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{e^{x^2}}\times{e^{x^2}}\frac{d}{dx}(x^2)\)
\(\Rightarrow y_{1}=2x\)
\(\Rightarrow y_{2}=\frac{d}{dx}(2x)\)
\(\therefore y_{2}=2\)
উত্তরঃ (গ)
উদ্দীপকের আলোকে ৮ ও ৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(3x^2+y-7=0\) একটি বক্ররেখা।
৮। বক্ররেখাটির \((2, -5)\) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢাল কত? \(3x^2+y-7=0\) একটি বক্ররেখা।
ক \(12\)
গ \(-10\)
গ \(-10\)
খ \(0\)
ঘ \(-12\)
\(3x^2+y-7=0\)ঘ \(-12\)
\(\Rightarrow 6x+\frac{dy}{dx}-0=0, \ x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 6x+\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-6x\)
\((2, -5)\) বিন্দুতে \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, -5)}=-6\times2\)
\(\therefore \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, -5)}=-12\)
\(\therefore\) \((2, -5)\) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢাল \(=-12\)
উত্তরঃ (ঘ)
৯। বক্ররেখার কোন বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হবে?
\(\Rightarrow 6x+\frac{dy}{dx}-0=0, \ x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 6x+\frac{dy}{dx}=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-6x\)
স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হবে যদি, \(\frac{dy}{dx}=0\) হয়।
\(\Rightarrow -6x=0\)
\(\therefore x=0\)
এখন, \(3x^2+y-7=0\)
\(\Rightarrow 3.0^2+y-7=0\)
\(\Rightarrow y-7=0\)
\(\therefore y=7\)
\(\therefore (0, 7)\) বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হবে।
উত্তরঃ (ক)
ক \((0, 7)\)
গ \((6, 0)\)
গ \((6, 0)\)
খ \((0, -7)\)
ঘ \((-6, 0)\)
\(3x^2+y-7=0\)ঘ \((-6, 0)\)
\(\Rightarrow 6x+\frac{dy}{dx}-0=0, \ x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 6x+\frac{dy}{dx}=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-6x\)
স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হবে যদি, \(\frac{dy}{dx}=0\) হয়।
\(\Rightarrow -6x=0\)
\(\therefore x=0\)
এখন, \(3x^2+y-7=0\)
\(\Rightarrow 3.0^2+y-7=0\)
\(\Rightarrow y-7=0\)
\(\therefore y=7\)
\(\therefore (0, 7)\) বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হবে।
উত্তরঃ (ক)
১০। \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2-7x}{5x^2-3x}\] এর মান কত?
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1-\frac{7}{x}}{5-\frac{3}{x}}\]
\[=\frac{1-0}{5-0},\] যেহেতু \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{7}{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3}{x}=0\]
\[=\frac{1}{5}\]
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-\frac{7}{5}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(\frac{7}{3}\)
ঘ \(\frac{1}{5}\)
\[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2-7x}{5x^2-3x}\]ঘ \(\frac{1}{5}\)
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1-\frac{7}{x}}{5-\frac{3}{x}}\]
\[=\frac{1-0}{5-0},\] যেহেতু \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{7}{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3}{x}=0\]
\[=\frac{1}{5}\]
উত্তরঃ (ঘ)
১১। \(\int{\frac{1}{\sqrt{5-x^2}}dx}=?\)
\(=\int{\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{5})^2-x^2}}dx}\)
\(=\sin^{-1}{\frac{x}{\sqrt{5}}}+c\) যেহেতু \(\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx}=\sin^{-1}{\frac{x}{a}}+c\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\sin^{-1}{\frac{x}{\sqrt{5}}}+c\)
গ \(\tan^{-1}{\frac{x}{\sqrt{5}}}+c\)
গ \(\tan^{-1}{\frac{x}{\sqrt{5}}}+c\)
খ \(\frac{1}{\sqrt{5}}\sin^{-1}{\frac{x}{\sqrt{5}}}+c\)
ঘ \(\frac{1}{\sqrt{5}}\tan^{-1}{\frac{x}{\sqrt{5}}}+c\)
\(\int{\frac{1}{\sqrt{5-x^2}}dx}\)ঘ \(\frac{1}{\sqrt{5}}\tan^{-1}{\frac{x}{\sqrt{5}}}+c\)
\(=\int{\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{5})^2-x^2}}dx}\)
\(=\sin^{-1}{\frac{x}{\sqrt{5}}}+c\) যেহেতু \(\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx}=\sin^{-1}{\frac{x}{a}}+c\)
উত্তরঃ (ক)
১২। \(\int{e^{-5x}dx}=?\)
\(=\frac{e^{-5x}}{-5}+c,\) যেহেতু \(\int{e^{ax}dx}=\frac{e^{ax}}{a}+c\)
\(=-\frac{e^{-5x}}{5}+c\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{e^{-5x}}{5}+c\)
গ \(5e^{-5x}+c\)
গ \(5e^{-5x}+c\)
খ \(-\frac{e^{-5x}}{5}+c\)
ঘ \(-5e^{-5x}+c\)
\(\int{e^{-5x}dx}\)ঘ \(-5e^{-5x}+c\)
\(=\frac{e^{-5x}}{-5}+c,\) যেহেতু \(\int{e^{ax}dx}=\frac{e^{ax}}{a}+c\)
\(=-\frac{e^{-5x}}{5}+c\)
উত্তরঃ (খ)
১৩। \(\int_{1}^{2}{e^{2x+5}dx}=?\)
\(=\left[\frac{e^{2x+5}}{2}\right]_{1}^{2},\) যেহেতু \(\int{e^{ax+b}dx}=\frac{e^{ax+b}}{a}\)
\(=\frac{e^{2\times2+5}}{2}-\frac{e^{2\times1+5}}{2}\)
\(=\frac{e^{4+5}}{2}-\frac{e^{2+5}}{2}\)
\(=\frac{e^{9}}{2}-\frac{e^{7}}{2}\)
\(=\frac{1}{2}(e^9-e^7)\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{1}{2}(e^7-e^9)\)
গ \(\frac{1}{2}(e^9-e^7)\)
গ \(\frac{1}{2}(e^9-e^7)\)
খ \(2(e^9-e^7)\)
ঘ \(2(e^9+e^7)\)
\(\int_{1}^{2}{e^{2x+5}dx}\)ঘ \(2(e^9+e^7)\)
\(=\left[\frac{e^{2x+5}}{2}\right]_{1}^{2},\) যেহেতু \(\int{e^{ax+b}dx}=\frac{e^{ax+b}}{a}\)
\(=\frac{e^{2\times2+5}}{2}-\frac{e^{2\times1+5}}{2}\)
\(=\frac{e^{4+5}}{2}-\frac{e^{2+5}}{2}\)
\(=\frac{e^{9}}{2}-\frac{e^{7}}{2}\)
\(=\frac{1}{2}(e^9-e^7)\)
উত্তরঃ (গ)
১৪। \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos{x}dx}=?\)
\(=[\sin{x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\sin{\frac{\pi}{2}}-\sin{0}\)
\(=1-0\)
\(=1\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(0\)
গ \(-1\)
গ \(-1\)
খ \(1\)
ঘ \(\infty\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos{x}dx}\)ঘ \(\infty\)
\(=[\sin{x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\sin{\frac{\pi}{2}}-\sin{0}\)
\(=1-0\)
\(=1\)
উত্তরঃ (খ)
১৫। বক্র প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে কোনটি সত্য?
অর্থাৎ \(a_{ij}=-a_{ji}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(a_{ij}=a_{ji}\)
গ \(a_{ij}=-a_{ji}\)
গ \(a_{ij}=-a_{ji}\)
খ \(a_{ij}=0\)
ঘ \(a_{ij}\ne{a_{ji}}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স \(A=(a_{ij})_{n\times{n}}\) কে বক্র প্রতিসম বলা হবে যদি \(A^{t}=-A\) হয়,ঘ \(a_{ij}\ne{a_{ji}}\)
অর্থাৎ \(a_{ij}=-a_{ji}\)
উত্তরঃ (গ)
১৬। \(3\times3\) মাত্রার একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স \(I_{3}\) হলে \((I_{3})^{-1}\) কত?
\(\therefore I_{3}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow |I_{3}|=\left|\begin{array}{c}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right|\)
\(=1\times1\times1\)
\(=1\)
আবার, \(adj(I_{3})=\begin{bmatrix}(-1)^{1+1}\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} & (-1)^{1+2}\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} & (-1)^{1+3}\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix} \\(-1)^{2+1}\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} & (-1)^{2+2}\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} & (-1)^{2+3}\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} \\(-1)^{3+1}\begin{bmatrix}0 & 0 \\1 & 0 \end{bmatrix} & (-1)^{3+2}\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} & (-1)^{3+3}\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix}^{T}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}^{T}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
এখন, \((I_{3})^{-1}=\frac{1}{|I_{3}|}adj(I_{3})\)
\(=\frac{1}{1}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
\(=I_{3}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(3I_{3}\)
গ \(\frac{I_{3}}{3}\)
গ \(\frac{I_{3}}{3}\)
খ \(0\)
ঘ \(I_{3}\)
\(3\times3\) মাত্রার একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স \(I_{3}\)ঘ \(I_{3}\)
\(\therefore I_{3}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow |I_{3}|=\left|\begin{array}{c}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right|\)
\(=1\times1\times1\)
\(=1\)
আবার, \(adj(I_{3})=\begin{bmatrix}(-1)^{1+1}\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} & (-1)^{1+2}\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} & (-1)^{1+3}\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix} \\(-1)^{2+1}\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} & (-1)^{2+2}\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} & (-1)^{2+3}\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} \\(-1)^{3+1}\begin{bmatrix}0 & 0 \\1 & 0 \end{bmatrix} & (-1)^{3+2}\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} & (-1)^{3+3}\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix}^{T}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}^{T}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
এখন, \((I_{3})^{-1}=\frac{1}{|I_{3}|}adj(I_{3})\)
\(=\frac{1}{1}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
\(=I_{3}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৭। \(k\) এর কোন মানের জন্য \(\begin{bmatrix}k+1 & 3 \\3 & k-1 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতযোগ্য নয়।
\(A\) বিপরীতযোগ্য হবে না যদি \(|A|=0\) হয়।
\(\left|\begin{array}{c}k+1 & 3 \\3 & k-1\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow (k+1)(k-1)-9=0\)
\(\Rightarrow k^2-1^2=9\)
\(\Rightarrow k^2-1=9\)
\(\Rightarrow k^2=9+1\)
\(\Rightarrow k^2=10\)
\(\therefore k=\pm\sqrt{10}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-3\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(0\)
ঘ \(\pm\sqrt{10}\)
ধরি, \(A=\begin{bmatrix}k+1 & 3 \\3 & k-1 \end{bmatrix}\) ঘ \(\pm\sqrt{10}\)
\(A\) বিপরীতযোগ্য হবে না যদি \(|A|=0\) হয়।
\(\left|\begin{array}{c}k+1 & 3 \\3 & k-1\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow (k+1)(k-1)-9=0\)
\(\Rightarrow k^2-1^2=9\)
\(\Rightarrow k^2-1=9\)
\(\Rightarrow k^2=9+1\)
\(\Rightarrow k^2=10\)
\(\therefore k=\pm\sqrt{10}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৮। \(A=\begin{bmatrix}5 & 0 & 0 \\0 & 6 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{bmatrix}\) হলে, \(A^{-1}=?\)
\(\Rightarrow |A|=\left|\begin{array}{c}5 & 0 & 0 \\0 & 6 & 0 \\0 & 0 & 7\end{array}\right|\)
\(=5\times6\times7\)
\(=210\)
আবার, \(adj(A)=\begin{bmatrix}(-1)^{1+1}\begin{bmatrix}6 & 0 \\0 & 7 \end{bmatrix} & (-1)^{1+2}\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 7 \end{bmatrix} & (-1)^{1+3}\begin{bmatrix}0 & 6 \\0 & 0 \end{bmatrix} \\(-1)^{2+1}\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 7 \end{bmatrix} & (-1)^{2+2}\begin{bmatrix}5 & 0 \\0 & 7 \end{bmatrix} & (-1)^{2+3}\begin{bmatrix}5 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} \\(-1)^{3+1}\begin{bmatrix}0 & 0 \\6 & 0 \end{bmatrix} & (-1)^{3+2}\begin{bmatrix}5 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} & (-1)^{3+3}\begin{bmatrix}5 & 0 \\0 & 6 \end{bmatrix} \end{bmatrix}^{T}\)
\(=\begin{bmatrix}42 & 0 & 0 \\0 & 35 & 0 \\0 & 0 & 30\end{bmatrix}^{T}\)
\(=\begin{bmatrix}42 & 0 & 0 \\0 & 35 & 0 \\0 & 0 & 30\end{bmatrix}\)
এখন, \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\)
\(=\frac{1}{210}\begin{bmatrix}42 & 0 & 0 \\0 & 35 & 0 \\0 & 0 & 30\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}\frac{42}{210} & 0 & 0 \\0 & \frac{35}{210} & 0 \\0 & 0 & \frac{30}{210}\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}\frac{1}{5} & 0 & 0 \\0 & \frac{1}{6} & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{7} \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\begin{bmatrix}\frac{1}{7} & 0 & 0 \\0 & \frac{1}{6} & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{5} \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}\frac{1}{5} & 0 & 0 \\0 & \frac{1}{6} & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{7} \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}\frac{1}{5} & 0 & 0 \\0 & \frac{1}{6} & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{7} \end{bmatrix}\)
খ \(\frac{1}{210}\begin{bmatrix}5 & 0 & 0 \\0 & 6 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\frac{1}{210}\begin{bmatrix}\frac{1}{5} & 0 & 0 \\0 & \frac{1}{6} & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{7} \end{bmatrix}\)
\(A=\begin{bmatrix}5 & 0 & 0 \\0 & 6 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{bmatrix}\)ঘ \(\frac{1}{210}\begin{bmatrix}\frac{1}{5} & 0 & 0 \\0 & \frac{1}{6} & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{7} \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow |A|=\left|\begin{array}{c}5 & 0 & 0 \\0 & 6 & 0 \\0 & 0 & 7\end{array}\right|\)
\(=5\times6\times7\)
\(=210\)
আবার, \(adj(A)=\begin{bmatrix}(-1)^{1+1}\begin{bmatrix}6 & 0 \\0 & 7 \end{bmatrix} & (-1)^{1+2}\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 7 \end{bmatrix} & (-1)^{1+3}\begin{bmatrix}0 & 6 \\0 & 0 \end{bmatrix} \\(-1)^{2+1}\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 7 \end{bmatrix} & (-1)^{2+2}\begin{bmatrix}5 & 0 \\0 & 7 \end{bmatrix} & (-1)^{2+3}\begin{bmatrix}5 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} \\(-1)^{3+1}\begin{bmatrix}0 & 0 \\6 & 0 \end{bmatrix} & (-1)^{3+2}\begin{bmatrix}5 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} & (-1)^{3+3}\begin{bmatrix}5 & 0 \\0 & 6 \end{bmatrix} \end{bmatrix}^{T}\)
\(=\begin{bmatrix}42 & 0 & 0 \\0 & 35 & 0 \\0 & 0 & 30\end{bmatrix}^{T}\)
\(=\begin{bmatrix}42 & 0 & 0 \\0 & 35 & 0 \\0 & 0 & 30\end{bmatrix}\)
এখন, \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\)
\(=\frac{1}{210}\begin{bmatrix}42 & 0 & 0 \\0 & 35 & 0 \\0 & 0 & 30\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}\frac{42}{210} & 0 & 0 \\0 & \frac{35}{210} & 0 \\0 & 0 & \frac{30}{210}\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}\frac{1}{5} & 0 & 0 \\0 & \frac{1}{6} & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{7} \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (গ)
১৯। \(r(1+\cos{\theta})=2\) সমীকরণটি কি প্রকাশ করে?
\(\Rightarrow r+r\cos{\theta}=2\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}+x=2,\) যেহেতু \(r=\sqrt{x^2+y^2}, \ r\cos{\theta}=x\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=2-x\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=(2-x)^2\) বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2=4-4x+x^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4+4x-x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2-4+4x=0\)
\(\Rightarrow y^2=4-4x\)
\(\therefore y^2=-4(x-1)\) যা একটি পরাবৃত্ত প্রকাশ করে।
উত্তরঃ (গ)
ক সরলরেখা
গ পরাবৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
খ বৃত্ত
ঘ উপবৃত্ত
\(r(1+\cos{\theta})=2\)ঘ উপবৃত্ত
\(\Rightarrow r+r\cos{\theta}=2\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}+x=2,\) যেহেতু \(r=\sqrt{x^2+y^2}, \ r\cos{\theta}=x\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=2-x\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=(2-x)^2\) বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2=4-4x+x^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4+4x-x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2-4+4x=0\)
\(\Rightarrow y^2=4-4x\)
\(\therefore y^2=-4(x-1)\) যা একটি পরাবৃত্ত প্রকাশ করে।
উত্তরঃ (গ)
২০। \((3, -2)\) বিন্দু হতে \(3x+4y+14=0\) রেখার লম্ব দূরত্ব কত?
\(=\frac{|3\times3+4\times-2+14|}{\sqrt{3^2+4^2}}\)
\(=\frac{|9-8+14|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|23-8|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|15|}{5}\)
\(=\frac{15}{5}\)
\(=3\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(1\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(2\)
ঘ \(4\)
\((3, -2)\) বিন্দু হতে \(3x+4y+14=0\) রেখার লম্ব দূরত্বঘ \(4\)
\(=\frac{|3\times3+4\times-2+14|}{\sqrt{3^2+4^2}}\)
\(=\frac{|9-8+14|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|23-8|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|15|}{5}\)
\(=\frac{15}{5}\)
\(=3\)
উত্তরঃ (গ)
২১। \((a, b), \ (1, 1), \ (a-1, b-1)\) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে-
\(\therefore \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}a & 1 & a-1 & a\\ b & 1 & b-1 & b\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a & 1 & a-1 & a\\ b & 1 & b-1 & b\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow a-b+b-1-a+1+ab-b-ab+a=0\)
\(\Rightarrow a-b=0\)
\(\therefore a=b\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(ab=1\)
গ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0\)
গ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0\)
খ \(a=b\)
ঘ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\)
\((a, b), \ (1, 1), \ (a-1, b-1)\) বিন্দুত্রয় সমরেখঘ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\)
\(\therefore \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}a & 1 & a-1 & a\\ b & 1 & b-1 & b\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a & 1 & a-1 & a\\ b & 1 & b-1 & b\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow a-b+b-1-a+1+ab-b-ab+a=0\)
\(\Rightarrow a-b=0\)
\(\therefore a=b\)
উত্তরঃ (খ)
২২। \(4x+8y+17=0\) রেখাটির-
\(i.\)সমান্তরাল রেখার সমীকরণ \(2x+4y+17=0\)
\(ii.\) লম্ব রেখার সমীকরণ \(2x-y+5=0\)
\(iii.\) \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে স্থূলকোণ উৎপন্ন করে।
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\therefore 4x+8y+17=0\) রেখাটির সমান্তরাল রেখার সমীকরণ \(2x+4y+17=0\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(4x+8y+17=0\) রেখাটির ঢাল \(=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}\)
\(2x-y+5=0\) রেখাটির ঢাল \(=-\frac{2}{-1}=2\)
ঢালদ্বয়ের গুণফল \(=-\frac{1}{2}\times2=-1\)
\(\therefore 4x+8y+17=0\) রেখাটির লম্ব রেখার সমীকরণ \(2x-y+5=0\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(4x+8y+17=0\) রেখাটির ঢাল \(\tan{\theta}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}\)
\(\tan{\theta}=-\frac{1}{2}\lt{0}\)
\(\therefore \theta\gt{90^{o}}\)
\(\therefore\) রেখাটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে স্থূলকোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\)সমান্তরাল রেখার সমীকরণ \(2x+4y+17=0\)
\(ii.\) লম্ব রেখার সমীকরণ \(2x-y+5=0\)
\(iii.\) \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে স্থূলকোণ উৎপন্ন করে।
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(4x+8y+17=0\) এবং \(2x+4y+17=0\) রেখাদ্বয়ের \(x\) ও \(y\) এর সহগ সমানুপাতিক ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore 4x+8y+17=0\) রেখাটির সমান্তরাল রেখার সমীকরণ \(2x+4y+17=0\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(4x+8y+17=0\) রেখাটির ঢাল \(=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}\)
\(2x-y+5=0\) রেখাটির ঢাল \(=-\frac{2}{-1}=2\)
ঢালদ্বয়ের গুণফল \(=-\frac{1}{2}\times2=-1\)
\(\therefore 4x+8y+17=0\) রেখাটির লম্ব রেখার সমীকরণ \(2x-y+5=0\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(4x+8y+17=0\) রেখাটির ঢাল \(\tan{\theta}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}\)
\(\tan{\theta}=-\frac{1}{2}\lt{0}\)
\(\therefore \theta\gt{90^{o}}\)
\(\therefore\) রেখাটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে স্থূলকোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
উদ্দীপকের আলোকে ২৩ ও ২৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(4(x^2+y^2)=16x+12y-5\) একটি বৃত্ত।
২৩। বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাংক কত?\(4(x^2+y^2)=16x+12y-5\) একটি বৃত্ত।
ক \(\left(2, -\frac{3}{2}\right)\)
গ \((2, 3)\)
গ \((2, 3)\)
খ \(\left(2, \frac{3}{2}\right)\)
ঘ \(\left(-2, -\frac{3}{2}\right)\)
\(4(x^2+y^2)=16x+12y-5\)ঘ \(\left(-2, -\frac{3}{2}\right)\)
\(\Rightarrow 4(x^2+y^2)=4\left(4x+3y-\frac{5}{4}\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=4x+3y-\frac{5}{4}\)
\(\therefore x^2+y^2-4x-3y+\frac{5}{4}=0\)
এখানে, \(2g=-4, \ 2f=-3, \ c=\frac{5}{4}\)
\(\therefore g=-2, \ f=-\frac{3}{2}, \ c=\frac{5}{4}\)
কেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(-g, -f\right)\)
\(\therefore \left(2, \frac{3}{2}\right)\)
উত্তরঃ (খ)
২৪। বৃত্তটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিত অংশের পরিমাণ কত একক?
বৃত্তটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিত অংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^2-\frac{5}{4}}\)
\(=2\sqrt{4-\frac{5}{4}}\)
\(=2\sqrt{\frac{16-5}{4}}\)
\(=2\sqrt{\frac{11}{4}}\)
\(=2\frac{\sqrt{11}}{2}\)
\(=\sqrt{11}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\sqrt{11}\)
গ \(2\sqrt{11}\)
গ \(2\sqrt{11}\)
খ \(\frac{\sqrt{11}}{2}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{11}}{4}\)
\(g=-2, \ f=-\frac{3}{2}, \ c=\frac{5}{4}\)ঘ \(\frac{\sqrt{11}}{4}\)
বৃত্তটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিত অংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^2-\frac{5}{4}}\)
\(=2\sqrt{4-\frac{5}{4}}\)
\(=2\sqrt{\frac{16-5}{4}}\)
\(=2\sqrt{\frac{11}{4}}\)
\(=2\frac{\sqrt{11}}{2}\)
\(=\sqrt{11}\)
উত্তরঃ (ক)
২৫। \(x^2+y^2+12x-4y+31=0\) সমীকরণ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
এখানে, \(2g=12, \ 2f=-4, \ c=31\)
\(\therefore g=6, \ f=-2, \ c=31\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{6^2+(-2)^2-31}\)
\(=\sqrt{36+4-31}\)
\(=\sqrt{40-31}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi\times{r^2}\)
\(=\pi\times{3^2}\)
\(=\pi\times9\)
\(=9\pi\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(2\pi\)
গ \(9\pi\)
গ \(9\pi\)
খ \(3\pi\)
ঘ \(6\pi\)
\(x^2+y^2+12x-4y+31=0\)ঘ \(6\pi\)
এখানে, \(2g=12, \ 2f=-4, \ c=31\)
\(\therefore g=6, \ f=-2, \ c=31\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{6^2+(-2)^2-31}\)
\(=\sqrt{36+4-31}\)
\(=\sqrt{40-31}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi\times{r^2}\)
\(=\pi\times{3^2}\)
\(=\pi\times9\)
\(=9\pi\)
উত্তরঃ (গ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004