শিক্ষা বোর্ড যশোর - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(P(1, -2)\) ও \(Q(-8, 1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাংক কোনটি?
\(\left(\frac{2\times-8+1\times1}{2+1}, \frac{2\times1+1\times-2}{2+1}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{-16+1}{3}, \frac{2-2}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{-15}{3}, \frac{0}{3}\right)\)
\(\therefore \left(-5, 0\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \((-2, -1)\)
গ \((17, -4)\)
গ \((17, -4)\)
খ \((10, -5)\)
ঘ \((-5, 0)\)
\(P(1, -2)\) ও \(Q(-8, 1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাংক,ঘ \((-5, 0)\)
\(\left(\frac{2\times-8+1\times1}{2+1}, \frac{2\times1+1\times-2}{2+1}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{-16+1}{3}, \frac{2-2}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{-15}{3}, \frac{0}{3}\right)\)
\(\therefore \left(-5, 0\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
নিচের তথ্যের আলোকে ২ ও ৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^{2}+y^{2}+8x-12y+2=0\)
২। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত একক? \(x^{2}+y^{2}+8x-12y+2=0\)
ক \(2\sqrt{3}\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(3\sqrt{6}\)
ঘ \(5\sqrt{2}\)
\(x^{2}+y^{2}+8x-12y+2=0\) ঘ \(5\sqrt{2}\)
এখানে, \(2g=8, \ 2f=-12, \ c=2\)
\(\Rightarrow g=4, \ f=-6, \ c=2\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{4^2+(-6)^2-2}\)
\(=\sqrt{16+36-2}\)
\(=\sqrt{50}\)
\(=5\sqrt{2}\) একক।
উত্তরঃ (ঘ)
৩। বৃত্তটির \(y\) অক্ষের ছেদকৃত অংশের পরিমাণ কত একক?
এখানে, \(2g=8, \ 2f=-12, \ c=2\)
\(\Rightarrow g=4, \ f=-6, \ c=2\)
\(y\) অক্ষের ছেদকৃত অংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-6)^2-2}\)
\(=2\sqrt{36-2}\)
\(=2\sqrt{34}\) একক।
উত্তরঃ (ক)
ক \(2\sqrt{34}\)
গ \(2\sqrt{14}\)
গ \(2\sqrt{14}\)
খ \(\sqrt{14}\)
ঘ \(6\sqrt{2}\)
\(x^{2}+y^{2}+8x-12y+2=0\) ঘ \(6\sqrt{2}\)
এখানে, \(2g=8, \ 2f=-12, \ c=2\)
\(\Rightarrow g=4, \ f=-6, \ c=2\)
\(y\) অক্ষের ছেদকৃত অংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-6)^2-2}\)
\(=2\sqrt{36-2}\)
\(=2\sqrt{34}\) একক।
উত্তরঃ (ক)
৪। \((2, -3)\) কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্ত \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করলে বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-2)^2+(y+3)^2=3^2\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2+6y+9=9\)
\(\therefore x^2+y^2-4x+6y+4=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0\)
গ \(x^{2}+y^{2}-4x+6y+9=0\)
গ \(x^{2}+y^{2}-4x+6y+9=0\)
খ \(x^{2}+y^{2}-4x+6y+4=0\)
ঘ \(x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0\)
যেহেতু বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান হবে।ঘ \(x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-2)^2+(y+3)^2=3^2\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2+6y+9=9\)
\(\therefore x^2+y^2-4x+6y+4=0\)
উত্তরঃ (খ)
৫। \(2x-y+k=0\) রেখাটি যদি \(x^2+y^2-12x+5=0\) বৃত্তের ব্যাস হয় তবে, \(k\) এর মান কোনটি?
এখানে, \(2g=-12, \ 2f=0, \ c=5\)
\(\Rightarrow g=-6, \ f=0, \ c=5\)
কেন্দ্র \((-g, -f) \Rightarrow (6, 0)\)
শর্তমতে, যা \(2x-y+k=0\) রেখাটির উপর অবস্থিত।
\(\Rightarrow 2\times6-0+k=0\)
\(\Rightarrow 12+k=0\)
\(\therefore k=-12\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(24\)
গ \(-12\)
গ \(-12\)
খ \(12\)
ঘ \(-24\)
\(x^2+y^2-12x+5=0\)ঘ \(-24\)
এখানে, \(2g=-12, \ 2f=0, \ c=5\)
\(\Rightarrow g=-6, \ f=0, \ c=5\)
কেন্দ্র \((-g, -f) \Rightarrow (6, 0)\)
শর্তমতে, যা \(2x-y+k=0\) রেখাটির উপর অবস্থিত।
\(\Rightarrow 2\times6-0+k=0\)
\(\Rightarrow 12+k=0\)
\(\therefore k=-12\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৬ ও ৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাংক \((6, 4)\)
৬। \(C\) বিন্দুর স্থানাংক কোনটি?
ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাংক \((6, 4)\)
ক \((3, 8)\)
গ \((2, -1)\)
গ \((2, -1)\)
খ \((8, 3)\)
ঘ \((2, 1)\)
চিত্রে দেওয়া আছে, \(A(3, 8), \ B(7, 1)\) এবং ভরকেন্দ্র \((6, 4)\)ঘ \((2, 1)\)
ধরি, \(C(x, y)\)
তাহলে, ভরকেন্দ্র \(\left(\frac{3+7+x}{3}, \frac{8+1+y}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{10+x}{3}, \frac{9+y}{3}\right)\)
কিন্তু ভরকেন্দ্র \((6, 4)\)
তাহলে, \(\left(\frac{10+x}{3}, \frac{9+y}{3}\right)\Rightarrow (6, 4)\)
\(\Rightarrow \frac{10+x}{3}=6, \ \frac{9+y}{3}=4\)
\(\Rightarrow 10+x=18, \ 9+y=12\)
\(\Rightarrow x=18-10, \ y=12-9\)
\(\Rightarrow x=8, \ y=3\)
\(\therefore C(8, 3)\)
উত্তরঃ (খ)
৭। \(AB\) এর উপর লম্বরেখার ঢাল কত?
\(AB\) এর ঢাল, \(m=\frac{8-1}{3-7}\)
\(=\frac{7}{-4}\)
\(=-\frac{7}{4}\)
\(AB\) এর উপর লম্বরেখার ঢাল \(=-\frac{1}{m}\)
\(=-\frac{1}{-\frac{7}{4}}\)
\(=\frac{4}{7}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-\frac{7}{4}\)
গ \(\frac{4}{7}\)
গ \(\frac{4}{7}\)
খ \(\frac{7}{4}\)
ঘ \(-\frac{4}{7}\)
চিত্রে দেওয়া আছে, \(A(3, 8), \ B(7, 1)\)ঘ \(-\frac{4}{7}\)
\(AB\) এর ঢাল, \(m=\frac{8-1}{3-7}\)
\(=\frac{7}{-4}\)
\(=-\frac{7}{4}\)
\(AB\) এর উপর লম্বরেখার ঢাল \(=-\frac{1}{m}\)
\(=-\frac{1}{-\frac{7}{4}}\)
\(=\frac{4}{7}\)
উত্তরঃ (গ)
৮। \(\left[\begin{array}{rrr} 6&0&0 \\ 0&7&0 \\ 0&0&8\end{array}\right]\) একটি-
\(i.\)কর্ণ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) স্কেলার ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
ম্যাট্রিক্সটির সমান সংখ্যক সারি ও কলাম রয়েছে। ফলে ইহা বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
ম্যাট্রিক্সটির অশূণ্য ভূক্তিগুলো সমান নয়। ফলে ইহা স্কেলার ম্যাট্রিক্স নয়।
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\)কর্ণ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) স্কেলার ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ম্যাট্রিক্সটির প্রধান কর্ণের ভূক্তিগুলো ব্যাতীত সকল ভূক্তি শূণ্য। ফলে ইহা কর্ণ ম্যাট্রিক্স।ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
ম্যাট্রিক্সটির সমান সংখ্যক সারি ও কলাম রয়েছে। ফলে ইহা বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
ম্যাট্রিক্সটির অশূণ্য ভূক্তিগুলো সমান নয়। ফলে ইহা স্কেলার ম্যাট্রিক্স নয়।
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
৯। \(x\) এর কোন মানের জন্য \(\left|\begin{array}{rrr}x^2&x&4\\3&3&1\\0&0&-6\end{array}\right|=0\) হবে?
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{rr}x^2&x\\3&3\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-3x=0\)
\(\Rightarrow 3x(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x=0, \ x-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, \ x=1\)
\(\therefore x=0, \ 1\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(0, \ 3\)
গ \(0, \ 1\)
গ \(0, \ 1\)
খ \(-3, \ 0\)
ঘ \(-1, \ 0\)
\(\left|\begin{array}{rrr}x^2&x&4\\3&3&1\\0&0&-6\end{array}\right|=0\)ঘ \(-1, \ 0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{rr}x^2&x\\3&3\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-3x=0\)
\(\Rightarrow 3x(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x=0, \ x-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, \ x=1\)
\(\therefore x=0, \ 1\)
উত্তরঃ (গ)
১০। \(\frac{2\tan{(45^{o}+x)}}{1+\tan^2{(45^{o}+x)}}=\) কত?
\(=\sin{2(45^{o}+x)}\)
\(=\sin{(90^{o}+2x)}\)
\(=\cos{2x}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\cos{2x}\)
গ \(\cot{2x}\)
গ \(\cot{2x}\)
খ \(\sin{2x}\)
ঘ \(\tan{2x}\)
\(\frac{2\tan{(45^{o}+x)}}{1+\tan^2{(45^{o}+x)}}\)ঘ \(\tan{2x}\)
\(=\sin{2(45^{o}+x)}\)
\(=\sin{(90^{o}+2x)}\)
\(=\cos{2x}\)
উত্তরঃ (ক)
১১। \(\frac{1+\tan{30^{o}}}{1-\tan{30^{o}}}\) এর মান কোনটি?
\(=\frac{\tan{45^{o}}+\tan{30^{o}}}{1-\tan{45^{o}}\tan{30^{o}}}\)
\(=\tan{(45^{o}+30^{o})}\)
\(=\tan{75^{o}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\cos{15^{o}}\)
গ \(\cos{75^{o}}\)
গ \(\cos{75^{o}}\)
খ \(\tan{15^{o}}\)
ঘ \(\tan{75^{o}}\)
\(\frac{1+\tan{30^{o}}}{1-\tan{30^{o}}}\)ঘ \(\tan{75^{o}}\)
\(=\frac{\tan{45^{o}}+\tan{30^{o}}}{1-\tan{45^{o}}\tan{30^{o}}}\)
\(=\tan{(45^{o}+30^{o})}\)
\(=\tan{75^{o}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১২। একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর পরিমাণ যথাক্রমে \(4, \ 6\) ও \(8\) একক হলে, স্থূল কোণটির পরিমাণ কত?
তাহলে, স্থূল কোণটি \(C\)
এখন, \(C=\cos^{-1}{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{4^2+6^2-8^2}{2\times4\times6}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{16+36-64}{48}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{-12}{48}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{4}\right)}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\cos^{-1}{\left(\frac{7}{8}\right)}\)
গ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{4}\right)}\)
গ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{4}\right)}\)
খ \(\cos^{-1}{\left(\frac{5}{48}\right)}\)
ঘ \(\cos^{-1}{\left(\frac{1}{4}\right)}\)
\(a=4, \ b=6, \ c=8\)ঘ \(\cos^{-1}{\left(\frac{1}{4}\right)}\)
তাহলে, স্থূল কোণটি \(C\)
এখন, \(C=\cos^{-1}{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{4^2+6^2-8^2}{2\times4\times6}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{16+36-64}{48}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{-12}{48}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{4}\right)}\)
উত্তরঃ (গ)
১৩।
\(i.\)\(\cos{2\theta}=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\)
\(ii.\) \(\cos{2\theta}=\frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(iii.\) \(\cos{2\theta}=\frac{\cot^2{\theta}-1}{cosec^2{\theta}}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\cos{2\theta}=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\)
\(=\cos^2{\theta}\left(1-\tan^2{\theta}\right)\)
\(=\frac{1}{\sec^2{\theta}}\times\left(1-\tan^2{\theta}\right)\)
\(=\frac{1-\tan^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}\)
\(=\frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(\cos{2\theta}=\frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(=\frac{1-\frac{1}{\cot^2{\theta}}}{1+\frac{1}{\cot^2{\theta}}}\)
\(=\frac{\cot^2{\theta}-1}{\cot^2{\theta}+1}\)
\(=\frac{\cot^2{\theta}-1}{cosec^2{\theta}}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\)\(\cos{2\theta}=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\)
\(ii.\) \(\cos{2\theta}=\frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(iii.\) \(\cos{2\theta}=\frac{\cot^2{\theta}-1}{cosec^2{\theta}}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\cos{2\theta}=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\cos{2\theta}=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\)
\(=\cos^2{\theta}\left(1-\tan^2{\theta}\right)\)
\(=\frac{1}{\sec^2{\theta}}\times\left(1-\tan^2{\theta}\right)\)
\(=\frac{1-\tan^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}\)
\(=\frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(\cos{2\theta}=\frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(=\frac{1-\frac{1}{\cot^2{\theta}}}{1+\frac{1}{\cot^2{\theta}}}\)
\(=\frac{\cot^2{\theta}-1}{\cot^2{\theta}+1}\)
\(=\frac{\cot^2{\theta}-1}{cosec^2{\theta}}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
১৪। \(A+B=\frac{\pi}{4}\) হলে, \(\cos^2{A}-\cos^2{B}\) এর মান কোনটি?
\(=-(\cos^2{B}-\cos^2{A})\)
\(=-\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}\)
\(=-\sin{\frac{\pi}{4}}\sin{(A-B)}\)
\(=-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{(A-B)}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{(B-A)}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{(A-B)}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{(A-B)}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{(A-B)}\)
খ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{(B-A)}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{(B-A)}\)
\(\cos^2{A}-\cos^2{B}\)ঘ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{(B-A)}\)
\(=-(\cos^2{B}-\cos^2{A})\)
\(=-\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}\)
\(=-\sin{\frac{\pi}{4}}\sin{(A-B)}\)
\(=-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{(A-B)}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{(B-A)}\)
উত্তরঃ (খ)
১৫। \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+5}=\] কত?
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\times\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{5}\]
\[=e\times(1+0)\]
\[=e\]
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{1}{e}\)
গ \(e^{5}\)
গ \(e^{5}\)
খ \(e\)
ঘ \(\infty\)
\[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+5}\]ঘ \(\infty\)
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\times\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{5}\]
\[=e\times(1+0)\]
\[=e\]
উত্তরঃ (খ)
১৬। \(\frac{d}{dx}(x^{2x})=\) কত?
\(=x^{2x}\left\{\frac{2x}{x}\frac{d(x)}{dx}+\ln{(x)}\frac{d(2x)}{dx}\right\};\) যেহেতু \(\frac{d}{dx}(u^{v})=u^{v}\left\{\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right\}\)
\(=x^{2x}\left(2.1+\ln{x}.2\right)\)
\(=x^{2x}\left(2+2\ln{x}\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(2x.x^{2-1}\)
গ \(x^{x}(1+\ln{2x})\)
গ \(x^{x}(1+\ln{2x})\)
খ \(\frac{x^{2x+1}}{2x+1}\)
ঘ \(x^{2x}(2+2\ln{x})\)
\(\frac{d}{dx}(x^{2x})\)ঘ \(x^{2x}(2+2\ln{x})\)
\(=x^{2x}\left\{\frac{2x}{x}\frac{d(x)}{dx}+\ln{(x)}\frac{d(2x)}{dx}\right\};\) যেহেতু \(\frac{d}{dx}(u^{v})=u^{v}\left\{\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right\}\)
\(=x^{2x}\left(2.1+\ln{x}.2\right)\)
\(=x^{2x}\left(2+2\ln{x}\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৭। \(\int{e^{-10x}dx}=\) কত?
\(=\frac{e^{-10x}}{\frac{d}{dx}(-10x)}+c\)
\(=\frac{e^{-10x}}{-10}+c\)
\(=-\frac{e^{-10x}}{10}+c\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(e^{-10x}+c\)
গ \(-\frac{e^{-10x}}{10}+c\)
গ \(-\frac{e^{-10x}}{10}+c\)
খ \(-10e^{-10x}+c\)
ঘ \(-e^{-10x}+c\)
\(\int{e^{-10x}dx}\)ঘ \(-e^{-10x}+c\)
\(=\frac{e^{-10x}}{\frac{d}{dx}(-10x)}+c\)
\(=\frac{e^{-10x}}{-10}+c\)
\(=-\frac{e^{-10x}}{10}+c\)
উত্তরঃ (গ)
১৮। \(\int_{0}^{1}{\frac{4dx}{1+x^2}}=\) কত?
\(=4\int_{0}^{1}{\frac{dx}{1+x^2}}\)
\(=4[\tan^{-1}{x}]_{0}^{1}\)
\(=4[\tan^{-1}{1}-\tan^{-1}{0}]\)
\(=4[\frac{\pi}{4}-0]\)
\(=\pi\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(4\ln{2}\)
গ \(\pi\)
গ \(\pi\)
খ \(\ln{2}\)
ঘ \(\frac{\pi}{4}\)
\(\int_{0}^{1}{\frac{4dx}{1+x^2}}\)ঘ \(\frac{\pi}{4}\)
\(=4\int_{0}^{1}{\frac{dx}{1+x^2}}\)
\(=4[\tan^{-1}{x}]_{0}^{1}\)
\(=4[\tan^{-1}{1}-\tan^{-1}{0}]\)
\(=4[\frac{\pi}{4}-0]\)
\(=\pi\)
উত্তরঃ (গ)
১৯। \(5x^2+20y^2=100\) উপবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
\(\Rightarrow \frac{5x^2}{100}+\frac{20y^2}{100}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1\)
এখানে, \(a^2=20, \ b^2=5\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{20}, \ b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a=2\sqrt{5}, \ b=\sqrt{5}\)
উপবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=\pi ab\)
\(=\pi\times2\sqrt{5}\times\sqrt{5}\)
\(=\pi\times2\times5\)
\(=10\pi\) বর্গ একক
উত্তরঃ (গ)
ক \(10\)
গ \(10\pi\)
গ \(10\pi\)
খ \(100\)
ঘ \(100\pi\)
\(5x^2+20y^2=100\)ঘ \(100\pi\)
\(\Rightarrow \frac{5x^2}{100}+\frac{20y^2}{100}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1\)
এখানে, \(a^2=20, \ b^2=5\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{20}, \ b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a=2\sqrt{5}, \ b=\sqrt{5}\)
উপবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=\pi ab\)
\(=\pi\times2\sqrt{5}\times\sqrt{5}\)
\(=\pi\times2\times5\)
\(=10\pi\) বর্গ একক
উত্তরঃ (গ)
২০। \(P\) এবং \(Q\) ম্যাট্রিক্স দুইটির ক্রম যথাক্রমে \(a\times{b}\) এবং \(b\times{c}\) হলে, \(PQ\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম কোনটি?
তাহলে, \(PQ\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম \(a\times{c}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(a\times{b}\)
গ \(b\times{b}\)
গ \(b\times{b}\)
খ \(b\times{c}\)
ঘ \(a\times{c}\)
\(P\) ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা \(a\) এবং \(Q\)ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা \(c\)ঘ \(a\times{c}\)
তাহলে, \(PQ\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম \(a\times{c}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২১। \(\left[\begin{array}{rr} x+4&4 \\ -4&x-4 \end{array}\right]\) ম্যাট্রিক্সটি অব্যাতিক্রমী হওয়ার শর্ত কোনটি?
যদি, \(\left|\begin{array}{rr} x+4&4 \\ -4&x-4 \end{array}\right|\ne{0}\) হয়।
\(\Rightarrow (x+16)(x-4)+16\ne{0}\)
\(\Rightarrow x^2-16+16\ne{0}\)
\(\Rightarrow x^2\ne{0}\)
\(\therefore x\ne{0}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(x\ne{-4}\)
গ \(x\ne{4}\)
গ \(x\ne{4}\)
খ \(x\ne{0}\)
ঘ \(x\ne{4\sqrt{2}}\)
\(\left[\begin{array}{rr} x+4&4 \\ -4&x-4 \end{array}\right]\) ম্যাট্রিক্সটি অব্যাতিক্রমী হবে,ঘ \(x\ne{4\sqrt{2}}\)
যদি, \(\left|\begin{array}{rr} x+4&4 \\ -4&x-4 \end{array}\right|\ne{0}\) হয়।
\(\Rightarrow (x+16)(x-4)+16\ne{0}\)
\(\Rightarrow x^2-16+16\ne{0}\)
\(\Rightarrow x^2\ne{0}\)
\(\therefore x\ne{0}\)
উত্তরঃ (খ)
২২। \(p\) এর কোন মানের জন্য \(\left|\begin{array}{rrr} 1&2&3 \\ 1&2&p \\ 3&5&0 \end{array}\right|\) নির্ণায়কটির মান শূণ্য হবে?
\(\Rightarrow 3(2p-6)-5(p-3)+0=0\)
\(\Rightarrow 6p-18-5p+15=0\)
\(\Rightarrow p-3=0\)
\(\therefore p=3\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-3\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(-1\)
ঘ \(3\)
\(\left|\begin{array}{rrr} 1&2&3 \\ 1&2&p \\ 3&5&0 \end{array}\right|=0\)ঘ \(3\)
\(\Rightarrow 3(2p-6)-5(p-3)+0=0\)
\(\Rightarrow 6p-18-5p+15=0\)
\(\Rightarrow p-3=0\)
\(\therefore p=3\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৩। \(\left|\begin{array}{rrr} 13&0&2 \\ 3&1&1 \\ 7&-2&0 \end{array}\right|\) এর \((1, 3)\) তম ভূক্তির সহগুণক কত?
\(=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{rr} 3&1 \\ 7&-2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(-6-7)\)
\(=-13\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-13\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(-2\)
ঘ \(13\)
\(\left|\begin{array}{rrr} 13&0&2 \\ 3&1&1 \\ 7&-2&0 \end{array}\right|\) এর \((1, 3)\) তম ভূক্তির সহগুণক,ঘ \(13\)
\(=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{rr} 3&1 \\ 7&-2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(-6-7)\)
\(=-13\)
উত্তরঃ (ক)
২৪। \(\left[\begin{array}{rr} 5&3 \\ 4&3 \end{array}\right]\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স কোনটি?
\(|A|=\left|\begin{array}{rr} 5&3 \\ 4&3 \end{array}\right|=15-12\)
\(=3\)
\(adj(A)=\left[\begin{array}{rr} (-1)^{1+1}3&(-1)^{1+2}4 \\ (-1)^{2+1}3&(-1)^{2+2}5 \end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr} (-1)^{2}3&(-1)^{3}4 \\ (-1)^{3}3&(-1)^{4}5 \end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr} 3&-4 \\ -3&5 \end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr} 3&-3 \\ -4&5 \end{array}\right]\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}\times{adj(A)}\)
\(=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rr} 3&-3 \\ -4&5 \end{array}\right]\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{1}{27}\left[\begin{array}{rr} 3&-3 \\ -4&5 \end{array}\right]\)
গ \(\frac{1}{27}\left[\begin{array}{rr} -5&4 \\ 3&-3 \end{array}\right]\)
গ \(\frac{1}{27}\left[\begin{array}{rr} -5&4 \\ 3&-3 \end{array}\right]\)
খ \(\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rr} 3&-3 \\ -4&5 \end{array}\right]\)
ঘ \(\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rr} -5&3 \\ 4&-3 \end{array}\right]\)
ধরি, \(A=\left[\begin{array}{rr} 5&3 \\ 4&3 \end{array}\right]\)ঘ \(\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rr} -5&3 \\ 4&-3 \end{array}\right]\)
\(|A|=\left|\begin{array}{rr} 5&3 \\ 4&3 \end{array}\right|=15-12\)
\(=3\)
\(adj(A)=\left[\begin{array}{rr} (-1)^{1+1}3&(-1)^{1+2}4 \\ (-1)^{2+1}3&(-1)^{2+2}5 \end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr} (-1)^{2}3&(-1)^{3}4 \\ (-1)^{3}3&(-1)^{4}5 \end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr} 3&-4 \\ -3&5 \end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr} 3&-3 \\ -4&5 \end{array}\right]\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}\times{adj(A)}\)
\(=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rr} 3&-3 \\ -4&5 \end{array}\right]\)
উত্তরঃ (খ)
২৫। \(A(6, 4)\) এবং \(B(10, 8)\) দুইটি বিন্দু হলে-
\(i.\) \(AB\) রেখার ঢাল \(1\)
\(ii.\) \(AB\) রেখার সমীকরণ \(x-y-2=0\)
\(iii.\) \(AB\) কে বাহু ধরে অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল \(8\) বর্গ একক
নিচের কোনটি সঠিক?
\(=\frac{-4}{-4}\)
\(=1\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(AB\) রেখার সমীকরণ \(\frac{x-6}{6-10}=\frac{y-4}{4-8}\)
\(\Rightarrow \frac{x-6}{-4}=\frac{y-4}{-4}\)
\(\Rightarrow x-6=y-4\)
\(\Rightarrow x-6-y+4=0\)
\(\Rightarrow x-y-2=0\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(AB\) কে বাহু ধরে অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল \(=AB^2\)
\(=(6-10)^2+(4-8)^2\)
\(=(-4)^2+(-4)^2\)
\(=16+16\)
\(=32\) বর্গ একক
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) \(AB\) রেখার ঢাল \(1\)
\(ii.\) \(AB\) রেখার সমীকরণ \(x-y-2=0\)
\(iii.\) \(AB\) কে বাহু ধরে অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল \(8\) বর্গ একক
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(AB\) রেখার ঢাল \(=\frac{4-8}{6-10}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(=\frac{-4}{-4}\)
\(=1\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(AB\) রেখার সমীকরণ \(\frac{x-6}{6-10}=\frac{y-4}{4-8}\)
\(\Rightarrow \frac{x-6}{-4}=\frac{y-4}{-4}\)
\(\Rightarrow x-6=y-4\)
\(\Rightarrow x-6-y+4=0\)
\(\Rightarrow x-y-2=0\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(AB\) কে বাহু ধরে অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল \(=AB^2\)
\(=(6-10)^2+(4-8)^2\)
\(=(-4)^2+(-4)^2\)
\(=16+16\)
\(=32\) বর্গ একক
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000001