শিক্ষা বোর্ড কুমিল্লা - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১।
উদ্দীপকে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
তাহলে, \(\Delta{ABC}=\frac{1}{2}ca\sin{B}\)
\(=\frac{1}{2}\times3\times4\sin{30^{o}}\)
\(=6\times\frac{1}{2};\) \(\because \sin{30^{o}}=\frac{1}{2}\)
\(=3\) বর্গ একক।
উত্তরঃ (ঘ)
উদ্দীপকে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
ক \(6\sqrt{3}\)
গ \(3\sqrt{3}\)
গ \(3\sqrt{3}\)
খ \(6\)
ঘ \(3\)
চিত্রে দেওয়া আছে, \(a=4, \ c=3, \ \angle{B}=30^{o}\)ঘ \(3\)
তাহলে, \(\Delta{ABC}=\frac{1}{2}ca\sin{B}\)
\(=\frac{1}{2}\times3\times4\sin{30^{o}}\)
\(=6\times\frac{1}{2};\) \(\because \sin{30^{o}}=\frac{1}{2}\)
\(=3\) বর্গ একক।
উত্তরঃ (ঘ)
২। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}{\frac{x}{2}}}{3x}=\] কত?
ধরি, \(\tan^{-1}{\frac{x}{2}}=\theta\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}= \tan{\theta}\)
\(\therefore x= 2\tan{\theta}\)
আবার, \(x \rightarrow 0 \)
\(\Rightarrow \theta \rightarrow 0\)
\[=\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\theta}{3\times2\tan{\theta}}\]
\[=\frac{1}{6}\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\theta}{\tan{\theta}}\]
\[=\frac{1}{6}\times1\]
\[=\frac{1}{6}\]
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{1}{6}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(\frac{1}{3}\)
ঘ \(\frac{3}{2}\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}{\frac{x}{2}}}{3x}\]ঘ \(\frac{3}{2}\)
ধরি, \(\tan^{-1}{\frac{x}{2}}=\theta\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}= \tan{\theta}\)
\(\therefore x= 2\tan{\theta}\)
আবার, \(x \rightarrow 0 \)
\(\Rightarrow \theta \rightarrow 0\)
\[=\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\theta}{3\times2\tan{\theta}}\]
\[=\frac{1}{6}\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\theta}{\tan{\theta}}\]
\[=\frac{1}{6}\times1\]
\[=\frac{1}{6}\]
উত্তরঃ (ক)
৩। \(\left[\begin{array}{rrr}4&0&-2\\0&5&m\\-2&4&5\end{array}\right]\) ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম হলে, \(m=\) কত?
তাহলে, \(\left[\begin{array}{rrr}4&0&-2\\0&5&m\\-2&4&5\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{rrr}4&0&-2\\0&5&m\\-2&4&5\end{array}\right]\)
\(\Rightarrow \left[\begin{array}{rrr}4&0&-2\\0&5&4\\-2&m&5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}4&0&-2\\0&5&m\\-2&4&5\end{array}\right]\)
\(\therefore m=4\) ম্যাট্রিক্সের সমতা ব্যবহার করে।
উত্তরঃ (গ)
ক \(-2\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(0\)
ঘ \(5\)
দেওয়া আছে ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম।ঘ \(5\)
তাহলে, \(\left[\begin{array}{rrr}4&0&-2\\0&5&m\\-2&4&5\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{rrr}4&0&-2\\0&5&m\\-2&4&5\end{array}\right]\)
\(\Rightarrow \left[\begin{array}{rrr}4&0&-2\\0&5&4\\-2&m&5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}4&0&-2\\0&5&m\\-2&4&5\end{array}\right]\)
\(\therefore m=4\) ম্যাট্রিক্সের সমতা ব্যবহার করে।
উত্তরঃ (গ)
৪। \(x^{2}+y^{2}+ay=0\) এর পোলার সমীকরণ কোনটি?
\(\Rightarrow r^2+ar\sin{\theta}=0;\) \(\because x^2+y^2=r^2, \ y=r\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow r(r+a\sin{\theta})=0\)
\(\Rightarrow r+a\sin{\theta}=0, \ \because r\ne{0}\)
\(\therefore\) পোলার সমীকরণ \(r+a\sin{\theta}=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(r+a=0\)
গ \(r+a\sin{\theta}=0\)
গ \(r+a\sin{\theta}=0\)
খ \(r^2+a=0\)
ঘ \(r^2+a\sin{\theta}=0\)
\(x^{2}+y^{2}+ay=0\)ঘ \(r^2+a\sin{\theta}=0\)
\(\Rightarrow r^2+ar\sin{\theta}=0;\) \(\because x^2+y^2=r^2, \ y=r\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow r(r+a\sin{\theta})=0\)
\(\Rightarrow r+a\sin{\theta}=0, \ \because r\ne{0}\)
\(\therefore\) পোলার সমীকরণ \(r+a\sin{\theta}=0\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৫ ও ৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(8x-by-9=0\) এবং \(4x+3y+2=0\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ।
৫। রেখাদ্বয় সমান্তরাল হলে, \(b\) এর মান কত?\(8x-by-9=0\) এবং \(4x+3y+2=0\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ।
ক \(-6\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(-3\)
ঘ \(6\)
\(8x-by-9=0\) এবং \(4x+3y+2=0\) রেখাদ্বয় সমান্তরাল,ঘ \(6\)
তাহলে, \(\frac{8}{4}=\frac{-b}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{-b}{3}=\frac{8}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{-b}{3}=2\)
\(\Rightarrow b=2\times-3\)
\(\therefore b=-6\)
উত্তরঃ (ক)
৬। \((0, 1)\) বিন্দু থেকে দ্বিতীয় রেখার উপর অংকিত লম্বের সমীকরণ কোনটি?
\(3x-4y=3\times0-4\times1\)
\(\Rightarrow 3x-4y=-4\)
\(\therefore 3x-4y+4=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(3x-4y-4=0\)
গ \(3x-4y+2=0\)
গ \(3x-4y+2=0\)
খ \(3x-4y+4=0\)
ঘ \(3x-4y-2=0\)
\((0, 1)\) বিন্দু থেকে \(4x+3y+2=0\) রেখার উপর অংকিত লম্বের সমীকরণ,ঘ \(3x-4y-2=0\)
\(3x-4y=3\times0-4\times1\)
\(\Rightarrow 3x-4y=-4\)
\(\therefore 3x-4y+4=0\)
উত্তরঃ (খ)
৭। \(y=\sec{x}\) হয় তবে \(y_{2}+y\) এর মান কোনটি?
\(\Rightarrow y_{1}=\sec{x}\tan{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec{x}.\sec^2{x}+\sec{x}\tan{x}.\tan{x};\) যেহেতু \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec^3{x}+\sec{x}\tan^2{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec{x}(\sec^2{x}+\tan^2{x})\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec{x}(\sec^2{x}+\sec^2{x}-1)\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec{x}(2\sec^2{x}-1)\)
\(\Rightarrow y_{2}=y(2y^2-1);\) যেহেতু \(y=\sec{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=2y^3-y\)
\(\therefore y_{2}+y=2y^3\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(2\)
গ \(2y^2\)
গ \(2y^2\)
খ \(2y\)
ঘ \(2y^3\)
\(y=\sec{x}\)ঘ \(2y^3\)
\(\Rightarrow y_{1}=\sec{x}\tan{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec{x}.\sec^2{x}+\sec{x}\tan{x}.\tan{x};\) যেহেতু \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec^3{x}+\sec{x}\tan^2{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec{x}(\sec^2{x}+\tan^2{x})\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec{x}(\sec^2{x}+\sec^2{x}-1)\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec{x}(2\sec^2{x}-1)\)
\(\Rightarrow y_{2}=y(2y^2-1);\) যেহেতু \(y=\sec{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=2y^3-y\)
\(\therefore y_{2}+y=2y^3\)
উত্তরঃ (ঘ)
৮। \(\int_{0}^{1}{\frac{1-x}{1+x}dx}\) এর মান কোনটি?
\(=\int_{0}^{1}{\frac{2-(1+x)}{1+x}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\left\{\frac{2}{1+x}-\frac{1+x}{1+x}\right\}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\left\{\frac{2}{1+x}-1\right\}dx}\)
\(=[2\ln{(1+x)}-x]_{0}^{1}\)
\(=\{2\ln{(1+1)}-1\}-\{2\ln{(1+0)}-0\}\)
\(=2\ln{2}-1-2\ln{1}\)
\(=2\ln{2}-1-2.0;\) যেহেতু \(\ln{1}=0\)
\(=2\ln{2}-1\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2\ln{2}+1\)
গ \(\ln{2}+1\)
গ \(\ln{2}+1\)
খ \(2\ln{2}-1\)
ঘ \(\ln{2}-2\)
\(\int_{0}^{1}{\frac{1-x}{1+x}dx}\)ঘ \(\ln{2}-2\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{2-(1+x)}{1+x}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\left\{\frac{2}{1+x}-\frac{1+x}{1+x}\right\}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\left\{\frac{2}{1+x}-1\right\}dx}\)
\(=[2\ln{(1+x)}-x]_{0}^{1}\)
\(=\{2\ln{(1+1)}-1\}-\{2\ln{(1+0)}-0\}\)
\(=2\ln{2}-1-2\ln{1}\)
\(=2\ln{2}-1-2.0;\) যেহেতু \(\ln{1}=0\)
\(=2\ln{2}-1\)
উত্তরঃ (খ)
৯। \((m, 0), \ (0, n), \ (1, 1)\) বিন্দু তিনটি সরেখ হওয়ার শর্ত কোনটি?
\(\frac{x-m}{m-0}=\frac{y-0}{0-n}\)
\(\Rightarrow \frac{x-m}{m}=\frac{y}{-n}\)
শর্তমতে, \((1, 1)\) বিন্দুটি রেখাটির উপর অবস্থিত।
\(\Rightarrow \frac{1-m}{m}=\frac{1}{-n}\)
\(\Rightarrow m=-n+mn\)
\(\therefore m+n=mn\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(m-n=mn\)
গ \(m+n=0\)
গ \(m+n=0\)
খ \(m-n+mn=0\)
ঘ \(m+n=mn\)
\((m, 0)\) ও \((0, n)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,ঘ \(m+n=mn\)
\(\frac{x-m}{m-0}=\frac{y-0}{0-n}\)
\(\Rightarrow \frac{x-m}{m}=\frac{y}{-n}\)
শর্তমতে, \((1, 1)\) বিন্দুটি রেখাটির উপর অবস্থিত।
\(\Rightarrow \frac{1-m}{m}=\frac{1}{-n}\)
\(\Rightarrow m=-n+mn\)
\(\therefore m+n=mn\)
উত্তরঃ (ঘ)
১০। \(g(x)=\sqrt{x}\) হলে-
\(i.\)\(\int{\frac{1}{g(x)}dx}=2\sqrt{x}+c\)
\(ii.\) \(\int_{0}^{1}{g(x)dx}=\frac{2}{3}\)
\(iii.\) \(\int{\frac{\sec^2{x}dx}{g(\tan{x})}dx}=2\sqrt{\tan{x}}+c\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(=\int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}\)
\(=2\sqrt{x}+c\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\int_{0}^{1}{g(x)dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\sqrt{x}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{x^{\frac{1}{2}}dx}\)
\(=\left[\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_{0}^{1}\)
\(=\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{2}{3}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{2}{3}\left[1^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[1-0\right]\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(\int{\frac{\sec^2{x}dx}{g(\tan{x})}}\)
\(=\int{\frac{\sec^2{x}dx}{\sqrt{\tan{x}}}}\)
\(=\int{\frac{d(\tan{x})}{\sqrt{\tan{x}}}}\)
\(=2\sqrt{\tan{x}}+c;\) যেহেতু \(\int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{x}+c\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\)\(\int{\frac{1}{g(x)}dx}=2\sqrt{x}+c\)
\(ii.\) \(\int_{0}^{1}{g(x)dx}=\frac{2}{3}\)
\(iii.\) \(\int{\frac{\sec^2{x}dx}{g(\tan{x})}dx}=2\sqrt{\tan{x}}+c\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\int{\frac{1}{g(x)}dx}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(=\int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}\)
\(=2\sqrt{x}+c\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(\int_{0}^{1}{g(x)dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\sqrt{x}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{x^{\frac{1}{2}}dx}\)
\(=\left[\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_{0}^{1}\)
\(=\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{2}{3}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{2}{3}\left[1^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[1-0\right]\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(\int{\frac{\sec^2{x}dx}{g(\tan{x})}}\)
\(=\int{\frac{\sec^2{x}dx}{\sqrt{\tan{x}}}}\)
\(=\int{\frac{d(\tan{x})}{\sqrt{\tan{x}}}}\)
\(=2\sqrt{\tan{x}}+c;\) যেহেতু \(\int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{x}+c\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
১১। \(\cos{\theta}=-\frac{12}{13}\) এবং \(\pi\lt{\theta}\lt{\frac{3\pi}{2}}\) হলে, \(\tan{\theta}\) এর মান কত?
এখন, \(\sin{\theta}=\pm\sqrt{1-\cos^2{\theta}}\)
\(=\pm\sqrt{1-\left(-\frac{12}{13}\right)^2}\)
\(=\pm\sqrt{1-\frac{144}{169}}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{169-144}{169}}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{25}{169}}\)
\(=\pm\frac{5}{13}\)
\(=-\frac{5}{13}; \ \because \pi\lt{\theta}\lt{\frac{3\pi}{2}}\)
আবার, \(\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(=\frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}}\)
\(=-\frac{5}{13}\times-\frac{13}{12}\)
\(=\frac{5}{12}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-\frac{5}{12}\)
গ \(\frac{5}{12}\)
গ \(\frac{5}{12}\)
খ \(-\frac{12}{5}\)
ঘ \(\frac{12}{5}\)
\(\cos{\theta}=-\frac{12}{13}\)ঘ \(\frac{12}{5}\)
এখন, \(\sin{\theta}=\pm\sqrt{1-\cos^2{\theta}}\)
\(=\pm\sqrt{1-\left(-\frac{12}{13}\right)^2}\)
\(=\pm\sqrt{1-\frac{144}{169}}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{169-144}{169}}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{25}{169}}\)
\(=\pm\frac{5}{13}\)
\(=-\frac{5}{13}; \ \because \pi\lt{\theta}\lt{\frac{3\pi}{2}}\)
আবার, \(\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(=\frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}}\)
\(=-\frac{5}{13}\times-\frac{13}{12}\)
\(=\frac{5}{12}\)
উত্তরঃ (গ)
১২। \(\int_{1}^{\sqrt{e}}{\ln{x}dx}\) এর মান কোনটি?
\(=\left[x\ln{x}-x\right]_{1}^{\sqrt{e}}\)
\(=\sqrt{e}\ln{\sqrt{e}}-\sqrt{e}-(1\ln{1}-1)\)
\(=\sqrt{e}\ln{e^{\frac{1}{2}}}-\sqrt{e}-1.0+1;\) যেহেতু \(\ln{1}=0\)
\(=\sqrt{e}.\frac{1}{2}\ln{e}-\sqrt{e}+1\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{e}.1-\sqrt{e}+1\) যেহেতু \(\ln{e}=1\)
\(=1+\frac{1}{2}\sqrt{e}-\sqrt{e}\)
\(=1+\left(\frac{1}{2}-1\right)\sqrt{e}\)
\(=1+\frac{1-2}{2}\sqrt{e}\)
\(=1-\frac{1}{2}\sqrt{e}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-1-\frac{1}{2}\sqrt{e}\)
গ \(1+\frac{1}{2}\sqrt{e}\)
গ \(1+\frac{1}{2}\sqrt{e}\)
খ \(1-\frac{1}{2}\sqrt{e}\)
ঘ \(-1+\frac{1}{2}\sqrt{e}\)
\(\int_{1}^{\sqrt{e}}{\ln{x}dx}\)ঘ \(-1+\frac{1}{2}\sqrt{e}\)
\(=\left[x\ln{x}-x\right]_{1}^{\sqrt{e}}\)
\(=\sqrt{e}\ln{\sqrt{e}}-\sqrt{e}-(1\ln{1}-1)\)
\(=\sqrt{e}\ln{e^{\frac{1}{2}}}-\sqrt{e}-1.0+1;\) যেহেতু \(\ln{1}=0\)
\(=\sqrt{e}.\frac{1}{2}\ln{e}-\sqrt{e}+1\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{e}.1-\sqrt{e}+1\) যেহেতু \(\ln{e}=1\)
\(=1+\frac{1}{2}\sqrt{e}-\sqrt{e}\)
\(=1+\left(\frac{1}{2}-1\right)\sqrt{e}\)
\(=1+\frac{1-2}{2}\sqrt{e}\)
\(=1-\frac{1}{2}\sqrt{e}\)
উত্তরঃ (খ)
১৩। \(2x-3y=0\) একটি সরলরেখার সমীকরণ-
\(i.\)রেখাটি মূলবিন্দুগামী
\(ii.\) \((3, 2)\) বিন্দুটি রেখাটির উপর অবস্থিত
\(iii.\) \((2, -3)\) বিন্দু থেকে রেখাটির লম্ব দূরত্ব \(\frac{1}{13}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\((3, 2)\) বিন্দুটি রেখাটির উপর অবস্থিত
কারণ বিন্দুটি রেখাটিকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\((2, -3)\) বিন্দু থেকে রেখাটির লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|2\times2-3\times-3|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}\)
\(=\frac{|4+9|}{\sqrt{4+9}}\)
\(=\frac{13}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{\sqrt{13}.\sqrt{13}}{\sqrt{13}}\)
\(=\sqrt{13}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\)রেখাটি মূলবিন্দুগামী
\(ii.\) \((3, 2)\) বিন্দুটি রেখাটির উপর অবস্থিত
\(iii.\) \((2, -3)\) বিন্দু থেকে রেখাটির লম্ব দূরত্ব \(\frac{1}{13}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
রেখাটি মূলবিন্দুগামী, কারণ এর সাথে কোনো ধ্রুবক যোগ বা বিয়োগ অবস্থায় নেই।ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\((3, 2)\) বিন্দুটি রেখাটির উপর অবস্থিত
কারণ বিন্দুটি রেখাটিকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\((2, -3)\) বিন্দু থেকে রেখাটির লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|2\times2-3\times-3|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}\)
\(=\frac{|4+9|}{\sqrt{4+9}}\)
\(=\frac{13}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{\sqrt{13}.\sqrt{13}}{\sqrt{13}}\)
\(=\sqrt{13}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
১৪। \(\left|\begin{array}{rrr}7&-7&0\\-1&2&-1\\5&p&3\end{array}\right|\) এ \(p\) এর সহগুণক কোনটি?
\(=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{rr}7&0\\-1&-1\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(-7-0)\)
\(=-(-7)\)
\(=7\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-7\)
গ \(6\)
গ \(6\)
খ \(-6\)
ঘ \(7\)
\(\left|\begin{array}{rrr}7&-7&0\\-1&2&-1\\5&p&3\end{array}\right|\) এ \(p\) এর সহগুণক,ঘ \(7\)
\(=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{rr}7&0\\-1&-1\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(-7-0)\)
\(=-(-7)\)
\(=7\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৫। \(x^{y}=e^{x+y}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}=\) কত?
\(\Rightarrow e^{x+y}=x^{y}\)
\(\Rightarrow x+y=\ln{(x^{y})}\)
\(\Rightarrow x+y=y\ln{x}\)
\(\Rightarrow 1+\frac{dy}{dx}=y.\frac{1}{x}+\frac{dy}{dx}\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}\ln{x}=\frac{y}{x}-1\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(1-\ln{x})=\frac{y-x}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{y-x}{x(1-\ln{x})}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x(\ln{x}-1)}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{x-y}{x(1-\ln{x})}\)
গ \(\frac{y-x}{x(\ln{x}-1)}\)
গ \(\frac{y-x}{x(\ln{x}-1)}\)
খ \(\frac{x-y}{x(\ln{x}-1)}\)
ঘ \(\frac{x-y}{\ln{x}-1}\)
\(x^{y}=e^{x+y}\)ঘ \(\frac{x-y}{\ln{x}-1}\)
\(\Rightarrow e^{x+y}=x^{y}\)
\(\Rightarrow x+y=\ln{(x^{y})}\)
\(\Rightarrow x+y=y\ln{x}\)
\(\Rightarrow 1+\frac{dy}{dx}=y.\frac{1}{x}+\frac{dy}{dx}\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}\ln{x}=\frac{y}{x}-1\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(1-\ln{x})=\frac{y-x}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{y-x}{x(1-\ln{x})}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x(\ln{x}-1)}\)
উত্তরঃ (খ)
১৬। কোন শর্তে \(y=mx+c\) সরলরেখাটি \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে?
\(c^2=r^2(1+m^2)\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(r^2=m^2+c^2\)
গ \(m^2r^2=r^2-c^2\)
গ \(m^2r^2=r^2-c^2\)
খ \(c^2=r^2(1+m^2)\)
ঘ \(c^2+r^2=m^2\)
\(y=mx+c\) সরলরেখাটি \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃঘ \(c^2+r^2=m^2\)
\(c^2=r^2(1+m^2)\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৭ ও ১৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(f(x)=e^{-2x}\)
১৭। \[\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)-1}{x}}=\] কত?\(f(x)=e^{-2x}\)
ক \(-2\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(0\)
ঘ \(\infty\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)-1}{x}}\]ঘ \(\infty\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{e^{-2x}-1}{x}}\]
\[=-2\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{e^{-2x}-1}{-2x}}\]
\[=-2\times1;\] যেহেতু \[\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{e^{x}-1}{x}}=1\]
\(=-2\)
উত্তরঃ (ক)
১৮। \(\frac{d}{dx}\{f(x).\cos{x}\}=\) কত?
\(=\frac{d}{dx}\{e^{-2x}\cos{x}\}\)
\(=e^{-2x}\frac{d}{dx}(\cos{x})+\cos{x}\frac{d}{dx}(e^{-2x})\)
\(=e^{-2x}(-\sin{x})+\cos{x}e^{-2x}\times-2\)
\(=-e^{-2x}\sin{x}-2\cos{x}e^{-2x}\)
\(=-e^{-2x}(\sin{x}+2\cos{x})\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-e^{-2x}(\sin{x}+2\cos{x})\)
গ \(e^{-2x}(\sin{x}+2\cos{x})\)
গ \(e^{-2x}(\sin{x}+2\cos{x})\)
খ \(-e^{-2x}(\sin{x}-2\cos{x})\)
ঘ \(e^{-2x}(\sin{x}-2\cos{x})\)
\(\frac{d}{dx}\{f(x).\cos{x}\}\)ঘ \(e^{-2x}(\sin{x}-2\cos{x})\)
\(=\frac{d}{dx}\{e^{-2x}\cos{x}\}\)
\(=e^{-2x}\frac{d}{dx}(\cos{x})+\cos{x}\frac{d}{dx}(e^{-2x})\)
\(=e^{-2x}(-\sin{x})+\cos{x}e^{-2x}\times-2\)
\(=-e^{-2x}\sin{x}-2\cos{x}e^{-2x}\)
\(=-e^{-2x}(\sin{x}+2\cos{x})\)
উত্তরঃ (ক)
১৯। \(\left[\begin{array}{rrr}6&0&-3\\0&7&0\\-3&0&5\end{array}\right]\) একটি-
\(i.\) বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
ধরি, \(A=\left[\begin{array}{rrr}6&0&-3\\0&7&0\\-3&0&5\end{array}\right]\)
\(\Rightarrow A^T=\left[\begin{array}{rrr}6&0&-3\\0&7&0\\-3&0&5\end{array}\right]^T\)
\(\Rightarrow A^T=\left[\begin{array}{rrr}6&0&-3\\0&7&0\\-3&0&5\end{array}\right]\)
\(\therefore A^T=A\)
\(\therefore \) ইহা একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
ধরি, \(A=\left[\begin{array}{rrr}6&0&-3\\0&7&0\\-3&0&5\end{array}\right]\)
\(\Rightarrow |A|=\left|\begin{array}{rrr}6&0&-3\\0&7&0\\-3&0&5\end{array}\right|\)
\(=6(35-0)-0(0-0)-3(0+21)\)
\(=6(35)-3(21)\)
\(=210-63\)
\(=147\ne{0}\)
\(\therefore \) ইহা ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স নয়।
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটির সারি সংখ্যা এবং কলাম সংখ্যা সমান তাই ইহা একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
ধরি, \(A=\left[\begin{array}{rrr}6&0&-3\\0&7&0\\-3&0&5\end{array}\right]\)
\(\Rightarrow A^T=\left[\begin{array}{rrr}6&0&-3\\0&7&0\\-3&0&5\end{array}\right]^T\)
\(\Rightarrow A^T=\left[\begin{array}{rrr}6&0&-3\\0&7&0\\-3&0&5\end{array}\right]\)
\(\therefore A^T=A\)
\(\therefore \) ইহা একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
ধরি, \(A=\left[\begin{array}{rrr}6&0&-3\\0&7&0\\-3&0&5\end{array}\right]\)
\(\Rightarrow |A|=\left|\begin{array}{rrr}6&0&-3\\0&7&0\\-3&0&5\end{array}\right|\)
\(=6(35-0)-0(0-0)-3(0+21)\)
\(=6(35)-3(21)\)
\(=210-63\)
\(=147\ne{0}\)
\(\therefore \) ইহা ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স নয়।
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
নিচের তথ্যের আলোকে ২০ ও ২১ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^2+y^2=12x-30\) একটি বৃত্তের সমীকরণ।
২০। বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাংক কোনটি?\(x^2+y^2=12x-30\) একটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক \((-6, 0)\)
গ \((3, 0)\)
গ \((3, 0)\)
খ \((-3, 0)\)
ঘ \((6, 0)\)
\(x^2+y^2=12x-30\)ঘ \((6, 0)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-12x+30=0\)
এখানে, \(2g=-12, \ 2f=0, \ c=30\)
\(\Rightarrow g=-6, \ f=0\)
বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাংক \((-g, -f)\)
\(\equiv (6, 0)\)
উত্তরঃ (ঘ)
২১। \((1, -1)\) বিন্দু হতে বৃত্তে অংকিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত একক?
\(\Rightarrow x^2+y^2-12x+30=0\)
\((1, -1)\) বিন্দু হতে বৃত্তে অংকিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(=\sqrt{1^2+(-1)^2-12.1+30}\)
\(=\sqrt{1+1-12+30}\)
\(=\sqrt{32-12}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=2\sqrt{5}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2\sqrt{11}\)
গ \(2\sqrt{6}\)
গ \(2\sqrt{6}\)
খ \(2\sqrt{5}\)
ঘ \(3\sqrt{2}\)
\(x^2+y^2=12x-30\)ঘ \(3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-12x+30=0\)
\((1, -1)\) বিন্দু হতে বৃত্তে অংকিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(=\sqrt{1^2+(-1)^2-12.1+30}\)
\(=\sqrt{1+1-12+30}\)
\(=\sqrt{32-12}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=2\sqrt{5}\)
উত্তরঃ (খ)
২২। \(\int{x\sec^2{x}dx}=\) কত?
\(=x\int{\sec^2{x}dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(x)\int{\sec^2{x}dx}\right\}dx}\)
\(=x\tan{x}-\int{\left\{1.\tan{x}\right\}dx}\)
\(=x\tan{x}-\int{\tan{x}dx}\)
\(=x\tan{x}+\ln{|\cos{x}|}+c\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(x\tan{x}+\ln{|\sin{x}|}+c\)
গ \(x\tan{x}+\ln{|\cos{x}|}+c\)
গ \(x\tan{x}+\ln{|\cos{x}|}+c\)
খ \(x\tan{x}-\ln{|\sin{x}|}+c\)
ঘ \(x\tan{x}-\ln{|\cos{x}|}+c\)
\(\int{x\sec^2{x}dx}\)ঘ \(x\tan{x}-\ln{|\cos{x}|}+c\)
\(=x\int{\sec^2{x}dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(x)\int{\sec^2{x}dx}\right\}dx}\)
\(=x\tan{x}-\int{\left\{1.\tan{x}\right\}dx}\)
\(=x\tan{x}-\int{\tan{x}dx}\)
\(=x\tan{x}+\ln{|\cos{x}|}+c\)
উত্তরঃ (গ)
২৩। \(B=\left[\begin{array}{rr} 3&2 \\ -5&-2\end{array}\right]\) হলে, \(B^{-1}=\) কত?
\(=-6+10\)
\(=4\)
\(adj(B)=\left[\begin{array}{rr} -2&5 \\ -2&3\end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr} -2&-2 \\ 5&3\end{array}\right]\)
এখন, \(B^{-1}=\frac{1}{|B|}adj(B)\)
\(=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{rr} -2&-2 \\ 5&3\end{array}\right]\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{1}{4}\left[\begin{array}{rr} -2&-2 \\ 5&3\end{array}\right]\)
গ \(\frac{1}{4}\left[\begin{array}{rr} -3&-5 \\ 2&2\end{array}\right]\)
গ \(\frac{1}{4}\left[\begin{array}{rr} -3&-5 \\ 2&2\end{array}\right]\)
খ \(\frac{1}{4}\left[\begin{array}{rr} 2&2 \\ -5&-3\end{array}\right]\)
ঘ \(\frac{1}{4}\left[\begin{array}{rr} -3&-2 \\ 5&2\end{array}\right]\)
\(|B|=\left|\begin{array}{rr} 2&3 \\ -5&-2\end{array}\right|\)ঘ \(\frac{1}{4}\left[\begin{array}{rr} -3&-2 \\ 5&2\end{array}\right]\)
\(=-6+10\)
\(=4\)
\(adj(B)=\left[\begin{array}{rr} -2&5 \\ -2&3\end{array}\right]^T\)
\(=\left[\begin{array}{rr} -2&-2 \\ 5&3\end{array}\right]\)
এখন, \(B^{-1}=\frac{1}{|B|}adj(B)\)
\(=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{rr} -2&-2 \\ 5&3\end{array}\right]\)
উত্তরঃ (ক)
২৪। \(\tan{\frac{\theta}{2}}=\frac{3}{4}\) হলে, \(\cos{\theta}\) এর মান কত?
\(=\frac{1-\tan^2{\frac{\theta}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\theta}{2}}}\)
\(=\frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}\)
\(=\frac{1-\frac{9}{16}}{1+\frac{9}{16}}\)
\(=\frac{\frac{16-9}{16}}{\frac{16+9}{16}}\)
\(=\frac{\frac{7}{16}}{\frac{25}{16}}\)
\(=\frac{7}{16}\times\frac{16}{25}\)
\(=\frac{7}{25}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{9}{16}\)
গ \(\frac{24}{25}\)
গ \(\frac{24}{25}\)
খ \(\frac{7}{25}\)
ঘ \(\frac{25}{7}\)
\(\cos{\theta}\)ঘ \(\frac{25}{7}\)
\(=\frac{1-\tan^2{\frac{\theta}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\theta}{2}}}\)
\(=\frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}\)
\(=\frac{1-\frac{9}{16}}{1+\frac{9}{16}}\)
\(=\frac{\frac{16-9}{16}}{\frac{16+9}{16}}\)
\(=\frac{\frac{7}{16}}{\frac{25}{16}}\)
\(=\frac{7}{16}\times\frac{16}{25}\)
\(=\frac{7}{25}\)
উত্তরঃ (খ)
২৫। \(\sin{\theta}=\frac{1}{3}\) হলে, \(\sin{3\theta}\) এর মান কত?
\(=3\sin{\theta}-4\sin^3{\theta}\)
\(=3\times\frac{1}{3}-4\left(\frac{1}{3}\right)^3\)
\(=1-4\times\frac{1}{27}\)
\(=1-\frac{4}{27}\)
\(=\frac{27-4}{27}\)
\(=\frac{23}{27}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{27}{31}\)
গ \(\frac{23}{27}\)
গ \(\frac{23}{27}\)
খ \(-\frac{23}{27}\)
ঘ \(\frac{9}{11}\)
\(\sin{3\theta}\)ঘ \(\frac{9}{11}\)
\(=3\sin{\theta}-4\sin^3{\theta}\)
\(=3\times\frac{1}{3}-4\left(\frac{1}{3}\right)^3\)
\(=1-4\times\frac{1}{27}\)
\(=1-\frac{4}{27}\)
\(=\frac{27-4}{27}\)
\(=\frac{23}{27}\)
উত্তরঃ (গ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000003