শিক্ষা বোর্ড চট্টগ্রাম - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \((1, -1)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2-2x-2y+7=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য-
\(=\sqrt{1^2+(-1)^2-2\times1-2\times-1+7}\)
\(=\sqrt{1+1-2+2+7}\)
\(=\sqrt{11-2}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(18\)
গ \(6\)
গ \(6\)
খ \(9\)
ঘ \(3\)
\((1, -1)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2-2x-2y+7=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্যঘ \(3\)
\(=\sqrt{1^2+(-1)^2-2\times1-2\times-1+7}\)
\(=\sqrt{1+1-2+2+7}\)
\(=\sqrt{11-2}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
উত্তরঃ (ঘ)
২। \((3, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করলে উহার ব্যাসার্ধ কত?
তাই কেন্দ্রের \(y\) স্থানাংক তথা \(4\) ইহার ব্যাসার্ধ।
উত্তরঃ (খ)
ক \(3\)
গ \(5\)
গ \(5\)
খ \(4\)
ঘ \(7\)
বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে,ঘ \(7\)
তাই কেন্দ্রের \(y\) স্থানাংক তথা \(4\) ইহার ব্যাসার্ধ।
উত্তরঃ (খ)
৩। \(x+y=4\) এবং \(x-y=2\) সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী ও \(y\) অক্ষের সমান্তরাল রেখার সমীকরণ-
\(y\) অক্ষের সমান্তরাল রেখার ঢাল \(=\frac{1}{0}\)
তাহলে, \((3, 1)\) বিন্দুগামী এবং \(\frac{1}{0}\) ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ,
\(y-1=\frac{1}{0}(x-3)\)
\(\Rightarrow y-1=\frac{x-3}{0}\)
\(\Rightarrow x-3=0\)
\(\therefore x=3\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(y=1\)
গ \(y=3\)
গ \(y=3\)
খ \(x=1\)
ঘ \(x=3\)
\(x+y=4\) এবং \(x-y=2\) সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু \((3, 1)\)ঘ \(x=3\)
\(y\) অক্ষের সমান্তরাল রেখার ঢাল \(=\frac{1}{0}\)
তাহলে, \((3, 1)\) বিন্দুগামী এবং \(\frac{1}{0}\) ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ,
\(y-1=\frac{1}{0}(x-3)\)
\(\Rightarrow y-1=\frac{x-3}{0}\)
\(\Rightarrow x-3=0\)
\(\therefore x=3\)
উত্তরঃ (ঘ)
৪। \(\int{\cos^2{3x}dx}=\) কত?
\(=\frac{1}{2}\int{2\cos^2{3x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{1+\cos{6x}dx}\) যেহেতু, \(2\cos^2{A}=1+\cos{2A}\)
\(=\frac{1}{2}\left(x+\frac{\sin{6x}}{6}\right)+c\) যেহেতু, \(\int{\cos{ax}dx}=\frac{\sin{ax}}{a}\)
\(=\frac{1}{12}(6x+\sin{6x})+c\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{1}{2}(x+\sin{6x})+c\)
গ \(\frac{1}{12}(6x+\sin{6x})+c\)
গ \(\frac{1}{12}(6x+\sin{6x})+c\)
খ \(\frac{1}{2}(x-\sin{6x})+c\)
ঘ \(\frac{1}{12}(6x-\sin{6x})+c\)
\(\int{\cos^2{3x}dx}\)ঘ \(\frac{1}{12}(6x-\sin{6x})+c\)
\(=\frac{1}{2}\int{2\cos^2{3x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{1+\cos{6x}dx}\) যেহেতু, \(2\cos^2{A}=1+\cos{2A}\)
\(=\frac{1}{2}\left(x+\frac{\sin{6x}}{6}\right)+c\) যেহেতু, \(\int{\cos{ax}dx}=\frac{\sin{ax}}{a}\)
\(=\frac{1}{12}(6x+\sin{6x})+c\)
উত্তরঃ (গ)
৫। \(\int{\frac{1}{x^2}dx}=\) কত? \(x\ne{0}\)
\(=-\frac{1}{x}+c\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-\frac{1}{3x^3}+c\)
গ \(\frac{1}{3x^3}+c\)
গ \(\frac{1}{3x^3}+c\)
খ \(-\frac{1}{x}+c\)
ঘ \(\frac{1}{x}+c\)
\(\int{\frac{1}{x^2}dx}\)ঘ \(\frac{1}{x}+c\)
\(=-\frac{1}{x}+c\)
উত্তরঃ (খ)
৬।
চিত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক।
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{-1}{\{x^2-(-x)\}dx}\)
\(=\int_{0}^{-1}{(x^2+x)dx}\)
\(=\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{-1}\)
\(=\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2}-\frac{0^3}{3}-\frac{0^2}{2}\)
\(=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\)
\(=\frac{-2+3}{6}\)
\(=\frac{1}{6}\) বর্গ একক।
উত্তরঃ (গ)
চিত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক।
ক \(-\frac{5}{6}\)
গ \(\frac{1}{6}\)
গ \(\frac{1}{6}\)
খ \(-\frac{1}{6}\)
ঘ \(\frac{5}{6}\)
এখানে, \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(-1\)ঘ \(\frac{5}{6}\)
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{-1}{\{x^2-(-x)\}dx}\)
\(=\int_{0}^{-1}{(x^2+x)dx}\)
\(=\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{-1}\)
\(=\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2}-\frac{0^3}{3}-\frac{0^2}{2}\)
\(=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\)
\(=\frac{-2+3}{6}\)
\(=\frac{1}{6}\) বর্গ একক।
উত্তরঃ (গ)
৭। \(\int_{0}^{1}{\frac{x^2}{x^3+2}dx}=\) কত?
\(=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}{\frac{d(x^3+2)}{x^3+2}}\)
\(=\frac{1}{3}[\ln{(x^3+2)}]_{0}^{1}\) যেহেতু, \(\int{\frac{dx}{x}}=\ln{x}\)
\(=\frac{1}{3}[\ln{(1^3+2)}-\ln{(0^3+2)}]\)
\(=\frac{1}{3}[\ln{(1+2)}-\ln{(0+2)}]\)
\(=\frac{1}{3}[\ln{3}-\ln{2}]\)
\(=\frac{1}{3}\ln{\left(\frac{3}{2}\right)}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{1}{3}\ln{\left(\frac{3}{2}\right)}\)
গ \(\frac{1}{3}\ln{\left(\frac{2}{3}\right)}\)
গ \(\frac{1}{3}\ln{\left(\frac{2}{3}\right)}\)
খ \(\ln{\left(\frac{3}{2}\right)}\)
ঘ \(\ln{\left(\frac{2}{3}\right)}\)
\(\int_{0}^{1}{\frac{x^2}{x^3+2}dx}\)ঘ \(\ln{\left(\frac{2}{3}\right)}\)
\(=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}{\frac{d(x^3+2)}{x^3+2}}\)
\(=\frac{1}{3}[\ln{(x^3+2)}]_{0}^{1}\) যেহেতু, \(\int{\frac{dx}{x}}=\ln{x}\)
\(=\frac{1}{3}[\ln{(1^3+2)}-\ln{(0^3+2)}]\)
\(=\frac{1}{3}[\ln{(1+2)}-\ln{(0+2)}]\)
\(=\frac{1}{3}[\ln{3}-\ln{2}]\)
\(=\frac{1}{3}\ln{\left(\frac{3}{2}\right)}\)
উত্তরঃ (ক)
নিচের তথ্যের আলোকে ৮ ও ৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(A=\left[\begin{array}{rrr}1&-1&1\\0&1&3\\-5&2&-7\end{array}\right]\)
৮। \(|A|\) এর মান কত?\(A=\left[\begin{array}{rrr}1&-1&1\\0&1&3\\-5&2&-7\end{array}\right]\)
ক \(-23\)
গ \(-3\)
গ \(-3\)
খ \(-7\)
ঘ \(7\)
\(|A|\)ঘ \(7\)
\(=\left|\begin{array}{rrr}1&-1&1\\0&1&3\\-5&2&-7\end{array}\right|\)
\(c_{2}^{\prime}=c_{2}+c_{1}\)
\(c_{3}^{\prime}=c_{3}+c_{2}\)
প্রয়োগ করে,
\(=\left|\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&4\\-5&-3&-5\end{array}\right|\)
\(=1\left|\begin{array}{rr}1&4\\-3&-5\end{array}\right|\)
\(=-5+12\)
\(=7\)
উত্তরঃ (ঘ)
৯। \(|A|\) এর \((1, 2)\) তম ভুক্তির সহগুণক-
\(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{rr}0&3\\-5&-7\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(0+15)\)
\(=-(15)\)
\(=-15\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-15\)
গ \(5\)
গ \(5\)
খ \(-5\)
ঘ \(15\)
\(|A|\) এর \((1, 2)\) তম ভুক্তির সহগুণকঘ \(15\)
\(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{rr}0&3\\-5&-7\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(0+15)\)
\(=-(15)\)
\(=-15\)
উত্তরঃ (ক)
১০। \(2x^2+2y^2-12x-8y=14\) বৃত্তের-
\(i.\) কেন্দ্র \((3, 2)\)
\(ii.\) ব্যাসার্ধ \(2\sqrt{5}\) একক
\(iii.\) \(y\) অক্ষ দ্বারা খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{11}\) একক
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-12x-8y-14=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2-6x-4y-7)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-6x-4y-7=0\)
এখানে, \(2g=-6, \ 2f=-4, \ c=-7\)
\(\Rightarrow g=-3, \ f=-2, \ c=-7\)
\(\Rightarrow g=-3, \ f=-2, \ c=-7\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (3, 2)\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+7}\)
\(=\sqrt{9+4+7}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=2\sqrt{5}\) একক
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(y\) অক্ষ দ্বারা খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^2+7}\)
\(=2\sqrt{4+7}\)
\(=2\sqrt{11}\) একক
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) কেন্দ্র \((3, 2)\)
\(ii.\) ব্যাসার্ধ \(2\sqrt{5}\) একক
\(iii.\) \(y\) অক্ষ দ্বারা খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{11}\) একক
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(2x^2+2y^2-12x-8y=14\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-12x-8y-14=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2-6x-4y-7)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-6x-4y-7=0\)
এখানে, \(2g=-6, \ 2f=-4, \ c=-7\)
\(\Rightarrow g=-3, \ f=-2, \ c=-7\)
\(\Rightarrow g=-3, \ f=-2, \ c=-7\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (3, 2)\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+7}\)
\(=\sqrt{9+4+7}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=2\sqrt{5}\) একক
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(y\) অক্ষ দ্বারা খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^2+7}\)
\(=2\sqrt{4+7}\)
\(=2\sqrt{11}\) একক
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
১১। \(x^2+y^2-2x=0\) বৃত্তের \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?
\(x.1+y.(-1)-1(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-y-x-1=0\)
\(\Rightarrow -y-1=0\)
\(\Rightarrow -(y+1)=0\)
\(\therefore y+1=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(y-1=0\)
গ \(2x-y-1=0\)
গ \(2x-y-1=0\)
খ \(y+1=0\)
ঘ \(2x-y+1=0\)
\(x^2+y^2-2x=0\) বৃত্তের \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঘ \(2x-y+1=0\)
\(x.1+y.(-1)-1(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-y-x-1=0\)
\(\Rightarrow -y-1=0\)
\(\Rightarrow -(y+1)=0\)
\(\therefore y+1=0\)
উত্তরঃ (খ)
১২। \(\Delta{ABC}\) এ \(a^2+b^2-c^2=2ab\) হলে, \(\angle{C}=\) কত?
\(\Rightarrow \angle{C}=\cos^{-1}{\frac{2ab}{2ab}}\)
\(\Rightarrow \angle{C}=\cos^{-1}{1}\)
\(\Rightarrow \angle{C}=\cos^{-1}{\cos{0^{o}}}\)
\(\therefore \angle{C}=0^{o}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(0^{o}\)
গ \(90^{o}\)
গ \(90^{o}\)
খ \(45^{o}\)
ঘ \(180^{o}\)
\(\angle{C}=\cos^{-1}{\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}\)ঘ \(180^{o}\)
\(\Rightarrow \angle{C}=\cos^{-1}{\frac{2ab}{2ab}}\)
\(\Rightarrow \angle{C}=\cos^{-1}{1}\)
\(\Rightarrow \angle{C}=\cos^{-1}{\cos{0^{o}}}\)
\(\therefore \angle{C}=0^{o}\)
উত্তরঃ (ক)
১৩। \(y=\frac{1}{x^3}\) বক্ররেখার \((-1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কত?
\(\Rightarrow y=x^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-3x^{-4}\)
\((-1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1, -1)}=-3(-1)^{-4}\)
\(=-3\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-3\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(-1\)
ঘ \(3\)
\(y=\frac{1}{x^3}\)ঘ \(3\)
\(\Rightarrow y=x^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-3x^{-4}\)
\((-1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1, -1)}=-3(-1)^{-4}\)
\(=-3\)
উত্তরঃ (ক)
১৪। \(\frac{1+\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\) কত?
\(=\frac{2\cos^2{\frac{\theta}{2}}}{2\sin{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\frac{\theta}{2}}}{\sin{\frac{\theta}{2}}}\)
\(=\cot{\frac{\theta}{2}}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\tan{\frac{\theta}{2}}\)
গ \(\tan{\theta}\)
গ \(\tan{\theta}\)
খ \(\cot{\frac{\theta}{2}}\)
ঘ \(\cot{\theta}\)
\(\frac{1+\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\)ঘ \(\cot{\theta}\)
\(=\frac{2\cos^2{\frac{\theta}{2}}}{2\sin{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\frac{\theta}{2}}}{\sin{\frac{\theta}{2}}}\)
\(=\cot{\frac{\theta}{2}}\)
উত্তরঃ (খ)
১৫। \(a=2, \ b=1, \ \angle{C}=60^{o}\) হলে, \(\Delta{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল কত?
\(=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(=\frac{1}{2}\times2\times1\sin{60^{o}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ঘ \(\sqrt{3}\)
\(\Delta{ABC}\) এর ক্ষেত্রফলঘ \(\sqrt{3}\)
\(=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(=\frac{1}{2}\times2\times1\sin{60^{o}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
১৬। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\ln{(1-3x)}}{3x}=\] কত?
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-3x-\frac{1}{2}(-3x)^2-\frac{1}{3}(-3x)^3-......}{3x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3x(-1+\frac{3}{2}x-3x^2-......)}{3x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}(-1+\frac{3}{2}x-3x^2-......)\]
\[=-1+0-0-......\]
\[=-1\]
উত্তরঃ (গ)
ক \(1\)
গ \(-1\)
গ \(-1\)
খ \(\frac{1}{3}\)
ঘ \(-3\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\ln{(1-3x)}}{3x}\]ঘ \(-3\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-3x-\frac{1}{2}(-3x)^2-\frac{1}{3}(-3x)^3-......}{3x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3x(-1+\frac{3}{2}x-3x^2-......)}{3x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}(-1+\frac{3}{2}x-3x^2-......)\]
\[=-1+0-0-......\]
\[=-1\]
উত্তরঃ (গ)
১৭। যদি \(\frac{\pi}{2}\lt{\theta}\lt{\pi}\) এবং \(\sin{\theta}=\frac{3}{5}\) হয়, তবে \(\cos{\theta}\) এর মান কত?
এখন, \(\sin{\theta}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \sin^2{\theta}=\frac{9}{25}\)
\(\Rightarrow 1-\cos^2{\theta}=\frac{9}{25}\)
\(\Rightarrow -\cos^2{\theta}=\frac{9}{25}-1\)
\(\Rightarrow -\cos^2{\theta}=\frac{9-25}{25}\)
\(\Rightarrow -\cos^2{\theta}=-\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow \cos^2{\theta}=\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(\therefore \cos{\theta}=-\frac{4}{5}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-\frac{4}{5}\)
গ \(\frac{3}{4}\)
গ \(\frac{3}{4}\)
খ \(-\frac{3}{4}\)
ঘ \(\frac{4}{5}\)
\(\frac{\pi}{2}\lt{\theta}\lt{\pi}\) ব্যবধিতে \(\cos{\theta}\) এর মান ঋনাত্মক।ঘ \(\frac{4}{5}\)
এখন, \(\sin{\theta}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \sin^2{\theta}=\frac{9}{25}\)
\(\Rightarrow 1-\cos^2{\theta}=\frac{9}{25}\)
\(\Rightarrow -\cos^2{\theta}=\frac{9}{25}-1\)
\(\Rightarrow -\cos^2{\theta}=\frac{9-25}{25}\)
\(\Rightarrow -\cos^2{\theta}=-\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow \cos^2{\theta}=\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(\therefore \cos{\theta}=-\frac{4}{5}\)
উত্তরঃ (ক)
১৮। \(p\) মান কত হলে, \(\left[\begin{array}{rr}p+1&6\\4&-8\end{array}\right]\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে?
\(\left|\begin{array}{rr}p+1&6\\4&-8\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow -8(p+1)-24=0\)
\(\Rightarrow -8p-8-24=0\)
\(\Rightarrow -8p-32=0\)
\(\Rightarrow -8p=32\)
\(\therefore p=-4\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(4\)
গ \(-2\)
গ \(-2\)
খ \(2\)
ঘ \(-4\)
শর্তমতে,ঘ \(-4\)
\(\left|\begin{array}{rr}p+1&6\\4&-8\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow -8(p+1)-24=0\)
\(\Rightarrow -8p-8-24=0\)
\(\Rightarrow -8p-32=0\)
\(\Rightarrow -8p=32\)
\(\therefore p=-4\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৯। \(A+B=\frac{\pi}{2}\) হলে, নিম্নের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 1-\tan{A}\tan{B}=0\)
\(\Rightarrow -\tan{A}\tan{B}=-1\)
\(\therefore \tan{A}\tan{B}=1\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\tan{A}=\tan{B}\)
গ \(\tan{A}\tan{B}=-1\)
গ \(\tan{A}\tan{B}=-1\)
খ \(\tan{A}=-\tan{B}\)
ঘ \(\tan{A}\tan{B}=1\)
\(A+B=\frac{\pi}{2}\)ঘ \(\tan{A}\tan{B}=1\)
\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 1-\tan{A}\tan{B}=0\)
\(\Rightarrow -\tan{A}\tan{B}=-1\)
\(\therefore \tan{A}\tan{B}=1\)
উত্তরঃ (ঘ)
২০। \(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\sin^2{x}\cos{x}dx}=\) কত?
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\sin^2{x}d(\sin{x})}\)
\(=\left[\frac{\sin^3{x}}{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}\) যেহেতু, \(\int{x^2dx}=\frac{x^3}{3}\)
\(=\frac{1}{3}\left[\sin^3{\frac{\pi}{6}}-\sin^3{0}\right]\)
\(=\frac{1}{3}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^3-0\right]\)
\(=\frac{1}{3}\times\frac{1}{8}\)
\(=\frac{1}{24}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-\frac{5}{24}\)
গ \(\frac{1}{24}\)
গ \(\frac{1}{24}\)
খ \(-\frac{1}{24}\)
ঘ \(\frac{5}{24}\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\sin^2{x}\cos{x}dx}\)ঘ \(\frac{5}{24}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\sin^2{x}d(\sin{x})}\)
\(=\left[\frac{\sin^3{x}}{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}\) যেহেতু, \(\int{x^2dx}=\frac{x^3}{3}\)
\(=\frac{1}{3}\left[\sin^3{\frac{\pi}{6}}-\sin^3{0}\right]\)
\(=\frac{1}{3}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^3-0\right]\)
\(=\frac{1}{3}\times\frac{1}{8}\)
\(=\frac{1}{24}\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ২১ ও ২২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(3x+y=3\) এবং \(3x-y=3\) দুইটি সরলরেখা।
২১। ঢালদ্বয়ের গুণফল-\(3x+y=3\) এবং \(3x-y=3\) দুইটি সরলরেখা।
ক \(-9\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(-1\)
ঘ \(9\)
\(3x+y=3\) এর ঢাল \(=-\frac{3}{1}=-3\)ঘ \(9\)
\(3x-y=3\) এর ঢাল \(=-\frac{3}{-1}=3\)
ঢালদ্বয়ের গুণফল \(=-3\times3\)
\(=-9\)
উত্তরঃ (ক)
২২। রেখাদ্বয় \(y\) অক্ষের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন কারে তার ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
\(3x+y=3\) এবং \(y\) অক্ষের ছেদবিন্দু \((0, 3)\)
\(3x-y=3\) এবং \(y\) অক্ষের ছেদবিন্দু \((0, -3)\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrrr}1&0&0&1\\0&3&-3&0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{(3-0)+(0-0)+(0+3)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{3+0+3\}\)
\(=\frac{1}{2}\times6\)
\(=3\) বর্গ একক
উত্তরঃ (ক)
ক \(3\)
গ \(12\)
গ \(12\)
খ \(6\)
ঘ \(18\)
রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু \((1, 0)\)ঘ \(18\)
\(3x+y=3\) এবং \(y\) অক্ষের ছেদবিন্দু \((0, 3)\)
\(3x-y=3\) এবং \(y\) অক্ষের ছেদবিন্দু \((0, -3)\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrrr}1&0&0&1\\0&3&-3&0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{(3-0)+(0-0)+(0+3)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{3+0+3\}\)
\(=\frac{1}{2}\times6\)
\(=3\) বর্গ একক
উত্তরঃ (ক)
২৩। \(r^2+2r\cos{\theta}+4r\sin{\theta}=3\) বৃত্তটির কেন্দ্রের কার্তেসীয় স্থানাংক কত?
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x+4y-3=0\) যেহেতু, \(r^2=x^2+y^2, \ x=r\cos{\theta}, \ y=r\sin{\theta}\)
এখানে, \(2g=2, \ 2f=4, \ c=-3\)
\(\Rightarrow g=1, \ f=2, \ c=-3\)
কেন্দ্রের কার্তেসীয় স্থানাংক \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (-1, -2)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(0\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(\frac{1}{4}\)
ঘ \(4\)
\(r^2+2r\cos{\theta}+4r\sin{\theta}=3\)ঘ \(4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x+4y-3=0\) যেহেতু, \(r^2=x^2+y^2, \ x=r\cos{\theta}, \ y=r\sin{\theta}\)
এখানে, \(2g=2, \ 2f=4, \ c=-3\)
\(\Rightarrow g=1, \ f=2, \ c=-3\)
কেন্দ্রের কার্তেসীয় স্থানাংক \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (-1, -2)\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৪। \(\left[\begin{array}{rrr}7&0&0\\0&1&0\\0&0&-5\end{array}\right]\) ম্যাট্রিক্সটি-
\(i.\) কর্ণ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠিক?
অতএব, ইহা একটি কর্ণম্যাট্রিক্স।
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
যেহেতু, \(\left[\begin{array}{rrr}7&0&0\\0&1&0\\0&0&-5\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{rrr}7&0&0\\0&1&0\\0&0&-5\end{array}\right]\)
অতএব, ইহা একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
ম্যাট্রিক্সটির প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলো ব্যতীত অন্য সকল ভুক্তি শূন্য
অতএব, ইহা একটি ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) কর্ণ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ম্যাট্রিক্সটির প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলো অশূন্যঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
অতএব, ইহা একটি কর্ণম্যাট্রিক্স।
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
যেহেতু, \(\left[\begin{array}{rrr}7&0&0\\0&1&0\\0&0&-5\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{rrr}7&0&0\\0&1&0\\0&0&-5\end{array}\right]\)
অতএব, ইহা একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
ম্যাট্রিক্সটির প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলো ব্যতীত অন্য সকল ভুক্তি শূন্য
অতএব, ইহা একটি ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
২৫। \(M\) এর মান কত হলে \(2x-y+6=0\) ও \(3x+My-3=0\) রেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হবে?
\(3x+My-3=0\) এর ঢাল \(=-\frac{3}{M}\)
শর্তমতে, \(2\times-\frac{3}{M}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{6}{M}=1\)
\(\therefore M=6\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-6\)
গ \(\frac{3}{2}\)
গ \(\frac{3}{2}\)
খ \(-\frac{3}{2}\)
ঘ \(6\)
\(2x-y+6=0\) এর ঢাল \(=-\frac{2}{-1}=2\)ঘ \(6\)
\(3x+My-3=0\) এর ঢাল \(=-\frac{3}{M}\)
শর্তমতে, \(2\times-\frac{3}{M}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{6}{M}=1\)
\(\therefore M=6\)
উত্তরঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000005