শিক্ষা বোর্ড যশোর - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(\cos^{-1}{\left\{-\sin{(\tan^{-1}{2}+\cot^{-1}{2})}\right\}}\) এর মান কত?
\(=\cos^{-1}{\left\{-\sin{\left(\tan^{-1}{2}+\tan^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{-\sin{\left(\tan^{-1}{\frac{2+\frac{1}{2}}{1-2\times\frac{1}{2}}}\right)}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{-\sin{\left(\tan^{-1}{\frac{2+\frac{1}{2}}{1-1}}\right)}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{-\sin{\left(\tan^{-1}{\frac{2+\frac{1}{2}}{0}}\right)}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{-\sin{\left(\tan^{-1}{\infty}\right)}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{-\sin{\frac{\pi}{2}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{-1\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\cos{\pi}\right\}}\)
\(=\pi\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-\frac{\pi}{2}\)
গ \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\frac{\pi}{2}\)
খ \(0\)
ঘ \(\pi\)
\(\cos^{-1}{\left\{-\sin{(\tan^{-1}{2}+\cot^{-1}{2})}\right\}}\)ঘ \(\pi\)
\(=\cos^{-1}{\left\{-\sin{\left(\tan^{-1}{2}+\tan^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{-\sin{\left(\tan^{-1}{\frac{2+\frac{1}{2}}{1-2\times\frac{1}{2}}}\right)}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{-\sin{\left(\tan^{-1}{\frac{2+\frac{1}{2}}{1-1}}\right)}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{-\sin{\left(\tan^{-1}{\frac{2+\frac{1}{2}}{0}}\right)}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{-\sin{\left(\tan^{-1}{\infty}\right)}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{-\sin{\frac{\pi}{2}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{-1\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\cos{\pi}\right\}}\)
\(=\pi\)
উত্তরঃ (ঘ)
২। \((x-1)^2=-y\) এর-
\(i.\) শীর্ষবিন্দু \((1, 0)\)
\(ii.\) উপকেন্দ্র \(\left(-\frac{1}{4}, 0\right)\)
\(iii.\) উপকেন্দ্র থেকে নিকটতম নিয়ামকের দূরত্ব \(=\frac{1}{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
শীর্ষবিন্দুতে \(x-1=0, \ y=0\)
\(\Rightarrow x=1, \ y=0\)
শীর্ষবিন্দু \((1, 0)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\((x-1)^2=-y\)
এখানে, \(4a=-1\)
\(\Rightarrow a=-\frac{1}{4}\)
উপকেন্দ্র \(\left(0, a\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, -\frac{1}{4}\right)\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\((x-1)^2=-y\)
এখানে, \(4a=-1\)
\(\Rightarrow a=-\frac{1}{4}\)
উপকেন্দ্র থেকে নিকটতম নিয়ামকের দূরত্ব \(=|2a|\)
\(=\left|2\times-\frac{1}{4}\right|\)
\(=\left|-\frac{1}{2}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) শীর্ষবিন্দু \((1, 0)\)
\(ii.\) উপকেন্দ্র \(\left(-\frac{1}{4}, 0\right)\)
\(iii.\) উপকেন্দ্র থেকে নিকটতম নিয়ামকের দূরত্ব \(=\frac{1}{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\((x-1)^2=-y\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
শীর্ষবিন্দুতে \(x-1=0, \ y=0\)
\(\Rightarrow x=1, \ y=0\)
শীর্ষবিন্দু \((1, 0)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\((x-1)^2=-y\)
এখানে, \(4a=-1\)
\(\Rightarrow a=-\frac{1}{4}\)
উপকেন্দ্র \(\left(0, a\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, -\frac{1}{4}\right)\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\((x-1)^2=-y\)
এখানে, \(4a=-1\)
\(\Rightarrow a=-\frac{1}{4}\)
উপকেন্দ্র থেকে নিকটতম নিয়ামকের দূরত্ব \(=|2a|\)
\(=\left|2\times-\frac{1}{4}\right|\)
\(=\left|-\frac{1}{2}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
উপরের উদ্দীপকের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
৩। প্রক্ষেপকটির বিচরণকাল কত?
ক \(5s\)
গ \(5\sqrt{3}s\)
গ \(5\sqrt{3}s\)
খ \(10s\)
ঘ \(10\sqrt{3}s\)
এখানে, \(u=98ms^{-1}, \ \alpha=30^{o}\)ঘ \(10\sqrt{3}s\)
বিচরণকাল \(=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times98\times\sin{30^{o}}}{9.8}\)
\(=\frac{2\times98\times\frac{1}{2}}{9.8}\)
\(=\frac{98}{9.8}\)
\(=10s\)
উত্তরঃ (খ)
৪। \(AB\) এর দৈর্ঘ্য কত?
\(=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{(98)^2\sin{(2\times30^{o})}}{9.8}\)
\(=\frac{98\times98\sin{60^{o}}}{9.8}\)
\(=10\times98\times\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=5\times98\times\sqrt{3}\)
\(=490\sqrt{3} m\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(132.5 m\)
গ \(490 m\)
গ \(490 m\)
খ \(240 m\)
ঘ \(490\sqrt{3} m\)
আনুভূমিক পাল্লা \(=AB\)ঘ \(490\sqrt{3} m\)
\(=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{(98)^2\sin{(2\times30^{o})}}{9.8}\)
\(=\frac{98\times98\sin{60^{o}}}{9.8}\)
\(=10\times98\times\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=5\times98\times\sqrt{3}\)
\(=490\sqrt{3} m\)
উত্তরঃ (ঘ)
৫। \(z=x+iy\) হলে, \(\sqrt{z-\bar{z}}\) এর মান কত?
প্রদত্ত রাশি \(=\sqrt{z-\bar{z}}\)
\(=\sqrt{x+iy-\overline{x+iy}}\)
\(=\sqrt{x+iy-(x-iy)}\)
\(=\sqrt{x+iy-x+iy}\)
\(=\sqrt{2iy}\)
\(=\sqrt{y}\sqrt{2i}\)
\(=\sqrt{y}\sqrt{1+2i-1}\)
\(=\sqrt{y}\sqrt{1^2+2.1.i+i^2}\)
\(=\sqrt{y}\sqrt{(1+i)^2}\)
\(=\sqrt{y}(1+i)\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\sqrt{y}(1+i)\)
গ \(\sqrt{x}(1+i)\)
গ \(\sqrt{x}(1+i)\)
খ \(\sqrt{y}(1-i)\)
ঘ \(\sqrt{x}(1-i)\)
দেওয়া আছে, \(z=x+iy\)ঘ \(\sqrt{x}(1-i)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sqrt{z-\bar{z}}\)
\(=\sqrt{x+iy-\overline{x+iy}}\)
\(=\sqrt{x+iy-(x-iy)}\)
\(=\sqrt{x+iy-x+iy}\)
\(=\sqrt{2iy}\)
\(=\sqrt{y}\sqrt{2i}\)
\(=\sqrt{y}\sqrt{1+2i-1}\)
\(=\sqrt{y}\sqrt{1^2+2.1.i+i^2}\)
\(=\sqrt{y}\sqrt{(1+i)^2}\)
\(=\sqrt{y}(1+i)\)
উত্তরঃ (ক)
৬।
\(u\) এর সাপেক্ষে \(v\) এর আপেক্ষিক বেগ-
\(u\) এর সাপেক্ষে \(v\) এর আপেক্ষিক বেগ \(=\sqrt{u^2+v^2-2uv\cos{\pi}}\)
\(=\sqrt{15^2+10^2-2.15.10\cos{\pi}}\)
\(=\sqrt{225+100-300\times-1}\)
\(=\sqrt{325+300}\)
\(=\sqrt{625}\)
\(=25\)
পূর্ব দিকে \(25 ms^{-1}\)
উত্তরঃ (ঘ)
\(u\) এর সাপেক্ষে \(v\) এর আপেক্ষিক বেগ-
ক পশ্চিম দিকে \(5ms^{-1}\)
গ পূর্ব দিকে \(5ms^{-1}\)
গ পূর্ব দিকে \(5ms^{-1}\)
খ পশ্চিম দিকে \(25ms^{-1}\)
ঘ পূর্ব দিকে \(25ms^{-1}\)
এখানে, \(\alpha=\pi\)ঘ পূর্ব দিকে \(25ms^{-1}\)
\(u\) এর সাপেক্ষে \(v\) এর আপেক্ষিক বেগ \(=\sqrt{u^2+v^2-2uv\cos{\pi}}\)
\(=\sqrt{15^2+10^2-2.15.10\cos{\pi}}\)
\(=\sqrt{225+100-300\times-1}\)
\(=\sqrt{325+300}\)
\(=\sqrt{625}\)
\(=25\)
পূর্ব দিকে \(25 ms^{-1}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৭। এককের জটিল ঘনমূলদ্বয় \(p\) ও \(q\) হলে, \(p^5+q^5=\) কত?
\(\Rightarrow p=\omega, \ q=\omega^2\)
\(\Rightarrow p^5+q^5=\omega^5+(\omega^2)^5\)
\(=\omega^5+\omega^{10}\)
\(=\omega^3.\omega^2+(\omega^{3})^3.\omega\)
\(=1.\omega^2+(1)^3.\omega\)
\(=\omega^2+\omega\)
\(=\omega^2+\omega+1-1\)
\(=0-1\)
\(=-1\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-1\)
গ \(\omega\)
গ \(\omega\)
খ \(1\)
ঘ \(\omega^2\)
দেওয়া আছে, \(p=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3}), \ q=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})\) ঘ \(\omega^2\)
\(\Rightarrow p=\omega, \ q=\omega^2\)
\(\Rightarrow p^5+q^5=\omega^5+(\omega^2)^5\)
\(=\omega^5+\omega^{10}\)
\(=\omega^3.\omega^2+(\omega^{3})^3.\omega\)
\(=1.\omega^2+(1)^3.\omega\)
\(=\omega^2+\omega\)
\(=\omega^2+\omega+1-1\)
\(=0-1\)
\(=-1\)
উত্তরঃ (ক)
৮। \(x^2-kx+9=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হলে, \(k\) এর মান কত?
\((-k)^2-4.1.9\lt{0}\) হবে।
\(\Rightarrow k^2-36\lt{0}\)
\(\Rightarrow k^2\lt{36}\)
\(\Rightarrow |k|^2\lt{36}\)
\(\Rightarrow |k|\lt{\pm6}\)
\(\Rightarrow -6\lt{k}\lt{6}\)
\(\therefore k\) এর মান \((-6, 6)\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\pm6\)
গ \((-6, 6)\)
গ \((-6, 6)\)
খ \(\{-6, 6\}\)
ঘ \((-\infty, -6)\cup{(6, \infty)}\)
\(x^2-kx+9=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হলে,ঘ \((-\infty, -6)\cup{(6, \infty)}\)
\((-k)^2-4.1.9\lt{0}\) হবে।
\(\Rightarrow k^2-36\lt{0}\)
\(\Rightarrow k^2\lt{36}\)
\(\Rightarrow |k|^2\lt{36}\)
\(\Rightarrow |k|\lt{\pm6}\)
\(\Rightarrow -6\lt{k}\lt{6}\)
\(\therefore k\) এর মান \((-6, 6)\)
উত্তরঃ (গ)
৯। \(\cos^{-1}{\frac{8}{11}}\) এর ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?
ভূমি \(=8,\) অতিভুজ \(=11\)
লম্ব \(=\sqrt{11^2-8^2}\)
\(=\sqrt{121-64}\)
\(=\sqrt{57}\)
\(\therefore \cos^{-1}{\frac{8}{11}}\) এর ক্ষেত্রে \(\sin^{-1}{\frac{\sqrt{57}}{11}}\) সঠিক।
উত্তরঃ (গ)
ক \(\sin^{-1}{\frac{11}{57}}\)
গ \(\sin^{-1}{\frac{\sqrt{57}}{11}}\)
গ \(\sin^{-1}{\frac{\sqrt{57}}{11}}\)
খ \(\tan^{-1}{\frac{8}{57}}\)
ঘ \(\tan^{-1}{\frac{\sqrt{57}}{11}}\)
\(\cos^{-1}{\frac{8}{11}}\) এর ক্ষেত্রে,ঘ \(\tan^{-1}{\frac{\sqrt{57}}{11}}\)
ভূমি \(=8,\) অতিভুজ \(=11\)
লম্ব \(=\sqrt{11^2-8^2}\)
\(=\sqrt{121-64}\)
\(=\sqrt{57}\)
\(\therefore \cos^{-1}{\frac{8}{11}}\) এর ক্ষেত্রে \(\sin^{-1}{\frac{\sqrt{57}}{11}}\) সঠিক।
উত্তরঃ (গ)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১০ ও ১১ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(P=5\sqrt{2} N\) এবং \(Q=10 N\) দুইটি অসমান্তরাল বল।
১০। লব্ধি বল \(P\) বলের উপর লম্ব হলে বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ কত?\(P=5\sqrt{2} N\) এবং \(Q=10 N\) দুইটি অসমান্তরাল বল।
ক \(45^{o}\)
গ \(120^{o}\)
গ \(120^{o}\)
খ \(60^{o}\)
ঘ \(135^{o}\)
বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ \(\alpha\) এবং লব্ধি বল \(P\) বলের উপর লম্ব হলে,ঘ \(135^{o}\)
\(\tan{90^{o}}=\frac{Q\sin{\alpha}}{P+Q\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{10\sin{\alpha}}{5\sqrt{2}+10\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow 5\sqrt{2}+10\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 10\cos{\alpha}=-5\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{5\sqrt{2}}{10}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\cos{45^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{(180^{o}-45^{o})}\)
\(\Rightarrow \alpha=180^{o}-45^{o}\)
\(\therefore \alpha=135^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১১। \(R\) বল \(P\) ও \(Q\) বলের সাথে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করলে এবং \(P\) ও \(Q\) বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(45^{o}\) হলে, \(R\) এর মান কত?
তাহলে, \(R=\sqrt{(5\sqrt{2})^2+10^2+2.5\sqrt{2}.10\cos{45^{o}}}\)
\(=\sqrt{50+100+100\sqrt{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(=\sqrt{150+100}\)
\(=\sqrt{250}\)
\(=5\sqrt{10} N\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(5\sqrt{10} N\)
গ \(5\sqrt{2} N\)
গ \(5\sqrt{2} N\)
খ \(250 N\)
ঘ \(50 N\)
শর্তমতে, \(P\) ও \(Q\) বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ও লব্ধি যথাক্রমে \(45^{o}\) ও \(R\)ঘ \(50 N\)
তাহলে, \(R=\sqrt{(5\sqrt{2})^2+10^2+2.5\sqrt{2}.10\cos{45^{o}}}\)
\(=\sqrt{50+100+100\sqrt{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(=\sqrt{150+100}\)
\(=\sqrt{250}\)
\(=5\sqrt{10} N\)
উত্তরঃ (ক)
১২। একটি বস্তু মুক্তভাবে \(4\) সেকেন্ডে পড়ল। এটি শেষ \(1\) সেকেন্ডে কত ফুট পড়েছিল?
শেষ \(1\) সেকেন্ডের অতিক্রান্ত দূরত্ব \(S_{t}=\frac{1}{2}g(2t-1)\)
\(\Rightarrow S_{4}=\frac{1}{2}\times9.8(2\times4-1)\)
\(=4.9(8-1)\)
\(=4.9(7)\)
\(=34.3\) মিটার
\(=34.3\times3.28\)
\(=112.504\) ফুট।
উত্তরঃ (খ)
ক \(16\)
গ \(144\)
গ \(144\)
খ \(112\)
ঘ \(256\)
দেওয়া আছে, আদিবেগ \(u=0,\) সময় \(t=4\) সেকেন্ডে, ত্বরণ \(g=9.8 ms^{-2}\)ঘ \(256\)
শেষ \(1\) সেকেন্ডের অতিক্রান্ত দূরত্ব \(S_{t}=\frac{1}{2}g(2t-1)\)
\(\Rightarrow S_{4}=\frac{1}{2}\times9.8(2\times4-1)\)
\(=4.9(8-1)\)
\(=4.9(7)\)
\(=34.3\) মিটার
\(=34.3\times3.28\)
\(=112.504\) ফুট।
উত্তরঃ (খ)
১৩। \(2(3\cos{\theta}-4\cos^{3}{\theta})=-1\) এর সমাধান নিচের কোনটি?
\(\Rightarrow 3\cos{\theta}-4\cos^{3}{\theta}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 4\cos^{3}{\theta}-3\cos{\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{3\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow 3\theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{2n\pi}{3}\pm\frac{\pi}{9}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
গ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{6}\)
গ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{6}\)
খ \(\frac{2n\pi}{3}\pm\frac{\pi}{9}\)
ঘ \(\frac{2n\pi}{3}\pm\frac{\pi}{18}\)
\(2(3\cos{\theta}-4\cos^{3}{\theta})=-1\)ঘ \(\frac{2n\pi}{3}\pm\frac{\pi}{18}\)
\(\Rightarrow 3\cos{\theta}-4\cos^{3}{\theta}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 4\cos^{3}{\theta}-3\cos{\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{3\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow 3\theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{2n\pi}{3}\pm\frac{\pi}{9}\)
উত্তরঃ (খ)
১৪। \(\sqrt[3]{2^3}\) এর মূলত্রয়ের যোগফল কত?
\(\Rightarrow x^3=2^3\)
\(\Rightarrow x^3-2^3=0\)
\(\Rightarrow x^3-8=0\)
\(\therefore x^3+0.x^2+0.x-8=0\)
মূলত্রয়ের যোগফল \(=-\frac{0}{1}\)
\(=0\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(0\)
গ \(2\omega\)
গ \(2\omega\)
খ \(2\)
ঘ \(2\omega^2\)
ধরি, \(x=\sqrt[3]{2^3}\)ঘ \(2\omega^2\)
\(\Rightarrow x^3=2^3\)
\(\Rightarrow x^3-2^3=0\)
\(\Rightarrow x^3-8=0\)
\(\therefore x^3+0.x^2+0.x-8=0\)
মূলত্রয়ের যোগফল \(=-\frac{0}{1}\)
\(=0\)
উত্তরঃ (ক)
১৫। \(z=x+iy\) হলে, \(|z+1|=|z-2|\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ কোনটি?
প্রদত্ত সমীকরণ, \(|z+1|=|z-2|\)
\(\Rightarrow |x+iy+1|=|x+iy-2|\)
\(\Rightarrow |(x+1)+iy|=|(x-2)+iy|\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+y^2}=\sqrt{(x-2)^2+y^2}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+y^2=(x-2)^2+y^2\)
\(\Rightarrow (x+1)^2=(x-2)^2\)
\(\Rightarrow (x+1)^2-(x-2)^2=0\)
\(\Rightarrow (x+1+x-2)(x+1-x+2)=0\)
\(\Rightarrow (2x-1)(3)=0\)
\(\therefore 2x-1=0\) যা একটি সরলরেখা নির্দেশ করে।
উত্তরঃ (ক)
ক সরলরেখা
গ পরাবৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
খ বৃত্ত
ঘ উপবৃত্ত
দেওয়া আছে, \(z=x+iy\)ঘ উপবৃত্ত
প্রদত্ত সমীকরণ, \(|z+1|=|z-2|\)
\(\Rightarrow |x+iy+1|=|x+iy-2|\)
\(\Rightarrow |(x+1)+iy|=|(x-2)+iy|\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+y^2}=\sqrt{(x-2)^2+y^2}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+y^2=(x-2)^2+y^2\)
\(\Rightarrow (x+1)^2=(x-2)^2\)
\(\Rightarrow (x+1)^2-(x-2)^2=0\)
\(\Rightarrow (x+1+x-2)(x+1-x+2)=0\)
\(\Rightarrow (2x-1)(3)=0\)
\(\therefore 2x-1=0\) যা একটি সরলরেখা নির্দেশ করে।
উত্তরঃ (ক)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১৬ ও ১৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^3-5x^2+11x-7=0\) একটি ত্রিঘাত সমীকরণ।
১৬। সমীকরণটির একটি মূল \(2+i\sqrt{3}\) হলে, উহার বাস্তব মূলটি কত?\(x^3-5x^2+11x-7=0\) একটি ত্রিঘাত সমীকরণ।
ক \(-15\)
গ \(-1\)
গ \(-1\)
খ \(-9\)
ঘ \(1\)
সমীকরণটির একটি মূল \(2+i\sqrt{3}\) হলে,ঘ \(1\)
অপর একটি মূল হবে \(2-i\sqrt{3}\)
ধরি বাস্তব মূলটি \(p\)
তাহলে মূলগুলির যোগফল, \(p+2+i\sqrt{3}+2-i\sqrt{3}=-\frac{-5}{1}\)
\(\Rightarrow p+4=5\)
\(\Rightarrow p=5-4\)
\(\therefore p=1\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৭। সমীকরণটির মূল \(a, \ b, \ c\) এবং \(\sum{ab}=kabc\) হলে, \(k\) এর মান কত?
তাহলে, \(ab+bc+ac=\frac{11}{1}, \ abc=-\frac{-7}{1}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac=11, \ abc=7\)
আবার, \(\sum{ab}=kabc\)
\(\Rightarrow kabc=\sum{ab}\)
\(\Rightarrow kabc=ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow k=\frac{ab+bc+ac}{abc}\)
\(\therefore k=\frac{11}{7}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-\frac{5}{7}\)
গ \(\frac{5}{7}\)
গ \(\frac{5}{7}\)
খ \(-\frac{11}{7}\)
ঘ \(\frac{11}{7}\)
\(x^3-5x^2+11x-7=0\) সমীকরণের মূলগুলো \(a, \ b, \ -b\)ঘ \(\frac{11}{7}\)
তাহলে, \(ab+bc+ac=\frac{11}{1}, \ abc=-\frac{-7}{1}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac=11, \ abc=7\)
আবার, \(\sum{ab}=kabc\)
\(\Rightarrow kabc=\sum{ab}\)
\(\Rightarrow kabc=ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow k=\frac{ab+bc+ac}{abc}\)
\(\therefore k=\frac{11}{7}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৮।
\(A\) ও \(B\) বলদ্বয়ের লব্ধি \(R\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত হলে, \(PQ:QR\) এর মান কত?
তাহলে, \(PR.4=QR.20\)
\(\Rightarrow PR=QR.5\)
\(\Rightarrow PQ+QR=5QR\)
\(\Rightarrow PQ=5QR-QR\)
\(\Rightarrow PQ=4QR\)
\(\Rightarrow \frac{PQ}{QR}=4\)
\(\therefore PQ:QR=4:1\)
উত্তরঃ (ক)
\(A\) ও \(B\) বলদ্বয়ের লব্ধি \(R\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত হলে, \(PQ:QR\) এর মান কত?
ক \(4:1\)
গ \(5:1\)
গ \(5:1\)
খ \(1:4\)
ঘ \(1:5\)
\(A\) ও \(B\) বলদ্বয়ের লব্ধি \(R\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত।ঘ \(1:5\)
তাহলে, \(PR.4=QR.20\)
\(\Rightarrow PR=QR.5\)
\(\Rightarrow PQ+QR=5QR\)
\(\Rightarrow PQ=5QR-QR\)
\(\Rightarrow PQ=4QR\)
\(\Rightarrow \frac{PQ}{QR}=4\)
\(\therefore PQ:QR=4:1\)
উত্তরঃ (ক)
১৯। \(7 N\) ও \(11 N\) বল দুইটির লব্ধি বল নিচের কোনটি হতে পারে না?
\(\Rightarrow 7^2+11^2+2.7.11\cos{\alpha}=20^2\)
\(\Rightarrow 49+121+154\cos{\alpha}=400\)
\(\Rightarrow 170+154\cos{\alpha}=400\)
\(\Rightarrow 154\cos{\alpha}=400-170\)
\(\Rightarrow 154\cos{\alpha}=230\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{230}{154}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{115}{77}\gt{1}\) যা অসম্ভব।
কারণ \(-1\le{\cos{\alpha}}\le{1}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(4 N\)
গ \(18 N\)
গ \(18 N\)
খ \(7 N\)
ঘ \(20 N\)
\(7 N\) ও \(11 N\) বল দুইটির লব্ধি \(20 N\) এবং অন্তর্গত কোণ \(\alpha\) হলে,ঘ \(20 N\)
\(\Rightarrow 7^2+11^2+2.7.11\cos{\alpha}=20^2\)
\(\Rightarrow 49+121+154\cos{\alpha}=400\)
\(\Rightarrow 170+154\cos{\alpha}=400\)
\(\Rightarrow 154\cos{\alpha}=400-170\)
\(\Rightarrow 154\cos{\alpha}=230\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{230}{154}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{115}{77}\gt{1}\) যা অসম্ভব।
কারণ \(-1\le{\cos{\alpha}}\le{1}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২০। \(x^2+4x+5=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে, \(\alpha+2\) এবং \(\beta+2\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?
\(\alpha+\beta=-\frac{4}{1}, \ \alpha\beta=\frac{5}{1}\)
\(\therefore \alpha+\beta=-4, \ \alpha\beta=5\)
\(\alpha+2\) এবং \(\beta+2\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,
\(x^2-(\alpha+2+\beta+2)x+(\alpha+2)(\beta+2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-(\alpha+\beta+4)x+\{\alpha\beta+2(\beta+\alpha)+4\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-(-4+4)x+\{5+2(-4)+4\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-(0)x+\{9-8\}=0\)
\(\therefore x^2+1=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(x^2-1=0\)
গ \(x^2+1=0\)
গ \(x^2+1=0\)
খ \(x^2-8x+1=0\)
ঘ \(x^2+8x+1=0\)
\(x^2+4x+5=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে,ঘ \(x^2+8x+1=0\)
\(\alpha+\beta=-\frac{4}{1}, \ \alpha\beta=\frac{5}{1}\)
\(\therefore \alpha+\beta=-4, \ \alpha\beta=5\)
\(\alpha+2\) এবং \(\beta+2\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,
\(x^2-(\alpha+2+\beta+2)x+(\alpha+2)(\beta+2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-(\alpha+\beta+4)x+\{\alpha\beta+2(\beta+\alpha)+4\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-(-4+4)x+\{5+2(-4)+4\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-(0)x+\{9-8\}=0\)
\(\therefore x^2+1=0\)
উত্তরঃ (গ)
২১। \(4x^2-y^2+16=0\) অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাংক কোনটি?
\(4(2\tan{\theta})^2-(4\sec{\theta})^2+16=0\)
\(\Rightarrow 16\tan^2{\theta}-16\sec^2{\theta}+16=0\)
\(\Rightarrow -16(\sec^2{\theta}-\tan^2{\theta})+16=0\)
\(\Rightarrow -16(1)+16=0\)
\(\Rightarrow -16+16=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
\(\therefore\) পরামিতিক স্থানাংক \((2\tan{\theta}, 4\sec{\theta})\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \((4\sec{\theta}, 2\tan{\theta})\)
গ \((4\tan{\theta}, 2\sec{\theta})\)
গ \((4\tan{\theta}, 2\sec{\theta})\)
খ \((2\sec{\theta}, 4\tan{\theta})\)
ঘ \((2\tan{\theta}, 4\sec{\theta})\)
\((2\tan{\theta}, 4\sec{\theta})\) বিন্দুটি \(4x^2-y^2+16=0\) অধিবৃত্তে বসিয়ে,ঘ \((2\tan{\theta}, 4\sec{\theta})\)
\(4(2\tan{\theta})^2-(4\sec{\theta})^2+16=0\)
\(\Rightarrow 16\tan^2{\theta}-16\sec^2{\theta}+16=0\)
\(\Rightarrow -16(\sec^2{\theta}-\tan^2{\theta})+16=0\)
\(\Rightarrow -16(1)+16=0\)
\(\Rightarrow -16+16=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
\(\therefore\) পরামিতিক স্থানাংক \((2\tan{\theta}, 4\sec{\theta})\)
উত্তরঃ (ঘ)
২২। \(z=i-1\) হলে-
\(i.\) মডুলাস \(=\sqrt{2}\)
\(ii.\) আর্গুমেন্ট \(=\frac{\pi}{4}\)
\(iii.\) \(z\bar{z}\) একটি বাস্তব সংখ্যা
নিচের কোনটি সঠিক?
মডুলাস \(|z|=|i-1|\)
\(=\sqrt{(-1)^2+1^2}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
আর্গুমেন্ট \(arg(z)=arg(i-1)\)
\(=\tan^{-1}{\frac{1}{-1}}\)
\(=\pi-\tan^{-1}{1}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi-\pi}{4}\)
\(=\frac{3\pi}{4}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(z\bar{z}\)
\(=(i-1)\overline{(i-1)}\)
\(=(i-1)(-i-1)\)
\(=-(i-1)(i+1)\)
\(=-\{i^2-(-1)^2\}\)
\(=-\{-1-1\}\)
\(=-\{-2\}\)
\(=2\) একটি বাস্তব সংখ্যা
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) মডুলাস \(=\sqrt{2}\)
\(ii.\) আর্গুমেন্ট \(=\frac{\pi}{4}\)
\(iii.\) \(z\bar{z}\) একটি বাস্তব সংখ্যা
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(z=i-1\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
মডুলাস \(|z|=|i-1|\)
\(=\sqrt{(-1)^2+1^2}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
আর্গুমেন্ট \(arg(z)=arg(i-1)\)
\(=\tan^{-1}{\frac{1}{-1}}\)
\(=\pi-\tan^{-1}{1}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi-\pi}{4}\)
\(=\frac{3\pi}{4}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(z\bar{z}\)
\(=(i-1)\overline{(i-1)}\)
\(=(i-1)(-i-1)\)
\(=-(i-1)(i+1)\)
\(=-\{i^2-(-1)^2\}\)
\(=-\{-1-1\}\)
\(=-\{-2\}\)
\(=2\) একটি বাস্তব সংখ্যা
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
২৩। \(\sin{x}+\operatorname{cosec{x}}=-2\) এবং \(n\in{\mathbb{Z}}\) হলে, \(x\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \sin{x}+\frac{1}{\sin{x}}=-2\)
\(\Rightarrow \frac{\sin^2{x}+1}{\sin{x}}=-2\)
\(\Rightarrow \sin^2{x}+1=-2\sin{x}\)
\(\Rightarrow \sin^2{x}+2\sin{x}+1=0\)
\(\Rightarrow (\sin{x}+1)^2=0\)
\(\Rightarrow \sin{x}+1=0\)
\(\Rightarrow \sin{x}=-1\)
\(\therefore x=2n\pi-\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2n\pi+\frac{\pi}{2}\)
গ \(2n\pi\)
গ \(2n\pi\)
খ \(2n\pi-\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(2n\pi-\pi\)
\(\sin{x}+\operatorname{cosec{x}}=-2\)ঘ \(2n\pi-\pi\)
\(\Rightarrow \sin{x}+\frac{1}{\sin{x}}=-2\)
\(\Rightarrow \frac{\sin^2{x}+1}{\sin{x}}=-2\)
\(\Rightarrow \sin^2{x}+1=-2\sin{x}\)
\(\Rightarrow \sin^2{x}+2\sin{x}+1=0\)
\(\Rightarrow (\sin{x}+1)^2=0\)
\(\Rightarrow \sin{x}+1=0\)
\(\Rightarrow \sin{x}=-1\)
\(\therefore x=2n\pi-\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ২৪ ও ২৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1\) একটি কণিকের সমীকরণ।
২৪। বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য কত?\(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1\) একটি কণিকের সমীকরণ।
ক \(2\sqrt{2}\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(2\sqrt{3}\)
ঘ \(6\)
\(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1\) ঘ \(6\)
এখানে, \(a^2=2, \ b^2=3\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{2}, \ b=\sqrt{3}; \ a\lt{b}\)
বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
\(=|2\times\sqrt{3}|\)
\(=2\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (খ)
২৫। উপকেন্দ্রের স্থানাংক কত?
এখানে, \(a^2=2, \ b^2=3\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{2}, \ b=\sqrt{3}; \ a\lt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{2}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{3-2}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(0, \pm{be}\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, \pm{\sqrt{3}\times\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)\)
\(\therefore \left(0, \pm{1}\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, 0\right)\)
গ \(\left(\pm1, 0\right)\)
গ \(\left(\pm1, 0\right)\)
খ \(\left(0, \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\)
ঘ \(\left(0, \pm1\right)\)
\(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1\) ঘ \(\left(0, \pm1\right)\)
এখানে, \(a^2=2, \ b^2=3\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{2}, \ b=\sqrt{3}; \ a\lt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{2}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{3-2}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(0, \pm{be}\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, \pm{\sqrt{3}\times\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)\)
\(\therefore \left(0, \pm{1}\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000005