শিক্ষা বোর্ড কুমিল্লা - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(i^{5}+i^{6}+i^{7}+i^{8}+i^{9}\) এর মান কত?
\(=(i^{2})^2.i+(i^{2})^3+(i^{2})^3.i+(i^{2})^4+(i^{2})^4.i\)
\(=(-1)^2.i+(-1)^3+(-1)^3.i+(-1)^4+(-1)^4.i\)
\(=1.i-1-1.i+1+1.i\)
\(=i-1-i+1+i\)
\(=i\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-1\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(-i\)
ঘ \(i\)
\(i^{5}+i^{6}+i^{7}+i^{8}+i^{9}\)ঘ \(i\)
\(=(i^{2})^2.i+(i^{2})^3+(i^{2})^3.i+(i^{2})^4+(i^{2})^4.i\)
\(=(-1)^2.i+(-1)^3+(-1)^3.i+(-1)^4+(-1)^4.i\)
\(=1.i-1-1.i+1+1.i\)
\(=i-1-i+1+i\)
\(=i\)
উত্তরঃ (ঘ)
২। \(x+y+c=0\) সরলরেখাটি \(y^2=x\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে \(c\) এর মান কত?
এখানে, \(m=-1, \ c\Rightarrow -c\)
\(y^2=x\)
এখানে, \(4a=1\)
\(\therefore a=\frac{1}{4}\)
\(x+y+c=0\) সরলরেখাটি \(y^2=x\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ
\(-c=\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow -c=\frac{\frac{1}{4}}{-1}\)
\(\Rightarrow -c=-\frac{1}{4}\)
\(\therefore c=\frac{1}{4}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-4\)
গ \(\frac{1}{4}\)
গ \(\frac{1}{4}\)
খ \(-\frac{1}{4}\)
ঘ \(4\)
\(x+y+c=0 \Rightarrow y=-x-c\)ঘ \(4\)
এখানে, \(m=-1, \ c\Rightarrow -c\)
\(y^2=x\)
এখানে, \(4a=1\)
\(\therefore a=\frac{1}{4}\)
\(x+y+c=0\) সরলরেখাটি \(y^2=x\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ
\(-c=\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow -c=\frac{\frac{1}{4}}{-1}\)
\(\Rightarrow -c=-\frac{1}{4}\)
\(\therefore c=\frac{1}{4}\)
উত্তরঃ (গ)
৩। \(z=2-2i\) হলে-
\(i.\) \(Re(z)+Im(z)=0\)
\(ii.\) \(z\bar{z}=8\)
\(iii.\) \(z\) এর পোলার আকার \(2\sqrt{2}\left(\cos{\frac{\pi}{4}}-i\sin{\frac{\pi}{4}}\right)\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(=2+(-2)\)
\(=2-2\)
\(=0\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(z\bar{z}\)
\(=(2-2i)\overline{(2-2i)}\)
\(=(2-2i)(2+2i)\)
\(=2^2-(2i)^2\)
\(=4-4i^2\)
\(=4+4;\) \(\because i^2=-1\)
\(=8\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(z=2-2i\)
এখানে, \(x=2, \ y=-2\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{2^2+(-2)^2}\)
\(=\sqrt{4+4}\)
\(=\sqrt{8}\)
\(=2\sqrt{2}\)
\(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{-2}{2}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{(-1)}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}}\)
\(=-\frac{\pi}{4}\)
\(z\) এর পোলার আকার \(=2\sqrt{2}\left\{\cos{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}\right\}\)
\(=2\sqrt{2}\left(\cos{\frac{\pi}{4}}-i\sin{\frac{\pi}{4}}\right)\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \(Re(z)+Im(z)=0\)
\(ii.\) \(z\bar{z}=8\)
\(iii.\) \(z\) এর পোলার আকার \(2\sqrt{2}\left(\cos{\frac{\pi}{4}}-i\sin{\frac{\pi}{4}}\right)\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(Re(z)+Im(z)=0\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(=2+(-2)\)
\(=2-2\)
\(=0\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(z\bar{z}\)
\(=(2-2i)\overline{(2-2i)}\)
\(=(2-2i)(2+2i)\)
\(=2^2-(2i)^2\)
\(=4-4i^2\)
\(=4+4;\) \(\because i^2=-1\)
\(=8\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(z=2-2i\)
এখানে, \(x=2, \ y=-2\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{2^2+(-2)^2}\)
\(=\sqrt{4+4}\)
\(=\sqrt{8}\)
\(=2\sqrt{2}\)
\(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{-2}{2}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{(-1)}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}}\)
\(=-\frac{\pi}{4}\)
\(z\) এর পোলার আকার \(=2\sqrt{2}\left\{\cos{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}\right\}\)
\(=2\sqrt{2}\left(\cos{\frac{\pi}{4}}-i\sin{\frac{\pi}{4}}\right)\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
৪। \(ax^2+bx+c=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূলই অশূন্য হওয়ার শর্ত নিচের কোনটি?
\(c\ne{0}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(b\ne{0}\)
গ \(c=0\)
গ \(c=0\)
খ \(c\ne{0}\)
ঘ \(b=c=0\)
\(ax^2+bx+c=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূলই অশূন্য হওয়ার শর্তঃঘ \(b=c=0\)
\(c\ne{0}\)
উত্তরঃ (খ)
৫। \(2x^2-5x+3=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে, \(\sum{\alpha^3}\) এর মান কত?
তাহলে, \(\alpha+\beta=-\frac{-5}{2}, \ \alpha\beta=\frac{3}{2}\)
\(\therefore \alpha+\beta=\frac{5}{2}, \ \alpha\beta=\frac{3}{2}\)
এখন, \(\sum{\alpha^3}\)
\(=\alpha^3+\beta^3\)
\(=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\)
\(=\left(\frac{5}{2}\right)^3-3\times\frac{3}{2}\times\frac{5}{2}\)
\(=\frac{125}{8}-\frac{45}{4}\)
\(=\frac{125-90}{8}\)
\(=\frac{35}{8}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{8}{35}\)
গ \(20\)
গ \(20\)
খ \(\frac{35}{8}\)
ঘ \(\frac{215}{8}\)
দেওয়া আছে, \(2x^2-5x+3=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\)ঘ \(\frac{215}{8}\)
তাহলে, \(\alpha+\beta=-\frac{-5}{2}, \ \alpha\beta=\frac{3}{2}\)
\(\therefore \alpha+\beta=\frac{5}{2}, \ \alpha\beta=\frac{3}{2}\)
এখন, \(\sum{\alpha^3}\)
\(=\alpha^3+\beta^3\)
\(=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\)
\(=\left(\frac{5}{2}\right)^3-3\times\frac{3}{2}\times\frac{5}{2}\)
\(=\frac{125}{8}-\frac{45}{4}\)
\(=\frac{125-90}{8}\)
\(=\frac{35}{8}\)
উত্তরঃ (খ)
৬। \(2x^2-x+k=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হলে, \(k\) এর মান কত?
এখানে, \(a=2, \ b=-1, \ c=k\)
শর্তমতে, \(D=b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow (-1)^2-4.2.k=0\)
\(\Rightarrow 1-8k=0\)
\(\Rightarrow -8k=-1\)
\(\therefore k=\frac{1}{8}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-\frac{1}{4}\)
গ \(\frac{1}{8}\)
গ \(\frac{1}{8}\)
খ \(-\frac{1}{8}\)
ঘ \(\frac{1}{4}\)
\(2x^2-x+k=0\)ঘ \(\frac{1}{4}\)
এখানে, \(a=2, \ b=-1, \ c=k\)
শর্তমতে, \(D=b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow (-1)^2-4.2.k=0\)
\(\Rightarrow 1-8k=0\)
\(\Rightarrow -8k=-1\)
\(\therefore k=\frac{1}{8}\)
উত্তরঃ (গ)
৭। \(\cos^2{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)}\) এর মান কত?
\(=\cos^2{\left(\cos^{-1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}}}\right)}\)
\(=\cos^2{\left(\cos^{-1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2}}}\right)}\)
\(=\left\{\cos{\left(\cos^{-1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\right)}\right\}^2\)
\(=\left\{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right\}^2\)
\(=\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{2}{3}\)
গ \(\frac{4}{3}\)
গ \(\frac{4}{3}\)
খ \(\frac{3}{4}\)
ঘ \(\frac{3}{2}\)
\(\cos^2{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)}\)ঘ \(\frac{3}{2}\)
\(=\cos^2{\left(\cos^{-1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}}}\right)}\)
\(=\cos^2{\left(\cos^{-1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2}}}\right)}\)
\(=\left\{\cos{\left(\cos^{-1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\right)}\right\}^2\)
\(=\left\{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right\}^2\)
\(=\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ (ক)
৮। স্থিরাবস্থা হতে একটি বস্তু \(3 m s^{-2}\) সমত্বরণে যাত্রা করলে, \(10 s\) এ কত মিটার দূরত্ব অতিক্রম করবে?
\(t s\) এ অতিক্রান্ত দূরত্ব \(S=ut+\frac{1}{2}ft^2\)
\(10 s\) এ অতিক্রান্ত দূরত্ব \(=0.10+\frac{1}{2}\times3\times10^2\)
\(=0+\frac{3}{2}\times100\)
\(=3\times50\)
\(=150\) মিটার।
উত্তরঃ (গ)
ক \(30\)
গ \(150\)
গ \(150\)
খ \(105\)
ঘ \(300\)
এখানে, \(u=0, \ f=3 m s^{-2}, t=10 s\) ঘ \(300\)
\(t s\) এ অতিক্রান্ত দূরত্ব \(S=ut+\frac{1}{2}ft^2\)
\(10 s\) এ অতিক্রান্ত দূরত্ব \(=0.10+\frac{1}{2}\times3\times10^2\)
\(=0+\frac{3}{2}\times100\)
\(=3\times50\)
\(=150\) মিটার।
উত্তরঃ (গ)
৯। \(3x^2+4y^2=12\) উপবৃত্তের-
\(i.\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\)
\(ii.\) উপকেন্দ্র \((\pm1, 0)\)
\(iii.\) নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=\pm\sqrt{3}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{12}+\frac{4y^2}{12}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
এখানে, \(a^2=4, \ b^2=3\)
\(\Rightarrow a=2, \ b=\sqrt{3}; \ a\gt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
উপকেন্দ্র \((\pm{ae}, 0)\)
\(\equiv \left(\pm{2\times\frac{1}{2}}, 0\right)\)
\(\equiv \left(\pm{1}, 0\right)\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=\pm\frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{2}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm4\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\)
\(ii.\) উপকেন্দ্র \((\pm1, 0)\)
\(iii.\) নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=\pm\sqrt{3}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(3x^2+4y^2=12\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{12}+\frac{4y^2}{12}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
এখানে, \(a^2=4, \ b^2=3\)
\(\Rightarrow a=2, \ b=\sqrt{3}; \ a\gt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
উপকেন্দ্র \((\pm{ae}, 0)\)
\(\equiv \left(\pm{2\times\frac{1}{2}}, 0\right)\)
\(\equiv \left(\pm{1}, 0\right)\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=\pm\frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{2}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm4\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
১০। \(x^2=16y\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত \(P\) বিন্দুর ভুজ \(16\) হলে, \(P\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব কত?
এখানে, \(4a=16\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(P\) বিন্দুর ভুজ \(16\)
\(\Rightarrow 16^2=16y\)
\(\Rightarrow 16=y\)
\(\Rightarrow y=16\)
\(\therefore P(16, 16)\)
\((x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|x|\)
\(P(16, 16)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=4+|16|\)
\(=4+16\)
\(=20\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(12\)
গ \(24\)
গ \(24\)
খ \(20\)
ঘ \(36\)
\(x^2=16y\)ঘ \(36\)
এখানে, \(4a=16\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(P\) বিন্দুর ভুজ \(16\)
\(\Rightarrow 16^2=16y\)
\(\Rightarrow 16=y\)
\(\Rightarrow y=16\)
\(\therefore P(16, 16)\)
\((x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|x|\)
\(P(16, 16)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=4+|16|\)
\(=4+16\)
\(=20\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১১ ও ১২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(4y^2-5x^2=20\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
১১। অধিবৃত্তটির অসীমতট রেখার সমীকরণ কোনটি?\(4y^2-5x^2=20\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
ক \(y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x\)
গ \(x=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}y\)
গ \(x=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}y\)
খ \(y=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}x\)
ঘ \(x=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}y\)
\(4y^2-5x^2=20\)ঘ \(x=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}y\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{20}-\frac{5x^2}{20}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=4, \ b^2=5\)
\(\Rightarrow a=2, \ b=\sqrt{5}\)
অসীমতট রেখার সমীকরণ \(y=\pm\frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x\)
উত্তরঃ (ক)
১২। অধিবৃত্তটির নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত একক?
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{20}-\frac{5x^2}{20}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=4, \ b^2=5\)
\(\Rightarrow a=2, \ b=\sqrt{5}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{5+4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{5}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\left|\frac{2b}{e}\right|\)
\(=\left|\frac{2\sqrt{5}}{\frac{3}{\sqrt{5}}}\right|\)
\(=2\sqrt{5}\times\frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(=\frac{10}{3}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{4\sqrt{5}}{3}\)
গ \(\frac{12}{\sqrt{5}}\)
গ \(\frac{12}{\sqrt{5}}\)
খ \(\frac{10}{3}\)
ঘ \(6\)
\(4y^2-5x^2=20\)ঘ \(6\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{20}-\frac{5x^2}{20}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=4, \ b^2=5\)
\(\Rightarrow a=2, \ b=\sqrt{5}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{5+4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{5}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\left|\frac{2b}{e}\right|\)
\(=\left|\frac{2\sqrt{5}}{\frac{3}{\sqrt{5}}}\right|\)
\(=2\sqrt{5}\times\frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(=\frac{10}{3}\)
উত্তরঃ (খ)
১৩। \(\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\) এর মুখ্য আর্গুমেন্ট কত?
\(=\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}i}{2}\)
\(=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\)
এখানে, \(x=-\frac{1}{2}, \ y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(Arg(z)=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\sqrt{3}\right)}-\pi\)
\(=\tan^{-1}{\left(\tan{\frac{\pi}{3}}\right)}-\pi\)
\(=\frac{\pi}{3}-\pi\)
\(=\frac{\pi-3\pi}{3}\)
\(=-\frac{2\pi}{3}\) যা \(-\pi\) এবং \(\pi\) সীমার মধ্যে অবস্থিত।
ইহাই মুখ্য আর্গুমেন্ট।
উত্তরঃ (ক)
ক \(-\frac{2\pi}{3}\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
খ \(-\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(\frac{2\pi}{3}\)
ধরি, \(z=\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)ঘ \(\frac{2\pi}{3}\)
\(=\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}i}{2}\)
\(=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\)
এখানে, \(x=-\frac{1}{2}, \ y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(Arg(z)=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\sqrt{3}\right)}-\pi\)
\(=\tan^{-1}{\left(\tan{\frac{\pi}{3}}\right)}-\pi\)
\(=\frac{\pi}{3}-\pi\)
\(=\frac{\pi-3\pi}{3}\)
\(=-\frac{2\pi}{3}\) যা \(-\pi\) এবং \(\pi\) সীমার মধ্যে অবস্থিত।
ইহাই মুখ্য আর্গুমেন্ট।
উত্তরঃ (ক)
১৪। পরস্পর \(60^{o}\) কোণে ক্রিয়াশীল দুইটি বলের বৃহত্তম লব্ধি \(10 \ N\) এবং ক্ষুদ্রতম লব্ধি \(4 \ N\) হলে, তাদের লব্ধির মান কত?
শর্তমতে, \(P+Q=10 .....(1)\)
এবং \(P-Q=4 .....(2)\)
\((1)+(2)\) এর সাহায্যে,
\(P+Q+P-Q=10+4\)
\(\Rightarrow 2P=14\)
\(\therefore P=7\)
\((1)\) হতে,
\(Q=10-P=10-7=3\)
লব্ধি \(=\sqrt{7^2+3^2+2.7.3\cos{60^{o}}}\)
\(=\sqrt{49+9+42\times\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{58+21}\)
\(=\sqrt{79}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\sqrt{37} \ N\)
গ \(\sqrt{79} \ N\)
গ \(\sqrt{79} \ N\)
খ \(2\sqrt{19} \ N\)
ঘ \(2\sqrt{39} \ N\)
ধরি, বলদ্বয়ের মান \(P\) ও \(Q\)ঘ \(2\sqrt{39} \ N\)
শর্তমতে, \(P+Q=10 .....(1)\)
এবং \(P-Q=4 .....(2)\)
\((1)+(2)\) এর সাহায্যে,
\(P+Q+P-Q=10+4\)
\(\Rightarrow 2P=14\)
\(\therefore P=7\)
\((1)\) হতে,
\(Q=10-P=10-7=3\)
লব্ধি \(=\sqrt{7^2+3^2+2.7.3\cos{60^{o}}}\)
\(=\sqrt{49+9+42\times\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{58+21}\)
\(=\sqrt{79}\)
উত্তরঃ (গ)
১৫। \(f(x)=\cos^{-1}{x}\) ফাংশনের রেঞ্জ কত?
\(\left[0, \pi\right]\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)
গ \(\left(0, \pi\right)\)
গ \(\left(0, \pi\right)\)
খ \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
ঘ \(\left[0, \pi\right]\)
\(f(x)=\cos^{-1}{x}\) ফাংশনের রেঞ্জ,ঘ \(\left[0, \pi\right]\)
\(\left[0, \pi\right]\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৬। স্থিরাবস্থায় \(5m\) উঁচু থেকে অবাধে খাড়া নিম্নমুখী পড়ন্ত বস্তুর ভূমিতে পতনকাল কত সেকেন্ড?
পতনকাল \(t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\)
\(=\sqrt{\frac{2\times5}{g}}\)
\(=\sqrt{\frac{10}{g}}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\sqrt{\frac{5}{g}}\)
গ \(\sqrt{\frac{10}{g}}\)
গ \(\sqrt{\frac{10}{g}}\)
খ \(\sqrt{\frac{5}{2g}}\)
ঘ \(\sqrt{\frac{g}{5}}\)
দেওয়া আছে, \(h=5m\)ঘ \(\sqrt{\frac{g}{5}}\)
পতনকাল \(t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\)
\(=\sqrt{\frac{2\times5}{g}}\)
\(=\sqrt{\frac{10}{g}}\)
উত্তরঃ (গ)
১৭।
\(O\) বিন্দু হতে প্রক্ষিপ্ত প্রক্ষেপকটির-
\(i.\) সর্বাধিক উচ্চতা \(\frac{1}{8g}m\)
\(ii.\) অনুভূমিক পাল্লা \(\frac{\sqrt{3}}{2g}m\)
\(iii.\) বিচরণকাল \(\frac{1}{g}s\)
নিচের কোনটি সঠিক?
সর্বাধিক উচ্চতা \(=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{1^2\sin^2{30^{o}}}{2g}\)
\(=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2g}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}}{2g}\)
\(=\frac{1}{2g\times4}\)
\(=\frac{1}{8g} m\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
অনুভূমিক পাল্লা \(=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{1^2\sin{(2\times30^{o})}}{g}\)
\(=\frac{\sin{60^{o}}}{g}\)
\(=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{g}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2g}m\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
বিচরণকাল \(=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times1\times\sin{30^{o}}}{g}\)
\(=\frac{2\times\frac{1}{2}}{g}\)
\(=\frac{1}{g}s\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(O\) বিন্দু হতে প্রক্ষিপ্ত প্রক্ষেপকটির-\(i.\) সর্বাধিক উচ্চতা \(\frac{1}{8g}m\)
\(ii.\) অনুভূমিক পাল্লা \(\frac{\sqrt{3}}{2g}m\)
\(iii.\) বিচরণকাল \(\frac{1}{g}s\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
চিত্রে দেওয়া আছে, \(u=1 m s^{-1}, \ \alpha=30^{o}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
সর্বাধিক উচ্চতা \(=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{1^2\sin^2{30^{o}}}{2g}\)
\(=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2g}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}}{2g}\)
\(=\frac{1}{2g\times4}\)
\(=\frac{1}{8g} m\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
অনুভূমিক পাল্লা \(=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{1^2\sin{(2\times30^{o})}}{g}\)
\(=\frac{\sin{60^{o}}}{g}\)
\(=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{g}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2g}m\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
বিচরণকাল \(=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times1\times\sin{30^{o}}}{g}\)
\(=\frac{2\times\frac{1}{2}}{g}\)
\(=\frac{1}{g}s\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
১৮। \(\operatorname{cosec}{\theta}+\cot{\theta}=\sqrt{3} \ (0\lt{\theta}\lt{\pi})\) হলে, \(\theta\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \frac{1}{\sin{\theta}}+\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1+\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{2\cos^2{\frac{\theta}{2}}}{2\sin{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{\frac{\theta}{2}}}{\sin{\frac{\theta}{2}}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \cot{\frac{\theta}{2}}=\cot{\frac{\pi}{6}}\)
\(\Rightarrow \frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{3}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{\pi}{6}\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
খ \(\frac{\pi}{4}\)
ঘ \(\frac{2\pi}{3}\)
\(\operatorname{cosec}{\theta}+\cot{\theta}=\sqrt{3} \ (0\lt{\theta}\lt{\pi})\)ঘ \(\frac{2\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sin{\theta}}+\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1+\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{2\cos^2{\frac{\theta}{2}}}{2\sin{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{\frac{\theta}{2}}}{\sin{\frac{\theta}{2}}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \cot{\frac{\theta}{2}}=\cot{\frac{\pi}{6}}\)
\(\Rightarrow \frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{3}\)
উত্তরঃ (গ)
১৯। \(2x^2-5x+4=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় হবে-
এখানে, \(a=2, \ b=-5, \ c=4\)
নিশ্চায়ক, \(D=b^2-4ac\)
\(=(-5)^2-4.2.4\)
\(=25-32\)
\(=-7\lt{0}\)
\(\therefore\) সমীকরণের মূলদ্বয় হবে জটিল ও অসমান।
উত্তরঃ (ঘ)
ক বাস্তব ও সমান
গ জটিল ও সমান
গ জটিল ও সমান
খ বাস্তব ও অসমান
ঘ জটিল ও অসমান
\(2x^2-5x+4=0\) ঘ জটিল ও অসমান
এখানে, \(a=2, \ b=-5, \ c=4\)
নিশ্চায়ক, \(D=b^2-4ac\)
\(=(-5)^2-4.2.4\)
\(=25-32\)
\(=-7\lt{0}\)
\(\therefore\) সমীকরণের মূলদ্বয় হবে জটিল ও অসমান।
উত্তরঃ (ঘ)
২০। \(\frac{1}{i}\) এর বর্গমূল কত?
\(=\frac{i}{i^2}\)
\(=\frac{i}{-1};\) \(\because i^2=-1\)
\(=-i\)
\(-i\) এর বর্গমূল \(=\pm\sqrt{-i}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{-2i}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1-2i-1}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1^2-2.1.i+i^2}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(1-i)^2}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\)
গ \(\pm(1+i)\)
গ \(\pm(1+i)\)
খ \(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\)
ঘ \(\pm(1-i)\)
\(\frac{1}{i}\)ঘ \(\pm(1-i)\)
\(=\frac{i}{i^2}\)
\(=\frac{i}{-1};\) \(\because i^2=-1\)
\(=-i\)
\(-i\) এর বর্গমূল \(=\pm\sqrt{-i}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{-2i}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1-2i-1}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1^2-2.1.i+i^2}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(1-i)^2}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\)
উত্তরঃ (খ)
২১। স্রোতের বেগ \(2 m/s\) এবং নৌকার বেগ \(8 m/s\)। নৌকা স্রোতের বিপরীত দিকে চালালে স্রোতের সাপেক্ষে নৌকার আপেক্ষিক বেগ কত?
\(=\{8-(-2)\} \ m/s\)
\(=(8+2) \ m/s\)
\(=10 \ m/s\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(4 \ m/s\)
গ \(10 \ m/s\)
গ \(10 \ m/s\)
খ \(6 \ m/s\)
ঘ \(16 \ m/s\)
স্রোতের সাপেক্ষে নৌকার আপেক্ষিক বেগ,ঘ \(16 \ m/s\)
\(=\{8-(-2)\} \ m/s\)
\(=(8+2) \ m/s\)
\(=10 \ m/s\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ২২ ও ২৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
একটি জড়বস্তুর উপর পরস্পর \(40\) সে.মি. ব্যবধানে \(12\) কেজি ও \(8\) কেজি ওজনের দুইটি বল সদৃশ সমান্তরালে ক্রিয়া করে।
২২। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত কেজি?একটি জড়বস্তুর উপর পরস্পর \(40\) সে.মি. ব্যবধানে \(12\) কেজি ও \(8\) কেজি ওজনের দুইটি বল সদৃশ সমান্তরালে ক্রিয়া করে।
ক \(4\)
গ \(12\)
গ \(12\)
খ \(8\)
ঘ \(20\)
বলদ্বয়ের লব্ধির মান \(=12+8\)ঘ \(20\)
\(=20\) কেজি।
উত্তরঃ (ঘ)
২৩। লব্ধির ক্রিয়া বিন্দু \(12\) কেজি ওজনের বলের ক্রিয়া বিন্দু হতে কত সে.মি. দূরে অবস্থিত?
তাহলে, \(12.AC=8.BC\)
\(\Rightarrow 12.AC=8.(AB-AC)\)
\(\Rightarrow 12.AC=8.AB-8.AC\)
\(\Rightarrow 12.AC+8.AC=8.AB\)
\(\Rightarrow 20.AC=8.AB\)
\(\Rightarrow AC=\frac{8.AB}{20}\)
\(=\frac{8\times40}{20}\)
\(=8\times2\)
\(=16\) সে.মি.
উত্তরঃ (ক)
ক \(16\)
গ \(32\)
গ \(32\)
খ \(24\)
ঘ \(80\)
ধরি, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(12\) কেজি ও \(8\) কেজি ওজনের দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত, যাদের লব্ধির ক্রিয়া বিন্দু \(AB\) এর উপরোস্থ \(C\)।ঘ \(80\)
তাহলে, \(12.AC=8.BC\)
\(\Rightarrow 12.AC=8.(AB-AC)\)
\(\Rightarrow 12.AC=8.AB-8.AC\)
\(\Rightarrow 12.AC+8.AC=8.AB\)
\(\Rightarrow 20.AC=8.AB\)
\(\Rightarrow AC=\frac{8.AB}{20}\)
\(=\frac{8\times40}{20}\)
\(=8\times2\)
\(=16\) সে.মি.
উত্তরঃ (ক)
২৪। \(n\) একটি পূর্ণ সংখ্যা হলে, \(\sin{2\theta}=1\) সমীকরণের সাধারণ সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow 2\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=(4n+1)\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \((4n+1)\frac{\pi}{4}\)
গ \((2n+1)\frac{\pi}{2}\)
গ \((2n+1)\frac{\pi}{2}\)
খ \((4n-1)\frac{\pi}{4}\)
ঘ \((2n-1)\frac{\pi}{2}\)
\(\sin{2\theta}=1\)ঘ \((2n-1)\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow 2\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=(4n+1)\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ (ক)
২৫। কোনো বিন্দুতে \(1, \ 2, \ \sqrt{3}\) একক বলত্রয় ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করলে, শেষ বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ কত?
তাহলে, \(2^2+(\sqrt{3})^2+2.2.\sqrt{3}\cos{\alpha}=1^2\)
\(\Rightarrow 4+3+4\sqrt{3}\cos{\alpha}=1\)
\(\Rightarrow 7+4\sqrt{3}\cos{\alpha}=1\)
\(\Rightarrow 4\sqrt{3}\cos{\alpha}=1-7\)
\(\Rightarrow 4\sqrt{3}\cos{\alpha}=-6\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{6}{4\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{3}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\cos{30^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{(180^{o}-30^{o})}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{150^{o}}\)
\(\therefore \alpha=150^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(60^{o}\)
গ \(120^{o}\)
গ \(120^{o}\)
খ \(90^{o}\)
ঘ \(150^{o}\)
ধরি, \(2, \ \sqrt{3}\) বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)ঘ \(150^{o}\)
তাহলে, \(2^2+(\sqrt{3})^2+2.2.\sqrt{3}\cos{\alpha}=1^2\)
\(\Rightarrow 4+3+4\sqrt{3}\cos{\alpha}=1\)
\(\Rightarrow 7+4\sqrt{3}\cos{\alpha}=1\)
\(\Rightarrow 4\sqrt{3}\cos{\alpha}=1-7\)
\(\Rightarrow 4\sqrt{3}\cos{\alpha}=-6\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{6}{4\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{3}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\cos{30^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{(180^{o}-30^{o})}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{150^{o}}\)
\(\therefore \alpha=150^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000003