শিক্ষা বোর্ড চট্টগ্রাম - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(z=2x+i3y\) হলে \(|z|=1\) কী নির্দেশ করে?
\(\Rightarrow |2x+i3y|=1\)
\(\Rightarrow \sqrt{(2x)^2+(3y)^2}=1\)
\(\therefore 4x^2+9y^2=1\) যা একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
উত্তরঃ (গ)
ক বৃত্ত
গ উপবৃত্ত
গ উপবৃত্ত
খ পরাবৃত্ত
ঘ অধিবৃত্ত
\(z=2x+i3y\) এবং \(|z|=1\)ঘ অধিবৃত্ত
\(\Rightarrow |2x+i3y|=1\)
\(\Rightarrow \sqrt{(2x)^2+(3y)^2}=1\)
\(\therefore 4x^2+9y^2=1\) যা একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
উত্তরঃ (গ)
২। \(z=-i+1\) -
\(i.\) \(z\) এর মডুলাস \(\sqrt{2}\)
\(ii.\) \(z\) এর আর্গুমেন্ট \(-\frac{\pi}{4}\)
\(iii.\)\(z\bar{z}=z+\bar{z}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
এখানে, \(x=1, \ y=-1\)
\(z\) এর মডুলাস \(=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{1^2+(-1)^2}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(z\) এর আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{-1}{1}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{(-1)}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}}\)
\(=-\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(z\bar{z}=(-i+1)\overline{(-i+1)}\)
\(=(-i+1)(+i+1)\)
\(=(1-i)(1+i)\)
\(=1^2-i^2\)
\(=1+1\)
\(=(1-i)+(1+i)\)
\(=(1-i)+\overline{(1-i)}\)
\(=z+\bar{z}\)
\(\therefore z\bar{z}=z+\bar{z}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \(z\) এর মডুলাস \(\sqrt{2}\)
\(ii.\) \(z\) এর আর্গুমেন্ট \(-\frac{\pi}{4}\)
\(iii.\)\(z\bar{z}=z+\bar{z}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(z=-i+1=1-i\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখানে, \(x=1, \ y=-1\)
\(z\) এর মডুলাস \(=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{1^2+(-1)^2}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য।
\(z\) এর আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{-1}{1}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{(-1)}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}}\)
\(=-\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
\(z\bar{z}=(-i+1)\overline{(-i+1)}\)
\(=(-i+1)(+i+1)\)
\(=(1-i)(1+i)\)
\(=1^2-i^2\)
\(=1+1\)
\(=(1-i)+(1+i)\)
\(=(1-i)+\overline{(1-i)}\)
\(=z+\bar{z}\)
\(\therefore z\bar{z}=z+\bar{z}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
৩। দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(\frac{1}{-i+1}\) হলে অপর মূলটি-
\(=\frac{1}{1-i}\)
অপর মূলটি \(\frac{1}{1+i}\)
\(=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}\)
\(=\frac{1-i}{1^2-i^2}\)
\(=\frac{1-i}{1+1}\)
\(=\frac{1-i}{2}\)
\(=\frac{1}{2}(-i+1)\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(i+1\)
গ \(\frac{1}{2}(-i+1)\)
গ \(\frac{1}{2}(-i+1)\)
খ \(-i+1\)
ঘ \(\frac{1}{2}(i+1)\)
\(\frac{1}{-i+1}\)ঘ \(\frac{1}{2}(i+1)\)
\(=\frac{1}{1-i}\)
অপর মূলটি \(\frac{1}{1+i}\)
\(=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}\)
\(=\frac{1-i}{1^2-i^2}\)
\(=\frac{1-i}{1+1}\)
\(=\frac{1-i}{2}\)
\(=\frac{1}{2}(-i+1)\)
উত্তরঃ (গ)
৪। \(2x^2-x-1=0\) এর মূল দুইটি \(a, \ b (a\gt{b})\) হলে \(b\) এর মান কত?
\(\Rightarrow 2x^2-2x+x-1=0\)
\(\Rightarrow 2x(x-1)+1(x-1)=0\)
\(\Rightarrow (x-1)(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, \ 2x+1=0\)
\(\Rightarrow x=1, \ 2x=-1\)
\(\Rightarrow x=1, \ x=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=1, \ -\frac{1}{2}\)
\(\therefore b=-\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-1\)
গ \(-\frac{1}{2}\)
গ \(-\frac{1}{2}\)
খ \(1\)
ঘ \(\frac{1}{2}\)
\(2x^2-x-1=0\)ঘ \(\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2x^2-2x+x-1=0\)
\(\Rightarrow 2x(x-1)+1(x-1)=0\)
\(\Rightarrow (x-1)(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, \ 2x+1=0\)
\(\Rightarrow x=1, \ 2x=-1\)
\(\Rightarrow x=1, \ x=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=1, \ -\frac{1}{2}\)
\(\therefore b=-\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
৫। \(3x^2+2x+1=0\) এর ক্ষেত্রে-
\(i.\) মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান
\(ii.\)মূলদ্বয়ের যোগফল \(-\frac{2}{3}\)
\(iii.\)মূলদ্বয়ের গুণফল \(\frac{1}{3}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
এখানে, \(a=3, \ b=2, \ c=1; \ ax^2+bx+c=0\) এর সাথে তুলুনা করে।
নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\)
\(=2^2-4.3.1\)
\(=4-12\)
\(=-8\lt{0}\)
তাহলে, মূলদ্বয় জটিল ও অনুবন্ধী
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য নয়।
মূলদ্বয়ের যোগফল \(=-\frac{2}{3}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
মূলদ্বয়ের গুণফল \(=\frac{1}{3}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
\(i.\) মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান
\(ii.\)মূলদ্বয়ের যোগফল \(-\frac{2}{3}\)
\(iii.\)মূলদ্বয়ের গুণফল \(\frac{1}{3}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(3x^2+2x+1=0\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখানে, \(a=3, \ b=2, \ c=1; \ ax^2+bx+c=0\) এর সাথে তুলুনা করে।
নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\)
\(=2^2-4.3.1\)
\(=4-12\)
\(=-8\lt{0}\)
তাহলে, মূলদ্বয় জটিল ও অনুবন্ধী
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য নয়।
মূলদ্বয়ের যোগফল \(=-\frac{2}{3}\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
মূলদ্বয়ের গুণফল \(=\frac{1}{3}\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
৬। \(2x^2+y^2=4\) কণিকটির বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য-
\(\Rightarrow \frac{2x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=2, \ b^2=4\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{2}, \ b=2; \ a\lt{b}\)
বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\times2\)
\(=4\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(4\)
গ \(2\sqrt{2}\)
গ \(2\sqrt{2}\)
খ \(2\)
ঘ \(\sqrt{2}\)
\(2x^2+y^2=4\)ঘ \(\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{2x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=2, \ b^2=4\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{2}, \ b=2; \ a\lt{b}\)
বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\times2\)
\(=4\)
উত্তরঃ (ক)
৭। \(\cos^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}\) এর মান হল-
এখানে, ভূমী \(=2\), অতিভুজ \(=3\)
অতএব, লম্ব \(=\sqrt{3^2-2^2}\)
\(=\sqrt{9-4}\)
\(=\sqrt{5}\)
\(\therefore \cos^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}\)
গ \(\sec^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}\)
গ \(\sec^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}\)
খ \(\sin^{-1}{\left(\frac{3}{2}\right)}\)
ঘ \(\cot^{-1}{\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}\)
\(\cos^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}\)ঘ \(\cot^{-1}{\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}\)
এখানে, ভূমী \(=2\), অতিভুজ \(=3\)
অতএব, লম্ব \(=\sqrt{3^2-2^2}\)
\(=\sqrt{9-4}\)
\(=\sqrt{5}\)
\(\therefore \cos^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}\)
উত্তরঃ (ক)
৮। \(P\) ও \(Q\) বলের লব্ধি ক্ষুদ্রতম হলে, বলদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ-
তাহলে, \(p^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}=(P-Q)^2\)
\(\Rightarrow p^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}=P^2-2PQ+Q^2\)
\(\Rightarrow 2PQ\cos{\alpha}=-2PQ\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{180^{o}}\)
\(\therefore \alpha=180^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(0^{o}\)
গ \(120^{o}\)
গ \(120^{o}\)
খ \(30^{o}\)
ঘ \(180^{o}\)
ধরি, অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\alpha\)ঘ \(180^{o}\)
তাহলে, \(p^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}=(P-Q)^2\)
\(\Rightarrow p^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}=P^2-2PQ+Q^2\)
\(\Rightarrow 2PQ\cos{\alpha}=-2PQ\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{180^{o}}\)
\(\therefore \alpha=180^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৯। \(x^2=-3y\) পরাবৃত্তের-
\(i.\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{3}{4}\)
\(ii.\) উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(0, -\frac{3}{4}\right)\)
\(iii.\) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(4y+3=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
এখানে, \(4a=-3\)
\(\therefore a=-\frac{3}{4}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=\left|4\times-\frac{3}{4}\right|\)
\(=\left|-3\right|\)
\(=3\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(0, a\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, -\frac{3}{4}\right)\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=a\)
\(\Rightarrow y=-\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow 4y=-3\)
\(\Rightarrow 4y+3=0\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
\(i.\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{3}{4}\)
\(ii.\) উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(0, -\frac{3}{4}\right)\)
\(iii.\) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(4y+3=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2=-3y\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখানে, \(4a=-3\)
\(\therefore a=-\frac{3}{4}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=\left|4\times-\frac{3}{4}\right|\)
\(=\left|-3\right|\)
\(=3\)
\(\therefore (i).\) বাক্যটি সত্য নয়।
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(0, a\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, -\frac{3}{4}\right)\)
\(\therefore (ii).\) বাক্যটি সত্য।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=a\)
\(\Rightarrow y=-\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow 4y=-3\)
\(\Rightarrow 4y+3=0\)
\(\therefore (iii).\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
১০। \(\frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{4^2}=1\) এর পরামিতিক সমীকরণ হলো-
এখানে, \(a=5, \ b=4\)
পরামিতিক সমীকরণ \(x=5\sec{\theta}, \ y=4\tan{\theta}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(x=5\sec{\theta}, \ y=4\tan{\theta}\)
গ \(x=4\tan{\theta}, \ y=5\sec{\theta}\)
গ \(x=4\tan{\theta}, \ y=5\sec{\theta}\)
খ \(x=4\sec{\theta}, \ y=5\tan{\theta}\)
ঘ \(x=5\tan{\theta}, \ y=4\sec{\theta}\)
\(\frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{4^2}=1\)ঘ \(x=5\tan{\theta}, \ y=4\sec{\theta}\)
এখানে, \(a=5, \ b=4\)
পরামিতিক সমীকরণ \(x=5\sec{\theta}, \ y=4\tan{\theta}\)
উত্তরঃ (ক)
১১। \(\tan^{-1}{\left(\frac{3}{4}\right)}\) এর মান কোনটি?
\(=\frac{1}{2}.2\tan^{-1}{\left(\frac{3}{4}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left\{\frac{2\times\frac{3}{4}}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}\right\}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{\frac{3}{2}}{1+\frac{9}{16}}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{16+9}{16}}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{3}{2}\times\frac{16}{25}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{24}{25}\right)}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left(\frac{24}{25}\right)}\)
গ \(\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left(\frac{24}{7}\right)}\)
গ \(\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left(\frac{24}{7}\right)}\)
খ \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{24}{25}\right)}\)
ঘ \(\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left(\frac{7}{24}\right)}\)
\(\tan^{-1}{\left(\frac{3}{4}\right)}\)ঘ \(\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left(\frac{7}{24}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}.2\tan^{-1}{\left(\frac{3}{4}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left\{\frac{2\times\frac{3}{4}}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}\right\}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{\frac{3}{2}}{1+\frac{9}{16}}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{16+9}{16}}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{3}{2}\times\frac{16}{25}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{24}{25}\right)}\)
উত্তরঃ (খ)
১২। \(\sin{\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)}=0; \ n\in{\mathbb{R}}\) এর সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow x-\frac{3\pi}{2}=n\pi\) যেহেতু, \(\sin{\theta}=0 \Rightarrow \theta=n\pi\)
\(\Rightarrow x=n\pi+\frac{3\pi}{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(2n\pi+\frac{3\pi}{2}\)
গ \(n\pi-\frac{3\pi}{2}\)
গ \(n\pi-\frac{3\pi}{2}\)
খ \(2n\pi-\frac{3\pi}{2}\)
ঘ \(n\pi+\frac{3\pi}{2}\)
\(\sin{\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)}=0\)ঘ \(n\pi+\frac{3\pi}{2}\)
\(\Rightarrow x-\frac{3\pi}{2}=n\pi\) যেহেতু, \(\sin{\theta}=0 \Rightarrow \theta=n\pi\)
\(\Rightarrow x=n\pi+\frac{3\pi}{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৩। কোনো বিন্দুতে ক্রিয়াশীল \(P\) এবং \(Q\) বলের লব্ধি \(R\)। \(P=Q=R\) হলে, \(P, \ Q\) বলের অন্তর্গত কোণ কত?
তাহলে, \(p^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}=R^2\)
\(\Rightarrow p^2+P^2+2P.P\cos{\alpha}=P^2\) যেহেতু, \(P=Q=R\)
\(\Rightarrow 2p^2+2P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2p^2(1+\cos{\alpha})=P^2\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=\frac{P^2}{2p^2}\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1}{2}-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1-2}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(120^{o}\)
গ \(60^{o}\)
গ \(60^{o}\)
খ \(90^{o}\)
ঘ \(45^{o}\)
ধরি, অন্তর্গত কোণ \(\alpha\)ঘ \(45^{o}\)
তাহলে, \(p^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}=R^2\)
\(\Rightarrow p^2+P^2+2P.P\cos{\alpha}=P^2\) যেহেতু, \(P=Q=R\)
\(\Rightarrow 2p^2+2P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2p^2(1+\cos{\alpha})=P^2\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=\frac{P^2}{2p^2}\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1}{2}-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1-2}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ (ক)
১৪। \(3N\) এবং \(4N\) মানের বল দুইটি পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়াশীল হলে লব্ধির মান কত?
\(=\sqrt{9+16+24\times0}\)
\(=\sqrt{25+0}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5 N\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(3 N\)
গ \(5 N\)
গ \(5 N\)
খ \(4 N\)
ঘ \(6 N\)
শর্তমতে, লব্ধি \(=\sqrt{3^2+4^2+2.3.4\cos{90^{o}}}\)ঘ \(6 N\)
\(=\sqrt{9+16+24\times0}\)
\(=\sqrt{25+0}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5 N\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৫ ও ১৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
১৫। \(O\) বিন্দুতে বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকলে \(R\) এর মান কত হবে?
ক \(37 N\)
গ \(\sqrt{13} N\)
গ \(\sqrt{13} N\)
খ \(\sqrt{37} N\)
ঘ \(13 N\)
চিত্রমতে, \(R=\sqrt{3^2+4^2+2.3.4\cos{120^{o}}}\)ঘ \(13 N\)
\(=\sqrt{9+16+24\times-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{25-12}\)
\(=\sqrt{13} N\)
উত্তরঃ (গ)
১৬। \(R\) এর মান \(5N\) হলে \(\alpha\) এর মান হবে-
\(3^2+4^2+2.3.4\cos{\alpha}=3^2\)
\(\Rightarrow 9+16+24\cos{\alpha}=9\)
\(\Rightarrow 16+24\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 24\cos{\alpha}=-16\)
\(\Rightarrow 24\cos{\alpha}=-16\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{16}{24}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \alpha=\cos^{-1}{\left(-\frac{2}{3}\right)}\)
\(\therefore \alpha=131.81^{o}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(131.91^{o}\)
গ \(120.81^{o}\)
গ \(120.81^{o}\)
খ \(131.81^{o}\)
ঘ \(141.81^{o}\)
\(R\) এর মান \(3N\) হলে,ঘ \(141.81^{o}\)
\(3^2+4^2+2.3.4\cos{\alpha}=3^2\)
\(\Rightarrow 9+16+24\cos{\alpha}=9\)
\(\Rightarrow 16+24\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 24\cos{\alpha}=-16\)
\(\Rightarrow 24\cos{\alpha}=-16\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{16}{24}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \alpha=\cos^{-1}{\left(-\frac{2}{3}\right)}\)
\(\therefore \alpha=131.81^{o}\)
উত্তরঃ (খ)
১৭। একটি বুলেট কোনো দেয়ালের ভিতর \(2\) ইঞ্চি ঢুকবার পর বেগ অর্ধেক হারায়। বুলেটটি দেয়ালের ভিতর আরো কত ইঞ্চি ঢুকবে?
বেগ হারায় \(=\frac{u}{2}\)
শেষ বেগ \(=\frac{u}{2}\)
এখন, \(v^2=u^2-2fs\)
\(\Rightarrow \left(\frac{u}{2}\right)^2=u^2-2f.2\)
\(\Rightarrow \frac{u^2}{4}=u^2-4f\)
\(\Rightarrow 4f=u^2-\frac{u^2}{4}\)
\(\Rightarrow 4f=\frac{4u^2-u^2}{4}\)
\(\therefore f=\frac{3u^2}{16}\)
যদি, বুলেটটি মোট \(x\) ইঞ্চি ঢুকে।
তাহলে, \(0^2=u^2-2\times\frac{3u^2}{16}\times{x}\)
\(\Rightarrow 0=u^2-\frac{6xu^2}{16}\)
\(\Rightarrow \frac{6xu^2}{16}=u^2\)
\(\Rightarrow x=u^2\times\frac{16}{6u^2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{16}{6}\)
থামবার পূর্বে বুলেটটি আরো ঢুকবে \(=\frac{16}{6}-2\)
\(=\frac{16-12}{6}\)
\(=\frac{4}{6}\)
\(=\frac{2}{3}\) ইঞ্চি
উত্তরঃ (খ)
ক \(2\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(\frac{2}{3}\)
ঘ \(\frac{1}{2}\)
ধরি, বুলেটের আদি বেগ \(u\)ঘ \(\frac{1}{2}\)
বেগ হারায় \(=\frac{u}{2}\)
শেষ বেগ \(=\frac{u}{2}\)
এখন, \(v^2=u^2-2fs\)
\(\Rightarrow \left(\frac{u}{2}\right)^2=u^2-2f.2\)
\(\Rightarrow \frac{u^2}{4}=u^2-4f\)
\(\Rightarrow 4f=u^2-\frac{u^2}{4}\)
\(\Rightarrow 4f=\frac{4u^2-u^2}{4}\)
\(\therefore f=\frac{3u^2}{16}\)
যদি, বুলেটটি মোট \(x\) ইঞ্চি ঢুকে।
তাহলে, \(0^2=u^2-2\times\frac{3u^2}{16}\times{x}\)
\(\Rightarrow 0=u^2-\frac{6xu^2}{16}\)
\(\Rightarrow \frac{6xu^2}{16}=u^2\)
\(\Rightarrow x=u^2\times\frac{16}{6u^2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{16}{6}\)
থামবার পূর্বে বুলেটটি আরো ঢুকবে \(=\frac{16}{6}-2\)
\(=\frac{16-12}{6}\)
\(=\frac{4}{6}\)
\(=\frac{2}{3}\) ইঞ্চি
উত্তরঃ (খ)
১৮। \(64 ft/sec\) বেগে ভূমি থেকে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত কণার বিচরণকাল-
বিচরণকাল \(=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times64\sin{90^{o}}}{32}\)
\(=\frac{2\times64\times1}{32}\)
\(=4.00 sec\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(0.065 sec\)
গ \(2.00 sec\)
গ \(2.00 sec\)
খ \(0.13 sec\)
ঘ \(4.00 sec\)
এখানে, \(u=64 ft/sec, \ \alpha=90^{o}\) ঘ \(4.00 sec\)
বিচরণকাল \(=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times64\sin{90^{o}}}{32}\)
\(=\frac{2\times64\times1}{32}\)
\(=4.00 sec\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৯। একজন সাঁতারু স্রোতের বেগের দ্বিগুণ বেগে সাঁতার দিয়ে একটি নদীর যাত্রা বিন্দুর বিপরীত বিন্দুতে পৌছল। স্রোতের সাথে তার দিক কত ছিল?
তাহলে, সাঁতারু বেগ \(=2u\)
সাঁতারু স্রোতের সাথে \(\alpha\) কোণে যাত্রা করে।
শর্তমতে, \(\tan{90^{o}}=\frac{2u\sin{\alpha}}{u+2u\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{2u\sin{\alpha}}{u(1+2\cos{\alpha})}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{2\sin{\alpha}}{1+2\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow 1+2\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{\alpha}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(120^{o}\)
গ \(45^{o}\)
গ \(45^{o}\)
খ \(90^{o}\)
ঘ \(30^{o}\)
ধরি, স্রোতের বেগ \(=u\)ঘ \(30^{o}\)
তাহলে, সাঁতারু বেগ \(=2u\)
সাঁতারু স্রোতের সাথে \(\alpha\) কোণে যাত্রা করে।
শর্তমতে, \(\tan{90^{o}}=\frac{2u\sin{\alpha}}{u+2u\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{2u\sin{\alpha}}{u(1+2\cos{\alpha})}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{2\sin{\alpha}}{1+2\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow 1+2\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{\alpha}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ (ক)
২০। \(32 ft/sec\) আদিবেগে এবং ভূমির সাথে \(30^{o}\) কোণে একটি বস্তু নিক্ষেপ করা হলো। ইহার ভ্রমনকাল কত?
ভ্রমনকাল \(=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times32\sin{30^{o}}}{32}\)
\(=\frac{64\times\frac{1}{2}}{32}\)
\(=\frac{32}{32}\)
\(=1 sec\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(0.5 sec\)
গ \(1.5 sec\)
গ \(1.5 sec\)
খ \(1 sec\)
ঘ \(2 sec\)
এখানে, \(u=32 ft/sec, \ \alpha=30^{o}\) ঘ \(2 sec\)
ভ্রমনকাল \(=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times32\sin{30^{o}}}{32}\)
\(=\frac{64\times\frac{1}{2}}{32}\)
\(=\frac{32}{32}\)
\(=1 sec\)
উত্তরঃ (খ)
২১। \(z=\frac{1}{2+i}\) হলে, \(x\)এর মান হবে-
\(\Rightarrow z=\frac{2-i}{(2+i)(2-i)}\)
\(\Rightarrow z=\frac{2-i}{2^2-i^2}\)
\(\Rightarrow z=\frac{2-i}{4+1}\)
\(\Rightarrow z=\frac{2-i}{5}\)
\(\therefore z=\frac{2}{5}-i\frac{1}{5}\)
এখানে, \(x=\frac{2}{5}; \ z=x+iy\) এর সাথে তুলুনা করে।
\(=\frac{1}{\sqrt{1-q^2}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{3}{2}\)
গ \(\frac{1}{3}\)
গ \(\frac{1}{3}\)
খ \(\frac{1}{2}\)
ঘ \(\frac{2}{5}\)
\(z=\frac{1}{2+i}\)ঘ \(\frac{2}{5}\)
\(\Rightarrow z=\frac{2-i}{(2+i)(2-i)}\)
\(\Rightarrow z=\frac{2-i}{2^2-i^2}\)
\(\Rightarrow z=\frac{2-i}{4+1}\)
\(\Rightarrow z=\frac{2-i}{5}\)
\(\therefore z=\frac{2}{5}-i\frac{1}{5}\)
এখানে, \(x=\frac{2}{5}; \ z=x+iy\) এর সাথে তুলুনা করে।
\(=\frac{1}{\sqrt{1-q^2}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২২। \(i^{4n+4}\) এর মান কত?
\(=(i^2)^{2n+2}\)
\(=(-1)^{2n+2}\)
\(=1\) যেহেতু, \((2n+2)\) জোড় সংখ্যা।
উত্তরঃ (ক)
ক \(1\)
গ \(i\)
গ \(i\)
খ \(-1\)
ঘ \(-i\)
\(i^{4n+4}\)ঘ \(-i\)
\(=(i^2)^{2n+2}\)
\(=(-1)^{2n+2}\)
\(=1\) যেহেতু, \((2n+2)\) জোড় সংখ্যা।
উত্তরঃ (ক)
২৩। \(4x^2+5x+k=0\) এর মূলদ্বয়ের একটি অপরটির বিপরীত হলে \(k\) এর মান হবে-
\(\alpha\times\frac{1}{\alpha}=\frac{k}{4}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{k}{4}\)
\(\therefore k=4\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-4\)
গ \(\frac{5}{4}\)
গ \(\frac{5}{4}\)
খ \(4\)
ঘ \(-\frac{5}{4}\)
সমীকরণটির মূলগুলি \(\alpha, \ \frac{1}{\alpha}\) হলেঘ \(-\frac{5}{4}\)
\(\alpha\times\frac{1}{\alpha}=\frac{k}{4}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{k}{4}\)
\(\therefore k=4\)
উত্তরঃ (খ)
২৪। \(3x^2-4y^2=12\) অধিবৃত্তের \((4, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢালের মান-
\(\Rightarrow 6x-8y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow -8y\frac{dy}{dx}=-6x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-6x}{-8y}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{3x}{4y}\)
\((4, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢালের মান \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(4, 3)}=\frac{3\times4}{4\times3}\)
\(=\frac{12}{12}\)
\(=1\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-1\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(\frac{3}{4}\)
ঘ \(\frac{4}{3}\)
\(3x^2-4y^2=12\)ঘ \(\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow 6x-8y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow -8y\frac{dy}{dx}=-6x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-6x}{-8y}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{3x}{4y}\)
\((4, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢালের মান \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(4, 3)}=\frac{3\times4}{4\times3}\)
\(=\frac{12}{12}\)
\(=1\)
উত্তরঃ (গ)
২৫। \(\sin{2\theta}-\cos{2\theta}=0\) সমীকরণের সাধারণ সমাধান-
\(\Rightarrow \sin{2\theta}=\cos{2\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{2\theta}}{\cos{2\theta}}=1\)
\(\Rightarrow \tan{2\theta}=\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow 2\theta=n\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{4\times2}\)
\(\therefore \theta=\frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\)
গ \(\frac{n\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\)
গ \(\frac{n\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\)
খ \(\frac{n\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\)
ঘ \(\frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\)
\(\sin{2\theta}-\cos{2\theta}=0\)ঘ \(\frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\)
\(\Rightarrow \sin{2\theta}=\cos{2\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{2\theta}}{\cos{2\theta}}=1\)
\(\Rightarrow \tan{2\theta}=\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow 2\theta=n\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{4\times2}\)
\(\therefore \theta=\frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\)
উত্তরঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000005